Một số khái niệm và tính chất cơ bản
1.1.1 Định nghĩa (i) Giả sử E là một K-không gian vectơ Một chuẩn trên
E là một hàm x 7→ kxk từ E vào R thỏa mãn các điều kiện sau với mọi x, y thuộc E, mọi λ thuộc K.
(1) kxk ≥ 0, kxk = 0 nếu và chỉ nếu x = 0;
(ii) Không gian tuyến tính E cùng với một chuẩn trên nó được gọi là không gian định chuẩn.
1.1.2 Định nghĩa Không gian định chuẩn E được gọi là không gian Banach nếu mọi dãy Cauchy trong E đều hội tụ.
1.1.3 Định lý ([2]) Nếu E là không gian định chuẩn thì
1) Ánh xạ chuẩn x 7→ kxk là liên tục đều trên E.
2) Phép cộng (x, y) 7→ x+y và phép nhân với vô hướng (λ, x) → λx lần lượt là ánh xạ liên tục trên E×E và K ×E.
Nếu f là một ánh xạ tuyến tính từ không gian định chuẩn E vào không gian định chuẩn F, thì các mệnh đề sau đây là tương đương: (a) f liên tục đều.
(d) f bị chặn,tức là tồn tại số k sao cho kf(x)k 6 kkxk với mọi x ∈ E.
Giả sử E và F là các không gian định chuẩn trên cùng một trường K, ký hiệu L(E, F) là không gian các ánh xạ tuyến tính từ E vào F L(E, F) là không gian vectơ con của K - không gian vectơ L(E, F) chứa tất cả các ánh xạ tuyến tính từ E vào F Đối với mỗi ánh xạ f ∈ L(E, F), ta định nghĩa kfk = inf{k : kf(x)k ≤ kkxk với mọi x ∈ E} Bổ đề 1.1.5 chỉ ra rằng nếu f ∈ L(E, F), thì kfk = sup{x ∈ E, x ≠ 0} kf(x)k/kxk = sup{x ∈ E}.
2) Công thức (1.1) xác định một chuẩn trên L(E, F).
Trong phần này, chúng ta lưu ý rằng (i) đối với mọi hàm f thuộc không gian L(E, F), có bất kỳ x trong E, đều có bất đẳng thức kf(x)k ≤ kfk.kxk (ii) Nếu f là ánh xạ tuyến tính từ E vào F và tồn tại hằng số k sao cho kf(x)k ≤ kkxk với mọi x trong E, thì f sẽ là liên tục và kfk ≤ k.
1.1.7 Định lý ([1]) Nếu F là không gian Banach thì không gian L(E, F) là Banach.
1.1.8 Hệ quả ([1]) Nếu E là không gian định chuẩn thì E ∗ là không gian Banach.
1.1.9 Định lý ([1]) Giả sửE, F, G là 3 không gian định chuẩn, f ∈ L(E, F) và g ∈ L(F, G) Khi đó kg.fk ≤ kgk.kfk.
1.1.10 Định nghĩa ([1]) Giả sử E, F là hai không gian định chuẩn và f :
Ánh xạ f từ không gian E sang không gian F được gọi là đẳng cấu khi nó là một ánh xạ song ánh, tuyến tính và liên tục hai chiều, nghĩa là cả f và f −1 đều liên tục Ngoài ra, ánh xạ f được xem là đẳng cự nếu nó thuộc không gian L(E, F) và thỏa mãn điều kiện kf(x)k = kxk với mọi x thuộc E.
Hai không gian định chuẩn được gọi là đẳng cấu (đẳng cự) với nhau nếu giữa chúng tồn tại một ánh xạ đẳng cấu (đẳng cự - tương ứng).
Hai chuẩn P 1 , P 2 trên không gian tuyến tính E được gọi là tương đương nếu ánh xạ đồng nhất i : (E, P 1 ) → (E, P 2 ) là đẳng cấu.
1.1.11 Mệnh đề ([2]) Hai chuẩn P 1 , P 2 tương đương nếu và chỉ nếu tồn tại các số dương a và b sao cho aP 1 (x) ≤ P 2 (x) ≤bP 1 (x) với mọi x ∈ E.
Định lý Hahn-Banach khẳng định rằng, trong không gian vectơ phức E với nửa chuẩn p, nếu có một phiếm hàm tuyến tính f xác định trên không gian con F thỏa mãn điều kiện |f(x)| ≤ p(x) cho mọi x thuộc F, thì tồn tại một phiếm hàm tuyến tính mở rộng fexác định trên toàn bộ không gian E.
1.1.13 Hệ quả (của Định lí Hahn- Banach)([1]) Nếu F là không gian con của không gian định chuẩn E và f ∈ F ∗ thì tồn tại fe ∈ E ∗ sao cho fe
Hệ quả của Định lý Hahn-Banach cho biết rằng với mọi vectơ v khác không trong không gian định chuẩn E, luôn tồn tại một phiếm hàm tuyến tính liên tục f trên E, thỏa mãn điều kiện kfk = 1 và f(v) = kvk.
Mọi toàn ánh tuyến tính liên tục f từ không gian Banach E đến không gian Banach F đều là ánh xạ mở Điều này có nghĩa là với mọi tập mở U trong E, ảnh của U qua f, tức là f(U), cũng sẽ là một tập mở trong F.
Nếu E là không gian Banach, thì mọi chuẩn trên E đều biến E thành không gian Banach, và các chuẩn này tương đương với chuẩn xuất phát.
Định lý 1.1.17, còn được gọi là Nguyên lý bị chặn đều, áp dụng cho không gian Banach E và không gian định chuẩn F, cho thấy rằng nếu {f α } α∈Λ là một họ các ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F và sup α∈Λ kf α (x)k < ∞ với mọi x ∈ F, thì điều này dẫn đến sup α∈Λ kf α k < ∞.
1.1.18 Định nghĩa Giả sử E là không gian định chuẩn trên trường K Ta gọi E ∗ = L(E,K) là không gian liên hợp hay không gian đối ngẫu (thứ nhất) của E.
Ta gọi (E ∗ ) ∗ là không gian liên hợp hay đối ngẫu thứ hai của E.
Định lý 1.1.19 trình bày ánh xạ chính tắc ϕ từ không gian E vào không gian đối ngẫu kép (E ∗ ) ∗, với ϕ(x)(f) = f(x) cho mọi f thuộc E ∗ Ánh xạ này là tuyến tính và giữ nguyên độ lớn, tức là kϕ(x)k = kxk với mọi x thuộc E Do đó, ϕ đóng vai trò như một phép nhúng đẳng cự, cho phép đồng nhất không gian E với một không gian con của E ∗∗.
Tôpô yếu nhất trên không gian định chuẩn E, ký hiệu là σ(E, E ∗), là tôpô mà trong đó tất cả các ánh xạ f ∈ E ∗ đều liên tục.
Nếu {x n } là một dãy trong E, hội tụ tới x ∈ E theo tôpô yếu thì ta nói {x n } hội tụ yếu tới x và kí hiệu x n −→ w x.
