Một số tính chất của cs môđun và môđun giả nội xạ

KIẾN THỨC CƠ BẢN

Môđun con cốt yếu

1.2.1 Định nghĩa Cho M là R – môđun trái, môđun con A của M được gọi là môđun con cốt yếu, kí hiệu A e M , nếu với mọi môđun con X thỏa mãn

1.2.2 Tính chất (1) A e M khi và chỉ khi ARx 0,xM,x0

(2) Cho AN M thì A e M khi và chỉ khi A e Nvà N  e M

Chứng minh rằng A là yếu tố trong N Giả sử A cốt yếu trong M, chọn môđun con X bất kỳ của N với A∩X = 0 Do X ≤ N nên X ≤ M và A ≤ eM, từ đó suy ra X = 0 Do đó, A ≤ eN Tương tự, chọn môđun con Y bất kỳ của M với N∩Y = 0.

AN nên A Y 0 và A e M Suy ra Y = 0 Vậy, N  e M

Ngược lại, nếu A e Nvà N  e Mthì với môđun con X bất kì của M mà

(3) Lấy X là môđun con bất kì của K sao cho A  K X 0 hay

A X , do A e M X 0 Vậy AKcốt yếu trong K

(4) Lấy X Msao cho N X 0 Khi đó, N   A  X   A , từ đây ta suy ra N A   A  X A   0 Do N A e M A nên  A  X  A  0 hay

1.2.3 Bổ đề Cho :N M là đẳng cấu môđun trên R Khi đó môđun con

L của N cốt yếu trong N khi và chỉ khi (L) cốt yếu trong M

Chứng minh    Cho L e N, thì  X M sao cho    L   X 0

1.2.4 Mệnh đề Với mọi môđun con A của môđun M luôn tồn tại môđun con

Chứng minh Đặt S   X  M X :   A 0  , vì 0  S nên S   Ta sắp thứ tự S theo quan hệ bao hàm Lấy tập con sắp thứ tự tuyến tính của S sao cho:

Môđun con của M là  và B là cận trên của dãy đã cho Khi lấy x thuộc A B, tồn tại một số k sao cho x thuộc X k Điều này dẫn đến x thuộc A X k Do đó, x có thể bằng 0 hoặc B giao với A bằng 0 Theo bổ đề Zorn, S có phần tử tối đại là T Chúng ta sẽ chứng minh rằng A nhỏ hơn hoặc bằng T trong M.

Thật vậy,  Y M thỏa mãn  A  T    Y 0 Ta có A   Y 0 và

T  Y Nếu có aA và tT y Y,  sao cho a t ythì y   a t A T , ta suy ra y0và a t 0 Như vậy A   T  Y   0, ta suy ra  T  Y   S

Do tính tối đại của T nên Y 0 Vậy A T e M □

1.2.5 Mệnh đề Cho B là môđun con của M, K là phần bù của B trong M thì:

(2) KB là môđun con cốt yếu của M

Chứng minh (1) Giả sử có một môđun con N của M sao cho K  e N, thế thì, nếu N K, do K B 0, K tối đại nên N B 0 Ta có

K NB  KN    B K B , vì K  e N, suy ra N B 0 Điều này vô lý Vậy, K đóng trong M □

(2) Suy ra từ Mệnh đề 1.2.4

1.2.6 Mệnh đề Giả sử môđun i i I

  là tổng trực tiếp các môđun M i Khi đó các phát biểu sau là tương đương:

(2) M là tựa nội xạ và i M I   i  là M – nội xạ với mọi i i I

Chứng minh xem [7, Mệnh đề 1.18].

Định nghĩa

1.3.1 Định nghĩa Môđun con K của M được gọi là phần bù của môđun B trong M nếu K là môđun con tối đại trong số những môđun con của M có giao với B bằng không, và K được gọi là phần bù trong M nếu K là phần bù của môđun con nào đó của M

1.3.2 Định nghĩa Môđun N được gọi là bao đóng của môđun M nếu N là mở rộng cốt yếu tối đại của M

Môđun N được xem là đóng trong môđun M nếu N không có bất kỳ mở rộng thực sự nào trong M Điều này có nghĩa là với mọi môđun con K khác không của M, nếu N là một phần của K, thì K phải bằng N.

Ví dụ A và B là hai môđun con của M thỏa mãn M = AB thì môđun B là đóng trong M

1.3.3 Định nghĩa Môđun U được gọi là đều nếu bất kỳ môđun con A và

B khác 0 của U thì AB0, hay mọi môđun con khác không của U là môđun cốt yếu trong U

1.3.4 Định nghĩa Cho môđun M và N,HM Môđun H được gọi là một phần bù giao của N trong M nếu H là môđun tối đại trong các môđun con của

1.3.5 Định nghĩa Một A – môđun M được gọi là môđun Noether nếu nó thỏa mãn một trong các điều kiện tương đương sau:

(i) Mọi tập hợp khác rỗng những môđun con của M đều có một phần tử cực đại

(ii) Mọi dãy tăng những môđun con của M:

M M  M  đều dừng, nghĩa là tồn tại m để M k M m với mọi k m

(iii) Mọi môđun con của M đều hữu hạn sinh

Vành A được gọi là vành Noether nếu nó là một A – môđun Noether

1.3.6 Định nghĩa Một A – môđun M được gọi là môđun Artin nếu nó thỏa mãn một trong hai điều kiện sau:

(i) Mỗi tập hợp khác rỗng những môđun con của M đều có một phần tử cực tiểu

(ii) Mọi dãy giảm những môđun con của M: đều dừng, nghĩa là M k M k  1 với mọi kđủ lớn

Vành A được gọi là vành Artin khi nó là một A – môđun Artin.

