Chương 1. HÀM TRỤ 9 1.1. Hàm chỉnh hình
1.3.3. Biểu diễn tiệm cận đối với các hàm trụ
Biểu diễn tiệm cận có các dạng khác nhau phụ thuộc vào việc chúng ta sẽ coi bậc λ, biến x, hay là cả hai đại lượng này là lớn hay không (chúng ta giả định rằng chúng có thực). Phù hợp với điều này chúng ta sẽ phân biệt 3 trường hợp:
1) Biểu diễn tiệm cận đối với bậc lớn. Trước hết chúng ta xét hàm số đầu tiên Hankel, lấy hàm số ở dạng tích phân (1.55)
Hλ(1)(x) = 1 π
Z
C1
eixsinζ−iλζdζ, (1.87) trong đó C1 là đường chu tuyến hình 1.4. Chúng ta sẽ tính λ > x và biểu thị nhỏ hơn 1 số x
λ = 1
ch α. Công thức (1.87) có dạng Hλ(1)(x) = 1
π Z
C1
eλ(i sinζ
ch α−iζ)dζ = 1 π
Z
C1
eλf(ζ)dζ, (1.88) ở đó
f(ζ) = isinζ
ch α −iζ = −cosssh σ
ch α +σ +i(sinsch σ
ch α −s) (1.89) (chúng ta giả định rằng ζ = s+ iσ). Để nhận công thức tiệm cận chúng ta sử dụng phương pháp chuyển động, các yên điểm được tìm thấy từ phương trình
f0(ζ0) =i
cosζ0
ch α −1
= 0, từ đó cosζ0 = chα và
ζ0 = ±iα. (1.90)
Đường thoải xuống đi qua các điểm này được xác định bằng phương trình imf (ζ) = sin schσ
chα −s = 0 (1.91)
(thực tế, tại các yên điểm s = 0, σ = ±α) , từ đó chσ = chα s
sin s. Nó có dạng được nêu ra trong hình 1.5 bằng đường chấm, và bao gồm từ trục ảo và hai cung tròn, gần tiệm cận với đường thẳng s = ±π. Từ cung của đường
này có thể tạo đường của phép tích phân đưa ra tích phân (1.87), có nghĩa là giá trị đường C1. Chúng ta sẽ biểu thị đường C˜1 này và biểu diễn nó trong hình 1.5 bởi đường chấm in đậm; đường này bao gồm 2 tia (i∞;−αi) đi dọc theo trục ảo, và nửa bên phải cung tròn phía dưới của đường thoải xuống.
Bởi vì theo (1.91) tại điểm giao nhau C˜1 có Imf(ζ) = 0, thì tại đó f (ζ) = −cos sshσ
chα +σ . Trên trục σ hàm số f (iσ) = σ − shσ
chα đạt giá trị lớn nhất bằng α −thα tại điểm σ = α và tối thiểu thα - α tại σ = −α (điều này rút ra trực tiếp từ việc xét hàm sinh df
dσ = −chσ
chα + 1). Dễ dàng nhận thấy rằng tối đa tại điểm ζ0 = αi là tối đa duy nhất của hàm số f (ζ) trên đường C˜1. Vì f (ζ0) = α−thα, f00(ζ0) = thα, và góc nghiêng của đường thoải xuống tại điểm vượt qua ϑ = −π
2 , khi đó chúng ta có Hλ(1)(x) ≈ 1
πeλ(α−thα)
r 2π thαe−i
π 2 1
√λ = −i
r 2
πλthαeλ(α−thα). Ở đây khi thay thế thα =
r
1− 1
ch2α = 1 λ
√λ2 −x2 = à
λ, trong đú à =
√λ2 −x2 và α = arthà
λ, ta sẽ nhận được một cách triệt để cách biểu diễn ẩn tiệm cận của hàm Hankel theo quy tắc λ lớn
Hλ(1)(x) ≈ −i r 2
πàe−à+λarth à
λ (1.92)
(ở đây cần coi x < λ).
Một cách tương tự cách biểu diễn tiệm cận hàm Becsel theo quy tắc bậc lớn cũng sẽ được tìm ra
Hλ(2)(x) ≈i r 2
πàe−à+λarth à
λ . (1.93)
Xuất phát từ công thức (1.56) từ các đánh giá (1.92) và (1.93) chúng ta sẽ tìm thấy biểu diễn tiệm cận hàm Becsel theo quy tắc bậc lớn
Jλ(x) = Hλ(1)(x) +Hλ(2)(x)
2 ≈ 0. (1.94)
Hình 1.5
Nếu tiến hành các tính toán hoàn toàn tương tự khi xét tích phân Slephly thay vì (1.88)
Jλ(x) = 1 2π
Z
Q
ei xsinζ−iλζdζ = 1 2π
Z
Q
eλf(ζ)dζ,
và thay chu tuyến Q của hình 1.3 bằng chu tuyến Qe của hình 1.6 bằng một phần của đường thoải xuống bề mặt τ = Ref (ζ) thì thay vì (1.94) chúng ta sẽ nhận được biểu diễn tiệm cận khác đối với các λ lớn
Jλ(x) ≈ 1 2
r 2
πàeà−λarth à
λ . (1.95)
Chi tiết hơn trong các tính toán này chúng ta sẽ không dừng lại.
