Các ký hiệu cơ bản
M[Ω, X] là không gian các hàm đa trị nhận giá trị đóng, khác ∅ trên không gian Banach X.
L 1 [Ω, X] là không gian các hàm đa trị bị chặn, khả tích trên M[Ω, X].
L 1 [Ω, X] là không gian các hàm đo được, khả tích trên không gian Banach X. K(X) là tập hợp các tập con đóng, khác rỗng của X.
K c (X) là tập hợp các tập con lồi của X thuộc K(X).
K cc (X) là tập hợp các tập con compact lồi của X thuộc K(X).
L 1 c [Ω,A, à, X] = L 1 c [Ω, X] là bao đúng của tập tất cả cỏc hàm đơn giản trờn
Một số khái niệm cơ bản
1.2.1 Định nghĩa Giả sử Ω 6= ∅,2 Ω là họ tất cả các tập con của Ω Khi đó
A ⊂ 2 Ω được gọi là một đại số nếu:
1.2.2 Định nghĩa Giả sử Ω 6= ∅,2 Ω là họ tất cả các tập con của Ω Khi đó
A ⊂ 2 Ω được gọi là một σ-đại số nếu:
1.2.3 Định nghĩa Giả sử Ω 6= ∅, A là một σ-đại số các tập con của Ω Khi đó cặp (Ω,A) được gọi là một không gian đo.
1.2.4 Định nghĩa.Giả sử (Ω,A) là một khụng gian đo Hàm à: A → Rđược gọi là độ đo xác suất trên A nếu thỏa mãn các điều kiện sau:
+ Bộ (Ω,A, à) được gọi là khụng gian xỏc suất.
+ Mỗi A∈ A được gọi là một biến cố.
+ Tập Ω được gọi là không gian các biến cố sơ cấp.
+ Khụng gian xỏc suất (Ω,A, à) được gọi là đầy đủ nếu mọi tập con của tập cú xỏc suất bằng 0 đều là biến cố Tức là nếu N ∈ A, à(N) = 0 và M ⊂ N thỡ
1.2.5 Định nghĩa Giả sử(X,T) là không gian Tôpô Khi đó σ-đại số bé nhất chứa T được gọi là σ-đại số Borel và được ký hiệu là B(X).
Vậy: B(X) là σ-đại số bé nhất chứa các tập mở của X.
1.2.6 Định nghĩa Giả sử (Ω 1 ,F 1 ),(Ω 2 ,F 2 ) là hai không gian đo.
Hàm f : Ω 1 → Ω 2 được gọi là ánh xạ F 1 /F 2 - đo được nếu với mọi B ∈ F 2 thì f −1 (B) ∈ F 1
Ánh xạ Hàmf : R n → R được coi là đo được nếu như ảnh ngược của B (tức là −1(B)) thuộc B(R n) với mọi B thuộc B(R) Giả sử (Ω, A, à) là không gian xác suất và G là σ-đại số con của σ-đại số A Khi đó, ánh xạ f : Ω → R được gọi là biến ngẫu nhiên G-đo được nếu nó thỏa mãn tính chất đo được theo σ-đại số G.
Giả sử (Ω,A, à) là khụng gian xỏc suất đầy đủ, X là khụng gian Banach khả li,
G là σ- đại số con của A.
Ánh xạ f: Ω → X được gọi là phần tử ngẫu nhiên G-đo được nếu nó nhận giá trị trong X và thỏa mãn điều kiện G/B(X)-đo được, tức là với mọi B ∈ B(X), thì f−1(B) thuộc G Phần tử ngẫu nhiên A-đo được thường được gọi ngắn gọn là phần tử ngẫu nhiên.
Ví dụ Xét ánh xạ f : Ω →X xác định bởi f(ω) = 0 ∀ω ∈ Ω.
Khi đó f là phần tử ngẫu nhiên G- đo được với G = {∅,Ω} Thật vậy f −1 (B)
1.2.7.2 Kỳ vọng của phần tử ngẫu nhiên Với X là không gian Banach, ta ký hiệu X ∗ = {f : X → R, f là phiếm hàm tuyến tính, liên tục }.
