Một số tính chất của môđun m giả nội xạ

Kiến thức cơ sở

Môđun con cốt yếu, môđun đều

(1) Cho M là một R – môđun phải và N là môđun con của M Môđun

N được xem là cốt yếu trong M, ký hiệu là N ⊆e M, nếu với mọi môđun con K của M (K ≠ 0), thì giao của N và K (N ∩ K) luôn khác không Ngược lại, nếu N và K giao nhau bằng không (N ∩ K = 0), thì K phải bằng không (K = 0) Khi đó, M được gọi là mở rộng cốt yếu của N.

(2) Môđun U được gọi là đều nếu với mọi môđun con khác không trong U là cốt yếu của U

- Xét – môđun Khi đó là môđun đều

- Xét – môđun Khi đó là môđun đều

(1) Cho N là môđun con của M Khi đó

(1)( ) Do 0 x M nên 0xR M Do N e M nênN xR 0 ( ) Lấy 0 A M  0 x A

Ta có N xR 0 mà xR A   N A 0 Vậy N e M

Thật vậy, lấy 0 X M Do N e M nên N X 0 Đặt B N X N   Do A e N nên A B 0

(4) Lấy X M sao cho N X 0 Khi đó, N (A X)A, từ đây ta suy ra N A (A X A) 0 Do N A e M A nên (A X A ) 0 hay

Môđun con đóng và môđun con bù giao

(1) Môđun con A của môđun M là hạng tử trực tiếp của M nếu và chỉ nếu tồn tại môđun con B của M sao cho A B 0 và A B M  , khi đó M A B 

(2) Môđun con N được gọi là đóng trong M nếu N không có một mở rộng cốt yếu thực sự trong M Nói khác đi N được gọi là đóng trong

M nếu với mọi môđun con K0 của M mà N e K thì K N

Ví dụ: A, B là hai môđun con của M thỏa M A B  thì môđun B là đóng trong M

(3) Môđun con K của M được gọi là bao đóng của môđun con N trong M nếu K là môđun con tối đại trong M sao cho N là cốt yếu trong K

(4) Cho môđun M và A, B là hai môđun con của M Môđun B được gọi là bù giao của A trong M nếu B là môđun tối đại trong các môđun con của M thỏa B A 0

(5) Môđun con B của M được gọi là bù giao trong M nếu  A M mà B là bù giao của A trong M

Bổ đề Zorn phát biểu rằng trong một tập sắp thứ tự X không rỗng, nếu mọi xích của X đều có cận trên, thì tồn tại ít nhất một phần tử tối đại a thuộc X, sao cho với mọi phần tử x trong X, điều kiện a ≤ x chỉ xảy ra khi a = x.

(7) Đơn cấu f N: M được gọi là chẻ ra khi và chỉ khi

Im f   M khi và chỉ khi tồn tại đồng cấu :g M N để gf 1 N

1.2.2 Hệ quả Bao đóng của một môđun con N trong M luôn luôn tồn tại,

Ví dụ: Xét – môđun, 2 có bao đóng là

1.2.3 Mệnh đề Khái niệm đóng và bù giao là tương đương (tức là nếu

K là môđun con đóng thì K là bù giao trong M và ngược lại)

( ) Giả sử K đóng Ta chứng minh K bù giao

Xét tập hợp  = { X M X K | X ⊆ K và X ∩ M = ∅ } Vì 0 thuộc , nên  không rỗng Theo quan hệ ⊆, ta kiểm tra rằng  thỏa mãn điều kiện của bổ đề Zorn, từ đó suy ra rằng  có phần tử tối đại ký hiệu là A Kết luận rằng K là bù giao của A.

