Chương 1. HÀM TRỤ 9 1.1. Hàm chỉnh hình
1.3.4. Đồ thị của hàm trụ và sự phân bố các không điểm
Chúng ta dẫn ra ở đây đồ thị của các hàm trụ được sử dụng nhiều nhất với các giá trị dương của biến số.
Trong hình 1.9 và 1.10 đồ thị của các hàm J0(x) và Y0(x) được biểu thị bằng các đường liên tục. Đối với các giá trị nhỏ của biến số có thể làm rõ tính chất của các lược đồ này từ khái niệm J0(x) và Y0(x) ở dạng chuỗi. Đối với các giá trị lớn x có thể sử dụng các biểu diễn tiệm cận (1.76) của mục trước, từ đó mà
J0(x) ≈ r 2
πxcos
x− π 4
, Y0(x) ≈ r 2
πxsin
x− π 4
(1.110)
Các đồ thịcủa hàm Bessel và Veber của trật tự đầu tiên được biểu diễn bằng những đường chấm trong các hình trên. Chúng nhận được từ đồ thị J0(x) và Y0(x) nhờ sự vi phân hóa đồ thị dựa trên hệ thức J1(x) =
−J00(x), Y1(x) = −Y00(x).
Trong hình 1.11 và 1.12 các đồ thị hàm trụ của biến số ảo như vậy được dẫn ra.
I0(x) = J0(ix) ≈ 2
√2πxex, K0(x) = πi
2 H0(1)(ix) ≈ r π
2xe−x, (1.111) những đồ thị mà thường được áp dụng trong vật lý, các đồ thị In(x) với n = 1,2,3,4 cũng được chỉ ra bằng đường vạch.
Các hàm Jn(x)và Yn(x) có tính dao động, tần xuất của chúng thường cố
Hình 1.11 Hình 1.12
định, còn biên độ giảm xuống √1x. Với hàm số khi gần với đầu tọa độ sẽ được hướng đến −∞.
Ngược lại, các hàm I0(x) và K0(x) không có tính chất dao động, hàm đầu tiên trong số chúng tăng đơn điệu từ giá trị 1 đến ∞ với tốc độ của hàm mũ, còn hàm số thứ hai giảm từ +∞ → 0 .
Trong hình 1.11 dẫn ra hình dạng của hàmJ0(z), đưa vào đó là các đường dọc theo đường mức môđun (là 0,2) và acgumen (là 300), tiết diện dọc theo trục thực đưa ra đồ thị |J0(x)|. Hình 1.12 chỉ ra hình dạng của nhánh H0(1)(z) bị gián đoạn dọc theo trục âm có thực và hướng đến 0 khi y →+∞. Trong đó đường mức môđun (là 0,2) và acgumen (là 150). Trong hình 1.13 chỉ ra sự phụ thuộc Jλ(x) vào hai trị thực thay đổi x và λ; đường trên bề mặt của đồ thị J0(x), J1(x), ..., J10(x) và Jλ(2), Jλ(4), ..., Jλ(20).
Hình 1.13 Hình 1.14
Chúng ta xét sự sắp xếp không điểm của những hàm Bessel. Giả sử λ là
Hình 1.15
số thực, λ > −1. Từ công thức (1.44) mà chúng ta đã tiến hành khi chứng minh tính trực giao của các hàm này, với không điểm bất kỳ z = β và z = α hàm số Jλ(z) sẽ rút ra hệ thức
β2 −α2Z1
0
Jλ(αt)Jλ(βt)tdt = 0. (1.112) Vì vậy tất cả các hệ số khai triển
Jλ(z) = z 2
λX∞ k=0
(−1)k k!Γ(λ+ k+ 1)
z 2
2k
, (1.113)
là thực, thì hiển nhiên
Jλ(z) =Jλ(z). (1.114) Từ đó, nói riêng rút ra nếuz là nghiệm phức hợp của phương trình Jλ(z) = 0, thì z sẽ cũng là nghiệm của chính phương trình đó. Khi đặt trong công thức (1.112) α = z, β = z và khi sử dựng công thức (1.114) phù hợp với Jλ(z)Jλ(¯z) =|Jλ(z)|2, ta có
¯
z2 −z2Z1
0
|Jλ(tz)|2tdt = 0.
Nhưng vì ở đây tích phân không thể bằng 0, nên z2−z2 = 0 , từ đó hoặc là z = z hoặc là z = −z. Bằng cách như vậy khi các giá trị thực λ > −1 hàm Jλ(z) có thể có chỉ số không thực hoặc thường là số không ảo.
Từ công thức đã nhận trọng mục trên với λ ≥ 0 rút ra công thức tiệm cận
Jλ(x) ≈ r 2
πxcos
x−λπ 2 − π
4
(1.115)
rút ra rằng Jλ(x) có tập hợp hữu hạn số dương 0 (trên thực tế Jλ(x) không gián đoạn và rút từ (1.114), dấu thường xuyên thay đổi). Nhưng từ công thức
Jλ(−z) = eiλπJλ(z), (1.116) trực tiếp rút ra từ khai triển (1.113), rõ ràng là các không điểm Jλ(z) được nằm tiệm cận tương đối đầu tọa độ. Do vậy, Jλ(z) có cả tập hợp hữu hạn số âm 0.