Môđun đều, chiều đều

Môđun M được gọi là môđun đều nếu AB0 đối với mọi môđun con

(khác 0) A, B của M Hay nói cách khác, M là đều nếu mọi môđun khác 0 của

Môđun M được xem là có chiều đều hữu hạn (hay chiều Goldie) nếu không chứa tổng trực tiếp vô hạn của các môđun con khác không Ngược lại, nếu M chứa tổng trực tiếp vô hạn của các môđun con khác không, thì M được coi là có chiều đều vô hạn.

Môđun nội xạ

1.5.1 Định nghĩa Cho M và N là các R – môđun

Môđun M được gọi là N – nội xạ nếu mọi môđun con X của N có thể mở rộng mọi đồng cấu f : X  M thành đồng cấu g : N  M Điều này được thể hiện qua biểu đồ giao hoán g ∘ i = f, trong đó i là phép nhúng đồng cấu.

Môđun M gọi là tựa nội xạ nếu M là M – nội xạ

Môđun M được gọi là môđun nội xạ khi M là N – nội xạ đối với mọi môđun N Hai môđun M và N được xem là nội xạ lẫn nhau khi M là N – nội xạ và đồng thời N cũng là M – nội xạ.

Bao nội xạ của môđun M, kí hiệu E(M), là môđun nội xạ bé nhất sao cho

1.5.2 Mệnh đề Cho M là R – môđun trái Khi đó:

(1) M là nội xạ khi và chỉ khi M = E(M)

(3) Nếu M Q và Q là môđun nội xạ thì Q  E M    E '

(4) Nếu  A E M    là nội xạ (đặc biệt, nếu A là hữu hạn) thì

1.5.3 Mệnh đề Giả sử môđun i i I

  là tổng trực tiếp các môđun M i Khi đó các phát biểu sau là tương đương:

(2) M là tựa nội xạ và i M I   i  là M – nội xạ với mọi i i I

Chứng minh xem [6, Mệnh đề 1.18]

1.5.4 Mệnh đề Môđun M là nội xạ khi và chỉ khi với mọi ideal trái I của R, mọi đồng cấu f I: M thì tồn tại mM để f x    xm ,   x I

Chứng minh    Cho M là môđun nội xạ Lấy I là ideal trái của R,

: f I Mlà đồng cấu môđun Vì R là R – môđun nên M là R – nội xạ Do đó, f mở rộng thành đồng cấu f * :RM Đặt m  f *   1 Khi đó:   x I , thì

   Giả sử đã có điều kiện đủ, ta chứng minh M là N – nội xạ, với mọi môđun N

Lấy X là môđun con tuỳ ý của N và :g X M là đồng cấu bất kỳ

Ta chứng minh tồn tại đồng cấu g * là mở rộng của g

Ta thấy  X g ,      S S Sắp thứ tự tập S theo quan hệ như sau:

    Ta chứng minh S thoả mãn Bổ đề Zorn Lấy tập con sắp thứ tự tuyến tính của S sao cho:

Ta định nghĩa   x  k   x Dễ dàng kiểm tra được  là đồng cấu Khi đó

 T ,   là cận trên của dãy (a) Theo Bổ đề Zorn, S có phần tử tối đại, kí hiệu

Nếu B là tập con của N, thì tồn tại phần tử a thuộc N sao cho a không thuộc B Đặt H bằng B hợp với a, ta có B là tập con của H (do a không thuộc B) Từ đó, ta xác định đồng cấu h từ H đến M, với công thức h(b + a) = β(b) + rm, trong đó m được xác định bởi I, là tập hợp các phần tử r thuộc R sao cho r thuộc B Chúng ta có thể kiểm tra rằng I là ideal trái của R và xác định đồng cấu g từ I đến M.

Theo giả thiết, tồn tại một phần tử m trong M sao cho g(x) = xm với mọi x thuộc I Do B là tập con của H và theo định nghĩa của h, h trở thành một mở rộng của β Tuy nhiên, điều này mâu thuẫn với tính tối đại của cặp (B, β) Do đó, ta có B = N và g* = β, từ đó g* trở thành một mở rộng của g.

