ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH
Câu 2 Tìm điều kiện xác định của bất phương trình 1 2 4
Câu 3 Tìm điều kiện xác định của bất phương trình
Câu 4 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số để hàm số m có tập xác định là một đoạn trên trục số.
Câu 5 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số có tập xác định là một đoạn trên trục số.
CẶP BẤT PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG
Câu 6 Bất phương trình 2 3 3 3 tương đương với
Câu 7 Bất phương trình 2 3 5 3 tương đương với:
Câu 8 Bất phương trình 2 x - ³ 1 0 tương đương với bất phương trình nào sau đây?
Câu 9 Cặp bất phương trình nào sau đây là tương đương?
Câu 10 Bất phương trình nào sau đây tương đương với bất phương trình
Câu 11 Bất phương trình ( x + 1 ) x £ 0 tương đương với
Câu 12 Bất phương trình x - ³ 1 x tương đương với
Câu 13 Với giá trị nào của thì hai a bất phương trình ( a + 1 ) x a - + > 2 0 và tương đương:
Câu 14 Với giá trị nào của m thì hai bất phương trình ( m + 2 ) x £ + m 1 và tương đương:
Câu 15 Với giá trị nào của m thì hai bất phương trình ( m + 3 ) x ³ 3 m - 6 và tương đương:
BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN
Câu 16 Bất phương trình ax + > b 0 vô nghiệm khi:
Câu 17 Bất phương trình ax + > b 0 có tập nghiệm là khi:
Câu 18 Bất phương trình ax b + £ 0 vô nghiệm khi:
Câu 19 Tập nghiệm của bất phương trình S 5 1 2 3 là:
Câu 20 Bất phương trình 3 5 1 2 có bao nhiêu nghiệm nguyên lớn hơn
Câu 21 Tập nghiệm của bất phương trình S ( 1 - 2 ) x < - 3 2 2 là:
Câu 22 Tổng các nghiệm nguyên của bất phương trình trên đoạn bằng:
Câu 23 Bất phương trình ( 2 x - 1 )( x + - + £ - 3 ) 3 x 1 ( x 1 )( x + + - 3 ) x 2 5 có tập nghiệm
Câu 24 Tập nghiệm của bất phương trình S 5 ( x + - 1 ) ( x 7 - >- x ) 2 x là:
Câu 25 Tập nghiệm của bất phương trình S ( x + 3 ) ( 2 ³ - x 3 ) 2 + 2 là:
Câu 26 Tập nghiệm của bất phương trình S ( x - + - 1 ) ( 2 x 3 ) 2 + < + - 15 x 2 ( x 4 ) 2 là:
Câu 27 Tập nghiệm của bất phương trình S x + x < ( 2 x + 3 )( x - 1 ) là:
Câu 28 Tập nghiệm của bất phương trình S x + x - £ + 2 2 x - 2 là:
Câu 29 Tổng các nghiệm nguyên của bất phương trình 2 4 bằng:
Câu 30 Tập nghiệm của bất phương trình S ( x - 3 ) x - ³ 2 0 là:
Câu 31 Bất phương trình ( m - 1 ) x > 3 vô nghiệm khi
Câu 32 Bất phương trình ( m 2 - 3 m x ) + < - m 2 2 x vô nghiệm khi
Câu 33 Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để bất phương trình vô nghiệm.
Câu 34 Gọi là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số để bất phương S m trình ( m 2 - m x ) + < - m 6 x 2 vô nghiệm Tổng các phần tử trong bằng: S
Câu 35 Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để bất phương trình vô nghiệm.
Câu 36 Bất phương trình ( m 2 + 9 ) x + ³ 3 m ( 1 6 - x ) nghiệm đúng với mọi khi x
Câu 37 Bất phương trình 4 m 2 ( 2 x - 1 ) ³ ( 4 m 2 + 5 m + 9 ) x - 12 m nghiệm đúng với mọi khi x
Câu 38 Bất phương trình m x 2 ( - 1 ) ³ 9 x + 3 m nghiệm đúng với mọi khi x
Câu 39 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình có tập nghiệm là
Câu 40 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình có tập nghiệm là
Câu 41 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình có nghiệm.
Câu 42 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình có nghiệm.
Câu 43 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình có nghiệm.
Câu 44 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình có nghiệm.
Câu 45 Gọi là tập nghiệm của bất phương trình S mx + < 6 2 x + 3 m với m < 2 Hỏi tập hợp nào sau đây là phần bù của tập ? S
Câu 46 Tìm giá trị thực của tham số để bất phương trình m m ( 2 x - 1 )³ + 2 x 1 có tập nghiệm là [ 1; +¥ )
Câu 47 Tìm giá trị thực của tham số m để bất phương trình 2 x m - < 3 ( x - 1 ) có tập nghiệm là ( 4; +¥)
Câu 48 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình mx + > 4 0 nghiệm đúng với mọi x < 8.
Câu 49 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi
Câu 50 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình có nghiệm
HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN
Câu 51 Tập nghiệm của hệ bất phương trình S 2 0 là:
Câu 52 Tập nghiệm của hệ bất phương trình S là:
Câu 53 Tập nghiệm của hệ bất phương trình S là:
Câu 54 Tập nghiệm của hệ bất phương trình S là:
Câu 55 Tập 1; 3 là tập nghiệm của hệ bất phương trình sau đây ?
Câu 56 Tập nghiệm của bất phương trình S ( ) là:
Câu 57 Biết rằng bất phương trình có tập nghiệm là một đoạn
Câu 58 Số nghiệm nguyên của hệ bất phương trình là:
Câu 59 Tổng tất cả các nghiệm nguyên của bất phương trình
Câu 60 Cho bất phương trình ( ) Tổng nghiệm
2 6 13 9 x x x x x x x ỡù - Ê - + ùùớ ù + < + + + ùùợ nguyên lớn nhất và nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình bằng:
Câu 61 Hệ bất phương trình 2 1 0 có nghiệm khi và chỉ khi:
Câu 62 Hệ bất phương trình ( ) có nghiệm khi và chỉ khi:
Câu 63 Hệ bất phương trình 2 1 0 có nghiệm khi và chỉ khi:
Câu 64 Hệ bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi:
Câu 65 Hệ bất phương trình ( ) có nghiệm khi và chỉ khi:
2 2 1 m mx m mx m ỡù - < ùớ ù - ³ + ùợ
Câu 66 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hệ bất phương trình có nghiệm duy nhất.
Câu 67 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ bất phương trình có nghiệm duy nhất.
Câu 68 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hệ bất phương trình có nghiệm duy nhất.
Câu 69 Tìm giá trị thực của tham số m để hệ bất phương trình có nghiệm duy nhất.
Câu 70 Tìm giá trị thực của tham số để hệ bất phương trình m có nghiệm duy nhất.
Câu 71 Hệ bất phương trình 3 4 9 vô nghiệm khi và chỉ khi:
Câu 72 Hệ bất phương trình 2 7 8 1 vô nghiệm khi và chỉ khi:
Câu 73 Hệ bất phương trình ( ) vô nghiệm khi và chỉ khi:
Câu 74 Hệ bất phương trình ( ) ( ) vô nghiệm khi và chỉ khi:
1 2 x x x x mx m x m ì + ³ - ùùù ùù + Ê - + ớùù ù + > - + ùùợ
Câu 75 Hệ bất phương trình 2 ( 3 ) ( 5 4 ) vô nghiệm khi và chỉ khi:
CHỦ ĐỀ 3 DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT
A TÓM TẮT LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
I – ĐỊNH LÍ VỀ DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT
Nhị thức bậc nhất đối với là biểu thức dạng x f x ( )= + ax b trong đó a b , là hai số đó cho, a ạ 0.
2 Dấu của nhị thức bậc nhất Định lí
Nhị thức f(x) = ax + b có giá trị cùng dấu với hệ số a khi x nằm trong khoảng b; ngược lại, nó có giá trị trái dấu với hệ số a khi x nằm trong khoảng a.
( ) f x = + ax b trái dấu với cùng dấu với a 0 a
Minh họa bằng đồ thị
II – XÉT DẤU TÍCH, THƯƠNG CÁC NHỊ THỨC BẬC NHẤT
Giả sử f(x) là một tích của các nhị thức bậc nhất, chúng ta có thể áp dụng định lý về dấu của nhị thức bậc nhất để phân tích dấu từng nhân tử Bằng cách lập bảng xét dấu chung cho tất cả các nhị thức bậc nhất trong f(x), ta có thể suy ra được dấu của hàm số Tương tự, trong trường hợp f(x) là một thương, chúng ta cũng thực hiện xét dấu theo cách tương tự.
III – ÁP DỤNG VÀO GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH
Giải bất phương trình f(x) > 0 thực chất là xác định những giá trị của x mà biểu thức f(x) dương, từ đó cũng có thể suy ra các giá trị x mà f(x) âm Quá trình này giúp chúng ta phân tích dấu của biểu thức f(x).
1 Bất phương trình tích, bất phương trình chứa ẩn ở mẫu thức
Ví dụ Giải bất phương trình 1 1.
Ta biến đổi tương đương bất phương trình đã cho
Ta suy ra nghiệm của bất phương trình đã cho là 0 £ < x 1.
2 Bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối
Ví dụ Giải bất phương trình - + + - < 2 x 1 x 3 5.
Theo định nghĩa giá trị tuyệt đối, ta có
Do đó, ta xét phương trình trong hai khoảng a) Với 1 ta có hệ bất phương trình hay x £ 2
Hệ này có nghiệm là 7 1 x 2
- < £ b) Với 1 ta có hệ bất phương trình hay x > 2
Hệ này có nghiệm là 1 3.
Tổng hợp lại tập nghiệm của bất phương trình đã cho là hợp của hai khoảng
Kết luận Bất phương trình đã cho có nghiệm là - < < 7 x 3.
Bằng cách áp dụng tính chất của giá trị tuyệt đối ta có thể dễ dàng giải các bất phương trình dạng f x ( ) £ a và f x ( )³ a với a > 0 đã cho.
B PHÂN DẠNG VÀ BÀI TẬP RÈN LUYỆN KĨ NĂNG
XÉT DẤU NHỊ THỨC BẬC NHẤT
Câu 1 Cho biểu thức f x ( )= - 2 x 4 Tập hợp tất cả các giá trị của x để ( ) 0 là f x ³
Câu 2 Cho biểu thức f x ( ) ( = + x 5 3 )( - x ) Tập hợp tất cả các giá trị của thỏa x mãn bất phương trình f x ( ) £ 0 là
Câu 3 Cho biểu thức f x ( ) = x x ( - 2 3 )( - x ) Tập hợp tất cả các giá trị của x thỏa mãn bất phương trình f x ( ) < 0 là
Câu 4 Cho biểu thức f x ( ) = 9 x 2 - 1 Tập hợp tất cả các giá trị của x để ( ) 0 là f x 0 là
Câu 8 Cho biểu thức ( ) ( 4 8 2 )( ) Tập hợp tất cả các giá trị của
= - x thỏa mãn bất phương trình f x ( )³ 0 là
Câu 9 Cho biểu thức ( ) ( ) Tập hợp tất cả các giá trị của thỏa
- - x mãn bất phương trình f x ( ) ³ 0 là
Câu 10 Cho biểu thức ( ) 4 2 12 Tập hợp tất cả các giá trị của thỏa
= - - x mãn bất phương trình f x ( ) £ 0 là
Câu 11 Cho biểu thức ( ) 2 2 Tập hợp tất cả các giá trị của thỏa
= - + + x mãn bất phương trình f x ( ) < 0 là
Câu 12 Cho biểu thức ( ) 1 2 Tập hợp tất cả các giá trị của thỏa
- x mãn bất phương trình f x ( )£ 0 là
Câu 13 Cho biểu thức ( ) 4 3 Tập hợp tất cả các giá trị của
+ - x thỏa mãn bất phương trình f x ( )> 0 là
Câu 14 Cho biểu thức ( ) 1 2 3 Tập hợp tất cả các giá trị của
+ + x thỏa mãn bất phương trình f x ( )< 0 là
Câu 15 Cho biểu thức ( ) ( )( ) Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị
= - nguyên âm của thỏa mãn bất phương trình x f x ( ) < 1 ?
