Luật mạnh số lớn cho mảng của tập compact ngẫu nhiên và tập ngẫu nhiên mờ độc lập theo hàng

Một số kiến thức cơ bản về lý thuyết xác suất

Không gian xác suất tổng quát

1.1.1.1 Đại số và σ-đại số Giả sử Ω là tập tùy ý khác rỗng Kí hiệu P(Ω) là tập hợp gồm tất cả tập con của Ω Khi đó, lớp A ⊆ P(Ω)được gọi là một đại số nếu:

Lớp F ⊆ P(Ω) được gọi là σ-đại số nếu nó là đại số và thỏa mãn thêm điều kiện:

Trong điều kiện (i) thì Ω ∈ A có thể thay bởi ∅ ∈ A.

Trong điều kiện (ii) thì A ∈ A ⇒ A = Ω \ A ∈ A có thể thay bởi

Trong điều kiện (iii) thì A∪B có thể thay bởi A∩B.

Trong điều kiện (iv), tổng hợp S∞ n=1A n có thể được thay thế bằng tổng T∞ n=1A n Độ đo xác suất được định nghĩa trên một đại số A ⊂ P(Ω) là hàm tập hợp P(ã) được gọi là độ đo xác suất hữu hạn cộng tính, hay còn gọi là cộng tính hữu hạn, nếu thỏa mãn các điều kiện nhất định.

Hàm tập hợp P(ã) xỏc định trờn đại số A được gọi là độ đo xỏc suất σ-cộng tính nếu nó thỏa mãn hai điều kiện (i) và (ii) và thỏa mãn:

Từ điều kiện (iii), bằng quy nạp ta có thể suy ra rằng Ai ∈ A, i = 1,2, , n và A i ∩ A j = ∅ với mọi i 6= j thì:

Cũng từ điều kiện (ii) và (iii) suy ra P(A) = 1−P(A).

Tính chất σ-cộng tính của độ đo xác suất dẫn đến tính chất hữu hạn cộng tính, nhưng điều ngược lại không luôn đúng Tuy nhiên, có một phát biểu khẳng định điều kiện cần và đủ để một độ đo xác suất hữu hạn cộng tính có thể trở thành σ-cộng tính.

Giả sủ P là một độ đo xác suất hữu hạn cộng tính trên đại số A Khi đó, bốn điều kiện sau là tương đương:

1) P là cộng tính đếm được (σ-cộng tính);

2) P liên tục trên, tức là nếu A n ∈ A, n = 1,2, là dãy không giảm (A n ⊆ A n+1 ) và lim n→∞ A n = S ∞ n=1 A n ∈ A thì:

3) P liên tục dưới, tức là nếu A n ∈ A, n = 1,2, là dãy giảm (A n ⊆A n−1 ) và lim n→∞ A n = T ∞ n=1 A n ∈ A thì:

4) P liên tục tại không, tức là nếu A n ∈ A, A n ⊇ A n+1 , n = 1,2, và

Từ ∅∪∅ = ∅ và từ điều kiện (ii) và (iii) ta suy ra:

Suy từ A ⊆ B ⇒ B = A ∪ (B \ A), A ∩ (B \ A) = ∅ ⇒ P(B) P(A) +P(B \A) nên ta có tính chất đơn điệu của P:

Suy từ tính chất trên và A ⊆Ω nên ta có:

Suy từ A∪B = A∪ (B \A) và P(B \A) =P(B)−P(A∩B) nên ta có:

Tổng quát, bằng phương pháp quy nạp toán học ta chứng minh được:

Từ tính chất trên suy ra:

Suy từ đẳng thức S∞ n=1An = S ∞ n=1 Bn và từ điều kiện (iv), trong đó

Bn = An \S n−1 k=0 Ak, A0 = ∅, ta có:

NếuA n ⊇B n , n = 1,2, thì từ các tính chất trên và từ hệ thức(S ∞ n=1 A n )\ (S ∞ n=1 B n ) ⊆ S ∞ n=1 (A n \B n ) ta sẽ có:

1.1.1.3 Không gian đo và không gian xác suất Cặp (Ω,F), trong đó

Ω 6= ∅ bất kì, còn F là σ-đại số các tập con của Ω được gọi là một không gian đo.

Bộ ba (Ω, F, P) được định nghĩa với Ω là tập hợp các phần tử ω, F là σ-đại số con của Ω, và P là độ đo xác suất σ-cộng tính, thường được gọi tắt là xác suất.

F), là không gian xác suất.

Tập Ω được gọi là không gian các biến cố sơ cấp, tập A ∈ F được gọi là biến cố, P(A) gọi là xác suất biến cố A P được gọi là xác suất trên F.

Biến ngẫu nhiên và hàm phân phối

Giả sử (Ω,F) là không gian đo, R = [−∞,+∞].

