Phần tử ngẫu nhiên
Định nghĩa
Ánh xạ X : Ω −→ E được gọi là phần tử ngẫu nhiên G- đo được, nhận giá trị trong E nếu X là G/B(E) đo được, tức là với mọi B ∈ B(E) thì
Phần tử ngẫu nhiên F-đo được sẽ được gọi là phần tử ngẫu nhiên Nếu X là phần tử ngẫu nhiên G-đo được, thì X cũng được xem là phần tử ngẫu nhiên.
Ví dụ
Xét ánh xạ X : Ω −→E xác định bởi
Khi đó X là phần tử ngẫu nhiên G- đo được, với G = ∅, Ω.
Định nghĩa
Phần tử ngẫu nhiên X : Ω −→ E gọi là phẩn tử ngẫu nhiên rời rạc nếu
Định nghĩa
Dãy phần tử ngẫu nhiên (X n ) gọi là hội tụ đến ánh xạ X : Ω −→ E nếu
X n (ω) → X(ω) (theo chuẩn), với mọi ω ∈ Ω Kí hiệu X n → X.
Dãy phần tử ngẫu nhiên (Xn) gọi là hội tụ hầu chắc chắn (h.c.c) đến ánh xạ
X : Ω −→ E nếu tồn tại tập N ∈ F sao cho P(N) = 0, Xn(ω) → X(ω)(theo chuẩn), với mọi ω ∈ Ω N Kí hiệu X n −−→ h.c.c X.
Định lí
Nếu (Xn) là dãy phần tử ngẫu nhiên và Xn h.c.c
−−→ X thì X là phần tử ngẫu nhiên Đặc biệt, nếu (Xn) là dãy phần tử ngẫu nhiên G-đo được và Xn → X thì X là phần tử ngẫu nhiên G-đo được.
Định lí
Ánh xạ X : Ω −→ E là một phần tử ngẫu nhiên G-đo được nếu và chỉ nếu X là giới hạn đều của một dãy phần tử ngẫu nhiên rời rạc G-đo được Điều này có nghĩa là tồn tại một dãy phần tử ngẫu nhiên rời rạc (X n ) G-đo được sao cho giới hạn khi n tiến đến vô cùng của sup lim ω∈Ω kX n (ω)−X(ω)k bằng 0.
Định lí
Ánh xạ X : Ω −→ E được coi là phần tử ngẫu nhiên G-đo được khi và chỉ khi X là giới hạn theo chuẩn của một dãy các phần tử ngẫu nhiên đơn giản (Xn) G-đo được Điều kiện cần thiết là kX n (ω)k phải nhỏ hơn hoặc bằng 2X(ω) với mọi n và mọi ω ∈ Ω Cụ thể, tồn tại một dãy phần tử ngẫu nhiên đơn giản (X n) G-đo được thỏa mãn giới hạn lim n→∞ kX n (ω) - X(ω)k bằng 0 và kX n (ω)k nhỏ hơn hoặc bằng 2X(ω) với mọi n và mọi ω ∈ Ω.
Chứng minh Điều kiện đủ : Định lí 1.1.5. Điều kiện cần:
Giả sử X là phần tử ngẫu nhiên Do E khả li nên tồn tại (y n ) trù mật trong
E, y0 = 0 Với mỗi n = 1,2, xác định f n : E −→ {y 0 , , y n },∀x ∈ E, f n (x) =y l , y l ∈ {y 0 , , y n } thỏa mãn kx−ylk< kx−ymk; 0 6 m < l. kx−ylk6 kx−ymk;l 6 m 6 n.
Khi đó với mọi n, f n là ánh xạ B(E)/B(E) đo được.
Thật vậy, f n −1 (y l ) = {x ∈ E : kx−y l k6 kx−y m k; 0 6 m < l, kx−y l k 6 kx−y m k;l 6 m 6 n} l−1
{x :kx−y l k 6 kx−y m k} vì các ánh xạ f 1 : x −→ x − a và f 2 : x −→ kxk liên tục nên ánh xạ f : x −→ kx−ak liên tục.
