Về vành cấu xạ và vành tựa cấu xạ

MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ SỞ

Các phần tử đặc biệt trong vành

Cho vành R và các phần tử e, f trong R Phần tử e được gọi là lũy đẳng trong R nếu e 2 = e

Hai phần tử e, f được gọi là lũy đẳng trực giao nếu e 2 = e; f 2 = f; ef

Cho vành R, phần tử a trong R được gọi là phần tử chính nếu tồn tại phần tử b trong R sao cho aba = a

1.1.3 Phần tử chính quy khả nghịch

Cho vành R, phần tử a trong vành R được gọi là phần tử chính quy khả nghịch nếu tồn tại phần tử khả nghịch b trong R sao cho aba = a

1.1.4 Nhận xét: Phần tử chính quy khả nghịch là phần tử chính quy nhưng điều ngược lại không đúng (đã có ví dụ trong [4]).

Định lý cơ bản về sự phân tích vành

(i) Nếu R có sự phân tích trái R   i

+ Tập I hữu hạn (tức là I  I 0 1, ,n )

+ Tồn tại e ,e , ,e 1 2 k R là các luỹ đẳng mà: 1 2 i

(ii) Ngược lại, nếu tồn tại các luỹ đẳng e ,e , ,e 1 2 n R mà: e 1    e n 1,

Một số định nghĩa và tính chất

1.3.1 Vành Bun Vành R được gọi là vành Bun (Boolean ring) nếu mọi phần tử của R là lũy đẳng

1.3.2 Vành chính quy Vành R được gọi là vành chính quy (regular ring) quy nếu mọi phần tử của R đều là phần tử chính quy

1.3.3 Định lý (Đặc trưng của vành chính quy) Cho vành R, các khẳng định sau đây là tương đương:

(ii) Mọi iđêan chính trái sinh bởi phần tử lũy đẳng

(iii) Mọi iđêan chính trái là hạng tử trực tiếp trong R

(iv) Mọi iđêan trái hữu hạn sinh là hạng tử trực tiếp trong R

1.3.4 Vành chính quy khả nghịch Vành R được gọi là vành chính quy khả nghịch (unit regular ring) nếu mọi phần tử của R đều là phần tử chính quy khả nghịch

Nhận xét: Vành chính quy khả nghịch là vành chính quy nhưng điều ngược lại không đúng

1.3.5 Vành nửa đơn Vành R được gọi là vành nửa đơn (semisimple ring) nếu

R R với R i là iđêan trái tối tiểu của R

1.3.6 Định lý (Đặc trưng của vành nửa đơn) Cho vành R, các khẳng định sau đây là tương đương:

(ii) R là tổng hữu hạn các iđêan trái tối tiểu

(iii) Mọi iđêan trái là hạng tử trực tiếp của R

(iv) Mọi iđêan trái của R sinh bởi phần tử lũy đẳng.

Linh hóa tử

1.4.1 Định nghĩa Cho vành R và   A R Khi đó: a) l A      r R ra    0 , a A được gọi là linh hóa tử trái (left annihilator) của A trong vành R b) r A      r R ar    0 , a A  được gọi là linh hóa tử phải (right annihilator) của A trong vành R c) Nếu A    a thì chúng ta viết l(a) hoặc r(a) tương ứng

1.4.2 Tính chất Cho vành R và   A,BR Khi đó:

(ii) a) Nếu A R R thì l A   R b) Nếu A R thì R r A   R

Cho vành R và a  R Xét toàn cấu f : RRa xác định bởi: f(x) = xa, xR

Khi đó theo định lý đồng cấu ta có: Ra  R/Kerf

Dẫn đến: Ra  R/l(a) Tuy nhiên R/Ra  l(a) không phải bao giờ cũng đúng Chẳng hạn: Xét vành số nguyên Z và iđêan chính Z 2 của nó Ta có:

Chúng ta nhận thấy Z / 0Z 2 nhưng Z Z / 2Z 2  0 l  2

Trong chương tiếp theo, chúng ta sẽ nghiên cứu lớp vành có tính chất R/Ra ≈ l(a) cùng với lớp vành mở rộng của nó Những lớp vành này được gọi là vành cấu xạ.

(morphic ring) và tựa cấu xạ (quasi – morphic ring).