Ta gọi X ∗ là không gian liên hợp của X.
Với f ∈ X ∗ , chuẩn của f được xác định bởi công thức kfk = sup kxk≤1
Giả sử g : Ω → X là phần tử ngẫu nhiên, phần tử Eg ∈ X gọi là kỳ vọng của g nếu với mọi f ∈ X ∗ ta có f(Eg) = E(f(g)) ∈ R.
Ta cú Eg = à(A)a ∈ X Thật vậy, với mọi f ∈ X ∗ f(Eg) = f(à(A)a)) = à(A)f(a), E(f(g)) =E[f(a)I A ] = f(a)EI A = f(a)à(A).
1.2.8 Không gian xác suất không có nguyên tử.
Cho A là σ-đại số trên Ω Khi đó A ∈ A được gọi là nguyên tử nếu mọi A 0 ⊂ A thì tồn tại B ⊂ A sao cho à((A∩B)4A 0 ) = 0.
Cho X là không gian Banach khả ly và tập lồi đóng M ⊂ X Khi đó với mỗi x ∈ X luôn tồn tại x ∗ ∈ X ∗ ,kx ∗ k= 1 sao cho: hx, x ∗ ,i −d(x, M) ≥ sup y∈M hy, x ∗ i.
Không gian Banach X được gọi là có tính chất Radon-Nikodym (RNP) nếu với mỗi không gian đo được hữu hạn (Ω,A, à) và mỗi hàm tập λ nhận giá trị trên X, xác định trên A, có biến phân hữu hạn và liên tục tuyệt đối, thì tồn tại hàm f ∈ L 1 (Ω, X) sao cho λ(A) = ∫ f dµ.
A f dà,∀A ∈ A,trong đú ỏnh xạ λ được gọi làà-liờn tục tuyệt đối nếu với mọi A⊂ Ω màà(A) = 0 thì λ(A) = 0.
KỲ VỌNG CỦA PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN ĐA TRỊ
2.1 Một số tính chất cơ bản của phần tử ngẫu nhiên đa trị
2.1.1 Phần tử ngẫu nhiên đa trị
2.1.1.1 Định nghĩa Giả sử (Ω,A) là không gian đo được, X là không gian Mêtric, 2 X là họ các tập con của X.
Khi đó F : Ω → 2 X được gọi là ánh xạ đa trị.
D(F) = {ω ∈ Ω : F(ω) 6= ∅} được gọi là miền xác định của F;
G(F) ={(ω, x) ∈ Ω×X :x ∈ F(ω)} được gọi là đồ thị của F.
F −1 (A) ={ω ∈ Ω : F(ω)∩A 6= ∅}, (A ⊂ X) được gọi là nghịch ảnh của F. 2.1.1.2 Định nghĩa Giả sử (Ω,A) là không gian đo được, X là không gian Mêtric.
Ký hiệu K(X) là họ các tập con đóng khác rỗng của X.
(i) Hàm đa trị F : Ω → K(X) được gọi là đo được mạnh nếu với mỗi tập con đóng C của X, F −1 (C) ∈ A.
(ii) Hàm đa trị F : Ω → K(X) được gọi là đo được yếu nếu với mỗi tập con mở
(iii) Hàm đa trị đo được yếu được gọi là phần tử ngẫu nhiên đa trị.
*Ví dụ Cho Ω = [−1,2] ⊂R, X = R Và ánh xạ F : Ω → K(R) Với
Khi đó F là phần tử ngẫu nhiên đa trị.
G(F) ={(ω,−1) : ω ∈ [−1,0)} ∪ {(ω,1) : ω ∈ (0,2]} ∪ {(0, x) : x ∈ [−1,1]}. Chứng minh Để chứng minh F là phần tử ngẫu nhiên đa trị ta chứng minh: Với mỗi tập mở V ⊂X
Ta xét các trường hợp sau:
2.1.1.3 Định nghĩa Giả sử f : Ω → X là ánh xạ đơn trị, F : Ω → 2 X là một ánh xạ đa trị.
