Không gian xác suất
1.1.1 Định nghĩa không gian Tôpô
• Giả sử X 6= ∅ Một họ τ các tập con của X gọi là Tôpô trên X nếu có các tính chất:
V ∈ τ. Khi đó, cặp (X, τ) được gọi là không gian tôpô.
• Giả sử (X, τ) là không gian tôpô Khi đó, mỗi tập U ∈ τ được gọi là tập mở Phần bù của tập mở gọi là tập đóng.
Giả sử A là một tập con của không gian tôpô (X, τ) Bao đóng của A, ký hiệu là [A], là tập con đóng bé nhất của X chứa A Tập A được gọi là trù mật trong X nếu [A] = X Không gian tôpô (X, τ) được xem là không gian khả ly (tách được) nếu tồn tại một tập con đếm được trù mật.
1.1.2 Định nghĩa không gian mêtric
• Giả sử X 6= ∅ Một ánh xạ d: X×X −→ R được gọi là mêtric (khoảng cách) trên X nếu
Khi đó, cặp (X,d) được gọi là không gian mêtric.
1.1.3 Định nghĩa không gian định chuẩn
• Không gian vectơ E được gọi là không gian định chuẩn nếu tồn tại ánh xạ k ã k : E −→ R thỏa món
(iv) kx+ yk ≤ kxk+ kyk,∀x, y ∈ E.
Nếu đặt d(x, y) = kx −yk; (x, y ∈ E) thì (E,d) là không gian mêtric. Khi đú d được gọi là mờtric sinh bởi chuẩn k ã k.
Nếu E là khụng gian vectơ thực thỡ khụng gian định chuẩn (E,k ã k) được gọi là không gian định chuẩn thực.
• Khụng gian định chuẩn (E,k ã k) được gọi là khụng gian Banach nếu (E,d) là khụng gian đầy đủ, trong đú d là mờtric sinh bởi chuẩn k ã k Nếu
E là khụng gian vectơ thực và (E,k ã k) là khụng gian Banach, thỡ (E,k ã k) được gọi là không gian Banach thực.
1 (R n , k ã k) là khụng gian Banach thực với chuẩn kxk = ( n
2 Nếu 1 ≤ p ≤ 2 thỡ (L p (Ω,F,P ), k ã k) là khụng gian Banach thực với chuẩn kXk = (E |X | p ) 1/p
• Giả sử E là không gian Banach thực Ký hiệu
E ∗ = {f : E → R \ f là phiến hàm tuyến tính, liên tục }.
Ta gọi E ∗ là không gian liên hợp của E
Với f ∈ E ∗ , chuẩn của f được xác định bởi công thức kfk = sup
|f(x)|. nên |f(x)| 6 kf k.kxk với mọi x∈ E.
Giả sử Ω 6= ∅ P(Ω) = {∀A, A ⊂ Ω} Họ các tập con F ⊂ P(Ω) được gọi là đại số nếu
(ii)F đóng kín đối với phép lấy phần bù, tức làA ∈ F thìA¯ = Ω\A ∈ F; (iii) F đóng kín đối với phép lấy hợp hữu hạn, tức là nếu A k ∈ F (k = 1,2, , n) thì n
Họ các tập con F ⊂ P(Ω) được gọi là σ-đại số nếu
(ii)F đóng kín đối với phép lấy phần bù, tức làA ∈ F thìA¯ = Ω\A ∈ F; (iii) F đóng kín đối với phép lấy hợp đếm được, tức là A n ∈ F với mọi n> 1 thì S ∞ n=1A n ∈ F.
F 0 = {∅,Ω} là σ-đại số bé nhất.
F 1 = P(Ω) là σ-đại số lớn nhất.
1.1.6 Định nghĩa độ đo xác suất
• Giả sử Ω là 1 tập tùy ý 6= ∅, F là σ-đại số các tập con của Ω Khi đó cặp (Ω,F) được gọi là một không gian đo.
• Giả sử (Ω,F) là không gian đo Một ánh xạ P : F → R được gọi là độ đo xác suất trên F nếu.
