LÝ THUYẾT
A Mỗi đường tròn là một đường tròn định hướng.
B Mỗi đường tròn đã chọn một điểm là gốc đều là một đường tròn định hướng.
C Mỗi đường tròn đã chọn một chiều chuyển động và một điểm là gốc đều là một đường tròn định hướng.
Mỗi đường tròn được chọn một chiều chuyển động gọi là chiều dương, trong khi chiều ngược lại được gọi là chiều âm, tạo thành một đường tròn định hướng.
Câu 2 Quy ước chọn chiều dương của một đường tròn định hướng là:
A Luôn cùng chiều quay kim đồng hồ.
B Luôn ngược chiều quay kim đồng hồ.
C Có thể cùng chiều quay kim đồng hồ mà cũng có thể là ngược chiều quay kim đồng hồ.
D Không cùng chiều quay kim đồng hồ và cũng không ngược chiều quay kim đồng hồ.
Câu 3 Trên đường tròn định hướng, mỗi cung lượng giác AB þ xác định:
A Một góc lượng giác tia đầu OA , tia cuối OB
B Hai góc lượng giác tia đầu OA , tia cuối OB
C Bốn góc lượng giác tia đầu OA , tia cuối OB
D Vô số góc lượng giác tia đầu OA , tia cuối OB
Câu 4 Khẳng định nào sau đây là đúng khi nói về '' góc lượng giác ''?
A Trên đường tròn tâm O bán kính R = 1, góc hình học AOB là góc lượng giác.
B Trên đường tròn tâm O bán kính R = 1, góc hình học AOB có phân biệt điểm đầu A và điểm cuối B là góc lượng giác.
C Trên đường tròn định hướng, góc hình học AOB là góc lượng giác.
D Trên đường tròn định hướng, góc hình học AOB có phân biệt điểm đầu
A và điểm cuối B là góc lượng giác.
Câu 5 Khẳng định nào sau đây là đúng khi nói về '' đường tròn lượng giác ''?
A Mỗi đường tròn là một đường tròn lượng giác.
B Mỗi đường tròn có bán kính R = 1 là một đường tròn lượng giác.
C Mỗi đường tròn có bán kính R = 1, tâm trùng với gốc tọa độ là một đường tròn lượng giác.
D Mỗi đường tròn định hướng có bán kính R = 1, tâm trùng với gốc tọa độ là một đường tròn lượng giác.
ĐỔI TỪ ĐỘ SANG RADIAN VÀ NGƯỢC LẠI
Câu 6 Trên đường tròn cung có số đo 1 rad là?
A Cung có độ dài bằng 1.
B Cung tương ứng với góc ở tâm 60 0
C Cung có độ dài bằng đường kính.
D Cung có độ dài bằng nửa đường kính.
Câu 7 Khẳng định nào sau đây là đúng?
Câu 8 Khẳng định nào sau đây là đúng?
Câu 9 Nếu một cung tròn có số đo là a 0 thì số đo radian của nó là:
Câu 10 Nếu một cung tròn có số đo là 3a 0 thì số đo radian của nó là:
Câu 11 Đổi số đo của góc 70 0 sang đơn vị radian.
Câu 12 Đổi số đo của góc 108 0 sang đơn vị radian.
Câu 13 Đổi số đo của góc 45 32' 0 sang đơn vị radian với độ chính xác đến hàng phần nghìn.
Câu 14 Đổi số đo của góc 40 25' 0 sang đơn vị radian với độ chính xác đến hàng phần trăm.
Câu 15 Đổi số đo của góc - 125 45 0 ¢ sang đơn vị radian.
Câu 16 Đổi số đo của góc rad
12 p sang đơn vị độ, phút, giây.
Câu 17 Đổi số đo của góc 3 rad
- p sang đơn vị độ, phút, giây.
Câu 18 Đổi số đo của góc - 5 rad sang đơn vị độ, phút, giây.
Câu 19 Đổi số đo của góc 3 rad
4 sang đơn vị độ, phút, giây.
Câu 20 Đổi số đo của góc - 2 rad sang đơn vị độ, phút, giây.
ĐỘ DÀI CUNG TRÒN
A Số đo của cung tròn tỉ lệ với độ dài cung đó.
B Độ dài của cung tròn tỉ lệ với bán kính của nó.
C Số đo của cung tròn tỉ lệ với bán kính của nó.
D Độ dài của cung tròn tỉ lệ nghịch với số đo của cung đó.
Câu 22 Tính độ dài của cung trên đường tròn có bán kính bằng 20cm và số đo
Câu 23 Tính độ dài của cung trên đường tròn có số đo 1,5 và bán kính bằng
Câu 24 Một đường tròn có đường kính bằng 20 cm Tính độ dài của cung trên đường tròn có số đo 35 0 (lấy 2 chữ số thập phân).
Câu 25 Tính số đo cung có độ dài của cung bằng 40
3 cm trên đường tròn có bán kính 20 cm
Câu 26 Một cung tròn có độ dài bằng 2 lần bán kính Số đo radian của cung tròn đó là
Câu 27 Trên đường tròn bán kính R, cung tròn có độ dài bằng 1
6 độ dài nửa đường tròn thì có số đo (tính bằng radian) là:
Câu 28 Một cung có độ dài 10cm , có số đo bằng radian là 2,5thì đường tròn của cung đó có bán kính là:
Câu 29 Bánh xe đạp của người đi xe đạp quay được 2 vòng trong 5 giây Hỏi trong 2 giây, bánh xe quay được 1 góc bao nhiêu độ.
Câu 30 Một bánh xe có 72 răng Số đo góc mà bánh xe đã quay được khi di chuyển 10 răng là:
GÓC LƯỢNG GIÁC
Câu 32 Cho góc lượng giác 2
Câu 33 Một chiếc đồng hồ, có kim chỉ giờ OG chỉ số 9 và kim phút OP chỉ số12 Số đo của góc lượng giác ( OG OP , ) là
Trên đường tròn lượng giác, điểm gốc A và điểm M có cung lượng giác AM đo 45 độ Điểm N là điểm đối xứng của M qua trục Ox Do đó, số đo cung lượng giác AN sẽ được xác định dựa trên vị trí của M và tính chất đối xứng của N.
Câu 35 Trên đường tròn với điểm gốc là A Điểm M thuộc đường tròn sao cho cung lượng giác AM có số đo 60 0 Gọi N là điểm đối xứng với điểm
M qua trục Oy , số đo cung AN là:
Trên đường tròn lượng giác với điểm gốc A, điểm M nằm trên đường tròn sao cho cung lượng giác AM có số đo 75 độ Nếu N là điểm đối xứng với M qua gốc tọa độ O, thì số đo cung lượng giác AN sẽ là 360 độ trừ đi 75 độ, tương ứng với 285 độ.