Khi đó f được gọi là một lát cắt của F nếu f(ω) ∈ F(ω) h.c.c.
Ta ký hiệu S F p là tập hợp tất cả các lát cắt đo được của f thỏa mãn
Trong không gian đo (Ω,A) và không gian Mêtric khả ly X, định lý này khẳng định rằng nếu F : Ω → 2 X là một hàm đa trị với F(ω) là tập đóng cho mọi ω ∈ Ω, thì các điều kiện liên quan cần được xem xét.
(i ) Với mọi tập Borel B ⊂X thì F −1 (B) ∈ A;
(ii) Với mọi tập đóng C ⊂X thì F −1 (C) ∈ A;
(iii) Với mọi tập mở O ⊂X thì F −1 (O) ∈ A;
(iv) D(F) ∈ A và ω 7→ d(x, F(ω)) là hàm đo được của ω ∈ D(F) với mọi x ∈ X; (v) D(F) ∈ A và tồn tại một dãy các hàm đo được {f n } với f n : D(F) →X sao cho F(ω) =cl{f n (ω)},∀ω ∈ D(F).
(vi) G(F) là A ⊗ B X -đo được, trong đó B X là σ-đại số Borel của X.
Khi đó ta có các mối quan hệ sau:
(2) Nếu X là không gian đầy đủ thì (iii)⇔ (v).
Nếu X là không gian đầy đủ và có một không gian đo σ-hữu hạn đầy đủ được xác định trên A, thì tất cả các điều kiện (i)-(vi) là tương đương với nhau.
2.1.1.5 Bổ đề Cho F ∈ M[Ω, X] và 1 ≤ p ≤ ∞ Nếu S F p 6= ∅ thì tồn tại một dãy {f n } ⊂ S F p thỏa mãn: F(ω) = cl{f n (ω)},∀ω ∈ Ω.
Chứng minh: Theo định lí 2.1.1.4, tồn tại một dãy các hàm đo được {g j } thỏa mãn F(ω) = cl{g j (ω)} với mọi ω ∈ Ω.
Lấy đếm được một phõn hoạch đo được {A k } ⊂ Ω với à(A k ) < ∞ và một hàm f ∈ L p (Ω, X) sao cho f(ω) ∈ F(ω),∀ω ∈ Ω Ta xác định
Khi đó dễ thấy rằng {f jmk } ⊂ S F p và F(ω) =cl{f jmk (ω)}, ∀ω ∈ Ω.
2.1.1.6 Bổ đề Cho F ∈ M[Ω, X] và 1 ≤ p < ∞ Cho dãy {f i } ⊂ S F p sao cho
F(ω) = cl{f i (ω)},∀ω ∈ Ω Khi đó, với mỗi f ∈ S F p và > 0, tồn tại một phân hoạch đo được hữu hạn {A 1 , , An} ⊂ Ω thỏa mãn: kf − n
Chứng minh: Ta giả thiết rằng f(ω) ∈ F(ω),∀ω ∈ Ω Lấy một hàm đo được dương thực sự ρ ∈ L 1 sao cho R
Ωρdà < p /3 Khi đú tồn tại một họ đếm được các phân hoạch đo được {B i } ⊂ Ω sao cho kf(ω)−f i (ω)k p < ρ(ω), ∀ω ∈ B i , i≥ 1.
