Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai, phân tích thành nhân tử
Ví dụ 1: Cho phương trình 2x 2 -mx + =5 0 Biết phương trình có một nghiệm là 2 Tìm m và tìm nghiệm còn lại
Cách 1: Vì phương trình có nghiệm nên theo hệ thức Viét ta có 1 2 5 x x = 2 Giả sử x 1 = 2 suy ra 2 5 x = 4.
Vậy 13 m = 2 và nghiệm còn lại là 5
2 Cách 2 : Thay x = 2 vào phương trình ta được 8 2 5 0 13 m m 2
Theo hệ thức Viét ta có 1 2 5 x x = 2 mà x 1 = 2 nên 2 5 x = 4.
Vậy 13 m = 2 và nghiệm còn lại là 5
Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) f x ( ) 3 = x 2 - 14 x + 8 b) g x ( ) = - + x 4 5 x 2 - 4 c) P x y ( ; ) 6 = x 2 - 11 xy + 3 y 2 d) Q x y ( ; ) 2 = x 2 - 2 y 2 - 3 xy x + - 2 y
- + = Û ờờở Suy ra f x ( ) 3 = ổ ỗỗỗố x - 2 3 ửữ ữữữứ( x - 4 ) ( = 3 x - 2 )( x - 4 ) b) Phương trình - + x 4 5 x 2 - = Û - 4 0 ( ) x 2 2 + 5 x 2 - = Û ê = 4 0 é ê x x 2 2 = 1 4 ờở Suy ra g x ( ) = - ( x 2 - 1 )( x 2 - 4 ) = - - ( x 1 )( x + 1 )( x - 2 )( x + 2 ) c) Xét phương trình 6 x 2 - 11 xy + 3 y 2 = 0 ẩn x
D = - Suy ra phương trình có nghiệm là 11 7 3
Do đú P x y ( ; ) 6 = ổ ỗỗỗố x - y 3 ửổ ữ ữữữứốỗỗỗ x - 3 2 y ử ữ ữữữứ= ( 3 x y - )( 2 x - 3 y ) d) Xét phương trình 2 x 2 - 2 y 2 - 3 xy x + - 2 y = 0( ẩn x )
Suy ra phương trình có nghiệm là 3 1 ( 5 1 ) 2
Ví dụ 3: Phân tích đa thức f x ( ) = x 4 - 2 mx 2 - + x m 2 - m thành tích của hai tam thức bậc hai ẩn x
Loại 2: Bài toán liên quan đến biểu thức đối xứng hai nghiệm x x 1 , 2 của phương trình bậc hai
Ví dụ 4: Cho phương trình x 2 - 2 ( m + 1 ) x m + 2 + = 2 0 với m là tham số Tìm m để phương trình có hai nghiệm x x 1 ; 2 sao cho a) x 1 3 + x 2 3 = 2 x x x 1 2 ( 1 + x 2 ) b) x 1 4 - x 2 4 = 16 m 2 + 64 m c) A x x = 1 2 - 2 ( x 1 + x 2 ) - 6 đạt giá trị nhỏ nhất d) B = 2 ( x 1 2 + x 2 2 ) + - 16 3 x x 1 2 đạt giá trị lớn nhất
Ta có phương trình có hai nghiệm x x 1 ; 2 Û D ³ ' 0
( x 1 x 2 ) (é x 1 x 2 ) 2 5x x 1 2ù 0 Û + ờở + - ỳỷ Suy ra ( 2 m + 2 2 ) ( ộờở m + 2 ) 2 - 5 ( m 2 + 2 ) ựỳỷ = Û 0 2 ( m + 1 ) ( - m 2 + 8 m - 6 ) = 0
8 6 0 4 10 m m m m m é + = éê = - Û ờờ- +ờở - = Û ờờở = ± Đối chiếu với điều kiện (*) ta thấy chỉ có m = ±4 10 thỏa mãn
Vậy m = ±4 10 thỏa mãn yêu cầu bài toán. b) Ta cú x 1 4 - x 2 4 = ( x 1 2 + x 2 2 )( x 1 2 - x 2 2 ) = ộờở( x 1 + x 2 ) 2 - 2 x x x 1 2 ựỳỷ 1 - x x 2 1 + x 2
8 4 2 2 8 (2) m m m m m m m m Û + - + - é + Û ờờờở - + Ta có ( ) 1 Û ê = - é ê m m = 0 4 ờở (loại)
Vậy m = 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán. c) Ta có A x x = 1 2 - 2 ( x 1 + x 2 ) - = 6 m 2 + - 2 2 2 ( m + - = 2 ) 6 m 2 - 4 m - 8
Suy ra minA= - Û12 m = 2 , m = 2 thỏa mãn (*)
Vậy với m = 2 thì biểu thức A đạt giá trị nhỏ nhất. d) B = 2 ( x 1 2 + x 2 2 ) + 16 3 - x x 1 2 = 2 ( x 1 + x 2 ) 2 - 4 x x 1 2 + 16 3 - x x 1 2
Xét hàm số y = - 3 m 2 + 2 m - 2 với 1 m ³ 2 Bảng biến thiên x 1
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức B là 7
Cho phương trình x² - mx + m = 0 với m là tham số Để chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m, ta cần kiểm tra điều kiện của delta Gọi x₁ và x₂ là hai nghiệm của phương trình, ta tìm hệ thức liên hệ giữa x₁ và x₂ không phụ thuộc vào m, từ đó áp dụng công thức Viète Cuối cùng, ta sẽ xác định giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức x₁² + x₂².
