Xác suất sự cố của hệ thống nối tiếp

CHƯƠNG 5 PHÂN TÍCH TÍNH TIN CẬY CỦA HỆ THỐNG

5.2 Tính toán xác suất sự cố cho các hệ thống đơn giản 51

5.2.1 Xác suất sự cố của hệ thống nối tiếp

Để đơn giản, xét một hệ thống đèn chiếu sáng nối tiếp có hai thành phần. Thành phần thứ nhất là công tắc đèn, thành phần thứ hai là bóng đèn, bỏ qua các tác động ảnh hưởng của điện áp và dây dẫn. Hệ thống được gọi là làm việc bình thường nếu cả hai thành phần đồng thời làm việc. Như vậy, có thể có hai sự kiện dẫn đến sự cố của hệ thống:

E1 = Bóng đèn không hoạt động (cháy) E2 = Công tắc đèn không hoạt động (hỏng)

Xác suất xảy ra ít nhất một trong hai trường hợp trên có thể xác định được thông qua (5.1). Lúc này, xác suất xảy ra sự cố E1 hoặc E2 là:

Pf = P(E1 E2 ) = P(E1 ) + P(E2 ) - P(E1 E2 )

(5.1)

= P(E1 ) + P(E2 ) P(E1 ) P(E2 | E1 )

HWRU/CE Project - TU Delft

52 52 Phương trình cho thấy xác suất xảy ra sự cố của hệ thống không chỉ phụ thuộc xác suất xảy ra sự cố của từng thành phần không hoạt động mà còn liên quan đến xác suất có điều kiện. Do vậy mà sự phụ thuộc thống kê của sự cố thành phần đóng vai trò quan trọng.

Giả sử trong trường hợp này, nếu các kiểu sự cố là độc lập thống kê thì xác suất xảy ra sự cố là:

Pf P(E1 ) P(E2 ) P(E1 )P(E2 ) (5.2)

Việc xác định xác suất xảy ra sự cố hệ thống sẽ trở nên phức tạp hơn nếu các sự cố có phụ thuộc thống kê với nhau.

Xem xét ví dụ đơn giản tiếp theo, ví dụ trên hình 5.4, mắc xích chứa 2 liên kết chịu tác động bởi tải trọng S. Hệ thống dây xích (gồm hai mắt xích) được gọi là hư hỏng nếu ít nhất một liên kết (một mắt xích) bị đứt.

Hình 5.4 Ví dụ về hệ thống nối tiếp đơn giản - Mắt xích có 2 liên kết.

Ví dụ trên cho thấy sự phụ thuộc thống kê chủ yếu xuất phát từ cùng tải trọng và có thể từ mối liên hệ của các đặc tính độ bền (quá trình sản xuất, nguyên vật liệu, kích thước…). Không gian sự cố của hệ thống được xác định:

R1 < S R 2 < S (5.3)

Xác suất xảy ra sự cố của hệ thống có thể được xác định trực tiếp bằng phương pháp tích phân số học hoặc mô phỏng theo phương pháp Monte Carlo (xem chương 3). Nếu dùng phương pháp cấp độ II để tính toán, thì xác suất xảy ra sự cố phải được xác định dựa trên xác suất hư hỏng của các thành phần hệ thống.

Xác suất hư hỏng của từng thành phần (thành phần thứ i) có thể xác định theo:

P(Ei ) = P(R i < S) (5.4)

Nếu các sự cố E1 và E2 là các biến cố loại trừ lẫn nhau thì phương trình (5.1) trở thành:

Pf = P(E1 ) + P(E2 ) (5.5)

Nếu hư hỏng của thành phần này dẫn đến hư hỏng của các thành phần khác thì, khi đó mối quan hệ phụ thuộc thống kê được mô tả theo:

;

;

P(E1 ) P(E2 | E1 )=P(E2 ) P(E1 | E2 )=min(P(E1 ), P(E2 )) (5.6) Khi đó, xác suất xảy ra sự cố của toàn hệ thống là:

Pf = max(P(E1 ), P(E2 )) (5.7)

Theo các trường hợp trên, nếu không xác định được sự phụ thuộc giữa các kiểu sự cố của các thành phần thì xác suất xảy ra sự cố hệ thống có thể được xác định trong biên giới hạn giữa xác suất xảy ra sự cố hệ thống theo phương trình (5.5) và (5.7):

max P E1 , P E2 Pf P E1 P E2 (5.8)

DITLEVSEN [4.1] đưa ra một phương pháp gần đúng để ước lượng khoảng biên hẹp hơn để xác định xác suất xảy ra sự cố. Phương pháp này dùng thông số ảnh hưởng ρ để chỉ ra sự tương quan giữa các kiểu sự cố và các hàm độ tin cậy phân phối chuẩn.