( ) Giả sử K bù giao Chứng minh K đóng

Thật vậy, giả sử K e X M Ta chứng minh X = K

Do K bù giao  A M để K A 0 và K tối đại có tính chất đó

Ta có X A 0 (vì nếu X A 0 a X a A a,  ,  0 aR X ; aR A Do K e X aR K k  0    A K k 0 (vô lí

Nếu X K  x X K x\ , 0 Xét xR X Khi đó K K xR  , (K xR ) A 0 (vì nếu   a A (K xR )  a A và a xR )

 Suy ra a X  a 0 (do X A 0) Điều này mâu thuẫn với tính tối đại của K với tính chất K A 0 X K Vậy

1.2.4 Mệnh đề Nếu K là môđun con của M và L là phần bù giao của K

(i) L là môđun con đóng trong M

(ii) L K là môđun con cốt yếu của M

(ii) Ta cần chứng minh L K  e M

Thật vậy, lấy 0 N M nếu N(K L ) 0 thì N K 0 và

N L  do đó (N L  ) K 0 (vì nếu n + l = k thì n = k – l hay n N và n K L  và do đó n = 0 và k – l = 0) Lúc đó theo tính tối đại của L thì N L L  hay N = 0 Điều này mâu thuẫn với giả thiết N0

Môđun M – nội xạ

1.3.1 Định nghĩa Giả sử M và N là hai R – môđun phải Môđun N được gọi là M – nội xạ nếu mọi môđun con A của M và mọi đồng cấu môđun

:  f A N đều mở rộng thành đồng cấu g M: N (nghĩa là biểu đồ giao hoán g.i = f, với i là phép nhúng đồng nhất)

1.3.2 Bổ đề Nếu N là M – nội xạ khi đó mỗi đơn cấu f N: M đều chẻ ra Nếu thêm điều kiện M không phân tích được thì f là một đẳng cấu Chứng minh f -1 g i

Cho N là M – nội xạ và f N: M là đơn cấu

Ta cần chứng minh f là chẻ ra

Do N là M – nội xạ nên tồn tại mở rộng :g M N sao cho g.i = f -1

Ta chứng minh g.f = 1 N Thật vậy,  x N ta có: ( )( )g f x g i f x ( ( ))

   Vậy g.f = 1 N hay f là chẻ ra

Nếu M không phân tích được Do f chẻ ra Im( )f   M

+) Im( ) 0f   f là đồng cấu không Điều này mâu thuẩn f là đơn cấu

+) Im( )f M f là toàn cấu Vậy f là đẳng cấu

1.3.3 Mệnh đề Giả sử N là M – nội xạ và A là môđun con của M Khi đó:

Với mọi X A, với mọi đồng cấu : X N Nối thêm M và i X = i A i là phép nhúng từ X vào M Ta chứng minh  i

Thật vậy, do N là M – nội xạ nên tồn tại đồng cấu mở rộng

Vậy  i hay N là A – nội xạ

Với mọi X AM A, với mọi đồng cấu : X AN Bổ sung vào biểu đồ  ', là các đồng cấu tự nhiên '( )x  x A,  x X ;

 m  m A  m M; i và i’ là phép nhúng đồng nhất

Ta chứng minh tồn tại  :M AN để  i Thật vậy, do N là

M – nội xạ nên tồn tại đồng cấu mở rộng : M N sao cho 'i   ' Lấy : M AN xác định bởi ( m A )( )m

Khi đó  là một đồng cấu Thật vậy,  m A m; ' A M A

 x  x A Vậy  i hay N là M A – nội xạ

1.3.4 Định lý (tiểu chuẩn Baer về môđun M – nội xạ)

Một môđun N là M – nội xạ nếu và chỉ nếu N là mR – nội xạ,

() Ta có mR   mr r  R  là môđun con xyclic sinh bởi m,

 m M Suy ra mRM , nên theo Mệnh đề 1.3.3 ta có N là mR – nội xạ () Giả sử N là mR – nội xạ Chứng minh N là M – nội xạ

Thật vậy, xét biểu đồ:

N với mọi X M và với mọi đồng cấu : X N

Cần chứng minh tồn tại mở rộng đồng cấu : M N Áp dụng Bổ đề Zorn ta xét:

Lấy     ,  , : là mở rộng của   

A A Vậy  thỏa Bổ đề Zorn suy ra  có phần tử tối đại là  A ,   theo nghĩa X  A M và  :AN là đồng cấu mở rộng của 

Ta cần chứng minh A cốt yếu trong M Dùng phương pháp phản chứng giả sử A không cốt yếu trong M Khi đó, tồn tại B0 và BM để A B 0 Khi đó A  A B M

Lấy :A B N xác định bởi (a b ) ( )a suy ra  là mở rộng của  và là mở rộng của  Do đó  A ,    ( A  B , )  (mâu thuẫn tính tối đại của  A ,   ) Vậy A  e M