1.1.21 Mệnh đề ([1]) Dãy {x n } trong không gian định chuẩn E hội tụ yếu tới x ∈ E khi và chỉ khi f(x n ) →f(x) với mọi f ∈ E ∗
Tôpô yếu * trên không gian định chuẩn E được định nghĩa là tôpô yếu nhất trong tất cả các tôpô trên E ∗, sao cho mọi ánh x ∈ E đều liên tục với ánh xạ chính tắc ϕ(E) ⊂ E ∗∗.
Từ Định nghĩa (1.1.20) và Định nghĩa (1.1.22) suy ra tôpô yếu * trên E ∗ chính là tôpô yếu σ(E ∗ , E).
Nếu {f n } là dãy trong E ∗ , hội tụ tới f ∈ E ∗ theo tôpô yêu * thì ta viết f n w
1.1.23 Định lý (Banach- Alauglu)([1]) Nếu E là không gian định chuẩn thì hình cầu đơn vị B ∗ = {f ∈ E ∗ ,kfk ≤ 1} là compact theo tôpô yếu *.
1.1.24 Định nghĩa ([1]) Chuỗi và sự hội tụ của chuỗi
Giả sử {u n } là một dãy trong không gian định chuẩn E Khi đó tổng hình thức u 1 +u 2 + +u n + : ∞
X n=1 u n (1.2) được gọi là chuỗi trong không gian định chuẩn E.
Phần tử u_n là phần tử tổng quát của chuỗi (1.2) Đối với mọi n ≤ 1, tổng riêng thứ n được định nghĩa là s_n = u_1 + u_2 + + u_n Chuỗi (1.2) được coi là hội tụ nếu dãy các tổng riêng của nó hội tụ Giới hạn s của dãy tổng riêng được gọi là tổng của chuỗi.
P n=1 u n = s. Nếu dãy các tổng riêng không hội tụ thì chuỗi được gội là phân kì
P n=1 u n = s thì r n = s−s n được gọi là phần dư thứ n của chuỗi Rõ ràng r n ∞
P k=1 u n+k = s Theo định nghĩa, nếu chuỗi hội tụ thì r n → 0. 1.1.25 Mệnh đề ([2]) Nếu chuỗi
1.1.26 Định lý ([2]) Nếu các chuỗi
P n=1 v n hội tụ và có tổng tương ứng là s và t thì chuỗi
(u n + v n ) cũng hội tụ có tổng là s+ t, với mọi λ ∈ K chuỗi số
P n=1 λu n cũng hội tụ và có tổng là λs. 1.1.27 Định nghĩa Chuỗi
P n=1 u n được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi số dương
1.1.28 Định lý ([2]) Nếu E là không gian Banach và chuỗi
P n=1 u n là một chuỗi hội tụ tuyệt đối trong E thì chuỗi
1.1.29 Định lý ([5]) Giả sử {x n } là một dãy trong không gian Banach X. Khi đó các điều kiện sau tương đương.
P n=1 x π(n) hội tụ với mỗi hoán vị π của tập các số tự nhiên; (ii) Chuỗi
P n=1 x n i hội tụ với mỗi cách chọn n 1 < n 2 < n 3 < ; (iii) Chuỗi số
P n=1 θ n x n hội tụ với mỗi cách chọn dấu θ n (θ n = ±1); (iv) ∀ε > 0,∃n ∈ N sao cho
< ε với mỗi tập hữu hạn σ ⊂ N thỏa mãn min(i ∈ σ) > n.
P n=1 u n thỏa mãn một trong 4 điều kiện ở trên được gọi là hội tụ không điều kiện.
Không gian các dãy
Trong [1], ta đã biết rằng, các không gian l p ( {x n } ⊂ K :
C 0 = {{x n } ⊂ K : x n →0}}, l ∞ = {{x n } ⊂: sup n |x n |} là không gian Banach với chuẩn lần lượt là kxk p ∞
Bằng cách thay thế các dãy trong không gian K bằng các dãy trong không gian định chuẩn E bất kỳ, chúng ta sẽ xây dựng các không gian tương tự như l^p, C_0, và l^∞, đồng thời nghiên cứu các tính chất và mối quan hệ giữa chúng.
Trước hết ta xây dựng không gian l p (E).
Giả sử E là không gian định chuẩn trên trường K(K = R hay C), p ≥ 1 Đặt l p (E) ( {x n } ⊂ E :
1.2.1 Mệnh đề l p (E) là không gian tuyến tính với các phép toán: x+y = {x n +y n } αx= {αx n }, x = {x n }, y = {y n } ∈ l p (E), α ∈ K.
Chứng minh Từ {x n } ∈ l p (E) (nghĩa là
Do đó λx ∈ l p Để chứng minh từ x và y ∈ l p (E) suy ra x + y ∈ l p (E) ta dùng bất đẳng thức Schwartz:
Do đó, từ bất đẳng thức Schwartz ta suy ra:
Theo cách xác định l p (E), ta có x+y = {x n +y n } ∈ l p (E).
1.2.2 Mệnh đề Với mọi x = {x n } ∈ l p (E) đặt kxk p ∞
Khi đó, 1) Công thức (1.3) xác định một chuẩn trên l p (E).
2) Nếu E là không gian Banach thì l p (E) với k.k p là không gian
Chứng minh 1) Để chứng minh công thức (1.3) xác định chuẩn trên l p (E) ta thử 3 điều kiện của chuẩn Rõ ràng kxk p ∞
Với mọi λ ∈ K, x = {x n } ∈ l p (E) ta có: kλxk ∞
= |λ|kxk p Với mọi x = {x n }, y = {y n } ∈ l p (E) ta có: kx+yk p ∞
Do đó kx+yk p ≤ kxk p +kyk p
Vậy công thức (1.3) xác định một chuẩn trên l p (E).
2) Giả sử E là không gian Banach Ta cần chứng minh l p (E) là không gian Banach.
Giả sử nx (k) o k∈N là dãy Cauchy trong l p (E), trong đó x (k) n x (k) n o n x (k) 1 , x (k) 2 ,
Ta cần chứng minh {x (k) } hội tụ trong (l p (E),k.k), nghĩa là chứng tỏ
Vì {x (k) } là dãy Cauchy nên với mọi k > 0, tồn tại k 0 : k, l ≥ k 0 ta có kx (k) −x (l) k < ε, nghĩa là
Từ đó suy ra với mọi n= 1,2 thì x (k) n −x (l) n
Do đó với mọi n = 1,2 thì {x (k) n } là dãy Cauchy trong E Vì E đầy đủ nên tồn tại limx k n := x n ∈ E, n = 1,2 Đặt x = {x n } Ta cần chứng minh x = {x n } ∈ l p (E) Trong (1.4) cố định l ≥ k 0 ; cho k → ∞ ta được
≤ ε p ,∀l ≥k 0 (1.5) Đặt z = {x n −x (l) n } với l nào đó thỏa mãn l ≥ k 0 Theo (1.5), z ∈ l p (E) Từ Z và x (l) ∈ l p (E) và l p (E) là không gian tuyến tính, suy ra x = z + x l ∈ l p (E).
