4.2 Tính toán ở cấp độ II 30
4.2.2 Các hàm tin cậy phi tuyến
Nếu hàm tin cậy là hàm phi tuyến của một số biến cơ bản độc lập có phân bố chuẩn thì hàm này sẽ không phân bố chuẩn. Hàm tin cậy có thể được xác định gần đúng thông qua khai triển Taylor, sử dụng hai số hạng đầu tiên của đa thức này. Biểu thức gần đúng khi đó có dạng:
HWRU/CE Project - TU Delft
34 34
i
g( , , , )
2
g
n
Z = g(X) g(X0 ) + ( )(X ∑ X g X 0 0i - X ) i (4.19)
i =1 i
Biểu thức gần đúng trên của Z là tuyến tính và theo định lý giới hạn trung tâm, Z phân bố chuẩn. Khi đó kỳ vọng và độ lệch chuẩn của hàm độ tin cậy có thể được tính gần đúng với giá trị kỳ vọng và độ lệch chuẩn của hàm tuyến tính hóa:
n g
Z g(X0 ) + ∑ (X0 )( - X0 )
X
(4.20)
i =1 i
X i i
n Z ∑
i =1
g (X0 ) X Xi
(4.21) Chỉ số độ tin cậy có thể xác định gần đúng:
n
g(X0 ) + ∑ g (X0 )( - X 0 ) X
X i i
= Z i =1 i (4.22)
Z n g 2
∑
i =1
(X0 )
Xi Xi
Nếu hàm tin cậy được tuyến tính hóa tại điểm X ,…, , công thức (4.22) có thể được rút gọn:
X1 X 2 … X n
0 x1 , x 2 x n
(4.23)
n
∑ ( X1 X 2
2 X n Xi
i =1 X i , ,…, )
Giá trị xấp xỉ của chỉ số độ tin cậy được gọi là giá trị xấp xỉ bình quân. Phương pháp xấp xỉ bình quân thể hiện được bản chất của phương thức tính toán theo cấp độ II. Cốt lõi của Phương thức cấp độ II là xác định sự ảnh hưởng của độ lệch của các biến cơ bản lên độ lệch của hàm tin cậy. Điều này liên quan đến bước phân tích độ nhạy có trọng số. Thông qua phép toán vi phân riêng, ta xác định được độ nhạy của nghiệm Z=0 do một sự thay đổi nhỏ giá trị của một biến cơ bản. Tiếp đó, trọng số là tích số giữa độ nhạy với độ lệch chuẩn của biến.
Qua biểu thức (4.22) ta thấy rằng việc tính toán giá trị xấp xỉ của β thông qua tuyến tính hóa hàm tin cậy phụ thuộc vào việc lựa chọn điểm tuyến tính hóa của hàm.
Giả sử hàm tin cậy có 2 biến cơ bản X1 và X2. Hàm tin cậy phi tuyến có dạng Z 2 X 1 2 X 2 . Các biến X1 và X2 được chuyển đổi thành các biến phân phối chuẩn thông thường U1 và U2 do đó biểu thức hàm tin cậy mới có dạng:
Z 2 2 U 2 4 U 2 2
U (4.24)
X1 1 X1 X1 1 X1 X 2 2 X 2
Trong hình 4.6, miền sự cố được biểu diễn trên mặt phẳng U1, U2 . Có thể thấy rõ rằng sự tuyến tính hóa hàm Z tại những điểm khác nhau dẫn đến các giá trị gần đúng khác nhau của chỉ số độ tin cậy. Vì vậy công thức chỉ số độ tin cậy theo công thức 4.22 không thể áp dụng tùy tiện.
i i
Hình 4.6 Tuyến tính hóa hàm tin cậy.
Theo phương pháp HASOFER and LIND[4.5], (xem mục 4.2.1) chỉ số độ tin cậy không phụ thuộc hàm tin cậy có phải là hàm tuyến tính hay không. Khoảng cách từ biên sự cố (Z=0) đến gốc của hệ toạ độ chuyển đổi là:
min U 2 U 2 (4.25)
= 1 2 Z 0
Điểm thiết kế chính là điểm A nằm trên biên sự cố với khoảng cách đến gốc tọa độ là ngắn nhất. Hình 4.7 cho thấy, khi tuyến tính hóa hàm tin cậy Z tại đúng điểm thiết kế thì giá trị gần đúng của chính là khoảng cách từ trục tọa độ tới biến sự cố. Thực tế có nhiều phương pháp để tìm điểm thiết kế thông qua quá trình lặp. Thực chất đây là một vấn đề tối ưu hoá để tìm ra khoảng cách OA ngắn nhất. Để xác định điểm thiết kế, người ta thường dùng các phương pháp giải tích và phương pháp số. 2 phương pháp được giới thiệu sau đây về cơ bản là như nhau chỉ khác nhau ở công thức của hàm tin cậy.