Ta chứng minh A = M Dùng phương pháp phản chứng giả sử A M Lấy m M A \ Đặt K    r R mr  A , ta có: mKmR A 0 (vì

Xác định :mKN cho bởi ( mk)(mk) Do mKmR mà

N là mR – nội xạ nên tồn tại đồng cấu : mRN là mở rộng của  sao cho   i mK M

Ta xác định : A mR N cho bởi ( a mr ) ( )a (mr), khi đó  là một ánh xạ Thật vậy, giả sử a mr  a' mr' a a ' m r r(  ') 0

( ') ( '). a mr a mr a mr a mr a a mr mr

Suy ra ( mr mr ')(mr mr ')(mr mr ') (2)

Từ (1) và (2) suy ra ( a mr )( 'amr')(a a ')(mr mr ')

(a a ' mr mr ')(0) 0 Vậy ( a mr )( 'amr') hay  là ánh xạ

Chứng minh  là đồng cấu Thật vậy,  a mr a; 'mr' A mR

(( a mr ) ( ' a mr'))((a a ')m r r(  '))(a a ')( (m r r ')) ( )a ( ')a (mr)(mr')( )a (mr)( ')a (mr') (a mr )( 'amr')

  ;  a mr A mR Ta có:  ( (a mr )) ( amr) ( a) ( mr) ( )a (mr)

Trong bài viết này, chúng ta có công thức  ( ( )a (mr))(a mr ), cho thấy rằng  là đồng cấu và do đó là một mở rộng của  Điều này dẫn đến kết luận rằng ( , )A (A mR , ), mâu thuẫn với giả thiết rằng ( , )A là tối đại Từ đó, chúng ta suy ra A=M và  :M N là một mở rộng của , dẫn đến N là M – nội xạ.

 i i I M – nội xạ khi và chỉ khi N là M – nội i xạ,  i I

M M theo Mệnh đề 1.3.3 suy ra N là M i – nội xạ,  i I

() Giả sử N là M i – nội xạ,  i I Đặt

M i I M Ta chứng minh N là M – nội xạ Thật vậy, giả sử X M và : X N là đồng cấu Dùng Bổ đề Zorn ta giả sử rằng  không thể mở rộng thành đồng cấu : '

 X N Với mọi X X'M Khi đó X ' e M Ta cần chứng minh X'M Dùng phương pháp phản chứng giả sử X 'M, tồn tại

 i I và m M i sao cho mX' Vì N là M i – nội xạ Theo Mệnh đề 1.3.3 suy ra N là mR – nội xạ

Lập luận như Định lí 1.3.4 ta có thể mở rộng  thành đồng cấu

 :X mRN Điều này mâu thuẫn với sự tối đại của  , do đó 'X M và  :M N là mở rộng của  Vậy N là M – nội xạ hay N là

   N là M – nội xạ N là M – nội xạ,    Chứng minh

   N Giả sử N là M – nội xạ Chứng minh rằng N  là M – nội xạ,  

Với mọi X M và với mọi đồng cấu : X N  Xét biểu đồ:

N N N là phép nhúng chính tắc n  (0, ,0,n  ,0, )

Do N là M – nội xạ nên tồn tại đồng cấu mở rộng : M N sao cho

i  Cần chứng minh rằng : M N  là mở rộng của  sao cho

 ( )x Vậy  i Hay N  là M – nội xạ,  

() Giả sử N  là M – nội xạ,   Chứng minh 

Thật vậy, lấy X M và đồng cấu : 

X N Chứng minh rằng tồn tại một đồng cấu mở rộng : 

Do N  là M – nội xạ,   nên tồn tại đồng cấu : M N  là mở rộng của * để i* Ta có:  x X,  i x ( )   .i x( )   *( )x

Môđun nội xạ và môđun tựa nội xạ

(1) Môđun N được gọi là nôi xạ nếu N là M – nội xạ, với mọi môđun M

(2) Môđun N được gọi là tựa nội xạ nếu N là N – nội xạ

(3) Bao nội xạ của môđun M, kí hiệu E(M), là môđun nội xạ bé nhất sao cho M cốt yếu trong E(M)

1.4.2 Định lí (Tiêu chuẩn Bear về môđun nội xạ)

Môđun N được coi là nội xạ khi và chỉ khi với mọi iđean của vành R và mọi đồng cấu R – môđun f từ I đến N, tồn tại một phần tử a thuộc N sao cho f(x) = ax cho mọi x thuộc I Để chứng minh điều này, cần lưu ý rằng N là môđun nội xạ với mọi môđun M Bởi vì R là môđun, nên N cũng phải thỏa mãn điều kiện trên.