1.1.2.1 Biến ngẫu nhiên Hàm thực X = X(ω) xác định trên Ω, lấy giá trị trên R gọi là hàm F-đo được (hoặc biến ngẫu nhiên suy rộng) nếu:

{ω : X(ω) ∈ B}= X −1 (B) ∈ F, với mọi B ∈ B(R), trong đóB(R) là σ-đại số các tập Borel củaR. nếu

X : Ω → R = (−∞,+∞), thì ta nói X là biến ngẫu nhiên.

1.1.2.2 Tính chất biến ngẫu nhiên Giả sử X : Ω → R Khi đó, các mệnh đề sau tương đương:

1.1.2.3 σ-đại số sinh bởi biến ngẫu nhiên Giả sử (Ω,F,P) là không gian xác suất Khi đó, nếu X là biến ngẫu nhiên thì họ:

F(X) = {X −1 (B) : B ∈ B(R)} là một σ-đại số con của σ-đại số F, và đây là σ-đại số nhỏ nhất mà biến ngẫu nhiên X có thể đo được Được gọi là σ-đại số sinh bởi biến ngẫu nhiên X, nó đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết xác suất.

1.1.2.4 Hàm Borel Hàm ϕ : (R n ,B(R n )) → (R,B(R)) được gọi là hàm Borel nếu nó là B(R n )-đo được, nghĩa là: ϕ −1 (B) ∈ B(R n ) với mọi B ∈ B(R).

Giả sử X 1 , X 2 , , X n là các biến ngẫu nhiên cùng xác định trên (Ω,F) vàϕ(t 1 , t 2 , , t n ) là hàm Borel giá trị thực Khi đó, Y = ϕ(X 1 , X 2 , , X n ) cũng là biến ngẫu nhiên.

Từ đó suy ra rằng nếu X, Y là các biến ngẫu nhiên và a ∈ R thì aX, X ±Y, X.Y,max(X, Y),min(X, Y),

Y (Y 6= 0) đều là các biến ngẫu nhiên.

Giả sử (X n , n ≥ 1) là dãy các biến ngẫu nhiên vàsup n X n , inf n X n hữu hạn trên Ω Khi đó ta có: sup n

X n , lim inf n X n , là các biến ngẫu nhiên Đặc biệt, nếu lim n→∞ X n = X, X hữu hạn thì X cũng là biến ngẫu nhiên.

1.1.2.5 Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên Giả sử X là biến ngẫu nhiên xác định trên(Ω,F,P), nhận giá trị trên R = (−∞,+∞). Khi đó, hàm số

F X (x) = P[X < x], x ∈ R, được gọi là hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X.

Nhận xét Hàm phân phối F(x) = F X (x) có một số tính chất sau:

Tính đơn điệu, tức là: x ≤ y ⇒F(x) ≤ F(y).

Tính liên tục trái, có giới hạn phải tại mọi điểm.

1.1.2.6 Tính độc lập Giả sử (Ω,F,P) là một không gian xác suất Khi đó, họ hữu hạn {F i , i ∈ I} các σ-đại số con của F được gọi là độc lập nếu:

Họ vô hạn {F i , i∈ I} các σ-đại số con của F được gọi là độc lập nếu mọi họ con hữu hạn của nó độc lập.

Họ các biến ngẫu nhiên {X i , i ∈ I} được gọi là độc lập nếu họ các σ-đại số sinh bởi {F(X i ), i ∈ I} là độc lập.

Họ các biến cố {A i , i ∈ I} ⊆ F được gọi là độc lập nếu họ các biến ngẫu nhiên {I A i , i ∈ I} là độc lập.

Các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên

1.1.3.1 Kỳ vọng Giả sử X : (Ω,F,P) → (R,B(R)) là biến ngẫu nhiên. Khi đó, tích phân Lebesgue của X theo độ đo P (nếu tồn tại) được gọi là kỳ vọng của X và kí hiệu là EX Vậy,

Lược đồ xây dựng kỳ vọng Lược đồ xây dựng kỳ vọng chính là lược đồ xây dựng tích phân Lebesgue

Nếu X là biến ngẫu nhiên đơn giản:

Nếu X là biến ngẫu nhiên không âm thì X là giới hạn của một dãy tăng các biến ngẫu nhiên đơn giản (X n , n ≥1), chẳng hạn như:

Nếu X là biến ngẫu nhiên bất kì thì X = X + − X − , trong đó X + max(X,0) ≥ 0; X − = max(−X,0) ≥ 0 Khi đó,

EX := EX + −EX − ( nếu tồn tại ).

1.1.3.2 Phương sai và hiệp phương sai Giả sử X, Y là các biến ngẫu nhiên Khi đó, số

Hiệp phương sai (Cov(X, Y)) được định nghĩa là E(X − EX)(Y − EY) nếu nó tồn tại, thể hiện mối quan hệ giữa hai biến ngẫu nhiên X và Y Khi X và Y là giống nhau, hiệp phương sai sẽ phản ánh độ biến thiên của biến đó.

DX := E(X −EX) 2 , (hay còn kí hiệu là V ar(X)) được gọi là phương sai của biến ngẫu nhiên X.