Câu 37 Cho bốn cung (trên một đường tròn định hướng): 5 ,
6 d = p Các cung nào có điểm cuối trùng nhau:
Câu 38 Các cặp góc lượng giác sau ở trên cùng một đường tròn đơn vị, cùng
M x y tia đầu và tia cuối Hãy nêu kết quả SAI trong các kết quả sau đây:
Câu 39 Trên đường tròn lượng giác gốc A , cung lượng giác nào có các điểm biểu diễn tạo thành tam giác đều ?
Câu 40 Trên đường tròn lượng giác gốc A , cung lượng giác nào có các điểm biểu diễn tạo thành hình vuông
CHỦ ĐỀ 2 GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG
A TÓM TẮT LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
I – GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CUNG a
Trên đường tròn lượng giác, cung AM có độ dài AM = a Tung độ y = OK của điểm M được gọi là sin a, ký hiệu là sin a = OK Hoành độ x = OH của điểm M được gọi là cos a, ký hiệu là cos a = OH Nếu cos a ≠ 0, tỉ số sin a trên cos a được gọi là tang a, ký hiệu là tan a (hoặc tg a), với công thức tan a = sin a / cos a.
= a ã Nếu sin a ạ 0, tỉ số cos sin a a gọi là côtang của a và kí hiệu là cot a (người ta còn dùng kí hiệu cotg a ) cot cos sin a a
Các giá trị sin , cos , tan , cot a a a a được gọi là các giá trị lượng giác của cung a
Ta cũng gọi trục tung là trục sin, còn trục hoành là trục côsin
1) sin a và cos a xỏc định với mọi a ẻ Hơn nữa, ta cú
2) Vì - £ 1 OK £ 1; 1 - £ OH £ 1 nên ta có
3) Với mọi m ẻ mà - Ê Ê 1 m 1 đều tồn tại a và b sao cho sin a = m và cos b = m
4) tan a xác định với mọi ( )
5) cot a xỏc định với mọi a ạ k p ( k ẻ )
6) Dấu của các giá trị lượng giác của góc a phụ thuộc vào vị trí điểm cuối của cung AM þ = a trên đường tròn lượng giác.
Bảng xác định dấu của các giá trị lượng giác
Giá trị lượng giác I II III IV cos a + - - + sin a + + - - tan a + - + - cot a + - + -
3 Giá trị lượng giác của các cung đặc biệt a 0
3 1 3 Không xác định cot a Không xác định 3 1 1 3 0
II – Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA TANG VÀ CÔTANG
1 Ý nghĩa hình học của tana
Từ A vẽ tiếp tuyến t At ' với đường tròn lượng giác Ta coi tiếp tuyến này là một trục số bằng cách chọn gốc tại A
Gọi T là giao điểm của OM với trục t At ' tan a được biểu diễn bởi độ dài đại số của vectơ AT trên trục t At ' Trục
' t At được gọi là trục tang. y x t t' T
2 Ý nghĩa hình học của cota
Từ B vẽ tiếp tuyến s Bs ' với đường tròn lượng giác Ta coi tiếp tuyến này là một trục số bằng cách chọn gốc tại B
Gọi S là giao điểm của OM với trục s Bs', được biểu diễn bởi độ dài đại số của vectơ BS trên trục s Bs' Trục s Bs' được gọi là trục côtang.
III – QUAN HỆ GIỮA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC
1 Công thức lượng giác cơ bản Đối với các giá trị lượng giác, ta có các hằng đẳng thức sau
2 Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt
( ) ( ) ( )( ) cos cos sin sin tan tan cot cot a a a a a a a a
( ) sin sin cos cos tan tan cot cot p a a p a a p a a p a a
( ) sin sin cos cos tan tan cot cot a p a a p a a p a a p a
+ = - + = - + + 4) Cung phụ nhau: a và p a 2 ổ ửữ ỗ - ữ ỗ ữ ỗố ứ sin cos
2 p a a p a a p a a p a a ổ ửữ ỗ - =ữ ỗ ữ ỗố ứ ổ ửữ ỗ - =ữ ỗ ữ ỗố ứ ổ ửữ ỗ - =ữ ỗ ữ ỗố ứ ổ ửữ ỗ - =ữ ỗ ữ ỗố ứ
B PHÂN DẠNG VÀ BÀI TẬP RÈN LUYỆN KĨ NĂNG
XÁC ĐỊNH DẤU CỦA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC
Câu 2 Cho a thuộc góc phần tư thứ hai của đường tròn lượng giác Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau đây.
Câu 3 Cho a thuộc góc phần tư thứ ba của đường tròn lượng giác Khẳng định nào sau đây là sai ?
Câu 4 Cho a thuộc góc phần tư thứ tư của đường tròn lượng giác Khẳng định nào sau đây là đúng ?
Câu 5 Điểm cuối của góc lượng giác a ở góc phần tư thứ mấy nếu sin , cos a a cùng dấu?
C Thứ II hoặc IV D Thứ I hoặc III.
Câu 6 Điểm cuối của góc lượng giác a ở góc phần tư thứ mấy nếu sin , tan a a trái dấu?
A Thứ I B Thứ II hoặc IV.
C Thứ II hoặc III D Thứ I hoặc IV.
Câu 7 Điểm cuối của góc lượng giác a ở góc phần tư thứ mấy nếu cos a = - 1 sin 2 a
A Thứ II B Thứ I hoặc II.
C Thứ II hoặc III D Thứ I hoặc IV.
Câu 8 Điểm cuối của góc lượng giác a ở góc phần tư thứ mấy nếu sin 2 a = sin a
A Thứ III B Thứ I hoặc III.
C Thứ I hoặc II D Thứ III hoặc IV.
2 p a < < p Khẳng định nào sau đây đúng?
< < Khẳng định nào sau đây đúng?
< < Khẳng định nào sau đây đúng?
Câu 12 Cho p a p 2 < < Giá trị lượng giác nào sau đây luôn dương ?
2 p a < < p Khẳng định nào sau đây đúng?
2 p a p < < Xác định dấu của biểu thức
2 p a < < p Xác định dấu của biểu thức sin cot ( )
TÍNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC
Câu 16 Tính giá trị của sin 47
Câu 17 Tính giá trị của cot 89
Câu 18 Tính giá trị của cos ( 2 1 )
Câu 19 Tính giá trị của cos ( 2 1 )
Câu 20 Tính giá trị biểu thức ( 0 0 ) 0 0 0
0 cot 44 tan 226 cos 406 cot 72 cot18 cos 316
Câu 21 Tính giá trị biểu thức 2
Câu 22 Tính giá trị biểu thức cos 2 cos 2 3 cos 2 5 cos 2 7
Câu 23 Tính giá trị biểu thức P = sin 10 2 O + sin 20 2 O + sin 30 2 O + + sin 80 2 O
Câu 24 Tính giá trị biểu thức P = tan10 tan 20 tan 30 tan 80 ° ° ° °
Câu 25 Tính giá trị biểu thức P = tan1 tan2 tan3 tan89 0 0 0 0
TÍNH ĐÚNG SAI
Câu 27 Với góc a bất kì Khẳng định nào sau đây đúng?