Tương tự, g : x −→ kx−bk liên tục.
Do đó f (a,b) (x) = kx−ak − kx−bk liên tục. f n −1 (y l ) l−1
Vậy với mọi B ∈ B(E) ta có f n −1 (B) = S
{l:y l ∈B} f n −1 (y l ) ∈ B(E) Suy ra f n : E −→E là B(E)/B(E) đo được Hơn nữa kx n −f n (x)k = min
0 6 m 6 nky m −xk 6 ky 0 −xk= kxk.
Do đó kf n (x)k 6 2kxk. Đặt X n = f n ◦X Khi đó
Tức là X n chỉ nhận hữu hạn giá trị.
X n −1 (B) = (f n ◦X) −1 (B) = X −1 [f n −1 (B)] = X −1 (B 0 ) ∈ G(B 0 ∈ B(E)). do X là phần tử ngẫu nhiên G-đo được, nên Xn là phần tử ngẫu nhiên G-đo được.
Vậy X n là phần tử ngẫu nhiên đơn giản G-đo được và kX n (ω)k = kf n [X n (ω)]k6 2kX(ω)k. với mọi n và mọi ω ∈ Ω Cuối cùng ta có kX n (ω)−X(ω)k = kf n [X n (ω)]−X(ω)k
Vậy n→∞lim Xn(ω) = X(ω),∀ω ∈ ΩVậy X là giới hạn theo chuẩn của dãy phần tử ngẫu nhiên rời rạc (Xn).Định lí được chứng minh.
Định lí
Giả sử E 1 ,E 2 là không gian Banach T : E 1 −→E 2 là ánh xạ B(E 1 )/B(E 2 ) đo được X : Ω −→ E 1 là phần tử ngẫu nhiên G-đo được, khi đó ánh xạ
T(X) : Ω −→E 2 là phần tử ngẫu nhiên G-đo được.
Chứng minh Với mọi B 2 ∈ B(E 2 ) ta có T −1 (B 2 ) =B 1 ∈ B(E 1 )
Vậy ánh xạ T(X) : Ω −→ E 2 là phần tử ngẫu nhiên G-đo được. Định lí được chứng minh.
Hệ quả
Giả sử ánh xạ X : Ω −→E là phần tử ngẫu nhiên G-đo được Khi đó, ánh xạ kXk : Ω −→ R là đại lượng ngẫu nhiên G-đo được.
Chứng minh Ta có kXk = k ã k ◦X : Ω −→ X E −→ k.k R vì k.k liên tục nên kXk đo được. Áp dụng định lí 1.1.8 ta có điều phải chứng minh.
Định lí
Ánh xạ X : Ω −→ E là phần tử ngẫu nhiên G-đo được khi và chỉ khi với mọi f ∈ E ∗ thì f(X) là đại lượng ngẫu nhiên G-đo được.
Hệ quả
Giả sử X, Y là các phần tử ngẫu nhiên G-đo được, a, b ∈ R, ξ : Ω −→ R là đại lượng ngẫu nhiên G-đo được Khi đó aX+bY, ξX là phần tử ngẫu nhiên
Do đó, với mọi f ∈ E ∗ thì f(aX+bY) = af(X) +bf(Y) và aX+bY, ξX là phần tử ngẫu nhiên G-đo được Đó là điều phải chứng minh.
Định nghĩa
Giả sử X_t, t ∈ ∆ là tập hợp các phần tử ngẫu nhiên xác định trong không gian (Ω, F, (P)) với giá trị trong (E, B(E)) Tập hợp X_t, t ∈ ∆ được gọi là độc lập nếu với mọi bộ hữu hạn t_j ∈ ∆ và A_j ∈ B(E), với 1 ≤ j ≤ n, điều kiện độc lập được thỏa mãn.