Lấy số tự nhiên n thỏa mãn
Ta thiết lập một phân hoạch đo được hữu hạn{A 1 , , A n } thỏa mãn
Khi đó ta có kf − n
2.1.2 Định nghĩa Cho ánh xạ φ : Ω×X → R là một hàm A ⊗ B X -đo được. Tích phân của hàm I φ với hàm lấy tích phân φ được định nghĩa như sau
Với mỗi hàm đo được f : Ω →X thì I φ (f) =R
2.1.3 Bổ đề Cho F ∈ M[Ω, X] và ánh xạ φ : Ω×X → R là A ⊗ B X - đo được. Giả sử rằng một trong 2 điều kiện sau đây được thỏa mãn
(i) φ(ω, x) là nửa liên tục trên tại x với mọi ω ∈ Ω
(ii) Khụng gian xỏc suất (Ω,A, à) đầy đủ và φ(ω, x)là nửa liờn tục dưới với mọi ω ∈ Ω
Khi đó hàm ω 7→inf{φ(ω, x) : x ∈ F(ω)} đo được.
Trước tiên ta giả thiết sử có (i) Theo Định lý 2.1.1.4, tồn tại dãy các hàm đo được {f n } thỏa mãn
Khi đó ta có ξ(ω) = inf n φ(ω, fn(ω)), ω ∈ Ω.
Suy ra ξ là hàm đo được.
Giả sử có (ii) Ta định nghĩa H : Ω → 2 X × R với
Khi đó H(ω) là tập đóng trong X ×R,∀ω ∈ Ω và đồ thị G(H) ∈ A ⊗ B X× R , với
Theo định lý 2.1.1.4, D(H) ∈ A và tồn tại dãy {(g n , ξ n )} của các hàm đo được g n : Ω → X và ξ n : Ω → R thỏa mãn
Từ đó ta có ξ(ω) = inf n ξ n (ω),∀ω ∈ D(H), ξ(ω) = ∞,∀ω ∈ Ω\D(H).
Do đó ξ là hàm đo được.
(1) Tồn tại một khụng gian Banach thực N sao cho L 1 cc [Ω,A, à;X] cú thể được nhỳng trong một nún lồi thuộc L 1 (Ω,A, à;N) sao cho
(i) Phép nhúng là phép đẳng cự.
(ii) Phép cộng trong L 1 (Ω,N) cảm sinh phép cộng trong L 1 cc [Ω;X].
(iii) Phép nhân bởi các hàm thực không âm trong L 1 (Ω,N) cảm sinh phép toán tương ứng trong L 1 cc [Ω;X].
(2) Nếu X có tính phản xạ thì tồn tại một không gian Banach thực E sao cho
L 1 c (Ω,A, à;X) cú thể nhỳng được trong L 1 (Ω,A, à;E) thỏa món cỏc trường hợp như trên.
2.1.5 Bổ đề Cho F ∈ M[Ω, X] và 1 ≤ p ≤ ∞ và φ : Ω×X → R là hàm
A ⊗ B X - đo được Nếu giả thiết (i) hoặc (ii) trong Bổ đề 2.1.3 được thỏa mãn và phiếm hàm (1.1) định nghĩa cho tất cả f ∈ S F p thỏa mãn I φ (f 0 ) < ∞ với mọi f 0 ∈ S F p , thì inf f ∈S p F Iφ(f) Z
Chứng minh: Cho ξ(ω) = inf{φ(ω, x) : x ∈ F(ω)} Theo Bổ đề 2.1.3 thì ξ đo được và ξ(ω) ≤ φ(ω, f(ω)) h.k.n ∀f ∈ S F p Lấy f = f 0 , khi đó tích phân của ξ tồn tại và
Nếu I φ (f 0 ) =−∞ thì bổ đề được chứng minh.
Giả sử I φ (f 0 ) hữu hạn, khi đó hàm ω 7→ φ(ω, f 0 (ω)) ∈ L 1 Lấy β > R
Ωξdà, ta sẽ chứng minh rằng I φ (f) < β,∀f ∈ S F p
Cho một dóy {A n } ⊂ A với à(A n ) < ∞, A n ↑ Ω và một hàm dương thực sự ρ ∈ L 1 Ta định nghĩa
Dễ thấy rằng {ξ n } ⊂ L 1 và ξ n (ω) ↓ξ(ω) h.k.n, do đó R
Bây giờ ta chứng minh rằng tồn tại một hàm đo được g : Ω → X thỏa mãn: g(ω) ∈ F(ω) h.k.n và φ(ω, g(ω)) ≤ ζ(ω) h.k.n (1.3)
Với trường hợp (i), lấy một dãy các hàm đo được {g j } thỏa mãn
Suy ra tồn tại một hàm đo được g thỏa mãn (1.3).