Câu 28 Mệnh đề nào sau đây là sai?
A - £ 1 sin a £ - £ 1; 1 cos a £ 1 B tan sin cos ( 0 ) cos a a a
Câu 29 Mệnh đề nào sau đây là sai?
Câu 30 Để tan x có nghĩa khi
Câu 32 Điều kiện trong đẳng thức tan cot a a = 1 là
Câu 33 Điều kiện để biểu thức tan cot
Câu 34 Mệnh đề nào sau đây đúng?
Câu 35 Mệnh đề nào sau đây đúng?
CÁC CUNG LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT
Câu 37 Với mọi số thực a , ta có sin 9
Câu 38 Cho cos 1 a = 3 Khi đó sin 3
Cõu 39 Với mọi a ẻ thỡ tan 2017 ( p a + ) bằng
Câu 40 Đơn giản biểu thức cos sin( )
Câu 41 Rút gọn biểu thức cos sin ( ) sin cos ( )
Câu 42 Cho P = sin ( p a + ) cos ( p a - ) và sin cos
Q = ổ ỗ ỗ ỗ ố p - a ử ữ ữ ữ ứ ổ ỗ ỗ ỗ ố p + a ử ữ ữ ữ ứ Mệnh đề nào dưới đây là đúng ?
Câu 43 Biểu thức lượng giác
Câu 44 Giá trị biểu thức ( )
Câu 45 Biết rằng sin sin 13 sin
2 2 2 x p p x p ổ ử ữ ổ ử ữ ỗ - + ữ = ỗ + ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ỗ ố ứ ố ứ thỡ giỏ trị đỳng của cos x là
Câu 46 Nếu cot1,25.tan 4 ( 1,25 ) sin cos 6 ( ) 0 x 2 p x p + - ổ ỗ ỗ ỗố + ửữ ữ ữ ứ p - = thỡ tan x bằng
Câu 47 Biết A B C , , là các góc của tam giác ABC , mệnh đề nào sau đây đúng:
Câu 48 Biết A B C , , là các góc của tam giác ABC , khi đó
Câu 49 Cho tam giác ABC Khẳng định nào sau đây là sai ?
Câu 50 A , B C , là ba góc của một tam giác Hãy tìm hệ thức sai:
TÍNH BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC
Câu 52 Cho góc a thỏa mãn cos 5 a = - 3 và 3
Câu 53 Cho góc a thỏa mãn tan 4 a = - 3 và 2017 2019
Câu 54 Cho góc a thỏa mãn cos 12 a = - 13 và
Câu 55 Cho góc a thỏa mãn tan a = 2 và 180 o < < a 270 o Tính cos sin
Câu 56 Cho góc a thỏa sin 3 a = 5 và 90 O < < a 180 O Khẳng định nào sau đây đúng?
Câu 57 Cho góc a thỏa cot 3 a = 4 và 0 O < < a 90 O Khẳng định nào sau đây đúng?
Câu 58 Cho góc a thỏa mãn sin 3 a = 5 và p a p 2 < < Tính tan 2
Câu 59 Cho góc a thỏa sin 1 a = 3 và 90 0 < < a 180 0 Tính
Câu 60 Cho góc a thỏa mãn sin ( ) 1 p a + = - 3 và
Câu 61 Cho góc a thỏa mãn cos 3 a = 5 và 0
Câu 62 Cho góc a thỏa mãn cos 3 a = 5 và
Câu 63 Cho góc a thỏa mãn 2 p a p 2 < < và tan 1
4 a p ổ ửữ ỗ + = ữ ỗ ữ ỗố ứ Tớnh cos sin
Câu 64 Cho góc a thỏa mãn 2
3 a p ổ ửữ ỗ + =- ữ ỗ ữ ỗố ứ Tớnh giỏ trị của biểu thức sin cos
Câu 65 Cho góc a thỏa mãn tan 4 a = - 3 và
2 p < < a p Tính sin 2 cos 2 sin cos
Câu 66 Cho góc a thỏa mãn tan a = 2 Tính 3sin 2 cos
Câu 67 Cho góc a thỏa mãn cot 1 a = 3 Tính 3sin 4 cos
Câu 68 Cho góc a thỏa mãn tan a = 2 Tính 2 sin 2 3sin cos 2 2 4 cos 2
Câu 69 Cho góc a thỏa mãn tan 1 a = 2 Tính
Câu 70 Cho góc a thỏa mãn tan a = 5 Tính P = sin 4 a - cos 4 a
Câu 71 Cho góc a thỏa mãn sin cos 5 a + a = 4 Tính P = sin cos a a
Câu 72 Cho góc a thỏa mãn sin cos 12 a a = 25 và sin a + cos a > 0 Tính
Câu 73 Cho góc a thỏa mãn 0
< < và sin cos 5 a + a = 2 Tính sin cos
Câu 74 Cho góc a thỏa mãn sin a + cos a = m Tính P = sin a - cos a
Câu 75 Cho góc a thỏa mãn tan a + cot a = 2 Tính P = tan 2 a + cot 2 a
Câu 76 Cho góc a thỏa mãn tan a + cot a = 5 Tính P = tan 3 a + cot 3 a
Câu 77 Cho góc a thỏa mãn s n i co s 2 a + a = 2 Tính P = tan 2 a + cot 2 a
Câu 78 Cho góc a thỏa mãn p a p 2 < < và tan a - cot a = 1 Tính tan cot
Câu 79 Cho góc a thỏa mãn 3cos a + 2 sin a = 2 và sin a < 0 Tính sin a
Câu 80 Cho góc a thỏa mãn 3
RÚT GỌN BIỂU THỨC
Câu 82 Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Câu 83 Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A sin 4 x - cos 4 x = - 1 2cos 2 x B sin 4 x - cos 4 x = - 1 2sin 2 x cos 2 x
C sin 4 x - cos 4 x = - 1 2sin 2 x D sin 4 x - cos 4 x = 2cos 2 x - 1.
Câu 84 Rút gọn biểu thức M = sin 6 x + cos 6 x
Câu 85 Rút gọn biểu thức M = 2 sin ( 4 x + cos 4 x + cos sin 2 x 2 x ) ( 2 - sin 8 x + cos 8 x )
Câu 86 Rút gọn biểu thức M = tan 2 x - sin 2 x
Câu 87 Rút gọn biểu thức M = cot 2 x - cos 2 x
Câu 88 Rút gọn biểu thức M = ( 1 – sin 2 x ) cot 2 x + ( 1 – co t 2 x )
Câu 89 Rút gọn biểu thức M = sin 2 a tan 2 a + 4sin 2 a - tan 2 a + 3cos 2 a
Câu 90 Rút gọn biểu thức M = ( sin 4 x + cos 4 x - 1 tan )( 2 x + cot 2 x + 2 )
Câu 91 Đơn giản biểu thức P = sin 4 a + sin 2 a cos 2 a
Câu 92 Đơn giản biểu thức 1 sin 2 2
Câu 93 Đơn giản biểu thức 1 cos 2 1
Câu 94 Đơn giản biểu thức 1 sin 2 2 cos 2 cos 2
Câu 95 Đơn giản biểu thức 2 cos 2 1 sin cos
Câu 96 Đơn giản biểu thức ( ) sin cos 2 1 cot sin cos
Câu 97 Đơn giản biểu thức sin tan 2 cos 1 1.
