1 MỤC LỤC Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Phần tử ngẫu nhiên 1.2 Các dạng hội tụ 1.3 Kỳ vọng phần tử ngẫu nhiên 11 1.4 Khái niệm độc lập 14 1.5 Khái niệm M -phụ thuộc 15 1.6 Một số khái niệm khác 15 1.7 Các bất đẳng thức 16 Sự hội tụ hầu chắn hội tụ theo trung bình mảng kép phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach 2.1 Sự hội tụ hầu chắn mảng kép phần tử ngẫu nhiên 2.2 20 20 Sự hội tụ theo trung bình mảng kép phần tử ngẫu nhiên M -phụ thuộc 29 Kết luận 35 Tài liệu tham khảo 36 MỞ ĐẦU Luật số lớn ba định lý giới hạn quan trọng lý thuyết xác suất Luật số lớn Bernoulli công bố năm 1713 Về sau, kết Poisson, Chebyshev, Markov, Liapunov mở rộng Tuy nhiên phải đến nửa đầu kỷ 20 luật số lớn Borel Kolmogorov hoàn thiện Cho tới nay, định lý giới hạn vấn đề có tính thời lý thuyết xác suất Luật số lớn phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach nghiên cứu rộng rãi năm gần Chẳng hạn, năm 2006, Rosalsky Thanh [11] đưa luật mạnh luật yếu số lớn tổng kép phần tử ngẫu nhiên không gian Banach Rademacher dạng p Năm 2007, tác giả [12] nghiên cứu hội tụ hầu chắn hội tụ theo trung bình tổng kép phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach Về mảng kép phần tử ngẫu nhiên, năm 2008, Quang Huan [9] nghiên cứu luật yếu số lớn Năm 2009, Quang Huan [10] cung cấp điều kiện để luật mạnh số lớn hội tụ Lp phần tử ngẫu nhiên không gian Banach p-trơn Trên sở nghiên cứu tài liệu kể trên, nghiên cứu đề tài: "Sự hội tụ hầu chắn hội tụ theo trung bình mảng kép phần tử ngẫu nhiên không gian Banach" Luận văn gồm chương: Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, trình bày khái niệm, tính chất để thiết lập kết Chương Sự hội tụ hầu chắn hội tụ theo trung bình mảng kép phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach Trong chương này, tìm hiểu nội dung Thứ nhất, xây dựng hội tụ hầu chắn mảng kép phần tử ngẫu nhiên độc lập nhận giá trị không gian Banach Kết Định lý 2.1.4, Định lý 2.1.8, Định lý 2.1.12, Định lý 2.1.13 Thứ hai, thiết lập hội tụ theo trung bình mảng kép phần tử ngẫu nhiên M -phụ thuộc Kết đạt Định lý 2.2.1, Định lý 2.2.2, Định lý 2.2.4 Các kết mục 2.2 Luận văn thực trường Đại học Vinh hướng dẫn TS Lê Văn Thành Tác giả bày tỏ lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo Lê Văn Thành, thầy giáo PGS.TS Nguyễn Văn Quảng, học viên Trình Hoài Nam tận tình hướng dẫn tạo nhiều điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập làm đề tài Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy giáo trực tiếp giảng dạy lớp Cao học 19 Lý thuyết xác suất thống kê toán Đồng thời tác giả xin cảm ơn ban chủ nhiệm thầy cô giáo khoa Toán, phòng Sau đại học, Ban giám