Theo công thức (1.61) của mục trước dựa vào (1.92) và (1.93) chúng ta sẽ tìm thấy cả biểu diễn tiệm cận đối với hàm số Veber của quy tắc bậc lớn
Yλ(x) = Hλ(1)(x)−Hλ(2)(x)
2i ≈ −
r 2
πàe−à+λarth à
λ . (1.96)
2) Biểu diễn tiệm cận đối với những giá trị lớn của biến số.
Chúng ta coi x > λ và chúng ta biểu thị số nhỏ λ
x = cosα (0 < α < π 2).
Có thế tìm lại hàm số Becsel đầu tiên ở dạng Hλ(1)(x) = 1
π Z
C1
ex(isinζ−iζcosα)dζ = 1 π
Z
C1
exg(ζ)dζ, (1.97)
Hình 1.6
trong đó
g(ζ) = isinζ −iζ cosα
= −coss sh σ+ σcosα+i(sinsãch σ −scosα)), (1.98) chỉ bằng thừa số bất biến sẽ phân biệt hàm số f(ζ) với công thức (1.89).
Yên điểm được tìm thấy từ phương trình g0(ζ) = i(cosζ0 −cosα) = 0, từ đó ζ0 = ±α. Đường thoải xuống đi qua các điểm này được xác định bởi các phương trình
Img(ζ) = sinsãch σ−scosα = ±(sinα−αcosα), hoặc là
ch σ = cosα s
sins ± sinα−αcosα sins .
Các đường này có dạng được chỉ ra trong hình 1.7, mỗi đường trong số đó bao gồm 2 nhánh giao nhau tại các yên điểm và gần tiệm cận với trục ảo và đường thẳng s = ±π.
Chúng ta sẽ chọn đường chu tuyến C˜1, là một trong các nhánh của đường thoải xuống đi qua điểm ζ0 = α.
ch σ = cos α s
sins + sinα−αcosα sins ,
Hình 1.7
theo chu tuyến tích phân (1.97) vẫn có giá trị đó, và theo C˜1 trong hình 1.7 đường chu tuyến này được biểu diễn bởi đường gạch in đậm. Tại C˜1 chỉ có một điểm tĩnh của hàm số
τ = Reg(ζ) = −coss sh σ+σcosα,
chính là yên điểm ζ0 = α và khi gần với cả hai điểm cuối C˜1 hàm số này hướng tới −∞. Từ đó rút ra rằng ζ0 = α là duy nhất tại C˜1 bằng điểm tối đa của hàm số τ = Reg(ζ).
Vì chúng ta cóg(ζ0) = i(sinα−αcosα), g00(ζ0) = −isinα và ϑ = −π 4 nên chúng ta nhận được
Hλ(1)(x) ≈
r 2
πxsinαei x(sinα−αcosα)−i π 4,
từ đó, khi thay đổi xcosα = λ, sinα = ν/x, trong đó ν = √
x2−λ2 và α = arcsinν
x chúng ta sẽ nhận được biểu diễn tiệm cận hàm Hankel đầu tiên của biến số lớn.
Hλ(1)(x) = r 2
πνe
i ν−λarcsinν x−
π 4
!
. (1.99)
Hoàn toàn tương tự ta nhận được biểu diễn tiệm cận hàm Hankel thứ hai Hλ(2)(x) =
r 2 πνe−
i ν−λarcsinν x−
π 4
!
. (1.100)
Nếu còn coi x >> λ, do đó ν = √
x2 −λ2 ≈ x, α = arcsinν x ≈ π
2 , thì các công thức dưới đây được đơn giản hóa
Hλ(1)(x) ≈ r 2
πxe
i
x−λ
π 2−
π 4
, Hλ(2)(x) ≈ r 2
πxe−
i x−λπ 2−
π 4
!
. (1.101) Từ các công thức (1.101) rút ra khẳng định rằng khi số thực λ bất kỳ các hàm Hankel Hλ(1)(z) và Hλ(2)(z) độc lập tuyến tính.
Cũng từ các công thức đó dựa trên công thức (1.91) và (1.96) của chúng ta nhận được những biểu diễn tiệm cận các hàm trụ của dòng I và II đối với các giá trị x >> λ
Jλ(x) ≈ r 2
πxcos
x−λπ 2 − π
4
; Yλ(x) ≈
r 2
πxsin
x−λπ 2 − π
4 .