Phương pháp đầu tiên dựa vào việc chuẩn hoá hàm tin cậy. Tức là tất cả các biến cơ bản đều được chuyển sang các biến chuẩn tiêu chuẩn.
Toạ độ của điểm thiết kế là:
U1 , U2 ,… , Un 1 , 2 ,… , n and Xi X U1 X (4.26)
* * * * *
A
Hình 4.7 Tuyến tính hóa hàm tin cậy tại điểm thiết kế.
HWRU/CE Project - TU Delft
36 36 U
Điểm thiết kế và giá trị β tìm được dựa vào quá trình lặp để giải các biểu thức:
f ( )
= Ui , i 1, 2,… , n
i
n f 2 (4.27)
∑
j 1
( )
j
f ( 1 ,
trong đó:
1 ,… , 1 ) 0
f(U1, U2, ..., Un) là hàm tin cậy của các biến cơ bản đã được chuẩn hoá. i là hệ số ảnh hưởng của biến i.
Điểm thiết kế chỉ được xác định nếu các biến tuân theo luật phân bố chuẩn (hay các biến được chuyển về dạng phân bố chuẩn). Điểm thiết kế là điểm nằm trên đường biên sự cố mà mật độ phân phối xác suất thông thường là lớn nhất. Xem hình minh hoạ 4.7.
Hình 4.7 Định nghĩa Điểm thiết kế (DP) - là điểm nằm trên biên sự cố mà tại đó mật độ xác suất là cực đại.
Có thể tìm hiểu rõ hơn về phương pháp tính này qua ví dụ sau:
Ví dụ 4.2
Cho hàm tin cậy: Z = g(a, b, c) = ab – c
Các biến cơ bản a, b và c là các biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn độc lập. Các giá trị được cho:
àa = 8 σa = 2 àb = 3 σb = 1 àc = 4 σc = 2
Yêu cầu: Xác định điểm thiết kế và chỉ số tin cậy tương ứng.
1- Trước hết, cần chuyển đổi các biến cơ bản sang dạng các biến chuẩn tuân theo phân bố chuẩn.
2- Viết lại hàm tin cậy theo biến chuẩn: Hàm tin cậy của các biến được chuyển đổi là:
Z f (U1 , U2 , U3 ) 6U1 2U1 U2 8U2 2U3 20
8 0.20 2.39 2 7.04 3 0.94 2.39 1 0.75 4 0.27 2.39 2 5.29
2 1 2 1
*
*
*
Từ đây, có thể hình thành công thức tính chỉ số β. Ngoài ra các công thức tính chỉ số α1, α2 và α3 được xây dựng:
= 20
6 + 2 + 8 2 = 6 + 2 2
1
2 2 2
1 1 2 2 3 (6 + 2 2 ) + (8 + 2 1 ) + 2
= 8 + 2 1
= 2
2
(6 + 2 ) 2 + (8 + 2 ) 2 + 22 3 (6 + 2 ) 2 + (8 + 2 ) 2 + 22
Hệ phương trình này có thể được giải bằng phương pháp thế liên tiếp. Vấn đề còn lại là việc lựa chọn các giá trị thực ban đầu đối với β, α1, α2 và α3 . Giá trị ban đầu β có thể được xác định theo phương pháp xấp xỉ trị trung bình:
Z g( a , b , c )
2 2 2 Z g
( ,
a a b, c )
a g
b ( a , b, c )
b g
c ( a , b, c ) c 8 3 4
1.96 (3 2)2 (8 1)2 (1 2)2
Các giá trị ban đầu của α1, α2 và α3 được chọn là hoàn toàn giống nhau nhưng có thể khác dấu. Các giá trị mới của β, α1, α2 và α3 được tính toán cho đến khi kết quả hội tụ.