R – nội xạ Ta có sơ đồ sau:

Với f* là mở rộng của f Lấy a = f*(1) (1 là đơn vị của R), khi đó

( ) (1 ) *(1 ) *(1)  f x f x f x f x ax i Điều kiện đủ Cho f thỏa mãn điều kiện đủ ta chứng minh N là nội xạ

X là môđun con bất kì của M, đồng cấu :g X N Ta chứng minh tồn tại g* là mở rộng của g

Xét họ   ( , ) T  X  T M , : T N là mở rộng của g  Ta cĩ ( X g, )   

Sắp thứ tự  như sau 1 1 2 2 1 2

Ta chứng minh  thỏa mãn Zorn Lấy tập con sắp thứ tự tuyến tính là ( ,T 1  1 ) ( , T 2  2 ) ( ,T n  n ) (a)

 x  k x , khi đó  là đồng cấu Vậy ( , )T  của dãy (a)

Theo bổ đề Zorn,  có phần tử tối đại Kí hiệu ( , )B   Ta chứng minh B = M và g* Thật vậy, nếu BM n M B\

Lấy H  B nR B H (do n B ) và :h HN trong đó a được xác b nr ( )b ar định như sau:

Gọi I    r R mr  B  Khi đó I R R Xác định đồng cấu :g IN r (mr) Theo định lí Baer  a N g x, ( )ax, x I Điều này mâu thuẩn với tính tối đại của ( , )B  trong  Suy ra B = M và lấy *g  Suy ra g* là mở rộng từ M N của g Vậy N là nội xạ

1.4.3 Bổ đồ Cho M, N là các môđun khi đó môđun N là M – nội xạ nếu và chỉ nếu  M  N ,    Hom E M E N  ( ), ( ) 

Vì E(N) là nội xạ nên ta cần chứng minh  Hom M E N  , ( ) 

( ) Giả sử X M và :XN là đồng cấu

Do E(N) là nội xạ nên  có thể mở rộng thành đồng cấu

 E M E N Từ giả thiết M N, khi đó : M N là mở rộng của  Vậy N là M – nội xạ

Ta có N là M – nội xạ,  X có thể mở rộng thành : M N Cần chứng minh N ( )M 0 Thật vậy, giả sử n N m M ,  sao cho ( )( )

1.4.4 Hệ quả Mở rộng của môđun M – tựa nội xạ bé là tồn tại duy nhất một đẳng cấu

Giả sử Q(M) = End(E(M),M) Khi đó hiển nhiên Q(M) thỏa điều kiện cần tìm

1.4.5 Hệ quả Hai môđun A và B được gọi là nội xạ lẫn nhau (nghĩa là

Nếu E A( ) gần bằng E B thì A và B có thể được coi là tương đương, với mọi đẳng cấu E A( ) chuyển thành E B( ) đều thu hẹp thành đẳng cấu AB Trong trường hợp này, A và B được xem là tựa - nội xạ.

Giả sử f : ( )E A E B( ) là một đẳng cấu Do B là A – nội xạ nên

( ) f A B (theo Bổ đề 1.4.3) Tương tự f  1 ( )B A

Vậy ( )f A B Do đó, f A :AB là một đẳng cấu hay A B

Ta lại có A là B – nội xạ và B A nên A là A – nội xạ Vậy A là môđun tựa – nội xạ

1.4.6 Mệnh đề M 1 M là tựa – nội xạ khi và chỉ khi 2 M là i M – nội j xạ ( ,i j1,2) Đặc biệt hạng tử trực tiếp của môđun tựa – nội xạ là tưa – nội xạ i f g

Môđun M – giả nội xạ

Môđun M – giả nội xạ và M – nội xạ

Luận văn này được thực hiện từ tháng 9/2011 tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Ngô Sỹ Tùng Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy đã tận tâm giúp đỡ, tạo điều kiện cho tác giả phát triển tư duy độc lập và tự tin trong những bước đầu của nghiên cứu khoa học.

Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến PGS.TS Lê Quốc Hán, PGS.TS Nguyễn Thành Quang, TS Nguyễn Thị Hồng Loan, TS Mai Văn Tư, TS Đào Thị Thanh Hà và các thầy cô trong khoa Toán, khoa Sau đại học trường Đại học Vinh, cũng như phòng QLKH&SĐH trường Đại học Đồng Tháp, vì đã động viên và hỗ trợ tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn.

Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban giám hiệu, các thầy cô trong tổ toán trường THPT Tràm Chim, cùng bạn bè và người thân đã hỗ trợ và tạo điều kiện để luận văn hoàn thành đúng thời hạn Mặc dù đã nỗ lực hết mình, luận văn vẫn không tránh khỏi những sai sót, vì vậy tác giả rất mong nhận được sự góp ý chân thành từ quý thầy cô và các bạn.

Chương 1 Kiến thức cơ sở

Trong chương này, chúng ta sẽ tổng hợp các kiến thức cơ bản cần thiết cho việc chứng minh trong chương tiếp theo Tất cả các vành R được đề cập trong luận văn này đều được giả định là vành có đơn vị ký hiệu 1, và các môđun được xem là môđun phải unita.

1.1 Môđun con cốt yếu, môđun đều

(1) Cho M là một R – môđun phải và N là môđun con của M Môđun

N được xem là cốt yếu trong M, ký hiệu là N ⊆e M, nếu mọi môđun con K của M (với K ≠ 0) đều có giao với N khác không (N ∩ K ≠ 0) Điều này cũng có nghĩa rằng nếu N và K không có phần chung (N ∩ K = 0) thì K phải bằng 0 Khi đó, M được gọi là mở rộng cốt yếu của N.

(2) Môđun U được gọi là đều nếu với mọi môđun con khác không trong U là cốt yếu của U

- Xét – môđun Khi đó là môđun đều

- Xét – môđun Khi đó là môđun đều

(1) Cho N là môđun con của M Khi đó

(1)( ) Do 0 x M nên 0xR M Do N e M nênN xR 0 ( ) Lấy 0 A M  0 x A

Ta có N xR 0 mà xR A   N A 0 Vậy N e M

Thật vậy, lấy 0 X M Do N e M nên N X 0 Đặt B N X N   Do A e N nên A B 0

(4) Lấy X M sao cho N X 0 Khi đó, N (A X)A, từ đây ta suy ra N A (A X A) 0 Do N A e M A nên (A X A ) 0 hay

1.2 Môđun con đóng và môđun con bù giao

(1) Môđun con A của môđun M là hạng tử trực tiếp của M nếu và chỉ nếu tồn tại môđun con B của M sao cho A B 0 và A B M  , khi đó M A B 

(2) Môđun con N được gọi là đóng trong M nếu N không có một mở rộng cốt yếu thực sự trong M Nói khác đi N được gọi là đóng trong

M nếu với mọi môđun con K0 của M mà N e K thì K N

Ví dụ: A, B là hai môđun con của M thỏa M A B  thì môđun B là đóng trong M

(3) Môđun con K của M được gọi là bao đóng của môđun con N trong M nếu K là môđun con tối đại trong M sao cho N là cốt yếu trong K

(4) Cho môđun M và A, B là hai môđun con của M Môđun B được gọi là bù giao của A trong M nếu B là môđun tối đại trong các môđun con của M thỏa B A 0

(5) Môđun con B của M được gọi là bù giao trong M nếu  A M mà B là bù giao của A trong M

Bổ đề Zorn khẳng định rằng, với một tập sắp thứ tự X không rỗng và mọi xích của X đều có cận trên, thì tồn tại ít nhất một phần tử tối đại trong X Cụ thể, nếu a là phần tử trong X và a ≤ x với mọi x thuộc X, thì a phải bằng x.