Định lí
Giả sử E1 và E2 là không gian Banach, và Xt (với t thuộc ∆) là tập hợp các phần tử ngẫu nhiên độc lập có giá trị trong E1 Nếu với mọi t thuộc ∆, ánh xạ Tt: E1 → E2 là đo được trong B(E1)/B(E2), thì tập hợp (Tt, (Xt), t thuộc ∆) sẽ tạo thành các phần tử ngẫu nhiên độc lập có giá trị trong E2.
Định lí
Giả sử X1, X2, , Xn là các phần tử ngẫu nhiên cùng xác định trên không gian (Ω,F,P) nhận giá trị trong (E,B(E)) Khi đó, điều kiện cần và đủ để
X 1 , X 2 , , X n độc lập với mọif 1 , f 2 , , f n ∈ E ∗ , các đại lượngf 1 (X), f 2 (X), , f n (X) độc lập.
Các dạng hội tụ của phần tử ngẫu nhiên
Định nghĩa
Cho{X n }là dãy các phần tử ngẫu nhiên xác định trên không gian(Ω,F,P) nhận giá trị trong(E,B(E)) Ta nói {X n } hội tụ đến một phẩn tử ngẫu nhiên
1 Hầu chắc chắn, kí hiệu X n −−→ h.c.c X, nếu
2 Theo xác suất, kí hiệu X n −→ P X, nếu với mọi ε > 0 thì n→∞lim P(kX n −Xk > ε) = 0.
3 Theo trung bình cấp p, kí hiệu Xn
4 Yếu (theo phân phối), kí hiệu X n −→ D X nếu
Các ví dụ
Ví dụ 1: Cho X n −−→ h.c.c X, Y n −−→ h.c.c Y Khi đó X n +Y n −−→ h.c.c X +Y.
Ví dụ 2: Cho a ∈ E và X n là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc nhận giá trị 0 và a với xác suất tương ứng là 1− n 1 và n 1 Khi đó Xn −→P 0 và Xn L 2
Định lí
X n −−→ h.c.c X khi và chỉ khi với mọi ε > 0 n→∞lim P(sup m > n kX m −Xk > ε) = 0.
Định lí
Thật vậy, ta có với mọi ε > 0
0 6 P kX n −Xk> ε 6 P sup m > n kX m −Xk> ε
Mặt khác, theo giả thiết X n −−→ h.c.c X và định lí 1.2.3 với mọi ε > 0 ta có n→∞lim P sup m > n kX m −Xk> ε = 0.
Vậy X n −→ P X khi n → ∞. ii) Nếu X n −→ L p X thì X n −→ P X.
Thật vậy, Áp dụng bất đẳng thức Markov cho đại lượng ngẫu nhiên kX n −Xk, ta có với mọi ε > 0
Vậy Xn −→P X khi n → ∞ Định lí được chứng minh.
Định nghĩa
Ta nói dãy phần tử ngẫu nhiên (X n ) là dãy cơ bản
• Hầu chắc chắn (h.c.c) nếu P( lim m,n→∞kX m −X n k = 0) = 1.
• Theo xác suất nếu với mọi ε > 0 thì lim m,n→∞P(kX m −X n k> ε) = 0.
• Theo trung bình cấp p > 0 nếu lim m,n→∞E(kX m −Xnk p ) = 0.
Định lí
Dãy (Xn) cơ bản hầu chắc chắn khi và chỉ khi dãy (Xn) hội tụ hầu chắc chắn.
Định lí
Dãy {X n } là cơ bản h.c.c khi và chỉ khi một trong hai điều kiện sau thỏa mãn:
Định lí
Nếu dãy (X n ) cơ bản theo xác suất thì tồn tại dãy con (X n k ) ⊂ (X n ) sao cho (X n k ) hội tụ h.c.c.