hiệu Trường THPT Thanh Chương 3, tập thể Cao học 19 Lý thuyết xác suất thống kê toán động viên, giúp đỡ suốt trình học tập nghiên cứu Mặc dù có nhiều cố gắng luận văn tránh khỏi thiếu sót Vì tác giả mong nhận lời bảo quý báu thầy cô giáo bạn đọc Vinh, tháng năm 2013 Tác giả CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, khái niệm, bổ đề cần thiết dùng để chứng minh kết giới thiệu 1.1 Phần tử ngẫu nhiên Giả sử (Ω, F, P ) không gian xác suất đầy đủ E không gian Banach thực khả ly B(E) σ - đại số Borel E Cho a, b ∈ R, ta ký hiệu min{a, b}, max{a, b} a∧b, a∨b Cho x 0, số nguyên nhỏ lớn x ký hiệu [x] Cho x 1, logarit tự nhiên lôgarit số ký hiệu logx Logx Trong suốt viết, ký tự C ký hiệu cho số dương không thiết giống lần xuất Để ý rằng, với x 1, ta có Logx=C logx, C = 1/ log 1.1.1 Định nghĩa Ta nói ánh xạ X : Ω → E phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị E X F/B(E) đo (nghĩa với B ∈ B(E) X −1 (B) ∈ F ) 1.1.2 Ví dụ Giả sử A ∈ F , α ∈ E, α = Xét ánh xạ X : Ω → E xác định X(ω) = α ω ∈ /A ω ∈ A = αIA , IA hàm tiêu tập A Khi X phần tử ngẫu nhiên Thật vậy,  ∅    A X −1 (B) = A    Ω nếu nếu 0∈ / B, α ∈ /B ∈ B, α ∈ /B 0∈ / B, α ∈ B ∈ B, α ∈ B nên X −1 (B) ∈ F với B ∈ B(E) 1.1.3 Định nghĩa Phần tử ngẫu nhiên X : Ω → E gọi phần tử ngẫu nhiên rời rạc |X(Ω)| không đếm (|X(Ω)| lực lượng tập hợp X(Ω).) Đặc biệt, |X(Ω)| hữu hạn X gọi phần tử ngẫu nhiên đơn giản Phần lại Mục 1.1 trình bày số tính chất quan trọng phần tử ngẫu nhiên 1.1.4 Định lý Giả sử E1 , E2 không gian Banach, T : E1 → E2 ánh xạ B(E1 )/B(E2 ) đo X : Ω → E1 phần tử ngẫu nhiên, ánh xạ T (X) : Ω → E2 phần tử ngẫu nhiên Chứng minh Với B2 ∈ B(E2 ) ta có T −1 (B2 ) = B1 ∈ B(E1 ) suy (T ◦ X)−1 (B2 ) = X −1 (T −1 (B2 )) = X −1 (B1 ) ∈ F Vậy ánh xạ T (X) : Ω → E2 phần tử ngẫu nhiên Như biết, ánh xạ chuẩn : E → R ánh xạ liên tục ánh xạ đo Chính ta có hệ sau 1.1.5 Hệ Giả sử ánh xạ X : Ω → E phần tử ngẫu nhiên Khi đó, ánh xạ X : Ω → R biến ngẫu nhiên 1.1.6 Định lý ([1]) Ánh xạ X : Ω → E phần tử ngẫu nhiên với f ∈ E∗ f (X) biến ngẫu nhiên 1.1.7 Hệ Giả sử X, Y phần tử ngẫu nhiên, a, b ∈ R, ξ : Ω → R biến ngẫu nhiên Khi aX + bY, ξX phần tử ngẫu nhiên Chứng minh Ta có (aX + bY )(ω) = aX(ω) + bY (ω) ∈ E, ξX(ω) = ξ(ω)X(ω) ∈ E Do đó, với f ∈ E∗ f (aX + bY ) = af (X) + bf (Y ) f (ξX) = ξf (X) biến ngẫu nhiên Điều kéo theo aX + bY, ξX phần tử ngẫu nhiên 1.2 Các dạng hội tụ Trong mục này, trình bày dạng hội tụ dãy phần tử ngẫu nhiên, mối quan hệ chúng tính chất liên quan 1.2.1 Định nghĩa Giả sử {Xn , n 1} dãy phần tử ngẫu nhiên xác định không gian Ω nhận giá trị E Ta nói {Xn , n 1} hội tụ đến X (khi n → ∞) • hầu chắn(h.c.c) : P ( lim Xn − X = 0) = n→∞ Ký hiệu Xn h.c.c −−→ X ∞ • đầy đủ : Ký hiệu Xn P ( Xn − X > ε) < ∞ n=1 c → − X • theo xác suất với ε > lim P ( Xn − X > ε) = n→∞ Ký hiệu P − Xn → X • theo trung bình cấp p lim E Xn − X n→∞ Ký hiệu Xn Lp − → p = X 1.2.2 Ví dụ Giả sử α ∈ E, α = Xn phần tử ngẫu nhiên đơn giản nhận giá trị α với xác suất tương ứng − 1/n 1/n Khi Xn P → − Xn L2 − → (khi n → ∞) Thật vậy, ta có Xn : Ω → R+ xác định Xn (ω) = α Xn (ω) = 0, Xn (ω) = α Khi với ε > 0, P ( Xn − > ε) = P ( Xn > ε) = P (Xn = α) = n P ( Xn = α ) → n → ∞ Điều chứng tỏ Xn P → − (khi n → ∞) Mặt khác, ta có E Xn − = 02 (1 − 1/n) + α 1/n = α 1/n → n → ∞ Điều có nghĩa Xn L2 − → (khi n → ∞) Định lý sau nêu lên tiêu chuẩn hội tụ hầu chắc chắn 1.2.3 Định lý ([1]) Xn → X h.c.c (khi n → ∞) với ε > 0, lim P (sup Xm − X > ε) = n→∞ m n Tiếp theo, trình bày mối quan hệ dạng hội tụ 1.2.4 Định lý ([1]) Nếu Xn h.c.c −−→ X Xn Lp − → X Xn P → − X (khi n → ∞) Nếu Xn c → − X Xn Nếu {Xn , n E Xn c → − h.c.c −−→ X (khi n → ∞) 1} dãy phần tử ngẫu nhiên độc lập Xn h.c.c −−→ α∈ α (khi n → ∞) 1.2.5 Định nghĩa Ta nói dãy phần tử ngẫu nhiên {Xn , n 1} dãy • Hầu chắn (h.c.c) P ( lim m,n→∞ Xm − Xn = 0) = • Theo xác suất lim P ( Xm − Xn > ε) = với ε > m,n→∞ • Theo trung bình cấp p > lim E Xm − Xn m,n→∞ p = Sau đây, trình bày mối quan hệ loại hội tụ với dãy Định lý sau nói lên tương đương dãy hội tụ h.c.c dãy h.c.c 1.2.6 Định lý Dãy {Xn , n 1} h.c.c dãy {Xn , n 1} hội tụ h.c.c Chứng minh Đặt Ω1 = {ω : Xn (ω) hội tụ}, Ω2 = {ω : Xn (ω) bản} Vì E không gian Banach nên Ω1 = Ω2 Do {Xn , n 1} hội tụ h.c.c ⇔ P (Ω1 ) = ⇔ P (Ω2 ) = ⇔ {Xn , n 1} h.c.c Định lý sau nêu lên điều kiện cần đủ để dãy h.c.c 1.2.7 Định lý Dãy {Xn , n 1} dãy h.c.c hai điều kiện sau thoả mãn: (i) lim P (supk,l n Xk − Xl > ε) = với ε > 0; (ii) lim P (supk n Xk − Xn > ε) = với ε > n→∞ n→∞ Chứng minh Ta có Xk − Xl Xk − Xn + Xl − Xn Suy ε (sup Xk − Xn > ε) ⊂ ( sup |Xk − Xl > ε) ⊂ (sup |Xk − Xn > ) k n k,l n k n Do (i) tương đương với (ii) Ta chứng minh {Xn , n 1} dãy h.c.c điều kiện (i) thoả mãn Đặt ∞ n (ε) ( Xk − Xl > ε) = ( sup Xk − Xl > ε) = k,l n k,l=n n (ε) Khi dãy giảm ∞ ( lim k,l→∞ Suy {Xn , n ∞ Xk − Xl = 0) = m=1 n=1 ∞ ∞ m=1 ∞ n=1 n (1/m)) =1 ∞ n (1/m) =0⇔P m=1 n=1 n→∞ n (1/m) 1} dãy h.c.c ⇔ P ( ⇔P ⇔ lim P ( ∞ n (1/m))) n (1/m) = 0, ∀m n=1 = ∀m ⇔ lim P ( n→∞ n (ε)) = ∀ ε > Định lý chứng minh Kế tiếp, nghiên cứu tính chất dãy theo xác suất Trước hết cần bổ đề sau 1.2.8 Bổ đề Giả sử E không gian Banach dãy {xn , n 1} ⊂ E Khi đó, 2n 1} dãy (do hội tụ) xn+1 − xn với n n0 {xn , n Sử dụng Bổ đề ta thu kết sau 1.2.9 Định lý Nếu dãy {Xn , n {Xnk , k 1} ⊂ {Xn , n 1} theo xác suất tồn dãy 1} cho {Xnk , k 1} hội tụ h.c.c Chứng minh Vì {Xn , n 1} theo xác suất nên với