1.5.5 Mệnh đề Nếu M là N – nội xạ và AN thì M là A – nội xạ và N A – nội xạ

Chứng minh Trước hết ta chứng minh M là A – nội xạ

Thật vậy, lấy X  A và f X: M là đồng cấu Ta cũng có X N, do M là

N – nội xạ nên f mở rộng thành đồng cấu :g N M Khi đó g A là mở rộng của f trên A hay M là A – nội xạ

Bây giờ ta chứng minh M là N A – nội xạ Lấy X AN A và

  là đồng cấu Gọi :N N A là đồng cấu tự nhiên Đặt   X Do M là N – nội xạ nên  mở rộng thành đồng cấu :NM Ta có:

Do đó, tồn tại đồng cấu  :N AMsao cho

       Vậy,  là mở rộng của  hay M là N A – nội xạ □

1.5.6 Mệnh đề M là N – nội xạ khi và chỉ khi    N  M với mọi

Chứng minh Vì E(N) là môđun nội xạ, ta chỉ cần chứng minh với mọi

() Giả sử M là N – nội xạ, với   Hom N E M  ,    Đặt X   n  N :    n  M  Dễ thấy X là môđun con của N Vì M là N – nội xạ,  X mở rộng thành đồng cấu :N M , ta chứng minh

M    N  Thật vậy, giả sử có mM và nN sao cho

   Giả sử có    N  M với mọi   Hom N E M  ,    Lấy X  N và

: f X M là đồng cấu Vì E(M) là nội xạ, nên f mở rộng thành đồng cấu

  Theo giả thiết    N  M thì f X :  M mở rộng thành đồng cấu : NM hay M là N – nội xạ □

1.5.7 Bổ đề Cho M 1 và M 2 là các môđun và M M 1 M 2 Thế thì, M 2 là

M 1 – nội xạ khi và chỉ khi với mọi môđun con N của M mà NM 2 0 đều tồn tại môđun con K của M sao cho M  K M 2 và N K

Chứng minh    Giả sử M 2 là M 1 – nội xạ và với mọi môđun con N của M mà NM 2 0 Gọi  i : M M i  i1,2  là các phép chiếu Đặt 1 , 2

    Vì NM 2 0 nên  là đơn cấu và do M 2 là M 1

– nội xạ nên tồn tại đồng cấu :M 1 M 2 sao cho  

Lấy K  m 1  m 1 :m 1M 1  Với mọi nN thì nm 1 m 2 Ta có

  hay   m 1 m 2, từ đây ta suy ra nm 1  m 1 K Do đó,

NK Nếu có m 1 M 1 và m 2 M 2 sao cho m 1  m 1 m 2 thì

1 2 1 2 m m  m M , nên m 1 = 0 và m 2 = 0 Như vậy, KM 2 0 Mặt khác,  m M m, m 1m 2 m 1  m 1 m 2  m 1  K M 2

   Giả sử với mọi môđun con N của M mà NM 2 0 đều tồn tại môđun con K của M sao cho M  K M 2 và NK Lấy X là môđun con của M 1 và

Đồng cấu 2 f X M dẫn đến việc định nghĩa H là tập hợp các phần tử x trừ đi f(x) với x thuộc X Môđun con H được hình thành từ M, và H giao với M2 bằng 0 Theo giả thiết, tồn tại môđun con H' của M sao cho M có thể được phân tách thành H' và M2 Từ đó, ta thiết lập phép chiếu : M = H' ⊕ M2 → M2.

Vậy, g là mở rộng của f, hay M 2 là M 1 – nội xạ □

1.5.8 Mệnh đề Môđun N là A – nội xạ khi và chỉ khi N là aR – nội xạ,aA

Chứng minh    Với aA thì aR  A nên theo Mệnh đề 1.2.1, N là aR – nội xạ Bây giờ ta giả sử N là aR–nội xạ  a A, ta sẽ chứng minh N là A – nội xạ

Gọi X là môđun con của A và :X N là đồng cấu bất kỳ Xét tập S gồm tất cả các cặp (B, ), trong đó XBA và  :BN là mở rộng của , quan hệ thứ tự trên S là quan hệ Do (X, )S nên S khác rỗng, S thỏa Bổ đề Zorn

Vậy ta có thể tìm được cặp (B, ) tối đại theo nghĩa XBA và

 :BN là đồng cấu mở rộng của 

Ta chứng minh B cốt yếu trong A

Giả sử B không cốt yếu trong A, khi đó có môđun YA, Y0 sao cho

BY = 0 và XBYA Xác định đồng cấu : BYN như sau :

Như vậy  là mở rộng của  và là mở rộng của  Do đó, (B, )(BY,) mâu thuẫn với (B, ) tối đại

Giả sử BA, ta xét phần tử a A –B Đặt K = {rR : arB} Do aK = aRB nên K0 (Vì B e A)

Ta xác định đồng cấu như sau: : aKN sao cho (aK) =  (ak)

Do N là aR – nội xạ nên  có thể mở rộng thành v: aRN

Ta xác định : B + aRN như sau: (b+ar) =  (b) + v(ar),  là ánh xạ, vì giả sử có b ’ + ar ’ = b + ar (b ’ – b) + (ar ’ – ar) = 0

Ta có (b ’ + ar ’ ) – (b + ar) =  (b ’ ) + v(ar ’ ) –  (b) – v(ar ) =  (b ’ – b) + v(ar ’ – ar) Vì (b ’ –b) + a(r ’ –r) = 0 nên ta có a(r ’ – r)B Suy ra (r ’ – r)

K nên v(ar ’ – ar) =  (ar ’ – ar).Do đó:

(b ’ + ar ’ ) – (b + ar) =  (b ’ – b)+  (ar ’ – ar) =  (b ’ – b + ar ’ – ar) =

 (0) = 0 (b ’ + ar ’ ) = (b+ar) Khi đó,  là đồng cấu và  là mở rộng của 

Vậy (B,  )(B+aR, )( trái với (B, ) tối đại) Vậy B = A và  : AN là mở rộng của hay N là A – nội xạ □

 – nội xạ khi và chỉ khi N là A i – nội xạ,  iI

  là nội xạ khi và chỉ khi M  là A – nội xạ. 

