Băng và nửa dàn
Chương II của khóa luận tập trung vào t-ơng đẳng trong nửa nhóm giao hoán hữu hạn sinh Phần này sẽ trình bày lại một số kết quả quan trọng về nửa nhóm giao hoán, tạo nền tảng cho việc phân tích nội dung chính về t-ơng đẳng trong nửa nhóm này.
T-ơng đẳng trên nửa nhóm giao hoán hữu hạn sinh
Khóa luận này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS Lê Quốc Hán Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với thầy vì những chỉ bảo, giúp đỡ nhiệt tình và những góp ý thiết thực trong quá trình thực hiện khóa luận.
Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy cô trong tổ Đại số và khoa Toán trường Đại Học Vinh, cũng như tập thể lớp 47B – Toán, đã hỗ trợ và tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành khoá luận này.
Do thời gian và trình độ hạn chế, khóa luận này vẫn còn nhiều thiếu sót Tác giả rất mong nhận được sự góp ý và chỉ bảo từ bạn đọc để hoàn thiện hơn.
Các khái niệm cơ bản về t-ơng đẳng trên nửa nhóm 1.1 Nửa nhóm các quan hệ trên một tập
Trong ch-ơng này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và tính chất mở đầu của lý thuyết nửa nhóm các quan hệ trên một tập
1.1.1 Định nghĩa i) Giả sử là một tập hợp tuỳ ý khác rỗng Khi đó tập con của tích Descartes đ-ợc gọi là một quan hệ trên tập
Giả sử có các phần tử thuộc tập hợp, ta có thể diễn đạt rằng chúng "nằm trong quan hệ với" nhau Nếu có hai quan hệ trên tập hợp, thì hợp thành của chúng được định nghĩa như sau: tồn tại phần tử sao cho cả hai quan hệ đều thỏa mãn.
Phép toán hai ngôi là một dạng kết hợp Nếu và là các quan hệ trên tập , thì mỗi điều khẳng định tương ứng với sự tồn tại của các phần tử sao cho và Từ đó, tập x chứa tất cả các quan hệ hai ngôi trên được xác định là một nửa nhóm đối với phép toán này Nửa nhóm này được gọi là nửa nhóm các quan hệ trên tập
1.1.2 Một số quan hệ hai ngôi đặc biệt
1) Giả sử là một tập hợp tuỳ ý Quan hệ đ-ợc gọi là quan hệ bằng nhau (hay quan hệ đ-ờng chéo) nếu khi và chỉ khi , với mọi
2) Quan hệ đ-ợc gọi là quan hệ phổ dụng nếu với mọi
Dễ thấy x là phần tử đơn vị và là phần tử không của nửa nhóm x
3) Giả sử x Khi đó, quan hệ ng-ợc của đ-ợc định nghĩa nh- sau: DÔ thÊy:
Giả sử x là một tập hợp, nếu x là tập con của một tập hợp khác, điều này dẫn đến việc x kéo theo các thuộc tính của tập hợp đó Vì x bao gồm tất cả các tập con, ta có thể thực hiện các phép toán Boole như hợp, giao và phần bù trong x.
Một quan hệ trên tập hợp được gọi là đối xứng nếu hai phần tử có thể hoán đổi vị trí mà vẫn giữ nguyên quan hệ Quan hệ này được xem là phản xạ nếu mọi phần tử đều có quan hệ với chính nó, và được gọi là bắc cầu nếu tồn tại một chuỗi quan hệ giữa các phần tử Đặc biệt, một quan hệ được coi là tương đương khi nó thỏa mãn cả ba tính chất: phản xạ, đối xứng và bắc cầu Khi đó, quan hệ này hình thành một luỹ đẳng của nửa nhóm.
1.1.3 Phân hoạch một tập hợp Giả sử là một quan hệ tuỳ ý trên và Khi đó, ta sẽ ký hiệu và
Nếu là quan hệ t-ơng đ-ơng thì hai điều kiện sau đây đ-ợc thoả mãn: i) với mọi ii)
Họ các tập là một phân hoạch của tập, trong đó các tập này không giao nhau và hợp của chúng bằng tập ban đầu Chúng ta ký hiệu họ đó là một lớp tương đương của tập theo mod chứa Ngược lại, mọi phân hoạch của tập xác định một quan hệ tương đương, cụ thể là hai phần tử thuộc cùng một tập của phân hoạch thì tương đương với nhau Ánh xạ từ tập lên tập được gọi là ánh xạ tự nhiên hay ánh xạ chính tắc, và được ký hiệu tương ứng.