Vì thế x−x (l) p → 0 khi l → ∞ Như vậy ta có x (l) → x trong l p (E) Vậy l p (E) là không gian Banach Mệnh đề đã được chứng minh.
Tiếp đó ta xây dựng không gian C 0 (E): Đặt C 0 (E) = {{x n } ⊂ E : x n → 0}. 1.2.3 Mệnh đề 1) C 0 (E) là không gian tuyến tính và công thức kxk 0 = sup n kx n k,∀x = {x n } ∈ C 0 (E) là một chuẩn trên C 0 (E).
2) Nếu E là không gian Banach thì C 0 với chuẩn k.k 0 là không gian Banach.
Chứng minh 1) Dễ thấy C 0 (E) là không gian tuyến tính Bây giờ, ta chứng minh k.k 0 là một chuẩn trên C 0 (E).
Rõ ràng kxk 0 ≥ 0,∀x∈ C 0 (E) và kxk 0 = 0 ⇔ sup n kx n k= 0∀n ⇔x = 0
Với mọi x ∈ C 0 (E), với mọi λ ∈ K ta có kλxk 0 = sup n kλxk = |λ| kxk 0 Với mọi x = {x n }, y = {y n } ∈ C 0 (E) ta có kx+yk 0 = sup n kx n + y n k ≤ sup n
≤ sup n kx n k+ sup n ky n k = kxk 0 +kyk 0
Vậy kxk 0 là một chuẩn trên C 0 (E).
2) Giả sử E là không gian Banach và {x (k) } là dãy Cauchy trong C 0 (E), trong đó x (k) = {x (k) n }, k = 1,2
Vì {x (k) } là dãy Cauchy nên mọi ε > 0 tồn tại k 0 : mọi k ≥ k 0 , với mọi P ∈ N ta có sup n x (k+p) n −x (k) n
Do đó với mỗi n= 1,2 ta có x (k+p) n −x (k) n
Bất đẳng thức này chứng minh rằng với mỗi n = 1, 2 , dãy {x(k)n}k là dãy Cauchy trong không gian E Do E là không gian Banach, ta suy ra tồn tại giới hạn k→∞ lim x(k)n ∈ E với n = 1, 2 Đặt x = {x n}, và trong (1.6), khi k ≥ k0, cố định k và cho p→∞, ta có sup n |x n - x(k)n|.
≤ ε < ∞,∀k ≥ k 0 (1.7) Đặt z n x n −x (k) n o Từ (1.7) suy ra z ∈ C 0 (E) VìC 0 (E) là không gian tuyến tính, z và x (k 0 ) ∈ C 0 (E) nên x = z +x (k 0 ) ∈ C 0 (E).
Vậy không gian (C 0 (E),k.k) là không gian Banach.
1.2.4 Nhận xét Ta thấy l p (E) ⊂ C 0 (E) Do đó trên l p (E) có cả chuẩn k.k 0 Một câu hỏi đặt ra là (l p (E),k.k 0 ) có phải là không gian Banach không?
Mệnh đề sau trả lời câu hỏi này.
1.2.5 Mệnh đề (l p (E),k.k) không đóng trong C 0 (E) Do đó (l p (E),k.k 0 ) không là không gian Banach.
Chứng minh Chỉ cần chứng minh cho p = 1 và E = R Với mọi k = 1,2 , lấy x (k)
Do đó x (k) ∈ l 1 (R) mọi k Từ đó ta có n x (k) o k ⊂ l 1 (R) Lấy x 1 k
Như vậy x (k) →x trong C 0 (R) Ta sẽ chứng tỏ x /∈ l 1 (R).
Do đó x /∈ l(R) Vậy (l p (R),k.k 0 ) không đóng trong C 0 (R) Từ đó suy ra (l p (R),k.k 0 ) không là không gian Banach.
Cuối cùng xây dựng không gian l ∞ (E): Đặt l ∞ (E)
1.2.6 Mệnh đề 1) l ∞ (E) là không gian tuyến tính và công thức: kx n k ∞ = sup n kx n k mọi x = {x n } ∈ l ∞ (E) là một chuẩn trên l ∞ (E).
2) Nếu E là không gian Banach thì l ∞ (E) với k.k ∞ là không gian Banach.
Chứng minh 1) Dễ thấy l ∞ (E) la không gian tuyến tính Bây giờ ta kiểm tra các điều kiện của chuẩn Ta chứng minh k.k ∞ là một chuẩn trên l ∞ (E).
Rõ ràng kx n k ≥ 0,∀x ∈ l ∞ (E) và kxk ∞ = 0 ⇔ sup x kx n k = 0 ⇔ kx n k = 0∀n ⇔x = 0. Với mọi x ∈ l ∞ (E), mọi λ ∈ k ta có kλxk ∞ = sup n kλx n k = |λ|sup n kxk ∞ = |λ| kxk ∞ Với mọi x = {x n }, y = {y n } ∈ l ∞ (E) ta có kx+yk ∞ = sup n kx n +y n k ≤ sup n
≤ sup n kx n k+ sup n ky n k = kxk ∞ + kyk ∞ Vậy kx n k ∞ là một chuẩn trên l ∞ (E).
2) Giả sử E là không gian Banach và {x (k) } là dãy Cauchy trong l ∞ (E), trong đó x k = n x k o n, k = 1,2
Vì {x (k) } là dãy Cauchy nên mọi ε > 0,tồn tại k 0 : mọi k ≥ k 0 ,mọi p ∈ N ta có x (k+p) −x (k)
Do đó với mỗi n= 1,2 ta có x (k+p) n −x (k) n
Như vậy, với mỗi n = 1,2 ,{x (k) n } là dãy Cauchy trong E Từ giả thiết E là không gian Banach suy ra tồn tại giới hạn lim k→∞x (k) n Đặt x n = lim n→∞x (k) n ;n = 1,2 và x = {x n }.
Ta có {x n } là dãy trong E.
Trong (1.8) lấy bất kỳ k ≥k 0 , cố định k và cho p→ ∞ ta có : x n −x (k) n
Bất đẳng thức (1.9) chứng tỏ z n x n −x (k n 0 ) o
∈ l ∞ (E) Vì l ∞ (E) là không gian tuyến tính, z và x (k 0 ) thuộc l ∞ (E) nên x = {x n } n x n −x k n 0 +x k n 0 o
→ ∞ khi k → ∞ hay x (k) → x trong l ∞ (E) Vậy không gian(l ∞ (E),k.k ∞ ) là không gian Banach.
1.2.7 Nhận xét Ta thấy C 0 (E) là không gian tuyến tính con của l∞(E) và k.k ∞ thu hẹp trên C 0 (E) chính là k.k 0 Mặt khácC 0 (E) là không gian Banach.
Do đó C 0 (E) là không gian con đóng của l ∞ (E).