Vành P – nội xạ

1.5.1 Môđun nội xạ Cho vành R và A, M là các R – môđun phải

Môđun M được gọi là A - nội xạ (A-injective) nếu với mọi môđun X của A, mỗi đồng cấu : X M đều có thể mở rộng tới đồng cấu ψ : AM

Môđun M được gọi là nội xạ (injective) nếu M là A – nội xạ với mọi môđun A

1.5.2 Định lý (Tiêu chuẩn Baer) Môđun M là nội xạ khi và chỉ khi M là R – nội xạ

1.5.3 Môđun P – nội xạ Cho vành R và M là một R – môđun phải

Môđun M được gọi là nội xạ chính phải (viết tắt P-nội xạ phải) nếu mọi R- đồng cấu  : RaMvới bất kỳ a  R đều có thể mở rộng tới đồng cấu

1.5.4 Nhận xét: Từ định nghĩa của môđun P – nội xạ và tiêu chuẩn

Trong nghiên cứu này, chúng tôi nhận thấy rằng mọi môđun nội xạ đều là môđun P – nội xạ Chúng tôi cũng áp dụng định nghĩa tương đương với định nghĩa đã nêu ở trên.

Cho vành R và môđun phải M, môđun M được gọi là nội xạ chính phải (P – nội xạ phải) nếu mọi R – đồng cấu : aRM đều có thể biểu diễn dưới dạng phép nhân với một phần tử m thuộc M (kí hiệu  = m).

1.5.5 Vành P – nội xạ Vành R được gọi là nội xạ chính phải (P – nội xạ phải) nếu R R là môđun P – nội xạ, nghĩa là mọi iđêan chính phải aR đều mở rộng được

1.5.6 Định lý (đặc trưng vành P – nội xạ) Cho vành R Các điều kiện sau là tương đương:

(i) R là vành P – nội xạ phải

(iii) Nếu r(a)  r(b) với a, b  R thì Rb  Ra

(v) Nếu  : aRR trong đó a  R là R – tuyến tính thì (a)  Ra.

Điều kiện chuỗi trên vành

1.6.1 Định nghĩa: Xét tập hợp (X, ) với quan hệ 

* Ta nói X thỏa mãn điều kiện chuỗi tăng nếu với mọi xích (chuỗi)

1 2 n x x  x  đều tồn tại n  * sao cho x n x n  1 

Ta kí hiệu chuỗi tăng là ACC

* Ta nói X thỏa mãn điều kiện chuỗi giảm nếu với mọi xích (chuỗi)

1 2 n x x  x  đều tồn tại n  * sao cho x n x n  1 

Ta kí hiệu chuỗi tăng là DCC

1.6.2 Mệnh đề: Nếu vành R có điều kiện ACC đối với các linh hóa tử trái thì có điều kiện đối với các linh tử hóa phải và ngược lại.

Vành tựa Frobenius (QF – vành)

1.7.1 Định nghĩa: Vành R được gọi là QF vành nếu R là vành Artin phải và trái, tựa nội xạ phải và trái

1.7.2 Định nghĩa: Vành R được gọi là QF - 2 phải (trái) nếu R R

(tương ứng R R) được phân tích thành tổng trực tiếp các iđêan phải (trái) đều.

VÀNH CẤU XẠ VÀ TỰA CẤU XẠ

Vành cấu xạ

Trong bài viết này, chúng tôi nghiên cứu về vành cấu xạ (morphic ring), một lớp vành thỏa mãn tính chất R/Ra  l(a) Chúng tôi sẽ trình bày một số tính chất và điều kiện tương đương của vành cấu xạ, đồng thời khẳng định rằng các lớp vành cổ điển như vành chính quy khả nghịch, vành nửa đơn, vành Bun, và các thể loại khác đều là vành cấu xạ Cuối cùng, chúng tôi cũng sẽ đề cập đến đặc trưng QF – vành thông qua các lớp vành cấu xạ.

2.1.1 ĐỊNH NGHĨA Cho vành R và phần tử a R a) Phần tử a được gọi là phần tử cấu xạ trái (phải) (left (right) morphic element) trong R nếu R/Ra  l(a) (tương ứng R/Ra  r(a)) b) Vành R được gọi là vành cấu xạ trái (phải) (left (right) morphic ring) nếu mọi phần tử của nó đều là phần tử cấu xạ trái (tương ứng phải) c) Vành R được gọi là vành cấu xạ (morphic ring) nếu nó là vành cấu xạ trái và phải

Sau đây là một số tính chất của phần tử cấu xạ và vành cấu xạ

2.1.2 Bổ đề Cho vành R Với mỗi phần tử a trong vành R, các khẳng định sau đây là tương đương: a) a là phần tử cấu xạ trái b) Tồn tại phần tử b  R sao cho Ra = l(b) và l(a) = Rb c) Tồn tại phần tử b  R sao cho Ra = l(b) và l(a)  Rb