1.1.7 Không gian xác suất, không gian xác suất đầy đủ
• Giả sử Ω là 1 tập tùy ý 6= ∅, F là σ-đại số các tập con của Ω P là độ đo xác suất trên F Khi đó bộ ba (Ω,F,P ) được gọi là không gian xác suất.
Tập Ω được gọi là không gian biến cố sơ cấp. σ-đại số F được gọi là σ-đại số các biến cố.
Mỗi A ∈ F gọi là biến cố chắc chắn.
Biến cố ∅ ∈ F gọi là biến cố không thể có.
Biến cố A¯= Ω\A được gọi là biến cố đối lập của biến cố A.
B = AB = ∅ thì A, B được gọi là biến cố xung khắc.
Không gian xác suất (Ω,F,P) được coi là đầy đủ khi mọi tập con của biến cố có xác suất 0 đều được xem là biến cố Từ giờ trở đi, khi nhắc đến không gian xác suất (Ω,F,P), chúng ta sẽ hiểu đây là không gian xác suất đầy đủ.
1.1.8 Định nghĩa các tập Borel trong không gian Tôpô
Giả sử X là không gian Tôpô Khi đó σ-đại số bé nhất chứa các tập mở của
X được gọi là σ-đại số Borel và kí hiệu là B(X) Mỗi tập A∈ B(X) được gọi là một tập Borel.
1.1.9 Ví dụ Nếu lấy X = R thì
Phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach 8
1.2.1 Định nghĩa Giả sử (Ω 1 ;F 1 ), (Ω 2 ;F 2 ) là các không gian đo Khi đó ánh xạ X: Ω 1 → Ω 2 được gọi là ánh xạ F 1 /F 2 -đo được nếu ∀B ∈ F 2 thì
1.2.2 Định nghĩa Giả sử (Ω,F,P ) là không gian xác suất, G là σ-đại số con của σ-đại số F E là không gian Banach thực, khả ly Ta nói ánh xạ
X : Ω → E là phần tử ngẫu nhiên G đo được nếu X là ánh xạ G/B(E) đo được.
Phần tử ngẫu nhiên F-đo được gọi đơn giản là phần tử ngẫu nhiên Nếu X là phần tử ngẫu nhiên G-đo được, thì X cũng là phần tử ngẫu nhiên Ngược lại, nếu X là phần tử ngẫu nhiên, thì tập hợp σ(X) = {X −1 (B) : B ∈ B(E)} tạo thành một σ-đại số con của σ-đại số F, được gọi là σ-đại số sinh bởi X Hơn nữa, σ(X) là σ-đại số nhỏ nhất mà X đo được Do đó, X là phần tử ngẫu nhiên G-đo được khi và chỉ khi σ(X) ⊂ G.
1.2.3 Ví dụ Xét ánh xạ X : Ω →E xác định bởi
Khi đó X là phần tử ngẫu nhiên G đo được với G = {∅,Ω}.
Thật vậy, với mọi B ∈ B(E) thì
Phần tử ngẫu nhiên X: Ω → E được định nghĩa là phần tử ngẫu nhiên rời rạc nếu tập giá trị của nó |X(Ω)| không quá đếm được Trong trường hợp đặc biệt, nếu |X(Ω)| là hữu hạn, thì X được gọi là phần tử ngẫu nhiên đơn giản, với |X(Ω)| là số lượng phần tử của tập hợp X(Ω).
(1.3) nên X −1 (B) ∈ F Do đó X là phần tử ngẫu nhiên Hơn nữa, vì |X(Ω)| ≤2 nên X là phần tử ngẫu nhiên đơn giản.
A j = ∅, với mọi i 6= j, {x n , n > 1} ⊂ E thỏa mãn x i 6= x j với mọi i 6= j Đặt X(ω) = x i nếu ω ∈ A i , tức là
Khi đó X là phần tử ngẫu nhiên rời rạc vì X chỉ nhận không quá đếm được giá trị và X −1 (B) = S x i ∈B
1.2.7 Định nghĩa Dãy phần tử ngẫu nhiên {X n , n > 1} được gọi là hội tụ đến ánh xạ X : Ω → E nếu X n (ω) →X(ω) (theo chuẩn) với mọi ω ∈ Ω.