1.2.8 Mệnh đề C 0 (E)l 1 (E) trù mật trong C 0 (E).
Chứng minh rằng l1(E) là không gian con của C0(E) và không mở trong C0(E) Nếu l1(E) mở trong C0(E), sẽ tồn tại hình cầu B(0; r) với tâm 0 và bán kính r trong C0(E).
Khi đó, với mọi x ∈ C 0 (E) ắt tồn tại n ∈ N sao cho kxk < n ◦ r Do đó, từ l 1 (E) là không gian tuyến tính suy ra x ∈ n◦ B(0;r) ⊂ l 1 (E) Như vậy
C 0 (E) ⊂ l 1 (E) Vì thế l 1 (E) = C 0 (E) Đẳng thức này không xảy ra được vì dãy { n 1 } ∈ C 0 (R) nhưng { n 1 }∈/ l 1 (R) (ta lấy E = R).
Bây giờ, với bất kì x ∈ C 0 (E) và U là lân cận tùy ý của x, nếu x ∈
Nếu x ∈ l 1 (E) thì từ l 1 (E) không mở trong C 0 (E) suy ra U không nằm trong l 1 (E) Do đó U ∩C 0 (E)l 1 (E) 6= ∅.
Trong chương này, chúng ta sẽ khám phá các tính chất đặc trưng của không gian C₀ C₀ được định nghĩa là không gian Banach gồm các dãy số thực hoặc phức hội tụ về không, với chuẩn k₀ được tính bằng sup n.
|x n |, x = {x n } ∈ C 0 Để gọn kí hiệu ta viết kxk thay cho kxk 0
Sự biễu diễn hữu hạn của C [0;1] trong C 0
2.1.1 Định nghĩa ([4]) Cho X, Y là các không gian Banach Ta gọi giá trị d(X,Y) = inf{||T||.||T −1 ||,T là đẳng cấu giữa X và Y} là khoảng cách Banach-Mazur giữa X và Y.
Nếu X và Y không đẳng cấu thì ta xem d(X,Y) = +∞.
2.1.2 Mệnh đề ([4]) Cho X,Y,Z là các không gian Banach Khi đó
1)d(X,Y) ≥ 1 với mọi không gian Banach X,Y Nếu X và Y đẳng cấu, đẳng cự thì d(X,Y) = 1;
Chứng minh 1)Nếu X và Y không đẳng cấu thì d(X,Y) = +∞> 1.
Bây giờ, giả sử X và Y đẳng cẩu với nhau Khi đó, với mỗi ánh xạ đẳng cấu
T :X →Y, kí hiệu e x là ánh xạ đồng nhất trên X, ta có e x = T −1 T Do đó
1 = ke x k = kT −1 Tk ≤ kT −1 k.kTk.
Giả sử hai không gian X và Y đẳng cấu, đẳng cự với nhau, sẽ tồn tại ánh xạ đẳng cầu T từ X đến Y Với tính chất đẳng cự, ta có kTk = kT −1 k = 1, dẫn đến kTk.kT −1 k = 1 Do đó, khoảng cách giữa hai không gian d(X, Y) không vượt quá 1 Kết hợp với việc đã chứng minh rằng d(X, Y) ≥ 1, ta có thể kết luận rằng d(X, Y) = 1.
2)Từ T: X → Y là đẳng cấu khi và chỉ khi T −1 : Y →X là đẳng cấu suy ra d(X,Y) = d(Y,X)
3)Giả sử T : X → Y và H : Y → Z là hai đẳng cấu Khi đó K = H ◦T :
X → Z là ánh xạ đẳng cấu và K −1 = T −1 ◦H −1 :Z → X cũng là ánh xạ đẳng cấu Ta có d(X, Z) ≤ kKk.kK −1 k ≤ kHk.kTk.kT −1 k.||H −1 k = kHk.kH −1 k.kTk.kT −1 k.
Vì T và H là các đẳng cấu bất kỳ giữa X, Y và giữa Y, Z tương ứng nên từ bất đẳng thức trên suy ra d(X,Y).d(Y,Z)≥ d(X,Z).
Trong không gian Banach, nếu X có thể được biểu diễn hữu hạn trong không gian Y, ta ký hiệu là X −→ f Y Điều này có nghĩa là với mọi ε > 0 và bất kỳ không gian con hữu hạn chiều Z của X, luôn tồn tại một không gian con hữu hạn chiều Z1 trong Y sao cho khoảng cách d(z, z1) nhỏ hơn 1 + ε.
2.1.4 Mệnh đề ([4]) Nếu tồn tại T : X → T(X) ⊂ Y là ánh xạ tuyến tính, liên tục hai chiều, bảo tồn chuẩn thì X −→ f Y.
Chứng minh Vì ánh xạ T : X → T(X) liên tục hai chiều nên nếu Z không gian hữu hạn chiều của X thì T(Z) là không gian con hữu hạn chiều của T(X), thỏa mãn T(Z) ⊂ Y.
Mặt khác, do T bảo tồn chuẩn nên kT −1 k = kTk = 1, trong đó
Do đó với mọi ε > 0 ta có d(Z, T(Z)) = 1 < 1 +ε.
Vậy X biểu diễn hữu hạn trong Y.
Hàm f : [0; 1] → R được coi là tuyến tính từng khúc khi tồn tại hữu hạn điểm a1, a2, , an sao cho 0 = a0 < a1 < < an = 1 Trên mỗi đoạn [ai; ai+1] (với i = 1, n−1), đồ thị của hàm f là đoạn thẳng nối giữa f(ai) và f(ai+1).
Nếu f tuyến tính từng khúc trên [0; 1] thì hiển nhiên f liên tục trên [0; 1].
Bổ đề sau đây chứng minh rằng có thể xấp xỉ một hàm liên tục bằng các hàm tuyến tính từng khúc Cụ thể, không gian C [0,1] bao gồm các hàm f(x) nhận giá trị thực liên tục trên đoạn [0,1], với chuẩn được định nghĩa là kfk = sup{|f(x) : x ∈ [0,1]|}.
2.1.6 Bổ đề Giả sử f ∈ C [0;1] Khi đó, với mọi ε > 0 tồn tại hàm g tuyến tính từng khúc trên [0; 1] sao cho kf −gk < ε.
Chứng minh Vì f liên tục trên [0; 1] nên f liên tục đều trên [0; 1] Do đó, với mọi ε > 0 ắt tồn tại δ > 0 sao cho
Chọn n ∈ N sao cho n 1 < δ và chia [0; 1] thành n phần bằng nhau bởi các điểm a i = n i ;i = 0, n Ta xác định hàm g : [0; 1] → R như sau
+ Tiếp nối tuyến tính trên mỗi đoạn [a i ;a i+1 ] tức là trên [a i ;a i+1 ] đồ thị của hàm g là đoạn thẳng nối g(a i ) với g(a i+1 );i = 1, , n−1.
Theo Định nghĩa (2.1.5), g là tuyến tính từng khúc trên [0; 1] Từ (2.1) suy ra kf −gk = sup{|f(x)−g(x)| : x ∈ [0; 1]} < ε.
