Linh hóa tử và iđêan suy biến
1.1.1 Linh hóa tử Cho vành R và ∅ 6= A ⊆ R Khi đó:
(i) l(A) = {r ∈ R|ra = 0,∀a ∈ A} được gọi là linh hóa tử trái (left annihilator) của A trong vành R.
(ii) r(A) = {r ∈ R|ar = 0,∀a ∈ A} được gọi là linh hóa tử phải (right annihilator) của A trong vành R.
(iii) Nếu A = {a} thì ta viết linh hóa tử trái (tương ứng, phải) là l(a) (tương ứng, r(a)).
1.1.2 Mệnh đề Cho vành R và ∅ 6= A, B ⊆ R Khi đó:
(ii) Nếu A∆ R R thì l(a)∆R; nếu A∆R R thì r(A)∆R.
1.1.3 Iđêan suy biến Cho một vành R.
(a) Ta gọi iđêan suy biến phải của R là Z r (R) = {x ∈ R|r(x) ⊆ e R} hay tương đương Z r (R) = {x ∈ R/∃K ⊆ e R R , xK = 0}.
(b) Ta gọi iđêan suy biến trái của R là Z l (R) = {x ∈ R|l(x) ⊆ e R} hay tương đương Z l (R) ={x ∈ R/∃K ⊆ e R R, Kx = 0}
Vành chính qui và chính qui khả nghịch
1.2.1 Vành chính qui Cho vành R.
(i) Phần tử a ∈ R được gọi là chính qui (regular element) nếu tồn tạib ∈ R sao cho a = aba.
(ii) Vành R được gọi là chính qui (regular ring) nếu mọi phần tử của R đều là phần tử chính qui.
1.2.2 Vành chính qui khả nghịch Cho vành R.
(i) Phần tử a ∈ R được gọi là chính qui khả nghịch (unit regular element) nếu tồn tại phần tử khả nghịch b ∈ R sao cho a = aba.
(ii) Vành R được gọi là chính qui khả nghịch (unit regular ring) nếu mọi phần tử của R đều là chính qui khả nghịch.
1.2.3 Định lý Cho vành R Các khẳng định sau là tương đương:
(ii) Mọi iđêan chính phải sinh bởi phần tử lũy đẳng;
(iii) Mọi iđêan chính phải là hạng tử trực tiếp của R;
(iv) Mọi iđêan phải hữu hạn sinh là hạng tử trực tiếp của R.
Vành và môđun cấu xạ
1.3.1 Vành cấu xạ Cho vành R và a là một phần tử của R.
(a) Phần tử a được gọi là cấu xạ trái (phải) (left (right) morphic) nếu R/Ra ∼= l(a) (tương ứng R/aR ∼= r(a)).
(b) Vành R được gọi là cấu xạ trái (phải) (left (right) morphic ring) nếu mọi phần tử của nó đều là phần tử cấu xạ trái (tương ứng phải).
(c) Vành R được gọi là cấu xạ (morphic ring) nếu nó là vành cấu xạ trái và phải.
1.3.2 Môđun cấu xạ (a) Một tự đồng cấu α của môđun M được gọi là tự đồng cấu cấu xạ (morphic endomorphism) nếu M/Im(α) ∼= Ker(α).
(b)R–môđun M được gọi là môđun cấu xạ (morphic module) nếu mọi tự đồng cấu của nó là cấu xạ.
1.3.3 Bổ đề Cho α là tự đồng cấu của môđun M Các điều kiện sau là tương đương:
(i) α là cấu xạ: M/Im(α) ∼= Ker(α);
(ii) Tồn tại β ∈ End(M) sao cho Im(β) = Ker(α) và Ker(β) = Im(α); (iii) Tồn tại β ∈ End(M) sao cho Im(β) ∼= Ker(α) và Ker(β) = Im(α).
1.3.4 Định lý Các điều kiện sau là tương đương đối với môđun M:
Vành và môđun P − nội xạ
Môđun nội xạ, hay còn gọi là injective module, là một khái niệm quan trọng trong lý thuyết môđun Một R-môđun M được xem là môđun nội xạ nếu với mọi đơn cấu f: A → B và R-đồng cấu α: A → M, luôn tồn tại một R-đồng cấu g: B → M sao cho α = g ◦ f Trong trường hợp này, g được gọi là mở rộng của α.
1.4.2 Môđun P−nội xạ Cho vành R và M là một R−môđun phải Môđun
M được gọi là nội xạ chính phải (hay P−nội xạ phải) nếu mọi đồng cấu R ϕ : aR → M với bất kỳ a ∈ R đều có thể mở rộng thành đồng cấu ψ : R → M Điều này tương đương với việc mọi đồng cấu R ϕ : aR → M có thể được biểu diễn như phép nhân với một phần tử m nào đó trong M (ϕ = m., m ∈ M).
1.4.3 Nhận xét Mọi môđun nội xạ là P−nội xạ.
A ring R is classified as a right principally injective ring, or P-injectively right, if every ideal of the form aR can be extended, indicating that R serves as a P-injective module.
1.4.5 Định lý (Đặc trưng vành P−nội xạ) Cho vành R Các điều kiện sau là tương đương:
(i) R là vành P−nội xạ phải;
(ii) lr(a) =Ra, với mọi a ∈ R;
(iii) Nếu r(a) ⊆r(b) với a, b ∈ R thì Rb ⊆ Ra;
(iv) l(bR∩r(a)) = l(b) +Ra, với mọi a, b ∈ R;
(v) Nếu ϕ: aR → R trong đó a ∈ R là R−đồng cấu thì ϕ(a) ∈ Ra.
Giả sử R là vành P−nội xạ, với mọi y ∈ r(a), ta có ay = 0 Với mọi x ∈ Ra, x có thể được biểu diễn dưới dạng x = ra, r ∈ R, dẫn đến xy = ray = 0, từ đó suy ra x ∈ lr(a), chứng tỏ Ra ⊆ lr(a) Ngược lại, nếu b ∈ lr(a) thì với mọi x ∈ r(a), bx = 0, suy ra x ∈ r(b) Ánh xạ ϕ : aR → R được xác định bởi ϕ(ar) = br là một đồng cấu Vì R là vành P−nội xạ, tồn tại c ∈ R sao cho ϕ = c, từ đó b = ϕ(a) = c.a ∈ Ra, suy ra lr(a) ⊆ Ra Kết luận, lr(a) = Ra.