Kì vọng của phần tử ngẫu nhiên
1.3.1 Định nghĩa Giả sử X : Ω 7→ E là phần tử ngẫu nhiên Phần tử
E X ∈ E được gọi là kì vọng của X nếu với mọi f ∈ E ∗ ta có f(E X ) = E (f (X )).
1.3.2 Ví dụ Giả sử a ∈ E, A ∈ F và X = aI A tức là
Khi đó E X = P(A)a, vì với mọi f ∈ E ∗ ,f ( P (A)a) = P (A)f (a) và E (f (X )) = E [f (a) I A] = f(a)EI A = f(a)P (A).
1.3.3 Định lý Giả sử X,Y là các phần tử ngẫu nhiên, ξ là đại lượng ngẫu nhiên cùng xác định trên (Ω,F,P ), a ∈ R , α ∈ E Khi đó, nếu tồn tại
2 Tồn tại E (aX) và E (aX) = a E X ;
5 Nếu ξ và f(X) độc lập với mọi f ∈ E ∗ thì tồn tại E (ξX ) và E (ξX ) = E ξ E X ;
6 Với mọi ánh xạ tuyến tính liên tục T : E →E 0 (E 0 là không gian Banach thực khả ly) thì tồn tại E [T (X )] và E [T (X )] = T [ E (X )].
1.3.4 Định lý Nếu E kX k < ∞ thì tồn tại E X và E kX k > k E X k. Đối với biến ngẫu nhiên (thực) ta có kết quả sau đây.
1.3.5 Định lý Giả sử X là biến ngẫu nhiên không âm, α > 0 và E X α < ∞. Khi đó
1.3.6 Định lý Lebesgue về hội tụ bị chặn Giả sử Y, X 1 , X 2 , là dãy biến ngẫu nhiên sao cho |X n |6 Y, n > 1 và E Y < ∞ Khi đó nếu X n → X khi n→ ∞ thì X khả tích và
Nhận xét: Từ bất đẳng thức |E X n − E X | 6 E |X n − X| suy ra nếu
Các dạng hội tụ
Giả sử (Ω,F,P ) là không gian xác suất đầy đủ E là không gian Banach thực, khả ly.
1.4.1 Định nghĩa Giả sử {X, X n } là họ phần tử ngẫu nhiên cùng xác định trên Ω và nhận giá trị trong E Ta nói (X n ) hội tụ đến X
1 Hầu chắc chắn nếu: P ( lim n→∞ kX n −Xk = 0) = 1.
2 Theo xác suất nếu ∀ε > 0 thì n→∞lim P (kX n−Xk > ε) = 0.
3 Theo trung bình cấp p nếu lim n→∞ E kX n −Xk p = 0.
1.4.2 Định lý X n → X h.c.c (khi n→ ∞) khi và chỉ khi với mọi ε > 0, n→∞lim P ( sup m > n kX m −Xk > ε) = 0.
1.4.3 Định lý Nếu X n − h.c.c −−→ X hoặc X n −→ L p X thì X n −→ P X.
Dãy phần tử ngẫu nhiên {X n , n > 1} được gọi là dãy cơ bản hầu chắc chắn nếu xác suất P (lim m,n→∞kX m −X n k = 0) = 1 Dãy này cũng được xem là cơ bản theo xác suất nếu lim m,n→∞ P (kX m −X n k > ε) = 0 với mọi ε > 0 Ngoài ra, dãy được coi là cơ bản theo trung bình cấp p > 0 nếu lim m,n→∞ E(kX m −X n k^p) = 0.
1.4.5 Định lý Dãy {X n , n > 1} cơ bản hầu chắc chắn khi và chỉ khi dãy {X n , n > 1} hội tụ hầu chắc chắn.
1.4.6 Định lý Dãy {X n , n > 1} dãy cơ bản h.c.c khi và chỉ khi một trong hai điều kiện sau được thỏa mãn:
(i) lim n→∞ P ( sup k,l > n kX k −X l k > ε) = 0 với mọi ε > 0;
(ii) lim n→∞ P (sup k > n kX k −X n k > ε) = 0 với mọi ε > 0.