(a)  (b): Giả sử a là phần tử cấu xạ trái Khi đó tồn tại đẳng cấu

 σ : R / Ra l a Đặt b = (1 + Ra) Chúng ta sẽ chứng minh Rb = l(a) =

Thật vậy với x  Rb thì x = x 1 b = x 1 (1 + Ra)= (x 1 + Ra)  Im, ngược lại, nếu x  Im thì tồn tại x 1  R sao cho x =(x 1 + Ra) = x 1 (1 +

Ra)= x 1 b  Rb Do đó Rb = l(a)

Với x  Ra thì xb = x(1 + Ra)= (x + Ra)= 0 nên x  l(b), ngược lại nếu x  l(b) thì 0 = xb = x(1 + Ra)= (x + Ra) suy ra x  Ra Do đó Ra = l(b) Vậy chúng ta có (b)

(c)  (a): Ta xét đồng cấu f : RRb xác định bởi f(x) = xb Chúng ta có f là toàn cấu và Kerf = {x  R | xb = 0} = l(b) = Ra Theo định lý đồng cấu

R / Kerf Rbl a Do đó R / Ra  l a   Vậy ta có (a)

Trong luận văn này điều kiện b) thường xuyên được sử dụng 

R i I Rlà tích trực tiếp các vành R i (a i  I) Khi đó:

(a) Phần tử a  a i i I R (với a i  R i ) là phần tử cấu xạ trái trong vành

R khi và chỉ khi a i là phần tử cấu xạ trái trong R i với mọi i  I

R là vành cấu xạ trái nếu và chỉ nếu R i là vành cấu xạ trái với mọi i thuộc I Để chứng minh điều này, giả sử a là phần tử cấu xạ trái trong R, tức là tồn tại

 i i I b b sao cho Ra  l b   và Rb  l a   Ta sẽ chứng minh a i là phần tử cấu xạ trái trong R i với mọi iI, tức là chứng minh: R a i i  l b   i và R b i i  l a   i với mọi i  I

Với x i Ra ( i i I )chúng ta có x    x i i I   Ra  l b   Vì vậy

 i i i I  xb x b nên x i b i = 0, iI Từ đó ta có x i  l(b i ) tức là

R a l b , i  I Ngược lại, nếu x i  l(b i ) (i  I) thì x b i i 0,  i  I Đặt

 i i I x x , ta có xb = (0) Do đó x  l b    Ra , tức là x    x i i I 

Với x i Rb i i  I  ta có x    x i i I   Rb  l a   Vì vậy

 i i i I  xa x a suy ra x a i i   0, i I Từ đó chúng ta có x i  l a   i tức là

R b l a , i I Ngược lại, nếu x i  l a   i i  I  thì x a i i   0, i I Đặt

 i i I x x , chúng ta có xa    0 Do đó x  l a    Rb , tức là

 i i I  i i I i i I  i i i I x x r b rb Vì thế x i rb , i i i  I cho nên

   i i i x R b , i I Từ đó suy ra l a   i  R b , i i i   I Vậy R b i i  l a , i   i   I

Từ đó ta có a i là phần tử cấu xạ trái trong R i với mọi i  I

(): Giả sử a i là phần tử cấu xạ trái trong R i với mọi i  I Khi đó tồn tại phần tử b i R i i  I  sao cho R a i i l b   i và R b i i l a   i với mọi i  I

Chúng ta sẽ chứng minh a    a i i I   R là phần tử cấu xạ trái trong R Đặt

  i i I b b  , chúng ta sẽ chỉ ra rằng Ra  l b   và Rb  l a  

Nếu x    x i i I   Ra thì x i R a i i l b , i   i  I Vì thế x b i i   0, i I cho nên xb    x i i I  b i i I    x b i i i I    0 Từ đó suy ra x  l b  , tức là Ra  l(b) Ngược lại, nếu x    x i i I   l b   thì xb    x i i I  b i i I    x b i i i I    0

Do đó x i b i = 0, tức là x i  l(b i ) = R i a i , i  I Suy ra x  Ra, hay l(b)  Ra

Nếu x  x i i I  Rb thì x i  R i b i = l(a i ),  i  I Vì thế x i a i = 0, i  I cho nên xa    x i i I  a i i I    x a i i i I    0 Từ đó x  l(a), tức là Rb  l(a) Ngược lại, nếu x  x i i I  l a   thì xa    x i i I  a i i I      x a i i  0 Do đó x i a i = 0, tức là x i  l(a i ) = R i b i , i  I Suy ra x  Rb, hay l(a)  Rb Vậy Rb = l(a)