(ii) ⇒(iii) : Giả sử lr(a) =Ra Khi đó, nếu r(a) ⊆ r(b) thì br(a) = 0, suy ra b ∈ lr(a) =Ra Vậy, Rb ⊆Ra.
Giả sử có (iii), với r ∈ r(ab) thì abr = 0, dẫn đến br ∈ r(a) và br ∈ bR ∩ r(a) Nếu x ∈ l(bR ∩ r(a)), ta có xbr = 0, suy ra r ∈ r(xb), từ đó r(ab) ⊆ r(xb) Từ (iii), suy ra Rxb ⊆ Rab, do đó xb = tab với t ∈ R Điều này dẫn đến (x−ta)b = 0, kéo theo y := x−ta ∈ l(b) Như vậy, x = ta + y ∈ Ra + l(b), hoặc l(br ∩ r(a)) ⊆ Ra + l(b) Ngược lại, với x ∈ Ra + l(b), ta có x = x1 + x2a, trong đó x1 ∈ l(b) và x2 ∈ R Với mọi c ∈ bR ∩ r(a), ta có c = bc1 và ac = 0.
Ta có xc = (x1 + x2a)c = x1bc1 + x2ac = 0, do đó x ∈ l(bR ∩ r(a)), hay
Ra+l(b) ⊆ l(bR∩ r(a)) Vậy Ra+ l(b) = l(bR∩r(a)).
Giả sử có (iv) và ϕ : aR → R là ánh xạ R− tuyến tính, với ϕ(a) = d Nếu x ∈ r(a), ta có ax = 0 và do đó ϕ(ax) = xϕ(a) = xd = 0, dẫn đến r(a) ⊆ r(d) Điều này cho thấy lr(d) ⊆ lr(a), vì vậy d ∈ lr(a) Hơn nữa, với b= 1, từ (iv) ta có Ra = lr(a), do đó d ∈ Ra Kết luận, ϕ(a) ∈ Ra.
(v) ⇒ (i) : Giả sử có (v) Khi đó, tồn tại c ∈ R để ϕ(a) ∀a ∈ R Vậy, ϕ= c., suy ra R là vành P−nội xạ.
Môđun con cốt yếu
1.5.1 Định nghĩa Cho M là R−môđun, A là môđun con của M A được gọi là môđun con cốt yếu (essential module) trong M nếu mọi 0 6= X ⊆ M thì X ∩A 6= 0.
1.5.2 Mệnh đề Cho M là R−môđun.
(i) Cho A ⊆ M Khi đó, A ⊆ e M khi và chỉ khi mọi 0 6= x ∈ M thì
(ii) Cho A ⊆ B ⊆ C ⊆ M Khi đó A ⊆ e C khi và chỉ khi A ⊆ e B và
B i ; (iv) Cho f : M → N là đồng cấu R−môđun và B ⊆ e N Khi đó f −1 (B) ⊆ e
(vi) Cho A i ⊆ M i ⊆ M, i ∈ I bất kì Khi đó, nếu tồn tại ⊕ i∈IA i thì tồn tại
⊕ i∈IMi và ⊕ i∈IAi ⊆ e ⊕ i∈IMi; (vii) Cho A ⊆ M Khi đó, tồn tại B ⊆ M sao cho tồn tại A ⊕ B và
Môđun xạ ảnh
Môđun A−xạ ảnh (A−projective module) là một khái niệm quan trọng trong lý thuyết môđun, được định nghĩa cho các R−môđun A và N Một môđun N được coi là A−xạ ảnh nếu với mọi môđun thương A/X và mọi đồng cấu f: N → A/X, luôn tồn tại một đồng cấu h: N → A sao cho f = ϕ◦h, trong đó ϕ là một toàn cấu thỏa mãn điều kiện ϕ(a) = a + X cho mọi a ∈ R.
1.6.2 Định nghĩa Đơn cấu f : N → A được gọi là chẻ ra nếu Im(f) ⊆ ⊕ A. Toàn cấu ϕ : B → M được gọi là chẻ ra nếu Ker(ϕ) ⊆ ⊕ B.
Mệnh đề đơn cấu f: N → A được chẻ ra khi và chỉ khi tồn tại đồng cấu g: A → N sao cho g ◦ f = 1_N Tương tự, toàn cấu ϕ: B → M chẻ ra khi và chỉ khi có đồng cấu α: B → M sao cho ϕ ◦ α = 1_M.
1.6.4 Bổ đề Cho N là môđun A−xạ ảnh Khi đó, mỗi toàn cấu f : A→ N đều chẻ ra.
1.6.5 Môđun xạ ảnh Cho P, M là các R−môđun.
(i) P được gọi là môđun xạ ảnh (projective module) nếu P là A−xạ ảnh với mọi môđun A trên vành R;
(ii) M được gọi là môđun tựa xạ ảnh (quasi-projective module) nếu M là
1.6.6 Định lý Mọi môđun tự do là xạ ảnh.
1.6.7 Định lý R−môđun M là môđun xạ ảnh khi và chỉ khi M là hạng tử trực tiếp của một môđun tự do nào đó.
1.6.8 Mệnh đề Cho A = ⊕ i∈IA i , với A i là các R−môđun và tập I tùy ý Khi đó, A là môđun xạ ảnh khi và chỉ khi Ai là xạ ảnh với mọi i ∈ I.
1.6.9 Vành P P−phải Một vành được gọi là vành PP– phải nếu mọi iđêan chính phải là xạ ảnh.
Môđun đơn và môđun nửa đơn
1.7.1 Môđun đơn Cho M là một R–môđun khác không M được gọi là môđun đơn nếu nó chỉ có hai môđun con là 0 và chính nó.
(a) Định nghĩa R−môđun M được gọi là môđun nửa đơn nếu M là tổng của các môđun con đơn của nó.
