Các khái niệm
1.1.1 Định nghĩa Giả sử X là biến ngẫu nhiên Khi đó: σ(X) = {X −1 (B) : B ∈ B(R)} được gọi là σ- đại số sinh bởi X.
Họ hữu hạn {F i , i∈ I} các σ- đại số con của F được gọi là độc lập nếu
P(A i ) đối với mọi Ai ∈ F i (1 ≤ i ≤n) bất kỳ.
Họ vô hạn {F i , i ∈ I} các σ- đại số con của F được gọi là độc lập nếu mọi họ con hữu hạn của nó độc lập.
Họ các biến ngẫu nhiên {X i , i ∈ I} được gọi là độc lập nếu các σ- đại số sinh bởi chúng {σ(X i ), i ∈ I} độc lập.
Họ các biến cố {A i , i ∈ I} được gọi là độc lập nếu họ các biến ngẫu nhiên {I A i , i∈ I} độc lập.
1.1.2 Định nghĩa Họ các biến ngẫu nhiên {X i , i ∈ I} được gọi là độc lập đôi một nếu X i và X j độc lập với mọi i 6= j, i, j ∈ I.
1.1.3 Định nghĩa Một họ các biến ngẫu nhiên {X i ,1 ≤ i ≤ n} được gọi là m-phụ thuộc nếu n≤ m+ 1 hoặc n > m+ 1 và họ {X i ,1 ≤ i ≤k} độc lập với họ {X i , l ≤i ≤n} khi l −k > m.
Một dãy các biến ngẫu nhiên {X n , n ≥ 1} được gọi là m-phụ thuộc nếu họ {X i ,1≤ i ≤ k} độc lập với họ {X n , n ≥ l} khi l−k > m.
1.1.4 Định nghĩa Hai biến ngẫu nhiên X và Y được gọi làphụ thuộc âm nếu ∀x, y ∈ R ta có
Một dãy các biến ngẫu nhiên {X n , n ≥ 1} được gọi là phụ thuộc âm nếu họ {X i ,1≤ i ≤ k} phụ thuộc âm với họ {X n , n ≥ l} khi l > k.
Một dãy các biến ngẫu nhiên {X n , n ≥ 1} được gọi là phụ thuộc âm đôi một nếu hai biến ngẫu nhiên X i và X j là phụ thuộc âm với i 6= j.
Nhận thấy và dễ dàng chứng minh được rằng nếu {X n , n ≥ 1} là phụ thuộc âm đôi một nếu và chỉ nếu với tất cả i, j ≥ 1 (i 6= j) và với mọi x, y ∈ R,
1.1.5 Định nghĩa Một dãy các biến ngẫu nhiên {X n , n ≥1} được gọi là m-phụ thuộc âm nếu họ {X i ,1≤ i ≤ k} phụ thuộc âm với họ {X n , n ≥ l} khi l−k > m.
Một dãy các biến ngẫu nhiên {X n , n ≥ 1} được gọi là m-phụ thuộc đôi một nếu hai biến ngẫu nhiên X i và X j độc lập với nhau khi j −i > m.
Một dãy các biến ngẫu nhiên {X n , n ≥ 1} được gọi là m-phụ thuộc âm đôi một khi hai biến ngẫu nhiên Xi và Xj có mối quan hệ phụ thuộc âm đôi một khi khoảng cách giữa chúng thỏa mãn điều kiện j−i > m.
Khi hai biến ngẫu nhiên X và Y độc lập, đẳng thức (1.1) được thiết lập Từ đó, tính phụ thuộc đôi một có thể suy ra tính phụ thuộc âm đôi một.
1.1.6 Bổ đề Cho X là một biến ngẫu nhiên và {c n , n ≥ 1} là dãy các hằng số dương sao cho
Sự hội tụ hầu chắc chắn
1.2.1 Định nghĩa Một dãy các biến ngẫu nhiên {X n , n ≥1} được gọi là hội tụ hầu chắc chắn đến biến ngẫu nhiên X (khi n → ∞) nếu
Dãy các biến ngẫu nhiên {X n , n ≥ 1} trên không gian xác suất (Ω,F, P) được gọi là tuân theo Luật mạnh số lớn (LMSL) nếu có hằng số trung tâm {cn, n ≥ 1} và hằng số dương {Bn, n ≥ 1}.