ε > 0, lim P ( Xm − Xn > ε) = m,n→∞ Lấy ε1 = 1/2, tồn n1 cho với m, n n1 1 P ( Xm − Xn > ) < 2 Lấy ε2 = 1/22 , tồn n2 > n1 cho với m, n P ( Xm − X n > n2 1 ) < 22 22 Lấy εk = 1/2k , tồn nk > nk−1 cho với m, n P ( Xm − Xn > Suy dãy {Xnk , k ∞ 1 ) < 2k 2k 1} thoả mãn P ( Xnk+1 − Xnk > ∞ > k Xnk+1 − Xnk A= m=1 k=m nk ∞ 2k ) < 2k Đặt ∞ = Ak m=1 k=m Ta có ∞ P (A) = lim P m→∞ ∞ Ak k=m Do P (A) = A = ∞ m=1 ∞ lim m→∞ P (Ak ) k=m ∞ k=m ( = k m→∞ k=m lim Xnk+1 − Xnk 2k ) Giả sử ω ∈ A suy tồn m0 cho ∞ ω∈ Xnk+1 − Xnk k=m0 Suy Xnk+1 (ω) − Xnk (ω) 2k với k Theo bổ đề dãy {Xnk (ω), k 2k m0 1} ⊂ E hội tụ nên A ⊂ {ω : Xnk (ω) hội tụ}, dẫn đến P (ω : Xnk (ω) hội tụ) = Vì {Xnk , k 1} hội tụ h.c.c Định lý chứng minh Hai định lý sau trình bày hội tụ theo xác suất hội tụ theo trung bình 1.2.10 Định lý Dãy {Xn , n dãy theo xác suất 1} hội tụ theo xác suất 10 Chứng minh Điều kiện cần: Giả sử {Xn , n 1} hội tụ theo xác suất Khi với ω ∈ Ω ta có Xm (ω) − Xn (ω) Xm (ω) − X(ω) + Xn (ω) − X(ω) Do đó, với ε > ε ε ( Xm − Xn > ε) ⊆ ( Xm − X > ) ∪ ( Xn − X > ) 2 P ( Xm − X > 2ε ) + P ( Xn − X > 2ε ) Suy P ( Xm − Xn > ε) Vì {Xn , n 1} hội tụ theo xác suất nên P ( Xm − Xn > ε) → m, n → ∞ Vậy {Xn , n 1} dãy theo xác suất Điều kiện đủ: Giả sử {Xn , n 1} dãy theo xác suất, theo Định lý 1.2.9, tồn dãy {Xnk , k 1} ⊂ {Xn , n 1} cho Xnk h.c.c −−→ X k → ∞ Do đó, với ε > 0 P ( Xn −X > ε) P Xn −Xnk > ε +P Xnk −X > ε →0 n → ∞ Vậy Xn P → − X n → ∞ Định lý chứng minh Về hội tụ theo trung bình ta có kết sau 1.2.11 Định lý Dãy {Xn , n 1} hội tụ theo trung bình cấp p (p 1) dãy theo trung bình cấp p Chứng minh Điều kiện cần: Giả sử Xn Lp − → X suy E Xn − X p →0 n → ∞ Do đó, ≤ (E Xm − Xn p )1/p = (E (Xm − X) + (X − Xn ) p )1/p (E Xm − X p )1/p + (E X − Xn p )1/p −→ m, n → ∞ Vậy E Xm − Xn p → m, n → ∞, hay {Xn , n 1} dãy theo trung bình cấp p Điều kiện đủ: Giả sử {Xn , n 1} dãy theo trung bình cấp p Theo bất đẳng thức Markov, với ε > 0, P ( Xn − Xm > ε) E X n − Xm εp p →0 23 Từ Bổ đề 2.1.1 suy n m max k m ;1 n 2l Xij i=1 j=1 −→ hầu chắn khi, k ∨ l → ∞ 2αk 2βl Kế tiếp, với m 2k , 2l−1 1, n 1, ta đặt k cho 2k−1 1, l (2.8) m < n < 2l Khi r s max r m;1 s n m max k Xij m ;1 n 2l i=1 j=1 mα nβ n Xij i=1 j=1 2α(k−1) 2β(l−1) m max k = 2α+β m ;1 n 2l n Xij i=1 j=1 2αk 2βl −→ hầu chắn m ∨ n → ∞ ( theo (2.8)) Điều suy (2.6) Hệ sau suy trực tiếp từ định lý 2.1.5 Hệ Cho α ∧ β > {Xmn , m 1, n 1} mảng kép phần tử ngẫu nhiên độc lập kỳ vọng không gian Banach thực khả li Rademacher dạng p (1 E Xmn p 2) Nếu mαp−1 nβp−1 C (log(m + 1)log(n + 1))1+ε p với số α > 0, β > 0, ε > 0, C < ∞ với m (2.9) 1, n 1, k l max k m;1 l n Xij i=1 j=1 mα nβ −→ hầu chắn Lp m ∨ n → ∞ (2.10) Chứng minh Chú ý (2.9) nên ∞ ∞ m=1 n=1 E Xmn p mαp nβp ∞ ∞ C m=1 n=1 < ∞ mn (log(m + 1)log(n + 1))1+ε Từ Định lý 2.1.4 suy kết luận (2.10) 24 2.1.6 Nhận xét Như biết, mảng kép {Xmn , m 1, n 1} phần tử ngẫu nhiên độc lập kỳ vọng không gian Banach thực khả li Rademacher dạng p (1 p sup E Xmn 2) cho p < ∞, (2.11) m 1,n (2.9) thỏa mãn với ε > C < ∞ đó, α ∧ β > 1/p Theo Hệ 2.1.5 suy (2.10) Điều kiện (2.11) hiển nhiên thỏa mãn {Xmn , m 1, n 1} bị chặn ngẫu nhiên phần tử ngẫu nhiên X , với E X p < ∞ (2.12) Khi α = β = 1/q > 1/p, hệ thiết lập hội tụ hầu chắn (2.14) cho mảng phần tử ngẫu nhiên độc lập kỳ vọng bị chặn ngẫu nhiên phần tử ngẫu nhiên X thỏa mãn điều kiện (2.13), điều kiện yếu (2.12) Chứng minh Hệ 2.1.7 chứng minh sau chứng minh Định lý 2.1.8 2.1.7 Hệ Cho {Xmn , m 1, n 1} mảng kép phần tử ngẫu nhiên độc lập kỳ vọng không gian Banach thực khả li E Rademacher 2) Giả sử {Xmn , m dạng p (1 < p 1, n 1} bị chặn ngẫu nhiên phần tử ngẫu nhiên X với E( X với q log ( X ∨ 1)) < ∞ (2.13) q < p Khi k l max k m;1 l n Xij i=1 j=1 (mn)1/q −→ hầu chắn m ∨ n → ∞ (2.14) 2.1.8 Định lý Cho {Xmn , m 1, n 1} mảng kép phần tử ngẫu nhiên không gian Banach thực khả li cho α > 0, β > 0 ta có E X + Y E Y r ), với cr = max(1, 2r−1 ) Do cr E Y r ) 2r nên E X +Y Chọn Y = −EX ta thu E X − EX r r cr (E X r + r 2r (E X r + 2r (E X r + EX r ) 2r+1 E X r Sử dụng tính chất kết hợp với Bổ đề 2.1.2, ta thu ∞ ∞ E Xmn − EXmn (mn)p/q m=1 n=1 ∞ p ∞ p+1 m=1 n=1 E Xmn p β > Giả sử {Xmn , m p 1} mảng phần tử ngẫu nhiên M -phụ thuộc kỳ vọng 0, nhận giá trị không gian Banach thực khả ly Rademacher dạng p Nếu ∞ ∞ m=1 n=1 E Xmn p 0, tồn {xij , {Aij , i k, j i k, j l} ⊂ E tập Borel l} E, cho với m 1, n 1, ta có Xmn − Ymn < ε, k l xij I(Xmn ∈ Aij ) Ymn = i=1 j=1 (2.30) 32 Chứng minh Vì D tập hoàn toàn bị chặn E nên với ε > tùy ý, tồn {xij , i k, k i=1 l} ⊂ E cho D ⊂ j B(xij , ε) = {x ∈ E : x − xij < ε}, i l j=1 B(xij , ε), k, j l Đặt j l A11 = D ∩ B(x11 , ε), l Ai1 = D ∩ B(xi1 , ε) \ B(xi−1,s , ε) , i k, s=1 j−1 Aij = D ∩ B(xij , ε) \ B(xis , ε) , i k, s=1 Khi dễ dàng ta có k l D⊂ Aij i=1 j=1 Với m 1, với ω ∈ Ω ta có: Xmn (ω) ∈ D 1, n Suy tồn xij cho Xmn (ω) ∈ Aij Do Ymn (ω) = xij Từ suy Xmn (ω) − Ymn (ω) = Xmn (ω) − xij < ε (vì Xmn (ω) ∈ Aij ⊂ B(xij , ε)) Điều với ω ∈ Ω nên Xmn − Ymn < ε Bổ đề chứng minh Định lý sau mở rộng kết Chen Wang [3] sang trường hợp mảng kép phần tử ngẫu nhiên M -phụ thuộc 2.2.4 Định lý Cho E không gian Rademacher dạng p (1 < p < 2) {Xmn , m 1, n 1} mảng kép phần tử ngẫu nhiên M -phụ thuộc kỳ vọng nhận giá trị E Giả sử {Xmn , m 1, n 1} compact khả tích bậc p theo nghĩa Cesàro Khi m n −1/p Xij −→ Lp m ∨ n → ∞ (mn) i=1 j=1 (2.31) 33 Chứng minh Vì {Xmn , m ,n 1} compact