(b) Định lí Đối với R–môđun M, các mệnh đề sau là tương đương: (i) M là môđun nửa đơn;
(ii) M là tổng trực tiếp của các môđun con;
(iii) Mỗi môđun con của M là hạng tử trực tiếp của M.
(i) Mọi môđun con của môđun nửa đơn là môđun nửa đơn;
(ii) Môđun đẳng cấu với môđun nửa đơn là môđun nửa đơn;
(iii) Tổng của các môđun nửa đơn là môđun nửa đơn.
Các điều kiện C i của môđun
Cho M là R−môđun.Ta nói:
(1) M thỏa mãn điều kiện C1 nếu mọi môđun con của M là cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của M;
(2) M thỏa mãn điều kiện C2 nếu mọi môđun con đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của M cũng là hạng tử trực tiếp của M;
(3) M thỏa mãn điều kiện C3 nếu với N, K là các hạng tử trực tiếp của M và N ∩K = 0 thì N ⊕K ⊆ ⊕ M.
Một vành R được gọi là vành C1 phải (tương ứng, vành C2 phải, C3 phải) nếu R−môđun phải R R thỏa điều kiện C 1 (tương ứng, C 2 , C 3 ).
Khi xem vành R là môđun trên chính nó, vành R được gọi là vành C 2 phải nếu mọi iđêan phải của R đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của R, đồng thời hạng tử trực tiếp của R cũng là hạng tử trực tiếp của R.
Một số khái niệm và tính chất khác
1.9.1 Phần tử lũy đẳng Cho vành R và các phần tử e, f trong R Phần tử e được gọi là lũy đẳng (idempotent) trong R nếu e 2 = e.
Hai phần tử e, f được gọi là lũy đẳng trực giao (orthogonal idempotents) nếu e 2 = e, f 2 = f, ef = f e = 0.
1.9.2 Định lý phân tích vành tổng quát Cho R là vành có đơn vị 1. a) Nếu có sự phân tích bên trái R R = ⊕
(ii) Mỗi i ∈ I 0 , A i = Re i , trong đó (e i ), i ∈ {1,2, , n} là họ lũy đẳng trực giao và 1 = e 1 + e 2 + +e n
(b) Ngược lại, nếu R có họ lũy đẳng {e 1 , e 2 , , e k } trực giao và
Song môđun trên các vành R và S, ký hiệu là RMS, là tập hợp M mà trong đó M là R−môđun trái và S−môđun phải Điều kiện cần thiết cho M là phải thỏa mãn phép nhân với vô hướng (rm)s = r(ms) với mọi r thuộc R, m thuộc M và s thuộc S.
VÀNH VÀ MÔĐUN TỰA CẤU XẠ
Trong nghiên cứu về vành R, một vành được gọi là cấu xạ trái (left morphic ring) nếu tồn tại đồng cấu R/Ra ∼= l(a) cho mọi phần tử a ∈ R Điều này tương đương với việc với mỗi a ∈ R, tồn tại một phần tử b ∈ R sao cho Ra = l(b) và Rb = l(a) Hơn nữa, V Camillo và W K Nicholson đã giới thiệu lớp vành tựa cấu xạ trong tài liệu [5] và đã đạt được nhiều kết quả thú vị Trong mục này, chúng tôi sẽ trình bày chi tiết chứng minh một số kết quả quan trọng liên quan đến chủ đề này.
Mối liên hệ giữa vành tựa cấu xạ và các lớp vành khác như vành cấu xạ, vành P-nội xạ, và vành C2 phải được làm rõ Đồng thời, cần chỉ ra các điều kiện để một vành tựa cấu xạ có thể trở thành vành chính quy.
2.1.1 Định nghĩa Cho vành R và a là một phần tử của R.
(i) Phần tử a được gọi là tựa cấu xạ trái (t.ư, phải) (left (t.ư, right) quasi- morphic element) trong R nếu tồn tại các phần tử b, c thuộc R sao cho
Vành R được gọi là vành tựa cấu xạ trái (t.ư, phải) nếu mọi phần tử của nó đều là phần tử tựa cấu xạ trái (t.ư phải) Đồng thời, vành R cũng được xem là vành tựa cấu xạ (quasi morphic ring) khi nó thỏa mãn cả hai điều kiện là vành tựa cấu xạ trái và phải.
Tất cả các phần tử cấu xạ đều là phần tử tựa cấu xạ, và mọi vành cấu xạ cũng đều là vành tựa cấu xạ Do đó, các vành như Bun, thể, vành nửa đơn, vành chính qui khả nghịch, cùng vành Z n (với n≥ 2) đều thuộc loại vành tựa cấu xạ.
2.1.3 Mệnh đề ([5], Lemma 1) Cho vành R và a ∈ R Khi đó:
(i) Nếu a là phần tử tựa cấu xạ trái và r(a) = 0 thì Ra = R;
(ii) Nếu a là phần tử tựa cấu xạ trái và u là phần tử khả nghịch trong R thì au và ua đều là phần tử tựa cấu xạ trái trong R.
Chứng minh (i) Giả sử a là phần tử tựa cấu xạ trái trong R và r(a) = 0. Khi đó, tồn tại b ∈ R sao cho Ra = l(b) Do a ∈ l(b) nên ab = 0, suy ra b∈ r(a) = 0 Do vậy, b = 0 hay Ra = l(0) = R.
Giả sử a là phần tử tựa cấu xạ trái, tồn tại các phần tử b, c ∈ R sao cho Ra = l(b) và Rc = l(a) Vì a ∈ l(b) và c ∈ l(a) nên ab = ca = 0 Với u là phần tử khả nghịch, ta chứng minh rằng au và ua đều là phần tử tựa cấu xạ trái trong R.
Đầu tiên, ta chứng minh rằng R(ua) = l(b) Với x = x₁ua ∈ R(ua), ta có xb = x₁uab = 0, từ đó suy ra x ∈ l(b), chứng tỏ R(ua) ⊆ l(b) Ngược lại, với y ∈ l(b) và do l(b) = Ra, tồn tại y₁ ∈ R sao cho y = y₁a = y₁u⁻¹ua ∈ R(ua), từ đó suy ra l(b) ⊆ R(ua) Kết luận, ta có R(ua) = l(b).