Sự bảo toàn tính m - phụ thuộc âm đôi một
Bổ đề sau đây được chứng minh bởi Lehmann[[11]] và Matula [[13]].
Bổ đề 1.3.1 khẳng định rằng, cho dãy các biến ngẫu nhiên {X n , n ≥ 1} phụ thuộc âm đôi một và với mỗi n ≥ 1, hàm số f n : R → R Nếu dãy hàm {f n , n ≥ 1} chỉ chứa các hàm không tăng (hoặc không giảm), thì dãy {f n (X n ), n ≥ 1} cũng sẽ là dãy các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi một.
Bổ đề sau đây được chứng minh tương tự như Bổ đề 1.3.1, tuy nhiên ta chỉ xét cặp các biến ngẫu nhiên X i ,X j thỏa mãn |j −i| > m.
Bổ đề 1.3.2 phát biểu rằng cho dãy biến ngẫu nhiên {Xn, n ≥ 1} có tính chất m-phụ thuộc âm đôi một và với mỗi n ≥ 1, hàm số fn : R → R Nếu dãy hàm {fn, n ≥ 1} chỉ chứa các hàm không tăng (hoặc không giảm), thì dãy {fn(Xn), n ≥ 1} cũng sẽ là dãy các biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc âm đôi một.
Cho {F n , n ≥ 1} là dãy hàm phân phối liên tục, tồn tại dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi một {X n , n ≥ 1} sao cho hàm phân phối của {X n , n ≥ 1} là Fn Nếu tất cả {F n , n ≥ 1} đều liên tục, dãy biến ngẫu nhiên {X n , n ≥ 1} có thể được chọn sao cho với mọi k ≥ 1, {X n , n ≥ k} không phải là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập.
Xét dãy các biến ngẫu nhiên độc lập {Z n , n ≥ 1} được phân phối chuẩn N(0,1) và dãy {Z n −Z n+1 , n ≥ 1} có phân phối chuẩn N(0,2) Hàm phân phối H được xác định là N(0,2) cho mọi n ≥ 1.
Thấy rằng với mọi n≥ 1, t ∈ [0,1], và x ∈ [−∞,∞], t ≤F n (x) nếu và chỉ nếu F n −1 (t) ≤ x. Đặt
Dãy (Zn − Zn+1, n ≥ 1) là dãy các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi một Dựa vào tính chất bảo toàn này, ta có thể khẳng định rằng dãy (Xn, n ≥ 1) cũng là dãy các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi một Điều này xuất phát từ việc dãy các hàm hợp {Fn−1H, n ≥ 1} là dãy các hàm không tăng Do đó, với mọi n ≥ 1, hàm phân phối của Xn được xác định.
Tức là ta đã chứng minh được hàm phân phối của X n là F n , n ≥ 1 Tiếp theo, ta giả sử rằng {F n , n ≥ 1} là các hàm liên tục Lúc đó, với mọi n≥ 1,
Bây giờ, nếu X n và X n+1 là độc lập với n≥ 1, thì ta có
H −1 (Fn(Xn)) và H −1 (Fn+1(Xn+1)) cũng độc lập Ta để ý rằng
H −1 (Fn(Xn)) = H −1 (Fn(F n −1 (H(Zn −Zn+1))))
H −1 (Fn+1(Xn+1)) = H −1 (Fn+1(F n+1 −1 (H(Zn+1 −Zn+2))))
= Zn+1 −Zn+2. Lúc đó, theo (1.4) thì X n và X n+1 là không độc lập Nghĩa là, với mọi k ≥ 1, {X n , n ≥ k} không là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập.
Bất đẳng thức về phương sai
1.4.1 Bất đẳng thức về phương sai của dãy các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi một
Cho {X i ,1≤ i ≤ n} là một họ các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi một và có phương sai hữu hạn Khi đó
Bất đẳng thức về phương sai của dãy các biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc âm đôi một đã được chứng minh bởi các tác giả Li, Rosalsky và Volodin [[12]].
Cho {X i ,1 ≤ i ≤ n} là một họ các biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc âm đôi một và có phương sai hữu hạn Khi đó, với n≥ 1 thì
Chứng minh Xét {X i ,1 ≤ i ≤ n} là một họ các biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc âm đôi một.