Trong trường hợp (ii), ta định nghĩa
Do F 1 (ω) là tập đóng với mọi ω ∈ Ω và G(F 1 ) ∈ A ⊗ B X , Định lý 2.1.1.4 chứng tỏ rằng F 1 có một lát cắt đo được trên D(F 1 ) ∈ A vì vậy g thu được từ à(Ω\D(F 1 )) = 0.
Với hàm g thỏa mãn (1.3), ta định nghĩa:
Khi đó ta được {f n } ⊂ S F p và
Ωζdà < β và Cn ↑ Ω, ta cú Iφ(fn) < β,∀n.
Định nghĩa và các tính chất cơ bản về kỳ vọng của phần tử ngẫu nhiên đa trị
phần tử ngẫu nhiên đa trị
Ta ký hiệu L p (Ω,A, à;X) = L p (Ω, X) là khụng gian Banach của cỏc hàm f đo được, khả tích bậc p (f : Ω →X) với chuẩn :
L p (Ω,A, à) = L p là khụng gian Banach cỏc hàm đo được nhận giỏ trị thực. 2.2.1 Định nghĩa.
Cho F ∈ M[Ω, X] Kỳ vọng của F trên Ω được định nghĩa :
Ωf dà là tớch phõn Bochner của f đối với độ đo à.
Af dà, f ∈ S F 1 } được gọi là kỳ vọng của F hạn chế trên A.
Khi đó F ∈ M[Ω, X] Hơn nữa, nếu S F p
F ∈ M[Ω, X] được suy trực tiếp từ điều kiện (v) trong Định lý 2.1.1.4.
2 khác rỗng với 1 ≤ p < ∞ thì theo Bổ đề 2.1.1.5 tồn tại hai dãy {f 1i } ⊂ S F p
2 sao cho F 1 (ω) = cl{f 1i (ω)} và F 2 (ω) = cl{f 2j (ω)}.
Với mỗi f ∈ S F p và > 0, sử dụng Bổ đề 2.1.1.6 ta có thể chọn được một phân hoạch hữu hạn {A 1 ,ã ã ã, A n } ⊂ Ω và cỏc số nguyờn i1, , in;j1, , jn thỏa món kf − n
Từ đó ta có S F p ⊂ cl(S F p
Cho F ∈ M[Ω, X] và (coF)(ω) = coF(ω) là bao đóng lồi của F trong X với ω ∈ Ω,
Khi đó coF ∈ M[Ω, X] Hơn nữa, nếu S F p 6= ∅ với 1≤ p < ∞ thì
Chứng minh: Cho S F p 6= ∅ với 1 ≤ p < ∞, G = coF Từ S G p đóng, lồi trong
L p (Ω, X), coS F p ⊂ S G p suy ra S F p ⊂ S G p Từ chứng minh sự hội tụ cho một dãy {f i } ⊂ S F p như trong Bổ đề 2.1.1.5 và định nghĩa
Khi U là tập con đếm được của S G p và G(ω) = cl{g(ω) : g ∈ U} với mọi ω ∈ Ω, ta có thể áp dụng Bổ đề 2.1.1.6 để chọn một phân hoạch hữu hạn {A1, , An} ⊂ Ω cùng với các hàm g1, , gn ∈ U Điều này cho phép chúng ta thỏa mãn điều kiện kf − n.