Do đó a là phần tử cấu xạ trái trong R b) Từ a) trực tiếp suy ra b) 

2.1.4 Mệnh đề Cho R là một vành

(a) Phần tử a khả nghịch trong R là phần tử cấu xạ trái và phải

(b) Phần tử lũy đẳng e của R là phần tử cấu xạ trái và phải

Chứng minh a) Chúng ta chứng minh tồn tại phần tử b và c của R sao cho Ra = l(b),

Rb = l(a) và aR = r(c), cR = r(a) Thật vậy, vì a khả nghịch nên Ra = R = l(0) và l(a) = {x  R: xa = 0} = {x  R: xaa -1 = 0} = 0 = R0 Đặt b = 0, chúng ta có Ra = l(b), Rb = l(a) Tương tự ta đặt c = 0, chúng ta có aR = r(c), Rc = r(a)

Vậy a là phần tử cấu xạ trái và phải b) Chúng ta chứng minh rằng Re = l(1 – e), l(e) = R(1 – e) và eR = r(1 – e), r(e) = (1 – e)R

Thật vậy, nếu x  Re thì x = xe Vì thế x(1 – e) = xe (1 – e) = x(e – e 2 ) 0 cho nên x  l( 1– e) Ngược lại, nếu x  l( 1– e) thì x(1 – e) = x – xe = 0

Do đó x = xe  Re Từ đó Re = l( 1– e)

Nếu x  l(e) thì xe = 0 Vì thế x = x – xe = x(1 – e)  R(1 – e) Ngược lại, nếu x  R(1 – e) thì x = x(1 – e) Bởi vì xe = x(1 – e)e = x(e – e 2 ) = 0 nên x

Tương tự chúng ta có eR = r(1 – e), (1 – e)R = r(e) Vậy e là phần tử cấu xạ trái và phải 

Từ mệnh đề 2.1.4 ta có hệ quả sau:

2.1.5 Hệ quả : Cho vành R a) Nếu R là một thể thì R là vành cấu xạ b) Nếu R là vành Bun thì R là vành cấu xạ

2.1.6 Mệnh đề Cho R là một vành và a là phần tử cấu xạ trong vành R, khi đó các mệnh đề sau đây là tương đương: a) l(a) = 0; b) Ra = R; c) a là phần tử khả nghịch trong R

(a)  (b): Vì a là phần tử cấu xạ trái trong vành R nên tồn tại phần tử bR sao cho Ra = l(b) và l(a) = Rb

Nếu l(a) = 0 thì Rb = 0 Từ đó b = 0 và suy ra Ra = l(0) = R

Nếu Ra = R = l(b) thì b = 0 Do đó l(a) = Rb = 0

(b)  (c): Vì Ra = R nên tồn tại phần tử x  R sao cho xa = 1 Khi đó axa = a suy ra (ax – 1)a = 0 Vì thế ax – 1  l(a) = 0 cho nên ax = xa = 1 Vậy a khả nghịch trong R

(c)  (a): Giả sử a khả nghịch trong R, ta chứng minh l(a) = 0

Xét y  l(a) = 0, ta có ya = 0 Do đó y = yaa -1 = 0 Vậy ta có l(a) = 0 

2.1.7 Bổ đề Cho R là vành, nếu a là phần tử cấu xạ trái (hoặc phải) trong vành R và u là phần tử khả nghịch trong R thì au và ua cũng là phần tử cấu xạ trái (tương ứng cấu xạ phải)

Giả sử a thuộc R là phần tử cấu xạ trái, tồn tại b thuộc R sao cho Ra l(b) và Rb = l(a) Kết quả là ab = ba = 0 Chúng ta sẽ chứng minh rằng R(au) = l(u -1 b) và l(au) = R(u -1 b), đồng thời R(ua) = l(bu -1) và l(ua) = R(bu -1).