Câu 98 Đơn giản biểu thức tan 1 cos 2 sin
Câu 99 Đơn giản biểu thức cot 2 2 cos 2 sin cos cot cot x x x x
Câu 100 Hệ thức nào sau đây là sai?
C sin tan 1 sin cot tan x x x x x
CHỦ ĐỀ 3 CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
A TÓM TẮT LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
( ) cos cos cos sin sin cos cos cos sin sin sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin tan tan tan 1 tan tan tan tan tan
II – CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI
2 sin 2 2 sin cos cos 2 cos sin 2 cos 1 1 2 sin
III – CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG, TỔNG THÀNH TÍCH
1 Công thức biến đổi tích thành tổng
2 Công thức biến đổi tổng thành tích cos cos 2 cos cos
B PHÂN DẠNG VÀ BÀI TẬP RÈN LUYỆN KĨ NĂNG
TÍNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC
Câu 2 Tính giá trị của biểu thức M = cos 15 4 0 - sin 15 4 0 + cos 15 2 0 - sin 15 2 0
Câu 3 Tính giá trị của biểu thức M = cos 15 6 o - sin 15 6 o
Câu 4 Giá trị của biểu thức cos cos sin sin
Câu 5 Giá trị của biểu thức
Câu 6 Giá trị đúng của biểu thức tan 225 0 0 cot 81 cot 69 0 0 0 cot 261 tan 201
Câu 7 Giá trị của biểu thức sin sin 5 sin 7 sin 11
Câu 8 Giá trị của biểu thức sin cos cos cos cos
Câu 9 Tính giá trị của biểu thức M = cos10 cos20 cos40 cos80 0 0 0 0
Câu 10 Tính giá trị của biểu thức cos 2 cos 4 cos 6
TÍNH ĐÚNG SAI
A cos ( a b - = ) sin sin a b + cos cos a b B cos ( a b + = ) sin sin a b - cos cos a b
C sin ( a b - = ) sin cos a b - cos sin a b D sin ( a b + = ) sin cos a b + cos sin a b
Câu 12 Khẳng định nào sau đây đúng?
A sin 2018 ( a ) = 2018 sin cos a a B sin 2018 ( a ) = 2018sin 1009 cos 1009 ( a ) ( a )
C sin 2018 ( a ) = 2 sin cos a a D sin 2018 ( a ) = 2 sin 1009 cos 1009 ( a ) ( a )
Câu 13 Khẳng định nào sai trong các khẳng định sau?
A cos6 a = cos 3 2 a - sin 3 2 a B cos6 a = - 1 2sin 3 2 a
Câu 14 Khẳng định nào sai trong các khẳng định sau?
Câu 15 Khẳng định nào đúng trong các khẳng định sau?
A sin cos 2 sin a + a = ổ ỗ ỗ ỗố a - ữ 4 p ửữ ữ ứ B sin cos 2 sin a + a = ổ ỗ ỗ ỗố a + ữ p 4 ửữ ữ ứ
C sin cos 2 sin a + a = - ổ ỗ ỗ ỗố a - ữ p 4 ửữ ữ ứ D sin cos 2 sin a + a = - ổ ỗ ỗ ỗố a + ữ 4 p ửữ ữ ứ
Câu 16 Có bao nhiêu đẳng thức dưới đây là đồng nhất thức?
1) cos sin 2 sin x - x = ổ ỗ ỗ ỗố x + ữ p 4 ửữ ữ ứ 2) cos sin 2 cos x - x = ổ ỗ ỗ ỗố x + ữ p 4 ửữ ữ ứ
3) cos sin 2 sin x - x = ổ ỗ ỗ ỗố x - ữ p 4 ửữ ữ ứ 4) cos sin 2 sin x - x = ổ ỗ ỗ ỗố p 4 - ữ x ửữ ữ ứ
Câu 17 Công thức nào sau đây đúng?
A cos3 a = 3cos a - 4cos 3 a B cos3 a = 4cos 3 a - 3cos a
C cos3 a = 3cos 3 a - 4cos a D cos3 a = 4cos a - 3cos 3 a
Câu 18 Công thức nào sau đây đúng?
A sin3 a = 3sin a - 4sin 3 a B sin3 a = 4sin 3 a - 3sin a
C sin3 a = 3sin 3 a - 4sin a D sin3 a = 4sin a - 3sin 3 a
Câu 19 Nếu cos ( a b + = ) 0 thì khẳng định nào sau đây đúng?
Câu 20 Nếu sin ( a b + = ) 0 thì khẳng định nào sau đây đúng?
VẬN DỤNG CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
Câu 21 Rút gọn M = sin ( x - y ) cos y + cos ( x - y ) sin y
Câu 22 Rút gọn M = cos ( a b + ) ( cos a b - - ) sin ( a b + ) ( sin a b - )
Câu 23 Rút gọn M = cos ( a b + ) ( cos a b - + ) sin ( a b + ) ( sin a b - )
Câu 24 Giá trị nào sau đây của x thỏa mãn sin 2 sin 3 x x = cos 2 cos3 x x ?
Câu 25 Đẳng thức nào sau đây đúng:
A cot cot sin ( ) sin sin a b b a a b
C sin ( ) 1 sin 2 ( ) a b + = 2 a b + D tan ( ) sin ( ) cos cos a b a b a b
Câu 26 Chọn công thức đúng trong các công thức sau:
Câu 27 Rút gọn cos cos
Câu 28 Tam giác ABC có cos 4
Câu 29 Cho A B C , , là ba góc nhọn thỏa mãn tan 1 ta n 1 tan 1
Câu 30 Cho A B C , , là các góc của tam giác ABC Khi đó sin sin sin
Câu 31 Cho A B C , , là các góc của tam giác ABC Khi đó sin 2 sin 2 sin 2
A P = 4 cos cos cos A B C B P = 4 sin sin sin A B C
C P = - 4 cos cos cos A B C D P = - 4 sin sin sin A B C
Câu 32 Cho A B C , , là các góc của tam giác ABC (không phải tam giác vuông) Khi đó P = tan A + tan B + tan C tương đương với :
C P = - tan tan tan A B C D P = tan tan tan A B C
Câu 33 Cho A B C , , là các góc của tam giác ABC
Khi đó tan tan tan tan tan tan
P = ổ ỗ ỗ ỗố ửữ ữ ữ ứ D Đỏp ỏn khỏc.