Thật vậy, với mọi x ∈ [0; 1] ắt tồn tại i ∈ {0, , n−1} sao cho x ∈ [a i ;a i+1 ], do đó
|f(x)−g(x)| < max(|f(a i )−f(x)|;|f(a i+1 )−f(x)|) < ε vì |a i −x| < δ,|a i+1 −x| < δ Từ đó ta có kf −gk< ε.
2.1.7 Định lý ([4]) Không gian C [0;1] biểu diễn hữu hạn được trong không gian C 0
Giả sử Z là không gian con của C[0;1] với dimZ = n và {z1, , zn} là sở của Z Tất cả các chuẩn trên cùng một không gian hữu hạn chiều là tương đương, do đó tồn tại một hằng số c > 0 sao cho với mỗi bộ các số (t1, , tn) ta có n.
Với mỗi ε > 0 ta chọn δ > 0 sao cho 1 + δ
1−δ < 1 +ε Từ Bổ đề (2.1.6) suy ra với mỗi j = 1, n tồn tại hàm y j tuyến tính từng khúc trên [0; 1] sao cho kz j −y j k< cδ.
Kí hiệu Y là bao tuyến tính của các phần tửy 1 , , y n Lúc đó, Y là không gian con của C [0;1] được sinh bởi {y 1 , y 2 , , y n } Ta sẽ chứng minh d(Z, Y) ≤1 +ε. Xét toán tử T : Z → Y thỏa mãn
Ta thấy T là tuyến tính và song ánh Ta có
Từ đó suy ra kTk ≤ 1 +δ Mặt khác
Do đó T −1 liên tục và kT −1 k ≤ 1
1−δ Từ đó ta có bất đẳng thức sau d(Z, Y ) ≤ kTk.kT −1 k ≤ 1 +δ
Để chứng minh định lý, chúng ta cần chứng minh rằng không gian Y đẳng cấu và đẳng cự với một không gian con C0 Cụ thể, từ các hàm yj là tuyến tính từng khúc trên đoạn [0; 1], với j = 1, n, có thể suy ra sự tồn tại của các điểm cần thiết.
0 = a 0 < a 1 < < a m = 1 sao cho mỗi hàm y j là tuyến tính trên từng đoạn [a i ;a i+1 ], i= 0, m−1.
Kí hiệu X là tập các hàm trongC [0;1] mà tuyến tính trên mỗi đoạn[a i ;a i+1 ], i 0;m −1 Khi đó, X là không gian con củaC [0;1] Ta xác định ánh xạT : X →C 0 với T(f) = (f(0), f(a 1 ), f(a 2 ), f(a m ),0,0 ).
Hiển nhiên T là ánh xạ tuyến tính Với mọi f ∈ X ta có kT(f)k = sup{|f(a j )| : j = 0; 1}= kfk.
T là ánh xạ đẳng cự, điều này dẫn đến việc không gian X đẳng cấu và đẳng cự với T(X), mà T(X) là không gian con của C 0 Hơn nữa, vì Y là không gian con của X, nên Y cũng đẳng cấu và đẳng cự với một không gian con nào đó của C 0.
Cơ sở Schauder trong C 0
Mục này đề cập đến sự tồn tại của cơ sở Schauder trong không gian C0 Để bắt đầu, chúng ta sẽ ôn lại một số khái niệm và kết quả liên quan đến cơ sở trong không gian Banach nói chung.
2.2.1 Định nghĩa Dãy {x n } ∞ n=1 trong không gian Banach X được gọi là cơ sơ Schauder(nói gọn là cơ sở) nếu với mỗi x ∈ X tồn tại duy nhất dãy số {a n } sao cho x ∞
Nếu dãy {x n } ∞ n=1 là cơ sở Schauder của không gian [{x n }], thì dãy này được gọi là dãy cơ sở Trong đó, [{x n }] biểu thị bao đóng tuyến tính của dãy {x n }, tức là span{x n }, bao gồm tất cả các tổ hợp tuyến tính của hữu hạn các phần tử trong dãy {x n } = {x 1 , x 2 , }.
Chú ý Nếu không sợ nhầm lẫn thì ta viết {x n } thay cho {x n } ∞ n=1
2.2.2 Định nghĩa Giả sử {x n } ∞ n=1 là cơ sở của không gian Banach X Với mọi n= 1,2 ta xác định ánh xạ P n : X →X bởi công thức
Ánh xạ các phép chiếu tự nhiên P n liên kết với cơ sở {x n } ∞ n=1 được gọi là các phép chiếu tự nhiên Theo mệnh đề ([5]), các phép chiếu này có tính chất tuyến tính liên tục và có giới hạn sup n kP n k < ∞.
Chứng minh Ta dễ dàng chứng minh được P n là ánh xạ tuyến tính Ta kí hiệu k.k là chuẩn đã cho trên X Với mỗi x ∈ X đặt kxk 1 = sup n n
= sup n kP n (x)k. Đầu tiên, để ý rằng,P n (x) →x khi n → ∞ Do đó từ tính liên tục của chuẩn(Định lý (1.1.3)) suy ra kP n (x)k → kxk Vì thế kxk 1 ∈ R.
Rõ ràng kxk 1 ≥ 0 với mọi x ∈ X và nếu x = 0 thì kxk 1 = 0.
Nếu kxk 1 6= 0 thì tồn tại a i nào đó khác không, khi đó từ tính duy nhất của (a n ) suy ra x 6= 0.
Hiển nhiên kαxk 1 = |α|kxk 1 với mọi α ∈ K, với mọi x ∈ K Từ tính tuyến tính của P n suy ra kx+yk 1 ≤ kxk 1 +kyk 1 với mọi x, y ∈ X Vậy k.k 1 là một chuẩn trên X
Bây giờ, ta chứng minh (X,k.k 1 ) là không gian Banach Giả sử (x k ) k là dãy Cauchy trong (X,k.k 1 ) với x k ∞
P n=1 a k n x n Khi đó với mọi ε > 0 tồn tại n ε ∈ N sao cho với mọi k, l ≥ n ε ta có kx k −x l k 1 = sup n
Do đó với mỗi n= 1,2, với mỗi k, l ≥n ε ta có
Từ bất đẳng thức này và từ x n 6= 0 với mọi n suy ra vỡi mỗi n = 1,2, thì (a k n ) k là dãy Cauchy trong K Vì K đầy đủ nên tồn tại k→∞lim a k n := a n ∈ K;n = 1,2,
Do đó, trong bất đẳng thức n
< ε, với mọi k, l ≥n ε ;n= 1,2, cố định k ≥n ε , cho l → ∞ ta được n
≤2ε với mọi k ≥n ε ;n, l = 1,2, Điều này chứng tỏ n+l
P i=1 a k i x i hội tụ với mọi k nên từ bất đẳng thức trên suy ra ( m
P i=1 a i x i ) m là dãy Cauchy trong X Từ X là không gian Banach suy ra (
P i=1 a i x i ) hội tụ trong X theo chuẩn k.k Đặt
Mặt khác từ (2.2) suy ra sup n n
1 → 0khik → ∞ Vậy(X,k.k 1 ) là không gian Banach. Mặt khác theo công thức xác định của k.k 1 thì kxk = lim n→∞kP n (x)k ≤ kxk 1 với mọi x ∈ X.
