Đa tạp symplectic
Dạng vi phân 2 trên một đa tạp M được gọi là dạng symplectic nếu nó đóng và tại mỗi điểm p thuộc M, dạng này là symplectic trên không gian tiếp tuyến T Mp Cụ thể, dạng ωp: T Mp × T Mp → R phải là dạng song tuyến tính, phản xứng và không suy biến Một đa tạp M được gọi là đa tạp symplectic nếu nó được trang bị một dạng symplectic ω, thường được ký hiệu là (M, ω).
1.1.2 VÝ dô i, M R 4 x x x x 1, 2, 3, 4 víi dx 1 dx 3 dx 2 dx 4
Khi đó M , là một đa tạp symplectic
-- đóng Từ dd(1)dx 1 dx 3 d(1)dx 2 dx 4 , ta suy ra d = 0
Ta cã p ( p , p ) dx 1dx 3| p dx 2 dx 4| p ( p , p )
Dễ thấy rằng, p là dạng song tuyến tính, phản xứng
Mặt khác U p v T R p 4 | p ( , ) v u 0; u T R p 4 = 0 Nh- vậy: p không suy biến; p M.
Vậy M , là đa tạp symplectic ii, Tổng quát hơn, M R 2 n x 1, ,x y n , , ,1 y n với 0
Khi đó M,0 là một đa tạp symplectic
Bây giờ ta giả sử, X là đa tạp n - chiều Giả sử U x; , ,1 x n là một bản đồ trên X Ta xét T U * = x * x U
, khi đó T U x * ,( , , 1 x n , , , 1 n ) là một bản đồ trên * x * x M
x là hệ tọa độ trong T X x * Nh- ta đã biết, không gian T X * đ-ợc gọi là phân thớ đối tiếp xúc với nền X (Xem [2])
thì: i, d trong đó đ-ợc gọi là 2- dạng chính tắc trên M và
đ-ợc gọi là dạng đúng trên M; ii, M , là một đa tạp symplectic
1.1.4 Mệnh đề Các dạng vi phân , không phụ thuộc việc chọn hệ toạ độ trên X Chứng minh Giả sử x cùng thuộc hai bản đồ U x; , ,1 x n và U x ' ; ' 1 , , x ' n
Khi đó mỗi T X x ta có:
không phụ thuộc hệ toạ độ địa ph-ơng trong X cho nên d cũng không phụ thuộc hệ toạ độ địa ph-ơng trong X
1.1.5 Mệnh đề Giả sử ánh xạ :M T X * X; p( , )x trong đó
Chứng minh Với v( , ,v 1 v 2 n )T X p ta có:
Do ( , ,x 1 x n , , , 1 n )( , ,x 1 x n ) nên ma trận của là:
1.1.6 Mệnh đề Giả sử X 1 , X 2 là hai đa tạp khả vi n-chiều Ta ký hiệu M 1 T X * 1 ,
M T X và 1 , 2 là các dạng đúng trên M 1 , M 2 Giả sử f X: 1 X 2 là một vi phôi Nếu ta đặt f 1 : M 1 M 2 thì x 2 f x( ) 1 và
Khi đó f 1 là vi phôi, và f 1 đ-ợc gọi là cái nâng của f
- f 1 là đơn ánh, thật vậy:
Ta cần chứng minh p 2 p 2 ’, thật vậy:
và do f là vi phôi nên
- f 1 là toàn ánh, thật vậy:
Lấy bất kì p 2 (x 2 , 2 ) M 2 ta cần chứng minh p 1 (x 1 , 1 ) M 1 sao cho f 1 (p 1 ) = p 2
Do f là vi phôi nên với x 2 X 2 thì x 1 X 1 : x 1 = f -1 (x 2 ) hay x 2 =f(x 1 ) (*)
Mặt khác f là đẳng cấu tuyến tính nên với 2 T * X 2 luôn tồn tại 1 T * X 1 thoả mãn 1 = f * 2 (**)
Do đó f 1 là toàn ánh
(y 1 , y 2 , ,y n , 1 , 2 , , n ) Để chứng minh f 1 khả vi, ta chứng minh y 1 , , y n , 1 , , n là các hàm khả vi
Theo giả thiết f là vi phôi, nên i j y p x
là các hàm khả vi Do đó i khả vi hay f 1 khả vi
- Chứng minh t-ơng tự ta cũng có f 1 -1 khả vi
1.1.7 Mệnh đề Giả sử 1 , 1 là các dạng đúng trên M 1 , M 2 và f 1 là cái nâng của vi phôi f: X 1 X 2 Khi đó ta có f 1 * ( 2 ) 1
Chứng minh Theo mệnh đề 1.1.5 ta có: 1 1 1 * , 2 2 2 * , khi đó: f 1 * ( 2 ) f 1 * 2 2 * f 1 * 2 * 2
1.1.8 Hệ quả Giả sử 1 , 2 là hai dạng chính tắc t-ơng ứng trên X 1 , X 2 thì ta có
Đa tạp con Lagrange
1.2.1 Định nghĩa Giả sử (M, ) là đa tạp symplectic 2n - chiều Y là đa tạp con của M Y đ-ợc gọi là đa tạp con Lagrange khi và chỉ khi dim Y = 1
1.2.2 Nhận xét Y là đa tạp con Lagrange của M khi và chỉ khi T P Y là không gian con Lagrange của T P M
, ta có (M, ) là đa tạp symplectic
Xét Y = R n ( x 1 ,x 2 , x n, 0, , 0) x i R, khi dó Y là đa tạp con Lagrange của (M, ).