Chúng ta chứng minh rằng l(ua) = R(cu −1 ) Với x ∈ l(ua), ta có xua = 0, dẫn đến xu ∈ l(a) Vì l(a) = Rc, tồn tại x 1 ∈ R sao cho xu = x 1 c Do u khả nghịch, suy ra x = x 1 cu −1 ∈ R(cu −1 ), từ đó l(ua) ⊆ R(cu −1 ) Ngược lại, với y = y 1 cu −1 ∈ R(cu −1 ), ta có yua = y 1 cu −1 ua = y 1 ca = 0, suy ra x ∈ l(ua), dẫn đến R(cu −1 ) ⊆ l(ua) Từ đây, ta kết luận l(ua) = R(cu −1 ), và kết hợp với R(ua) = l(b) cho thấy ua là phần tử tựa cấu xạ trái.
Tương tự, ta cũng chứng minh được R(au) = l(u −1 b) và l(au = Rc) Vậy, ua và au là các phần tử cấu xạ trái trong R.
Theo Định lý 1.4.5, vành R được coi là P−nội xạ phải (t.ứ, trái) khi và chỉ khi lr(a) = Ra (t.ư, rl(a) = aR) cho mọi a ∈ R Dựa vào tính chất này, chúng ta sẽ khảo sát mối liên hệ giữa vành tựa cấu xạ và một số lớp vành quen thuộc khác như vành chính quy và vành P−nội xạ.
2.1.4 Bổ đề ([5], Lemma 3) Cho R là vành tựa cấu xạ trái Khi đó:
(ii) R là tựa cấu xạ phải khi và chỉ khi R là P−nội xạ trái.
Giả sử R là vành tựa cấu xạ trái và a ∈ R, ta chứng minh rằng lr(a) = Ra Đối với x ∈ Ra, x có dạng x = x1a với x1 ∈ R, và với mọi b ∈ r(a), ta có ab = 0 dẫn đến xb = x1ab = 0, từ đó suy ra x ∈ l(b) Điều này chứng tỏ rằng Ra ⊆ lr(a) Ngược lại, nếu x ∈ lr(a), thì xr(a) = 0.
R là vành tựa cấu xạ với b ∈ R, từ đó suy ra Ra = l(b) và ab = 0, nghĩa là b ∈ r(a) Điều này dẫn đến xb = 0 và x ∈ l(b) = Ra Do đó, lr(a) ⊆ Ra Kết luận, lr(a) = Ra, chứng tỏ R là vành P−nội xạ.
Giả sử R là vành tựa cấu xạ phải Với mỗi a ∈ R, tồn tại b ∈ R sao cho aR = r(b) Ta chứng minh rằng rl(a) = r(b) = aR Nếu x ∈ aR, thì x có thể biểu diễn dưới dạng x = ax₁ với x₁ ∈ R Đối với mọi y ∈ l(a), ta có ya = 0, dẫn đến yx = yax₁ = 0, do đó x ∈ r(y) với mọi y ∈ l(a), nghĩa là x ∈ rl(a) Ngược lại, nếu x ∈ rl(a), thì l(a)x = 0, và vì aR = r(b) nên ba = 0, tức b ∈ l(a) Do đó, bx = 0, suy ra x ∈ r(b) = aR Từ đó, ta có rl(a) = aR, chứng minh rằng R là vành P−nội xạ trái.
Giả sử R là vành P−nội xạ trái, với mọi a ∈ R, ta có rl(a) = aR Do R là vành tựa cấu xạ trái, tồn tại b, c ∈ R sao cho Ra = l(b) và Rc = l(a) Từ a ∈ l(b) và c ∈ l(a), suy ra ab = ca = 0 Do đó, ta chứng minh được rằng aR = r(c) và bR = r(a).
Với x ∈ aR, ta có thể biểu diễn x = ax₁ với x₁ ∈ R, dẫn đến cx cax₁ = 0, từ đó suy ra x ∈ r(c) và aR ⊆ r(c) Ngược lại, nếu x ∈ r(c) thì cx = 0 Đối với mọi y ∈ l(a) = Rc, tồn tại y₁ ∈ R sao cho y = y₁c, do đó yx = y₁cx = 0, suy ra x ∈ rl(a) = aR, tức là r(c)a ⊆ aR, và kết luận aR = r(c) Đối với x ∈ bR, ta có x = bx₁, dẫn đến ax = abx₁ = 0, từ đó x ∈ r(a) và bR ⊆ r(a) Ngược lại, nếu x ∈ r(a) thì ax = 0 Vì R là vành P−nội xạ trái nên bR = rl(b) Với mỗi y ∈ l(b) = Ra, ta có thể biểu diễn y = y₁ với y₁ ∈ R, dẫn đến yx = y₁ax = 0, suy ra x ∈ rl(b) và r(a) ⊆ bR, kết luận r(a) = bR.
Từ các chứng minh trên suy ra a là tựa cấu xạ phải Vậy, R là vành tựa cấu xạ phải.
Từ định nghĩa, mọi vành cấu xạ đều là vành tựa cấu xạ, nhưng chiều ngược lại không đúng Hệ quả tiếp theo sẽ chỉ ra điều kiện cần thiết để một vành tựa cấu xạ trở thành cấu xạ.
2.1.5 Hệ quả ([5], Corollary 4) Vành tựa cấu xạ giao hoán là vành cấu xạ.
Mở rộng tầm thường của vành tựa cấu xạ
Cho R là một vành, M là một song môđun trên R Đặt
Ta gọi S = R ∝M là mở rộng tầm thường của R và M.
2.2.1 Mệnh đề R ∝M cùng với phép cộng và phép nhân được xác định bởi
(a, x) + (b, y) = (a+ b, x+y) (a, x)(b, y) = (ab, ay+xb) lập thành một vành có đơn vị (1,0).
