Chương 2. ỨNG DỤNG CỦA HÀM TRỤ 53 2.1. Ứng dụng để giải quyết các vấn đề lý thuyết
2.2. Một số ứng dụng khác
Bài toán 2.1. (Biểu diễn tích phân Bessel của hàm trụ).
Hàm trụ loại thứ nhấtJn(z) bậc nguyên n được xác định như là hệ số với ωn trong phần khai triển của Laurent
e
z 2(ω−1
ω) = X∞ n=−∞
Jn(z)ωn.
Có thể biểu diễn hàmJn(z) dưới dạng chuỗi lũy thừa. Muốn vậy cần nhân các chuỗi đối với ez2.
1
ω và e−
z 2 .1
ω, chúng ta có e
z 2(ω−1
ω) = X∞ n=0
1 nl(z
2)nωn. X∞ n=0
(−1)n nl (z
2)n 1 ωn. Từ đó hệ số với ωn(n = 0,1,2, . . .) bằng
Jn(z) = X∞ k=0
(−1)k (n+ k)!k!
z 2
n+2k
và hệ số với 1
ωn(n = 0,1,2, . . .) bằng
J−n(z) = (−1)nJn(z).
Bây giờ chúng ta tìm được biểu thức đối với Jn(z) một cách trực tiếp nhờ công thức xác định hệ số của chuỗi Laurent:
Jn(z) = 1 2πi
Z
C
e
z 2(ω−1
ω) dω ωn+1
chúng ta biến đổi biểu thức này, muốn vậy chúng ta chọn làm C đường tròn
|ω| = 1 và đặt ω = eit, chúng ta nhận được Jn(z) = 2πi1
R2π 0
eizsinte−n itidt= 2π1 R2π 0
cos (nt−zsint)dt =
= 2π1 R2π 0
sin(t−zsint)dt
Nhưng tích phân thứ hai bằng 0, vì theo tính chất tích phân của hàm tuần hoàn, các khoảng lấy tích phân (0,2π) có thể thay thế bởi khoảng lấy tích phân (−π, π), còn hàm dưới dấu tích phân là hàm lẻ. Như vậy,
Jn(x) = 1 2π
Z2π 0
cos(nt−zsint)dt.
Hệ thức nhận được gọi là tích phân Bessel có cho biểu diễn hàm trụ dưới dạng tích phân và được áp dụng hiệu quả trong vật lí toán.
Bài toán 2.2. (Bài toán tìm công thức tiệm cận đối với hàm trụ).
Jn(λ) = 1 2πi
Z
|z|=t
e
x 2(x−1
z) dz
zn+1, (2.44)
ở đây, ϕ(z) = 1
2z+1, f(z) = 1
2(x− 1
z), f0(z) = 1
2(1 + 1
z2), vì thế có 2 điểm khoảng cách z1,2 = ±i bậc như nhau Ref(z) = 0, do vậy chúng ta có
ϕ(±i) = ∓ie∓in π
2, f(±i) = ±i, |f00(±i)| = 1.
Do đó ta có phần thực u = Re f (z) = x 2
1− 1 x2 +y2
= 0, khi cho
|z| = 1 và x = 0 chúng ta tìm được ϑ1 = 3π/4, ϑ2 = π/4. Do vậy chúng ta có công thức tiệm cận cần tìm
Jn(λ) ∼ 1
√2πλ
e−
λ−nπ 2+
3π 4
! i
+e−
λ−nπ 2−
π 4
! i
=
= r 2
πλcos
λ−nπ 2 − π
4
Bài toán 2.3. (Bài toán hỗn hợp trong hình trụ).
Cho y và ϕ và x là hình trụ toạ độ(y là véc tơ bán kính). Trong hình trụ tròn 0 ≤ y < 1,−π ≤ ϕ ≤ π,−∞ < x < ∞ cho phương trình Laplace
∆u = 0, trên phần x > 0, bề mặt của nó y = 1 cho giá trị hàm u: trên phần còn lại x < 0, y = 1 có đạo hàm thông thường uy.