Định lí
Dãy (X n ) hội tụ theo xác suất khi và chỉ khi dãy (X n ) cơ bản theo xác suất.
Định lí
Dãy (X n ) hội tụ theo trung bình cấp p khi và chỉ khi dãy (X n ) cơ bản theo trung bình cấp p (p > 1).
Các đặc trưng của phần tử ngẫu nhiên
Kỳ vọng
1.3.1.1 Định nghĩa Giả sử X : Ω −→ E là phần tử ngẫu nhiên, phần tử
EX ∈ E gọi là kỳ vọng của X nếu với mọi f ∈ E ∗ ta có
E(f(X)) = f(EX),∀f ∈ E ∗ trong đó E ∗ = {f :E −→ R, f là phiếm hàm tuyến tính, liên tục}.
Thật vậy, với mọi f ∈ E ∗ f(EX) =f(P(A)a) =P(A)f(a).
1.3.1.3 Tính chất Định lí Giả sử X, Y là các phần tử ngẫu nhiên, ξ là đại lượng ngẫu nhiên cùng xác định trên (Ω,F,P), a ∈ R, α ∈ E Khi đó nếu tồn tại EX, EY, Eξ thì
1 Tồn tại E(X +Y) và E(X +Y) = EX +EY,
2 Tồn tại E(aX) và E(aX) X,
5 Nếu ξ và f(X) độc lập với mọi f ∈ E ∗ thì tồn tại E(ξX) và E(ξX) EξEX,
6 Với mọi ánh xạ tuyến tính T : E −→ E 0 (E 0 là không gian Banach khả li) thì tồn tại E[T(X)] và
E[T(X)] = T[E(X)]. Định lí Nếu EkXk< ∞ thì tồn tại EX và EkXk > kEXk.
Phương sai
1.3.2.1 Định nghĩa Cho X là phần từ ngẫu nhiên trong E với giá trị kỳ vọng EX Phương sai của X, kí hiệu là DX, cho bởi công thức
1.3.2.2 Tính chất Giả sử X là phần tử ngẫu nhiên, ξ là đại lượng ngẫu nhiên cùng xác định trên không gian xác suất (Ω,F,P), a ∈ R, α ∈ E Khi đó
3 DX = 0 khi và chỉ khi X = EX (h.c.c)
Một số bất đẳng thức
Bất đẳng thức C r
EkX + Yk r 6 C r (EkXk r + EkYk r ), trong đó C r = max(1,2 r−1 ) chỉ phụ thuộc vào r.
Chứng minh Ta có bất đẳng thức sơ cấp
(a+b) r 6 (a r +b r )max(1,2 r−1 ), a > 0, b > 0, r > 0, và kX +Yk r 6 (kXk+Yk) r nên từ đó ta thay a bởi kXk, b bởi kYk, sau đó lấy kỳ vọng hai vế sẽ được điều phải chứng minh.
Bất đẳng thức Jensen
Nếu ϕ: E −→ R là hàm lồi liên tục, X :Ω −→ E là phần tử ngẫu nhiên và EkXk < ∞ thì ϕ(EX) 6 Eϕ(X).
Chứng minh Giả sử X là phần tử ngẫu nhiên rời rạc
Từ (1) và (2) suy ra ϕ(EX) 6 Eϕ(X). Định lí được chứng minh.
Luật mạnh số lớn Cantrell-Rosallsky đối với dãy các phần tử ngẫu nhiên 17
Luật số lớn đối với dãy các phần tử ngẫu nhiên độc lập
Không gian Banach thực khả li E được gọi là có tính chất Rademacher loại p (1 ≤ p ≤ 2) nếu tồn tại một hằng số c sao cho với mọi dãy các phần tử ngẫu nhiên độc lập {X_i, 1 ≤ j ≤ n} nhận giá trị trên E, với EX_j = 0 và EkX_jk_p < ∞, điều này đảm bảo tính chất đặc trưng của không gian.