Theo hệ quả của Định lý ánh xạ mở, k.k và k.k 1 là tương đương với nhau Do đó, theo Mệnh đề (1.1.11), tồn tại hằng số c sao cho kxk 1 ≤ ck.k với mọi x ∈ X, tức là sup n kP n (x)k ≥ ckxk với mọi x ∈ X.
Từ đó suy ra P n liên tục với mọi n và kP n k ≤ c với mọi n Do đó sup n kP n k ≤ c.
Trong không gian Banach X, giả sử {x_n} là một cơ sở và (P_n) là các phép chiếu tự nhiên tương ứng Hằng số cơ sở của {x_n} được định nghĩa là sup_n kP_n k.
2.2.5 Định nghĩa Cơ sở {x n } ∞ n=1 của không gian Banach X được gọi là cơ sở không điều kiện nếu với mỗi x ∈ X, chuỗi
P n=1 a n x n = x hội tụ không điều kiện.
2.2.6 Định lý Không gian C 0 có cơ sở không điều kiện với hằng số cơ sở bằng 1.
Chứng minh Chúng ta nhớ lại, C 0 là không gian các dãy hội tụ tới không với chuẩn kxk 0 = sup n
Ta đã biết với chuẩn này C 0 là không gian Banach Đặt e n = (0, ,0,1,0,0 ),1 ở vị trí thứ n ;n = 1,2,
Khi đó {e n } là cơ sở của C 0 Thật vậy với mỗi x = {x n } ∈ C 0 ta có x− n
P n=1 x n e n Giả sử tồn tại {x 0 n } ⊂ K sao cho x ∞
Do đó |x i −x 0 i | = 0 với mọi i, tức là x n = x 0 n với mọi n.
Tiếp theo ta chứng minh hằng cơ sở của {e n } bằng một Với mỗi n= 1,2, ta có kP n (x)k n
Do đó kP n k ≤ 1 Mặt khác kP n (e 1 )k = 1 nên kP n k= 1 Vì thế sup n kP n k = 1. Bây giờ ta chứng minh {e n } là cơ sở không điều kiện Thật vậy, giả sử x ∞
P n=1 x n e n ∈ C 0 Khi đó với mọi ε > 0 tồn tại n 0 ∈ N sao cho sup j≥n
Giả sử G là một tập con hữu hạn của N sao cho min{i : i ∈ G} ≥ n 0 ta có
Do đó theo Định lý (1.1.29) thì chuỗi
P n=1 x n e n hội tụ không điều kiện Theo Định nghĩa (2.2.5) thì {e n } là cơ sở không điều kiện của C 0
Một số tính chất của các ánh xạ tuyến tính liên tục nhận giá trị hoặc xác định trên C 0
trị hoặc xác định trên C 0
Trong phần này, chúng tôi sẽ trình bày dạng tổng quát của ánh xạ tuyến tính liên tục, được xác định trên không gian C₀ Bên cạnh đó, chúng tôi cũng sẽ mở rộng các ánh xạ tuyến tính liên tục từ không gian Banach khả li vào C₀.
2.3.1 Định nghĩa Giả sử E, F là hai không gian định chuẩn vàT ∈ L(E, F). Khi đó, ánh xạ T ∗ : F ∗ → E ∗ xác định bởi
(T ∗ (y ∗ ))(x) = y ∗ (T(x)) với mỗi y ∗ ∈ F ∗ , x ∈ E được gọi là ánh xạ đối ngẫu của T. Để Định nghĩa trên hợp lý ta cần Bổ đề sau.
2.3.2 Bổ đề Nếu E, F là hai không gian định chuẩn và T ∈ L(E, F) thì
Chứng minh Với mỗi y ∗ ∈ F ∗ , dễ thấy T ∗ (y ∗ ) là ánh xạ tuyến tính từ E vào
K Mặt khác ta có k(T ∗ (y ∗ ))(x)k= ky ∗ (T(x))k ≤ ky ∗ k.kT(x)k
≤ ky ∗ k.kTk.kxk với mỗi x ∈ X.
Do đó T ∗ (y ∗ ) liên tục, tức là T ∗ (y ∗ ) ∈ E ∗ Như vậy T ∗ : F ∗ → E ∗
Giả sử y 1 ∗ , y 2 ∗ ∈ F và α, β ∈ K ta có
Do đó T ∗ (αy 1 ∗ +βy 2 ∗ ) = αT ∗ (y 1 ∗ ) + βT ∗ (y 2 ∗ ), tức T ∗ là ánh xạ tuyến tính.
Với mỗi y ∗ ∈ F ∗ , vì T ∗ (y ∗ ) ∈ E nên kT ∗ (y ∗ )k = sup kxk=1 k(T ∗ (y ∗ ))(x)k= sup kxk=1 ky ∗ (T(x))k ≤ ky ∗ k sup kxk=1 kT(x)k
Do đó T ∗ liên tục và kT ∗ k ≤ kTk.
Bây giờ, ta gọi T ∗∗ là ánh xạ đỗi ngẫu của T ∗ khi đó, T ∗∗ : E ∗∗ → F ∗∗ với
Mặt khác, từ Định lý (1.1.19) suy ra rằng với mỗi x ∈ E được đồng nhất với x ∗∗ ∈ E ∗∗ và x(f) = f(x) với mọi f ∈ E ∗ Từ đó suy ra rằng, với mọi x ∈ E ta có
= y ∗ (T(x)) = (T(x))(y ∗ ), với mọi y ∗ ∈ F ∗ Điều này chứng tỏ T ∗∗
E = T Do đó áp dụng kết quả chứng minh ở trên ta có kTk = kT ∗∗
2.3.3 Bổ đề Nếu E là không gian định chuẩn thì mọi dãy hội tụ yếu trong
E đều bị chặn theo chuẩn.
Chứng minh Giả sử {x n } ⊂ E và x n −→ w x ∈ E Khi đó, theo Định lý (1.1.19),
Trong không gian con của E ∗∗, dãy {x n} được xem là các ánh xạ tuyến tính liên tục từ E ∗ vào K Khi x n hội tụ về w x, theo Định nghĩa (1.1.20), với mỗi x ∗ ∈ E, ta có x n (x ∗ ) hội tụ về x(x ∗ ) Do đó, dãy {x n (x ∗ )} là dãy bị chặn, dẫn đến việc dãy {x n} cũng bị chặn đều Theo nguyên lý bị chặn đều, tồn tại một hằng số C sao cho kx n k ≤ C với mọi n, chứng tỏ rằng {x n} là dãy bị chặn theo chuẩn.
Với mỗi n= 1,2, , ta xác định ánh xạ e ∗ n :C 0 → K bởi e ∗ n ((t k )) =t n , với mọi (t k ) ∈ C 0 , ở đây ta viết (t k ) thay cho {t k }.