Thật vậy: Rõ ràng Y là đa tạp con của M và dim Y = 1
Kí hiệu B (R n ) là môđun các tr-ờng vectơ khả vi trên R n và F(R n ) là tập các hàm khả vi trên R n Khi đó với u, v B(R n ) tức là u(u 1 , u 2 , u n , 0, 0 , 0), v(v 1 , v 2 , , v n , 0, 0 , 0) víi u i , v i F (R n );i= 1,n Ta cã:
Vậy Y là đa tạp con Lagrange của đa tạp (M, )
2) Giả sử X là đa tạp khả vi n - chiều
Ta xét Y X 0 ( ,0) | x x X ,0 T X x * Khi đó Y= X 0 là đa tạp con Lagrange của M
Thật vậy: X 0 đóng trong M và dimX 0 = n= 1/2 dimM
2 - dạng vi phân trên M có dạng là:
Giả sử A, B là hai tr-ờng vectơ trên X 0 và có tọa độ địa ph-ơng t-ơng ứng là: A= (A 1 ,…, A n , 0,…0), B = (B 1 ,…,B n , 0, , 0)
Vậy X 0 là đa tạp con Lagrange của M
Giả sử S : X T * X x (x, x ); trong đó: : X T * X là 1- dạng vi phân trên X x x
Ta kí hiệu, X = (x, x ) x X, x T x * X T * X Khi đó ta có mệnh đề sau:
1.2.4 Mệnh đề X là đa tạp con Lagrange của (T * X, ) (với là dạng chính tắc) khi và chỉ khi đóng
Chứng minh Tr-ớc hết ta chứng minh bổ đề sau:
Giả sử là 1- dạng trên M = T * X Khi đó S * =
ThËt vËy: Ta cã víi p (x, x ) T * X th× P = * P ( x )
S * () = áp dụng bổ đề ta chứng minh X là đa tạp con Lagrange của T * X đóng
Theo định nghĩa thì dim X = n = 1
Xét : X X là vi phôi, i: X T * X là phép nhúng x (x, x )
Khi đó ta có biểu đồ sau giao hoán:
Laị có: X là đa tạp con Lagrange của T * X
Khi đó X là đa tạp con Lagrange và ddx 1 dx 2 dx 2 dx 1 0 hay đóng b) Giả sử X = R 3 , T * X= R 6
Khi đó X là đa tạp con Lagrange và ddydzdzdy0 hay đóng
* Giả sử S là đa tạp con k-chiều bất kỳ của đa tạp n - chiều X
Ta kí hiệu, N * x S = T * x X (v) = 0; v T x S và gọi là không gian đối pháp dạng tại x S, N * S = ( x, ) xS, N * x S T * X và gọi là phân thớ đối pháp dạng của S Khi đó ta có mệnh đề sau:
1.2.6 Mệnh đề N * S là đa tạp con Lagrange của T * X
Chứng minh Dễ thấy rằng, N * S là đa tạp con n - chiều của T * X
Thật vậy: Giả sử (U; x 1, x 2 , x n ) là bản đồ trên X, khi đó U S đ-ợc miêu tả bằng x k+1 =x k+2 = = x n = 0