1.5.11 Bổ đề Cho M 1 và M 2 là các môđun và M M 1 M 2 Thế thì, M 2 là

M 1 – nội xạ khi và chỉ khi với mọi môđun con N của M mà NM 2 0 đều tồn tại môđun con K của M sao cho M  K M 2 và N K

Giả sử M2 là M1 – nội xạ và với mọi môđun con N của M, N ∩ M2 = 0 Gọi πi: M → Mi (i = 1, 2) là các phép chiếu Đặt α = π1(N) và β = π2(N) Vì N ∩ M2 = 0 nên α là đơn cấu Do M2 là M1 – nội xạ, tồn tại đồng cấu φ: M1 → M2 sao cho φ(α) = β.

Lấy K m 1  m 1 :m 1M 1  Với mọi nN thì nm 1 m 2 Ta có

  hay   m 1 m 2, từ đây ta suy ra nm 1  m 1 K Do đó,

NK Nếu có m 1 M 1 và m 2 M 2 sao cho m 1  m 1 m 2 thì

   Giả sử với mọi môđun con N của M mà NM 2 0 đều tồn tại môđun con K của M sao cho M  K M 2 và NK Lấy X là môđun con của M 1 và

: 2 f X M là đồng cấu Đặt H   x  f x   : x  X  Khi đó H là môđun con của M và hiển nhiên HM 2 0 Theo giả thiết, tồn tại môđun con H’ của M sao cho M H'M 2 và H H' Lấy  :M H'M 2 M 2 là phép chiếu Đặt

Vậy, g là mở rộng của f, hay M 2 là M 1 – nội xạ □

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA CS – MÔĐUN VÀ MÔĐUN GIẢ NỘI XẠ

Các điều kiện (C i )

Cho môđun M Ta thường xét các điều kiện sau:

(C1) Mọi môđun con của M là cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của M

Nói cách khác, mọi môđun con đóng trong M là một hạng tử trực tiếp của M

(C2) Nếu một môđun con A của M đẳng cấu với một hạng tử trực tiếp của

M thì A cũng là một hạng tử trực tiếp của M

(C 3 ) Nếu M 1 và M 2 là hạng tử trực tiếp của M thoả mãn M 1 M 2 0, thì

M M là một hạng tử trực tiếp của M

(1– C 1 ) Mọi môđun con đều của M là cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của M

(1) Một môđun M được gọi là liên tục nếu M thỏa mãn điều kiện (C 1 ) và (C2)

(2) Một môđun M được gọi là tựa liên tục nếu M thỏa mãn các điều kiện (C 1 ) và (C 3 )

(3) Một môđun M được gọi là (1– C1)–môđun nếu M thỏa mãn điều kiện (1– C1)

Ta có dãy kéo theo sau đây là đúng:

Nội xạ  tựa nội xạ  liên tục  tựa liên tục  CS – môđun.

Một số tính chất của CS – môđun

2.2.1 Định nghĩa Môđun M được gọi là CS – môđun nếu M thỏa mãn điều kiện (C 1 ), hay nói cách khác, M là CS – môđun nếu mọi môđun con đóng của

M đều là hạng tử trực tiếp của M.

2.2.2 Bổ đề Cho M là R – môđun Khi đó:

(1) Hạng tử trực tiếp của M là môđun con đóng trong M

(2) Nếu K đóng trong L và L đóng trong M thì K đóng trong M

Chứng minh (1) Giả sử A là hạng tử trực tiếp của M, tức là M  A B, với

Lấy N sao cho A nằm trong N thì giao của N và B là rỗng Gọi π: A → B là phép chiếu, với ker π = B, do đó N giao với ker π là rỗng, dẫn đến π N là đơn cấu Như vậy, N được nhúng đơn cấu vào A, và A nằm trong N Kết luận, A = N, tức là A là môđun con đóng trong M.

(2) Trước hết ta chứng minh, nếu môđun con A đóng trong M và mọi

Q e M sao cho A Q thì Q A e M A Thật vậy, lấy PM sao cho AP và Q AP A0 Do QMnên A Q  P e P Từ đây, ta suy ra AP

Do đó, ta có Q A e M A và chứng minh rằng K đóng trong M Gọi K’ là phần bù giao của K trong L, L’ là phần bù giao của L trong M Theo Mệnh đề 1.2.5, ta có L L' e M Với kết quả đã chứng minh, ta suy ra rằng  LL '  L e M L Theo Tính chất 1.2.2, ta cũng có  LL '  K e M K, và tương tự,  KK '  K  e L K.