Chứng minh Ta dễ dàng chứng minh R ∝ M là nhóm aben với phép cộng. Với (a, x),(b, y),(c, z) bất kì thuộc R ∝ M, ta có
• [(a, x)(b, y)](c, z) = (ab, ay +xb)(c, z) = (abc, abz +ayc+ xbc)
• (a, x)[(b, y) + (c, z)] = (a, x)(b+c, y+ z) = (ab+ac, ay+ az+xb+xc)
• (a, x)(b, y) + (a, x)(c, z) = (ab, ay +xb) + (ac, az + xc)
= (ab+ac, ay +az+ xb+xc).
• [(a, x) + (b, y)](c, z) = (a+b, x+y)(c, z) = (ac+bc, az+bz+xc+yc) và (a, x)(c, z)+(b, y)(c, z) = (ac, az+xc)+(bc, bz+yc) = (ac+bc, az+bz+xc+yc). Suy ra [(a, x) + (b, y)](c, z) = (a, x)(c, z) + (b, y)(c, z).
Vậy, R ∝ M là vành với đơn vị là (1,0).
Trong nghiên cứu của [4] và [6], các tác giả đã phân tích tính chất của song môđun M trên vành R, đặc biệt khi mở rộng tầm thường R ∝ M trở thành vành cấu xạ Tiếp nối các hướng nghiên cứu này, chúng tôi tiến hành khảo sát tính tựa cấu xạ trái của các phần tử có dạng (a,0) và (0,a) trong mở rộng tầm thường R ∝ M và R ∝ R.
Định lý 2.2.2 khẳng định rằng, với R là vành và M là song môđun trên R, nếu S = R ∝ M và (0, a) là phần tử tựa cấu xạ trái trong S, thì tồn tại các phần tử b, c thuộc R sao cho Ra = l(b) và l(a) = Rc.
Chứng minh Giả sử (0, a) là tựa cấu xạ trái trong S Khi đó, tồn tại (b, x) và (c, y) thuộc S để S(0, a) = l(b, x) và l(0, a) = S(c, y) Ta chứng minh
Với mọi t = ra ∈ Ra, ta có (r,0)(0, a) = (0, ra) ∈ S(0, a) = l(b, x), suy ra (0, ra)(b, x) = (0, rab) = (0,0) Do đó, rab = 0, dẫn đến t = ra ∈ l(b), từ đó suy ra Ra ⊆ l(b) Ngược lại, với t ∈ l(b), từ (0, t)(b, x) = (0,0) suy ra (0, t) ∈ l(b, x) = S(0, a) Tồn tại (p, q) ∈ S để (0, t) = (p, q)(0, a) = (0, pa), từ đó suy ra t = pa ∈ Ra, do đó l(b) ∈ Ra Kết luận, Ra = l(b).
Trong bài viết này, chúng ta chứng minh rằng nếu (c, y) = (1,0) và (c, y) thuộc S(c, y) = l(0, a), thì c thuộc l(a), dẫn đến Rc ⊆ l(a) Ngược lại, với mọi t thuộc l(a), ta có ta = 0, và từ đó suy ra (t,0) thuộc l(0, a) = S(c, y) Điều này cho thấy tồn tại (p, q) thuộc S sao cho (0, t) = (p, q)(c, y), từ đó suy ra t = pc thuộc Rc Kết luận là l(a) thuộc Rc, hay Rc = l(a).
Nếu R là vành và R ∝ R là vành tựa cấu xạ trái, thì R cũng sẽ là vành tựa cấu xạ trái Đặc biệt, trong trường hợp vành R giao hoán, R sẽ trở thành vành cấu xạ trái.
Chứng minh rằng với bất kỳ phần tử nào a thuộc R, ta có (0, a) ∈ R ∝ R, do đó (0, a) là phần tử tựa cấu xạ trái Theo Định lý 2.2.2, suy ra a cũng là phần tử tựa cấu xạ trái Kết luận, R là vành tựa cấu xạ trái Đặc biệt, nếu vành R là giao hoán, thì theo Hệ quả 2.1.5, R sẽ là vành cấu xạ trái.
2.2.4 Nhận xét ([6], Proposition 20) Chiều ngược lại của Hệ quả 2.2.3 là không đúng.
Chứng minh rằng S = Z4 ∝ Z4, trong đó 2 ∈ Z4 là phần tử tựa cấu xạ trái, nhưng (0,2) không phải là tựa cấu xạ trái trong S Giả sử (0,2) là tựa cấu xạ trái, tồn tại (a, b) ∈ S sao cho l(0,2) = S(a, b) Với (x, y) ∈ l(0,2), ta có (x, y)(0,2) = (0,2x) = (0,0), dẫn đến x ∈ 2Z4 và y ∈ Z4 Do đó, l(0,2) = 2Z4 ∝ Z4, suy ra a = 2 Từ (0,1) ∈ l(0,2) = S(a, b), tồn tại (c, d) ∈ S sao cho (0,1) = (c, d)(2, b) = (2c, cb + 2d), từ đó suy ra 2c = 0.
1 = cb+ 2d, suy ra 2 = 2(cb+ 2d) = 0 Điều này là vô lí, vậy (0,2) không là tựa cấu xạ trái trong S, nhưng 2 là tựa cấu xạ trái trong Z 4
Ví dụ trên cho thấy có một vành tựa cấu xạ mà mở rộng tầm thường của nó không phải là tựa cấu xạ Khi bổ sung một số điều kiện, chúng ta có thể đạt được kết quả về tính tựa cấu xạ trái của các phần tử trong mở rộng S = R ∝ M.
2.2.5 Mệnh đề Cho R là vành, M là song môđun trên R, a ∈ M Đặt
S = R ∝ M Giả sử tồn tại b, c ∈ R và x, y ∈ M sao cho:
Khi đó (0, a) ∈ S là phần tử tựa cấu xạ trái.