Lời giải: a) Ta có D = m 2 - 4 ( m - = 1 ) ( m - 2 ) 2 ³ 0 nên phương trình có nghiệm với mọi giá trị của m b) Theo hệ thức Viét ta có: x 1 + x 2 = m và x x 1 2 = - m 1
Suy ra hệ thức liên hệ giữa x x 1 , 2 không phụ thuộc vào m là x x 1 2 = x 1 + - x 2 1 c) Ta có x 1 2 + x 2 2 = ( x 1 + x 2 ) 2 - 2 x x 1 2 = m 2 - 2 m + 2
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi m = 1
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi m = - 2
Vậy max A = 1 khi và chỉ khi m = 1, min 1
Chú ý: Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 1
+ Khi đó để biểu thức đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất thì tử số là biếu thức
( ) 2 2 2 2 1 f m = -km + m- k + phải biểu diễn được dưới dạng bình phương hay
Vì vậy ta mới đi xét như trên.
Bài 3.13: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) f x ( ) 2 = x 2 - 5 x + 3 b) g x ( ) 2 = x 4 - 14 x 2 - 36 c) P x y ( ; ) 3 = x 2 - 5 xy - 2 y 2 d) Q x y ( ; ) = x 2 - 2 y 2 - xy - 3 y - 1
Bài 3.14: Phân tích đa thức f x ( ) = 2 x 3 + ( m + 1 ) x 2 + 2 m x m + 2 + m (biến x với tham số m ) thành tích một đã thức bậc hai và một bậc nhất.
Bài 3.15: Gọi x x 1 , 2 là hai nghiệm của phương trình: - +x 2 3x + =1 0 Tính giá trị của các biểu thức:
Bài 3.16: Tìm m để phương trình 3 x 2 + 4 ( m - 1 ) x m + 2 - 4 m + = 1 0 có hai nghiệm phân biệt x x 1 , 2 thỏa mãn: ( 1 2 )
Bài 3.17: Cho phương trình x 2 - 2 ( m - 1 ) x m + 2 - = 3 0 với m là tham số Tìm m để phương trình có hai nghiệm x x 1 ; 2 sao cho a) x 1 + x 2 = 2 x x 1 2 b) A = 2 ( x 1 2 + x 2 2 ) - x x 1 2 đạt giá trị lớn nhất c) 2 1 2 2
= + - đạt giá trị nhỏ nhất
DẠNG TOÁN 4: MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
1 Phương pháp giải và các ví dụ minh họa
Loại 1: Tìm điều kiện để hai phương trình bậc hai ax 2 + + =bx c 0 và a x / 2 +b x c / + = / 0 có nghiệm chung
Chúng ta làm như sau:
Bước 1: Giả sử hai phương trình có nghiệm chung là x 0 thì
0 0 ax bx c a x b x c ỡù + + ùớù + + ùợ Giải hệ tìm được x 0 ,suy ra giá trị của tham số
Bước 2: Thế giá trị của tham số tìm được vào hai phương trình để kiểm tra và kết luận.
Ví dụ 1: Tìm tất cả các giá trị của a để hai phương trình x 2 +ax + =1 0 và x 2 + + =x a 0 có nghiệm chung
Lời giải: Điều kiện cần: Giả sử hai phương trình có nghiệm chung là x 0 thì
Nếu a = 1 thay vào hai phương trình ta thấy chúng vô nghiệm
Nếu a ạ 1 thỡ x 0 = ị = - 1 a 2 Điều kiện đủ: Với a = - 2 thì hai phương trình trở thành x 2 -2x + =1 0 và x 2 + - =x 2 0
Giải hai pt này ta thấy chúng có nghiệm chung là x = 1
Vậy a = - 2 là giá trị cần tìm
Ví dụ 2 : Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình ( x 2 - 2 mx m + - 1)( x 2 - 3 x + 2 m ) = 0 có bốn nghiệm phân biệt
Phương trình tương đương với ( )
Phương trình đầu có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi hai phương trình ( ) 1 và ( ) 2 đều có hai nghiệm phân biệt mà không có nghiệm chung.
D = - + = ỗỗố - ữữữứ + > " nờn phương trỡnh (1) cú nghiệm với mọi m
Do đó điều kiện để cả hai phương trình ( ) 1 và ( ) 2 có hai nghiệm phân biệt là 2 9 8 0 9 m m 8
* Giả sử hai phương trình ( ) 1 và ( ) 2 có nghiệm chung là x 0 thì
2 5 3 2 0 2 1 x mx m x x x x x x x x m x x x x m ỡù - + - = - ù ị - - + - ớù - + ùợị - + - = ị = ị Với m = 1 phương trình (1) trở thành 2 2 0 0
- = Û ờ =ờở , phương trỡnh (2) trở thành
- + = Û ờ =ờở do đú m = 1 thỡ hai phương trỡnh cú nghiệm chung.