Từ (1.114) rút ra công thức gần đúng với các không điểm Jλ(x) α(λ)k ≈ 3π
4 + λπ
2 +kπ, (1.117)
công thức gần đúng càng chính xác bao nhiêu, thì |k| càng lớn bấy nhiêu.
Chúng sẽ dẫn ra với tư cách là ví dụ của giá trị các số dương 0 nhỏ nhất của hàm số J0(x).
K 0 1 2 3 4 5 6
α(0)k 2,4048 5,5201 8,6537 11,7415 14,9309 18,0711 21,2126 Bảng 1.2
Chúng ta nhận thấy rằng công thức gần đúng (1.116) đưa ra giá trị α(0)k = 21,206 (độ chính xác 0,01) với k = 6.
Để nghiên cứu câu hỏi về các nghiệm ảo thuần Jλ(z), chúng ta sẽ đặt trong công thức (1.112) z = xi, chúng ta sẽ nhận được
Jλ(z) zλ = 1
2λ X∞
k=0
x 2
2k 1
k!Γ(λ+k + 1). (1.118) Giả sử λ là số thực sinh; vì λ+k + 1 với tất cả k, ngoài số hữu hạn, có các giá trị dương, thì tất cả các hệ số chuỗi (1.117), ngoài số hữu hạn của chúng là số âm. Vì ngoài đầu phần bên phải của công thức (1.117) với |x| lớn được xác định bằng dấu bậc cao, thì chúng ta có thể khẳng định rằng Jλz(z)λ > 0
với các số đủ lớn |z|, nghĩa là Jλ(z) 6= 0. Nhưng trong đoạn hữu hạn của trục ảo hàm nguyên Jλz(z)λ có thể có chỉ số hữu hạn 0, do vậy, đối với số thực λ bất kỳ hàm số Jλ(z) có thể có chỉ số hữu hạn thuần các không điểm ảo.
Nói riêng, khi λ > −1 tất cả các hệ số của chuỗi (1.117) là dương, do vậy, hàm số Jλ(z) hoàn toàn không có số không thuần ảo khi λ >−1.
Chúng ta sẽ làm rõ một vài đặc điểm phân bổ của các không điểm của các hàm Bessel. Để làm được điều này trước hết chúng ta sẽ biểu thị
y(x) = Jλ(x)
xλ (1.119)
và chúng ta nhận thấy rằng hàm này thỏa mãn phương trình vi phân xy00 + (2λ+ 1)y0 +xy = 0,
phương trình mà nhận được bằng sự thay thế Jλ = xλy vào phương trình của hàm trụ.
Giả sửα là không điểm âm bất kỳ của giá trị sinh y00, khi đó phương trinh (1.119) có dạng y00(α) +y(α) = 0 khi x = α. Nhưng y(α) không thể bằng 0, vì khi đó từ các điều kiện y(α) = 0, y0(α) = 0 theo định lý duy nhất (điểm x = a là điểm đúng của phương trình (1.119)), giải trong bài toán đầu tiên của phương trình vi phân (1.119) cần thiết y(x) = 0. Cho nên y0(α) và y00(α) có dấu khác nhau.
Giả sử bây giờ α và β là hai không điểm liền kề y0(α), sao cho y0(x) 6= 0 trong khoảng(α, β) theo định lý đã biết Rolle trong khoảng(α, β)mặc dù chỉ có một không điểm của y00(x), chính xác hơn là số các không điểm không lẻ.
Từ đó y0(α) và y00(β), cũng có nghĩa lày(α) và y(β) có dấu khác nhau, nghĩa là dù chỉ có 1 không điểm y(x) trong khoảng (α, β). Không thể có nhiều hơn một không điểm y(x) trong khoảng (α, β), vì khi đó ở trong khoảng này chỉ có 1 không điểm y0(x) trái với điều kiện được chúng ta chấp thuận. Như vậy có thể khẳng định rằng các nghiệm dương y(x) và y0(x) tương quan tách lẫn nhau. Nó đúng cả với các không điểm.
Tiếp đó chúng ta sẽ nhận thấy rằng, hệ truy toán được viết lại dưới dạng y0(x) = −Jλ+1(x)
xλ .
Do vậy, các không điểm y0(x) trùng với các không điểm Jλ+1(x), mặt khác từ (1.119) thấy rằng các không điểm y(x) trùng với các không điểm Jλ(z).
Như vậy, chúng ta có thể khẳng định rằng đã nhận được: các không điểm của hàm Bessel bậc khác 1 là khác nhau. Một lần nữa chúng ra tìm thấy sự trùng hợp giữa các hàm Bessel và hàm lượng giác: các không điểm cos
x+λπ 2
và cos
x+ (λ+ 1)π2
, hiển nhiên, cũng khác nhau.
Chương 2