Nếu n ≤ m + 1 thì bất đẳng thức trên hiển nhiên đúng Ta chứng minh Bất đẳng thức 1.4 trong trường hợp n > m + 1.
Dựa vào bất đẳng thức Côsi và bất đẳng thức về phương sai của các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi một, chúng ta có khả năng phân tích sâu hơn về mối quan hệ giữa các biến này.
+ (VarX 2 +VarX m+3 +VarX 2m+4 + .) + .+ (VarX m+1 +VarX 2m+2 +VarX 3m+3 + )}
Bất đẳng thức được chứng minh.
Bổ đề Borel- Cantelli
Giả sử {A n , n ≥ 1} là dãy các biến cố bất kỳ. a) Nếu P∞ n=1P(A n ) < ∞ thì P(lim supA n ) = 0. b) Nếu P∞
Bất đẳng thức Markov
Giả sử X là biến ngẫu nhiên bất kỳ và 0 < p < ∞ Khi đó với ε > 0 bất kỳ ta đều có
Có thể tham khảo cách chứng minh các định lý này ở tài liệu Nguyễn VănQuảng [[1]]
LUẬT MẠNH SỐ LỚN CHO DÃY CÁC BIẾN NGẪU
NHIÊN M-PHỤ THUỘC ÂM ĐÔI MỘT
2.1 Luật mạnh số lớn cho dãy các biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc âm đôi một không cùng phân phối
2.1.1 Định lý Cho {X n , n ≥1} là dãy các biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc âm đôi một và {B n , n ≥ 1} là dãy các hằng số dương Giả sử
E(|X n | I(|X n | ≤ B n )) = O(1), (2.2) thì lúc đó ta có Luật mạnh số lớn
→0, (2.4) thì lúc đó ta có Luật mạnh số lớn
Chứng minh Chú ý rằng, với biến ngẫu nhiên X và hằng số B > 0 thì
Do đó (2.1) là tương đương với 2 điều kiện sau
Lúc đó Yn = Yn (+) −Yn (−) , n ≥1.
Dựa vào Bổ đề 1.3.2, ta có {Yn (+) , n ≥ 1} và {Yn (−) , n ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc âm đôi một.
Cho b > 1 tùy ý, với mỗi k ≥ 1, định nghĩa N(k) là dãy các số nguyên nhỏ nhất sao cho n ≥ 1 thì Bn ≥ b k Đối với mỗi n ≥ 1, K(n) là dãy các số nguyên nhỏ nhất sao cho k ≥ 1 thì N k ≥ n Từ (2.2), với mọi k sao cho N(k) ≥ 2, chúng ta có những kết luận quan trọng về mối quan hệ giữa các dãy số này.
B N (k) = (1 +o(1)) b k+1 b k = (1 +o(1))b (2.9) Bên cạnh đó, theo (2.4), với mọi k sao cho N(k) ≥ 2,
Dựa vào (2.8), (2.9), (2.10) và (2.11) ta có
B N (k) ≤C, k ≥1 (2.13) dưới các điều kiện (2.2) hoặc (2.4)
Với ε > 0 tùy ý, sử dụng Bất đẳng thức Chebyshev cho dãy các biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc âm đôi một {Yn (+) , n≥ 1}, áp dụng (2.12) ta có
Do đó theo Bổ đề Borel-Cantelli và với ε tùy ý
Tiếp theo, nếu n thỏa mãn K(n) ≥ 2, lúc đó N(K(n) − 1) < n ≤
N(K(n)) và chú ý rằng Sn (+) là tổng của dãy các biến ngẫu nhiên không âm và theo (2.13) ta có
Bây giờ (2.2) sẽ kéo theo n
Do đó, dưới điều kiện (2.2),
Do đó dưới điều kiện (2.2), theo (2.14), (2.15), (2.16) và (2.19) ta thu được
Mặt khác, dưới điều kiện (2.4)
Như vậy, dưới điều kiện (2.4), từ (2.14), (2.15), (2.16) và (2.21) ta có
Tương tự ta cũng có n→∞lim
B n → 0 h.c.c (2.22) Theo (2.7) và bổ đề Borel- Cantelli
→ 0 (2.24) theo (2.7) và bổ đề Kronecker Từ (2.22), (2.23) và (2.24) ta thu được (2.3). Tức là ý i) được chứng minh Ta lại có điều kiện sau của (2.4) đảm bảo rằng
B n → 0 kết hợp với công thức (2.3) ta thu được (2.5) Khi đó ý ii) được chứng minh Vậy định lý được chứng minh
Điều kiện (2.1) tương đương với điều kiện chính (1.3) trong tài liệu của Heyde [[9]] Sự tương đương này được xác nhận trong tài liệu khi đề cập rằng (1.3) và cặp điều kiện (2.6) và (2.7) là tương đương Như đã nêu trong phần chứng minh của Định lý, (2.1) cũng tương đương với cặp điều kiện (2.6) và (2.7).