BẤT PHƯƠNG TRÌNH TÍCH
Câu 17 Tập nghiệm S = - ( 4;5 ) là tập nghiệm của bất phương trình nào sau đây?
Câu 18 Tổng các nghiệm nguyên của bất phương trình ( x + 3 )( x - £ 1 ) 0 là
Câu 19 Tập nghiệm S = [ ] 0;5 là tập nghiệm của bất phương trình nào sau đây ?
Câu 20 Nghiệm nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình x x ( - 2 )( x + > 1 ) 0 là
Câu 21 Tập nghiệm S = -¥ È ( ;3 ) ( ) 5;7 là tập nghiệm của bất phương trình nào sau đây ?
Câu 22 Hỏi bất phương trình ( 2 - x x )( + 1 3 )( - £ x ) 0 có tất cả bao nhiêu nghiệm nguyên dương ?
Câu 23 Tích của nghiệm nguyên âm lớn nhất và nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của bất phương trình ( 3 x - 6 )( x - 2 )( x + 2 )( x - > 1 ) 0 là
Câu 24 Tập nghiệm của bất phương trình 2 4 x ( - x )( 3 - x )( 3 + > x ) 0 là
A Một khoảng B Hợp của hai khoảng
C Hợp của ba khoảng D Toàn trục số.
Câu 25 Nghiệm nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình
BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU
Câu 26 Bất phương trình 2 0 có tập nghiệm là
Câu 27 Tập nghiệm của bất phương trình ( 3 )( 2 ) 0 là
Câu 28 Bất phương trình 3 1 có tập nghiệm là
Câu 29 Tập nghiệm của bất phương trình 2 2 3 1 là
Câu 30 Bất phương trình 4 2 0 có tập nghiệm là
Câu 31 Bất phương trình 3 5 có tập nghiệm là
Câu 32 Bất phương trình 2 1 2 có tập nghiệm là
Câu 33 Bất phương trình 1 2 3 có tập nghiệm là
Câu 34 Bất phương trình có tập nghiệm là
Câu 35 Bất phương trình 2 4 2 4 2 có nghiệm nguyên lớn nhất là
BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA TRỊ TUYỆT ĐỐI
Câu 36 Tất cả các giá trị của thoả mãn x x - < 1 1 là
Câu 37 Nghiệm của bất phương trình 2 x - £ 3 1 là
Câu 38 Bất phương trình 3 x - £ 4 2 có nghiệm là
Câu 39 Bất phương trình 1 3 - x > 2 có nghiệm là
Câu 40 Tập nghiệm của bất phương trình x - > - 3 1 là
Câu 41 Tập nghiệm của bất phương trình 5 x - ³ 4 6 có dạng
Câu 42 Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên x thỏa mãn bất phương trình
Câu 43 Số nghiệm nguyên của bất phương trình 1 £ - £ x 2 4 là
Câu 44 Bất phương trình : 3 x - £ 3 2 x + 1 có nghiệm là
Câu 45 Bất phương trình x - > 3 2 x + 4 có nghiệm là
3 ổ ửữ ỗ- - ữ ỗ ữ ỗố ứ (-Ơ - ẩ - +Ơữ ; 7 ) ổ ỗ ỗ ỗố 1 3 ; ửữ ữ ứ
Câu 46 Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên trong x [- 2017;2017 ] thỏa mãn bất phương trình 2 x + < 1 3 x ?
Câu 47 Số nghiệm nguyên thỏa mãn bất phương trình x + ³ 12 2 x - 4 là
Câu 48 Bất phương trình 3 x - ³ - 4 x 3 có nghiệm là
Câu 49 Tập nghiệm của bất phương trình 1 1 là
S = - +Ơữ ổ ỗ ỗ ỗố 2 ửữ ữ ứ S = -Ơ - ẩ - +Ơữ( ; 2 ) ổ ỗ ỗ ỗố 1 2 ; ửữ ữ ứ
Câu 50 Nghiệm của bất phương trình x 2 x 2 là x
Câu 51 Số nghiệm nguyên thỏa mãn bất phương trình x + + - + £ + 2 2 x 1 x 1 là
Câu 52 Bất phương trình 2 1 3 có tập nghiệm là x + - - < - x x 2
Câu 53 Tập nghiệm của bất phương trình x + - - ³ 1 x 2 3 là
Câu 54 Tập nghiệm của bất phương trình 5 10 là
A một khoảng B hai khoảng C ba khoảng D toàn trục số.
Câu 55 Số nghiệm nguyên của bất phương trình 2 3 1 là
CHỦ ĐỀ 4 BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
A TÓM TẮT LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
I – BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x y , có dạng tổng quát là
( ax by + < c ax by ; + ³ c ax by ; + > c ) trong đó a b c , , là những số thực đã cho, và không đồng thời bằng a b 0, x và là các ẩn số y
II – BIỂU DIỄN TẬP NGHIỆM CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn có vô số nghiệm, tương tự như bất phương trình bậc nhất một ẩn Để mô tả tập nghiệm của loại bất phương trình này, chúng ta thường sử dụng phương pháp biểu diễn hình học.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm của bất phương trình ( ) 1 được gọi là miền nghiệm của nó.
Quy tắc thực hành biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình ax + by + c ≤ 0 (cũng như bất phương trình ax + by + c ≥ 0) được thiết lập như sau.
Bước 1 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , vẽ đường thẳng : D ax by + = c
Bước 2 Lấy một điểm M x y 0( 0 ; 0) không thuộc (ta thường lấy gốc tọa độ D
Bước 3 Tính ax 0 + by 0 và so sánh ax 0 + by 0 với c
Nếu ax 0 + by 0 < c thì nửa mặt phẳng bờ D chứa M 0 là miền nghiệm của
Nếu ax 0 + by 0 > c thì nửa mặt phẳng bờ không chứa D M 0 là miền nghiệm của ax 0 + by 0 £ c
Miền nghiệm của bất phương trình ax 0 + by 0 £ c bỏ đi đường thẳng là miền nghiệm của bất phương trình ax by + = c ax 0 + by 0 < c
Ví dụ Biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình 2 x + £ y 3
Lấy gốc tọa độ O ( ) 0;0 , ta thấy O ẽ D và có 2.0 0 + < 3 nên nửa mặt phẳng bờ chứa gốc tọa độ là miền nghiệm
D O của bất phương trình đã cho (miền không bị tô đậm trong hình)
III – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
Tương tự hệ bất phương trình một ẩn
Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn bao gồm nhiều bất phương trình bậc nhất với hai ẩn x và y Nhiệm vụ của chúng ta là tìm các nghiệm chung cho các bất phương trình này Mỗi nghiệm chung được xem là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
Cũng như bất phương trình bậc nhất hai ẩn, ta có thể biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
Ví dụ 2 Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình
Vì điểm M 0 ( ) 1;1 có tọa độ thỏa mãn tất cả các bất phương trình trong hệ trên nên ta tô đậm các nửa mặt phẳng bờ ( ) d 1 , ( ) d 2 , không chứa điểm Miền
( ) d 3 , ( ) d 4 M 0 không bị tô đậm (hình tứ giác OCIA kể cả bốn cạnh AI IC CO OA , , , ) trong hình vẽ là miền nghiệm của hệ đã cho
IV – ÁP DỤNG VÀO BÀI TOÁN KINH TẾ
Giải quyết các bài toán kinh tế thường yêu cầu phân tích hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn Những bài toán này thuộc lĩnh vực Quy hoạch tuyến tính, một ngành toán học quan trọng trong việc tối ưu hóa và ra quyết định.
B PHÂN DẠNG VÀ BÀI TẬP RÈN LUYỆN KĨ NĂNG
BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
Câu 1 Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?
Câu 2 Cho bất phương trình 2 x + - £ 3 y 6 0 (1) Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
A Bất phương trình ( ) 1 chỉ có một nghiệm duy nhất.
B Bất phương trình ( ) 1 vô nghiệm.
C Bất phương trình ( ) 1 luôn có vô số nghiệm.
D Bất phương trình ( ) 1 có tập nghiệm là
Câu 3 Miền nghiệm của bất phương trình: 3 x + 2 ( y + > 3 ) ( 4 x + - + 1 ) y 3 là nửa mặt phẳng chứa điểm:
Câu 4 Miền nghiệm của bất phương trình: 3 ( x - + 1 ) ( 4 y - < - 2 ) 5 x 3 là nửa mặt phẳng chứa điểm:
Câu 5 Miền nghiệm của bất phương trình - + + x 2 2 ( y - < 2 ) ( 2 1 - x ) là nửa mặt phẳng không chứa điểm nào trong các điểm sau?
Câu 6 Trong các cặp số sau đây, cặp nào không thuộc nghiệm của bất phương trình: x - + > 4 y 5 0
Câu 7 Điểm A ( - 1;3 ) là điểm thuộc miền nghiệm của bất phương trình:
Câu 8 Cặp số ( ) 2;3 là nghiệm của bất phương trình nào sau đây ?
Câu 9 Miền nghiệm của bất phương trình x + £ y 2 là phần tô đậm trong hình vẽ của hình vẽ nào, trong các hình vẽ sau? x y
Câu 10 Phần tô đậm trong hình vẽ sau, biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình nào trong các bất phương trình sau?
HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
Câu 11 Cho hệ bất phương trình 3 2 0 Trong các điểm sau, điểm nào
2 1 0 x y x y ì + - ³ ùùớ ù + + Ê ùợ thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình?
Câu 12 Cho hệ bất phương trình Trong các điểm sau, điểm
1 0 x y x y x y ì - - > ùùùù + + > ớùù ù + + < ùợ nào thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình?
Câu 13 Miền nghiệm của hệ bất phương trình chứa điểm nào
2 2 x y x x y ỡùù + - ³ ùùù ùù ³ ớùù ùù + - Ê ùùùợ trong các điểm sau đây?
Câu 14 Miền nghiệm của hệ bất phương trình chứa điểm nào trong
6 x y x y y x y ì + ³ ùùù ù ³ - ùùớ ù ³ - ùùù Ê ùùợ các điểm sau đây?
Câu 15 Điểm M ( 0; 3 - ) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trìnhnào sau đây?
Câu 16 Cho hệ bất phương trình 2 0 Trong các điểm sau, điểm
2 3 2 0 x y x y ì + - £ ùùớ ù - + > ùợ nào không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình?
Câu 17 Miền nghiệm của hệ bất phương trình là phần không tô
3 x y x y y x ì - < ùùùù + > - ớùù ù - < ùợ đậm của hình vẽ nào trong các hình vẽ sau?
Câu 18 Miền nghiệm của hệ bất phương trình là phần không tô
2 3 x y y x y ì + - > ùùùù ³ ớùù ù- + > ùợ đậm của hình vẽ nào trong các hình vẽ sau?