2.1.2 Định lí (Luật yếu số lớn)
Giả sử {X n } là dãy các phần tử ngẫu nhiên độc lập nhận giá trị trên E, (b n ) là dãy số dương, b n ↑ ∞ khi n → ∞ Đặt X ni = X i I (kX i k 6 b n ) ,16 i 6 n.
Giả sử {X n , n > 1} là dãy các phần tử ngẫu nhiên độc lập, kỳ vọng 0,nhận giá trị trong không gian Banach Rademacher loại p (1 6 p 6 2) Khi đó
EkX i k p , n > 1, trong đó c là hằng số không phụ thuộc vào n.
X i k,F n , n > 1 là martingale dưới không âm nhận giá trị thực. Trong trường hợp 1 < p 6 2, theo bất đẳng thức Doob, với mọi n > 1
EkX i k p Điều này cho ta điều phải chứng minh.
Giả sử X là không gian Rademacher loại p(1 6 p 6 2) Khi đó với mọi dãy {X n , n > 1} các phần tử ngẫu nhiên độc lập, kỳ vọng 0, điều kiện
EkX j k p j p < ∞, kéo theo luật mạnh số lớn
Sử dụng bất đẳng thức Markov và bổ đề Borel - Cantelli, ta có
Giả sử 2 m−1 6 n6 2 m Khi đó ta có
Khi đó m→∞lim amk = lim m→∞
T k −→0 khi k → ∞, nên theo bổ đề Toeplitz ta có m
Giả sử 06 b n ↑ ∞ khi n → ∞, x n ∈ E và chuỗi Pn k=1 x k b k hội tụ Khi đó
Chứng minh Đặt rn = P ∞ k=n+1 x b k k Rõ ràng kr n k → 0 khi n → ∞ và r = sup n krnk < ∞.
Ta có x b n n = r n−1 −r n nên x n = b n (r n−1 −r n ), suy ra n
X k=1 kx k k(b k+1 −b k ) + lim n→∞ b1 b n kr 0 k+ lim n→∞kr n k
Do kr n k −→ 0 nên với mọi ε > 0 tồn tại n 0 sao cho kr n k < ε,∀n> n 0 Khi đó với mọi n > n0 ta có
Kết hợp với (*) ta có n→∞lim
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
2.2 Luật mạnh số lớn đối với dãy các phần tử ngẫu nhiên bất kì
Giả sử {X n , n > 1} là dãy các biến ngẫu nhiên không âm và {b n , n > 1} là dãy tăng các số dương b n ↑ ∞ Nếu
Khi đó {S n } là dãy các biến ngẫu nhiên không âm và Sn ↑ S h.c.c.
X n α b α n = ES = E( lim n→∞S n ) = lim n→∞ES n = lim n→∞E n
Khi đó tồn tại n0 ∈ N và với α ∈ [0; 1] ta có
Do đó theo bổ đề Kronecher, ta có
Giả sử {X n , n > 1}là dãy các phần tử ngẫu nhiên trong không gian Banach thực và {a n , n > 1}, {b n , n > 1} là dãy tăng các số dương với b n ↑ ∞ sao cho n
Giả sử λ > 0 và ∀ε > 0 ta có
1 b n E X n I[εa n < kX n k 6 λb n ]−EX n I[εa n < kX n k 6 λb n ] < ∞. Khi đó ta có luật mạnh số lớn
Chứng minh Với mỗi n ∈ N ta đặt
Bằng cách áp dụng định lí 2.2.1 cho dãy các đại lượng ngẫu nhiên{V n , n > 1}, ta được
X i I[εa i < kX i k 6 λb i ]−EX i I[εa i < kX i k6 λb i ] −→ 0 h.c.c. Theo giả thiết ε là một số dương tùy ý và tồn tại c > 0 sao cho
Theo bổ đề Borel - Cantelli suy ra
Vì thế với xác suất 1, tồn tại n0 ∈ N sao cho Yn = 0 với mỗi n > n0.