Suy ra để khi hai phương trỡnh ( ) 1 và ( ) 2 khụng cú nghiệm chung là m ạ 1
Vậy để phương trình đầu có bốn nghiệm phân biệt thì 9 m < 8 và m ạ 1
Để chứng minh rằng trong các phương trình bậc hai luôn có ít nhất một nghiệm, chúng ta sẽ chứng minh rằng tổng các biệt thức Delta là một số không âm.
Ví dụ 3: Cho các số dương a b c , , thỏa mãn diệu kiện a + +2b 3c =1.Chứng minh rằng có ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm
Hai phương trình trên lần lượt có D = / 1 16 1 48 , a ( - bc ) D = / 2 16 1 24 b ( - ac )
Vì a b , là các số dương nên D D 1 / , / 2 lần lượt cùng dấu với 1 48 - bc và 1 24ac -
Mặt khác ta lại có 1 48 - bc + - 1 24 ac = - 2 24 c a ( + 2 b ) = - 2 24 1 3 c ( - c ) = 2 6 ( c - 1 ) 2 ³ 0
Vậy có ít nhất một trong hai phương trình trên có nghiệm
Ví dụ 4: Cho các số a b c , , thỏa mãn điệu kiện a b c+ + = 6.Chứng minh rằng có ít nhất một trong ba phương trình sau có nghiệm
Ba pt trên lần lượt có D = 1 a 2 - D = -4, 2 b 2 4 , D = - 3 c 2 4
Ta có bất đẳng thức quen thuộc sau 2 2 ( ) 2
Do đó có ít nhất một trong ba biệt thức D D D 1 , , 2 3 không âm
Vậy với a b c , , thỏa mãn điệu kiện a b c+ + = 6thì có ít nhất một trong ba phương trình có nghiệm
Chứng minh bất đẳng thức liên quan đến các hệ số của phương trình bậc hai thường yêu cầu điều kiện ràng buộc cụ thể Để xác định các điều kiện này, chúng ta thường dựa vào các tính chất và mối quan hệ giữa các nghiệm của phương trình.
+ Nếu phương trình bậc hai ax bx c 2 + + =0 có nghiệm thực thì D³ Û ³0 b 2 4ac.
+ Sử dụng định lí Viét và điều kiện nghiệm của đề bài đã cho để suy ra ràng buộc của hệ số a b c , ,
Ví dụ 5: Cho phương trình x bx c 2 - + ó hai nghiệm thực dương x x 1 , 2 thoả mãn x x 1 + £ 2 1.Chứng minh rằng: a) 1. c £4 b) b c( 1) 5 + ³ c
2 4 c x x= Êổỗỗỗỗỗốx x+ ữửữữữữứ Ê c) Thay b x x c x x= + 1 2 , = 1 2 ta có bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:
Ví dụ 6: Cho phương trình x bx c 2 - + ó hai nghiệm thực dương x x 1 , 2 thoả mãn x x 1 + ³ 2 1. a) Chứng minh rằng: 2 2 1 b - ³c 2 b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P=2bc b- - + 3 3 1b
Lời giải: a) Thay b x x c x x= + 1 2 , = 1 2 ta có bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:
Ta có: x 1 2 + ³ x 2 2 1 2 ( x 1 + x 2 ) 2 ³ 2 1. b) Theo giả thiết ta có: 1, 2 b4 b³ £c nên 3 3 1 1 3 1 5
Bài 3.18: Tìm m để hai phương trình sau có nghiệm chung x 2 -2mx -4m+ =1 0 (1) và
Bài 3.19: Chứng minh rằng nếu hai phương trình x 2 +ax b+ = 0 và x 2 +mx n+ = 0 có nghiệm chung thì ( n b - ) ( 2 = m a an bm - )( - )
Trong bài toán này, cho a, b, c là các số thực không đồng thời bằng 0, cần chứng minh rằng ít nhất một trong ba phương trình sau có nghiệm: ax^2 + 2bx + c = 0 (1), bx^2 + 2cx + a = 0 (2), và cx^2 + 2bx + b = 0 (3).
Bài 3.21: Cho phương trình x bx c 2 + + ó hai nghiệm thực dương x x 1 , 2 thoả mãn x x 1 2 ³ 1. a) Chứng minh rằng: b 2 ³4. b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Bài 3.22: Giả sử phương trình bậc hai ax 2 + + =bx c 0 có hai nghiệm thuộc [0;3] Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 18 2 2 9 2
Bài 3.23: Cho phương trình bậc hai ax x c 2 - + =0 có hai nghiệm thực dương x x 1 , 2 thoả mãn x x 1 + £ 2 1.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
CHỦ ĐỀ 3 MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HOẶC BẬC HAI DẠNG TOÁN 1: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
1 Phương pháp giải Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối(GTTĐ) ta tìm cách để khử dấu GTTĐ, bằng cách:
– Dùng định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ.
Phương trình dạng f x( ) = g x( ) ta có thể giải bằng cách biến đổi tương đương như sau
2 Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau a) 2 x + = 1 x 2 - 3 x - 4 b) 3 x - = - 2 3 2 x c) x 2 -4x - =5 4x -17 d) 2x - +5 2x 2 -7x + =5 0
Vậy phương trình có nghiệm là 5 45 x = ±2 và 1 13 ±2 b) Cách 1: Với 3 2 0 3 x x 2
- < Û > ta có VT ³0,VP < 0 suy ra phương trình vô nghiệm
- ³ Û £ khi đó hai vế của phương trình không âm suy ra
Vậy phương trình có nghiệm là x = ± 1
Cách 2: Với 3 2 0 2 x - ³ Û ³x 3 : Phương trình tương đương với 3x 2 3 2x- = - Û 5x 5= Û =x 1 (thỏa mãn)
Với 3 2 0 2 x - < Û 0 12 1 ( - m 2 + 8 m - 28 ) (1)
Vậy 9 m ³ 2 là giá trị cần tìm.