Câu 19 yêu cầu xác định tập nghiệm của hệ bất phương trình tương ứng với phần không tô đậm trong hình vẽ, nơi không chứa biên.
Câu 20 yêu cầu xác định phần không tô đậm trong hình vẽ dưới đây, không chứa biên, thể hiện tập nghiệm của hệ bất phương trình nào trong các hệ bất phương trình đã cho.
BÀI TOÁN TỐI ƯU
Bước 1: Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho Kết quả thường được miền nghiệm là đa giác S
Bước 2: Tính giá trị của tương ứng với F ( ) x y ; là tọa độ của các đỉnh của đa giác.
Giá trị lớn nhất của là số lớn nhất trong các giá trị tìm được. ã F
Giá trị nhỏ nhất của là số nhỏ nhất trong các giá trị tìm được. ã F
Câu 21 Giá trị nhỏ nhất F min của biểu thức F x y ( ) ; = y x – trên miền xác định bởi hệ là
Câu 22 Biểu thức F x y ( ) ; = y x – đạt giá trị nhỏ nhất với điều kiện
5 0 x y x y x y x ì - ³ ùùù ù - Ê ùùớ ù + Ê ùùù ³ ùùợ tại điểm M có toạ độ là:
Câu 23 Cho x y , thoả mãn hệ Tìm giá trị lớn nhất của
Câu 24 Giá trị lớn nhất F max của biểu thức F x y ( ) ; = + x 2 y trên miền xác định bởi hệ là
Câu 25 Giá trị nhỏ nhất F min của biểu thức F x y ( ) ; = 4 x + 3 y trên miền xác định bởi hệ là
Câu 26 Trong một cuộc thi pha chế, mỗi đội chơi được sử dụng tối đa 24 g hương liệu, 9 lít nước và 210 g đường để pha chế nước cam và nước táo.
● Để pha chế 1 lít nước cam cần 30 g đường, 1 lít nước và 1 g hương liệu;
Để pha chế 1 lít nước táo, cần sử dụng 10 g đường, 1 lít nước và 4 g hương liệu Mỗi lít nước cam mang lại 60 điểm thưởng, trong khi mỗi lít nước táo mang lại 80 điểm thưởng Câu hỏi đặt ra là cần pha chế bao nhiêu lít nước trái cây mỗi loại để tối đa hóa số điểm thưởng nhận được.
A lít nước cam và lít nước táo.5 4 B lít nước cam và lít nước táo.6 5
C lít nước cam và lít nước táo.4 5 D lít nước cam và lít nước táo.4 6
Câu 27 Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm
● Mỗi kg sản phẩm loại I cần 2 kg nguyên liệu và 30 giờ, đem lại mức lời
● Mỗi kg sản phẩm loại II cần 4 kg nguyên liệu và 15 giờ, đem lại mức lời 30 nghìn.
Xưởng có 200 kg nguyên liệu và 1200 giờ làm việc Nên sản xuất mỗi loại sản phẩm bao nhiêu để có mức lời cao nhất?
A 30kg loại I và 40 kg loại II B 20kg loại I và 40 kg loại II
C 30kg loại I và 20 kg loại II D 25kg loại I và 45 kg loại II
Một nhà khoa học đã nghiên cứu tác động phối hợp của hai loại vitamin A và B, với yêu cầu mỗi người cần từ 400 đến 1000 đơn vị vitamin mỗi ngày Mỗi người không được tiếp nhận quá 600 đơn vị vitamin A và không quá 500 đơn vị vitamin B Để đảm bảo hiệu quả, số đơn vị vitamin B phải nhiều hơn một nửa số đơn vị vitamin A và số đơn vị vitamin A không được nhiều hơn ba lần số đơn vị vitamin B Mục tiêu là tính toán số đơn vị vitamin mỗi loại để người dùng có thể tiết kiệm chi phí, biết rằng mỗi đơn vị vitamin A có giá 9 đồng và mỗi đơn vị vitamin B có giá 7,5 đồng.
A 600 đơn vị Vitamin , A 400 đơn vị Vitamin B
B 600 đơn vị Vitamin , A 300 đơn vị Vitamin B
C 500 đơn vị Vitamin , A 500 đơn vị Vitamin B
D 100 đơn vị Vitamin , A 300 đơn vị Vitamin B
Công ty Bao bì Dược đang sản xuất ba loại hộp giấy: hộp đựng thuốc B1, hộp đựng cao Sao vàng và hộp đựng "Quy sâm đại bổ hoàn" Để thực hiện việc này, công ty sử dụng các tấm bìa có kích thước đồng nhất, với mỗi tấm bìa có hai phương pháp cắt khác nhau.
Cách thứ nhất cắt được 3 hộp B1, một hộp cao Sao vàng và 6 hộp Quy sâm ã
Cần cắt 2 hộp B1, 3 hộp cao Sao vàng và 1 hộp Quy sâm, với yêu cầu tối thiểu là 900 hộp Quy sâm, 900 hộp B1 và 1000 hộp cao Sao vàng Mục tiêu là tìm phương án tối ưu để sử dụng ít nhất tổng số tấm bìa.
A Cắt theo cách một 100 tấm, cắt theo cách hai 300 tấm.
B Cắt theo cách một 150 tấm, cắt theo cách hai 100 tấm.
C Cắt theo cách một 50 tấm, cắt theo cách hai 300 tấm.
D Cắt theo cách một 100 tấm, cắt theo cách hai 200 tấm.
Nhà máy sản xuất sử dụng ba loại máy đặc chủng để sản xuất các sản phẩm A và B trong một chu trình sản xuất Để sản xuất một tấn sản phẩm A, nhà máy cần sử dụng máy A trong 4 giờ, máy B trong 1 giờ và máy C trong 2 giờ, với lợi nhuận 1 triệu đồng Đối với sản phẩm B, để sản xuất một tấn, cần máy A trong 6 giờ, máy B trong 3 giờ và máy C trong 1 giờ, mang lại lợi nhuận 3 triệu đồng Cần lưu ý rằng máy A không hoạt động quá 36 giờ, máy B không quá 23 giờ và máy C không quá 15 giờ Kế hoạch sản xuất cần được lập ra nhằm tối ưu hóa lợi nhuận cho nhà máy.
A Sản xuất tấn sản phẩm và không sản xuất sản phẩm 9 A B
B Sản xuất tấn sản phẩm và tấn sản phẩm 7 A 3 B
C Sản xuất 10 tấn sản phẩm và tấn sản phẩm
D Sản xuất tấn sản phẩm và không sản xuất sản phẩm 6 B A
CHỦ ĐỀ 5 DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI
A TÓM TẮT LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
I – ĐỊNH LÍ VỀ DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI
Tam thức bậc hai đối với là biểu thức có dạng x
( ) 2 , f x = ax + + bx c trong đú a b c , , là những hệ số, a ạ 0.
2 Dấu của tam thức bậc hai
Người ta đã chứng minh được định lí về dấu tam thức bậc hai sau đây Định lý
Nếu D < 0 thỡ f x ( ) luụn cựng dấu với hệ số với mọi a , x ẻ
Nếu D = 0 thì f x ( ) luôn cùng dấu với hệ số trừ khi a , x = - 2 b a
Nếu D > 0 thì f x ( ) luôn cùng dấu với hệ số khi a x < x 1 hoặc x > x 2 , trái dấu với hệ số khi a x 1 < < x x 2 trong đó x x 1 , 2 ( x 1 < x 2) là hai nghiệm của f x ( )
Trong định lí trên, có thể thay biệt thức D = - b 2 4 ac bằng biệt thức thu gọn ( ) b 2 ac ¢ ¢
Minh họa hình học Định lí về dấu của tam thức bậc hai có minh họa hình học sau
II – BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN
1 Bất phương trình bậc hai
Bất phương trình bậc hai ẩn là x bất phương trình dạng ax 2 + + < bx c 0
(hoặc ax 2 + + £ bx c 0, ax 2 + + > bx c 0, ax 2 + + ³ bx c 0), trong đó a b c , , là những số thực đó cho, a ạ 0.
2 Giải bất phương trình bậc hai
Giải bất phương trình bậc hai \( ax^2 + bx + c < 0 \) thực chất là xác định các khoảng mà hàm số \( f(x) = ax^2 + bx + c \) cùng dấu hoặc trái dấu với hệ số \( a \) Cụ thể, nếu \( a < 0 \), hàm số và bất phương trình cùng dấu, còn nếu \( a > 0 \), chúng sẽ trái dấu.
B PHÂN DẠNG VÀ BÀI TẬP RÈN LUYỆN KĨ NĂNG
DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI
Cõu 2 Cho f x ( ) = ax 2 + + bx c a ( ạ 0 ) Điều kiện để f x ( ) ³ " ẻ 0, x là
Cõu 3 Cho f x ( ) = ax 2 + + bx c a ( ạ 0 ) Điều kiện để f x ( )< " ẻ 0, x là
0 0 ì > a ùùớ ùD < ùợ ì < ùùớ ùD < ùợ
Cõu 4 Cho f x ( ) = ax 2 + + bx c a ( ạ 0 ) Điều kiện để f x ( ) Ê " ẻ 0, x là
Cõu 5 Cho f x ( ) = ax 2 + + bx c a ( ạ 0 ) cú D = - b 2 4 ac < 0 Khi đú mệnh đề nào đúng?
C f x ( ) không đổi dấu D Tồn tại để x f x ( ) = 0
Câu 6 Tam thức bậc hai f x ( ) = 2 x 2 + + 2 x 5 nhận giá trị dương khi và chỉ khi
Câu 7 Tam thức bậc hai f x ( ) = - + - x 2 5 x 6 nhận giá trị dương khi và chỉ khi
Câu 8 Tam thức bậc hai f x ( ) = + x 2 ( 5 1 - ) x - 5 nhận giá trị dương khi và chỉ khi
Câu 9 Tam thức bậc hai f x ( ) = - + - x 2 3 x 2 nhận giá trị không âm khi và chỉ khi
Câu 10 Số giá trị nguyên của để tam thức x f x ( ) = 2 x 2 - - 7 x 9 nhận giá trị âm là
Câu 11 Tam thức bậc hai f x ( ) = + - x 2 ( 1 3 ) x - - 8 5 3 :
A Dương với mọi x ẻ B Âm với mọi x ẻ .
C Âm với mọi x ẻ - - ( 2 3;1 2 3 + ) D Âm với mọi x ẻ -Ơ ( ;1 ).
Câu 12 Tam thức bậc hai f x ( ) = - ( 1 2 ) ( x 2 + - 5 4 2 ) x - 3 2 6 +
A Dương với mọi x ẻ B Dương với mọi x ẻ - ( 3; 2 ).
C Dương với mọi x ẻ - ( 4; 2 ) D Âm với mọi x ẻ
Câu 13 Cho f x ( ) = - + x 2 4 x 3 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề đúng là:
Câu 14 Dấu của tam thức bậc 2: f x ( ) = – x 2 + 5 – 6 x được xác định như sau:
Câu 15 Cho các tam thức f x ( ) = 2 x 2 - + 3 x 4; g x ( ) = - + - x 2 3 x 4; h x ( ) = - 4 3 x 2
Số tam thức đổi dấu trên là:
Câu 16 Tập nghiệm của bất phương trình: 2 x 2 – 7 –15 x ³ 0 là:
Câu 17 Tập nghiệm của bất phương trình: – x 2 + + ³ 6 x 7 0 là:
Câu 18 Giải bất phương trình - 2 x 2 + - ³ 3 x 7 0.