(7) Đơn cấu f N: M được gọi là chẻ ra khi và chỉ khi

Im f   M khi và chỉ khi tồn tại đồng cấu :g M N để gf 1 N

1.2.2 Hệ quả Bao đóng của một môđun con N trong M luôn luôn tồn tại,

Ví dụ: Xét – môđun, 2 có bao đóng là

1.2.3 Mệnh đề Khái niệm đóng và bù giao là tương đương (tức là nếu

K là môđun con đóng thì K là bù giao trong M và ngược lại)

( ) Giả sử K đóng Ta chứng minh K bù giao

Xét tập hợp    X M X K    0 , với 0  , ta có    Theo quan hệ ,  thỏa mãn điều kiện bổ đề Zorn, từ đó suy ra rằng  có phần tử tối đại ký hiệu là A Điều này cho phép chúng ta chứng minh rằng K là bù giao của A.

( ) Giả sử K bù giao Chứng minh K đóng

Thật vậy, giả sử K e X M Ta chứng minh X = K

Do K bù giao  A M để K A 0 và K tối đại có tính chất đó

Ta có X A 0 (vì nếu X A 0 a X a A a,  ,  0 aR X ; aR A Do K e X aR K k  0    A K k 0 (vô lí

Nếu X K  x X K x\ , 0 Xét xR X Khi đó K K xR  , (K xR ) A 0 (vì nếu   a A (K xR )  a A và a xR )

 Suy ra a X  a 0 (do X A 0) Điều này mâu thuẫn với tính tối đại của K với tính chất K A 0 X K Vậy

1.2.4 Mệnh đề Nếu K là môđun con của M và L là phần bù giao của K

(i) L là môđun con đóng trong M

(ii) L K là môđun con cốt yếu của M

(ii) Ta cần chứng minh L K  e M

Thật vậy, lấy 0 N M nếu N(K L ) 0 thì N K 0 và

N L  do đó (N L  ) K 0 (vì nếu n + l = k thì n = k – l hay n N và n K L  và do đó n = 0 và k – l = 0) Lúc đó theo tính tối đại của L thì N L L  hay N = 0 Điều này mâu thuẫn với giả thiết N0

1.3.1 Định nghĩa Giả sử M và N là hai R – môđun phải Môđun N được gọi là M – nội xạ nếu mọi môđun con A của M và mọi đồng cấu môđun

:  f A N đều mở rộng thành đồng cấu g M: N (nghĩa là biểu đồ giao hoán g.i = f, với i là phép nhúng đồng nhất)

1.3.2 Bổ đề Nếu N là M – nội xạ khi đó mỗi đơn cấu f N: M đều chẻ ra Nếu thêm điều kiện M không phân tích được thì f là một đẳng cấu Chứng minh f -1 g i

Cho N là M – nội xạ và f N: M là đơn cấu

Ta cần chứng minh f là chẻ ra

Do N là M – nội xạ nên tồn tại mở rộng :g M N sao cho g.i = f -1

Ta chứng minh g.f = 1 N Thật vậy,  x N ta có: ( )( )g f x g i f x ( ( ))

   Vậy g.f = 1 N hay f là chẻ ra

Nếu M không phân tích được Do f chẻ ra Im( )f   M

+) Im( ) 0f   f là đồng cấu không Điều này mâu thuẩn f là đơn cấu

+) Im( )f M f là toàn cấu Vậy f là đẳng cấu

1.3.3 Mệnh đề Giả sử N là M – nội xạ và A là môđun con của M Khi đó:

Với mọi X A, với mọi đồng cấu : X N Nối thêm M và i X = i A i là phép nhúng từ X vào M Ta chứng minh  i

Thật vậy, do N là M – nội xạ nên tồn tại đồng cấu mở rộng

Vậy  i hay N là A – nội xạ

Với mọi X AM A, với mọi đồng cấu : X AN Bổ sung vào biểu đồ  ', là các đồng cấu tự nhiên '( )x  x A,  x X ;

 m  m A  m M; i và i’ là phép nhúng đồng nhất

Ta chứng minh tồn tại  :M AN để  i Thật vậy, do N là

M – nội xạ nên tồn tại đồng cấu mở rộng : M N sao cho 'i   ' Lấy : M AN xác định bởi ( m A )( )m

Khi đó  là một đồng cấu Thật vậy,  m A m; ' A M A

 x  x A Vậy  i hay N là M A – nội xạ

1.3.4 Định lý (tiểu chuẩn Baer về môđun M – nội xạ)