3 Nếu tồn tại EX thì với mọi C ∈ R, ta có E(CX) =CE(X).

4 Nếu tồn tại EX và EY thì E(X ±Y) = EX ±EY.

−∞ xp(x)dx, nếu X liên tục có hàm mất độ p(x) Tổng quát, nếu f : R → R là hàm đo được Y = f(X) thì:

P if(x i )p i nếu X rời rạc nhận các giá trị x 1 , x 2 , với P(X = x i ) =p i ,

−∞ f(x)p(x)dx nếu X liên tục có hàm mật độ p(x).

6 (Định lý P Levi về hội tụ đơn điệu) Nếu X n ↑ X (tương ứng X n ↓X) và tồn tại n đề EX n − < ∞ (tương ứng EX n + < ∞) thì EX n ↑ EX

Nếu X n ≥Y với mọi n ≥1, EY > −∞ thì

Nếu X n ≤ Y với mọi n ≥ 1, EY < ∞ thì

ElimXn ≥ limEXn. Nếu |X n | ≤ Y với mọi n ≥ 1, EY < ∞ thì

8 (Định lý Lebesgue về hội tụ bị chặn) Nếu |X n | ≤ Y với mọi n ≥1,

EY < ∞ và X n →X thì X khả tích, E|X n −X| → 0 và EX n →EX (khi n → ∞).

9 Nếu flà hàm lồi, X và f (X)khả tích thì

10 Nếu X, Y là hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập thì

Tổng quát, nếu (X i ) i=1,n là các biến ngẫu nhiên độc lập thì:

11 Cov(X, Y) =E(XY)−EX.EY Đặc biệt DX = EX 2 −(EX) 2

12 DX ≥0 và DX = 0 khi và chỉ khi X = EX h.c.c.

13 D(CX) =C 2 DX, với X là biến ngẫu nhiên và C ∈ R.

14 Nếu X, Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập thì D(X ±Y) = DX +DY. Tổng quát, nếu (X i ) i=1,n là họ các biến ngẫu nhiên độc lập thì:

1.1.3.4 Bất đẳng thức Markov Giả sử (Ω,F,P) là không gian xác suất,

X là biến ngẫu nhiên Khi đó, với mọi số thực ε > 0 thì ta có:

1.1.3.5 Bổ đề Borel-Cantelli Giả sử (A n , n ≥ 1) là dãy các biến cố bất kỳ Khi đó, a) Nếu

Luật số lớn

1.1.4.1 Định nghĩa Cho dãy X 1 , X 2 , , X n , các đại lượng ngẫu nhiên bất kì có kỳ vọng EX i = a i , (i = 1,2, ) Dãy (X n , n ≥ 1) gọi là tuân theo luật yếu số lớn nếu

Dãy (X n , n ≥1) gọi là tuân theo luật yếu số lớn tổng quát nếu tồn tại dãy số (b n ),0 < b n ↑ ∞ sao cho

Nếu hội tụ theo xác suất được thay thế bằng hội tụ hầu chắc chắn, thì dãy (Xn, n ≥ 1) được gọi là tuân theo luật mạnh số lớn, hay còn gọi là luật mạnh số lớn tổng quát.

1.1.4.2 Định lý (Markov) Nếu (X n , n ≥ 1) là dãy đại lượng ngẫu nhiên độc lập đôi một và thỏa mãn điều kiện

DX i →0 (n → ∞) thì (Xn, n ≥ 1) tuân theo luật yếu số lớn.

1.1.4.3 Bổ đề (Kronecker) Giả sử (x n , n ≥1) là dãy các số thực và (b n , n ≥ 1) là dãy thoả mãn 0 < b 1 < < b n ↑ ∞ Khi đó, nếu chuỗi

1.1.4.4 Địng lý (Kolmogorov) Giả sử (X n , n ≥ 1) là dãy đại lượng ngẫu nhiên độc lập, 0 < b1 < < bn ↑ ∞ Khi đó, nếu

1.1.4.5 Định lý (Etemedi) Giả sử (X n , n ≥1) là dãy đại lượng ngẫu nhiên độc lập đôi một, cùng phân phối Khi đó, nếu E|X 1 | < ∞ thì

Nếu (Xn, n ≥ 1) là dãy đại lượng ngẫu nhiên độc lập và cùng phân phối, thì tổng Pn i=1 Xi sẽ hội tụ hầu chắc chắn đến một hằng số C hữu hạn.

1 Hệ quả Luật số lớn Chebyshev-Khinchin

Giả sử (X n , n ≥ 1)là dãy đại lượng ngẫu nhiên độc lập đôi một, cùng phân phối thỏa mãn

E|X n | < ∞,EX n = a(−∞ < a < +∞) (∀n∈ N) Khi đó, (X n , n ≥ 1) tuân theo luật số lớn

1.1.4.6 Hệ quả (Bernoulli) Tần suất f n của một biến cố hội tụ hầu chắc chắn (do đó, hội tụ theo xác suất) về xác suất của biến cố đó ( khi n→ ∞).