Thật vậy, nếu x R(au) thì x = x 1 au Vì thế x(u -1 b) = (x 1 au)(u -1 b) = x 1 ab

= 0, cho nên x  l(u -1 b) Do đó R(au)  l(u -1 b) Ngược lại, nếu x  l(u -1 b) thì x(u -1 b) = 0 Từ đó suy ra xu -1  l(b) = Ra Vì xu -1 = x 1 a, suy ra x = x 1 au 

R(au) Vì vậy, l(u -1 b)  R(au) Ta được R(au) = l(u -1 b)

Ta lại xét x  R (u -1 b), ta có x = x 1(u -1 b) Vì thế x(au) = x 1(u -1 b)(au) = 0 cho nên x  l(au), tức là R(u -1 b)  l(au) Ngược lại, nếu x  l(au) thì xau = 0

Từ xa = (xau)u -1 = 0, chúng ta có x  l(a) = Rb Do đó x = x 1 b = (x 1 u)( u -1 b) 

R(u -1 b) Vì vậy, l(au)  R(u -1 b) Ta được l(au) = R(u -1 b) Từ đó suy ra au là phần tử cấu xạ trái

Chứng minh tương tự R(ua) = l(bu -1 ); l(ua) = R(bu -1 ), tức ua là phần tử cấu xạ phải 

2.1.8 Định lý Cho vành R, nếu R là vành chính quy khả nghịch thì R là vành cấu xạ

Xét a thuộc R, ta chứng minh rằng R là phần tử cấu xạ trái Do R là vành chính quy khả nghịch, tồn tại phần tử khả nghịch b sao cho aba = a.

Ta có (ba) 2 = baba = ba Do đó ba là phần tử lũy đẳng của vành R Theo

Mệnh đề 2.1.4 chỉ ra rằng ba là phần tử cấu xạ trái trong vành R Theo Bổ đề 2.1.7, ta có a = b - 1, từ đó khẳng định rằng ba cũng là phần tử cấu xạ trái trong vành R Do đó, R được xác định là vành cấu xạ trái.

Chứng minh tương tự chúng ta có R cũng là vành cấu xạ phải

Từ đó suy ra R là vành cấu xạ 

Chiều ngược lại của định lý trên là sai, như ví dụ về vành 4, một vành cấu xạ, nhưng không phải là vành chính quy khả nghịch Cụ thể, phần tử 2 thuộc vành 4 không phải là phần tử chính quy khả nghịch, vì các phép toán 2^0, 2^1, 2^2 và 2^3 đều cho kết quả bằng 0 Điều kiện để một phần tử cấu xạ trái là phần tử chính quy khả nghịch được nêu trong định lý sau.

2.1.9 Định lý Cho vành R Nếu a  R là phần tử chính quy và cấu xạ trái thì a là phần tử chính quy khả nghịch

Vì a là phần tử cấu xạ trái, tồn tại b ∈ R sao cho Ra = l(b) và l(a) Rb, với ab = ba = 0 Do a là phần tử chính quy, tồn tại x ∈ R sao cho a = axa Đặt u = xax + b, ta có aua = a Mặt khác, (1 – ax)a = 0, nên 1 – ax ∈ l(a) = Rb, dẫn đến 1 – ax = yb với y ∈ R Đặt v = a + y(1 – xa), ta chứng minh uv = vu = 1, cụ thể là vu = a(xax + b) + y(xax + b) – yxa(xax + b) = axax.

Trong bài viết này, chúng ta có công thức: ab + yxax + yb – yxaxax – yxab = ax + yxax + 1 – ax – yxax = 1 Vì vu = 1 nên uvu = u, dẫn đến (1 – uv)u = 0, từ đó suy ra 1 – uv thuộc l(u) Chúng ta sẽ chứng minh rằng l(u) = 0 Nếu r thuộc l(u), thì ru = r(xax + b)r = rxax + rb = 0 Do đó, rua = (rxax).

+ rb)a = rxaxa + rba = rxa = 0, suy ra rb = 0 Từ đó ta có r  l(b) = Ra, tức r

= ta Chúng ta có rxa = taxa = ta = r = 0 Vậy l(u) = 0 Vì 1 – uv  l(u) nên uv

= 1 Vậy uv = vu = 1, tức v là phần tử nghịch đảo của u Do đó a = aua và u khả nghịch Chúng ta có a là phần tử chính quy khả nghịch 

2.1.10 Hệ quả Cho R là vành chính quy Các khẳng định sau đây là tương đương:

(a) R là chính quy khả nghịch;

(c) R là vành cấu xạ trái;

(d) R là vành cấu xạ phải

2.1.11 Mệnh đề Cho R là một vành Nếu R là vành nửa đơn thì R là vành cấu xạ

Xét a  R, ta sẽ chứng minh a là phần tử cấu xạ trái Ta có Ra = l(1 – e) và l(a) = R(1 – e) với e là phần tử lũy đẳng nào đó của vành R