 K K ' L '  K   KK '  K  KL K '  e M K Lấy V M sao cho K  e V Khi đó, vì K   K '  L '   0 nên V   K '  L '   0, từ đây suy ra  V K     K   K ' L '  K   0 Do đó V  K hay K đóng trong M □

2.2.3 Hệ quả Hạng tử trực tiếp của CS – môđun là CS – môđun.

Chứng minh Giả sử M là CS – môđun, P là hạng tử trực tiếp của M, tức là

M  P Q, với QM Ta chứng minh P là CS – môđun

Lấy A là môđun con đóng trong P, do P đóng trong M, theo Bổ đề 2.2.2, nên

A đóng trong M Vì M là CS – môđun nên A là hạng tử trực tiếp của M, nghĩa là M  A B, với BM

Theo luật modular, thì P   P M   P  A  B    A  P  B  Vậy, A là hạng tử trực tiếp của P hay P là CS – môđun □

2.2.4 Bổ đề Mọi môđun khác không có chiều đều hữu hạn luôn chứa một môđun con đều.

Giả sử mô đun M không chứa mô đun con đều nào, điều này có nghĩa là tồn tại các mô đun con khác K1 và L1 của M sao cho K1 và L1 không giao nhau Khi đó, K1 không phải là mô đun con đều, dẫn đến việc tồn tại các mô đun khác K2 và L2 của K1 với tính chất tương tự.

M chứa một tổng trực tiếp vô hạn các môđun con khác, điều này mâu thuẫn với tính chiều đều hữu hạn của M Do đó, M phải chứa môđun con đều.

2.2.5 Mệnh đề M là CS – môđun và có chiều đều hữu hạn Khi đó M phân tích thành tổng trực tiếp hữu hạn các môđun con đều.

Chứng minh rằng trong không gian M có chiều đều hữu hạn, theo Bổ đề 2.2.4, tồn tại môđun con đều U1 Gọi X1 là bao đóng của U1 trong M Nếu X1 không phải là môđun con đều, thì tồn tại hai phần tử A và B thuộc X1 sao cho A và B khác không và A giao B bằng tập rỗng.

U  X nên U 1  A 0,U 1  B 0 Từ đây, ta có

Theo kết quả, U 1A và U 1B bằng không, điều này mâu thuẫn với tính đều của U 1, cho thấy X 1 là môđun đều Vì M là cơ sở môđun và X 1 là bao đóng của U 1, nên X 1 trở thành hạng tử trực tiếp của M, dẫn đến M = X 1 ⊕ M 1 Với M là cơ sở môđun và có chiều đều hữu hạn, theo Bổ đề 1.2.3, M 1 cũng là cơ sở môđun và có chiều đều hữu hạn Tương tự, từ M 1, ta có M 1 = X 2 ⊕ M 2, trong đó X 2 là môđun con đều và M 2 là cơ sở môđun với chiều đều hữu hạn.

Tiếp tục lí luận như trên, ta được M  X 1 X 2   X n M n , trong đó các

X_i là các môđun con đều và M_n là một môđun có chiều đều hữu hạn Vì M có chiều đều hữu hạn, quá trình này sẽ dừng lại sau một số bước hữu hạn, tức là tồn tại n sao cho M_n = 0 Khi đó, M có thể được biểu diễn dưới dạng tổng trực tiếp của các môđun con, cụ thể là M = X_1 ⊕ X_2 ⊕ ⊕ X_n.

X i i n là các môđun con đều □

2.2.6 Hệ quả Cho môđun M Nếu M là CS – môđun thì M là (1–C1)–môđun Chứng minh Giả sử M là CS – môđun theo định nghĩa CS – môđun, mỗi môđun con của M cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của M

Do vậy, mỗi môđun con đều cũng cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của

M, từ đó dẫn đến M là (1–C1)–môđun □

Một số tính chất của môđun giả nội xạ

2.3.1 Định nghĩa Môđun N là M – giả nội xạ nếu với mọi môđun con A của

M, với mọi đơn cấu :f AN đều mở rộng thành đồng cấu :g M N Môđun N được gọi là giả nội xạ nếu N là N – giả nội xạ

Hai môđun M và N được gọi là (giả) nội xạ lẫn nhau nếu M là N – (giả) nội xạ và N là M – (giả) nội xạ

Một dãy các đồng cấu R – môđun:

A n  1   f n A n f n  1 A n  1  được gọi là khớp tại A n nếu

Imf n ker f n  1 Ta nói dãy này là khớp nếu nó khớp tại A n với mọi n

Một dãy khớp dạng 0 M f  N g  K 0 được gọi là dãy khớp ngắn nếu f là đơn cấu, g là toàn cấu và Imf = Kerg

Một toàn cấu của các R – môđun M  f  N 0 được gọi là chẻ ra nếu tồn tại một đồng cấu :g N M sao cho fg1 N

Một đơn cấu của các R – môđun 0M  f N được gọi là chẻ ra nếu tồn tại một đồng cấu :g N M sao cho gf 1 M

Dãy khớp ngắn 0 M f  N g  K 0 được gọi là chẻ ra nếu Im f (hoặc kerg) là hạng tử trực tiếp của N

2.3.2 Mệnh đề (1) Nếu N là N –giả nội xạ thì mọi đơn cấu f N: Mchẻ ra.

(2) N là nội xạ khi và chỉ khi N là M – giả nội xạ, với mọi M

(3) Nếu N là M – giả nội xạ thì N là A – giả nội xạ, với mọi môđun con A của

(4) Mỗi hạng tử trực tiếp của môđun M – giả nội xạ cũng là môđun M – giả nội xạ

(5)Nếu N là M – giả nội xạ thì (M)N với mỗi đơn cấu

  Đặc biệt, nếu N là giả nội xạ thì ( )P P với mỗi đơn cấu End E P( ( )).