Xem kết quả ví dụ trên Bảng 4.1
Với các giá trị β, α1, α2 và α3 vừa tìm được cho phép tính toán xác định được điểm thiết kế và xác suất xảy ra sự cố
Tọa độ Điểm thiết kế được xác định:
a a 1 a
b b 2 b
c c 3 c
Và xác suất xảy ra sự cố:
Pf ( ) ( 2.39) 0.0084
Bảng 4.2
Giá trị ban đầu Các bước lặp
1 2 3 4 5 6
β 1.96 2.51 2.49 2.42 2.39 2.39 2.39
α1 -0.58 -0.52 -0.32 -0.23 -0.21 -0.20 -0.20 α2 -0.58 -0.80 -0.89 -0.93 -0.94 -0.94 -0.94
α3 0.58 0.28 0.33 0.29 0.27 0.27 0.27
Phương pháp thứ hai về thực chất bắt nguồn từ phương pháp thứ nhất (phương pháp nêu trên) nhưng với ưu điểm là không cần chuyển đổi hàm tin cậy thành hàm của các biến phân bố chuẩn. Khi đó giá trị β được tính theo biểu thức 4.22 với hàm tin cậy được tuyến tính hóa tại một điểm. Sau đó giá trị này dùng để xác định điểm mới mà tại đó hàm tin cậy là tuyến tính.
HWRU/CE Project - TU Delft
38 38
X X
X
1 X
2 a 2 2
Z
; b ;
a ;
Trong trường hợp này, giá trị αi được tính theo công thức:
g( *
X ) Xi g( *
X ) Xi
i i i
2 (4.28)
n * Z
∑
j 1
g( X )
j
X j
Với giá trị của và i được tính lại, tọa độ điểm thiết kế mới là:
*
i i i X i (4.29)
Phương pháp này được minh họa bằng ví dụ 4.3 sau đây:
Ví dụ 4.3
Để tiện việc minh họa sự khác nhau giữa hai phương pháp, vấn đề tương tự như như ví dụ 4.2 được xem xét.
Hàm tin cậy là: Z = g(a, b, c) = a b - c.
Các biến a, b, c là các biến ngẫu nhiên phân bố chuẩn, độc lập:
àa = 8 σa = 2 àb = 3 σb = 1 àc = 4 σc = 2
Xác định điểm thiết kế và chỉ số tin cậy tương ứng.
Phương trình vi phân đạo hàm riêng theo các chỉ số a, b, c như sau:
g
a * , b* , c *
a b* ; g
b a * , b* , c* a * ; g
c a * , b* , c * 1 Suy ra:
Z b a b c
a *b* c * b* 8 a * a * 3 b* 4 c *
Z 1 Z
* a
2 Z
* * b c
3
Z Z
Với các công thức trên đây việc ước lượng tính toán Điểm thiết kế có thể thực hiện được cho hàm tin cậy tuyến tính hóa tại một điểm. Bảng 4.3 đưa ra kết quả sau 6 bước lặp.
So sánh kết quả tại bảng 4.3 với bảng 4.2 ta thấy cả 2 phương pháp đều hội tụ về điểm thiết kế sau 6 bước lặp. Tuy nhiên khối lượng tính toán trong mỗi vòng lặp của phương pháp thứ hai lớn hơn nhiều so với phương pháp thứ nhất. Mặt khác, hàm tin cậy không cần phải chuyển đổi như đối với phương pháp thứ nhất. Do đó phương pháp thứ hai được áp dụng dễ dàng hơn trong các chương trình máy tính.
F
* *
X U
FX
Bảng 4.3
Giá trị ban đầu Các bước lặp
1 2 3 4 5 6
σz 10.20 6.70 6.46 7.12 7.35 7.43
àz 20.00 16.45 15.54 17.02 17.56 17.75
β 1.96 2.45 2.41 2.39 2.39 2.39
α1 -0.59 -0.44 -0.28 -0.23 -0.21 -0.20 α2 -0.78 -0.85 -0.91 -0.93 -0.94 -0.94
α3 0.20 0.30 0.31 0.28 0.27 0.27
a* 8 5.69 5.86 6.63 6.90 7.00 7.03
b* 3 1.46 0.92 0.82 0.77 0.76 0.75
c* 4 4.77 5.46 5.49 5.34 5.30 5.29