Khi đó tồn tại số tự nhiên m sao cho: g k = Pm i=1α ki f i với 1 ≤ k ≤ n, α ki ≥ 0 và
Pm i=1α ki = 1 Từ đó ta có n
I A k f i k ), trong đó 1 ≤ i k ≤m,1 ≤ k ≤ n. Điều này chứng tỏ rằng Pn k=1I A k g k là một tổ hợp lồi của các hàm trong S F p Do đó ta có: f ∈ coS F p
ΩF dà với F ∈ L 1 [Ω, X] cú cỏc tớnh chất sau
Ta định nghĩa 3 phép toán trong M[Ω, X] như sau:
(ξF(ω)) = ξ(ω)F(ω), với F ∈ M[Ω, X] và hàm ξ đo được nhận giá trị thực, ω ∈ Ω.
Với A, B là các tập con đóng, khác rỗng trong không gian Banach X thì δ(A, B) = max{sup x∈A d(x, B),sup y∈B d(y, A)},
1, sử dụng Bổ đề 2.1.5 ta suy ra inf f 2 ∈S F 1
Sử dụng Bổ đề 2.2.2 và Bổ đề 2.2.3 cùng với một số phép biến đổi đơn giản ta sẽ chứng minh được đẳng thức (b), (c).
Kỳ vọng của phần tử ngẫu nhiên đa trị trong không gian xác suất không có nguyên tử
gian xác suất không có nguyên tử
Nếu khụng gian xỏc suất (Ω,A, à) khụng cú nguyờn tử và F ∈ L 1 [Ω, X] thỡ clR
Chứng minh: Định lý sẽ được chứng minh nêu ta chứng minh được
∀f 1 , f 2 ∈ S F 1 ;∀ > 0;∀α, β > 0 mà α+β = 1,tồn tại f ∈ S F 1 sao cho kα Z
Thật vậy, để chứng minh clR
ΩF dà là lồi ta chứng minh ∀x, y ∈ clR
ΩF dà nờn với mọi 0 = ε 2 ,∃f 1 , f 2 ∈ S F 1 sao cho kx− Z
Vì f 1 , f 2 ∈ S F 1 nên tồn tại ∃f ∈ S F 1 sao cho kα Z
Ω f dàk < ε. Để chứng minh định lý, trên X ⊕X ta xác định độ đo λ cho bởi công thức λ(A) = (
Sử dụng tài liệu tham khảo [6] trang 126 ta thấy rằng miền đóng củaλ là lồi trong
X ⊕X, (tức tập M = cl{λ(A)|A ∈ A} là tập lồi )
Khi đó tồn tại A∈ A sao cho kα Z
Do λ(∅), λ(Ω) ∈ M, M lồi nên αλ(Ω) +βλ(∅) ∈ M nếu α +β = 1;α, β > 0. Mặt khác, do M đóng nên với mọi ε > 0,tồn tại A ∈ A sao cho: kαλ(Ω) +βλ(∅)−λ(A)k< ε
Khi và chỉ khi tồn tại A sao cho kα(
Tức là tồn tại A sao cho k(α Z
Từ đó luôn tồn tại A thỏa mãn kα Z
Chọn f = I A ãf 1 +I Ω\A ãf 2 , tức là f(ω)
Nếu khụng gian xỏc suất (Ω,A, à) khụng cú nguyờn tử và F ∈ L 1 [Ω, X] thỡ cl Z
Chứng minh: Từ định lý 2.3.1 ta suy ra clR
Quan hệ của lát cắt và kỳ vọng của phần tử ngẫu nhiên đa trị
2.4.1 Định lý Cho F ∈ L 1 C [Ω, X] Khi đó hàm f ∈ L 1 (Ω, X) là một lát cắt của
F (tức f ∈ S F 1 ) khi và chỉ khi:R
AF dà, ∀A ∈ A. Chứng minh Điều kiện cần là hiển nhiên vì nếu f ∈ S F 1 thì R
*Điều kiện đủ: Cho F ∈ L 1 c [Ω, X] Do X khả ly nên ta có thể chọn được một tập N với à(N) = 0 và một dóy {X i } ⊂ K c (X) sao cho {X i } trự mật trong tập {F(ω), ω ∈ Ω\N}
Với mỗi i ta luôn có dãy {y ij , j ≥ 1} là đếm được, trù mật trong X \Xi.