(6) Cho A và B là giả nội xạ lẫn nhau Nếu E A( )E B( )thì mỗi đẳng cấu

E A E B sinh ra một đẳng cấu AB , đặc biệt AB Khi đó, A và B là giả nội xạ

Chứng minh (1) Xét biểu đồ:

Ta có f N: M là đơn cấu và tồn tại ánh xạ ngược của f là f  1 : ( )f N N

 Do N là M – giả nội xạ nên tồn tại đồng cấu f ' :M N là mở rộng của f  1 (tức f i= ' f  1 ).Đặt u = f f ' n N

Vậy u = 1 N nên đơn cấu f chẻ ra □

(2) ()Ta có N là nội xạ khi và chỉ khi N là M – nội xạ với mọi M

Từ đó ta suy ra N là M – giả nội xạ, với mọi M

() Nếu N là M – giả nội xạ với mọi M thì mỗi đơn cấu :f N Mlà chẻ ra (do mệnh đề (1)) Do đó, N là nội xạ □

Lấy X là môđun con của A và f X: N là đơn cấu Khi đó,X cũng là môđun con của M

( Do A là môđun con của M) Đặt i A :AM

Do N là M – nội xạ nên tồn tại g : M N là mở rộng của f tức là g i A .i = f Đặt f* =g A = g i A : AN

Ta có: f * i = g i A .i=f nên f * là mở rộng của f

Vậy N là A – giả nội xạ, với mọi môđun con A của M □

Giả sử N là M – giả nội xạ và A là hạng tử trực tiếp của N, tức là N = A ⊕ A', với A' là môđun con của N Chúng ta sẽ chứng minh rằng A là M – giả nội xạ Lấy X là môđun con của M và f: X → A là đơn cấu Đặt g: X → N = A ⊕ A' được xác định bởi g(x) = (f(x), 0) Khi đó, g cũng là đơn cấu.

Vì N là M – giả nội xạ, g mở rộng thành đồng cấu g *: M  N, với g * i X = g Đặt  A : N  A A '  A là phép chiếu tự nhiên Khi đó,  A g * : M  A là đồng cấu và là mở rộng của f, vì  A g i * X   A g  f.

Vậy A là M – giả nội xạ □

(5) Ta có : N là M – giả nội xạ và đơn cấu : (E M)E N( ) Đặt X ={mM : ( ) m N}.Do N là M – giả nội xạ nên  X được mở rộng thành :M N

Với nN m, M thỏa (  )( )m n.Ta có: ( )m ( )m  n N.Với mX thì : (  )( )m  n( )m ( )m ( )m ( )m 0 ( DomX nên ( )m ( )m

Nếu N là giả nội xạ thì ( ) P P với mỗi đơn cấu End E P( ( )) W

(6) Do (5) và f E A: ( )E B( )là đẳng cấu nên ( )f A B và f  1 ( )B  A

Ta có B(ff  1 )( )B  f f(  1 ( ))B  f A( )và ( )f A B nên ( )f A B

Khi đó, f A :AB là đẳng cấu và AB

Nếu B A và A là B – giả nội xạ thì A là A – giả nội xạ, nghĩa là A là giả nội xạ

Tương tự, B cũng giả nội xạ □

2.3.3 Mệnh đề Cho M, N là các môđun và X M N Các điều kiện sau là tương đương:

(2) Với bất kỳ môđun con A của X thỏa mãn AM   A N 0, tồn tại môđun con T của X chứa A sao cho M  T X

Chứng minh     1  2 Giả sử có (1) và A là môđun thỏa mãn giả thiết (2)

Gọi  M :M  N M,  N :M  N N là các phép chiếu Ta xác định đồng cấu  : N   A  M   A như sau:

Với mỗi aA ,  N   a  M   a Do A N 0, nên  là đơn cấu Theo giả thiết, mở rộng thành đồng cấu g N: M Đặt

T  ng n nN Từ đây, ta thấy M  T X và  a A,

    a   m n n  n  n g n , với nN m, M , do đóAT, thỏa mãn

    2  1 Giả sử có (2) Gọi B là môđun con của N và f B: M là đơn cấu Đặt A   b  f b b   :  B , thế thì AM   A N 0 Theo giả thiết,

 tồn tại môđun con T của X chứa A sao cho M  T X Lấy : M T M là phép chiếu Khi đó,   b B b ,  f b     b f b   , ta có:

 N là mở rộng của f cần tìm □

2.3.4 Mệnh đề Nếu M là N – giả nội xạ và M P thì P là N – giả nội xạ.

Chứng minh Lấy X N và f X: P là đơn cấu

Do M P nên tồn tại đẳng cấu : PM Khi đó

  là đơn cấu, do M là N – giả nội xạ nên

f mở rộng thành đồng cấu :N M sao cho i X f

  , trong đó i X :X N là phép bao hàm Đặt g    1 :N P, thế thì ta có g i X       1 i X     1 f  f Vậy, g là mở rộng của f cần tìm hay P là

2.3.5 Định lí Mọi môđun giả nội xạ đều thỏa mãn tính chất (C 2 ).