Một số khái niệm và tính chất cơ bản của giả tích hàm

Định nghĩa và tính chất

1.2.1.1 Định nghĩa Cho E là một K-không gian vectơ Một chuẩn trên E là một hàm x → kxk từ E vào R thỏa mãn các điều kiện sau: với mọi x, y thuộc E, mọi λ thuộc K i)kxk ≥ 0,kxk= 0 ⇔ x = 0; ii)kλxk = |λ|.kxk; iii)kx + yk ≤ kxk+kyk.

1.2.1.2 Định lý Nếu x → kxk là một chuẩn trên E thì d(x, y) = kx−yk là một mêtric trên E.

Một không gian định chuẩn là một không gian vectơ cùng với một chuẩn trên nó Không gian định chuẩn là không gian metric với mêtric sinh bởi chuẩn.

1.2.1.3 Định lý Chuẩn x → kxk là một hàm liên tục đều từ E vào R.

1.2.1.4 Định lý Giả sử E là một không gian định chuẩn Khi đó ánh xạ (x, y) 7→ x+y từ E×E vào E và (λ, x) 7→ λx từ K×E vào E là liên tục.

1.2.1.5 Định lý Giả sử E là không gian định chuẩn Khi đó với mọi a ∈ E ánh xạ x 7→ a+x là phép đồng phôi đẳng cự ( tức là bảo tồn khoảng cách) từ E lên E và với mọi λ ∈ K, λ 6= 0 ánh xạ x 7→ λx là phép đồng phôi đều từ E lên E.

1.2.1.6 Định nghĩa Không gian Banach là không gian định chuẩn đầy đủ(với mêtric sinh bởi chuẩn).

Tập lồi và không gian đối ngẫu

1.2.2.1 Định nghĩa Tập con A của không gian vectơ E được gọi là lồi nếu mọi x, y thuộc A và mọi số thực λ ∈ [0; 1] ta có λx+ (1−λ)y thuộc A.

1.2.2.2 Định nghĩa Giả sử E và F là không gian định chuẩn trên cùng một trườngK Kí hiệu L(E, F) là không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F Với mỗi f thuộc L(E, F) ta định nghĩa kfk= inf {k :kf (x)k ≤ kkxk,∀x ∈ E}.

1.2.2.3 Định lý Với mọi f thuộc L(E, F) ta có: kfk = sup x6=0 kf (x)k kxk = sup kxk≤1 kf (x)k = sup kxk=1 kf (x)k.

1.2.2.4 Định lý Hàm f 7→ kfk là một chuẩn trong L(E, F).

1.2.2.5 Định lý Nếu F là không gian Banach thì không gian L(E, F) là không gian Banach.

1.2.2.6 Định lý Nếu f : E → F, g : F → G là các ánh xạ tuyến tính liên tục thì g o f là ánh xạ tuyến tính liên tục và kg o fk ≤ kgk kfk.

1.2.2.7 Định lý Nếu F là không gian định chuẩn trên K thì ánh xạ biến a thuộc F thành ánh xạ ϕ a : ξ →ξa thuộc L(K, F) là một phép đẳng cự tuyến tính của F lên không gian L(K, F)

1.2.2.8 Định nghĩa E là không gian định chuẩn trên trường K Kí hiệu

E ∗ =L(K, F) gọi là không gian liên hợp hay không gian đối ngẫu của E.

Luật mạnh số lớn cho mảng của tập compact ngẫu nhiên và tập ngẫu nhiên mờ độc lập theo hàng.

Luật mạnh số lớn cho mảng của biến ngẫu nhiên độc lập theo hàng

Mở đầu

Cho {X n : n = 1,2, } là dãy biến ngẫu nhiên Ta nói rằng dãy {X n } hội tụ đầy đủ tới 0 nếu với mọi ε > 0 ta có:

Theo định lý Borel - Cantelli, nếu một dãy biến ngẫu nhiên hội tụ đầy đủ thì sẽ hội tụ hầu chắc chắn Tuy nhiên, điều này không đúng trong trường hợp ngược lại, trừ khi dãy biến ngẫu nhiên là độc lập Đối với dãy biến ngẫu nhiên độc lập, nếu chúng cùng phân phối với kỳ vọng EX = 0 và 1 ≤ p < 2, thì một số tính chất nhất định sẽ được áp dụng.

Xk → 0 h.c.c (n→ ∞) (2.1) nếu và chỉ nếu

Zaman cung cấp một ví dụ thú vị liên quan đến mảng biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối, trong đó cho rằng với bất kỳ giá trị p nằm trong khoảng 1 < p < α và thỏa mãn điều kiện E|X 11 | p < ∞, sẽ có những kết quả đáng chú ý.

Với {X nk} là một dãy các biến ngẫu nhiên độc lập và cùng phân phối, hội tụ hầu chắc chắn trong (1.3) tương đương với hội tụ đầy đủ Hơn nữa, đối với mỗi n và ε > 0, chúng ta có thể xác định các tính chất hội tụ của dãy này.