Loại 2: Phân tích thành tích bằng cách nhân liên hợp Để trục căn thức ta nhân với các đại lượng liên hợp
Với A, B không đồng thời bằng không.
Ví dụ 4: Giải các phương trình sau a) ( )
Vậy phương trình có ngjiệm x9 b) ĐKXĐ: 2 x 3
Nhẩm ta thấy x1 là nghiệm của phương trình nên ta tách như sau
Phương trình (*) x 1(thỏa mãn điều kiện)
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x1. c) Phương trình được viết lại như sau: 3 3 x - =2 x 2 +15- x 2 +8
Vì x 2 +15- x 2 + >8 0 nên phương trình có nghiệm thì phải thỏa mãn 3 3 x -2 hay 8 x > 27
Ta có phương trình tương đương với:
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x1.
Ví dụ 5: Giải các phương trình sau a) (x +3) 2x 2 + =1 x 2 + +x 3 b) (3x1) x 2 3 3x 2 2x3
Lời giải: a) Ta thấy x = - 3 không là nghiệm của phương trình
5 2 13 x x x ỡùù ³ - ùù Û = + ớùù = - ± ùùợ Û (thỏa mãn)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 0 và x = - +5 13 b) Ta thấy
3 x 1 không là nghiệm của phương trình
Xét 3 x 1, phương trình đã cho
Nên phương trình có nghiệm phải thỏa mãn 1 2 3 2 0
Do đó phương trình đã cho 2 3 2 3 2 2 3 2
Nhưng x 1 không thoả mãn 1 x 3 nên phương trình có nghiệm x1
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x1.
Ví dụ 6: Giải các phương trình sau a) x 2 + x 2 +11 = 31 b) (x +5)(2- =x) 3 x 2 +3x c)
Lời giải: a) Đặt t = x 2 +11, t ³ 0 Khi đó phương trình đã cho trở thành:
Vỡ t ³ ị = 0 t 6, thay vào ta cú x 2 +11 6 2 11 36 5 x + = Û = ±x
Vậy phương trình có nghiệm là x = ± 5 b) Phương trìnhÛ x 2 +3x +3 x 2 +3x -10 = 0 Đặt t = x 2 +3 , x t ³ 0 Phương trình đã cho trở thành
Vỡ t ³ ị = 0 t 2, thay vào ta cú x 2 +3x = 2
Vậy phương trình có nghiệm là x = 1 và x = - 4. c) ĐKXĐ: x 0
Dễ thấy x0 không phải là nghiệm của phương trình
Vậy phương trình có nghiệm là 5 21 x 2 và x1.
Nhận xét: Phương trình có dạng af x b f x c 0 ta đặt f x t
Ví dụ 7: Giải các phương trình sau a) 4x - +1 4x 2 -6x + =1 0 b) 3x 2 2x 9 3x 2 2x 2 7 c) 3 x 8 9x 1 1 x x
Vậy phương trình có hai nghiệm 1 x2 và 2 2 x 2 b) Đặt t = 3x 2 -2x +2, điều kiện t ³0 Khi đó 3x 2 -2x + =9 t 2 +7
3 t t t tt t t t t ì £ Û + = - Û ớù + = - +ùùùợ ỡ Êùù Û ớù =ùợ Û Với t = 3 ta có 3x 2 -2x + =2 3
Vậy phương trình có hai nghiệm 1 22 x 3 c) ĐKXĐ: x > 0.
Phương trình tương đương với
1 13 18 6 x x x x x é - + ê = - Û + - = Û ờờờờờở = - - Û Vậy phương trình có nghiệm là x = 1 và 7 13 x = -18 d) ĐK: x ³0.
Dễ thấy x0 không là nghiệm của phương trình.
Xét x0 Khi đó phương trình tương đương với
+ = Û - + = Û = (thỏa mãn) Vậy phương trình có nghiệm là 3 2 2 x = ±2
Nhận xét: Phương trình có chứa af x bf x 1 và a f 2 2 x b f 2 1 2 x thì ta đặt ẩn phụ là
Ví dụ 8: Giải phương trình a) ( x + 1 ) 2 - 2 2 ( x x 2 + = 1) 0 b) 10 x 3 + =1 3(x 2 +2) c) 4+ x + =1 3 x 2 - +1 2 x -1
Phương trình trở thành a 2 + - b 2 2 ab = Û 0 ( a b - ) 2 = Û = 0 a b
Vậy phương trình có nghiệm là x = 1 b) ĐKXĐ: x 3 + ³ Û ³ -1 0 x 1.