Câu 19 Tập nghiệm của bất phương trình x 2 - + < 3 x 2 0 là:
Câu 20 Tập nghiệm của bất phương trình - + - < x 2 5 x 4 0 là
Câu 21 Tập nghiệm của bất phương trình 2 x 2 - ( 2 1 + ) x + < 1 0 là:
Câu 22 Tập nghiệm của bất phương trình 6 x 2 + - £ x 1 0 là
Câu 23 Số thực dương lớn nhất thỏa mãn x 2 - - £ x 12 0 là ?
Câu 24 Bất phương trình nào sau đây có tập nghiệm là ?
Câu 25 Cho bất phương trình x 2 - + ³ 8 x 7 0 Trong các tập hợp sau đây, tập nào có chứa phần tử không phải là nghiệm của bất phương trình.
ỨNG DỤNG VỀ DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI
ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TÍCH Câu 26 Giải bất phương trình x x ( + £ 5 ) 2 ( x 2 + 2 )
Câu 27 Biểu thức ( 3 x 2 - 10 x + 3 4 ) ( x - 5 ) âm khi và chỉ khi
Câu 28 Cặp bất phương trình nào sau đây là tương đương?
Câu 29 Biểu thức ( 4 - x 2 )( x 2 + - 2 x 3 )( x 2 + + 5 x 9 ) âm khi
Câu 30 Tập nghiệm của bất phương trình x 3 + 3 x 2 - - ³ 6 x 8 0 là
ỨNG DỤNG VỀ DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI
ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU Câu 31 Biểu thức ( ) 11 2 3 nhận giá trị dương khi và chỉ khi
Câu 32 Tập nghiệm của bất phương trình S 2 7 0 là
Câu 33 Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của thỏa mãn x
Câu 34 Tập nghiệm của bất phương trình S là
A Hai khoảng B Một khoảng và một đoạn
C Hai khoảng và một đoạn D Ba khoảng.
Câu 35 Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của x thỏa mãn bất phương trình
ỨNG DỤNG VỀ DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI
ĐỂ TÌM TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ Câu 36 Tìm tập xác định của hàm số D y = 2 x 2 - + 5 x 2.
Câu 37 Giá trị nguyên dương lớn nhất để hàm số y = 5 4 - - x x 2 xác định là
Câu 38 Tìm tập xác định của hàm số D
Câu 39 Tìm tập xác định của hàm số D
Câu 40 Tìm tập xác định của hàm số D 2
Câu 41 Tìm tập xác đinh của hàm số D 2 6 1 y x x 4
Câu 42 Tìm tập xác định của hàm số D 2 1
Câu 43 Tìm tập xác định của hàm số D ( ) 2
Câu 44 Tìm tập xác định của hàm số D 2 2 5 4
A D = - - ẩ - +Ơữ[ 4; 1 ) ổ ỗ ỗ ỗố 1 2 ; ửữ ữ ứ B D = -Ơ - ẩ - - ữ( ; 4 ] ổ ỗ ỗ ỗố 1; 1 2 ửữ ữ ứ
Câu 45 Tìm tập xác định của hàm số D f x ( ) = x 2 + - - x 12 2 2
TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA THAM SỐ ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH BẬC
Câu 47 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số sao cho phương trình sau vô m nghiệm ( 2 m 2 + 1 ) x 2 - 4 mx + = 2 0
Câu 48 Tìm tất cả các giá trị của tham số để phương trình m vô nghiệm ?
Câu 49 Phương trình mx 2 - 2 mx + = 4 0 vô nghiệm khi và chỉ khi
Câu 50 Phương trình ( m 2 - 4 ) x 2 + 2 ( m - 2 ) x + = 3 0 vô nghiệm khi và chỉ khi
Câu 51 Cho tam thức bậc hai f x ( )= - + x 2 bx 3 Với giá trị nào của thì tam b thức f x ( ) có nghiệm ?
Câu 52 Phương trình x 2 + 2( m + 2) x - 2 m - = 1 0 ( là tham số) có nghiệm khi m
Câu 53 Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của để phương trình m có nghiệm ?
Câu 54 Tìm các giá trị của m để phương trình ( m - 5 ) x 2 - 4 mx m + - = 2 0 có nghiệm.
Câu 55 Tìm tất cả giá trị thực của tham số m sao cho phương trình có nghiệm.
Câu 56 Các giá trị để tam thức m f x ( ) = - + x 2 ( m 2 ) x + 8 m + 1 đổi dấu 2 lần là
Câu 57 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình có nghiệm ?
Câu 58 Tìm tất cả các giá trị của tham số sao cho phương trình m có hai nghiệm phân biệt ?
Câu 59 Phương trình ( m - 1 ) x 2 - + + = 2 x m 1 0 có hai nghiệm phân biệt khi
Câu 60 Giá trị nào của thì phương trình m ( m – 3 ) x 2 + +( m 3 ) ( x – m + = 1 ) 0 có hai nghiệm phân biệt ?
TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA THAM SỐ ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH BẬC
Câu 61 Tìm để phương trình m x 2 - mx m + + = 3 0 có hai nghiệm dương phân biệt.
Câu 62 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình có hai nghiệm dương phân biệt
Câu 63 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số để m x 2 + 2 ( m + 1 ) x + 9 m - = 5 0 có hai nghiệm âm phân biệt.
Câu 64 Phương trình x 2 -( 3 m - 2 ) x + 2 m 2 - 5 m - = 2 0 có hai nghiệm không âm khi
Câu 65 Phương trình 2 x 2 - ( m 2 - + m 1 ) x + 2 m 2 - 3 m - = 5 0 có hai nghiệm phân biệt trái dấu khi và chỉ khi
Câu 66 Phương trình ( m 2 - 3 m + 2 ) x 2 - 2 m x 2 - = 5 0 có hai nghiệm trái dấu khi
Câu 67 Giá trị thực của tham số để phương trình m có hai nghiệm trái dấu trong đó nghiệm âm có trị
2 2 1 2 2 0 x - m - x m + - m = tuyệt đối lớn hơn là
Câu 68 Với giá trị nào của thì phương trình m ( m - 1 ) x 2 - 2 ( m - 2 ) x m + - = 3 0 có hai nghiệm phân biệt x x 1 , 2 thỏa mãn điều kiện x 1 + + x 2 x x 1 2 < 1?
Câu 69 Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình có hai nghiệm phân biệt khác thỏa mãn ( m + 1 ) x 2 - 2 mx m + - = 2 0 x x 1 , 2 0
Câu 70 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình có hai nghiệm phân biệt khác thỏa mãn
TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA THAM SỐ ĐỂ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ NGHIỆM – CÓ NGHIỆM – NGHIỆM ĐÚNG
VÔ NGHIỆM – CÓ NGHIỆM – NGHIỆM ĐÚNG
Câu 71 Tam thức f x ( ) = 3 x 2 + 2 2 ( m - 1 ) x m + + 4 dương với mọi khi: x
Câu 72 Tam thức f x ( ) = - 2 x 2 + - ( m 2 ) x m - + 4 không dương với mọi khi: x
Câu 73 Tam thức f x ( ) = –2 x 2 + + ( m 2 ) x m + – 4 âm với mọi khi: x
Câu 74 Tam thức f x ( ) = x 2 - + ( m 2 ) x + 8 m + 1 không âm với mọi khi: x
Câu 75 Bất phương trình x 2 - mx m - ³ 0 có nghiệm đúng với mọi khi và x chỉ khi:
Câu 76 Tìm các giá trị của tham số để bất phương trình m có tập nghiệm là
Câu 77 Bất phương trình x 2 - + ( m 2 ) x m + + £ 2 0 vô nghiệm khi và chỉ khi:
Câu 78 Tam thức f x ( ) = ( m 2 + 2 ) x 2 - 2 ( m + 1 ) x + 1 dương với mọi khi: x
Câu 79 Tam thức f x ( ) ( = - m 4 ) x 2 + ( 2 m - 8 ) x m + - 5 không dương với mọi x khi:
Câu 80 Tam thức f x ( ) = mx 2 - mx m + + 3 âm với mọi khi: x
Câu 81 Tam thức f x ( ) (= m + 2 ) x 2 + 2 ( m + 2 ) x + m + 3 không âm với mọi x khi:
Câu 82 Bất phương trình ( 3 m + 1 ) x 2 -( 3 m + 1 ) x m + + ³ 4 0 có nghiệm đúng với mọi khi và x chỉ khi:
Câu 83 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình có tập nghiệm là
Câu 84 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình vô nghiệm.
Câu 85 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số để hàm số m xác định với mọi
Câu 86 Hàm số y = ( m + 1 ) x 2 - 2 ( m + 1 ) x + 4 có tập xác định là D = khi
Câu 87 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số để biểu thức m luôn dương.
Câu 88 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình có nghiệm.
Câu 89 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình có nghiệm.
Câu 90 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình có nghiệm.
HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Câu 91 Tập nghiệm của hệ bất phương trình S 2 2 0 là:
Câu 92 Tìm thỏa mãn hệ bất phương trình x
Câu 93 Tập nghiệm của hệ bất phương trình S là:
Câu 94 Tập nghiệm của hệ bất phương trình S là:
Câu 95 Giải hệ bất phương trình 3 2 2 4 1 0
Câu 96 Có bao nhiêu giá trị nguyên của x thỏa mãn ?
Câu 97 Hệ bất phương trình 2 9 0 2 có nghiệm là:
Câu 98 Tập nghiệm của hệ bất phương trình 2 7 6 0 là:
Câu 99 Hệ bất phương trình nào sau đây vô nghiệm?
Câu 100 Số nghiệm nguyên của hệ bất phương trình là:
Câu 101 Hệ bất phương trình ( ) vô nghiệm khi và chỉ khi:
Câu 102 Hệ bất phương trình ( ) có nghiệm khi:
Câu 103 Hệ bất phương trình ( )( ) ( ) có nghiệm khi và chỉ khi:
Câu 104 Tìm để m nghiệm đúng với
Câu 105 Xác định để với mọi ta có m x
Câu 106 Hệ bất phương trình 2 1 0 có nghiệm khi và chỉ khi:
Câu 107 Tìm để hệ m ( ) có nghiệm.
Câu 108 Tìm sao cho hệ bất phương trình m ( ) có nghiệm.
Câu 109 Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để hệ bất phương trình vô nghiệm.
Câu 110 Cho hệ bất phương trình ( ) Để hệ bất
6 5 0 1 x a x a x x ỡù - + + + Ê ùùớ ù - + Ê ùùợ phương trình có nghiệm, giá trị thích hợp của tham số a là:
HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP ÁN CHUYÊN ĐỀ IV BẤT ĐẲNG THỨC BẤT PHƯƠNG TRÌNH
CHỦ ĐỀ 1 BẤT ĐẲNG THỨC
Câu 2 Dựa vào đáp án, ta có nhận xét sau: ã 2
2 a b b c a a b c a b c a a c ì > ù + ù ị + > + ị > + ị > ắắ đ ớù > ùợ A đỳng. ã a b a a b c a c b a a c ì > ùù ị + > + ị - > - ắắ đ ớù > ùợ B đỳng. ã a > ị + - > + - ị - > - ắắ b a ( ) c b ( ) c a c b c đ C đỳng. ã a b > ị - ùùờớ ờù < Û < ùợờ ờỡ < ùờùớờ ù < Û > ờùợở
Câu 5 Dựa vào đáp án, ta có nhận xét sau: ã
0 0 a b a b c d d c ì < < ỡ < < ùù ù ù ù Û ị í í ù < < ù < < ùợ ùùợ Chưa đủ dữ kiện để so sỏnh a b , c d ắắ đ A sai ã
0 0 a b a b c d d c ì > > ỡ > > ùù ù ù ù Û ị í í ù > > ù > > ùợ ùùợ Chưa đủ dữ kiện để so sỏnh a b , c d ắắ đ B sai ã a b a b c d c d ì < ùù ị < ắắ đ ớù < ùợ C sai vỡ chưa thiếu điều kiện a b c d , , , ã
Câu 6 Từ giả thiết, ta có a + > + Û > Û > 2 c b 2 c a b 2 a 2 b Chọn C.