1.4.7 Định lý Nếu dãy {X n , n > 1} cơ bản theo xác suất thì tồn tại dãy con {X n k , k > 1} ⊂ {X n, n > 1} sao cho {X n k, k > 1} hội tụ h.c.c.
1.4.8 Định lý Dãy {X n , n > 1} hội tụ theo xác suất khi và chỉ khi nó là dãy cơ bản theo xác suất.
1.4.9 Định lý Dãy {X n , n > 1} hội tụ theo trung bình cấp p > 1 khi và chỉ khi nó là dãy cơ bản theo trung bình cấp p.
1.4.10 Bổ đề Giả sử {X n , n > 1} và {Y n, n > 1} là 2 dãy các biến ngẫu nhiên thỏa mãn
P (X n 6= Y n ) < ∞, (1.5) và giả sử 0< b n ↑ ∞ thỏa mãn n→∞lim
Chứng minh Áp dụng bổ đề Borel-Cantelli từ (1.5) suy ra
Do 0 < b n ↑ ∞ nên ta dễ dàng chứng minh được n→∞lim
Không gian Rademacher dạng p
Không gian Banach thực, khả ly E được định nghĩa là Không gian Rademacher dạng p (với 1 ≤ p ≤ 2) nếu tồn tại một hằng số C > 0 sao cho đối với mọi i > 1 và các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối {r j , j > 1} với P(r 1 = 1) = P(r 1 = -1) = 1/2, thì điều kiện này được thỏa mãn cho mọi υ j ∈ E (1 ≤ j ≤ i).
Theo một kết quả nổi tiếng của Hoffmann-Jorgensen and Pisier [2], một không gian Banach thực, khả ly E là không gian Rademacher dạng p
(1 6 p 6 2) khi và chỉ khi tồn tại hằng số dương C = C p sao cho, với mọi dãy {X j , j > 1} các phần tử ngẫu nhiên độc lập, có các kì vọng bằng
0, có các moment bậc p hữu hạn, thì
E kX jk p , i> 1. Để đơn giản ta gọi không gian Banach thực, khả ly có tính chất Rademacher dạng p, (1 6 p 6 2) là không gian Rademacher dạng p, (16 p 6 2).
1.5.2 Ví dụ E = R là không gian Rademacher dạng 2 vì
Với mọi dãy (X n ) độc lập E X n = 0,E X n 2 < ∞, ta có
Một số bất đẳng thức và bổ đề
1.6.1 Bất đẳng thức Markov Giả sử X là phần tử ngẫu nhiên bất kì. Khi đó ∀ε > 0 ta có
Ta cú X : Ω → E và k ã k : E → R là ỏnh xạ liờn tục nờn kXk : E → R là biến ngẫu nhiên không âm.
Từ đó áp dụng bất đẳng thức Markov đối với biến ngẫu nhiên không âm ta có điều phải chứng minh
1.6.2 Bất đẳng thức C r Giả sử X, Y ∈ L r , r > 0 khi đó
Chúng ta có bất đẳng thức sơ cấp (a+b) r ≥ 6 (a r + b r ) max(1, 2 r−1) với điều kiện a > 0, b > 0, r > 0 và kX +Yk r ≥ (kX k + kY k) r Thay a bằng kXk và b bằng kYk, sau đó lấy kỳ vọng cho hai vế, ta sẽ chứng minh được điều cần chứng minh.
Cho a ni ,1 6 i 6 n, n > 1 và x i, i> 1 là các số thực sao cho với mọi i cố định, lim n→∞a ni = 0 và với mọi n ta có P n i=1|a ni |6 C < ∞ Khi đó
Định nghĩa
Định nghĩa về dãy kép các hằng số {a mn , m > 1, n > 1} và {b mn, m > 1, n > 1} cho thấy rằng a mn không bằng 0 với mọi m, n, và b mn tăng lên vô hạn khi m, n tiến tới vô cùng Nếu {X mn , m > 1, n > 1} là dãy kép các phần tử ngẫu nhiên với giá trị kỳ vọng E X mn, thì dãy a mn (X mn −E X mn) được gọi là tuân theo luật mạnh số lớn.