Hiển nhiên e ∗ n là ánh xạ tuyến tính Mặt khác
|t n | = k(t k )k với mọi (t k ) ∈ C 0 , nên e ∗ n liên tục Như vậy e ∗ n ∈ C 0 ∗ Định lý sau đây đưa ra đặc trưng của các ánh xạ tuyến tính liên tục từ không gian Banach vào C 0
2.3.4 Định lý Giả sử X là không gian Banach và T : X →C 0 Khi đó T là tuyến tính liên tục khi và chỉ khi tồn tại dãy x ∗ n ⊂X ∗ sao cho x ∗ n w
Hơn nữa kTk = sup n kx ∗ n k.
Chứng minh Điều kiện cần Giả sử T ∈ L(X, C 0 ) Khi đó kí hiệu T ∗ : C 0 ∗ →
X ∗ là ánh xạ đối ngẫu của T Nếu đặt
T ∗ (e ∗ n ) = x ∗ n ;n= 1,2, thì ta có{x ∗ n } ⊂ X ∗ Với mọi x ∈ X, đặt T(x) = (t k ) Vì (t k ) ∈ C 0 nên t k → 0. Theo định nghĩa của ánh xạ đỗi ngẫu, với mọi x ∈ X ta có x ∗ n (x) = T ∗ (e ∗ n )(x) =e ∗ n (T(x)) = e ∗ n (t k ) =t n →0 khi n→ ∞. Điều này chứng tỏ x ∗ n w
−→ 0∈ X ∗ và T(x) = (x ∗ n (x)) với mọi x ∈ X. Điều kiện đủ Giả sử tồn tại dãy {x ∗ n } ⊂ X ∗ sao cho x ∗ n w
T(x) = (x ∗ n (x)) với mọi x ∈ X cho thấy T là ánh xạ tuyến tính nhờ tính tuyến tính của x ∗ n với mọi n Hơn nữa, do tôpô yếu trên X ∗ là tôpô yếu và dãy {x ∗ n} hội tụ yếu, theo Bổ đề (2.3.3), dãy {x n} bị chặn theo chuẩn Điều này dẫn đến tồn tại một α ∈ R sao cho kx ∗ n k ≤ α với mọi n Do đó, với mọi x ∈ X, ta có kT(x)k = sup n.
Bất đẳng thức này chứng tỏ T liên tục và kTk ≤ sup n kx ∗ n k.
Theo điều kiện cần ta có kx ∗ n k = kT ∗ (e ∗ n )k ≤ kT ∗ k.ke ∗ n k = kTk với mọi n.
Do đó kTk = sup n kx ∗ n k.
Giả sử E và F là hai không gian Banach, với D là không gian con của E và f thuộc L(D, F) Một câu hỏi tự nhiên đặt ra là liệu có thể mở rộng tuyến tính và liên tục hàm f lên không gian E hay không Cụ thể, liệu có tồn tại hàm fe thuộc L(E, F) sao cho fe
Hệ quả của Định lý Hahn-Banach đã giải quyết vấn đề khi F = K, với D là không gian con trù mật của E, dẫn đến sự tồn tại duy nhất của ánh xạ f và kfk = kfek Bài viết này sẽ tiếp tục giải quyết vấn đề trong trường hợp F = C₀.
2.3.5 Định lý ([3]) Giả sử X là không gian Banach khả li và Y là không gian con của X Khi đó nếu T ∈ L(Y, C 0 ) thì tồn tại Te∈ L(X, C 0 sao cho (i) Te
Chứng minh Đặt T ∗ (e ∗ n ) = y ∗ n ;n = 1,2, ; trong đó T ∗ là ánh xạ đỗi ngẫu của T Theo Định lý (2.3.4) ta có T(y) = (y n ∗ (y)), y ∈ Y và kTk = sup n ky n ∗ k.
Vì y n ∗ ∈ Y ∗ với n = 1,2, nên theo Hệ quả của Định lý Hahn- Banach (Hệ quả (1.1.13)) tồn tại x ∗ n ∈ X ∗ sao cho x ∗ n
Y = y ∗ n ,kx ∗ n k = ky ∗ n k ≤ kTk với mọi n = 1,2, Đặt
K = {x ∗ ∈ X ∗ : kx ∗ k ≤ kTk} và L = K ∩Y ⊥ , trong đó
Theo Định lý Banach-Alauglu, với mọi n = 1,2, , x ∗ n thuộc K, do đó K là compact trong tôpô yếu * Đặt ω ∗ là tôpô yếu * trên X ∗, và vì X khả li, K trở thành mêtric compact Giả sử d là mêtric sinh ra tôpô yếu * trên K, theo Định lý 2.3.4, ta có y n w.
−→∗ 0 Do đó với mọi y ∈ Y ta có n→∞lim x ∗ n (y) = lim n→∞y n ∗ (y) = 0.
Từ {x n } ⊂ K và tính compact mêtric của K suy ra tồn tại dãy con {x n j } của {x n } sao cho x n j w
−→ x ∗ ∈ K Do đó, với mọi y ∈ Y ta có x ∗ (y) = lim n j x ∗ n j(y) = lim n→∞x ∗ n (y) = 0, tức là x ∗ ∈ K ∩ Y ⊥ = L Từ đó và compact của K suy ra d(x ∗ n , L) dần tới không khi n → ∞ Do đó tồn tại dãy {t ∗ n } ⊂ L sao cho x ∗ n −t ∗ n w
Ta xác định ánh xạ Te : X → C 0 bởi công thức
Từ tính tuyến tính của x ∗ n và t ∗ n suy ra Te là ánh xạ tuyến tính Với mọi y ∈ Y, vì t ∗ n ∈ L nên t ∗ n (y) = 0 với mọi n Do đó, với mọi y ∈ Y ta có
Y = T Mặt khác, với mỗi x ∈ X ta có kTe(x)k = sup n
Do đó Te liên tục và kTek ≤ 2kTk. Định lý sau đây, cho ta dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục trên C 0
2.3.6 Định lý ([3]) Không gian C 0 ∗ đẳng cấu, đẳng cự với l 1
Chứng minh Đầu tiên, với mỗi u = {u n } ∈ l 1 ta xác định hàm f n : C 0 → K bởi công thức f n ({x n }) ∞
Do đó chuỗi ở vế phải của (2.3) hội tụ tuyệt đối Như vậy f n được xác định và ta thấy nó là ánh xạ tuyến tính Mặt khác ta có
Do đó f n liên tục và kf n k ≤ kuk 1 Như vậy f n ∈ C 0 ∗
|u j | nên với mọi ε > 0 tồn tại n 0 ∈ N sao cho n 0
|u j | > kuk 1 −ε Đặt b = {b n } với b n ( |u n | u n với n≤ n 0 và u n 6= 0
0 đối với các trường hợp còn lại Khi đó, b ∈ C 0 ,kbk n = 1 và kf n (b)k n 0
Do đó kf n k = sup ktk 0 =1
Vì ε > 0 bất kì nên kf n k ≥ kuk 1 Do đó kf n k = kuk 1
Bây giờ, ta xác định ánh xạ T : l 1 →C 0 ∗ bới
T(u) =f n , u ∈ l 1 Khi đó với u, t ∈ l 1 (u = {u n }, t = {t n }) ta có
Do đó T(u + t) = T(u) + T(x) Tương tự ta có T(αu) = αT(u) với mọi α ∈ K, u ∈ l 1 Như vậy T là ánh xạ tuyến tính.