Câu 7 Từ giả thiết, ta có 0 0 0.
Câu 8 Dựa vào đáp án, ta có nhận xét sau: ã 1 a 1 a a ( 1 a )( 1 a a ) 0 1 a , a ( ) 0;1 a a a a
- = - = > Û > " ẻ ắắ đ A đỳng. ã a - = 1 a a 2 a - 1 = ( a - 1 )( a a + 1 )< Û < 0 a 1 a , " ẻ a ( ) 0;1 ắắ đ B sai ã a - a = a ( a - < Û < 1 ) 0 a a , " ẻ a ( ) 0;1 ắắ đ C sai. ã a 3 - = a 2 a a 2 ( - < Û < 1 ) 0 a 3 a 2 , " ẻ a ( ) 0;1 ắắ đ D sai
Câu 9 Dựa vào đáp án, ta có nhận xét sau: ã ( ) ( )
1 2 2 1 2 1 1 2 ab ab ab ab ab a b ab ab ab ab
0 b b a ab ab a a b ab a b b ab a a b a b ab a b Û + + + + + < + + + + + Û + < + Û - + - >
( a b a b ab )( ) 0 Û - + + > luôn đúng với mọi a b > > 0 Vậy x < y Chọn B.
Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi 2 2
Vậy hàm số đã cho không có giá trị nhỏ nhất Chọn D.
Theo bất đẳng thức Côsi, ta có 1 1 2 ( 1 ) 1 2.
Theo bất đẳng thức Côsi, ta có x 16 2 x 16 8 f x ( ) 18. x x
16 4. x x x x ì > Û ùùù ớù = ùùợ Û = Vậy m = 18 Chọn B.
- nên theo bất đẳng thức Côsi, ta có ( ) 4 4 1 ( x ) 1 x 2 4 1 ( x ) 1 x 4 ( ) 8 f x f x x x x x
Câu 16 Cách 1 Theo bất đẳng thức Côsi, ta có
1 2 x x x x ì > > Û ùù ớù = - ùợ Û = Vậy m = 4 Chọn B.
Theo bất đẳng thức Côsi, ta có 1 2 1 2 ( ) 4.
Theo bất đẳng thức Côsi, ta có
Theo bất đẳng thức Côsi, ta có 2 x 2 2 2 3 2 3 x 2 2 2 3 8 3 6. x x x x
2 x x x x ì > Û ùùù ớù = ùùợ Û = Vậy m = 6 Chọn D.
Theo bất đẳng thức Côsi, ta có x 3 1 1 1 4 4 x 3 1 1 1 4 f x ( ) 4. x x x x x x
1 1. x x x x ì > Û ùùù ớù = ùùợ Û = Vậy m = 4 Chọn A.
Câu 20 Áp dụng bất đẳng thức hệ quả của Côsi ( )
Theo bất đẳng thức Côsi, ta có ( x - 1 ) 2 + ³ 1 2 ( x - 1 1 ) 2 = 2 x - 1
Câu 22 Theo bất đẳng thức Côsi, ta có x 2 + ³ 4 2 x 2 4 = 4 x
( ) 4 x 1 4 f x x ắắ đ Ê = Dấu " = " xảy ra Û = x 2 Vậy 1
Theo bất đẳng thức Cụsi, ta cú x 2 + ³ 1 2 x 2 1 = 2 x ắắ đ + + ³ x 2 2 x 1 4 x
( ) 4 x 1 4 f x x ắắ đ Ê = Dấu " = " xảy ra Û = x 1 Vậy 1
Câu 24 Hàm số xác định khi 3 0 3 6
6 0 x x x ì + ³ ùù Û - Ê Ê ớù - ³ ùợ nờn TXĐ D = - [ 3;6 ]
Ta có f 2 ( ) x = + 9 2 ( x + 3 6 )( - x ). ã Vỡ ( 3 + x )( 6 - ³ " ẻ - x ) 0, x [ 3;6 ] nờn suy ra f 2 ( ) x ³ ắắ 9 đ f x ( ) ³ 3.
Dấu '' = '' xảy ra Û = - x 3 hoặc x = 6 Vậy m = 3. ã Lại cú 2 3 ( + x )( 6 - Ê + + - = x ) 3 x 6 x 9 nờn suy ra
Câu 25 Hàm số xác định khi 4 0 4 8
8 0 x x x ì - ³ ùù Û Ê Ê ớù - ³ ùợ nờn TXĐ D = [ ] 4;8 ã Ta cú f 2 ( ) x = - + 3 x 8 4 ( x - 4 8 )( - = x ) 3 ( x - + 4 ) 4 ( x - 4 8 )( - + x ) 4.
Vỡ ỡ - ³ ùùù ớù - - ³ x ( x 4 4 8 )( 0 x ) 0 , " ẻ x [ ] 4;8 ùùợ nờn suy ra f 2 ( ) x ³ ắắ 4 đ f x ( ) ³ 4.
Dấu '' = '' xảy ra Û = x 4 Vậy m = 2. ã Với x ẻ [ ] 4;8 , ỏp dụng bất đẳng thức Cụsi, ta cú ã x - = - + ³ 4 5 x 4 16 5 2 ( x - 4 ) 16 5 = 8 x 5 - 4 ( ) 1 ã 44 5 - = - + ³ x 8 x 4 5 2 8 ( - x ) 4 x = 4 8 5 - x ( ) 2
Lấy ( ) ( ) 1 + 2 theo vế, ta được 8 4 4 8 4 44 8.
Câu 26 Hàm số xác định khi 7 2 0 4 7
3 4 0 3 2 x x x ì - ³ ùù Û - Ê Ê ớù + ³ ùợ nờn TXĐ D 4 7 ;
7 2 3 4 0 3 2 x x x x ì + ³ ù ộ ự ùù " ẻ - ờ ỳ ớù - + ³ ờ ở ỳ ỷ ùùợ nờn suy ra 2 ( ) 29 ( ) 87
Dấu '' = '' xảy ra 4 x 3 Û = - Vậy 87 m = 3 Chọn D.
Câu 27 Ta có f 2 ( ) x = + - ( x 8 x 2 ) 2 = + x 2 2 x 8 - + - = + x 2 8 x 2 8 2 x 8 - x 2 Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có 2 x 8 - £ + x 2 x 2 ( 8 - x 2 ) 2 = 8
4 x y x + + = Û + y xy x y - = £ xy + Suy ra ( x + y ) 2 £ Û - £ + £ 4 2 x y 2 Chọn C.
1 1 0 1 x y xy xy x y xy x y xy xy x y xy ỡùù + + = Û - = - ³ ị Ê ùùớ ùù + + = Û + = + ³ ị ³- ùùợ
Câu 30 Với mọi x y , ta có ( x + y ) 2 ³ 4 xy
Câu 32 Từ giả thiết, ta có ( ) ( )
Câu 34 Từ giả thiết, ta có xy x ( + = + + y ) x y 3 xy ( ) *
Câu 35 Ta có x 4 + ³ y 4 2 x y 2 2 , kết hợp với giả thiết ta được xy 2 2 x y 2 2 1
+ ³ + xy Đặt xy = > t 0, ta được t 2 2 t 2 1 2 t 3 t 2 ( 2 t 1 ) 0
Từ ( ) 1 , ( ) 2 và kết hợp với ( ) * , ta được
4 ab £ - 1 2 ab + ab 3 2 1 0 0 1 ab ab ab 9 Û + - Ê ị < Ê Chọn A.
Câu 37 Ta có 4 2 1 xy = + ³ x y xy ị ³ xy 4
Kết hợp ( ) * và giả thiết, ta được 1 4 0 1 xy xy xy 3
Câu 38 Từ giả thiết, ta có ( )
Câu 39 Từ giả thiết x + + ³ Û y xy 7 2 ( x + 1 )( y + ³ 1 ) 16.
Câu 41 Từ giả thiết, ta có 16 = ( x 2 + + ³ 4 ) 2 y 4 x + ³ 2 y 2 4 2 x y
Suy ra xy £ 8 Dấu '' = '' xảy ra khi x = 2; y = 4 Chọn C.
- - - - Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có
2.1000 0 20 5 xy xy x y x y x y ỡ = ùù ỡ = ù ùù ù Û ớ ù ù ùùợ - = - > Û ớ ù ùợ - =
Câu 43 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số thực dương, ta có
- - Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có ( )
0 f x = ax + + Ê " ẻ Û bx c x ỡ > ùù ớùDÊ ùợ a ắắ đ ac ³ b Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có 4 a c 2 4 ac 2 b 2 2 b 2.
4 c a b c a b ac ỡ = ùù Û = = ớù = ùợ Chọn B.
Câu 47 Từ giả thiết suy ra a 2 + + £ b 2 c 2 4.
Ta có 4 = + + + a 2 b 2 c 2 abc = + + + a 2 b 2 c 2 a b c 2 2 2 Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có ( 2 2 2 ) 3 2 2 2
Câu 48 Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có
3 3 3; 3; 3. y z y z x z x y x x y z zx xy zx xy yz xy yz zx
Cộng từng vế của ba bất đẳng thức trên, ta được
Câu 49 Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có
Câu 50 Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có
CHỦ ĐỀ 2 BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
Câu 1 Bất phương trình xác định khi 2 0
Câu 2 Bất phương trình xác định khi 5 0 5 5 4.
Câu 3 Bất phương trình xác định khi ( ) 2
Câu 4 Hàm số xác định khi 0
Nếu m = 3 thì tập xác định của hàm số là D = { } 3
Nếu m > 3 thỡ tập xỏc định của hàm số là D = ặ
Nếu m < 3 thì tập xác định của hàm số là D = [ ] m ;3 Chọn B.
Câu 5 Hàm số xác định khi 2 0 2
2 m = - Û = - m thì tập xác định của hàm số là D = - { } 1
2 m - m thì tập xác định của hàm số là D 1;
= - ờ ở ỳ ỷ Chọn D. Cõu 6 Điều kiện: x ạ 2 Bất phương trỡnh tương đương với: 2 3 3 x < Û < x 2
(thỏa mãn điều kiện) Chọn D.
Cõu 7 Điều kiện: x ạ 2 Bất phương trỡnh tương đương với: 2 5 5 x < Û < x 2 kết hợp với điều kiện ta có 5 x < 2 và x ạ 2 Chọn B.
3 x - vào hai vế bất phương trình 2 x - ³ 1 0 thì điều kiện của bất phương trình sẽ thay đổi suy ra đáp án A sai
Khi nhân hoặc chia cả hai vế của bất phương trình với x - 2018, điều kiện của bất phương trình ban đầu sẽ bị thay đổi, do đó đáp án C và D là sai.
Câu 9 Ta xét từng bất phương trình trong đáp án A:
Cả hai bất phương trình có cùng tập nghiệm nên chúng tương đương
5 x x x x ỡ ạ ùù + > Û ớù >- ùợ Đỏp ỏn A sai.