Giả sử {X n , n > 1}là dãy các phần tử ngẫu nhiên trong không gian Banach thực và {b n , n > 1} là dãy các số dương với b n ↑ ∞, α ∈ [0,1]
Chứng minh Với mỗi n ∈ N ta đặt
Bằng cách áp dụng định lí 2.2.1 cho dãy các đại lượng ngẫu nhiên{V n , n > 1}, ta được
Theo bổ đề Borel - Cantelli ta có
Vì thế với xác suất 1, tồn tại n 0 ∈ N sao cho Y n = 0 với mỗi n> n 0 Khi đó
XiI[kX i k 6 bi]−EXiI[kX i k6 bi] + 1 b n n
Giả sử {X n , n > 1}là dãy các phần tử ngẫu nhiên trong không gian Banach thực và {b n , n > 1} là dãy các số dương với b n ↑ ∞, với mỗi α ∈ [0,1] (a)
E XiI[kX i k > bi] , nên từ đó áp dụng hệ quả 2.2.3 và giả thiết (c) ta có điều phải chứng minh.
Kết quả sau đây được suy trực tiếp từ hệ quả 2.2.4.
Giả sử {X_n, n > 1} là dãy các phần tử ngẫu nhiên trong không gian Banach thực khả li, và {a_ni, 1 ≤ i ≤ n, n > 1} là mảng tam giác các hằng số với giá trị lớn nhất.
1 6 i 6 n|a ni | ↓ 0,{b n , n > 1} là dãy với b n = (max 1 6 i 6 n |a ni |), và giả sử rằng các điều kiện a), b), c)trong hệ quả 2.2.4 thỏa mãn thì n
Chứng minh Theo hệ quả 2.2.4 thì
Luật mạnh số lớn đối với dãy các phần tử ngẫu nhiên độc lập 28
lập Định nghĩa 2.3.1 và mệnh đề 2.3.2 sẽ được sử dụng để thiết lập định lí tiếp theo.
Không gian Banach thực E là khả li, và {X n , n > 1} là dãy các phần tử ngẫu nhiên có giá trị trên E Dãy {X n , n > 1} được gọi là compact khả tích đều nếu với mọi ε > 0, tồn tại một tập compact K ε sao cho sup n > 1.
Nhận xét. i) Nếu E hữu hạn chiều thì điều kiện compact đều chính là điều kiện khả tích đều, nghĩa là ∀ε > 0, tồn tại a sao cho sup n > 1
E kX n kI (kX n k>a) < ε. ii) Nếu E vô hạn chiều thì điều kiện compact khả tích đều là mạnh hơn điều kiện khả tích đều.
Mệnh đề là một kết quả rút ra từ [6]
Cho {X n } là dãy các phần tử nhiên trong không gian Banach E, giả sử
1 Dãy {X n } là tight, nghĩa là với mọi ε > 0 tồn tại a > 0 sao cho
2 Dãy {kX n k} là khả tích đều,
P k=1 kX k k −EkX k k b n −→ 0 h.c.c khi n→ ∞ được thỏa mãn,
P k=1 f(X k )−Ef(X k ) b n −→0 h.c.c khi n → ∞ được thỏa mãn với mọi hàm thực f liên tục và bị chặn trên E.
Giả sử {X n , n 6 1} là dãy các phần tử ngẫu nhiên độc lập trong không gian Rademacher dạng p với 1 6 p 6 2,{a n , n 6 1} và {b n , n 6 1} là dãy các biến ngẫu nhiên dương b n ↑ ∞ và n = O(b n ) sao cho hoặc
Giả sử với mỗi λ >0 và ∀ε > 0
E[kX n kI ( ε a n < kX n k 6 λ b n )−EkX n kI ( ε a n < kX n k 6 λ b n )] p < ε.
Khi đó nếu {X n , n > 1} là compact khả tích đều thì.