Do b ∈ l(a) nên (b, x)(0, a) = (0,0), suy ra S(b, x) ⊆ l(0, a) Ngược lại, với mọi (p, q) ∈ l(0, a), ta có (p, q)(0, a) = (0, pa) = (0,0), dẫn đến p ∈ l(a) = Rb, tức là tồn tại r ∈ R để p = rb Từ M = l(b)x + M b, với q − rx ∈ M, suy ra tồn tại t ∈ l(b), z ∈ M sao cho q − rx = tx + zb Từ (t+r, z)(b, x) = (tb+rb, tx+rx+zb) = (rb, q) = (p, q), suy ra (p, q) ∈ S(b, x) Do đó, l(0, a) = S(b, x).
Rõ ràng, S(0, a) nằm trong l(c, y) Ngược lại, với bất kỳ (p, q) nào thuộc l(c, y), ta có (p, q)(c, y) = (pc, py + qc) = (0,0), từ đó suy ra pc = 0 và py + qc = 0 Điều này dẫn đến p thuộc l(c) và py = -qc thuộc l(c)y ∩ M c = 0 Do đó, py = -qc = 0, p thuộc l(c) ∩ l(y) = 0 và q thuộc l(c) = Ra, cho thấy tồn tại r ∈ R sao cho q = ra Cuối cùng, ta có (p, q) = (0, ra) = (r,0)(0, a) thuộc S(0, a), từ đó kết luận S(0, a) = l(c, y).
Từ (1) và (2) suy ra (0, a) là phần tử tựa cấu xạ trái.
2.2.6 Nhận xét Xét vành R = Z 2 và M = Z 2 là song môđun trên vành R. Khi đó S = R ∝ M là mở rộng tầm thường thỏa mãn các điều kiện trong Mệnh đề 2.2.5 Thật vậy:
• Với a = 0, chọn b = c = 1, x = y = 0 Khi đó b, c, x, y thỏa mãn các điều kiện của Mệnh đề 2.2.5 nên (0,0) là phần tử tựa cấu xạ trái trong S.
• Với a = 1, chọn b = c = 0, x = y = 1 Khi đó b, c, x, y thỏa mãn các điều kiện của Mệnh đề 2.2.5 nên (0,1) là phần tử tựa cấu xạ trái trong S.
Tiếp theo, ta nghiên cứu tính tựa cấu xạ của các phần tử có dạng (a,0) trong R ∝ R.
2.2.7 Định lý Cho R là một vành, S = R ∝ R Khi đó:
(i) Nếu a là phần tử tựa cấu xạ trái trong R thì (a,0) cũng là phần tử tựa cấu xạ trái trong R ∝ R;
(ii) Với (a,0) ∈ S, nếu tồn tại b, c, r ∈ R để l(a,0) = S(b, c) và S(a,0) l(rb, r 2 b) thì a phần tử là tựa cấu xạ trái trong R.
(iii)Với mọi a ∈ R, (a,0) ∈ S là phần tử tựa cấu xạ trái khi và chỉ khi (a, a) ∈ S là phần tử tựa cấu xạ trái.
Chứng minh (i) Do a ∈ R là phần tử tựa cấu xạ trái nên tồn tại b, c ∈ R để
Ra = l(b) và l(a) = Rc Ta chứng minh S(a,0) = l(c,0) và l(a,0) = S(c,0).Thật vậy, do Ra = l(b) nên ab = 0, từ đó có: S(a,0)(b,0) = S(ab,0) = (0,0),suy ra S(a,0) ⊆ l(b,0).
Ngược lại, với mọi (x, y) ∈ l(b,0), ta có (x, y)(b,0) = (xb, yb) = (0,0), từ đó suy ra x ∈ l(b) = Ra và y ∈ l(b) = Ra, cho phép biểu diễn (x, y) dưới dạng (ka, ta), với k, t ∈ R Điều này dẫn đến (x, y) = (ka, ta) = (k, t)(0, a) ∈ S(a,0), chứng minh rằng l(b,0) ⊆ S(a,0) Tiếp theo, từ l(a) = Rc suy ra ca = 0, dẫn đến (c,0)(a,0) = (0,0), do đó S(c,0) ⊆ l(a,0) Ngược lại, với mọi (x, y) ∈ l(a,0), ta có (x, y)(a,0) = (xa, ya) = (0,0), từ đó suy ra x, y ∈ l(a) = Rc, và tương tự như chứng minh trước, ta có (x, y) ∈ S(c,0) Kết luận, l(a,0) = S(c,0), cho thấy (a,0) là phần tử tựa cấu xạ trái.
Từ l(a,0) = S(b,c) suy ra (b,c)(a,0) = (ba,ca) = (0,0), dẫn đến ba = 0, do đó Rb ⊆ l(a) Với t ∈ l(a), ta có ta = 0, nên (t,0)(a,0) = (0,0), từ đó (t,0) ∈ l(a,0) = R(b,c), dẫn đến t ∈ Rb Vậy, Rb = l(a) Tương tự, từ S(a,0) = l(rb, r²b) suy ra arb = 0, kéo theo Ra ⊆ l(rb).
Ta có mối quan hệ (rb, r²b) = (1, r)(rb, 0), trong đó (1, r) là phần tử khả nghịch trong S với nghịch đảo là (1, −r) Theo Mệnh đề 2.1.3, ta có (a, 0)(1, r) là tựa cấu xạ trái với l((1, −r)(rb, r²b)) = l(rb, 0) = S(a, 0)(1, r) = S(a, ar) Điều này dẫn đến kết luận rằng nếu y ∈ l(rb), thì yrb = 0, từ đó suy ra (y, 0)(rb, 0) = (0, 0), tức là (y, 0) ∈ l(rb, 0) = S(a, ar) Do đó, ta có y ∈ Ra, và kết luận rằng Ra = l(rb).
Từ (1) và (2) suy ra a là phần tử tựa cấu xạ trái.
(iii) Ta có: (1,−1)(a, a) = (a,0) và (1,−1) là phần tử khả nghịch trong
S với nghịch đảo là (1,1) Theo Mệnh đề 2.1.3, ta được điều phải chứng minh.