Dãy kép {X mn , m > 1, n > 1} các phần tử ngẫu nhiên trong E được xem là bị chặn ngẫu nhiên bởi biến ngẫu nhiên giá trị thực A nếu tồn tại một hằng số dương D thỏa mãn điều kiện nhất định.
Dãy kép {X mn , m > 1, n > 1} các phần tử ngẫu nhiên trong E được xem là bị chặn ngẫu nhiên theo từng hàng bởi dãy biến ngẫu nhiên giá trị thực {A m , m > 1} nếu tồn tại một hằng số dương D, sao cho điều kiện chặn được thỏa mãn.
P (kX mnk > t) 6 D P (|A m| > t); với mỗi t > 0, với mọi số dương m,n.
LUẬT MẠNH SỐ LỚN ĐỐI VỚI DÃY KÉP CÁC PHẦN TỬ
Các bổ đề liên quan
Bổ đề 2.1.1: Cho {x mn , m> 1, n > 1} là dãy kép trong không gian Banach thực, và {b mn , m > 1, n > 1} là dãy kép các số thực dương với b mn = c m d n cho mọi m và n, trong đó 0 < c m ↑ ∞ và 0 < d n ↑ ∞.
P n=1 x mn b mn hội tụ theo chuẩn thì b 1 mn m
Từ (2.1) ta có: x ij = b ij (S ij −S i−1,j −S i,j−1 +S i−1,j−1 ).
P n=1 x mn b mn hội tụ nên ta giả sử
Do đó áp dụng Bổ đề Toeplit ta có m→∞lim
Tương tự ta cũng chứng minh được
Ta chứng minh chuỗi (2.5) hội tụ đến S khi m, n → ∞.
• Xét (I 5 ) ta có c m , d n ↑ ∞ khi m, n → ∞ nên 1− 1− c c 0 m
• Xét (I 4 ) ta có ∀ > 0,tồn tại i 0 , j 0 để kS ij −Sk6 ; ∀i > i 0, j > j 0.
• Xét (I 1 ) ta có ∀ > 0,∃i 0 , j 0 để kS ij −Sk6 ; ∀i > i 0, j > j 0.
0 là dãy tăng và bị chặn
Suy ra tồn tại M sao cho m 0
• Xét (I 2 ) với mỗi j cố định ta có S mj → S khi m → ∞.
Suy ra tồn tại m 0 (j) : kS mj −Sk< ;∀m > m 0 (j).
Suy ra kS mj −Sk < ;∀m > m 1 ;j = 0, , n 0
0 là dãy tăng, bị chặn nên chứng minh tương tự như đối với (I 1 ) ta có (I 2 0 ) →0 khi m, n → ∞
Tương tự như đối với (I 2 ) ta chứng minh được (I 3 ) →0 khi m, n → ∞.
Từ (2.2); (2.3); (2.5); (2.6) suy ra V mn →0 khi m, n → ∞. Điều phải chứng minh.
2.1.2 Bổ đề Cho X là biến ngẫu nhiên giá trị thực, khi đó ta có
Chứng minh Áp dụng Định lý 1.3.5 ta có
P (|X | > t) dt. Đó là điều phải chứng minh.
2.1.3 Bổ đề Giả sử X, Y là các biến ngẫu nhiên thực sao cho X bị chặn ngẫu nhiên bởi Y Khi đó tồn tại hằng số D > 0 sao cho
Chứng minh Theo Bổ đề 2.1.2 ta có
= DE |Y | I (|Y |>x). Vậy E |X | I (|X|>x) 6 D E |Y | I (|Y |>x), x > 0. Đó là điều phải chứng minh.
Luật mạnh số lớn đối với dãy kép các phần tử ngẫu nhiên độc lập, không cùng phân phối
độc lập, không cùng phân phối
2.2.1 Định lý Giả sử E là không gian Rademacher dạng p
(1 < p6 2) {X mn, m > 1, n > 1} là dãy kép các phần tử ngẫu nhiên trong
E bị chặn ngẫu nhiên theo từng hàng bởi dãy biến ngẫu nhiên giá trị thực {A m , m > 1}.