Câu 34 Trong D ABC , nếu sin 2 cos sin
C = thì D ABC là tam giác có tính chất nào sau đây?
A Cân tại B B Cân tại A C Cân tại C D Vuông tại B
Câu 35 Trong D ABC , nếu tan sin 2 2 tan sin
C = C thì D ABC là tam giác gì?
A Tam giác vuông B Tam giác cân.
C Tam giác đều D Tam giác vuông hoặc cân.
TÍNH BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC
Câu 37 Cho góc a thỏa mãn 0
Câu 39 Cho góc a thỏa mãn sin 3 a = 5 Tính sin sin
Câu 40 Cho góc a thỏa mãn sin 4 a = 5 Tính P = cos 4 a
Câu 41 Cho góc a thỏa mãn sin 2 4 a = - 5 và 3
Câu 42 Cho góc a thỏa mãn sin 2 2 a = 3 Tính P = sin 4 a + cos 4 a
Câu 43 Cho góc a thỏa mãn cos 5 a = 13 và 3 2
Câu 44 Cho góc a thỏa mãn cos 2 2 a = - 3 Tính P = + ( 1 3sin 2 a )( 1 4 cos - 2 a ).
Câu 45 Cho góc a thỏa mãn cos 3 a = 4 và 3 2
Câu 46 Cho góc a thỏa mãn cos 4 a = - 5 và 3
Câu 47 Cho góc a thỏa mãn cos 2 4 a = - 5 và
Câu 48 Cho góc a thỏa mãn cos 4 a = - 5 và 3
Câu 49 Cho góc a thỏa mãn cot 5 2
Câu 50 Cho góc a thỏa mãn cot a = 15 Tính P = sin 2 a
Câu 51 Cho góc a thỏa mãn cot a = - 3 2 và p a p 2 < < Tính tan cot
Câu 52 Cho góc a thỏa mãn tan 4 a = - 3 và 3 ;2
Câu 53 Cho góc a thỏa mãn tan a = - 2 Tính sin 2 cos 4 1
Câu 54 Cho góc a thỏa mãn tan a + cot a < 0 và sin 1 a = 5 Tính P = sin 2 a
Câu 55 Cho góc a thỏa mãn p a p 2 < < và sin a + 2 cos a = - 1 Tính P = sin 2 a
Câu 57 Nếu biết rằng sin 5 , cos 3 0
13 2 5 2 p p a = ổ ỗ ỗ ỗ ố < < a p ử ữ ữ ữ ứ b = ổ ỗ ỗ ỗ ố < < b ử ữ ữ ữ ứ thỡ giỏ trị đúng của biểu thức cos ( a b - ) là
Câu 58 Cho hai góc nhọn a ; b và biết rằng cos 1 ; cos 1
3 4 a = b = Tính giá trị của biểu thức P = cos ( a b + ) cos ( a b - )
Câu 59 Nếu a b , là hai góc nhọn và sin 1 ; sin 1
3 2 a = b = thì cos 2 ( a b + ) có giá trị bằng
< < và thỏa mãn tan 1 a = 7, tan 3 b = 4 Góc a b + có giá trị bằng
Câu 61 Cho x y , là các góc nhọn và dương thỏa mãn cot 3 , cot 1
Câu 62 Nếu a b g , , là ba góc nhọn thỏa mãn tan ( a b + ) sin g = cos g thì
Câu 63 Biết rằng tan a = 1 2 ( 0 < < a 90 0 ) và tan b = - 1 3 ( 90 0 < < b 180 0 ) thì biểu thức cos 2a b ( - ) có giá trị bằng
Câu 64 Nếu sin a - cos a = 1 5 ( 135 0 < < a 180 0 ) thì giá trị của biểu thức tan 2a bằng
Câu 65 Nếu tan ( a b + = ) 7, tan ( a b - = ) 4 thì giá trị đúng của tan 2a là
Câu 66 Nếu sin cos a ( a b + = ) sin b với , , , ( )
2 a b g + + = p và cot a + cot g = 2 cot b thì cot cot a g bằng
Câu 68 Nếu tan a và tan b là hai nghiệm của phương trình
Câu 69 Nếu tan a ; tan b là hai nghiệm của phương trình
2 0 0 x - + = px q p q ạ Và cot a ; cot b là hai nghiệm của phương trỡnh
2 0 x - + = rx s thì tích P = rs bằng
Câu 70 Nếu tan a và tan b là hai nghiệm của phương trình
2 0 0 x - + = px q q ạ thỡ giỏ trị biểu thức
RÚT GỌN BIỂU THỨC
Câu 71 Rút gọn biểu thức M = tan x - tan y
Câu 72 Rút gọn biểu thức cos 2 cos 2
Câu 73 Chọn đẳng thức đúng.
Câu 74 Gọi sin ( ) sin sin
Câu 75 Gọi M = cos x + cos 2 x + cos3 x thì
Câu 76 Rút gọn biểu thức = -
Câu 77 Rút gọn biểu thức 1 cos 2 cos 2 cos 3
Câu 78 Rút gọn biểu thức tan cot cos 2 tan cot
Câu 79 Rút gọn biểu thức 1 sin 4 cos 4
A có kết quả rút gọn bằng:
Câu 82 Rút gọn biểu thức a a a + a
A tan a B 2 tan a C tan 2 a + tan a D tan 2 a
Câu 83 Rút gọn biểu thức = - -
Câu 84 Rút gọn biểu thức = +
Câu 85 Rút gọn biểu thức A = sin cos a 5 a - sin cos 5 a a
TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
Câu 86 Tìm giá trị lớn nhất M và nhỏ nhất m của biểu thức P = 3sin x - 2.
Câu 87 Cho biểu thức 2 sin 2
P = - ổ ỗ ỗ ỗố x + + 3 p ửữ ữ ữ ứ Mệnh đề nào sau đõy là đỳng?
Câu 88 Biểu thức sin sin
P = ổ ỗ ỗ ỗố x + - 3 p ửữ ữ ữ ứ x cú tất cả bao nhiờu giỏ trị nguyờn?
Câu 89 Tìm giá trị lớn nhất M và nhỏ nhất m của biểu thức
Câu 90 Gọi M m , lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Câu 91 Cho biểu thức P = cos 4 x + sin 4 x Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Câu 92 Tìm giá trị lớn nhất M và nhỏ nhất m của biểu thức
Câu 93 Tìm giá trị lớn nhất M và nhỏ nhất m của biểu thức
Câu 94 Tìm giá trị lớn nhất M và nhỏ nhất m của biểu thức P = - 1 2 cos 3 x
Câu 95 Tìm giá trị lớn nhất M của biểu thức 4 sin 2 2 sin 2
HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP ÁN CHUYÊN ĐỀ VI CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC CÔNG THỨC
LƯỢNG GIÁC CHỦ ĐỀ 1 CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC Câu 1 Theo SGK cơ bản trang 134 ở dòng 2 Chọn D.