Trong trường hợp hàm được biết không phụ thuộc hàm vàoϕ, ta đưa đến bài toán
uxx + 1
yuy +uyy = 0, −∞ < x <∞, 0 < y < 1. (2.45) u(x,1−0) = g(x), x >0. (2.46) uy(x,1−0) = h(x), x <0. (2.47)
|u(x, y)| là bị chặn khi y → ∞, (2.48) tại g(x) và h(x) là hàm trên đã cho.
Ta sẽ áp dụng cả hai phần của phương trình (2.44) toán tử V
−x2U (x, y) + 1
yUy (x, y) +Uyy(x, y) = 0, 0< y < 1. (2.49) phương trình nhận được dẫn đến phương trình của Becel. Cách giải chung của phương trình (2.49) có dạng
U (x, y) = C(x)I0(xy) +C1(x)K0(x, y)
ở đó I0(x) và K0(x) là các hàm hình trụ của đối số ảo, còn C(x) và C1(x) là các hàm sinh. Trong mối liên hệ với điều kiện (2.48) ta suy đoán C1(x) ≡0.
Như vậy
U (x, y) = C(x)I0(x, y), −∞ < x < ∞, 0< y < 1. (2.50) Để xác định hàm khi chưa rõ C(x) ta dùng vế điều kiện (2.46), (2.47) ta sẽ xác định chúng
u(x, 1−0) = f_(x) +g+(x), −∞ < x < ∞. (2.51) uy(x, 1−0) = f+(x) +h_(x) − ∞ < x <∞. (2.52) ở đây
g+(x) =
(g(x), x > 0,
0, x < 0, h−(x) =
(0, x > 0, h(x), x < 0, còn f+(x) và f−(x) là các hàm chưa biết dạng (2.45) và (2.46).
Ta sẽ đưa ra các phép biến đổi các đẳng thức Fourier (2.50), (2.51) U (x, 1−0) = F−(x) +G+(x), Uy(x, 1−0) = F+(x) +H−(x). (2.53)
Từ đẳng thức (2,50) và (2.52) ta đưa ra F+(x) = xI1(x)
I0(x) F−(x)−H−(x) + xI1(x)
I0(x) G+(x), −∞ < x <∞ Sau khi xác định được hàm F−(x), ta cần tìm lời giải
u(x, y) = V−1
I0(xy) I0(x)
F−(x) +G+(x) .
KẾT LUẬN
Lý thuyết hàm biến phức nói chung và lý thuyết hàm trụ nói riêng có tầm quan trọng trong toán học. Trong luận văn này đã tập trung nghiên cứu hàm trụ trên trường số phức. Luận văn đã trình bày trọng tâm khái niệm hàm trụ trên trường số phức cùng một số tính chất quan trọng của chúng, sau đó luận văn trình bày một số ứng dụng của hàm trụ gồm:
• Ứng dụng để giải quyết một số vấn đề của lý thuyết toán học – Định lí cộng đối với các hàm Bessel.
– Những phương trình vi phân giải được nhờ hàm trụ.
– Các tích phân có chứa hàm Bessel.
– Tích phân Sonhin.
– Tích phân của thuyết sóng điện.
– Dao động của dây xích.
– Dao động của màng tròn.
– Nguồn nhiệt hình trụ.
– Sự truyền nhiệt trong hình trụ tròn.
• Một số ứng dụng khác
– Biểu diễn tích phân Bessel của hàm trụ.
– Bài toán tìm công thức tiệm cận đối với hàm trụ.
– Bài toán hỗn hợp trong hình trụ.
Mặc dù đã có rất nhiều cố gắng song chắc chắn luận văn này không tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy, tác giả rất mong được sự đóng góp ý kiến và nhận xét để luận văn được đầy đủ và hoàn thiện, đồng thời tác giả cũng có thêm kinh nghiệm để tiếp tục nghiên cứu sau này.
Một lần nữa, cho em được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới các thầy cô trong Khoa Toán, các thầy cô Phòng Sau Đại học Trường ĐHSP Hà Nội 2, bạn bè đồng nghiệp, người thân trong gia đình, đặc biệt là PGS.TS.NGƯT Nguyễn Huy Lợi đã nhiệt tình hướng dẫn em hoàn thành luận văn này.