E |A m | q m q < ∞; 1 < q < p, và {a mn , m > 1, n > 1}, {b mn, m > 1, n > 1} là 2 dãy kép các số thực dương sao cho b mn = e m d n ; 0< e m ↑ ∞, 0< d n ↑ ∞, ∀m, n thỏa mãn (ii) m
Chứng minh Đặt Y mn = X mn I (kX mn k 6 c mn ), trong đó c mn = a b mn mn;
Từ giả thiết (iii) suy ra tồn tại C 0 > 0 sao cho c mn > C 0 mn. Đầu tiên ta chứng minh rằng
E |A m| q c q mn ( Bất đẳng thức Markov)
Do đó, theo bổ đề 1.4.10 để chứng minh b 1 mn m
P j=1 a ij (X ij −E Y ij) → 0 h.c.c ta chỉ cần chứng minh b 1 mn m
P j=1 a ij (Y ij −E Y ij) →0 h.c.c. Đặt S mn m
Ta chứng minh rằng {S mn , m > 1, n > 1} là dãy cơ bản trong L p
(X mn ) nhận giá trị trong không gian Rademacher dạng p nên ta có
E kY ijk p c p ij (Bất đẳng thức C r ). Xét
Z kX ij k 6 c ij kX ij k p dP
= c p ij P (kX ijk 6 c ij)−p c ij
= c p ij (1−P (kX ijk > c ij ))−p c ij
= −c p ij P (kX ijk > c ij ) +p c ij
0 t p−1 P (|A i| > t)dt. Đặt t= c ij z 1/p Suy ra dt = c p ij dz pt p−1
0 c p ij E |A i| q c q ij z q/p dz( Bất đẳng thức Markov).
Suy ra lim n→∞ E kS mn −S m 0 n 0 k p = 0.
Do đó {S mn , m > 1, n > 1} hội tụ theo trung bình cấp p.
Suy ra {S mn , m > 1, n > 1} hội tụ theo xác suất trong E.
Ta lại có hội tụ theo xác suất và hội tụ h.c.c là tương đương đối với tổng các phần tử ngẫu nhiên độc lập (Xem [4]; [6]).
Y mn − E Y mn c mn hội tụ h.c.c. Áp dụng bổ đề 2.1.1 ta có
Bây giờ ta chứng minh rằng
Trong đó Z ij = X ij I (kX ij k>c ij ).
E Z mn c mn < ∞. Áp dụng Bổ đề 2.1.1 ta có
Từ (2.7), (2.8) ta có điều phải chứng minh.
Hệ quả của không gian Rademacher dạng p (1 < p ≤ 2) cho thấy rằng nếu {X mn, m > 1, n > 1} là dãy kép các phần tử ngẫu nhiên bị chặn ngẫu nhiên theo từng hàng bởi dãy {A m, m > 1} các biến ngẫu nhiên giá trị thực, thì các tính chất của dãy này sẽ được xác định dựa trên các yếu tố ngẫu nhiên và cấu trúc của không gian.
Chứng minh Áp dụng Định lý 2.2.1 với b mn = mn và a mn = 1 với mọi m,n.
X j=1 a ij = 1 thỏa mãn điều kiện (ii) của định lý,
1 m −1 n −1 a mn b mn = 1 thỏa mãn điều kiện (iii) của định lý.
(X ij −E X ij) →0 h.c.c. Đó là điều phải chứng minh.
Giả sử {X mn , m > 1, n > 1} là dãy kép các biến ngẫu nhiên thực, được chặn ngẫu nhiên theo từng hàng bởi dãy {A m , m > 1} các biến ngẫu nhiên thực.
E |A m | q m q < ∞ 1< q < p, và {a mn , m > 1, n > 1}, {b mn, m > 1, n > 1} là 2 dãy kép các số thực dương sao cho b mn = e m d n ; 0< e m ↑ ∞, 0< d n ↑ ∞, ∀m, n thỏa mãn (ii) m
Chứng minh Ta dễ dàng thấy rằng R là không gian Rademacher dạng 2.
Do đó áp dụng Định lý 2.2.1 với E = R ta có điều phải chứng minh.