Với mỗi yij ∈ Xi,theo định lí tách tồn tại y ij ∗ ∈ X ∗ với ky ij ∗ k = 1 sao cho hy ij , y ij ∗ i −d(yij, Xi) ≥ sup y∈X i hy, y ij ∗ i (2.1) Đặt {x ∗ n } = {y ∗ ij ;i, j ≥ 1}.
Dễ thấy với mỗi ω ∈ Ω\N và x ∈ X thì x ∈ F(ω) khi và chỉ khi hx, x ∗ n i ≤ sup y∈F (ω) hy, x ∗ n i, n≥ 1 (2.2).
Thật vậy, rõ ràng rằng nếu có x ∈ F(ω) thì hx, x ∗ n i ≤ sup y∈F (ω) hy, x ∗ n i.
Ngược lại nếu có hx, x ∗ n i ≤ sup y∈F (ω) hy, x ∗ n i, ta sẽ chứng minh x ∈ F(ω).
Do {X i } trù mật trong tập {F(ω), ω ∈ Ω\N} nên
Với mọi > 0, tồn tại y ij ∈ X\X i sao cho: kx−y ij k ≤ ε, (do {y ij , i ≥ 1} đếm được ,trù mật trong X\X i ).
Do hx, x ∗ n i ≤ sup y∈F (ω) hy, x ∗ n i nên sup y∈F(ω) hy−x, x ∗ n i ≥ 0 (vì x ∗ là ánh xạ tuyến tính)
Suy ra sup y∈F(ω) hy−yij, x ∗ n i+ sup y∈F (ω) hy ij −x, x ∗ n i ≥ 0.
|hy ij −x, x ∗ n i| ≤ kx ∗ n k ã ky ij −xk ≤ Suy ra sup y∈F (ω) hy −y ij , x ∗ n i+ ≥0.
Do đó sup y∈F (ω) hy, x ∗ n i − hy ij , x ∗ n i+ ≥0.
Do {X i } trù mật trong tập {F(ω), ω ∈ Ω\N} suy ra sup y∈X i hy, x ∗ n i − hy ij , x ∗ n i+ ≥ 0.
Cho → 0 ta được sup y∈X i hy, x ∗ n i − hy ij , x ∗ n i ≥ 0.
−d(y ij , X i ) ≥ sup y∈X i hy, x ∗ n i − hy ij , x ∗ n i ≥ 0.
Do đó d(y ij , X i ) = 0 Điều này kéo theo y ij ∈ X i ( mâu thuẫn với giả thiết y ij ∈ X\X i ) Vậy x∈ F(ω). Để chứng minh điều kiện đủ ta sẽ chứng minh rằng nếu f /∈ S F 1 thì R
Giả sử f /∈ S F 1 , khi đú ∃n ∈ N, A ⊂ Ω sao cho: à(A) > 0, f(ω) ∈/ F(Ω),∀ω ∈ A
Từ (2.2) ta được hf(ω), x ∗ n i > sup y∈F(ω) hy, x ∗ n i,∀ω ∈ A (2.3).
A hg(ω), x ∗ n idà (theo Bổ đề 2.1.5)
2.4.2 Hệ quả Nếu X ∗ là khả li thì Bổ đề 2.4.1 cũng đúng cho ∀F ∈ L 1 C [Ω, X]. Chứng minh Nếu X ∗ khả ly, khi đó tồn tại dãy {x ∗ n } đếm được trù mật trên X.
Vì F ∈ L 1 c [Ω, X] nên tồn tại dãy đơn giản {F n } ⊂ L 1 c sao cho F n →F.
Với mỗi F n ,∃N n : à(N n ) = 0 Gọi N = S∝ n=1 ⇒ à(N) = 0 Suy ra: ∀ω ∈ Ω\N thì ω ∈ Ω\N n ,∀n Khi đó (2.2) đúng với mọi F n trên ω ∈ Ω\N Chuyển qua giới hạn ta có (2.2) đúng cho F.
Quan hệ của kỳ vọng của phần tử ngẫu nhiên đa trị và tích phân Bochner của nó
Định lý sau đây nêu rõ mối liên hệ giữa kỳ vọng của phần tử ngẫu nhiên đa trị và tích phân Bochner của nó.
(1) Cho N là một không gian Banach thực thỏa mãn định lý 2.1.4(1) Nếu
ΩF dà bằng tớch phõn Bochner của một hàm đa trị trong
L 1 [Ω,N] Hơn nữa, nếu X có tính chất RN P thì tính chất trên sẽ đúng cho
(2) Giả sử X có tính phản xạ và E là một không gian Banach thỏa mãn định lý 2.1.4(2) Nếu F ∈ L 1 c [Ω, X] thì R
ΩF dà bằng tớch phõn Bochner của một hàm trong L 1 [Ω,E].
ΩF dà là tớch phõn Bochner của F trong L 1 (Ω,N) hoặc L 1 (Ω,E).
(1) Cho F ∈ L 1 cc [Ω, X] Từ K cc (X) là nón lồi đóng trong N ta được (B) − R
Nếu F là hàm đơn giản thì ta dễ dàng thấy rằng R
ΩF dà.Với F là hàm bất kỳ thì luôn tồn tại dãy hàm đơn giản {F n } ⊂ L 1 cc [Ω, X] sao cho
∆(F n , F) →0.Theo định lý 2.2.4 ta có
Theo nguyên lý kẹp ta suy ra δ(cl Z
Mặt khác, xét trong L 1 (Ω,N) ta có δ((B)−
ΩF dà. Bây giờ ta giả sử rằng X có tính RNP, ta sẽ chứng minh rằng R
ΩF dà là tõp đúng. Cho {f n } ⊂ S F 1 , x ∈ X và kR
Ωfndà−x k→ 0. Khi đó tồn đại số đếm được A 0 ,(A 0 ⊂ A) sao cho tất cả hàm F và fn,(n≥ 1) là
A 1 -đo được, trong đó A 1 là σ-đại số sinh bởi A 0 (sử dụng tài liệu tham khảo [7] trang 168).
Suy ra có thể trích được một dãy con hội tụ từ dãy {R
Sử dụng phương pháp đường chéo Cantor, tồn tại dãy con {g n } ⊂ {f n } sao cho λ(A) = lim n
Từ ||g n (ω)|| ≤ |F(ω)| h.k.n ∀n, theo tài liệu tham khảo [7]( trang 292,321) thì giới hạn λ(A) tồn tại với mọi A ∈ A 1 và λ là một X-đo được trên A 1 (đóng và à-liờn tục).
Do tớnh RNP,tồn tại g ∈ L 1 (Ω,A 1 , à;X) sao cho λ(A) = R
Sử dụng Bổ đề 2.4.1 ta được g ∈ S F 1 , vì vậy x = R
Luận văn đã giải quyết các vấn đề chính sau đây:
1 Nêu được một số tính chất về kỳ vọng của phần tử ngẫu nhiên đa trị.
2 Nêu được tính chất của kỳ vọng của phần tử ngẫu nhiên đa trị trong không gian xác suất không có nguyên tử.
3 Tìm hiểu được mối quan hệ giữa lát cắt và kỳ vọng của phần tử ngẫu nhiên đa trị.
4 Trình bày được mối quan hệ của kỳ vọng của phần tử ngẫu nhiên đa trị và tích phân Bochner của nó.
Một số hướng nghiên cứu tiếp theo của luận văn:
- Nghiên cứu các định lý giới hạn đối với dãy biến ngẫu nhiên đa trị.
- Nghiên cứu điều kiện của dãy biến ngẫu nhiên đa trị để dãy biến ngẫu nhiên đa trị tuân theo luật số lớn.