Giả sử (T * U, (x 1 , x 2 , x n , 1 , 2 , n )) là bản đồ trên T * X, khi đó N * S
T * U đ-ợc miêu tả bởi x k+1 =x k + 2 = = x n = 0 và 1 = 2 = = k = 0
Vậy N * S là đa tạp con Lagrange của T * X
Ch-ơng 2 Đẳng cấu Symplectic và hàm sinh
Đẳng cấu symplectic
2.1.1 Định nghĩa Giả sử (M 1 , 1 ), (M 2 , 2 ) là các đa tạp symplectic 2n - chiều, và ánh xạ f: M 1 M 2 là vi phôi Khi đó f đ-ợc gọi là đẳng cấu symplectic nếu f * 2 = 1
2.1.2 Ví dụ Giả sử (M 1 , 1 ), (M 2 , 2 ) là các đa tạp symplectic 4– chiều; trong đó
M 1 = M 2 = R 4 , 1 dx 1 dx 3 dx 2 dx 4 và 2 dx 1 dx 3 dx 2 dx 4 Xét ánh xạ f : R 4 R 4
Khi đó f là đẳng cấu symplectic
- Dễ thấy rằng, f xác định nh- trên là một vi phôi
- Ta chứng tỏ rằng f * 2 1 ? Với X Y, B(R 4 ) ta có: f * 2( , )X Y 2 f X f Y * , * = 2 J f X , J f Y
Vậy f là đẳng cấu symplectic
Giả sử X₁ và X₂ là các đa tạp n-chiều, ta định nghĩa M₁ = T * X₁ và M₂ = T * X₂ Nếu ánh xạ f: X₁ → X₂ là vi phôi, thì cái nâng của nó được ký hiệu là f₁: M₁ → M₂, với x₂ = f(x₁) và ξ₁ = f*ξ₂, tạo thành một đẳng cấu symplectic giữa các cặp (x₁, ξ₁) và (x₂, ξ₂).
Chứng minh i) f 1 là vi phôi (Theo mệnh đề1.1.6); ii) f 1 * 2 = 1 ?
(với 1 , 2 là các dạng đúng trên T * X 1 , T * X 2 )
Xét biểu đồ giao hoán sau:
Do đó với 1 , 2 là các dạng chính tắc trên M 1 , M 2 Khi đó ta có: f 1 * ( 2 ) = f 1 * (- d 2 )
Vì vậy cái nâng f 1 của f là đẳng cấu symplectic
Kí hiệu Sp(M, ) đại diện cho tập hợp các tự đẳng cấu symplectic của đa tạp (M, ), và Sp(M, ) tạo thành một nhóm với phép hợp thành các ánh xạ Ngoài ra, Diff(X) là nhóm các vi phôi của đa tạp X, trong khi Sp(M, ) là nhóm các tự đẳng cấu symplectic tương ứng với (M, ).
: Diff (X) Sp(M, ) là đồng cấu nhóm f f 1
Chứng minh a) Giả sử f Sp M( , ), f M: M là đẳng cấu symplectic ở đây ta chứng minh f 1 Sp M( , ) Thật vậy:
(f 1 ) (f )(f 1 ) (do f là đẳng cấu symplectic) Suy ra (f 1 ) = hay f 1 Sp M( , ) b) Giả sử f, g Diff (X) ta chứng minh (fg) = (f). (g) hay (fg) 1 = f 1 g 1 ?