Vậy phương trình có nghiệm là x = ±5 33. c) ĐKXĐ: x 1 ³ Đặt x + =1 a x, - =1 b a; ³0,b ³0
Phương trình trở thành 4+ =a 3ab+2b
Mặt khác a 2 + =b 2 2 suy ra 2 ( a 2 + b 2 ) + = a 3 ab + 2 b Û ( a - 2 2 b )( a b + + = 1 ) 0
Vậy phương trình có nghiệm là 5 x = 3
Ví dụ 9: Tìm m để phương trình sau có nghiệm a) ( 2 x - 1 ) 2 + = m x 2 - + x 1 (1) b) 3 x - +1 m x + =1 2 4 x 2 -1 (2)
2 4 4 x - + =x ổỗỗỗốx - ửữữữữứ + ³ nờn 3 t ³ 2 Phương trình (1) trở thành 4t 2 - + = Û -3 m t 4t 2 + + =t 3 m (1')
Phương trình (1) có nghiệm Û phương trình (1') có nghiệm 3 t ³ 2 Û đồ thị hàm số y = - 4 t 2 + - t 3 trên [ 3; )
Vậy phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi 12 3 m £ - +2 b) ĐKXĐ: x ³ 1
Chia cả hai vế cho x +1 ta có
Xét hàm số y = - 3 t 2 + 2 t trên [0;1) , ta có 1
3 3 yổ ửữỗỗ ữữỗố ứữ Bảng biến thiên x 0 1
Phương trỡnh (2) cú nghiệm Û phương trỡnh (2') cú nghiệm t [0;1) ẻ Û đồ thị hàm số y = - 3 t 2 + 2 t trên [0;1) cắt đường thẳng y = m 1 1 m 3 Û - < £
Vậy phương trình (2) có nghiệm khi và chỉ khi 1 1 m 3
Khi giải bài toán bằng cách đặt ẩn phụ, đối với loại toán không chứa tham số, có thể không cần nêu điều kiện của ẩn phụ Tuy nhiên, với bài toán chứa tham số, cần phải chỉ rõ điều kiện chặt chẽ đối với ẩn phụ.
Loại 4: Đặt ẩn phụ không hoàn toàn
Ví dụ 10: Giải phương trình 3 x + =3 3x 2 +4x -1
Phương trình Û - 27 ( x + - 3 ) 3 x + + 3 3 x 2 + 31 x + 80 = 0 Đặt t = x + 3 ( t ³ 0 ) phương trình trở thành -27t 2 - +3t 3x 2 +31x +80 0
3 x9 x - - ã + = Vụ nghiệm vỡ với x ³ - 3 thỡ 3 16 0
Vậy phương trình ban đầu có hai nghiệm x = 1 và x = - 2
Nhận xét: Trong lời giải trên ta thấy khó nhất là biến đổi phương trình ban đầu thành
- + - + + + + = để sau khi đặt ẩn phụ t = x +3 thì phương trình ẩn t có = ( 18 x + 93 ) 2 ( là bình phương của một nhị thức)
Nếu không tách hợp lý, thì biểu thức sẽ không phải là bình phương của một nhị thức hay một hằng số, dẫn đến việc giải phương trình theo phương pháp đã nêu sẽ không khả thi.
Để tách được phương trình thỏa mãn các điều kiện đã nêu, chúng ta cần thực hiện một quy trình cụ thể Việc tách ra như vậy có thể không phải là duy nhất, do đó, cần xem xét các bước thực hiện một cách cẩn thận để đảm bảo tính chính xác và đầy đủ trong quá trình giải quyết.
B2: Đặt t = x + 3 ( t ³ 0 ) pt trở thành mt 2 - + 3 t 3 x 2 + - ( 4 m x ) - - 1 3 m = 0
0 4 27 1 0 27 f f m m m m m m m ì ỡ- > ù- > ùù Û ù Û = - í í ùD = ùD = + + + ù ù ợ ợ Đến đây việc giải pt như đã trình bày ở trên
Ví dụ 11: Giải phương trình 60 24- x -5x 2 = x 2 +5x -10
Lời giải: ĐKXĐ: 60 24- x -5x 2 ³ 0 Đặt t = 60 24- x -5 (x 2 t ³0)pt trở thành 1 2 1 2 0 2 6 2 6 0
6t + -t 6x - = Û + - -x t t x x Phuơng trình ẩn t này có D = / ( x + 3 ) 2 nên ta tìm được t 1 = x t , 2 = - - x 6
Vậy pt ban đầu có hai nghiệm x 1 = - -2 14,x 2 = - -3 13
Ví dụ 12: Giải phương trình ( x + 3 ) ( 4 - x )( 12 + x ) = 28 - x
Phương trình bậc hai ẩn t có D = t 1 từ đó có t = + x 2, t = + x 4
Vậy pt ban đầu có hai nghiệm x 1 = - +3 31,x 2 = - +4 4 2
Bài 3.33: Giải các phương trình sau a) 2x + =1 3x +1 b) x 3 - =x 4x +4 c) x 4 +3x + =1 x 4 - -x 2 1 d) 2x + 6x 2 + = +1 x 1 e) 2 x + =3 9x 2 - -x 4 f) x 2 + x + =7 7
Bài 3.34: Giải các phương trình sau: a) x 2 +12 5+ = 3x + x 2 +5 b) 3 3 x 2 + x 2 + - =8 2 x 2 +15 c) 5x - +1 3 9- =x 2x 2 +3x -1 d) 3 x + +6 x 2 = -7 x -1
Bài 3.35: Giải các phương trình sau a) x 2 + + =x 2 x 2 +x b) ( 2 x - 1 ) 2 = x 2 - + x 1 c) 13x +2(3x +2) x + +3 42 0= d) x 2 -2x - - - +22 x 2 2x +24 = 0 e) 1 1
Bài 3.36: Giải các phương trình sau a) 4x 2 +22+ 3x - =2 21x b) x ( 1 5 - x + 3 ) = 3 ( x 2 - 4 ) c) 51 x - =2 3x 2 -58x +110 d) x 2 +x x3 - + =1 2 6x
DẠNG TOÁN 4: PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO
Loại 1: Đưa về phương trình tích
1 Phương pháp giải Để giải phương trình f x ( ) = 0 ta phân tích f x ( )= f x f x 1 ( ) ( ) ( ).2 f x n khi đó
0 0 n 0 f x f x f x f x é êê = Û êê êê ờở Để đưa về một phương trình tích ta thường dùng các cách sau:
Sử dụng các hằng đẳng thức đưa về dạng a 2 - = b 2 0, a 3 - = b 3 0,
Nhẩm nghiệm rồi chia đa thức: Nếu x = a là một nghiệm của phương trình f x ( ) 0 = thì ta luôn có sự phân thích: f x ( ) ( = - x a g x ) ( ).