2.1.1.1 Định lý Giả sử {X nk } là một mảng của dãy biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối thỏa mãn EX 11 = 0 và 1≤ p < 2 Khi đó,

X nk →0 đầy đủ n → ∞ (2.5) khi và chỉ khi

Mảng {X nk } của dãy biến ngẫu nhiên gọi là bị chặn đều bởi biến ngẫu nhiên X nếu với mọi n, k và bất kì số thực t > 0, ta có:

Ta chỉ xét mảng {X nk ,1 ≤ k ≤ n, n ≥1} của dãy biến ngẫu nhiên độc lập theo hàng sao cho với mọi n và mọi k thì

EX nk = 0 (2.6) và {X nk } bị chặn đều bởi biến ngẫu nhiên X với

Kết quả chính

2.1.2.1 Định lý Giả sử {X nk ,1 ≤k ≤ n, n≥ 1}là mảng của dãy biến ngẫu nhiên độc lập theo hàng thỏa mãn (2.6) và {X nk } bị chặn đều bởi biến ngẫu nhiên X thỏa mãn (2.7) Khi đó, ta có (2.5).

2.1.2.2 Hệ quả Cho {X nk } là mảng của dãy biến ngẫu nhiên độc lập theo hàng thỏa mãn (2.6) và sup n,k E|X nk | 2p+δ = B < ∞, (2.8) khi đó với 1≤ p < 2 và δ >0 ta có (2.5).

2.1.2.3 Hệ quả Cho {X k } là mảng của dãy biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối thỏa mãn EX 1 = 0 và 1 ≤p < 2 và δ > 0 Khi đó

X k → 0 đầy đủ (n → ∞) (2.9) khi và chỉ khi

2.1.2.4 Hệ quả Giả sử {X k } là mảng của dãy biến ngẫu nhiên độc lập theo hàng thỏa mãn EX k = 0 với mọi k và {X k } bị chặn bởi biến ngẫu nhiên X thỏa mãn (2.7) Khi đó ta có (2.9).

Chú ý 1 Trong các định lý và hệ quả trên giả thiết p 0 tồn tại tập compact K thỏa mãn sup n,k E

Chú ý 3 Điều kiện (2.12) với tập K compact là cần thiết.

Nếu {X nk } là mảng của phần tử ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối với

EkX 11 k 2 < ∞ (2.15) khi đó ta có (2.12).

2.1.3.2 Định lý Cho {X nk } là mảng của phần tử ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối trong không gian Banach khả ly thỏa mãn (2.13) Khi đó (2.12) đạt được khi và chỉ khi (2.14) đạt được.

Tập ngẫu nhiên và tập mờ

Tập ngẫu nhiên

Trong luận văn này, S được định nghĩa là không gian Banach thực khả ly với chuẩn k.k, trong khi S ∗ là không gian đối ngẫu của S Đối với mỗi tập hợp A thuộc S, clA biểu thị bao đóng theo chuẩn và coA biểu thị bao đóng lồi của A Kí hiệu C(S) (C C (S)) đại diện cho tập hợp tất cả các tập con compact không rỗng (tập compact lồi không rỗng) của S.

2.2.1.1 Định nghĩa Giả sử A, B ∈ C(S) và λ là một số thực Phép cộng và phép nhân vô hướng trong C(S) (tương ứng CC(S)) là

Lưu ý rằng C (S) và C C (S) với 2 phép toán trên không là không gian tuyến tính, ngay cả khi S = R.

2.2.1.2 Định nghĩa Giả sử A, B ∈ C(S), khoảng cách Hausdorff của A và B, kí hiệu là d H (A, B), được định nghĩa là: d H (A, B) = max sup a∈A b∈Binf ka−bk,sup b∈B a∈Ainf ka−bk

Ta kí hiệu : kAk = d H (A,{0}) = sup a∈A kak, A ∈ C (S).

2.2.1.3 Định nghĩa Giả sử (Ω,F,P) là không gian xác suất đầy đủ Tập ngẫu nhiên ( compact) là một hàm đo được Borel F : Ω → C(S) nghĩa là

Theo định lý Caratheodory thì bao lồi của tập compact là tập compact.Với mỗi tập ngẫu nhiên F trong C(S) , tồn tại một tập coF tương ứng trong

C C (S) được sử dụng trong việc xác định giá trị kì vọng.

2.2.1.4 Định nghĩa Hàm đo được f : Ω → S được gọi là lát cắt đo được của F nếu f(ω) ∈ F (ω),∀ω ∈ Ω.

Kí hiệu S F = f ∈ L 1 (Ω, S) : f (ω) ∈ F (ω) h.c.c trong đó L 1 (Ω, S) là không gian của các hàm đo được f : Ω →S sao cho R

2.2.1.5 Định nghĩa Giả sử F là tập ngẫu nhiên, kỳ vọng của F, kí hiệu là E(F), được xác định bởi:

Định nghĩa tích phân Bochner được giới thiệu bởi Aumamm vào năm 1965, mở rộng khái niệm từ biến ngẫu nhiên giá trị thực Đối với một tập ngẫu nhiên F, nếu EkcoFk < ∞, thì tích phân Bochner được xác định là E(coF) = R.