1.1.4 Bổ đề Nếu và là các quan hệ t-ơng đ-ơng trên và = thì cũng là quan hệ t-ơng đ-ơng trên và
1.1.5 Định nghĩa Giả sử là nửa nhóm và là một quan hệ trên Khi đó đ-ợc gọi là ổn định bên phải (trái) nếu kéo theo (hay , với mọi
Quan hệ đ-ợc gọi là t-ơng đẳng phải (trái) nếu là quan hệ t-ơng đ-ơng và ổn định phải (trái), nghĩa là với mọi thì (hay
Quan hệ đ-ợc gọi là một t-ơng đẳng trên nếu vừa là t-ơng đẳng phải vừa là t-ơng đẳng trái
1.1.6 Bổ đề [5] Một quan hệ t-ơng đ-ơng trên nửa nhóm là một t-ơng đẳng nếu và chỉ nếu với mọi có:
Định nghĩa 1.1.7 đề cập đến việc xem xét một t-ơng đẳng trên tập hợp các lớp t-ơng đẳng của một đối tượng cho trước Trong bối cảnh này, phép toán hai ngôi được xác định trên tập hợp này sẽ tạo thành một nửa nhóm, được gọi là nửa nhóm thương của modun Để chứng minh tính hợp lý của định nghĩa này, cần chỉ ra rằng phép toán hai ngôi có tính chất kết hợp cho mọi phần tử trong tập hợp.
Nếu một họ đẳng của một quan hệ nào đó, thì nó cũng được coi là một t-ơng đẳng của quan hệ đó Hơn nữa, nếu có một quan hệ trên tập hợp, thì t-ơng đẳng trên tập hợp này sẽ là t-ơng đẳng bé nhất chứa quan hệ đã cho.
1.1.9 Định nghĩa Giả sử là một t-ơng đẳng trên Khi đó ánh xạ cho bởi là một toàn cấu và đ-ợc gọi là toàn cấu chính tắc
Để chứng minh định nghĩa 1.1.9 là hợp lý, chúng ta chỉ cần chứng minh tính đồng cấu Cụ thể, với mọi yếu tố trong toàn ánh, ta có thể xác định rằng đó là một đồng cấu.
Định nghĩa về đồng cấu nửa nhóm cho thấy rằng một quan hệ được xác định bởi t-ơng đẳng trên, được gọi là hạt nhân và ký hiệu là Trong đó, quan hệ này có thể được hình dung như là tích các quan hệ, thực hiện từ trái qua phải.
Chú ý là một t-ơng đẳng đ-ợc suy trực tiếp từ đồng cấu nửa nhóm và cách xác định Nếu là một t-ơng đẳng trên thì
1.1.11 Hệ quả Mỗi t-ơng đẳng là một hạt nhân của một đồng cấu nào đó
1.1.12 Định lý Giả sử là một đồng cấu của nửa nhóm tuỳ ý Tồn tại duy nhất phép nhúng sao cho biểu đồ sau giao hoán: nghĩa là
Định lý đồng cấu nửa nhóm cho rằng nếu \( f \) là một đồng cấu nửa nhóm và \( g \) là một t-ơng đẳng của \( f \), thì tồn tại một đồng cấu duy nhất \( h \) sao cho \( h \) là toàn cấu chính tắc.
Hơn nữa, nếu là một đồng cấu thoả mãn thì
1.1.14 Định lý (định lý đẳng cấu) [2] Giả sử là một đồng cấu Thế th×
1.1.15 Bổ đề (định lý đồng cấu cảm sinh) [2]
Giả sử và là các đồng cấu nửa nhóm sao cho
Khi đó tồn tại một đồng cấu duy nhất sao cho
1.1.16 Định nghĩa Nửa nhóm gọi là ảnh đồng cấu của nửa nhóm nếu tồn tại một toàn cấu
1.1.17 Hệ quả [2] Nếu là các t-ơng đẳng trên nửa nhóm sao cho thì là ảnh đồng cấu của
Quan hệ thứ tự trên một tập được gọi là thứ tự bộ phận khi nó thỏa mãn ba tính chất: phản xạ, phản đối xứng và bắc cầu Chúng ta sẽ sử dụng ký hiệu để biểu thị cho các quan hệ này.
Bổ đề [5] khẳng định rằng nếu \( T \) là tập hợp tất cả các t-ơng đẳng của nửa nhóm \( G \), thì quan hệ xác định trên \( T \) được thiết lập bởi \( E \) nếu \( E \) là một thứ tự bộ phận trên \( T \).
Chứng minh Vì nên , do đó nên quan hệ phản xạ
Hơn nữa, nếu và thì và nên
Do đó quan hệ phản đối xứng.
Ta lại có nếu và thì và nên
Do đó nên quan hệ bắc cầu
1.2.2 Chú ý Quan hệ xác định trong Bổ đề 1.2.1 đ-ợc gọi là thứ tự bộ phận tự nhiên trên