Luật mạnh số lớn đối với dãy kép các phần tử ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối
độc lập, cùng phân phối
2.3.1 Định lý Giả sử E là không gian Rademacher dạng p
(1 < p 6 2) {X mn, m > 1, n > 1} là dãy kép các phần tử ngẫu nhiên trong E bị chặn ngẫu nhiên bởi biến ngẫu nhiên giá trị thực X sao cho
Nếu {a mn , m > 1, n > 1}, {b mn, m > 1, n > 1} là dãy kép các số thực dương với b mn = e m d n ; 0< e m ↑ ∞, 0< d n ↑ ∞, ∀m, n sao cho
(ii) a b mn mn = O(m −1/t n −1/t ),0 < t, s < min(p, q), thì
Chứng minh Đặt Y mn = X mn I (kX mn k 6 c mn ) trong đó c mn = a b mn mn;
Từ giả thiết (ii) suy ra tồn tại K 1 > 0 sao cho c mn > K 1 m 1/t n 1/s >
K 1 (mn) 1/q ; 0 < t, s < min{p, q}. Đầu tiên ta chứng minh rằng
Do đó theo Bổ đề 1.4.10 để chứng minh b 1 mn m
P j=1 a ij (X ij −E Y ij) → 0 h.c.c ta chỉ cần chứng minh b 1 mn m
P j=1 a ij (Y ij −E Y ij) →0 h.c.c. Đặt S mn m
Chứng minh tương tự như Định lí 2.2.1 ta có
Y mn −E Y mn c mn hội tụ h.c.c. Áp dụng Bổ đề 2.1.1 ta có
Tiếp theo ta chứng minh rằng
Trong đó Z ij = X ij I (kX ij k>c ij ).
Vì c mn > K 1 m 1/t n 1/s > K 1 (mn) 1/q theo chứng minh trên.
Ta lại có ∀ > 0 cho trước tồn tại m 0 , n 0 để E kX k I (kXk>K 1 (ij) 1/q ) < với i > m 0 , j > n 0
Từ giả thiết (i) ta có tồn tại M > 0 sao cho
X j=1 a ij 6 M. Áp dụng Bổ đề Toeplitz ta chứng minh được rằng
Từ (2.9), (2.10) suy ra điều phải chứng minh.
2.3.2 Hệ quả Giả sử {X, X mn , m > 1, n > 1} là dãy kép các biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực và {X mn , m > 1, n > 1} bị chặn ngẫu nhiên bởi
1, n > 1} là 2 dãy kép các số thực dương sao cho b mn = e m d n , 0< e m ↑ ∞,
(ii) a b mn mn = O(m −1/t n −1/t ),0 < t, s < min(p, q), thì
Chứng minh Tương tự như Hệ quả 2.2.3 Áp dụng Định lý 2.3.1 với E= R ta có điều phải chứng minh.
Luận văn đã giải quyết được các vấn đề sau:
1 Trình bày được một số kiến thức cơ sở của lý thuyết xác suất trên không gian Banach.
Trong bài viết này, chúng tôi sẽ phát biểu và chứng minh một số bổ đề và định lý liên quan đến luật mạnh số lớn đối với dãy kép các phần tử ngẫu nhiên trong không gian Banach Chúng tôi sẽ xem xét hai trường hợp: trường hợp các phần tử ngẫu nhiên cùng phân phối và trường hợp không cùng phân phối Những kết quả này không chỉ mở rộng hiểu biết về luật mạnh số lớn mà còn ứng dụng trong các lĩnh vực toán học và thống kê.
Định lý về luật mạnh số lớn có nhiều hệ quả quan trọng đối với dãy kép các phần tử ngẫu nhiên khi biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực Cụ thể, định lý này khẳng định rằng khi kích thước mẫu tăng lên, trung bình của các biến ngẫu nhiên sẽ hội tụ về giá trị kỳ vọng của chúng Điều này có nghĩa là, trong các dãy số lớn, sự biến động của các phần tử ngẫu nhiên sẽ giảm dần, dẫn đến độ chính xác cao hơn trong việc dự đoán kết quả Hệ quả này không chỉ có ý nghĩa lý thuyết mà còn ứng dụng rộng rãi trong thực tiễn, từ thống kê đến các lĩnh vực khoa học khác.
Hướng phát triển luận văn.
Mở rộng các kết quả cho dãy kép các phần tử ngẫu nhiên đa trị.