2.1.5 Mệnh đề Đẳng cấu symplectic bảo tồn đa tạp con Lagrange
Chứng minh Giả sử f: M 1 M 2 là đẳng cấu symplectic,
L 1 là đa tạp con Lagrange của (M 1 , 1 )
Gọi X, Y là tr-ờng vectơ của B(M 1 ) và X’,Y’ là tr-ờng vectơ của B(M 2 ) sao cho f * X= X’, f * Y= Y’
Vì f là vi phôi nên suy ra: L 2 là đa tạp con của (M 2 , 2 ) và dimL 2 = dimL 1
(do L 1 là đa tạp con Lagrange của (M 1 , 1 ))
hay L 2 là đa tạp con Lagrange của (M 2 , 2 )
* Bây giờ ta xét một số khái niệm về cấu trúc hầu phức:
J là cấu trúc hầu phức nếu J x : T x M T x M R là tuyến tính và J 2 = -id
(M, ) là đa tạp symplectic Một cấu trúc hầu phức J trên M gọi là t-ơng thích với nếu có ánh xạ g x :T M T M x x R
18 là một mêtric Riman trên M
(, g, J) đ-ợc gọi là bộ ba t-ơng thích nếu g(X, Y) = (, J Y ); X, Y
Ta xét (M 1 , 1 ), (M 2 , 2 ) là các đa tạp symplectic và đẳng cấu symplectic f : M 1 M 2 Xét ánh xạ J 2 : B (M 2 ) B (M 2 ); J X 2 ( ) f J X ( ( )) 1 trong đó J 1 là cấu trúc phức trên M 1 và X f X (tức là J 2 = f * J 1 )
2.1.6 Nhận xét Đẳng cấu symplectic bảo tồn cấu trúc hầu phức Để chứng minh nhận xét trên ta chứng minh 2 mệnh đề sau:
2.1.7 Mệnh đề J 2 là cấu trúc hầu phức trên M 2
Chứng minh Do J 1 tuyến tính và f * tuyến tính tại mọi điểm của M 1 nên J 2 cũng tuyến tính tại mọi điểm của M 2
Do J 1 và f * khả vi nên J 2 cũng khả vi
J 2 2 idM 2 Vậy J 2 là cấu trúc hầu phức trên M 2
2.1.8 Mệnh đề 2 và J 2 t-ơng thích trên M 2
Chứng minh Với X Y, B(M 2 ) ta có: g 2 X Y , 2 ( , X J Y 2 ) ( f 1 ) 1 ( , X J Y 2 )
Do g 1 là một mêtric Riman trên M 1 nên g 2 là một mêtric Riman trên M 2
Hàm sinh
Trong mục này, chúng tôi đi xây dựng quy tắc tìm đẳng cấu symplectic
; ở đây X 1 , X 2 là 2 đa tạp khả vi n - chiều và kí hiệuM 1 T X 1 ,
Giả sử (M 1 , 1 ) và (M 2 , 2 ) là 2 đa tạp symplectic 2n–chiều, : M 1 M 2 là một vi phôi
(trong đó 1 , 2 là các phép chiếu)
Khi đó ta có = 1 * 1 + 2 * 2 là 2 - dạng symplectic trên M 1 M 2
Nếu 1 , 2 R\ 0 thì 1 1 * 1 + 2 2 * 2 cũng là 2 - dạng symplectic trên M 1 M 2
Ta kí hiệu: = 1 * 1 - 2 * 2 và đ-ợc gọi là dạng xoắn trên M 1 M 2
= graph = (p, (p))pM 1 Khi đó là đa tạp 2n - chiều của M 1 M 2 và nó là ảnh của M 1 đ-ợc nhúng trong M 1 M 2 với phép nhúng ch×m : M 1 M 1 M 2 p ( p, (p))
2.2.1 Mệnh đề Vi phôi là đẳng cấu symplectic khi và chỉ khi là đa tạp con Lagrange của (M 1 M 2 , )
Chứng minh Ta có là đa tạp con Lagrange của (M 1 M 2 , )
Vậy là đẳng cấu symplectic
( ,x 2 2 ) ( ,x 2 2 ) đ-ợc gọi là phép đối hợp thứ hai của M 2
p p 1, 2 p 1,2(p 2) iii) Nếu Y là đa tạp con Lagrange của (M 1 M 2 , ) thì cái xoắn của Y là
Y Y và Y là đa tạp con Lagrange của (M 1 M 2 , )
Chứng minh i) Ta cã 2 * 2 ( , )( ) 2 ( , x ) 2* ( 1, 2) x X X dx X X
2 2 ; X B(M),( , )x M 2 ii) Ta chú ý đến sơ đồ sau:
VËy ( ) iii) Ta có là vi phôi và 1 1 2 dim dim( ) ( )
Vậy Y là đa tạp con Lagrange của (M 1 M 2 , )
2.2.4 Mệnh đề Giả sử Y là đa tạp con Lagrange của (M 1 M 2 , ) Khi đó nếu có vi phôi : M 1 M 2 mà nhận Y làm đồ thị của nó thì là đẳng cấu symplectic
Chứng minh Xét biểu đồ giao hoán sau: Để chứng minh là ánh xạ symplectic ta cần chứng minh * 2 = 1 ?