+ > Û ớù >- ùợ Đỏp ỏn B sai.
Bất phương trình x + 5 ( x + > Û > - 5 ) 0 x 5 Đáp án C đúng Chọn C.
Câu 11 Bất phương trình ( x + 1 ) x £ 0 có điều kiện
Ta cú: ( x + 1 ) x < 0vụ nghiệm vỡ từ điều kiện x ³ ị + 0 ( x 1 ) x ³ 0 Đỏp ỏn
Ta có: ( x + 1 ) 2 x £ Û = 0 x 0 Đáp án C đúng Chọn C.
Câu 13 Phương pháp trắc nghiệm: Thay lần lượt từng đáp án vào hai phương trình.
– 1 3 0 0 2 0 a x a x x a x a x x ỡùù + - + > ắắđ + > ô >- ùùớ ùù - + > ắắ đ + > ô ẻ ùùợ Khụng thỏa.
2 a x a x x a x a x x ỡùù + - + > ắắđ - > ô > ùùù ớùù - + > ắắ đ - > ô > ùùùợ
4 m x m x x m x m x x ỡù + Ê + ắắ đ- Ê- ô ³ ùùù ớù + Ê - ắắđ- Ê- ô ³ ùùùợ Khụng thỏa mãn.
● Thay m = - 2 thì hệ số của x ở( ) 1 bằng 0, hệ số của x ở ( ) 2 khác 0 Không thỏa mãn.
Khi thay m = -1, hệ số của x ở bất phương trình (1) là dương, trong khi hệ số của x ở bất phương trình (2) là âm Điều này dẫn đến việc nghiệm của hai bất phương trình có chiều ngược lại, do đó không thỏa mãn Cuối cùng, bằng phương pháp loại trừ, đáp án duy nhất còn lại là D.
5 m x m x x m x m x x ỡùù + Ê + ắắđ Ê ô Ê ùùù ớùù + Ê - ắắ đ Ê ô Ê ùùùợ
● Thay m = 1, thì hệ số của x ở ( ) 1 dương, hệ số của x ở ( ) 2 dương Suy ra nghiệm của hai bất phương trình ngược chiều Không thỏa.
2 1 2 2 2 m x m x x m x m x x ỡù + ³ - ắắ đ ³- ô ³- ùùớ ù - Ê + ắắ đ- Ê ô ³- ùùợ Ta thấy thỏa mãn nhưng chưa đủ kết luận là đáp án B vì trong đáp án D cũng có m = 0 Ta thử tiếp m = 4.
● Thay m = 4, thì hệ số của x ở ( ) 1 dương, hệ số của x ở ( ) 2 dương Suy ra nghiệm của hai bất phương trình ngược chiều Không thỏa mãn.
Vậy với m = 0 thỏa mãn Chọn B.
Nếu a = 0 thì ax b + > 0có dạng 0 x b + > 0
Nếu a > 0 thì ax b + > 0 b x a Û > - nên S b ; a ổ ửữ
Nếu a < 0 thì ax b + > 0 b x a Û 0có dạng 0 x b + > 0
Nếu a = 0 thì ax b + £ 0có dạng 0 x b + £ 0
Vỡ x ẻ - < Ê- , 10 x 5 nờn cú 5 nghiệm nguyờn Chọn B.
Câu 23 Bất phương trình ( 2 x - 1 )( x + - + £ - 3 ) 3 x 1 ( x 1 )( x + + - 3 ) x 2 5 tương đương với 2 x 2 + - - + Ê + - + - Û 5 x 3 3 x 1 x 2 2 x 3 x 2 5 0 x Ê- Û ẻ ặ ắắ 6 x đ = ặ S
Câu 24 Bất phương trình 5 ( x + - 1 ) ( x 7 - > - x ) 2 x tương đương với:
Câu 25 Bất phương trình ( x + 3 ) ( 2 ³ - x 3 ) 2 + 2 tương đương với:
6 6 x + x + ³ - x x + + Û x ³ Û ³ x ắắ đ = S ộ ờ ờ ờở +Ơữ ửữ ữ ữữứ
Câu 26 Bất phương trình tương đương
Bất phương trình tương đương
Cõu 28 Điều kiện: x ³ 2 Bất phương trỡnh tương đương x Ê ắắ 2 đ = x 2
Câu 29 Điều kiện: x > 4 Bất phương trình tương đương :
2 4 6 4 6, 5; 6 5 6 11. x - Ê Û Ê ị < Ê x x x ẻ ị = x x = ắắ đ = + = S Chọn B. Câu 30 Điều kiện: x ³ 2.
Bất phương trình tương đương với 2 0 2
Cõu 31 Rừ ràng nếu m ạ 1 bất phương trỡnh luụn cú nghiệm.
Xét m = 1 bất phương trình trở thành 0 x > 3: vô nghiệm Chọn C.
Câu 32 Bất phương trình tương đương với ( m 2 - 3 m + 2 ) x < - 2 m
- + ù ạ ùợ bất phương trỡnh luụn cú nghiệm. Với m = 1 bất phương trình trở thành 0 x < 1: vô nghiệm.
Với m = 2 bất phương trình trở thành 0 x < 0: vô nghiệm.
0 m m - m ạ Û ớ ỡ ạ ùù ù ạ ùợ m bất phương trỡnh luụn cú nghiệm. Với m = 1 bất phương trỡnh trở thành 0 x < 1: nghiệm đỳng với mọi x ẻ Với m = 0 bất phương trình trở thành 0 x < 0: vô nghiệm.
Câu 34 Bất phương trình tương đương với ( m 2 - - m 6 ) x ùợ Đặt f x ( ) ( = + x 2 )( x - 1 ) Phương trình x + = Û = - 2 0 x 2 và
Ta có bảng xét dấu x -¥ - 2 1 +¥ x + 2 - 0 + +
Dựa vào bảng xột dấu, ta thấy rằng f x ( ) > 0 Û ẻ -Ơ - ẩ +Ơ x ( ; 2 ) ( 1; )
Kết hợp với điều kiện x ạ 2, ta được Û ẻ -Ơ - ẩ x ( ; 2 ) ( ) ( 1;2 ẩ +Ơ 2; )
Do đó, nghiệm nguyên âm lớn nhất của bất phương trình là - 3 và nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của bất phương trình là 3 Vậy tích cần tính là
Ta có bảng xét dấu x -¥ - 3 0 3 4 +¥
Từ bảng xét dấu ta có ( ) ( ) ( ) ( )
Suy ra tập nghiệm bất phương trình là hợp của ba khoảng.
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng ( ) 0 0
Kết hợp với điều kiện x ³ 1, ta được tập nghiệm S = +¥ [ 1; )
Vậy nghiệm nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình là x = 1 Chọn C.
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy rằng ( ) 0 1 2. f x ³ Û - < £ 2 x
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 1 ;2
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng ( ) 0 1 2
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = - ( 1;2 ] [ È +¥ 3; )
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng ( ) 0 1
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = -¥ - È +¥ ( ; 1 ) ( 2; ) Chọn C.
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng ( ) 0 2 1
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = - - È +¥ ( 2; 1 ] ( 2; ) Chọn B.
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng ( ) 0 3
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = -¥ - È - ( ; 3 ) ( 1;1 ) Chọn B.
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng ( )
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là ; 1 2 ;1
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng ( )
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 1; 1 ( 1; )
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng ( ) 0 12 4
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = - - È - ( 12; 4 ) ( 3;0 ) Chọn D.
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng ( ) 0 1
Kết hợp với điều kiện x ạ 1, ta được tập nghiệm S = -Ơ - ẩ ( ; 1 ) ( ) ( ) 0;1 ẩ 1;3
Câu 35 Bất phương trình tương đương với
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng ( ) 0 ; 22 ( 3;3 ) f x < Û ẻ -Ơ - x ổ ỗ ỗ ỗố 3 ửữ ữ ữ ứ ẩ -
Vậy nghiệm nguyên lớn nhất thỏa mãn bất phương trình là x = 2 Chọn A.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là ; 1 ( 1; )
Cõu 40 Vỡ x - ³ " ẻ 3 0, x nờn suy ra x - > - " ẻ 3 1, x
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = Chọn D.
Cách 2 TH1 Với 5 x - ³ 4 0, bất phương trình
TH2 Với 5 x - < 4 0, bất phương trình
Do đó, tập nghiệm của bất phương trình là ; 2 [ 2; )
Giải ( ) 1 , ta có bất phương trình ( ) 1 0 1 0.
Giải ( ) 2 , ta có bất phương trình ( ) 2 Û - £ y 3
Câu 11 Ta thay lần lượt tọa độ các điểm vào hệ bất phương trình.
2.0 1 1 0 ì + - ³ ùùớ ù + + Ê ùợ Bất phương trỡnh thứ hai sai nờn A sai.
Câu 12 Ta thay lần lượt tọa độ các điểm vào hệ bất phương trình.
Bất phương trình thứ nhất và thứ ba sai nên A sai.
Bất phương trình thứ ba sai nên B sai.
Câu 13 Ta thay lần lượt tọa độ các điểm vào hệ bất phương trình.
2 2 ỡùù + - ³ ùùù ùù ³ ớùù ùù + - Ê ùùùợ
Bất phương trình thứ nhất sai nên A sai.
2 2 ỡùù + - ³ ùùù ùù ³ ớùù ùù + - Ê ùùùợ
Câu 14 Thay lần lượt tọa độ các điểm vào hệ bất phương trình Chọn D.
Câu 15 Thay tọa độ M ( 0; 3 - ) lần lượt vào từng hệ bất phương trình Chọn A.
Câu 16 Thay lần lượt tọa độ các điểm vào hệ bất phương trình Chọn C. x y
Câu 17 Chọn điểm M ( ) 0;1 thử vào các bất phương trình của hệ thấy thỏa mãn
Câu 18 Chọn điểm M ( ) 0; 4 thử vào các bất phương trình của hệ thấy thỏa mãn
Câu 19 Do miền nghiệm không chứa biên nên ta loại đáp án A.
Chọn điểm M ( ) 1;0 thử vào các hệ bất phương trình.
Xét đáp án B, ta có 1 0 0
2.1 0 1 ì - > ùùớ ù - > ùợ : Đỳng và miền nghiệm khụng chứa biờn
Câu 20 Do miền nghiệm không chứa biên nên ta loại đáp án A và C.
Chọn điểm M ( ) 0;1 thử vào các hệ bất phương trình.
Xét đáp án B, ta có 0 2.1 0
0 3.1 2 ì - > ùùớ ù + 0, " ẻ x khi a > 0 và D < 0 Chọn C
Cõu 5 Vỡ D < 0 và a ạ 0 nờn f x ( ) khụng đổi dấu trờn Chọn C.
Dựa vào bảng xột dấu f x ( ) > Û ẻ 0 x ( ) 2;3 Chọn D.
Dựa vào bảng xột dấu f x ( ) > Û ẻ -Ơ - 0 x ( ; 5 ) ẩ +Ơ ( 1; ) Chọn C.
Dựa vào bảng xét dấu f ( ) x ³ Û £ £ 0 1 x 2 Chọn B.