Ω coF dP và E(coF) ∈ CC(S) Trong đó coF xác định như sau: coF :Ω→ C C (S) ω 7→ coF (ω).

2.2.1.6 Định lý Giả sử A, B, C, D thuộc C(S) và λ là số thực bất kì và

X, Y là tập ngẫu nhiên, ta có:

1 Ta có: d H (λA, λB) =max sup a∈A b∈Binf kλa−λbk,sup b∈B a∈Ainf kλa −λbk

= |λ|max sup a∈A b∈Binf ka−bk,sup b∈B a∈Ainf ka−bk

2 Ta có: b∈Binf ka−bk ≤ ka−ck+ inf b∈Bkc−bk

⇒ inf b∈B ka−bk ≤ inf c∈Cka−ck+ inf c∈Cinf b∈Bkc−bk

⇒sup a∈A b∈Binf ka−bk ≤ sup a∈A c∈Cinf ka−ck+ inf c∈C inf b∈Bkc−bk

Xét hai tập hợp A, B và C, ta có bất đẳng thức sau: sup a∈A b∈B inf ka−bk ≤ sup a∈A c∈C inf ka−ck + sup c∈C b∈B inf kc−bk Tương tự, ta cũng có bất đẳng thức: sup b∈B a∈A inf ka−bk ≤ sup c∈C a∈A inf ka−ck + sup b∈B c∈C inf kc−bk.

Do đó ta có: max sup a∈A b∈Binf ka−bk,sup b∈B a∈Ainf ka−bk

≤ max sup a∈A c∈Cinf ka−ck,sup c∈C a∈Ainf ka−ck

+max sup c∈C b∈Binf kc−bk,sup b∈B c∈Cinf kc−bk

3 Ta có: k(a+c)−(b+d)k ≤ ka−bk+kc−dk

⇒ inf b∈B,d∈Dk(a+ c)−(b+d)k ≤ inf b∈Bka−bk+ inf d∈Dkc−dk

≤sup a∈A b∈Binf ka−bk+ sup c∈C d∈Dinf kc−dk

≤sup a∈A b∈Binf ka−bk+ sup c∈C d∈Dinf kc−dk.

Chứng minh tương tự ta có: sup b+d∈B+D a+c∈A+Cinf k(a+c)−(b+d)k

≤sup b∈B a∈Ainf ka−bk+ sup d∈D c∈Cinf kc−dk.

Do đó ta có: max sup a+c∈A+C b+d∈B+Dinf k(a+c)−(b+ d)k, sup b+d∈B+D a+c∈A+Cinf k(a+c)−(b+d)k

≤ max sup a∈A b∈Binf ka−bk,sup b∈B a∈Ainf ka−bk

+max sup c∈C d∈Dinf kc−dk,sup d∈D c∈Cinf kc−dk

⇒ dH (A+ C, B+ D) ≤ dH(A+B) +dH (C +D). Các tính chất còn lại chứng minh tương tự.

2.2.1.7 Định nghĩa Họ hữu hạn các tập ngẫu nhiên {X 1 , X 2 , X n } trong C(S) được gọi là độc lập nếu P n i=1∩ X i −1 (B i )

= Π n i=1P X i −1 (B i ) với mọiB1, , Bn ∈ B(C(S)) Một họ vô hạn tập ngẫu nhiên trongC(S) được gọi là độc lập nếu mọi họ con hữu hạn của nó độc lập.

Từ định nghĩa trên, hầu hết các tính chất của tập ngẫu nhiên độc lập được mở rộng từ tập biến ngẫu nhiên thực độc lập.

Tập mờ

2.2.2.1 Định nghĩa Tập mờ trong S là một hàm u : S → [0; 1].

Ta kí hiệu F(S) là họ các tập mờ u thỏa mãn các điều kiện sau:

(i) u là nửa liên tục trên, nghĩa là u α = {x ∈ S;u(x) ≥ α} là tập con đóng của S với mỗi α ∈ (0; 1].

(ii) {x ∈ S;u(x) > 0} có bao đóng compact.

2.2.2.2 Định nghĩa Giả sử u ∈ F (S) Hàm tựa của u, kí hiệu là suppu,được xác định: suppu = {x ∈ S;u(x) > 0}.

Từ giả thiết về sự tồn tại bao đóng compact của suppu, ta suy ra rằng suppu bị chặn theo chuẩn.

Một cấu trúc tuyến tính trong F(S) được xác định bởi các phép toán như sau: (u+v) (x) = sup y+z=x min [u(y), v(z)], (λu) (x) u(λ −1 x)nuλ 6= 0

I0(x)nuλ = 0 trong đó u, v ∈ F(S), λ ∈, I 0 (.) là hàm chỉ tiêu.