(1.102)
Nhận thấy rõ ràng là đối với các giá trị của thông số λ = ±1
2 các biểu diễn tiệm cận này là các biểu diễn điểm (với toàn bộ λ = n).
Bằng cách hoàn toàn tương tự có được các công thức tiệm cận hàm trụ của biến số ảo với các giá trị x >> λ.
Iλ(x) = e− λπi
2 Jλ(ix) ≈ 2
√2πxex, Kλ(x) = πi
2 e λπi
2 Hλ(1)(ix) ≈ r π
2xe−x.
(1.103)
Chúng ta sẽ không dừng lại ở kết luận của chúng.
3) Biểu diễn tiệm cận với x và λ đủ lớn.
Nếu coi x = λ và đặt
g(ζ) = isinζ −iζ, (1.104)
thì
Hλ(1)(x) = 1 π
Z
C
ex(isinζ−iζ)dζ = 1 π
Z
C
exg(ζ)dζ, (1.105) và chúng ta sẽ có chỉ một yên điểm ở đầu tọa độ ζ = 0. Đường thoải xuống Img(ζ) = sin sch σ−s = 0, (1.106)
Hình 1.8
được tạo từ 2 nhánh đi qua phần đầu của tọa độ: trục ảo s = 0 và 2 cung gần tiệm cận với trực diện s = ±π (hình 1.8). Từ các nhánh của của đường này chúng ta sẽ xây dựng đường chu tuyến C˜1 (được biểu thị trong hình 1.8 bằng nét vạch đậm), đường chu tuyến mà đưa ra tích phân (1.104), thì cả giá trị C1, chúng ta cũng áp dụng phương pháp di chuyển cho đường chu tuyến này.
Ở đây khác với những trường hợp trước tại điểm di chuyểng00(ζ) = −isinζ hướng đến 0 và chỉ g000(0) = −i khác 0. Tuy thế phân tích thành phần chỉ ra rằng điểm ζ = 0 là điểm tối đa của hàm g(ζ) đối với C˜1, hơn thế là điểm duy nhất. Phù hợp với ý tưởng của phương pháp di chuyển để nhận được biểu diễn tiệm cận chúng ta có thể thay g(ζ) ≈ g000(0)
3! ζ3 = −i
6ζ3 và đường cong C˜1 bởi miền kế cận của yên điểm hay với mức điểm đó
Hλ(1)(x) ≈ 1 π
Z
I
e− ix
6ζ
3
dζ + Z
II0
e− ix
6ζ
3
dζ
,
trong đó I là nửa trục dương ảo, còn II0− tiếp điểm với phần II (xem hình 1.8). So sánh tiếp điểm này là σ = − 1
√3s (không mấy khó khăn có được từ khai triển Taylor của phần bên trái (1.106), và ở đó
ζ3 = (s+iσ)3 = iσ(3s2 −σ2) = 8iσ3, dζ = e−i π 6p
ds2 +dσ2 = −2e−i π 6dσ
(dấu hiệu - được chúng ta giải thích là dσ < 0).
Cho nên khi đặt ở phần I : ζ = iσ, chúng ta thu được Hλ(1)(x) ≈ 1
π
i Z0
∞
e− x 6σ
3
dσ−2e−i π 6
Z−∞
0
e 4 3xσ
3
dσ
=
= −1 π
( i 3
r6
x −e−i π 6 2 3
r 3 4x
)Z∞ 0
e−ξ3dξ.
Nhưng
Z∞ 0
e−ξ3dξ = 1 3
Z∞ 0
e−tt− 2
3dt= 1 3Γ
1 3
, và cuối cùng chúng ta sẽ nhận được
Hλ(1)(x) ≈ − 1 3πΓ
1 3
3
r6
x i−e−i π 6
!
. (1.107)
V.A Phok đã đưa ra công thức tiệm cận khác đốí với trường hợp pλ2 −x2 ≈ λ2/
3, λ >> 1, hay chính là trường hợp, với các giá trị hữu hạn
t = x 2
2/ 3
λ2 x2 −1
. Công thức này có dạng
Hλ(1)(x) ≈ − i
√π x
2 −1/
3ω(t), (1.108)
trong đó
ω(t) = 1
√π Z
L
eiζ− ζ0
3dζ (1.109)
và L− là đường chu tuyến đi từ ζ − ∞ đến 0 theo tia argζ = −2π/3, và từ ζ = 0 đến ∞ theo nửa trục dương argζ = 0. Công thức này được nghiên cứu và với nó các bảng đã được xây dựng.
Hình 1.9 Hình 1.10