Dựa vào bảng xét dấu ( ) 0 1 9 f x < Û- < < x 2 Mà x nguyên nên {0;1; 2;3; 4} ẻ x
Dựa vào bảng xét dấu f x ( ) < Û- - 0 2 3 < < + x 1 2 3 Chọn C
Dựa vào bảng xét dấu f x ( ) > Û- < < 0 3 x 2 Chọn B
Dựa vào bảng xét dấu f x ( ) £ Û £ £ 0 1 x 3 Chọn B
Dựa vào bảng xét dấu ta được
( ) > 0 f x với 2 < < x 3 và f x ( ) < 0 với x < 2 hoặc x > 3 Chọn C
Câu 15 Vì f x ( ) = 0 vô nghiệm, g x ( ) = 0 vô nghiệm, h x ( ) = 0 có hai nghiệm phân biệt nên chỉ có h x ( ) đổi dấu trên Chọn B.
Dựa vào bảng xét dấu 2
Dựa vào bảng xét dấu –x 2 6x 7 0 1 x 7 Chọn B
Câu 18 Ta có –2 x 2 + - = 3 x 7 0vô nghiệm
Dựa vào bảng xét dấu 2x 2 3x 7 0 x Chọn C.
Dựa vào bảng xét dấu f x ( ) < Û < < 0 1 x 2 Chọn C
Dựa vào bảng xét dấu ( ) 0 1
Dựa vào bảng xét dấu ( ) 0 2 1 f x < Û 2 < < x Chọn A
Dựa vào bảng xét dấu ( ) 0 1 1
Dựa vào bảng xét dấu f x ( ) £ 0 Û - £ £ 3 x 4 Suy ra số thực dương lớn nhất thỏa x 2 - - £ x 12 0 là 4 Chọn D
Câu 24 Xét f x ( ) = - 3 x 2 + - x 1 có a = - 3 < 0 , D = - - 1 2 4 ( ) ( ) 3 - = - 1 1 1 0 < nên ( ) 0, f x < " x tức là tập nghiệm của bất phương trình là Chọn C
Dựa vào bảng xét dấu ( ) 0 1
7 f x x x Û £ ³ éê ³ ờở Tập nghiệm của bất phương trình là S = - ( ¥ È ;1 ] [ 7; +¥ )
2 ẽ S nờn [ 6; +Ơ ) thỏa yờu cầu bài toỏn Chọn D
Dựa vào bảng xột dấu, ta thấy x 2 - + ³ Û ẻ -Ơ ẩ +Ơ 5 x 4 0 x ( ;1 ] [ 4; ) Chọn C.
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy ( ) 0 ; 1 5 ;3
Dựa vào bảng xét dấu ta thấy rằng bất phương trình x - ³ Û 2 0 x x 2 ( - ³ 2 ) 0.
2 4 x + + = + x ổ ỗ ỗ ỗố x ửữ ữ ữ ứ + > ị + + = Û ẻ ặ x x x Lập bảng xột dấu: x -¥ - 3 - 2 1 2 +¥
Dựa vào bảng xét dấu ta thấy ( 4 2 )( 2 2 3 )( 2 5 9 ) 0 2 3 1
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng
Cõu 31 Ta cú - + - = - x 2 5 x 7 ( x 2 - + = - - 5 x 7 ) ổ ỗ ỗ ỗố x 5 2 ửữ ữ ữ ứ 2 - < " ẻ 4 3 0, x
Do đó, bất phương trình ( ) 0 11 3 0 3 ; 3
Dựa vào bảng xét dấu, bất phương trình 2
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 3 ;4 ( 7; )
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy 2 2 9 0 ; 9 ( 2;2 )
Vậy có chỉ có duy nhất một giá trị nguyên dương của x ( x = 1 ) thỏa mãn yêu cầu
Dựa vào bảng xột dấu, bất phương trỡnh ( ) * Û ẻ -Ơ - ẩ x ( ; 2 ) [ ] ( 1;3 ẩ +Ơ 5; )
Vỡ x 2 ³ " ẻ 0, x nờn bất phương trỡnh
Dựa vào bảng xột dấu, ta thấy f x ( ) Ê Û ẻ - - ẩ - 0 x ( 3; 2 ) [ 1;1 ]
Kết hợp với x ẻ , ta được x = - { 1;0;1 }
Vậy có tất cả 3 giá trị nguyên cần tìm Chọn D.
Câu 36 Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi 2 x 2 - + ³ 5 x 2 0.
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy 2 2 5 2 0 ; 1 [ 2; ) x - + ³ Û ẻ -Ơ ẩ +Ơ x x ổ ỗ ỗỗ ố 2 ự ỳ ỳ ỷ
Vậy tập xác định của hàm số là ; 1 [ 2; )
Câu 37 Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi 5 4 - - ³ x x 2 0.
Dựa vào bảng xột dấu, ta thấy 5 4 - - ³ Û ẻ - x x 2 0 x [ 5;1 ]
Vậy nghiệm dương lớn nhất để hàm số xác định là x = 1 Chọn A.
Câu 38 Hàm số xác định khi và chỉ khi ( 2 - 5 ) ( x 2 + 15 7 5 - ) x + - 25 10 5 ³ 0
Dựa vào bảng xét dấu ta thấy
Vậy tõp xỏc định của hàm số là D = - ộ ờ ở 5; 5 ự ỳ ỷ Chọn D.
Câu 39 Hàm số xác định khi và chỉ khi 4 3 - - > x x 2 0.
Dựa vào bảng xột dấu, ta thấy 4 3 - - > Û ẻ - x x 2 0 x ( 4;1 )
Vậy tập xác định của hàm số là D = - ( 4;1 ) Chọn C.
Câu 40 Hàm số xác định khi và chỉ khi 3 x 2 - + > 4 x 1 0.
Dựa vào bảng xét dấu ta thấy 3 2 4 1 0 ; 1 ( 1; ) x - + > Û ẻ -Ơ ẩ +Ơ x x ổ ỗ ỗ ỗố 3 ửữ ữ ữ ứ
Vậy tập xác định của hàm số là ; 1 ( 1; )
Câu 41 Hàm số xác định khi và chỉ khi 2 6 0
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy 2 6 0 ( 4; 3 ] [ 2; )
Vậy tập xác định của hàm số là D = - - È +¥ ( 4; 3 ] [ 2; ) Chọn A.
Câu 42 Hàm số xác định khi và chỉ khi 2 2 3 0
Dựa vào bảng xét dấu ta thấy 2 2 3 0 ; 5
Vậy tập xác định của hàm số là ; 5
Câu 43 Hàm số xác định 2 3 3 1 0 ( ) 2 2 12 0.
Dựa vào bảng xét dấu ta thấy 2 ( ] ( ]
Vậy tập xác định của hàm số là D = - - È ( 5; 3 ] ( ] 3;4 Chọn B.
Câu 44 Hàm số xác định khi và chỉ khi ( ) 2 2 5 4 0.
Dựa vào bảng xét dấu ta thấy 2 2 ( ]
Vậy tập xác định của hàm số là ( ; 4 ] 1 ;
Câu 45 Hàm số xác định khi và chỉ khi 2
Dựa vào bảng xột dấu, ta thấy x 2 + - ³ Û ẻ -Ơ - ẩ +Ơ x 20 0 x ( ; 5 ] [ 4; )
Vậy tập xác định của hàm số là D = -¥ - È +¥ ( ; 5 ] [ 4; ) Chọn B.
Câu 46 Phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi D < Û x 0 ( m + - < 1 ) 2 4 0
Câu 47 Yêu cầu bài toán Û
Vậy phương trỡnh đó cho luụn vụ nghiệm với mọi m ẻ Chọn A.
Suy ra với m = 2 thì phương trình ( ) * có nghiệm duy nhất x = - 2.
Do đó m = 2 không thỏa mãn yêu cầu bài toán
TH2 Với m - ạ Û ạ 2 0 m 2, khi đú để phương trỡnh ( ) * vụ nghiệm x 0 Û D < ¢
1 m m é > êê < ở thỡ phương trỡnh ( ) * vụ nghiệm
Kết hợp hai TH, ta được 3
1 m m é > êê < ở là giỏ trị cần tỡm Chọn C.
Câu 49 Xét phương trình mx 2 - 2 mx + = 4 0 ( ) *
TH1 Với m = 0, khi đó phương trình ( ) * Û = 4 0 (vô lý)
Suy ra với m = 0 thì phương trình ( ) * vô nghiệm.
TH2 Với m ạ 0, khi đú để phương trỡnh ( ) * vụ nghiệm Û D < x  0
Kết hợp hai TH, ta được 0 £ < m 4 là giá trị cần tìm Chọn D.
Suy ra với m = 2 thỏa mãn yêu cầu của bài toán
- ạ Û ớù ạ- ùợ khi đú để phương trỡnh ( ) * vụ nghiệm Û x 0
4 m m é > êê a ùùù ớù Â D = - = - < ùùợ suy ra 2 2 7 0, m - m + > " ẻ 3 m ị D > " ẻ x 0, m
Vậy phương trỡnh đó cho luụn cú nghiệm với mọi m ẻ Chọn A.
Câu 58 Yêu cầu bài toán
Do đú, hệ bất phương trỡnh ( ) * Û ạ m 1 Chọn B.
Câu 59 Yêu cầu bài toán
Vậy phương trỡnh cú hai nghiệm phõn biệt Û ẻ - m ( 2; 2 \ ) { } 1 Chọn C
Câu 60 Yêu cầu bài toán
5 m m m m m m m ỡ ạ ùùù ỡ ạ ù ù ù ộ > Û ù ớ ù ù ợ - + > Û ớ ùờ ù ùờù ờ ờù ìD > ù ù ù ù ỡ ù - - > ù ù ù > Û + = > Û ù Û > í í í ù ù ù > ù ù ùợ ù > ù = + > ùợ ùợ
Câu 62 Yêu cầu bài toán Û
P m m ỡ - ạ ỡ ạ ùùù ù ù ù - - + > ù ù ù ù ù D > Â ù ộ < < ùù Û ù Û ờ í í > ê ù > ù ù ù ù + ùợ ù ùù - ùợ >
Câu 63 Phương trình đã cho có hai nghiệm âm phân biệt khi và chỉ khi
Câu 64 Phương trình đã cho có hai nghiệm không âm khi và chỉ khi
P m m m m ỡù - - - - > ỡ - ³ ỡ D > ù ù ù ù ù ù ù ù + ùù ³ Û ù - ³ Û ù + + ³ Û ³ í í í ù ù ù ù ù ù ù ³ ù - - ³ ù - - ³ ùợ ù ùợ ùợ
Câu 65 Phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi
Câu 66 Phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi
2 x m x m x m x m x m x m ỡ = ùù Û - + - = Û - - + = Û ớù = - ùợ Để phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu
0 , 0 x x ì > ùùớ ù < ùợ theo bài ra, ta cú
Kết hợp với ( ) I , ta được 0 < < m 1 là giá trị cần tìm Chọn B.
Câu 68 Xét phương trình ( m - 1 ) x 2 - 2 ( m - 2 ) x + - = m 3 0 ( ) * , có
1 3 x m x m x m x m é = ê é ù Û - ở - - + = Û ỷ ờ - = - ở Để phương trình ( ) * có hai nghiệm phân biệt ( )
Khi đó, gọi x x 1 , 2 là hai nghiệm của phương trình ( ) * suy ra
1 x x m m x x m m ì - ùù + = ùù - ùớ ù - ù = ùù - ùợ
Theo bài ra, ta có 1 2 1 2 3 7 1 2 6 0 1 3.
Kết hợp với ( ) I , ta được 1 < < m 3 là giá trị cần tìm Chọn B.
Câu 69 Xét phương trình ( m + 1 ) x 2 - 2 mx + - = m 2 0 ( ) * , có D = + ¢ m 2.