Theo chứng minh, T(u) = kuk với mọi u ∈ l1, cho thấy T là ánh xạ đẳng cự Để hoàn thành chứng minh định lý, cần chứng minh T là toàn ánh Giả sử f ∈ C0* Đặt e*n = (0, , 0, 1).
Khi đó, với mỗi x = {x n } ∈ C 0 ta có x ∞
P n=1 x n e n Từ tính liên tục và tuyến tính của f ta có f(x) ∞
X n=1 x n u n Với mọi m = 1,2, ta xác định b m = {b m,n } với b m,n ( |u n | u n với u n 6= 0 và n= 1, m
0 đối với các trường hợp còn lại
Khi đó b m ∈ C 0 với mọi m = 1,2, và m
|u n | = |f(b m )| ≤ kfk.kb m k 0 = kfk với mọi m = 1,2,
|u n | ≤ kfk, tức là u = {u n } ∈ l 1 Mặt khác T(u) = f vì
X n=1 x n u n = f(x) với mọi x = {x n } ∈ C 0 Như vậy T là toàn ánh.
Không gian C 0 với thứ tự bộ phận
Trong phần này, chúng ta sẽ thiết lập một thứ tự bộ phận trên không gian C 0 của các dãy số thực hội tụ về không và chứng minh rằng không gian C 0 với thứ tự bộ phận này là một dàn Banach.
2.4.1 Định nghĩa Giả sử X là tập khác rỗng và ≤ là một quan hệ hai ngôi trên X Quan hệ ≤ được gọi là một thứ tự bộ phận trên X nếu
1) x ≤ x với mọi x ∈ X (tính phản xạ);
2) Từ x ≤ y và y ≤ x suy ra x = x;x, y,∈ X (tính đối xứng);
3) Từ x ≤ y và y ≤ z suy ra x ≤ z;x, y, z ∈ X (tính chất bắc cầu). Đôi khi ta viết x ≥y thay cho y ≤ x.
2.4.2 Định nghĩa Giả sử ≤ là một thứ tự bộ phận trên X và A ⊂ X. Phần tử a ∈ X được gọi là một cận trên hay chặn trên của A nếu x ≤ a với mọi x ∈ X.
Tập A được gọi là bị chặn trên nếu nó có cận trên.
Phần tử a ∈ X được gọi là cận trên bé nhất hay cận trên đúng của A nếu a là một cận trên của A và nếu b là một cân trên của A thì a ≤ b.
Tương tự như trên ta định nghĩa cho các khái niệm cận dưới, cận dưới đúng của A.
Giả sửx, y ∈ X ta kí hiệu x∨y, x∧y lần lượt là cận trên đúng, cận dưới đúng của tập A = {x, y} Nếu A = {x α : α ∈ I} ⊂ X thì ta kí hiệu W α∈I x α , V α∈I x α lần lượt là cận trên đúng của A.
X là một không gian Banach thực với thứ tự bộ phận được ký hiệu là ≤ Khi đó, X được gọi là một dàn Banach nếu nó thỏa mãn các điều kiện nhất định.
2) ax ≥ 0 với mọix ≥ 0 trong X và với mọi a ∈ R, a≥ 0, ở đây ta viết y ≥x thay cho x ≤ y với x và y ∈ X;
3)Với mọi x, y ∈ X tồn tại cận trên nhỏ nhất của {x, y}, kí hiệu là x∨y;
4)||x|| ≤ ||y|| nếu |x| ≤ |y|, trong đó giá trị tuyệt đối |x| của x ∈ X được xác định bởi |x|= x∨(−x).
2.4.4 Định lý Không gian C 0 các dãy số thực hội tụ tới không là một dàn Banach.
Đầu tiên, chúng ta định nghĩa thứ tự bộ phận trên C 0 bằng cách sử dụng điều kiện x ≤ y nếu và chỉ nếu x n ≤ y n với mọi n = 1, 2, trong đó x = {x n } và y = {y n } là các phần tử của C 0 Quan hệ này dễ dàng được kiểm tra là một thứ tự bộ phận trên C 0.
Bây giờ, ta chứng tỏ C 0 là một dàn Banach thỏa mãn Định nghĩa (2.4.3).
Giả sử x = {x n }, y = {y n }, z = {z n } là các phần tử của C 0 Khi đó, nếu x ≤ y thì x n ≤y n với mọi n Do đó x n +z n ≤y n +y n , tức là x+y ≤ y+ z.
Nếu x ≥ 0 thì x n ≥ 0 với mọi n Do đó với a ∈ R mà a ≥ 0 ta có ax n với mọi n, tức là ax ≥ 0. Đặt t n = max(x n , y n );n= 1,2, và t= {t n }.
Do đó t n → 0 khi n → ∞, tức là t ∈ C 0 Hiển nhiên x ≤ t và y ≥ t Giả sử u = {u n } sao cho x ≤u và y ≤ u Khi đó, x n ≤u n , y n ≤ u n với mọi n = 1,2,
Do đo t n = max(x n , y n ) ≤u n với mọi n = 1,2, ,tức là t ≤u Như vậy u = x∨y.
Luận văn đã đạt được các kết quả chính sau đây
Bài viết trình bày một cách có hệ thống về việc xây dựng không gian các dãy và một số tính chất của chúng, bao gồm việc nghiên cứu sự biểu diễn hữu hạn của C[0;1] trong C0 Ngoài ra, bài viết cũng đề cập đến sự tồn tại của cơ sở Schauder trong C0, các tính chất của các ánh xạ tuyến tính liên tục nhận giá trị hoặc xác định trên C0, và cuối cùng là việc xây dựng không gian C0 với thứ tự bộ phận thành một dàn Banach.
- Chứng minh một cách chi tiết các kết quả mà trong các tài liệu chứng minh còn vắn tắt đó là: Định lý (2.1.7), Định lý (2.3.5) và Định lý (2.3.6).
Bài viết này chứng minh một số kết quả quan trọng chưa được xác nhận trong tài liệu hiện có, bao gồm Mệnh đề (1.2.1), Mệnh đề (1.2.2), Mệnh đề (1.2.3), Mệnh đề (1.2.6), Mệnh đề (2.1.2), Bổ đề (2.3.2) và Bổ đề (2.3.3) Những kết quả này đóng góp vào việc làm sáng tỏ các khái niệm và lý thuyết liên quan, tạo nền tảng vững chắc cho nghiên cứu trong lĩnh vực này.
- Đưa ra và chứng minh một số kết quả mới, đó là: Mệnh đề (1.2.5), Mệnh đề (1.2.8), Bổ đề (2.1.6), Định lý (2.2.6), Định lý (2.3.4) và Định lý (2.4.4).