Môđun tựa cấu xạ
Trong nghiên cứu của W.K Nicholson và E.Sánchez Campos, một môđun M được định nghĩa là cấu xạ (morphic module) nếu tồn tại sự đồng isomorphism giữa M/Im(α) và Ker(α) cho mọi tự đồng cấu α thuộc End(M) Điều này tương đương với việc có một tự đồng cấu β trong End(M) thỏa mãn điều kiện trên.
Im(β) = Ker(α) và Im(α) =Ker(β).
Trong bài viết này, chúng tôi chỉ yêu cầu tồn tại các ánh xạ β và γ sao cho Im(β) = Ker(α) và Im(α) = Ker(γ) với mọi α ∈ End(M), từ đó định nghĩa môđun tựa cấu xạ Dựa trên định nghĩa này, chúng tôi nghiên cứu đặc trưng của môđun tựa cấu xạ và chứng minh rằng môđun M là tựa cấu xạ và ảnh-xạ ảnh khi và chỉ khi vành End(M) là tựa cấu xạ trái và M sinh ra các hạt nhân của nó.
2.3.1 Định nghĩa (a) Một tự đồng cấu α của môđun trái M được gọi là tựa cấu xạ (quasi–morphic endomorphism) nếu tồn tại β, γ ∈ End(M) sao cho:
Im(α) = Ker(β) và Im(γ) =Ker(α).
(b) Một môđun M được gọi là tựa cấu xạ (quasi–morphic module) nếu mọi tự đồng cấu của M là tựa cấu xạ.
2.3.2 Mệnh đề Cho α ∈ End(M) là một tự đồng cấu tựa cấu xạ Nếu σ : M −→M là một tự đẳng cấu thì σα và ασ cũng là tựa cấu xạ.
Chứng minh Do α là tựa cấu xạ nên tồn tại β, γ ∈ End(M) sao cho:
Im(α) = Ker(β) và Im(γ) =Ker(α).
Ta chứng minh rằng \( \alpha \sigma \) là tựa cấu xạ Do \( \sigma \) là tự đẳng cấu, nên \( \alpha \sigma(M) = \text{Ker}(\beta) \) Dễ dàng chứng minh rằng \( \text{Ker}(\beta) = \text{Ker}(\sigma^{-1} \beta) \), từ đó suy ra \( \text{Im}(\alpha \sigma) = \text{Ker}(\sigma^{-1} \beta) \) (1) Với mọi \( m \in \text{Ker}(\alpha \sigma) \), ta có \( \alpha \sigma(m) = 0 \), tức là \( \sigma(m) \in \text{Ker}(\alpha) = \gamma(M) \), dẫn đến \( m \in \sigma^{-1} \gamma(M) \) Do đó, \( \text{Ker}(\alpha \sigma) \subseteq \sigma^{-1} \gamma(M) \) Ngược lại, với mọi \( n \in \sigma^{-1} \gamma(M) \), ta có \( \sigma(n) \in \gamma(M) = \text{Ker}(\alpha) \), suy ra \( \alpha \sigma(n) = 0 \), dẫn đến \( n \in \text{Ker}(\alpha \sigma) \) Từ đó, ta có \( \sigma^{-1} \gamma(M) \subseteq \text{Ker}(\alpha \sigma) \) Kết hợp (1) và (2), ta suy ra rằng \( \alpha \sigma \) là tựa cấu xạ.
Tương tự, ta cũng chứng minh được σα là tựa cấu xạ.
2.3.3 Nhận xét Cho R là một vành Khi đó, R–môđun trái R là tựa cấu xạ khi và chỉ khi R là vành tựa cấu xạ trái.
Chứng minh rằng với mọi phần tử a ∈ R, tự đồng cấu ϕa được định nghĩa bởi ϕa(x) = xa thỏa mãn Im(ϕa) = Ra và Ker(ϕa) = l(a) Xét ánh xạ ϕ : R −→ End(R) với ϕ(a) = ϕa, ta dễ dàng chứng minh rằng ϕ là đẳng cấu Do đó, mỗi phần tử trong R tương ứng với một tự đồng cấu trong End(R).
Giả sử R là R–môđun tựa cấu xạ trên vành R Với mọi a ∈ R, ta xét tự đồng cấu ϕa được xác định trước đó Vì RR là tựa cấu xạ, nên tồn tại các tự đồng cấu β và γ thuộc End(R) sao cho Im(ϕa) = Ker(β) và Im(γ) = Ker(ϕa).
DoR ∼= End(R) cho thấy luôn tồn tại các phần tử b, c ∈ R sao cho β = ϕb và γ = ϕc Với ϕb, ϕc được xác định tương tự như ϕa, ta có Ker(ϕb) = l(b) và Im(ϕc) = Rc Thay vào đó, ta có Ra = l(b) và Rc = l(a), từ đó kết luận rằng R là vành tựa cấu xạ trái.
(⇐=) Giả sử R là vành tựa cấu xạ trái Xét tự đồng cấu α bất kì thuộc End(R) Do End(R) ∼= R nên tồn tại phần tử a ∈ R để ϕ(a) = ϕ a Do
R là vành tựa cấu xạ trái, tồn tại b, c ∈ R sao cho Ra = l(b) và Rc = l(a) Do End(R) ∼= R, luôn có các tự đồng cấu β, γ ∈ (M) với β = ϕ b và γ = ϕ c Ta xác định Ker(ϕ b ) = l(b) và Im(ϕ c ) = Rc Thay vào các biểu thức đã có, ta có Im(α) = Ker(β) và Im(γ) = Ker(α), từ đó suy ra α là tựa cấu xạ Kết luận, R là R–môđun trái tựa cấu xạ.
Từ định nghĩa, mọi môđun cấu xạ đều là môđun tựa cấu xạ, nhưng không phải mọi môđun tựa cấu xạ đều là môđun cấu xạ Để chứng minh điều này, chúng ta cần xem xét đặc trưng của môđun tựa cấu xạ trong hệ thống các môđun con, như được thể hiện trong định lý sau.
2.3.4 Định lý Cho M là một môđun trái Các điều kiện sau là tương đương: (i) M là tựa cấu xạ;
(ii) Nếu M/K ∼= N, với K, N là các môđun con của M thì tồn tại β, γ thuộc End(M) sao cho Im(β) =K, Ker(γ) = N.