Giả sử 1 i và 2 i là các vi phôi Khi đó, ta đặt ( 2 i) ( 1 i) 1 thì
Mặt khác, vì Y là đa tạp con Lagrange của (M 1 M 2 , ) nên Y là đa tạp con Lagrange của (M 1 M 2 , )
= id 1 1 2 1 Vậy là đẳng cấu symplectic
* Quy tắc xây dựng đẳng cấu Symplectic
B-ớc 1: Lấy Y là đa tạp con Lagrange trong (M 1 M 2 , ) ;
B-ớc 2: Lấy cái xoắn của Y là Y trong (M 1 M 2 , ) ;
B-ớc 3: Lấy ( 2 i) ( 1 i) 1 là vi phôi thì là đẳng cấu symplectic
2.2.5 Ví dụ Giả sử X 1 = X 2 = R 2 Tìm đẳng cấu symplectic : M 1 M 2 ? ThËt vËy:
X 1 = R 2 M 1 = T * X 1 R 4 với 2 - dạng symplectic trên M 1 là
X 2 = R 2 M 2 = T * X 1 R 4 với 2 - dạng symplectic trên M 2 là
M 1 M 2 = T * (X 1 X 2 ) R 8 với 2 - dạng symplectic trên đólà
1 1 2 2 2dx 1 dx 3 , và dạng xoắn t-ơng ứng là: 1 1 2 2 2dx 2 dx 4
Ta lấy Y= ( 0, 0, 0, 0, x 5 ,-x 6 ,-x 7 ,-x 8 ), khi đó Y là đa tạp con Lagrange trong
(R 8 ,) vì: Y đóng trong R 8 và dimY = 4 =1/2 dimR 8
Ta kiểm tra tính chất Lagrange của Y trong ( R 8 , ) Thật vậy; vì là vi phôi và Y là đa tạp con Lagrange (R 8 ,) nên (Y) đóng và dim(Y) =1/2 dimR 8
Ta có 1 i: Y R 4 là một vi phôi;
Ta kiểm tra nh- trên có phải là đẳng cấu symplectic không?
Dễ thấy là một vi phôi;
Vậy là đẳng cấu symplectic
Bây giờ ta sử dụng ánh xạ 1 :M 1 M 1 để tìm đẳng cấu symplectic
( , )x 1 1 ( ,x 1 1 ) đ-ợc gọi là phép đối hợp thứ nhất của M 1
M 1 M 2 M 1 M 2 th× * ( ) ( ,p p 1 2 ) ( ( 1 p 1 ),p 2 ) iii) Nếu Y là đa tạp con Lagrange của (M 1 M 2 , ) thì cái xoắn của Y là Y ( )Y và Y là một đa tạp con Lagrange của (M 1 M 2 , )
1 * 1 1 ; X B(M 1 ), ( , )x M 1 ii) Ta có sơ đồ: M 1 M 2 M 1 M 2 1 M 1
= 1 * 1 * 2 2 1 * 1 2 * 2 iii) Ta có là vi phôi, dimY= 1/2 dim(M 1 M 2 ) Suy ra ( )Y đóng và dim( )Y = 1/2 dim(M 1 M 2 )
Mặt khác: | Y 0 * | ( ) Y | Y 0 Y là một đa tạp con Lagrange của (M 1 M 2 , )
2.2.8 Mệnh đề Nếu có vi phôi :M 1 M 2 mà nhận Y làm đồ thị của nó thì là đẳng cấu symplectic
Chứng minh Chứng minh t-ơng tự mệnh đề 2.2.1
T-ơng tự quy tắc tìm đẳng cấu symplectic ở 2.2.4*, chúng tôi cũng tìm đ-ợc đẳng cấu symplectic : M 1 M 2