Phương trình ( ) * có hai nghiệm phân biệt khác 0 khi và chỉ khi
Khi đó, gọi x x 1 , 2 là nghiệm của phương trình ( ) * suy ra 1 2
1 2 1 x x m m x x m m ỡùù + = ùù + ùớ ù - ù = ùù + ùợ
Theo bài ra, ta có 1 2
Kết hợp với ( ) I , ta được
6 2; 1 1;2 m m é > ờờ ẻ - - ẩ - ở là giỏ trị cần tỡm Chọn B.
Phương trình có hai nghiệm phân biệt khác 0 khi và chỉ khi:
Gọi x x 1 , 2 là nghiệm của phương trình đã cho Theo Viet, ta có
- - + + ùù ù Û + > Û + < Û ớù " 0, x khi
Câu 72 Tam thức f x ( ) có a = - < 2 0 Do đó f x ( ) £ " 0, x (không dương) khi
Câu 73 Tam thức f x ( ) có a = - < 2 0 Do đó f x ( ) < " 0, x khi
Câu 74 Tam thức f x ( ) có a = > 1 0nên f x ( ) ³ " 0, x (không âm) khi
Câu 75 Tam thức f x ( ) = - x 2 mx m - có hệ số a = > 1 0nên bất phương trình ( ) 0 f x ³ nghiệm đúng với mọi " x khi và chỉ khi
Câu 76 Tam thức f x ( ) = - + x 2 ( 2 m - 1 ) x + m có hệ số a = - < 1 0nên bất phương trình f x ( ) < 0 có tập nghiệm là khi
Câu 77 Bất phương trình f x ( ) = - + x 2 ( m 2 ) x + + £ m 2 0 khi và chỉ khi
Tam thức f x ( ) = - + x 2 ( m 2 ) x + + m 2 có hệ số a = > 1 0nên f x ( ) > 0 nghiệm đúng với mọi x khi D = ( m + 2 ) 2 - 4 ( m + = 2 ) m 2 - < Û - 4 0 2 < m < 2 Chọn D
Câu 78 Tam thức f x ( ) có hệ số a = m 2 + > " 2 0, x nên f x ( ) dương với mọi x khi D = + - ¢ ( m 1 ) 2 ( m 2 + = 2 ) 2 m - < Û < 1 0 m 1 2 Chọn A.
Với m = 4, ta có f x ( ) = - < 1 0: đúng với mọi x
Với m ạ 4, yờu cầu bài toỏn Û ( m - 4 ) x 2 + ( 2 m - 8 ) x + - Ê " ẻ m 5 0, x
Kết hợp hai trường hợp ta được m £ 4 là giá trị cần tìm Chọn A
Với m = 0 thay vào ta được f x ( ) = < 3 0 ( vô lý ) suy ra m = 0 không thỏa mãn.
Với m ạ 0, yờu cầu bài toỏn
( ) ì < ỡ ùù ỡ < ù < ỡ < ù ù ù ù ù ù ùộ Û ớ ù ù ợ D < Û ớ ù ù ợ - + < Û ớ ù ù ợ - - < Û ớờ ù ù ờù > ởùợ 4 0, " ẻ x : thỏa món. ã m ạ- 1, khi đú
Kết hợp hai trường hợp ta được - £ £ 1 m 3 Chọn A.
D = - + - = - ã D < ắắắắ ' 0 a =- < 2 0 đ f x ( )< " ẻ ắắ 0, x đbất phương trỡnh cú nghiệm. ã D = ắắ ' 0 đ f x ( ) = 0 tại 2
2 x = m - , còn ngoài ra thì f x ( ) < 0 nên bất phương trình có nghiệm. ã D > ắắ ' 0 đ f x ( ) = 0 cú hai nghiệm phõn biệt x 1 < x 2 Khi đú bất phương trỡnh đó cho cú nghiệm x ẻ -Ơ ( ; x 1 ) ( ẩ x 2 ; +Ơ )
Vậy cả ba trường hợp ta thấy bất phương trình đều có nghiệm Chọn A.
D = - + - = - ã D < ắắắắ ' 0 a =- < 2 0 đ f x ( )< " ẻ ắắ 0, x đbất phương trỡnh vụ nghiệm.
Do đó trường hợp này không có m thỏa mãn. ã ( )
, còn ngoài ra thì f x ( ) < 0 nên bất phương trình vô nghiệm.
Do đó trường hợp này có m = 0 hoặc m = 2 thỏa mãn. ã D > Û ' 0 ộ < ờ ờ > m m 0 2 ắắ đ f x ( ) = 0 ở cú hai nghiệm phõn biệt x 1 < x 2 Khi đú bất phương trỡnh đó cho cú nghiệm x ẻ [ x x 1 ; 2 ]
Do đó trường hợp này có m < 0 hoặc m > 2 thỏa mãn.
Hợp cỏc trường hợp ta được m ẻ -Ơ ẩ +Ơ ( ;0 ] [ 2; ) thỏa món Chọn C.
Đặt hàm số f(x) = mx² + 2(m + 1)x - m² và tính D = (m + 1)² - 4m Để bất phương trình f(x) ≥ 0 có nghiệm, cần m = 0, thỏa mãn điều kiện này Nếu m > 0, hàm số có hai nghiệm phân biệt Ngược lại, với m < 0, yêu cầu bài toán là f(x) ≥ 0 cho x thuộc [0, 1], dẫn đến D > 0, đảm bảo tồn tại hai nghiệm phân biệt x₁ < x₂.
Khi đú bất phương trỡnh đó cho cú nghiệm x ẻ ( x x 1 ; 2 )
- < < thỏa mãn Hợp các trường hợp ta được 1 m > - 4 Chọn C.
Câu 91 Tập nghiệm của 2 - ³ x 0 là S 1 = -¥ ( ;2 ]
Vậy tập nghiệm của hệ là S = Ç = S 1 S 2 ( ] 1;2 Chọn C.
Câu 92 Tập nghiệm của x 2 - - > 2 x 3 0 là S 1 = -¥ - È +¥ ( ; 1 ) ( 3; )
Vậy tập nghiệm của hệ là S = Ç = -¥ - È S 1 S 2 ( ; 1 ) ( ] [ 3;4 È +¥ 7; ) Chọn D.
Câu 93 Tập nghiệm của x 2 - 4 x + > 3 0là S 1 = -¥ ( ;1 ) ( 3; +¥ ).
Vậy tập nghiệm của hệ là S = S 1 S 2 = -¥ ( ;1 ) ( 4; +¥ ) Chọn B.
Câu 94 Tập nghiệm của x 2 - + £ 3 x 2 0là S 1 = [ ] 1;2
Vậy tập nghiệm của hệ là S = S 1 S 2 = { } 1 Chọn B
Câu 95 Tập nghiệm của 3 x 2 - 4 x + > 1 0 là 1 ; 1 ( 1; )
Vậy tập nghiệm của hệ là S = ầ = ặ S 1 S 2 Chọn C.
Câu 96 Tập nghiệm của - 2 x 2 - + < 5 x 4 0 là
Vậy tập nghiệm của hệ là 1 2 5; 5 57 5 57 ;2
Do đó các giá trị nguyên của x thuộc tập S là { - 4;1 } Chọn C.
Câu 97 Tập nghiệm của x 2 - < 9 0 là S 1 = - ( 3;3 )
Vậy tập nghiệm của hệ là 1 2 4 ; 1 [ ) 1;3
Câu 98 Tập nghiệm của x 2 - + < 7 x 6 0là S 1 = ( ) 1;6
Vậy tập nghiệm của hệ là S = S 1 S 2 = ( ) 1;2 Chọn A
Câu 99 Đáp án A Tập nghiệm của x 2 - - > 2 x 3 0 là S 1 = -¥ - È +¥ ( ; 1 ) ( 3; )
Vậy tập nghiệm của hệ là S = Ç = -¥ - È +¥ S 1 S 2 ( ; 1 ) ( 3; ) Đáp án B Tập nghiệm của x 2 - - < 2 x 3 0 là S 1 = - ( 1;3 )
Vậy tập nghiệm của hệ là S = ầ = ặ S 1 S 2 Đáp án C Tập nghiệm của x 2 - - > 2 x 3 0 là S 1 = -¥ - È +¥ ( ; 1 ) ( 3; )
Vậy tập nghiệm của hệ là S = Ç = -¥ - È +¥ S 1 S 2 ( ; 1 ) ( 3; ) Đáp án D Tập nghiệm của x 2 - - < 2 x 3 0 là S 1 = - ( 1;3 )
Vậy tập nghiệm của hệ là S = Ç = - S 1 S 2 ( 1;3 ) Chọn B.
Câu 100 Tập nghiệm của x 2 + 4 x + ³ 3 0 là S 1 = -¥ - ( ; 3 ] [ - +¥ 1; )
Vậy tập nghiệm của hệ là 1 2 3 [ 1;1 ) 3 5 ;
Suy ra nghiệm nguyên là { - 1;0;2 } Chọn B.
S 3 Bất phương trình 2 x m 2 Suy ra 2 ;
S m Để hệ bất phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi S 1 S 2
Câu 102 Bất phương trình 1 1 x 1 Suy ra S 1 1;1
Bất phương trình 2 x m Suy ra S 2 m ; Để hệ bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi S 1 S 2 m 1.
Câu 103 Bất phương trình 1 3 x 4 Suy ra S 1 3; 4
Bất phương trình có S 2 ; m 1 Để hệ bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi
Câu 104 Bất phương trình đã cho tương tương với
Yờu cầu Û (1) và (2) nghiệm đỳng " ẻ x
Câu 105 Bất phương trình tương đương
2 3 2 ỡù + + + ù ³ ùù - + ùớ ù - + - ùù > ù - + ùợ x x m x x x x m x x
Yờu cầu Û (1) và (2) nghiệm đỳng " ẻ x
Câu 106 Bất phương trình x - > Û > 1 0 x 1 Suy ra S 1 = +¥ ( 1; ).
Bất phương trình x 2 - 2 mx + £ Û - 1 0 x 2 2 mx m + 2 £ m 2 - Û - 1 ( x m ) 2 £ m 2 - 1
2 1 2 1 m m x m m Û - - Ê Ê + - Suy ra S 2 = - ộ ờ ở m m 2 - 1; m + m 2 - 1 ự ỳ ỷ. Để hệ có nghiệm Û + m m 2 - > 1 1
Đối chiếu điều kiện, ta được m > 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán Chọn C.
Câu 107 Điều kiện để (1) có nghiệm là D = ³ ' m 0
Khi đú ( ) 1 cú tập nghiệm S 1 = - ộ ờ ở 1 m ;1 + m ự ỳ ỷ.
Ta thấy (2) có tập nghiệm S 2 = [ m m ; + 1 ].
S S m m m ỡù Ê + + Û ầ ạ ặ Û ùù ớù - Ê + ùùợ Û Ê Ê Chọn B.
Câu 108 Bất phương trình 1 1 x 4 Suy ra S 1 1; 4
Với m 1 0 m 1 thì bất phương trình (2) trở thành 0x2 : vô nghiệm
Với m 1 0 m 1 thì bất phương trình (2) tương đương với 2 x 1
Hệ bất phương trình có nghiệm khi
Với m 1 0 m 1 thì bất phương trình (2) tương đương với 2 x 1
Hệ bất phương trình có nghiệm khi 2 1 1
(không thỏa) Để hệ bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 3 m ³ 2 Chọn B.