(ii) Điều kiện đủ của (2.1) là
< ∞ (2.25) với dãy hằng số {r n , n ≥ 1} ⊆ (0,2] Để thấy được điều này, ta cần chú ý rằng với n ≥1
Do đó, ta có (2.1) được rút ra từ (2.25).
Có thể nhắc lại rằng điều kiện Kolmogorov với dãy các biến ngẫu nhiên độc lập {X n , n ≥1} giá trị 0 tuân theo Luật mạnh số lớn khi B n tăng vô hạn Tuy nhiên, (2.1) vẫn có thể đúng với dãy các biến ngẫu nhiên độc lập giá trị 0 ngay cả khi điều kiện (2.25) không thỏa mãn Cụ thể, nếu ta chọn {X n , n ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối với EX 1 2 = ∞ và B n = n(log(n+ 1)) λ với λ > 1, thì (2.25) với r n ≡ 2 sẽ không đúng, nhưng lại đúng với r n ≡ 1 Do đó, (2.1) vẫn đúng theo Nhận xét của Định lý 2.1(ii).
2.1.2 Hệ quả Cho {X n , n ≥ 1} là một dãy các biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc đôi một và cho {B n , n ≥ 1} là một dãy các hằng số dương Giả sử rằng (2.1) đúng.
= o(1), (2.26) thì lúc đó ta thu được LMSL
E(|X n |I (|X n |≤B n ) ) = o(1) (2.28) thì lúc đó ta thu được LMSL (2.27).
(2.29) thì lúc đó LMSL (2.27) hội tụ.
(i) Theo Định lý 2.1(i), (2.3) đúng Bây giờ, theo (2.26) và Định lý tính khả tích trung bình Cesàro
Từ n= O(B n ) theo điều kiện đầu của (2.2), ta rút ra từ (2.30) rằng
→ 0 (2.31) kết hợp (2.3) và (2.31) ta thu được LMSL (2.27).
(ii) Từ điều kiện đầu và điều kiện thứ 3 của (2.28) với n > m ≥ 1
Do đó ta có (2.4) đúng và (2.27) được rút ra từ Định lý 2.1(ii).
(iii) Theo điều kiện thứ 2 và điều kiện thứ 4 của (2.29) và bằng cách trực tiếp như ở phần (i),
Do đó ta có (2.4) đúng và (2.27) được rút ra từ Định lý 2.1(ii)
Hệ quả tổng quát của Định lý 2 trong Etemadi [9] áp dụng cho dãy các biến ngẫu nhiên không âm và độc lập đôi một {X n , n ≥ 1} với điều kiện sup n≥1 EX n < ∞ và B n ≡ n, m = 0.
2.1.3 Hệ quả Cho {Xn, n ≥1} là một dãy các biến ngẫu nhiên phụ thuộc đôi một khả tích Giả sử cho (2.2), (2.6), (2.7), và
Lúc đó ta thu được LMSL
Chứng minh Từ (2.1) và cặp điều kiện (2.6) và (2.7) là tương đương, Định lý 2.1(i) đảm bảo cho (2.3) đúng Kết hợp với (2.32) ta sẽ thu được kết quả(2.33).