2.2.9 Ví dụ Giả sử X 1 = X 2 = R Tìm đẳng cấu symplectic : M 1 M 2 ?
X 1 = R M 1 = T * X 1 R 2 với 2 - dạng symplectic trên M 1 là 1 50dx 1 dx 3
X 2 = R M 2 = T * X 2 R 2 với 2 - dạng symplectic trên M 2 là 2 5dx 2 dx 4
M 1 M 2 = T * (X 1 X 2 ) R 4 với 2 - dạng symplectic trên đólà 1 1 2 2
và dạng xoắn t-ơng ứng là
Lấy Y= (0, 0, 5x 3 ,2x 4 ), Y là đa tạp con Lagrange trong (R 4 , ) vì:
Y đóng trong R 4 và dimY = 2 =1/2 dimR 4
Ta kiểm tra tính chất Lagrange của Y trong ( R 4 , ) Thật vậy; vì là vi phôi và Y là đa tạp con Lagrange của (R 4 , ) nên ( )Y đóng và dim( )Y =1/2 dimR 4 Mặt khác | 50 1 3 5 2 4 (0,0,5 3 ,2 4 );(0,0,5 ,2 ) 3 4 0
Ta có 1 i: Y R 2 là một vi phôi;
Vậy : R 2 R 2 là đẳng cấu symplectic
Ta kiểm tra xem xác định nh- trên có phải là đẳng cấu symplectic không? ThËt vËy:
- Dễ thấy rằng, xác định nh- trên là một vi phôi
Vậy : R 2 R 2 là đẳng cấu symplectic
Chứng minh T-ơng tự nh- chứng minh mệnh đề 2.2.10 ở trên
Khi đó t * ( )t. Trong đó 1 , 2 , lần l-ợt là 2 - dạng symplectic trên
M 1 , M 2 , M 1 M 2 và là dạng xoắn trên M 1 M 2
Chứng minh Ta chú ý đến sơ đồ sau:
2.2.13 Mệnh đề Nếu Y là đa tạp con Lagrange của (M 1 M 2 ,) thì cái t - xoắn của Y là Y t t ( )Y và Y t là một đa tạp con Lagrange của (M 1 M 2 ,)
Chứng minh Ta có t là vi phôi và dimY=1/2dim(M 1 M 2 ) suy ra: t (Y)-đóng và dim t (Y)=1/2dim(M 1 M 2 )
Mặt khác, do Y là đa tạp con Lagrange của (M 1 M 2 ,) | Y = 0 nên
hay Y t là một đa tạp con Lagrange của (M 1 M 2 ,)
2.2.14 Mệnh đề Giả sử Y là đa tạp con Lagrange của M 1 M 2 , khi đó nếu
Y t là đồ thị của vi phôi t : M 1 M 2 thì là đẳng cấu symplectic
Chứng minh Xét biểu đồ giao hoán sau: Để chứng minh t là ánh xạ symplectic ta cần chứng minh t * 2 = 1 ?
Giả sử 1 i và 2 ilà các vi phôi Khi đó ta đặt t ( 2 i) ( 1 i) 1 thì là vi phôi
Mặt khác, vì Y là đa tạp con Lagrange của (M 1 M 2 , ) nên Y t là đa tạp con Lagrange của (M 1 M 2 , ) Do đó i * =0
= id 1 1 t 2 1 Vậy t là đẳng cấu symplectic
T-ơng tự quy tắc tìm đẳng cấu symplectic ở 2.2.4*, chúng tôi cũng tìm đ-ợc đẳng cấu symplectic t : M 1 M 2
2.2.15 Ví dụ Giả sử X 1 = X 2 = R 2 Tìm đẳng cấu symplectic t : M 1 M 2 ?
X 1 = R 2 M 1 = T * X 1 R 4 với 2 - dạng symplectic trên M 1 là
X 2 = R 2 M 2 = T * X 2 R 4 với 2 - dạng symplectic trên M 2 là
M 1 M 2 = T * (X 1 X 2 ) R 8 với 2 - dạng symplectic trên đólà 1 1 2 2
và dạng xoắn t-ơng ứng là 1 1 2 2 2dx 2 dx 4
LÊy Y = (0, 0, 0, 0, x 5 ,x 6 ,- 1 t x 7 , 1 t x 8 ); t0 Khi đó Y là đa tạp con Lagrange trong (R 8 ,) v×:
Y đóng trong R 8 và dim Y = 4 =1/2 dimR 8
Lấy cái t - xoắn của Y là Y t = t ( )Y Y t = (0,0,0,0,x x x 5 , 6 , 7 ,x 8 )
Ta kiểm tra tính chất Lagrange của Y t trong ( R 8 , ) Thật vậy; vì t là vi phôi và Y là đa tạp con Lagrange trong (R 8 ,) nên t ( )Y đóng và dim t ( )Y =1/2 dimR 8 Mặt khác:
Ta có 1 i: Y t R 4 là một vi phôi;
Vậy t : R 4 R 4 là đẳng cấu symplectic
ứng dụng
Giả sử f : X 1 X 2 R là hàm khả vi, X 1 và X 2 là các đa tạp n–chiều
Ta có df là 1- dạng đóng trên X 1 X 2 do đó Y f : = ( (x, y) , df (x, y) ) (x, y)
X 1 X 2 là đa tạp con Lagrange của T * (X 1 X 2 )
: , x x y d f df chiÕu xuèng T X x * 1 0 d f y :df x y , chiÕu xuèng 0 T X y * 2
Ta cã thÓ viÕt Y f = (x, y, d x f, d y f ) (x, y) X 1 X 2 , suy ra:
2.3.1 Định nghĩa Giả sử :M 1 M 2 là một vi phôi thoả mãn Y f thì ta nói là đẳng cấu symplectic đ-ợc sinh bởi f và f đ-ợc gọi là hàm sinh của
Khi đã biết hàm f, câu hỏi đặt ra là cách xác định hàm như thế nào Cụ thể, với hàm f: 1 × X2 → R, chúng ta cần tìm ra cách xác định hàm : M1 → M2.