Giả sử M là môđun giả nội xạ và B là môđun con của M, trong đó B đẳng cấu với hạng tử trực tiếp A của M Chúng ta sẽ chứng minh rằng B là hạng tử trực tiếp của M.

M Thật vậy, lấy f A: B là đẳng cấu Khi đó, f cũng là đơn cấu từ A vào

M Vì M là M – giả nội xạ, theo Mệnh đề 2.3.2(4) thì A là M – giả nội xạ

Theo Mệnh đề 2.3.2(1), đơn cấu f là chẻ ra Vậy B là hạng tử trực tiếp của M hay M có tính chất (C2) □

2.3.6 Định lí Hạng tử trực tiếp của môđun giả nội xạ là môđun giả nội xạ.

Chứng minh Giả sử M là môđun giả nội xạ và A là hạng tử trực tiếp của M, tức là M  A B, với BM Ta chứng minh A là môđun giả nội xạ

Lấy X  A và f X: A là đơn cấu Khi đó i f X A : M cũng là đơn cấu, trong đó :i A AM là phép nhúng Do M là giả nội xạ, nên i f A mở rộng thành đồng cấu : M M Đặt

  A và  :M   A B A là phép chiếu Lấyg:AA, thế thì ta có gi X i X i f A  f , trong đó

X : i X A là phép nhúng Vậy g là mở rộng của f cần tìm hay A là môđun giả nội xạ □

2.3.7 Bổ đề (Jain and Singh ) Nếu M là môđun giả nội xạ thì môđun con của M đẳng cấu với phần bù trong M cũng là phần bù trong M.

Chứng minh Cho K là phần bù trong M và A là môđun con của M sao cho

K là đẳng cấu môđun, và giả thiết cho rằng f mở rộng thành đồng cấu g từ M đến M Theo Bổ đề Zorn, tồn tại phần bù A’ trong M sao cho A ≤ e A' Do g A là đơn cấu, ta có K = g A ≤ e g A' Vì K là môđun con bù, nên K = g(A’), dẫn đến kết luận A = A’.

Theo Định lý 2.3.5 và Định nghĩa 2.1, môđun giả nội xạ CS được xác định là môđun liên tục Trong tài liệu [7], một số định nghĩa được trình bày, trong đó môđun M được gọi là có tính biến đổi (hữu hạn) nếu với mọi tập hợp I (hữu hạn) thỏa mãn điều kiện i ∈ I.

   với N và A i là các môđun thì M N M   i I B i

    với B i  A i Môđun M gọi là có tính triệt tiêu nếu M  X MY thì

XY M gọi là có tính triệt tiêu trong nếu M  A 1 B 1  A 2 B 2 mà

Môđun M được gọi là hữu hạn trực tiếp khi không đẳng cấu với bất kỳ hạng tử trực tiếp nào của nó Theo nghiên cứu, môđun nội xạ M có tính triệt tiêu nếu và chỉ khi M thỏa mãn một số điều kiện nhất định.

Môđun liên tục có hạng tử trực tiếp là môđun liên tục, theo Định lý 1.29 và Mệnh đề 2.7 Hơn nữa, mọi môđun liên tục đều có tính biến đổi, như được nêu trong Định lý 3.24 Dựa trên các kết quả này, chúng ta có thể chứng minh một số định lý tiếp theo.

2.3.8 Định lí M là tựa nội xạ khi và chỉ khi M là giả nội xạ và M 2 là CS – môđun.

Chứng minh Giả sử M là giả nội xạ và M 2 là CS – môđun Lấy

M i M i và X M 1 M 2 Theo nhận xét trên, thì M là môđun liên tục Gọi A là phần bù trong X sao cho AM 1 0 và AM 2  e A Do M 2

CS – môđun nên tồn tại môđun con V và V’ của M 2 sao cho V V'M 2 và

AM  V Mặt khác, M 2 là CS – môđun nên ta cũng có AA' X, với '

A  X Do V là hạng tử trực tiếp của môđun liên tục nên V là môđun liên tục hay V có tính biến đổi Vì V  A e A, ta có V A'0 Vậy, V A' X

Do đó A đẳng cấu với hạng tử trực tiếp V của M 2

Gọi C là môđun con của X với điều kiện C ∩ M1 = 0 Theo Bổ đề Zorn, tồn tại phần bù K trong X của M1 chứa C Cũng theo Bổ đề Zorn, tồn tại phần bù K1 trong K của K ∩ M2 và phần bù K2 trong K của K1 chứa K ∩ M2 Chúng ta nhận thấy K ∩ M2 ≤ e K2, và theo Bổ đề 2.2.2, K1 và K2 là phần bù trong X.

Mệnh đề 2.3.3 chỉ ra rằng tồn tại môđun con T của X chứa K1 sao cho M1 ⊕ T = X Điều này dẫn đến việc T đồng cấu với M2 và K1 là phần bù trong T Do đó, K1 cũng đẳng cấu với một phần bù trong M2 Tương tự, K2 cũng đẳng cấu với một phần bù của M2 Cuối cùng, phép chiếu thông thường được xác định bởi π: M1 ⊕ M2 → M2.