* Để dự đoán nghiệm ta chú ý các kết quả sau:
+ Nếu phương trình f x ( ) 0 = có nghiệm nguyên thì nghiệm đó phải là ước của a 0
+ Nếu đa thức có tổng các hệ số bằng không thì phương trình f x ( ) 0 = có một nghiệm bằng 1
+ Nếu đa thức có tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng các hệ số bậc lẻ thì phương trình f x ( ) 0 = có một nghiệm bằng -1.
* Để phân tích f x ( ) ta sử dụng lược đồ Hooc-ne như sau:
Nếu f x ( ) có nghiệm là x = x 0 thì f x ( ) chứa nhân tử ( – x x 0 ) tức là :
Với hệ số b i được xác định như sau:
Ví dụ : Giải phương trìnhx 4 +x 3 – – 1 0x Nhận thấy : a 4 + + + + = + + + - + - = a 3 a 2 a 1 a 0 1 1 0 ( ) ( ) 1 1 0
Suy ra phương trình có hai nghiệm x 1 = 1, x 2 = - 1
Ta có phương tình thương đương với ( x - 1 )( x + 1 ) ( x 2 + + = Û = ± x 1 ) 0 x 1
Sử dụng phương pháp hệ số bất định
2 Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau. a) x 3 -3x 2 -6x + =8 0 b) 3x 5 -13x 4 +16x 3 +5x 2 -21x + =6 0.
Lời giải: a) Phương trình tương đương với ( x + 2)( x 2 - 5 x + = 4) 0
4 x x x x x x é = - Û + - - = Û êêê ờ =ờở Vậy phương trình có nghiệm là x = - 2, x = 1 và x = 4 b) Phương tình tương đương với ( x + 1 3 ) ( x 4 - 16 x 3 + 32 x 2 - 27 x + 6 ) = 0
Vậy phương trình có nghiệm là 1, 1 x = - x = 3 và x = 2
Ví dụ 2: Giải phương trình:x 4 -4x 3 -10x 2 +37x -14 0 Lời giải: Đối với phương trình này ta không nhẩm được nghiệm nguyên hay hữu tỉ
Bây giờ ta giả sử phương trình trên phân tích được thành dạng
+ + + + Û + + + + + + + + Đồng nhất các hệ số ta có
4 10 37 14 a a a a b b a b a b b b ì + = - ùùùù + + = - ùùớù + ùùù = - ùùợ Suy ra b 1 = - 2; b 2 = - 7; a 1 = - 5; a 2 = 1
Do đó phương trình tương đương với ( x 2 - 5 2 x + )( x 2 + - x 7 ) = 0
+ ê ê ê - ± ờở - = ờờở Vậy phương trình có nghiệm là 5 17 x = ±2 và 1 29 x = - ±2
Ví dụ 3: Giải các phường trình sau: a) x 4 -4x 2 +12x - =9 0 b) x 4 - 4 x = 1
Lời giải: a) Phương trình tương đương với x 4 - (2 x - 3) 2 = 0
Vậy phương trình có nghiệm là x = 1 và x = - 3 b) Phương trình tương đương với x 4 - 2 x 2 + - 1 2( x 2 - 2 x + = 1) 0
Vậy phương trình có nghiệm là { 2 2 3 2 ; 3 2 }
Nhận xét: Đây là phương trình đưa về được dạng ( x 2 + a ) 2 = a x ( + b ) 2
Ví dụ 4: Tìm m để phương trình x 3 - ( 2 m + 5 ) x 2 + ( m 2 + 6 m + 7 ) x - 3 m 2 - = 3 0(*) có ba nghiệm dương phân biệt.