Câu 2 Theo SGK cơ bản trang 134 ở dòng 6 Chọn B.
Câu 3 Theo SGK cơ bản trang 134 ở dòng cuối Chọn D.
Câu 4 Theo SGK cơ bản trang 135, mục 2 Chọn D.
Câu 5 Theo SGK cơ bản trang 135, mục 3 Chọn D.
Câu 6 Cung có độ dài bằng bán kính (nửa đường kính) thì có số đó bằng 1 rad
Câu 7 p rad tướng ứng với 180 0 Chọn C.
Câu 8 Ta có p rad tướng ứng với 180 0
Suy ra 1 rad tương ứng với x 0 Vậy x 180.1
Câu 9 Áp dụng công thức
180 a p a = với a tính bằng radian, a tính bằng độ
Câu 10 Áp dụng công thức
180 a p a = với a tính bằng radian, a tính bằng độ.
Trong trường hợp này là 3 3
Câu 11 Cách 1 Áp dụng công thức
180 a p a = với a tính bằng radian, a tính bằng độ.
Bước 1 Bấm q w 4 để chuyển về chế độ radian.
Bước 2 Bấm 70 x = q B 1 = Màn hình hiện ra kết quả bất ngờ.
Câu 12 Tương tự như câu trên Chọn A.
Câu 13 Áp dụng công thức
180 a p a = với a tính bằng radian, a tính bằng độ. Trước tiên ta đổi
= ỗ ỗ ỗố + ữ ữ ứ Áp dụng công thức, ta được
Bước 1 Bấm q w 4 để chuyển về chế độ radian.
Bước 2 Bấm 45 x 32 x = q B 1 = Màn hình hiện ra kết quả bất ngờ.
Câu 14 Cách 1 Áp dụng công thức
180 a p a = với a tính bằng radian, a tính bằng độ.
= ỗ ỗ ỗố + ữ ữ ứ Áp dụng công thức, ta được
Bước 1 Bấm q w 4 để chuyển về chế độ radian.
Bước 2 Bấm 40 x 25 x = q B 1 = n Màn hình hiện ra kết quả bất ngờ.
Câu 15 Tương tự như câu trên Chọn A.
Câu 16 Cách 1 Từ công thức
180 a p a a a = ắắ đ = ổ ỗ ỗ ỗố p ửữ ữ ữ ứ với a tớnh bằng radian, a tính bằng độ.
Bước 1 Bấm qw3 để chuyển về chế độ độ, phút, giây.
Màn hình hiện ra kết quả bất ngờ.
Bước 1 Bấm qw3 để chuyển về chế độ độ, phút, giây.
Bước 2 Bấm (z3qLP16)qB2=nx
Bước 1 Bấm qw3 để chuyển về chế độ độ, phút, giây.
Câu 19 Tương tự như câu trên Chọn D.
Câu 20 Tương tự như câu trên Chọn C.
Cõu 21 Từ cụng thức = R a ắắ đ là a tỷ lệ nhau Chọn A.
Câu 22 Áp dụng công thức 20.
Câu 23 Ta có = a R = 1,5.20 30 = cm Chọn A.
Câu 24 Cung có số đo 35 0 thì có số đó radian là 35 7
Câu 29 Trong 2 giây bánh xe đạp quay được 2.2 4
5 = 5 vòng tức là quay được cung có độ dài là 4
Câu 30 72răng có chiều dài là 2 p R nên 10răng có chiều dài
Cách khác: 72 răng tương ứng với 360 0 nên 10 răng tương ứng với
Cõu 31 Theo đề ( Ox Oy , ) = 1822 30 ' 0 ắắ đ 22 30 ' 0 + k 36 0 0 = 1822 30 ' 0 ắắ đ = k 5.
Câu 33 Góc lượng giác ( OG OP , ) chiếm 1
4 đường tròn Số đo là 1 2 2
Câu 34 Vì số đo cung AM bằng 45 0 nên AOM = 45 0 , N là điểm đối xứng với
M qua trục Ox nên AON = 45 0 Do đó số đo cung AN bằng 45 o nên số đo cung lượng giỏc AN cú số đo là - 45 o + k 360 , o k ẻ
Câu 35 Ta có AOM = 60 0 , MON = 60 0
Khi đó số đo cung AN bằng 120 0
Câu 36 Ta có AOM = 75 0 , MON = 180 0
Nên cung lượng giác AN có số đo bằng
Cõu 37 Cỏch 1 Ta cú d a - = 4 p ị hai cung a và d cú điểm cuối trựng nhau
Và g b - = 8 p ị hai cung b và g cú điểm cuối trựng nhau
Cách 2 Gọi A B C D , , , là điểm cuối của các cung a b g d , , ,
Biểu diễn các cung trên đường tròn lượng giác ta có B C A D º , º Chọn B.
Câu 38 Cặp góc lượng giác a và b ở trên cùng một đường tròn đơn vị, cùng tia đầu và tia cuối Khi đú a = + b k 2 p , k ẻ hay
Dễ thấy, ở đáp án B vì
Câu 39 Tam giác đều có góc ở đỉnh là 60 o nên góc ở tâm là 120 o tương ứng
Câu 40 Hình vẽ tham khảo (hình vẽ bên).
Hình vuông CDEF có góc DCE là 45 o nên góc ở tâm là 90 o tương ứng
CHỦ ĐỀ 2 GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG
Câu 1 a thuộc góc phần tư thứ nhất sin 0 cos 0 tan 0 cot 0 a a a a ì > ùùù ù > đ ùù ớù ùùù ùùợ > > ắắ đ
Câu 2 a thuộc góc phần tư thứ hai sin 0 cos 0 a a ì > đ ùù ớù ùợ < ắắ đ Chọn C.
Câu 3 a thuộc góc phần tư thứ hai sin 0 cos 0 tan 0 cot 0 a a a a ì < ùùù ù < đ ùù ớù ùùù ùùợ > > ắắ đ
Câu 4 a thuộc góc phần tư thứ hai sin 0 cos 0 tan 0 cot 0 a a a a ì < ùùù ù > đ ùù ớù ùùù ùùợ < < ắắ đ
Câu 7 Đẳng thức cos a = -1 sin 2 a dẫn đến cos a = cos 2 a, từ đó suy ra cos a = cos a Điều này cho thấy cos a có giá trị lớn hơn hoặc bằng 0, nghĩa là điểm cuối của gốc lượng giác a nằm ở góc phần tư thứ I hoặc IV Chọn D.
Câu 8 Ta có sin 2 a Û sin a Û sin a = sin a Đẳng thức sin a = sin a ắắ đ sin a ³ ắắ 0 đ điểm cuối của gúc lượng giỏc a ở góc phần tư thứ I hoặc II Chọn C.
2 p a < < p ắắ đđiểm cuối cung a p - thuộc gúc phần tư thứ I tan 0 cot 0 a a ì > ắắ đớù ùù ùợ > Chọn A.