M  K K M   K  K , trong đó   K i K i Do tính liên tục của M 2 và điều kiện ở trên, nên   K 1   K 2 là hạng tử trực tiếp của

M 2 Vì K là phần bù của M 1 , M 1 K M 1  K  e X nên   K  e M 2 Theo cách chọn K 1 , K 2 và K 1 K 2  e K, thế thì   K 1   K 2  e   K

Do đó,   K 1   K 2  e M 2 Từ đây suy ra M 2   K 1   K 2   K Vậy, M 1  K X Theo Bổ đề 1.5.11, M 1 là M 2 – nội xạ □

2.3.9 Mệnh đề Nếu M N là giả nội xạ thì M và N là nội xạ lẫn nhau.

Giả sử M và N là các giả nội xạ, ta chứng minh rằng M là N – nội xạ và ngược lại Đặt X = M ⊕ N và A ⊆ X sao cho A ∩ M = 0 Gọi K là phần bù của M trong X chứa A, và π: M ⊕ N → N là phép chiếu Ta có M ⊕ = K M ⊕ π(K) ≤ eX, từ đó suy ra π(K) ≤ eN, với K ≈ π(K) Đặt f: π(K) → K là đẳng cấu Vì X là giả nội xạ, theo Mệnh đề 2.3.2(3), X cũng là N – giả nội xạ, và f mở rộng thành đồng cấu g: N → X Ta có K = g(π(K)) ≤ e g(N), do K là môđun con bù trong X.

K g N và   K  N Vậy M   K X Theo Bổ đề 1.5.11, M là N – nội xạ □

2.3.10 Hệ quả Nếu  i I  M i là giả nội xạ thì M là M j k – giả nội xạ với mọi j,kI.

Chứng minh Theo Mệnh đề 2.3.9.

2.3.11 Hệ quả Với mọi n2, M n là giả nội xạ nếu và chỉ nếu M là tựa nội xạ.

Nếu M n là giả nội xạ, thì M được xác định là M – nội xạ, tức là M là tựa nội xạ Ngược lại, nếu M là tựa nội xạ, thì M n cũng sẽ là tựa nội xạ và đồng thời là giả nội xạ.

2.3.12 Hệ quả CS – môđun giả nội xạ thì liên tục.

Chứng minh Suy ra từ Định lý 2.3.5

2.3.13 Bổ đề (1) Nếu môđun đều M là giả nội xạ thì M là tựa nội xạ

(2) Cho M   i I  M i là tổng trực tiếp các môđun đều M i M là tựa nội xạ khi và chỉ khi M là giả nội xạ

Chứng minh (1) Lấy A là môđun con của M và f A: M là đồng cấu Nếu

Giả sử ker f = 0, thì f mở rộng thành đồng cấu g từ M đến M Nếu ker f khác 0, đặt δ = -i_A f, với i_A: A → M là phép bao hàm Lấy ker ker x ∈ f ∩ δ, ta có f(x) = 0 và x - f(x) = 0, dẫn đến x = 0 Do đó, ker f ∩ ker δ = 0 Với M đều và ker f khác 0, ta có ker f ≤ e_M, từ đó suy ra ker δ = 0 Vì M là giả nội xạ, nên δ mở rộng thành đồng cấu g từ M đến M Rõ ràng, 1 - g là mở rộng của f.

M là một môđun giả nội xạ, theo Định lý 2.3.6, M(I – i) được xác định là M i – nội xạ cho mọi i thuộc I Dựa vào (1) và hạng tử trực tiếp của môđun giả nội xạ, ta có thể kết luận rằng mỗi M i đều là tựa nội xạ Theo Mệnh đề 1.2.6, điều này dẫn đến việc M cũng là tựa nội xạ.

2.3.14 Định lí Môđun M có chiều đều hữu hạn là tựa nội xạ khi và chỉ khi

M là giả nội xạ và là CS – môđun.

Chứng minh rằng M là giả nội xạ và CS là môđun Dựa vào Mệnh đề 2.2.5, M được xác định là tổng trực tiếp của các môđun đều Theo Bổ đề 2.3.13, từ đó ta có thể suy ra điều cần chứng minh □

2.3.15 Định lí Cho R là một vành Khi đó:

(a) Mỗi R môđun phải giả nội xạ không suy biến đều là tựa nội xạ

(b) Nếu R là vành Noether thì mỗi R môđun phải giả nội xạ không suy biến M đều chứa một môđun con tựa nội xạ cực đại, nghĩa là E cốt yếu trong

M Trong trường hợp nếu mỗi môđun con đều của M là cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của M thì M = E, nghĩa là M là tựa nội xạ

Chứng minh rằng nếu V là môđun con của R – môđun U, với U là môđun đều giả nội xạ không suy biến và f: V → U là một đồng cấu, thì ker(f) có thể là 0 hoặc V Nếu ker(f) = V, f có thể mở rộng thành một tự đồng cấu từ U đến U Ngược lại, nếu ker(f) = 0, f là đơn cấu và cũng có thể mở rộng thành tự đồng cấu U đến U, dẫn đến việc U là tựa nội xạ.