Nhẩm nghiệm ta thấy phương trình luôn có nghiệm x = 3 do đó dùng lược đồ hoócne ta có
(*) 3 2 1 1 2 1 1 0 (**) x x m x m x m xx m é é ù ê Û - ở - + + + Ûỷ ờ -ờở + + + Phương trình (*) có ba nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi phương trình (**) có hai nghiệm dương phân biệt khác 3
P S m m ìD > ùùùù > Û ớù >ùù ùùù - + + - ạ ùùợ
Vậy m > 0 thỏa mãn yêu cầu bài toán
Bài 3.39: Giải các phương trình sau: a) 2x 4 5x 3 3x 2 8x 4 0 b) 12 20x19x 2 21x 3 4x 4 4x 5 0 c) 6 x 5x 2 x 3 x 4 0 d) x 5 2x 4 3x 3 6x 2 2x 4 0
Bài 3.40: Giải các phương trình sau: a) x 4 2x 2 2x 1 0 b) x 4 x 2 2x 1 0
Bài 3.41: Tìm m để phương trình x 3 - ( 2 m + 1 ) x 2 + ( m 2 + + m 1 ) x m - 2 + - = m 1 0 có ba nghiệm dương phân biệt.
Phương pháp giải cho phương trình dạng này tập trung vào việc xác định ẩn phụ t = f(x), có thể được tìm thấy trực tiếp trong từng phương trình hoặc xuất hiện sau khi thực hiện một phép biến đổi hằng đẳng thức cơ bản hoặc chia cho một biểu thức khác khác không.
2 Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau a) 2x 4 -5x 3 +6x 2 -5x + =2 0 b) 2x 4 -21x 3 +74x 2 -105x +50 0 Lời giải: a) Ta thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình nên chia hai vế phương trình cho x 2 ta được:
= ị + = Ûx - + = Û Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1 b) Ta thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình nên chia hai vế phương trình cho x 2 ta được:
Vậy phương trình có nghiệm là 1;2; ;55 x ẻ ớỡùùùùợ 2 ỹùùýùùỵ.
Chú ý: Các phương trình trên có dạng tổng quát là ax 4 +bx 3 +cx 2 +dx e± = 0 với
Tức là có dạng ax 4 +bx 3 +cx 2 ±bkx ak+ 2 = 0.
Cách giải: Xét x = 0 xem có phải là nghiệm của phương trình không
Với x ạ 0 ta chia hai vế phương trỡnh cho x 2 ta cú pt: a x ( 2 k 2 2 ) b x ( k ) c 0 x
+x = ± = thay vào phương trình ta quy về phương trình bậc hai a t ( 2 2 ) k + + = bt c 0.
Ví dụ 2: Giải các phương trình sau a) x x ( + 1)( x + 2)( x + = 3) 24 b)4 ( x + 5 )( x + 6 )( x + 10 )( x + 12 ) = 3 x 2
Lời giải: a) Phương rình tương đương với ( x 2 + 3 )( x x 2 + 3 x + = 2) 24 Đặt t = x 2 +3x , phương trình trở thành
Vậy phương rình có nghiệm là x = - 4 và x = 1. b) Phương trình tương đương với 4 ( x 2 + 17 x + 60 )( x 2 + 16 x + 60 ) = 3 x 2 (*)
Ta thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình.
Xột x ạ 0, chia hai vế cho x 2 ta cú
( ) * Û 4 ổ ỗỗỗố x + 17 + 60 x ửổ ữ ữữữứốỗỗỗ x + + 16 60 x ử ữ ữữữứ= 3 Đặt y x 16 60
+ + = - Û + + = Û Vậy phương trình có nghiệm là 8, 15 x = - x = - 2 và 35 265 x = - ±4
Phương trình có dạng ( x a x b x c x d+ )( + )( + )( + =) e trong đó a b c d+ = +
Cách giải: Đặt t = x 2 + + ( a b x ) ta quy về phương trình bậc hai( t ab t cd + )( + ) = e
Phương trình có dạng ( x a x b x c x d+ )( + )( + )( + )= mx 2 trong đó ab = cd
Cách giải: Kiểm tra xem x = 0 có là nghiệm của phương trình hay không.
Xột x ạ 0 chia hai vế cho x 2 ta được x a b ab x c d cd m x x ổ ửổữ ửữ ỗ + + + ữỗ + + + ữ ỗ ữữỗ ữữ ỗ ỗ ố ứố ứ Đặt t x ab
= + x ta quy về phương trình bậc hai ( t a b t c d+ + )( + + )=m
Ví dụ 3: Giải các phương trình sau a) ( x + 1) 4 + + ( x 3) 4 = 2 b) 3( x 2 - + x 1) 2 - 2( x + 1) 2 = 5( x 3 + 1)
Lời giải: a) Đặt x = - t 2 phương trình trở thành
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = - 2. b) Vì x = - 1 không là nghiệm của phương trình nên chia hai vế cho x 3 +1 ta được:
Vậy phương trình có nghiệm là 3 13 x = ±2
Chú ý: Phương trình ở câu a) có dạng ( x a + ) 4 + + ( x b ) 4 = c
Cách giải: Đặt a b2 x = -t + ta đưa về phương trình trùng phương
Ví dụ 4: Cho phương trình ( m + 1 ) x 4 - 4 x 2 + = 1 0 (*) Tìm m để a) Phương trình (*) có nghiệm b) Phương trình (*) có bốn nghiệm phân biệt
Lời giải: Đặt t = x t 2 , ³ 0, phương trình trở thành
( m + 1 ) t 2 - + = 4 t 1 0 (*) a) Với m = - 1 phương trình (*) trở thành 4 2 1 0 1 x x 2
- + = Û = ± suy ra m = - 1 thì phương trình (*) có nghiệm
Với m ạ - 1 phương trỡnh (**) là phương trỡnh bậc hai.