< < đ - < - ùùợ
2 p a a ổ ửữ ỗ - = ữ ỗ ữ ỗố ứ cos ( ) - = a cos ; a tan ( p a + = ) tan a
2 2 p a p p a p p a p a p p a p p a ỡ ổ ử ù ữ ù < < đ ữ ù ỗ ỗ ữ ù ố ứ ùớ ùùù < < đ < - < ắắđ - > ùùợ 0. ắắ đ > M Chọn B.
2 2 p p p p p p a a p p a a p p p a p p a p a ỡ ổ ử ù ữ ù < < đ - ùùớ ù < ùợ nờn sin a - cos a > 0.
Ta có ( sin cos ) 2 1 sin 2 1 4 9
Do sin a - cos a > 0 nên sin cos 3 a - a = 5 Vậy 3
Ta có P = sin 4 a + c os 4 a = ( sin 2 a + c os 2 a ) 2 - 2 sin 2 a c os 2 a = - 1 1 2 si n 2 2 a = 7 9
Câu 43 Ta có tan 2 sin 2 2 sin cos 2 cos 2 2 cos 1
Từ hệ thức sin 2 a + cos 2 a = 1, suy ra sin 1 cos 2 12 a = ± - a = ± 13.
Thay sin 12 a = - 13 và cos 5 a = 13 vào P , ta được 120
Câu 44 Ta có 1 3 1 cos 2 1 4 1 cos 2 5 3 cos 2 ( 1 2 cos 2 )
Thay cos 2 2 a = - 3 vào P , ta được 5 1 1 4 7
Câu 45 Ta có cos cos cos sin sin 1 cos 3 sin
Từ hệ thức sin 2 a + cos 2 a = 1, suy ra sin 1 cos 2 7 a = ± - a = ± 4
Thay sin 7 a = - 4 và cos 3 a = 4 vào P , ta được
Câu 46 Ta có tan tan 1
Từ hệ thức sin 2 a + cos 2 a = 1, suy ra sin 1 cos 2 3 a = ± - a = ± 5.
2 p a < < p nên ta chọn sin 3 a = - 5 Suy ra tan sin 3 cos 4 a a
= a = Thay tan 3 a = 4 vào P , ta được 1
Câu 47 Ta có cos 2 2 ( cos 2 sin 2 )
Từ hệ thức sin 2 2 a + cos 2 2 a = 1, suy ra sin 2 1 cos 2 2 3 a = ± - a = ± 5.
Thay sin 2 3 a = 5 và cos 2 4 a = - 5 vào P , ta được 2
Câu 48 Ta có sin cos 3 1 ( sin 2 sin ) 1 sin ( 2 cos 1 )
Từ hệ thức sin 2 a + cos 2 a = 1, suy ra sin 1 cos 2 3 a = ± - a = ± 5.
Thay sin 3 a = - 5 và cos 4 a = - 5 vào P , ta được 39
Câu 49 Ta có tan tan tan 4 tan 1
Từ giả thiết cot 5 2 cot 2 2 cot 2 tan 2
Thay tan a = 2 vào P , ta được P = - 3 Chọn C.
Câu 50 Ta có cot 15 cos 15 cos 15sin sin a a a a
2 2 sin 2 cos 2 sin 2 cos 2 2 tan cot
2 2 cos sin sin cos sin
Từ hệ thức 1 cot 2 1 2 sin 1 sin 19 a a
Do sin 0 p a p 2 < < ắắ đ a > nờn ta chọn sin 1 2 19.
Câu 52 Ta có P 2 = + 1 sin a Với 3 ;2 3 ;
Từ hệ thức sin 2 a + cos 2 a = 1, suy ra sin 2 1 cos 2 1 1 2 16
2 a ẻỗỗ ổ ỗ ố p p ự ỳ ỳ ỷ nờn ta chọn sin 4 a = - 5.
Thay sin 4 a = - 5 vào P 2 , ta được 2 1
Câu 53 Ta có sin 2 sin 2 2 cos 4 1 2 cos 2
Nhắc lại công thức: Nếu đặt t = tan a thì sin 2 2 2
Thay sin 2 4 a = - 5 và cos 2 3 a = - 5 vào P , ta được 10
Câu 54 Ta có A = sin 2 a = 2 sin cos a a
Từ hệ thức cot 2 1 1 2 25 cot 2 24 cot 2 6 a sin a a
Vì tan a , cot a cùng dấu và tan a + cot a < 0 nên tan a < 0, cot a < 0.
Do đó ta chọn cot a = - 2 6 Suy ra cos cot sin 2 6 a = a a = - 5
Thay sin 1 a = 5 và cos 2 6 a = - 5 vào P , ta được
Câu 55 Với p a p 2 < < suy ra sin 0 cos 0 a a ì > ùùớ ù < ùợ
Ta có sin 2 2 cos 2 1 ( 1 2 cos ) 2 cos 2 1 sin cos 1 a a a a a a ì + = - ùù ị - - + = ớù + = ùợ
5cos 4 cos 0 4 cos 5 a a a a é = Û + = Û ờ ờờ ờở = -
Từ hệ thức sin 2 a + cos 2 a = 1, suy ra sin 3 a = 5 (do sin a > 0).
Câu 56 Ta có cos 2 1 sin 2 1 5 2 144
Khi đó sin ( ) sin cos sin cos 5 3 12 4 33
Câu 57 Ta có sin 5 a = 13 với
Tương tự, có cos 3 b = 5 với 0
Vậy cos ( ) cos cos sin sin 12 3 5 4 16
( ) ( ) ( )( ) cos cos cos cos sin sin cos cos sin sin
( cos cos a b ) ( 2 sin sin a b ) 2 cos cos 2 a 2 b ( 1 cos 2 a ) ( 1 cos 2 b )
Câu 59 Vì , 0; a b ẻ ổ ỗ ỗ ỗố ứ 2 p ửữ ữ ữ nờn suy ra
2 2 a a b b ỡù ổ ử ù ữ ù = - = - ỗ ỗ ữ = ù ỗ ữ ù ố ứ ùùớ ùù ổ ử ù = - = - ỗ ữ = ù ỗ ữ ữ ù ỗố ứ ùùợ
Khi đó cos ( ) cos cos sin sin 2 2 3 1 1 1 2 6
< < suy ra 0 < + < x y p Do đó 3 x + = y 4 p Chọn B.
Cõu 62 Ta cú tan ( a b + ) sin g = cos g ị sin ( a b + ) sin g = cos ( a b + ) cos g
( ) ( ) ( ) cos a b cos g sin a b sin g 0 cos a b g 0. ị + - + = ị + + =
2 a b g + + = p (vì a b g , , là ba góc nhọn) Chọn C.