Thật vậy, nếu a = 0 thì R0 = 0 = l(1 – 0) và l(0) = R = R(1 – 0) Chúng ta xét a  0,vì R là vành nửa đơn suy ra Ra là hạng tử trực tiếp của R R Do đó

Ra = Re với e là phần tử lũy đẳng của vành R Từ đó ta có Ra = l(1- e) và l(a)

= R(1 – e) Vậy R là vành cấu xạ trái

Chứng minh tương tự ta cũng có R là vành cấu xạ phải

Vậy R là vành cấu xạ 

2.1.12 Mệnh đề Vành p n là vành cấu xạ với mọi n1 và p là số nguyên tố bất kỳ

Xét a  p i i   1 ,n  1 , ta chứng minh p n p i  l p   n i  và p n p n i   l p   i

Thật vậy, nếu n 1 i i x  p p  x x p Từ đó x p n i  x p p 1 i n i  0, tức là

  n i xl p  Chúng ta suy ra p n p i  l p   n i  Ngược lại, nếu x  l p   n i  thì n i 0 n x p    p Do đó 1 n i i x x p  p p , tức là l p   n i   p n p i

Vậy p n p i  l p   n i  Tương tự ta có p n p n i   l p   i

Tóm lại n p là vành cấu xạ trái Tương tự n p là vành cấu xạ phải 

2.1.13 Hệ quả Vành m là vành cấu xạ với mọi m  , m  2

Với m  2 ta có m p p p 1 α 1 2 α 2 k α k trong đó p i là số nguyên tố và α i là số nguyên dương Theo Mệnh đề 2.1.12, αi p i là vành cấu xạ Theo Mệnh đề

 là vành cấu xạ Mặt khác 1 αi i k m   i  p

Vậy m là vành cấu xạ 

2.1.14 Nhận xét: Vành số nguyên không phải là vành cấu xạ

Thật vậy, với 2 thuộc tập hợp số thực, ta có l(2) = 0 và / 2 2 0 Điều này cho thấy 2 không phải là phần tử cấu xạ trái, do đó không phải là vành cấu xạ trái và cũng không phải là vành cấu xạ.

2.1.15 Nhận xét: Cho một vành R Chúng ta thấy rằng s là phần tử cấu xạ trong eRe (với e là phần tử lũy đẳng trong vành R) thì s là phần tử cấu xạ trong R nhưng điều ngược lại không đúng

Thật vậy, ta xét vành S và phần tử s  S là chính quy nhưng không khả nghịch trong S, khi đó tồn tại phần tử t  S sao cho s = sts Đặt

Trong không gian R, phần tử a được xác định là chính quy khả nghịch với điều kiện uv = vu = 1 Tuy nhiên, khi xét trong eRe, với e ReS và s không chính quy khả nghịch trong S, ta thấy rằng a không phải là phần tử chính quy khả nghịch trong eRe Mặc dù vậy, a vẫn được công nhận là phần tử cấu xạ trong không gian R.

Vành tựa cấu xạ

Trong phần này, chúng tôi giới thiệu các tính chất của phần tử tựa cấu xạ và vành tựa cấu xạ Đồng thời, chúng tôi cũng chỉ ra một số lớp vành cổ điển thuộc về vành tựa cấu xạ, cùng với đặc trưng QF – vành được xác định bởi các lớp vành tựa cấu xạ.

2.2.1 ĐỊNH NGHĨA Cho vành R và một phần tử a  R a) Phần tử a được gọi là phần tử tựa cấu xạ trái (phải) (left(right) quasi

Trong lý thuyết vành, một vành R được gọi là vành tựa cấu xạ trái (phải) nếu tồn tại các phần tử b, c trong R sao cho Ra = l(b) và Rc = l(a) Nếu mọi phần tử trong vành R đều là phần tử tựa cấu xạ trái (tương ứng phải), thì R được gọi là vành tựa cấu xạ trái (phải) Cuối cùng, vành R được xem là vành tựa cấu xạ (quasi-morphic ring) nếu nó đồng thời là vành tựa cấu xạ trái và phải.

Mọi phần tử cấu xạ đều là phần tử tựa cấu xạ, và mọi vành cấu xạ cũng là vành tựa cấu xạ Qua đó, chúng ta nhận thấy rằng vành Bun, thể, vành nửa đơn, vành chính quy khả nghịch cùng với vành n (với n ≥ 2) đều thuộc loại vành tựa cấu xạ.