2.3.2 Nhận xét Ta có quy tắc tìm đẳng cấu symplectic khi đã có hàm sinh f nh- sau: + Xác định Y f
+ Nếu Y f là đồ thị của vi phôi : M 1 M 2 thì là đẳng cấu symplectic sinh bởi f
Giả sử (U 1 ; x 1 , x 2 , ,x n ) và (U 2 ; y 1 , y 2 , , y n ) là các bản đồ toạ độ trên X 1 , X 2 liên kết với các bản đồ (T * U 1 , (x 1 , x 2 , , x n , 1 , 2 , , n )) và (T * U 2 , (y 1 , y 2 , , y n ,
Tập Y f là đồ thị của vi phôi : M 1 M 2 nếu và chỉ nếu với mọi cặp (x, ) thuộc M 1 và (y, ) thuộc M 2, điều kiện (x, ) = (y, ) được thỏa mãn khi và chỉ khi = d x f và = - d y f Để xác định ảnh của điểm (x, ) thuộc M 1, ta cần giải hệ phương trình tương ứng.
Nếu (*) có nghiệm y = 1 (x, ) thì ta thay vào (**) thu đ-ợc = 2 (x, )
Hệ ph-ơng trình trên gọi là hệ ph-ơng trình Hamilton Điều kiện để hệ có nghiệm là: det
2.3.3 Ví dụ Giả sử X 1 = R n , X 2 = R n và f (x, y) =
Tìm đẳng cấu symplectic : T * R n T * R n sinh bởi f ?
Thật vậy; theo baì ra, ta có hệ ph-ơng trình Hamilton là: i i i i f x f y
Vậy đẳng cấu symplectic sinh bởi f là (x, ) = (x + , )
2.3.4 Mệnh đề Giả sử hàm khả vi f : X X R sinh ra đẳng cấu symplectic
: T * X T * X, ta định nghĩa hàm nh- sau: : X R; (x) = f (x, x); x X Khi đó có sự t-ơng ứng 1-1 giữa điểm bất động của và điểm tới hạn của
Ta có x 0 là điểm tới hạn của
Từ đó điểm thuộc Y f t-ơng ứng với (x, y) = (x 0 , x 0 ) là (x 0 , x 0 , , )
Mặt khác, vì Y f là đồ thị của đẳng cấu symplectic sinh bởi f, do đó
(x 0 , ) = (x 0 , ) hay (x 0 , ) là điểm bất động của
Vậy x 0 là điểm tới hạn của khi và chỉ khi 0, x , 0 , 0 x y x x x d f là điểm bất động của
2.3.5 Nhận xét Từ mệnh đề trên một cách tổng quát ta có:
Với mỗi số tự nhiên n, hàm (n) được xác định là đẳng cấu symplectic Nếu hàm (n) : M M được sinh ra từ f (n), sẽ tồn tại một sự tương ứng một-một giữa các điểm bất động của (n) và các điểm tới hạn của hàm (n) Hàm (n) được định nghĩa như sau: (n) : X R với (n) (x) = f (n) (x, x).
Nh- thế, nếu cho f là hàm sinh của thì đẳng cấu symplectic (n) có hàm sinh nh- thế nào?