Luật mạnh số lớn cho dãy các biến ngẫu nhiên m -phụ thuộc âm đôi một cùng phân phối
âm đôi một cùng phân phối
Dựa trên Định lý 2.1, chúng ta sẽ xem xét phần tổng Pn j=1a j X j, với n ≥ 1, trong đó {X n, n ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc âm đôi một cùng phân phối và {a n, n ≥ 1} là dãy các hằng số dương Các hằng số a n được coi là trọng số, và phần tổng này được gọi là tổng trọng số Theo Bổ đề 1.2.2, dãy {a n X n, n ≥ 1} cũng là một dãy các biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc âm đôi một.
2.2.1 Định lý Cho {X n , n ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc âm đôi một cùng phân phối và {a n , n ≥ 1} và {B n , n ≥ 1} là dãy các hằng số dương.
Bn a n ↑, Bn na n → ∞, Bn na n = O j≥ninf
Khi đó ta có Luật mạnh số lớn
X j=1 a j = O(B n ), EX 1 = 0 (2.41) Khi đó ta có Luật mạnh số lớn (2.39).
Khi đó ta có Luật mạnh số lớn (2.39).
X j=1 aj = O(B n ), E|X 1 | < ∞ (2.45) Khi đó ta có Luật mạnh số lớn (2.39).
(i) Theo (2.35) và điều kiện B n /a n ↑ ∞, ta có (2.40) đúng (như đã chứng minh ở Định lý 6 ở tài liệu của Adler, Rosalsky, và Taylor [5] Lúc đó theo
(2.37), (2.40) và Bổ đề 1.1.6 ta có
Nhìn vào sự tương đương giữa (2.1) và cặp điều kiện (2.6), (2.7), từ
Dựa vào (2.47), (2.34), (2.38) và định lý 2.1(i),
B n → 0, (2.49) theo Định lý 6 trong Adler, Rosalsky, và Taylor [[5]] và sử dụng (2.35), (2.36) và (2.37) Kết luận (2.39) được rút ra trực tiếp từ (2.48) và (2.49).
(ii) Chú ý rằng (2.38) là hệ quả trực tiếp của (2.41) Bây giờ từ (2.41) cũng rút ra được rằng B n /a n ≥ δn với δ > 0 nào đó và mọi n ≥ 1 Từ
Lúc đó, lý luận như chứng minh ở phần (i), (2.48) vẫn còn đúng và tiếp tục sử dụng để suy ra kết quả (2.49) Chú ý rằng B n /a n → ∞ và E|X 1 | < ∞,
E(|X 1 | I(|X 1 | > B n /a n )) →0 và từ đó với mọi ε > 0, tồn tại một số nguyên N ≥2 sao cho
(theo điều kiện đầu của (2.34) và điều kiện thứ 2 của (2.43)) Vì ε > 0 tùy ý nên ta thu được (2.49).
(iii) Tương tự như chứng minh ở phần (i) thì ta thu được (2.47) Lúc đó từ Định lý 2.2(ii) ở công thức (2.42) và (2.43), ta thu được (2.39).
(iv) Theo (iii), ta chỉ cần kiểm tra rằng B n ↑ ∞ và (2.43) đúng Bây giờ,
Bn ↑ ∞ có thể được suy ra trực tiếp từ điều kiện đầu của (2.44) và điều kiện đầu của (2.45) Để kiểm tra điều kiện (2.43), từ (2.45), ta có
B n = o(1). Định lý được chứng minh.
Một số ví dụ và phản ví dụ
Cho λ ≥ 1, xét hai dãy hằng số dương {α n , n ≥ 1} và {β n , n ≥ 1} thỏa mãn α n β n = O(n λ−1 ) và β n = (n λ /(logn) 1+ε ) với mọi ε > 0 Đồng thời, cho {X n , n ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi một.
X n có hàm phân phối xác suất f n (x) = |x| α n −1 e −|x|/β n
< ∞ và vậy nên (2.1) đúng bởi hoặc nhận xét (i) hoặc nhận xét (ii) của Định lý
2.1 Nhận thấy (2.2) cũng đúng do
Pn j=1X j n λ →0 h.c.c được rút ra từ Định lý 2.1(i), chú ý rằng E X n I(|X n | ≤ n λ )
= 0, n ≥1. Các biến ngẫu nhiên {X n , n ≥ 1} trong ví dụ sau là đúng trong L p với mọi 0< p < 1 nhưng không đúng trong L 1
Ví dụ 2: Cho {X n , n ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi một cùng phân phối với X 1 có hàm mật độ f(x) = x −2 I [1,∞) (x), với
−∞ < x < ∞ Cho B n = n(logn) 1+ε , n ≥ 2với ε > 0 và cho B 1 = B 2 /2.