Phương trình (*) có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (**) có nghiệm không âm
TH1: Phương trình (**) có hai nghiệm không âm
SP m mm m m ì - + ³ ỡD ³ ùùù ù ù ù ù ỡù Ê ù ù ³ ù ³ ù Û ớùùùùợ ³ Û ớùùùùùùợ ++ ³ ớù > -ùợ Û - < Ê
TH2: Phương trình (**) có hai nghiệm trái dấu 0 1 0 1
+ TH3: Phương trình (**) có một nghiệm bằng không và một nghiệm âm(không xảy ra vì x = 0 không là nghiệm của phương trình (**) với mọi m )
Vậy phương trình (*) có nghiệm khi và chỉ khi m £ 3. b) Với m = - 1 phương trình (*) trở thành 4 2 1 0 1 x x 2
- + = Û = ± suy ra m = - 1 không thỏa mãnVới m ạ - 1 phương trỡnh (**) là phương trỡnh bậc hai.
Phương trình (*) bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (**) có hai nghiệm dương phân biệt
SP m mm m m ì - + > ỡD > ùùù ù ù ù ù ỡù < ù ù > ù > ù Û ớùùùùợ > Û ớùùùùùùợ ++ > ớù > -ùợ Û - < ùùớ ù > x y 0 0 ùợ
3 2 x x y xy x yx y y y x ỡù + ù = ỡ ù ù = + ùù Û ù í í ù + ù = + ù = ùợ ùùùợ
Trừ (1) và (2) ta được:( x y xy x y - )(3 + + = Û = ) 0 x y (vì 3 xy x y + + > 0)
Vậy hệ phương trình có nghiệm là ( ) ( ) x y ; = 1;1
Ví dụ 3: Tìm m để hệ phương trình
2 2 x xy y m x xy y m ỡù + + = + ùớù + + ùợ cú nghiệm duy nhất.
Giả sử hệ phương trình có nghiệm ( x y 0 ; 0 ) thế thì ( y x 0 ; 0 ) cũng là một nghiệm của hệ Vậy hệ có nghiệm suy nhất thì x 0 = y 0 suy ra
2( ) 3 x xy y x y xy ỡù + + ùớù + + = - ùợ Đặt S x y , S 2 4 P
P xy ì = + ùù ³ ớù =ùợ hệ phương trỡnh trở thành
P P ì é ùù ờ ì ì ù + = ù ù ù ù ờ = - ù Û ớùùợ = - - Û ớùùùùợ ờở= - - Û ớù = -ùợ hoặc 2
1 x y xy ì + = - ùùớù ùợ suy ra x y , là nghiệm của phương trỡnh 2 3
Do đó hệ có nghiệm là ( 3; - 3 ) và ( - 3; 3 )
Suy ra m = - 3 thì hệ phương trình không có nghiệm duy nhất
2 2 21 2( ) 21 x xy y x y xy x xy y x y xy ì ì ù + + = ù + - ù Û ù í í ù + + = ù + + ù ù ợ ợ Đặt S x y , S 2 4 P
P xy ì = + ùù ³ ớù =ùợ hệ phương trỡnh trở thành
P S P S ì é ùù ờ ì ì ù + - = ù ù ù ù ờ = - ù Û ớùùợ = - + Û ớùùùùợ = - +ờở Û ớù =ùợ hoặc 8
9 x y xy ì + ùùớù ùợ suy ra x y , là nghiệm của phương trỡnh X 2 -6X + = Û9 0 X = 3 Suy ra hệ có nghiệm duy nhất ( ) ( ) x y ; = 3;3
Vậy với m = 21 thì hệ có nghiệm duy nhất
Ví dụ 4: Cho ( ) x y ; là nghiệm của hệ phương trình 2 2 2 2 1
2 2 3 x y m x y m m ì + = - ùùớù + = + - ùợ Tỡm m để xy nhỏ nhất.
Lời giải: Đặt S = + x y P , = xy , điều kiện S 2 ³4 P
Hệ phương trình trở thành 2 2 1 2
S m S m m P m m P m m ì = - ì = - ù ù ù ù Û ớùùợ - - = + - Û ớùùợ = - + Điều kiện S 2 ³4P suy ra (2 m - 1) 2 ³ 4 ( m 2 - 3 m + 2 ) Û 8 m ³ Û 7 m ³ 7 8 (*)
Dấu bằng xảy ra 3 m 2 Û = (thỏa mãn (*))
Vậy 3 m = 2 thì xy đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 3.56: Giải các hệ phương trình sau: a) 3 3 2 2
Bài 3.57: Giải các hệ phương trình sau: a)
Bài 3.58: Tìm m để các hệ phương trình
2 2 x y y m y x x m ỡù = - + ùớù = - + ùợ cú nghiệm duy nhất.
DẠNG TOÁN 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI
Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai là hệ phương trình có dạng: (I)
2 2 2 2 a x b xy c y d a x b xy c y d ỡù + + ùớù + + ùợ