Chứng minh (i) =⇒(ii) Giả sử M là môđun tựa cấu xạ và M/K ∼= N, với
K và N là các môđun con của M, dẫn đến sự tồn tại của đẳng cấu σ: M/K −→ N Định nghĩa π K: M −→ M/K là toàn cấu chính tắc và i: N −→ M là phép nhúng tự nhiên Xét ϕ = iπσ, ta thấy ϕ thuộc End(M), tức là ϕ là tựa cấu xạ Do đó, có tồn tại β, γ thuộc End(M) sao cho Ker(ϕ) = Im(β) và Ker(γ) = Im(ϕ).
Ker(ϕ) = {x ∈ M|iσπ(x) = 0} = {x ∈ M|σπ(x) = 0} = {x ∈ M|π(x) = 0}, suy ra Ker(π) =K Vậy, Im(β) = K, Ker(γ) = N.
Gọi α là tự đồng cấu trong M, ta có M/Ker(α) ∼ Im(α) Từ đó, suy ra tồn tại β, γ ∈ End(M) sao cho Im(β) = Ker(α) và Ker(γ) = Im(α) Điều này chứng tỏ α là tựa cấu xạ, từ đó kết luận rằng M là tựa cấu xạ.
2.3.5 Ví dụ Sử dụng định lí này, ta có thể chỉ ra M = Z 2 ⊕Z 4 là môđun tựa cấu xạ như một Z–môđun.
Chứng minh áp dụng định lí về nhóm Abel hữu hạn sinh, ta có các môđun con của M là: 0, M,Z 2 ⊕0,0⊕2Z 4 ,0⊕Z 4 , Z 2 ⊕2Z 4 Kiểm tra các điều kiện của định lí, ta có:
• Đồng cấu 0 và đồng cấu đồng nhất thỏa mãn thỏa mãn điều kiện (2) của định lí M/0 ∼= M, M/M ∼= 0.
• M/Z 2 ⊕0 ∼= 0⊕Z 4 Xét α : M −→ M xác định bởi α(x, y) = (x,0) Ta có:Im(α) =Z 2 ⊕0, Ker(α) = 0⊕Z 4 Do đó, điều kiện (2) trong Định lí 2.3.4 được thỏa mãn.
Ta có: Im(α) = 0⊕2Z 4 , Ker(α) =Z 2 ⊕2Z 4 Do đó, điều kiện (2) trong Định lí 2.3.4 được thỏa mãn.
• M/0⊕Z 4 ∼= Z 2 ⊕0 Xét α : M −→ M xác định bởi α(x, y) = (0, y) Ta có: Im(α) = 0⊕Z 4 , Ker(α) = Z 2 ⊕0 Vậy, điều kiện (2) trong Định lí 2.3.4 được thỏa mãn.
Ta có: Im(α) =Z 2 ⊕2Z 4 , Ker(α) = Z 2 ⊕0 Vậy, điều kiện (2) trong Định lí 2.3.4 được thỏa mãn.
Từ đó suy ra M là môđun tựa cấu xạ.
Trong nghiên cứu của W.K Nicholson và E Sánchez Campos, họ đã chỉ ra rằng M Z 2 ⊕ Z 4 không phải là môđun cấu xạ Điều này cho thấy môđun tựa cấu xạ thực sự là một sự mở rộng của khái niệm môđun cấu xạ.
2.3.6 Hệ quả Mọi môđun trái, nửa đơn là tựa cấu xạ.
Giả sử M là một môđun trái nửa đơn, thì mỗi môđun con N của M là hạng tử trực tiếp của M Từ đó, tồn tại một môđun con K của M sao cho M có thể phân tách thành N và K, tức là M = N ⊕ K Điều này dẫn đến sự tồn tại của các ánh xạ α, β thuộc End(M) tương ứng.
K = Im(α) và N = Ker(β) Kết hợp điều này và Định lí 2.3.4, ta suy ra môđun M là tựa cấu xạ.
Cho M là một R−môđun trái, tập hợp tất cả các tự đồng cấu của M được ký hiệu là End(M) Chúng ta định nghĩa hai phép toán: (f + g)(x) = f(x) + g(x) và (f.g)(x) = g(f(x)) với mọi x ∈ M và f, g ∈ End(M) Như vậy, End(M) có cấu trúc của một vành.
Theo [10], một môđun M được gọi là ảnh-xạ ảnh nếu với α, γ thuộc E End(M) mà Im(γ) ⊆ Im(α) thì γ ∈ E.α, tức là tồn tại δ ∈ E sao cho γ = δ.α Khi thay thế Im(α) bằng một môđun tùy ý (tương đương với thương bất kỳ của M), môđun M sẽ được gọi là tựa xạ ảnh Do đó, mọi môđun tựa xạ ảnh đều là ảnh-xạ ảnh.
Môđun M được gọi là sinh ra môđun con K nếu
Một R−môđun M được gọi là sinh ra hạt nhân của nó nếu M sinh ra Ker(β) với mọi β ∈ E.
Trong một vành R, nếu F là một R-môđun trái tự do, thì F có khả năng sinh ra tất cả các môđun con của nó, bao gồm cả các hạt nhân.
Chứng minh Giả sử K ⊆ F Do F là môđun tự do nên F ∼= R (I) , với tập hợp I nào đó Với x ∈ K, tồn tại đồng cấu f x : F → F xác định bởi: f x (r i ) i∈I ) =P
{Im(λ)|λ ∈ End(F), Im(λ) ⊆ K} Do đó, M sinh ra K.
Tiếp theo, chúng tôi nghiên cứu mối quan hệ giữa tính tựa cấu xạ của môđun và vành các tự đồng cấu của nó.
2.3.8 Bổ đề Cho M là R−môđun Đặt E = End(M) Ta có các khẳng định sau:
(i) Nếu E là vành tựa cấu xạ trái thì M là môđun ảnh-xạ ảnh;
(ii) Nếu M là môđun tựa cấu xạ và ảnh-xạ ảnh thì E là vành tựa cấu xạ trái;