Chứng minh rằng tồn tại một tập hợp C sao cho n 6 Cbn với n > 1 Từ giả thiết về tính compact và khả tích đều của {Xn}, ta suy ra rằng {Xn} là tight và {kXnk} cũng có tính khả tích đều Do đó, theo mệnh đề 2.3.2, chỉ cần chứng minh n.
P i=1 g(Xi)−Eg(Xi) b n −→ 0 h.c.c khi n → ∞ với mọi hàm thực g liên tục và bị chặn trên E. n
Theo định lý (3.3), tổng Pn i=1(g(X i )−Eg(X i )) b n hội tụ về 0 trong nghĩa hàm liên tục với mỗi ánh xạ thực g liên tục và bị chặn trên không gian X Cần lưu ý rằng không gian R là không gian Rademacher loại p cho mọi p ∈ [1,2], do đó có thể áp dụng cho dãy các phần tử ngẫu nhiên.
Pn i=1 kX i k −E(kX i kI[kX i k 6 λb i ]) b n −→ 0 h.c.c (3.4) Điều đó chỉ ra rằng
E(kX n kI[kX n k > λb n ]) −→ 0 h.c.c (3.5) Lấy ε > 0 tùy ý, theo (3.1), tồn tại một tập con compact K ε của E sao cho sup n > 1
Vì Kε compact nên nó bị chặn Khi đó tồn tại hằng số M < ∞ sao cho
Vì vậy, với n bất kỳ sao cho λbn > M, ta có
Vì b n ↑ ∞ với n đủ lớn ta có
E(kX n kI[kX n k > λb n ]) 6 E(kX n kI(X n ∈/ K ε ) 6 ε.
Cho bởi (3.5) vì ε > 0 tùy ý nhưng
Pn i=1E kX i kI[kX i k> λ]) n , theo (3.5) và định lí tổng kỳ vọng Cesàro Kết hợp với (3.4) và (3.6) ta được (3.2).
Tiếp theo để chỉ ra (3.3) ta lấy g là ánh xạ thực liên tục, bị chặn xác định trên E Khi đó đặt
1 n 2 < ∞. và do đó theo định lí hai chuỗi ta có
X n=1 g(Xn)−Eg(Xn) b n hội tụ h.c.c. và (3.3) suy trực tiếp từ bổ đề Kronecher.
Giả sử {X n , n > 1} là dãy các phần tử ngẫu nhiên trong không gian Banach thực khả li Đồng thời, {b n , n > 1} và {ε n , n > 1} là hai dãy tăng các số dương với bn tăng lên vô hạn và tổng P∞ n=1εn hội tụ.
Chứng minh Theo bổ đề Borel - Cantelli, tồn tạin 0 ∈ N sao cho với xác suất
1 kX n k 6 εnbn với mọi n> n0 ta có
Theo bổ đề Kronecher ta có
Kết quả sau đây được suy trực tiếp từ định lí 2.3.4.
Giả sử {X n , n > 1} là dãy các phần tử ngẫu nhiên trong không gian Banach thực khả li Đặt {a ni ,1 6 i 6 n, n > 1} là mảng tam giác các hằng số và {b n , n > 1} là dãy với b n = (max 1 6 i 6 n |a ni |) −1 tăng lên vô cùng Ngoài ra, {ε n , n > 1} là dãy số dương thỏa mãn các giả thiết của hệ quả 2.2.5.
Chứng minh Theo định lý 2.3.3 thì
• Chứng minh được định lí về luật mạnh số lớn Cantrell-Rosallsky đối với dãy phần tử ngẫu nhiên bất kì.
• Chứng minh được định lí về luật mạnh số lớn Cantrell-Rosallsky cho dãy các phẩn tử ngẫu nhiên độc lập.
• Hướng mở rộng: Luật mạnh số lớn cho dãy các phần tử ngẫu nhiên đa trị.