( 1) ( 2) P(E1 E2 ) ( 1) ( 2) + ( 1) ( 2) (5.9)

* * *

trong đó

1

i P Ei ;

* 2 1 2 1 2

* 1 2 1 1 2

là hệ số tương quan giữa E1 và E2

Do đó, xác suất xảy ra sự cố của hệ thống nối tiếp có 2 thành phần được tính theo:

P E1 P E 2 P E1 2* * * P E 2 1 Pf P E1 P E 2 P E 2 1 (5.10) Phương pháp Ditlevsen cũng tương ứng với phương pháp tính xác suất cấp độ II, theo đó hệ số tương quan được tính là:

n

trong đó:

∑ 1i

i 1

2i i (5.11)

1i là giá trị của Xi, theo phương pháp tính toán cấp độ II nếu Z1 < 0

2i là giá trị của Xi, theo phương pháp tính toán cấp độ II nếu Z2 < 0

i là tương quan giữa Xi kiểu sự cố E1 và Xi trong kiểu sự cố E2 n là số các biến cơ bản

Như vậy, khoảng sự cố trong hệ thống nối tiếp có n thành phần được xác định:

R1 S1 R2 S 2 R3 S3 ... Rn S n (5.12)

Như vậy, xác suất xảy ra sự cố tính theo phương pháp cấp độ III của hệ thống nối tiếp có n thành phần cũng giống như hệ thống nối tiếp có 2 thành phần. Số các phép tính

HWRU/CE Project - TU Delft

54 54

R S

R S

+ Si

i

tăng. Nếu áp dụng phương pháp cấp độ II để tính xác suất hư hỏng của từng thành phần thì biên của xác suất xảy ra sự cố trong hệ thống nối tiếp có n thành phần là:

n

max(P(R i < Si )) Pf ∑ P(R i < Si )

i =1

(5.13)

Các biên này khá rộng. Ditlevens cũng đưa ra công thức để tính các biên hẹp hơn đối với n thành phần. Đó là:

n i 1

P R1 S1 ∑ max P Ri Si ∑ P Ri S i R j S j ,0 Pf

i 2

n

Pf ∑ P Ri Si

j i

P Ri

j 1

Si R j S j

(5.14)

max

i 1

Xem ví dụ dưới đây để thấy sự khác nhau giữa phương trình (5.13) và (5.14).

Ví dụ 5.1

Một hệ thống nối tiếp với n thành phần như hình 5.5. Tải trọng của tất cả các thành phần là như nhau và tải trọng được xem như phân phối chuẩn. Độ bền của các thành phần là như nhau và tuân theo luật phân phối chuẩn giả thiết. Độ bền của các thành phần khác nhau tương quan với nhau.

1 2 n S

Hình 5.5. Hệ thống thanh chịu kéo nối tiếp.

Giữa độ bền của tất cả thành phần được xem là tương quan với nhau có hệ số ảnh hưởng tương quan là = 0.7. Các thông số phân phối độ bền và tải trọng là:

= 280

i

= 160

i

R i = 20

Si = 20

= 0.7

i

= 1.0

i

Cần phải sử dụng phương pháp Ditlevsen để xác định biên trên và biên dưới đối với xác suất xảy ra sự cố của hệ thống có từ 2 đến 10 thành phần.

Hư hỏng của một thành phần đơn lẻ được tính:

= = 280 160 = 120

Zi

Zi =

R i Si

2 R i

2 = 28.28

= Z i = 4.24

Zi

P = ( ) = 1.1 10 fi i 5

*

=

1

Để tính biên theo phương pháp Ditlevsen thì phải xác định trước hệ số tương quan giữa Zi và Zj. Biểu thức tổng quát xác định hiệp phương sai (covariance) là:

Cov(Zi Z j ) = Cov(R i R j ) Cov(R iSi ) Cov(R jSj ) + Cov(SiSj )

Do tải trọng và độ bền độc lập vì vậy ta áp dụng công thức sau:

Cov Zi Z j = Cov R i R j + Cov Si Sj

R ij R i R j + Sij Si S j

= 0.7 202 + 1.0 202 = 680

Hệ số tương quan ảnh hưởng ρZiZj được tính:

Zi Z j

Cov Z i Z j 680 28.282 0.85

Z i Z j

Sau khi đã có hệ số tương quan ta có thể tính các biên Ditlevsen.

Theo Ditlevsen, nếu βi = βj = β thì:

với:

P f ij = P(Zi < 0 Z j < 0) = 2 ( ) ( )

* = Z i Z j

= 4.24 0.85 4.24

= 1.21

2

Zi Z j 1 0.852 P f ij = 2 ( ) ( *)= 2.5 10 6

Với các giá trị của Pfij, biên trên và dưới theo phương pháp Ditlevsen được tính như trong bảng 6.1. Các biên cơ sở phải thỏa mãn Pfi Pf n Pfi.