Do đó (2.1) được thỏa mãn Bây giờ ta có
∼logn vậy ta có (2.28) Do đó Hệ quả 2.1.1(ii),
Ví dụ 3: Cho X là biến ngẫu nhiên đối xứng với 0 < E|X| < ∞ và cho
B n = n, n ≥ 1 Đặt X n = X, n ≥ 1 Lúc đó {X n , n ≥ 1} không phải là m-phụ thuộc âm đôi một Bây giờ chọn {B n , n ≥ 1} và E|X| < ∞ tương ứng
P{|X n | > B n } < ∞ và vậy nên theo Bổ đề 1.1.4
Do đó, (2.1) đúng qua sự tương đương giữa (2.6) và (2.7) Tuy nhiên, (2.2) là được xóa đúng Nhưng với n≥ 1,
B n = nX n = X vậy nên (2.4) là sai
Ví dụ 4: Cho {Y n , n ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên cùng phân phối với
Lúc đó {X n , n ≥ 1} không là dãy các biến ngẫu nhiên cùng phân phối. Cho B 1 ≡ 1 và B n = nlogn, n ≥ 2 Chúng ta thử lại điều kiện đầu (2.1).
Tiếp theo, chúng ta thử lại điều kiện (2.4) Chú ý rằng với n ≥ 3
= o(1). thỏa mãn (2.4) Cuối cùng, theo Rosalsky [[15]] thì lim sup n→∞
Luận văn đã thu được các kết quả chính sau:
Nghiên cứu khái niệm phụ thuộc âm đôi một và m-phụ thuộc âm đôi một đóng vai trò quan trọng trong thống kê, đặc biệt là trong việc bảo toàn tính m-phụ thuộc âm đôi một Bên cạnh đó, việc khảo sát bất đẳng thức về phương sai đối với dãy các biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc âm đôi một cũng là một lĩnh vực nghiên cứu đáng chú ý, góp phần làm rõ mối liên hệ giữa các biến này.
Nghiên cứu luật mạnh số lớn cho dãy biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc âm đôi một được thực hiện trong hai trường hợp: khi các biến này cùng phân phối và khi không cùng phân phối Nghiên cứu này nhằm làm rõ tính chất phân phối của các biến ngẫu nhiên trong các tình huống khác nhau, từ đó cung cấp cái nhìn sâu sắc hơn về hành vi của chúng trong các ứng dụng thực tiễn.
Nghiên cứu và phát triển kết quả chính của luận văn lên thành những kết quả tổng quát hơn nữa.
TÀI LIỆU THAM KHẢO tiếng việt
[1] Nguyễn Văn Quảng (2007), Giáo trình Xác suất, NXB Đại học Quốc gia, Hà Nội.
[2] Nguyễn Văn Quảng (2008), Xác suất nâng cao, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội
[3] Nguyễn Duy Tiến, Vũ Viết Yên (2003), Lý thuyết Xác suất, NXB Đại học Quốc gia, Hà Nội. tiếng anh
[4] A Adler and A Rosalsky (1987),Some general strong laws for weighted sums of stochastically dominated random variables, stochastic Anal. Appl, 5, 1-16.
[5] A.Adler, A.Rosalsky and R.L.Taylor (1992),Some strong laws of large numbers for sum of random elements, Bull Inst Math Acad Sinica,
[6] M.Amini, H.A.Azarnoosh and A.Bozorgnia (1999), The almost sure convergence of weighted sums of negatively dependent randoms vari- ables, J.Sci Islam Repub Iran, 10, 112-116.
[7] M.Amini and A.Bozorgnia (2000), Negatively dependent bounded ran- doms variables probability inequalities and the strong laws of large num- bers, J.Appl Math Stochastic Anal, 13, 261-267.
[8] N Etemadi (1983), On the laws of large numbers for nonnegative ran- dom variables, J Multavariate Anal, 13, 187-193.