khả tích bậc p theo nghĩa Cesàro nên tồn tập compact K , cho m n −1 E Xij p I(Xij ∈ / K) < ε sup (mn) m 1,n (2.32) i=1 j=1 Rõ ràng Xmn I(Xmn ∈ K), m nhận giá trị K ∪ {0} 1, n Mặt khác, K ∪ {0} tập compact nên tập Borel hoàn toàn bị chặn Với ε > 0, từ Bổ đề 2.2.3, tồn phần tử ngẫu nhiên l k xij I(Xmn ∈ Aij )} nhận giá trị E cho với {Ymn = i=1 j=1 m 1, n 1, Xmn I(Xmn ∈ K) − Ymn < ε {xij , i k, (2.33) l} ⊂ E {Aij , j i k, j l} tập Borel E Do {Xmn , m 1} M -phụ thuộc nên {Ymn , m 1, n 1, n 1} M -phụ thuộc Vì {xij , xij i k, j l} tập hữu hạn nên tồn C > cho C Sử dụng Hệ 1.7.5, bất đẳng thức cr (2.33), ta thu m p n −1/p E (mn) m n −1 Xij Xij I(Xij ∈ / K) = (mn) E i=1 j=1 i=1 j=1 m n − EXij I(Xij ∈ / K) + Xij I(Xij ∈ K) i=1 j=1 m n − EXij I(Xij ∈ K) − m (Yij − EYij ) + i=1 j=1 m E Xij p I(Xij ∈ / K) + Cεp i=1 j=1 m p n + C(mn)−1 E (Yij − EYij ) i=1 j=1 (Yij − EYij ) i=1 j=1 n C(mn)−1 n p 34 m p n Cε + Cεp + C(mn)−1 E (Yij − EYij ) (theo (2.32)) i=1 j=1 (2.34) Áp dụng bất đẳng thức Jensen bất đẳng thức cr ta nhận m p n −1 (Yij − EYij ) (mn) E k l −1 = (mn) E n I(Xij ∈ Ahs ) xhs h=1 s=1 i=1 j=1 m i=1 j=1 p − EI(Xij ∈ Ahs ) k l m C(mn)−1 (kl)p−1 k l C(mn)−1 h=1 s=1 (I(Xij ∈ Ahs ) − EI(Xij ∈ Ahs )) E h=1 s=1  p n i=1 j=1 m n p/2  (I(Xij ∈ Ahs ) − EI(Xij ∈ Ahs ))   E i=1 j=1 C(mn)−1+p/2 Từ (2.34), (2.35) ε > tùy ý nên ta thu (2.31) (2.35) 35 KẾT LUẬN Kết đạt Đề tài nghiên cứu hội tụ hầu chắn mảng kép phần tử ngẫu nhiên không gian Banach thực khả ly Kết đạt Định lý 2.1.4, Định lý 2.1.8, Định lý 2.1.12, Định lý 2.1.13 Đề tài thiết lập hội tụ theo trung bình mảng kép phần tử ngẫu nhiên M -phụ thuộc Kết đạt Định lý 2.2.1, Định lý 2.2.2, Định lý 2.2.4 Hướng phát triển luận văn Đưa ví dụ, phản ví dụ minh họa cho kết đạt Tìm hiểu điều kiện đảm bảo cho luật yếu số lớn luật mạnh số lớn tương đương với 36 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Văn Quảng (2011), Xác suất không gian Banach, Nhà xuất Đại học Quốc gia, Hà Nội [2] Nguyễn Duy Tiến, Vũ Việt Yên, 2003, Lý thuyết xác xuất, Nhà xuất Đại học Quốc gia, Hà Nội [3] P Y Chen and D C Wang (2012), Lr convergence for B -valued random elements, Acta Math Sinica, English series, 28, No 4, 857-868 [4] Y S Chow and H Teicher (1997), Probability Theory: Independence, Interchangeability, Martingales, 3rd Ed Springer-Verlag, New York [5] N V Giang (1995), Marcinkiewicz-Zygmund laws for Banach space valued random variables with multidimensional parameters, Teor Veroyatnost i Primenen, 40, 213-219 [in Russian] (English translation in Theory Probab Appl 40, 175–181) [6] A Gut (1978), Marcinkiewicz laws and convergence rates in the law of large numbers for random variables with multidimensional