Chúng ta có một số tính chất của phần tử tựa cấu xạ và vành tựa cấu xạ nhƣ sau

2.2.2 Mệnh đề Nếu R là vành chính quy thì R là vành tựa cấu xạ

Xét a  R chúng ta chứng minh a là phần tử tựa cấu xạ trái Thật vậy, vì R là vành chính quy nên tồn tại b  R sao cho a = aba

Chúng ta sẽ chứng minh Ra = l(1 – ba) và l(a) = R(1 – ab)

Nếu x thuộc Ra, thì x có thể được biểu diễn dưới dạng x = x₁a Khi đó, ta có x(1 - ba) = 0, dẫn đến x thuộc l(1 - ba) Điều này cho thấy Ra là tập con của l(1 - ba) Ngược lại, nếu x thuộc l(1 - ba), thì x(1 - ab) = 0, từ đó suy ra x = xba và x thuộc Ra Do đó, l(1 - ba) cũng thuộc Ra.

Nếu x thuộc R(1 – ba), thì x có thể biểu diễn dưới dạng x = x1(1 – ab) Từ đó, ta có xa = x1(1 – ab)a = x1(a – aba) = 0, dẫn đến x thuộc l(a) Điều này cho thấy R(1 – ab) là tập con của l(a) Ngược lại, nếu x thuộc l(a), thì xa = 0, và do đó xab = 0, từ đó suy ra x = x(1 – ab), tức là x thuộc R(1 – ab) Như vậy, ta có l(a) là tập con của R(1 – ab) Kết luận, l(a) = R(1 – ab) và a là phần tử tựa cấu xạ trái.

Chứng minh tương tự ta cũng có a là phần tử tựa cấu xạ phải

Vậy R là vành tựa cấu xạ 

2.2.3.Nhận xét: a) Điều ngược lại của Định lý 2.2.2 là sai Thật vậy xét vành 4 là vành tựa cấu xạ nhưng không là vành chính quy vì 2 4 không phải là phần tử chính quy trong 4 vì 2 0 22 1 22 2 22 3 20 b) Vành tựa cấu xạ không phải là vành cấu xạ Ví dụ sau chỉ ra rằng vành tựa cấu xạ trong phải là vành cấu xạ

Trong [5, Corollary 2.11], nếu M k là không gian vectơ vô hạn chiều trên trường K, thì vành các tự đồng cấu R = End(M k ) là vành chính quy nhưng không chính quy khả nghịch Theo Mệnh đề 2.2.2, mặc dù vành R là tựa cấu xạ, nhưng R không phải là vành cấu xạ.

Như vậy vành tựa cấu xạ là một mở rộng thực sự của vành cấu xạ

2.2.4 Mệnh đề Cho vành R và a là một phần tử trong R a) Nếu a là phần tử tựa cấu xạ trái và r(a) = 0 thì Ra = R b) Nếu a là phần tử tựa cấu xạ trái và u là phần tử khả nghịch trong R thì au và ua đều là phần tử cấu xạ trái trong R

Chứng minh a) Giả sử a là phần tử cấu xạ trái trong R Khi đó tồn tại b  R sao cho

Ra = l(b) Vì a thuộc l(b) nên ab = 0, suy ra b thuộc r(a) = 0 Do đó, b = 0 hay Ra l(0) = R Giả sử a là phần tử cấu xạ trái, tồn tại các phần tử b, c thuộc R sao cho Ra = l(b) và Rc = l(a) Do a thuộc l(b) và c thuộc l(a) nên ab = ca = 0 Với u là phần tử khả nghịch, ta chứng minh rằng au và ua đều là phần tử tựa cấu xạ trái trong R Ta có R ua = l(b), l(ua) = R cu^(-1), R ua = l(u b^(-1)).

Thật vậy, nếu xx ua 1  R ua   thì xbx ua b 1   0, suy ra x  l b  

Do đó R ua      l b Ngược lại, x  l b    Ra nên xx a 1 x u ua 1  1 R ua  

Do đó l b    R ua   Chúng ta có R ua      l b

Nếu x  l ua   thì x ua    0 , suy ra xu  l a    Rc Vì thế xu = x 1 c cho nên xx cu 1  1 R cu    1 Do đó l ua    R cu    1 Ngược lại,

    1 1 xx cu 1  R cu  thì xua  x cu 1    1 ua  x ca 1  0 , suy ra x  l ua   Từ đó

R cu  l ua Chúng ta có l ua    R cu    1

Tương tự ta chứng minh được R au    l u b    1 và l au    Rc

Vậy ua và au đều là phần tử tựa cấu xạ trong vành R 

2.2.5 Mệnh đề Cho R là vành tựa cấu xạ trái, khi đó các mệnh đề sau là tương đương: a) R là vành hữu hạn trực tiếp b) Với mỗi a  R và r a    0 thì l a    0