2.2.2.3 Định lý Giả sử u, v ∈ F (S), λ ∈ R Với mỗi α ∈ (0; 1] ta có:

Nếu sup y+z=x min{u(y), v(z)} > α thì tồn tại y 0 , z 0 , x = y 0 +z 0 thỏa mãn min{u(y 0 ), v(z 0 )} > α

Nếu sup y+z=x min{u(y), v(z)} = α thì với mọi

Ngược lại, với mọi x ∈ u α +v α ⇒ x = y +z trong đó y ∈ u α , z ∈ v α

2 Nếu λ = 0 thì hiển nhiên ta có (λu) α = λuα Với λ 6= 0 ta có:

(λu) α = λuα. Đối với các tập mờ, ta chọn metric thông thường nhất là dr(d ∞ ) được xem như là một tổng quát hóa của metric Hausdorff từ C(S) lên F(S), với d r (u, v) 

2.2.2.4 Định nghĩa Giả sử u ∈ F(S) Chuẩn của u được định nghĩa là kuk r = d r (u,0) hoặc kuk ∞ = d ∞ (u,0) = ku 0 k r

Khái niệm của một tập ngẫu nhiên mờ được hình thành từ tập ngẫu nhiên đã được nghiên cứu bởi Puri và Ralescu (xem[14]).

2.2.2.5 Định nghĩa Tập ngẫu nhiên mờ là một hàm X : Ω → F(S) sao cho mỗi α ∈ (0; 1] thì X α (ω) = {x ∈ S;X(ω)(x) ≥α} là một tập ngẫu nhiên trong S.

Tập ngẫu nhiên mờ X được gọi là bị chặn khả tích nếu biến ngẫu nhiên giá trị thực ksuppuk là khả tích.

Giả sử X là tập ngẫu nhiên mờ , kỳ vọng của tập ngẫu nhiên mờ X, ký hiệu là E[X], là một phần tử trong F(S) sao cho với mỗi α ∈ (0; 1] ta có:

X α dP = cl{E(f);f ∈ S X α },trong đó SX α = f ∈ L 1 (Ω, S);f(ω) ∈ Xα(ω)

Ta cũng có định nghĩa tương đương sau:

E[X] (x) = sup{α ∈ (0; 1] ;x ∈ E[X α ]}. Hơn nữa , (E[coX]) α = E[(coX) α ] với bất kì α ∈ (0; 1].

2.2.2.6 Định nghĩa Họ các tập ngẫu nhiên mờ {X n ;n ≥ 1} được gọi là độc lập nếu bất kì α ∈ (0; 1] thì dãy tập ngẫu nhiên {X n α;n ≥ 1} là độc lập. Đối với mảng của tập hợp ngẫu nhiên hay tập ngẫu nhiên mờ, độc lập theo hàng được định nghĩa tương tự cho mỗi dòng.

Nếu {X ni ; 1 ≤ i ≤ n, n ≥ 1} là một mảng của véc tơ ngẫu nhiên trong R d, thì được gọi là khả tích đều nếu với mọi ε > 0 tồn tại a ∈ R sao cho sup n,i EkX ni I(kX ni k > ak < ε Tập {x : kxk ≤ a} là compact trong R d Tuy nhiên, trong không gian vô hạn chiều (như C(S) và K(S)), tập đóng và bị chặn không nhất thiết phải là compact Để áp dụng luật mạnh số lớn cho tập compact ngẫu nhiên và tập ngẫu nhiên mờ trong không gian Banach, chúng ta cần giới thiệu các định nghĩa liên quan.

2.2.2.7 Định nghĩa Họ{X ni ; 1 ≤ i ≤ n, n≥ 1}của các tập compact ngẫu nhiên trong C(S) được gọi là compact khả tích đều nếu với mọi ε > 0 tồn tại một tập con conpact K củaC(S) sao cho sup n,i EkX ni I(X ni ∈/ K)k< ε.

2.2.2.8 Định nghĩa Họ {X ni ; 1 ≤ i ≤ n, n≥ 1} của các tập ngẫu nhiên mờ trong F(S) được gọi là compact khả tích đều nếu với mọi ε > 0 tồn tại một tập con conpact K của F(S) sao cho với mọi α ∈ (0; 1] thì sup n,i EkX ni αI(X ni ∈/ K)k< ε

Luật mạnh số lớn

Các bổ đề

Để chứng minh các kết quả chính, chúng tôi giới thiệu một số bổ đề sẽ được sử dụng sau này R˚adstr¨om đã chỉ ra rằng các tập con compact lồi của không gian Banach có thể được nhúng như một lồi nón trong một không gian tuyến tính định chuẩn Điều này có nghĩa là không gian metric C(S) có thể được nhúng trong không gian Banach khả ly N thông qua một đẳng cự g : C(S) → N Do đó, chúng tôi đưa ra bổ đề sau đây.