indices, Ann Probab, 6, 469-482 [7] F Móricz, K L Su, and R L Taylor (1994), Strong laws of large numbers for arrays of orthogonal random elements in Banach spaces, Acta Math Hungar 65, 1–16 [8] N V Quang, N D Tien, and L V Thanh (2011), Amost sure convergence for double arrays of blockwise M -phụ thuộc random elements in Banach spaces, Georgian Math J 18, No 4, 777-800 37 [9] N V Quang, N V Huan (2008), On the weak law of large numbers for double arrays of Banach space valued random elements, J Probab Stat Sci, 6, 125-134 [10] N V Quang, N V Huan (2009), On the strong law of large numbers and Lp -convergence for double arrays of random elements in puniformly smooth Banach spaces, Statist Probab Lett, 79, 1891-1899 [11] A Rosalsky and L V Thanh (2006), Strong and weak laws of large numbers for double sums of independent random elements in Rademacher type p Banach spaces, Stochastic Analysis Applications, 24, 1097-1117 [12] A Rosalsky and L V Thanh (2007), On almost sure and mean convergence of normed double sums of Banach space valued random elements, Stochastic Analysis Applications, 25, 895-911 [13] F S Scalora (1961), Abstract martingale convergence theorems, Pacific J, Math, 11, 347-374 [14] L V Thanh (2005), Strong laws of large numbers and Lp convergence for double arrays of independent random variables, Acta Math Vietnam, 30, 225-232 [15] L.V Thanh (2006), Mean convergence theorem for multidimensional arrays of random elements in Banach spaces, J Appl Math Stochastic Anal [Article ID 68605, pages] [...]... p (1 m 2, n p 1, n 1} là p-tựa trực giao thì với 2, ta có  E 2) Nếu {Xmn , m k l max 1 k m;1 l n p Xij  i=1 j=1 m n E Xij p (Log m)p (Log n)p C i=1 j=1 20 CHƯƠNG 2 SỰ HỘI TỤ HẦU CHẮC CHẮN VÀ HỘI TỤ THEO TRUNG BÌNH ĐỐI VỚI MẢNG KÉP CÁC PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN NHẬN GIÁ TRỊ TRONG KHÔNG GIAN BANACH 2.1 Sự hội tụ hầu chắc chắn đối với mảng kép các phần tử ngẫu nhiên Trước khi giới thiệu kết quả chính, chúng... tiếp theo thiết lập sự hội tụ hầu chắc chắn (2.14) cho một mảng các phần tử ngẫu nhiên độc lập kỳ vọng 0 và bị chặn ngẫu nhiên bởi phần tử ngẫu nhiên X thỏa mãn điều kiện (2.13), một điều kiện yếu hơn (2.12) Chứng minh Hệ quả 2.1.7 sẽ được chứng minh sau khi chúng ta chứng minh Định lý 2.1.8 2.1.7 Hệ quả Cho {Xmn , m 1, n 1} là mảng kép các phần tử ngẫu nhiên độc lập kỳ vọng 0 trong không gian Banach. .. Đề tài nghiên cứu sự hội tụ hầu chắc chắn của mảng kép các phần tử ngẫu nhiên trên không gian Banach thực khả ly Kết quả đạt được là Định lý 2.1.4, Định lý 2.1.8, Định lý 2.1.12, Định lý 2.1.13 Đề tài thiết lập sự hội tụ theo trung bình của mảng kép các phần tử ngẫu nhiên M -phụ thuộc Kết quả đạt được là Định lý 2.2.1, Định lý 2.2.2, Định lý 2.2.4 2 Hướng phát triển luận văn Đưa ra các ví dụ, phản ví... 22 α > 0 và β > 0, điều kiện ∞ ∞ m=1 n=1 E Xmn p 0 và β > 0, điều kiện (2.5) kéo theo m n i=1 j=1 Xij −→ 0 hầu chắc chắn và trong Lp... theo luật mạnh số lớn m n i=1 j=1 Xij −→ 0 hầu chắc chắn khi max{m, n} → ∞ mn (2.4) Mệnh đề 2.1.3 được tổng quát bởi định lý sau đây 2.1.4 Định lý Cho 1 p 2 và E là một không gian Banach thực khả li Khi đó các khẳng định sau là tương đương: (i) Không gian Banach E là Rademacher dạng p (ii) Với mọi mảng kép {Xmn , m 1, n 1} các phần tử ngẫu nhiên độc lập với kỳ vọng 0 trong không gian E và với mọi cách... tổng kép i=1 j=1 quả của Định lý 2.2 của Thanh trong [15] Điều kiện kỳ vọng (2.24) là yếu hơn (2.12) và (2.13) 2.1.12 Định lý Cho 1 q 2 và E là một không gian Banach thực khả li Khi đó các khẳng định sau là tương đương: (i) Không gian Banach E là Rademacher dạng p, p ∈ (q; 2] (ii) Với mọi mảng kép {Xmn , m 1, n 1} các phần tử ngẫu nhiên độc lập với kỳ vọng 0 trong không gian E và bị chặn ngẫu nhiên. .. sử rằng {Xmn , m dạng p (1 < p 1, n 1} bị chặn ngẫu nhiên bởi phần tử ngẫu nhiên X với E( X với 1 q log ( X ∨ 1)) < ∞ (2.13) q < p nào đó Khi đó k l max 1 k m;1 l n Xij i=1 j=1 (mn)1/q −→ 0 hầu chắc chắn khi m ∨ n → ∞ (2.14) 2.1.8 Định lý Cho {Xmn , m 1, n 1} là một mảng kép các phần tử ngẫu nhiên trong không gian Banach thực khả li và cho α > 0, β > 0 và 0 ε m∨n k ε−p E Xmn p (theo bất đẳng thức Markov) m∨n k −→ 0 khi k → ∞ (theo (2.1)) Từ đó suy ra (2.2) Bổ đề được chứng minh Khi nghiên cứu về mảng kép các phần. .. [5]) Cho {Xmn , m 1, n 1} là mảng kép các phần tử ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối có kỳ vọng 0 trong không gian Banach thực khả li E Rademacher dạng p (1 p 2) Khi đó, điều 28 kiện cần và đủ để l k max 1 k m;1 l n Xij i=1 j=1 −→ 0 hầu chắc chắn khi m ∨ n → ∞ (mn)1/q là (2.13) thỏa mãn ( với X = X11 ) 2.1.11 Nhận xét Xem xét sự hội tụ theo trung bình khi m ∨ n → ∞ m n Xij trong Hệ quả 2.1.7, kết quả ... lớn hội tụ Lp phần tử ngẫu nhiên không gian Banach p-trơn Trên sở nghiên cứu tài liệu kể trên, nghiên cứu đề tài: "Sự hội tụ hầu chắn hội tụ theo trung bình mảng kép phần tử ngẫu nhiên không gian. .. Năm 2007, tác giả [12] nghiên cứu hội tụ hầu chắn hội tụ theo trung bình tổng kép phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach Về mảng kép phần tử ngẫu nhiên, năm 2008, Quang Huan [9] nghiên... PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN NHẬN GIÁ TRỊ TRONG KHÔNG GIAN BANACH 2.1 Sự hội tụ hầu chắn mảng kép phần tử ngẫu nhiên Trước giới thiệu kết chính, cần số bổ đề sau 2.1.1 Bổ đề Cho {Xmn , m 1, n 1} mảng kép