Giả sử R là vành hữu hạn trực tiếp và cấu xạ trái, với a ∈ R sao cho ra(a) = 0, chúng ta sẽ chứng minh rằng la(a) = 0 Theo Mệnh đề 2.2.4, Ra = R, tức là tồn tại phần tử a ∈ R sao cho ba = 1 Vì R là vành hữu hạn trực tiếp, nên ab = 1 Do đó, với mọi x ∈ la(a), ta có xa = 0.

    b  a : Giả sử R là vành tựa cấu xạ trái và mỗi phần tử a  R sao cho

Khi \( r(a) = 0 \), ta có \( l(a) = 0 \) Để chứng minh rằng \( R \) là vành hữu hạn trực tiếp, xét hai phần tử \( a, b \in R \) sao cho \( ab = 1 \) Với mọi \( x \in r(a) \), ta có \( ax = 0 \), dẫn đến \( bax = 0 \) Do đó, \( r(a) = 0 \) Vì \( (ab - 1)a = aba - a = 0 \), theo giả thiết \( l(a) \).

= 0 nên ab – 1  l(a) = 0 Từ đó ab = 1 Vậy R là vành hữu hạn trực tiếp 

2.2.6 Mệnh đề Cho R là vành tựa cấu xạ trái Khi đó: a) R là vành P – nội xạ phải b) R là vành tựa cấu xạ phải khi và chỉ khi R là vành P – nội xạ trái Chứng minh a) Giả sự R là vành tựa cấu xạ trái và a  R Chúng ta chứng minh

    l r a Ra Thật vậy, nếu x  Ra thì x = x 1 a Với mọi b  r a   ta có ab

Từ điều kiện x 1 ab = xb = 0, suy ra x thuộc tập l r a Điều này cho thấy Ra là tập con của l r a Ngược lại, nếu x thuộc l r a, thì xr a = 0 Vì R là vành tựa cấu xạ trái, nên tồn tại phần tử b thuộc R sao cho Ra = l b Kết quả là ab = 0, tức là b thuộc r a Do đó, xb = 0.

  xl b Ra tức là l r a      Ra Vậy l r a      Ra hay R là vành P – nội xạ phải

Giả sử R là vành tựa cấu xạ, với mỗi phần tử a thuộc R, luôn tồn tại một phần tử b thuộc R sao cho aR = r(b) Chúng ta sẽ chứng minh rằng r(l(a)) = r(b) = aR Cụ thể, nếu x thuộc aR thì x = ax₁ Đối với mọi a' thuộc l(a), ta có a' a = 0, từ đó suy ra

1 0 a' xa' ax  Do đó x  r l a    , tức là aR  r l a     Ngược lại, với

    xr l a chúng ta có l a x    0 Vì aR  r b   nên ba = 0 tức là b l a   

Do đó bx = 0, suy ra x  r b    aR tức là r l a      aR Vậy r l a      aR hay R là vành P – nội xạ trái

   : Giả sử R là vành P – nội xạ trái Khi đó với mỗi a  R chúng ta có

R là vành tựa cấu xạ trái, do đó tồn tại các phần tử b và c sao cho Ra = lb và la = Rc Vì a thuộc lb và c thuộc la, nên ab = ca = 0 Để chứng minh R là vành tựa cấu xạ phải, chúng ta cần chứng minh a là phần tử tựa cấu xạ phải Chúng ta sẽ chứng minh aR = rc và ra = bR Nếu x thuộc aR, thì x = ax1 Do đó, cx = cax1 = 0, suy ra x thuộc rc, tức là aR ⊆ rc.

Ngược lại, nếu x  r c   thì cx = 0 Mà với mọi a'  l a    Rc thì a' a' c 1 , suy ra a' xa' cx 1 0 Từ đó x  r l a      aR hay r c    aR Vậy

  aRr c Nếu x  bR thì x = bx 1 Do đó ax = abx 1 = 0, suy ra x  r a   tức là

  bRr a Ngược lại, nếu x  r a   thì ax = 0 Do R là vành P – nội xạ trái nên bR  r l b     Với mọi b'  l b    Ra thì b' b' a, 1 suy ra

1 0 b' xb' ax Từ đó x  r l b      bR hay r a    bR Vậy r a    bR

Vậy a là phần tử tựa cấu xạ phải hay R là vành tựa cấu xạ phải 