2.3.6 Mệnh đề Giả sử f : X X R là ánh xạ khả vi, : T * X T * X là đẳng cấu symplectic sinh bởi f, ta cố định (x, y) X X Nếu hàm : X R;
(z) = f (x, z) + f(z, y) có một điểm tới hạn không suy biến duy nhất là z 0 , thì (2) có hàm sinh là f (2) , với f (2) đ-ợc xác định nh- sau: f (2) (x, y) = f(x,z 0 ) + f(z 0 ,y)
Chứng minh Vì z 0 là điểm tới hạn của hàm nên d y f (x, z 0 ) + d x f (z 0 , y) = 0 Điểm z 0 không suy biến tức là det ( , ) ( , ) i j j f f x z z y z y x
Suy ra z 0 = z 0 (x, y) là hàm khả vi, từ đó f (2) (x, y) = f(x,z 0 ) + f(z 0 ,y) cũng là hàm khả vi
Ta có f (2) (x, y) là hàm sinh của (2) khi và chỉ khi:
(giả sử rằng với mỗi T * x X có duy nhất y X sao cho d x f (2) = )
Vì đ-ợc sinh bởi f và z 0 là điểm tới hạn của do đó:
2.3.7 Mệnh đề Giả sử f: X X R là ánh xạ khả vi, : T * X T * X là đẳng cấu symplectic sinh bởi f, ta cố định (x, y) X X Nếu hàm : X X R;
(z,u) = f (x, z) + f(z, u) + f(u, y); (z, u) X X có một điểm tới hạn không suy
36 biến duy nhất là (z 0 ,u 0 ) thì (3) có hàm sinh là f (3) , với f (3) đ-ợc xác định nh- sau: f (3) (x, y) = f (x,z 0 ) + f(z 0 ,u 0 ) + f(u 0 ,y)
Chứng minh Vì ( ,z u 0 0 ) là điểm tới hạn của hàm nên:
Dễ thấy rằng, f (3) ( , )x y là hàm khả vi
Từ ( ,z u 0 0 ) là điểm tới hạn, không suy biến và f sinh ra ta có:
Vậy f (3) là hàm sinh của (3)
2.3.8 Nhận xét Một cách tổng quát ta có: Cố định (x, y) X X nếu hàm : X X X R
(x 1 , x 2 , , x n - 1 ) f(x, x 1 ) + f(x 1 , x 2 ) + +f (x n-1 , y) có một điểm tới hạn không suy biến duy nhất là (x 1 0 , x 2 0 , , x n-1 0 ) thì khi đó: f (n) : X X R
Chứng minh Vì (x 1 0 , x 2 0 , , x n - 1 0 ) là điểm tới hạn của hàm nên d y f (x, x 1 0 ) + d x f(x 1 0 , x 2 0 ) = 0 d y f (x 1 0 x 2 0 ) + d x f(x 2 0 , x 3 0 ) = 0 d y f (x n-2 0 , x n-1 0 ) + d x f(x n-1 0 , y) = 0
Dễ thấy rằng, f (n) (x, y) là hàm khả vi
Từ (x 1 0 , x 2 0 , , x n - 1 0 ) là điểm tới hạn và f sinh ra ta có:
Vậy (n) (x, d x f (n) (x, y)) =(y, - d y f n (x,y)), hay f (n) làhàm sinh của (n)
Luận văn đã đạt đ-ợc những kết quả chính sau:
Trình bày các chứng minh chi tiết một số tính chất cơ bản về đa tạp symplectic, đa tạp con Lagrange và đẳng cấu symplectic;
Phát biểu và chứng minh đ-ợc các tính chất: Đẳng cấu symplectic bảo tồn đa tạp con Lagrange (mệnh đề 2.1.5), bảo tồn cấu trúc hầu phức (nhận xét 2.1.6);
Bằng việc sử dụng ánh xạ 1 :M 1 M 1 ( 1 là phép đối hợp thứ nhất), chúng tôi đã tìm đ-ợc đẳng cấu symplectic :M 1 M 2 (mệnh đề 2.2.7, mệnh đề 2.2.8);
Chúng tôi đã xây dựng các ánh xạ it : M i M i (với i = 1, 2 và t > 0) tương tự như trước đây, và từ đó tìm ra đẳng cấu symplectic t : M 1 M 2, dựa trên mệnh đề 2.2.12 và mệnh đề 2.2.14.
Chúng tôi đã chỉ ra ứng dụng của đẳng cấu symplectic để tìm hàm sinh (nhËn xÐt 2.3.8)
Trong thời gian tới, nếu có điều kiện chúng tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu về một số tính chất hình học qua đẳng cấu symplectic