2.3.1.1 Bổ đề (R˚adstr¨om[24] ) Cho X : Ω → C C (S) là tập compact ngẫu nhiên thỏa mãn EkXk < ∞ Nếu g : C C (S) → N là đẳng cự cho bởi định lý nhúng R˚adstr¨om, thì ta có

2.3.1.2 Bổ đề (Taylor[27] ) Cho K là một tập con compact của C(S) và {a ni } là một mảng các hằng số không âm thỏa mãn n

Với bất kì mảng {b ni } nhận giá trị 0 và 1 và bất kì mảng {A ni } ⊂ K

Các định lý

Trong bài viết này, chúng tôi sẽ khám phá luật mạnh số lớn cho mảng {X ni} của tập hợp ngẫu nhiên compact hoặc tập ngẫu nhiên mờ bị chặn khả tích Ở mục 2.1, chúng tôi đã thiết lập các luật mạnh số lớn cho mảng của các biến ngẫu nhiên độc lập và cùng phân phối với kỳ vọng bằng 0, dựa trên một số giả thiết nhất định.

EX 11 2 < ∞ trong đó cũng mở rộng kết quả của cho mảng độc lập theo hàng, nhưng điều kiện biến ngẫu nhiên cùng phân phối kì vọng 0 được thay thế bởi điều kiện các biến ngẫu nhiên bị chặn bởi biến ngẫu nhiên X, nghĩa là

P(|X ni | ≥ t) ≤ P(|X| ≥ t) với mọi n, i và mọi t > 0 và EX 2 < ∞chúng tôi sẽ thiết lập kết quả tương tự cho tập ngẫu nhiên và tập ngẫu nhiên mờ độc lập theo hàng.

2.3.2.1 Định lý Cho{X ni ; 1 ≤i ≤n, n ≥ 1}là mảng của tập compact ngẫu nhiên và là compact khả tích đều và độc lập theo hàng trong C(S) Giả sử tồn tại biến ngẫu nhiên X sao cho P(kX ni k ≥ t) ≤ P(kXk ≥ t) với mọi n, i và mọi t > 0 và EX 2 < ∞ Khi đó với mọi ε > 0,

Với mọi ε > 0, theo giả thiết thì tồn tại một tập con compact K con củaC(S) sao cho ∀n, i:EkX ni I(X ni ∈/ K)k ≤ ε.

Vì K là tập compact nên tồn tại k 1 , , k m thuộc K sao cho:

Vì vậy, Z ni là tập compact ngẫu nhiên nhận hữu hạn giá trị, và dãy

{Z ni ; 1 ≤i ≤ n, n ≥1} độc lập theo hàng.

Trong đó (I 3 ) và (I 4 ) sinh ra từ kí hiệu

Z ni = Z ni 0 I (X ni ∈ K) = X m j=1k j I (Z ni = k j ) và

EI(Z ni = k j ) =P (Z ni = k j ).Với I1 ta có: d H

(kX ni I (X ni ∈/ K)k − EkX ni I (X ni ∈/ K)k) +

Biểu thức \((kX_{ni}I(X_{ni} \in K) - E[kX_{ni}I(X_{ni} \in K)]) + \epsilon\) và \(\{kX_{ni}I(X_{ni} \in K) - E[kX_{ni}I(X_{ni} \in K)]; 1 \leq i \leq n, n \geq 1\}\) tạo thành một mảng các biến ngẫu nhiên độc lập theo hàng với kỳ vọng bằng 0 Điều này áp dụng cho mọi \(n\) và \(i\).

P(kX ni I (X ni ∈/ K)k −EkX ni I (X ni ∈/ K)k ≥ t)

Theo định lý 2.1.2.1 ta có:

Với (I 2 ), bằng cách xây dựng dãy Z ni , ta có: d H 1 n n

Chú ý rằng [I (Z ni = k i )−P(Z ni = k j )] là biến ngẫu nhiên bị chặn Đặt δ = ε/ P m j=1 kk j k Lại theo định lí 2.1.2.1 ta có:

Với (I 4 ), từ bổ đề 2.3.1.2 với n đủ lớn ta có:

Với (I 5 ), bằng cách xây dựng Z ni ta có:

P i=1 d H (EcoZ ni , coX ni I (X ni ∈ K))

Kết hợp các lí luận trên ta có:

2.3.2.2 Định lý Cho {X ni ; 1 ≤ i ≤ n, n≥ 1} là mảng của tập ngẫu nhiên mờ độc lập theo hàng trong F(S) và nó là compact khả tích đều và thỏa mãn với mỗi ε > 0 tồn tại phân hoạch 0 =α 0 < < α m = 1 của [0; 1] sao cho

1≤k≤mmax Ed H X ni α + k−1 , X ni α k < ε,∀n, i (2.21) Giả sử tồn tại biến ngẫu nhiên X với EX 2 < ∞ sao cho với mọi n, i

Chứng minh Chọn phân hoạch 0 = α 0 < < α m = 1 của [0; 1] sao cho với mọi n, i ta có

Vì thế ta có sup α k−1