Bên cạnh xác suất xảy ra sự cố chính xác, hình 5.6 còn đưa ra các biên thấp và cao cơ sở (xem phương trình 5.13) và biên hẹp hơn theo phương pháp Ditlevsen (xem phương trình 5.14). Hình cũng có so sánh với xác suất xảy ra sự cố chính xác.

Bảng 5.1 Biên giới hạn trên và dưới của xác suất xảy ra sự cố theo phương pháp Ditlevsen.

n

n i 1

∑max P ∑P , 0

fi fij

i 2 j 1

n

∑Pfi

i 1

n

∑ max Pfij

i 1 j 1 lower

limit

upper limit 2

3 4 5 6 7 8

8.5 10-6 1.5 10-5 1.8 10-5 1.9 10-5 1.9 10-5 1.9 10-5 1.9 10-5

2.2 10-5 3.3 10-5 4.4 10-5 5.5 10-5 6.6 10-5 7.7 10-5 8.8 10-5

5.0 10-6 7.5 10-6 1.0 10-5 1.3 10-5 1.5 10-5 1.8 10-5 2.0 10-5

2.0 10-5 2.6 10-5 2.9 10-5 3.0 10-5 3.0 10-5 3.0 10-5 3.0 10-5

2.0 10-5 2.8 10-5 3.7 10-5 4.5 10-5 5.4 10-5 6.2 10-5 7.1 10-5

HWRU/CE Project - TU Delft

56 56

sys i

n

sys

9 10

1.9 10-5 1.9 10-5

9.9 10-5 1.1 10-4

2.3 10-5 2.5 10-5

3.0 10-5 3.0 10-5

7.9 10-5 8.8 10-5

Bằng phương pháp HOHENBICHLER and RACKWITZ [4.2] có thể ước lượng được xác suất xảy ra sự cố với biên trên và biên dưới. Giá trị gần đúng này sử dụng phương pháp chuyển đổi các biến cơ sở phụ thuộc không phân phối chuẩn sang các biến cơ sở độc lập phân phối chuẩn. Phương pháp này phức tạp hơn và yêu cầu phải tính toán nhiều hơn phương pháp Ditlevsen.

Hình 5.6 Biên giới hạn xác suất xảy ra sự cố của hệ thống nối tiếp theo ví dụ 5.1.

Nếu độ bền của các thành phần độc lập thống kê thì độ bền của hệ thống nối tiếp có thể được xác định bằng độ bền tối thiếu của các thành phần. Ta có thể dùng thuyết tối thiểu để tính phân bố xác suất độ bền của hệ thống. (Xem “giá trị phân phối cực đại”)

n

FR (R sys ) = 1 (1 FR (R sys )) (5.15)

i =1

trong đó:

Rsys là độ bền của hệ thống;

Ri là độ bền của thành phần i.

Nếu các độ bền thành phần là độc lập nhưng với hàm phân bố xác suất như nhau thì ta áp dụng công thức:

FR (R sys ) = 1 (1 FR (R sys )) (5.16)

Công thức này chỉ áp dụng để xác định độ bền hệ thống nếu tất cả các thành phần có cùng tải trọng hay các tải trọng thành phần độc lập có cùng phân bố xác suất.

FS (Ssys ) = (FS (Ssys )) (5.17)

2

d

Trong trường hợp đầu, hàm tin cậy là: Z = Rsys - S.

Trong trường hợp thứ hai ta có thể xác định được tải trọng thành phần lớn nhất bằng cách áp dụng thuyết tối đa.

Hàm phân phối xác suất tải trọng cực đại là:

n

sys i

trong đó:

Ssys là tải trọng thành phần cực đại

Bên cạnh hệ thống nối tiếp có n thành phần riêng biệt, vẫn tồn tại hệ thống nối tiếp liên tục chẳng hạn như các đoạn đê. Khi đó, tại tất cả các điểm độ bền của hệ thống nối tiếp liên tục được xem như một biến ngẫu nhiên với một kỳ vọng và một độ lệch chuẩn.

Độ bền tại hai điểm khác nhau thường có quan hệ tương quan. Mức độ tương quan phục thuộc vào khoảng cách x giữa hai điểm xem xét. Mối quan hệ giữa sự tương quan và khoảng cách được miêu tả như một hàm tương quan. Dưới đây là một dạng hàm tương quan phổ biến:

(R , R ) = expx x x d x (5.18) trong đó:

ρ(Rx, Rx + ∆x) là hệ số tương quan giữa độ bền tại vị trí x và vị trí x x ; d là khoảng cách tương quan phụ thuộc từng sự cố

Nếu mỗi vị trí có cùng chỉ số độ tin cậy thì xác suất xảy ra sự cố của hệ thống là:

P = ( ) 1 + L

(5.19)

f

trong đó:

αR = R 2 2

R

R + S

L là chiều dài của hệ thống

Công thức trên đưa ra cách đơn giản nhất để xác định ảnh hưởng của chiều dài hệ thống.