+ + ữ ổ ửữ ỗ ỗ ữ ỗố ứ suy ra sin 2 1 cos 2 2 4 a = - a = 5
Mặt khác sin tan cos 1 3 1
Khi đócos 2 ( ) cos 2 cos sin 2 sin 3 3 4 1 1
Câu 64 Ta có sin cos 1 ( sin cos ) 2 1 1 sin 2 1 sin 2 24
Vậy giá trị của biểu thức tan 2 sin 2 24 cos 2 7 a a
Cõu 66 Ta cú sin cos a ( a b + = ) sin b = sin ộ ở ( a b a + - ) ự ỷ
( ) ( ) ( ) sin cos a a b sin a b cos a cos a b sin a Û + = + - +
2 sin cos sin cos 2 2 tan cos cos a b a a a b a b a a a b a Û + = + ị + = =
Câu 67 Từ giả thiết, ta có ( )
Suy ra cot cot 2 cot 2.cot ( ) 2.tan ( ) 2 tan tan
1 1 tan tan cot cot cot cot
1 tan tan 1 cot cot 1 cot cot a g a g a g a g a g a g
- - - nên suy ra cot cot cot cot 2 cot cot 1 2 cot cot 3. cot cot 1 a g a + g = a + g - Û a g - = Û a g = Chọn C.
Câu 68 Vì tan , tan a b là hai nghiệm của phương trình x 2 + + = px q 0 nên theo định lí Viet, ta có tan tan tan tan p q a b a b ì + = - ùùớ ù = ùợ Khi đú
Câu 69 Theo định lí Viet, ta có tan tan tan tan p q a b a b ì + = ùùớ ù = ùợ và cot cot cot cot r s a b a b ì + = ùùớ ù = ùợ
Khi đó ( cot cot ) cot cot 1 1 1 1 tan tan tan tan
Trong phương trình x² - px + q = 0, hai nghiệm tan a và tan b được xác định theo định lý Viet Theo đó, tổng và tích của hai nghiệm có thể được biểu diễn bằng công thức: tan a + tan b = p và tan a * tan b = q.
Khi đú P = cos 2 ( a b + ) 1 ộ ờ ở + p tan ( a b + + ) q tan 2 ( a b + ) ự ỳ ỷ
Câu 71 Ta có tan tan sin sin sin cos cos sin sin ( ) cos cos cos cos cos cos x y x y x y x y
4 p a ổ ửữ ỗ - ữ ỗ ữ ỗố ứ và p a 4 ổ ửữ ỗ + ữ ỗ ữ ỗố ứ phụ nhau nờn cos sin
Suy ra cos 2 cos 2 cos 2 sin 2
1 cos 2 1 sin 1 sin cos 4 2 2 2 2 a a a a Chọn A.
= sin cos - cos sin = sin cos - cos sin = cos - cos = - cot cot sin sin sin sin sin sin sin sin y x y x y x y x x y x y x y x y x y x y
Câu 75 Ta có: M = cos x + cos 2 x + cos 3 x = ( cos x + cos 3 x ) + cos 2 x
2 cos 2 cos x x cos 2 x cos 2 2 cos x x 1
Câu 76 Ta có: sin 3 2 sin 2 cos 2 sin 2 sin cos 2
1 cos 2 cos cos 3 2cos 2cos 2 cos cos cos 2
2cos ( cos cos 2 ) 2cos cos cos 2
2 2 2 2 sin cos sin cos sin cos cos sin sin cos sin cos cos 2 sin cos sin cos sin cos cos sin sin cos a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
Do đó A = - cos 2 a + cos 2 a = 0 Chọn A.
1 2sin 2 2sin 2 cos 2 2sin 2 (sin 2 cos 2 ) tan 2
1 2cos 2 2 2cos 2 (sin 2 cos 2 ) cos 4 sin 4 cos 4 sin 4 sin 2 cos 2
Câu 80 Ta có cos 2 a = - 1 2sin 2 a ;cos 4 a = 2cos 2 2 a - = 1 2 1 ( - 2sin 2 a ) 2 - 1 Do đó:
3 4 1 2 sin 2 1 2 sin 1 8 sin 8 sin 8 sin tan
2 2 4 sin 2 4 sin 4 sin cos 4 sin
4 sin 2 4 sin 4(1 sin ) 4 sin cos sin sin tan cos (1 sin ) cos
Do đó giá trị của biểu thức A tại
2 sin 2 os 1 sin 2 os 1 sin 2 sin
1 os2 os 2 os os os 2 os 1 c c
2 sin cos cos cos 2 sin 1 cos a a a a a
2 , sin sin 2 sin cos cos 1 cos 2 cos
Câu 85 Ta có sin cos a 5 a - sin 5 a cos a = sin cos a a ( cos 4 a - sin 4 a )
1 sin 2 cos sin cos sin
1 sin 2 cos sin 1 sin 2 cos 2 1 sin 4
Cõu 86 Ta cú - Ê 1 sin x Ê ắắ 1 đ- Ê 3 3sin x Ê ắắ 3 đ- Ê 5 3sin x - Ê 2 1
P M m ỡ = ùù ắắ đ- Ê Ê ắắ đớù =- ùợ Chọn A.
Câu 87 Ta có 1 sin 1 2 2 sin 2
4 2 sin 2 0 4 0. x 3 p P ổ ửữ ắắ đ ³- ỗ ỗ ỗố + + ³ ắắ ữ ữ ứ đ ³ ³ Chọn C.
Câu 88 Áp dụng công thức sin sin 2 cos sin
2 2 a b a b a - b = + - , ta có sin sin 2 cos sin cos
Câu 89 Ta có P = sin 2 x + 2 cos 2 x = ( sin 2 x + cos 2 x ) + cos 2 x = + 1 cos 2 x
- Ê Ê ắắ đ Ê Ê ắắ đ Ê + Ê ắắ đớù = ùợ Chọn C.
Câu 90 Ta có P = 8sin 2 x + 3cos 2 x = 8sin 2 x + 3 1 2 sin ( - 2 x ) = 2 sin 2 x + 3
Mà - Ê 1 sin x Ê ắắ 1 đ Ê 0 sin 2 x Ê ắắ 1 đ Ê 3 2 sin 2 x + Ê 3 5
P M T M m m ỡ = ùù ắắ đ Ê Ê ắắ đ ớù = ùợ ắắ đ = - = Chọn A.
Câu 91 Ta có P = cos 4 x + sin 4 x = ( sin 2 x + cos 2 x ) 2 - 2 sin 2 x cos 2 x = - 1 1 2 sin 2 2 x
Câu 92 Ta có P = sin 4 x - cos 4 x = ( sin 2 x + cos 2 x )( sin 2 x - cos 2 x ) = - cos 2 x
- Ê Ê ắắ đ- ³- ³ ắắ đ- Ê Ê ắắ đớù =- ùợ Chọn C.
Câu 93 Ta có P = sin 6 x + cos 6 x = ( sin 2 x + cos 2 x ) 2 - 3sin 2 x cos 2 x ( sin 2 x + cos 2 x )