Một môđun N là M – nội xạ nếu và chỉ nếu N là mR – nội xạ,

() Ta có mR   mr r  R  là môđun con xyclic sinh bởi m,

 m M Suy ra mRM , nên theo Mệnh đề 1.3.3 ta có N là mR – nội xạ () Giả sử N là mR – nội xạ Chứng minh N là M – nội xạ

Thật vậy, xét biểu đồ:

N với mọi X M và với mọi đồng cấu : X N

Cần chứng minh tồn tại mở rộng đồng cấu : M N Áp dụng Bổ đề Zorn ta xét:

Lấy     ,  , : là mở rộng của   

A A Vậy  thỏa Bổ đề Zorn suy ra  có phần tử tối đại là  A ,   theo nghĩa X  A M và  :AN là đồng cấu mở rộng của 

Ta cần chứng minh A cốt yếu trong M Dùng phương pháp phản chứng giả sử A không cốt yếu trong M Khi đó, tồn tại B0 và BM để A B 0 Khi đó A  A B M

Lấy :A B N xác định bởi (a b ) ( )a suy ra  là mở rộng của  và là mở rộng của  Do đó  A ,    ( A  B , )  (mâu thuẫn tính tối đại của  A ,   ) Vậy A  e M

Ta chứng minh A = M Dùng phương pháp phản chứng giả sử A M Lấy m M A \ Đặt K    r R mr  A , ta có: mKmR A 0 (vì

Xác định :mKN cho bởi ( mk)(mk) Do mKmR mà

N là mR – nội xạ nên tồn tại đồng cấu : mRN là mở rộng của  sao cho   i mK M

Ta xác định : A mR N cho bởi ( a mr ) ( )a (mr), khi đó  là một ánh xạ Thật vậy, giả sử a mr  a' mr' a a ' m r r(  ') 0

( ') ( '). a mr a mr a mr a mr a a mr mr

Suy ra ( mr mr ')(mr mr ')(mr mr ') (2)

Từ (1) và (2) suy ra ( a mr )( 'amr')(a a ')(mr mr ')

(a a ' mr mr ')(0) 0 Vậy ( a mr )( 'amr') hay  là ánh xạ

Chứng minh  là đồng cấu Thật vậy,  a mr a; 'mr' A mR

(( a mr ) ( ' a mr'))((a a ')m r r(  '))(a a ')( (m r r ')) ( )a ( ')a (mr)(mr')( )a (mr)( ')a (mr') (a mr )( 'amr')

  ;  a mr A mR Ta có:  ( (a mr )) ( amr) ( a) ( mr) ( )a (mr)

Trong bài viết này, chúng ta có thể thấy rằng đồng cấu  là một mở rộng của , dẫn đến việc ( , )A (A mR , ), điều này mâu thuẫn với giả thiết ( , )A tối đại Do đó, chúng ta kết luận rằng A=M và  :M N là một mở rộng của , từ đó suy ra rằng N là M – nội xạ.

 i i I M – nội xạ khi và chỉ khi N là M – nội i xạ,  i I

M M theo Mệnh đề 1.3.3 suy ra N là M i – nội xạ,  i I

() Giả sử N là M i – nội xạ,  i I Đặt

M i I M Ta chứng minh N là M – nội xạ Thật vậy, giả sử X M và : X N là đồng cấu Dùng Bổ đề Zorn ta giả sử rằng  không thể mở rộng thành đồng cấu : '

 X N Với mọi X X'M Khi đó X ' e M Ta cần chứng minh X'M Dùng phương pháp phản chứng giả sử X 'M, tồn tại

 i I và m M i sao cho mX' Vì N là M i – nội xạ Theo Mệnh đề 1.3.3 suy ra N là mR – nội xạ

Lập luận như Định lí 1.3.4 ta có thể mở rộng  thành đồng cấu

 :X mRN Điều này mâu thuẫn với sự tối đại của  , do đó 'X M và  :M N là mở rộng của  Vậy N là M – nội xạ hay N là

   N là M – nội xạ N là M – nội xạ,    Chứng minh

   N Giả sử N là M – nội xạ Chứng minh rằng N  là M – nội xạ,  

Với mọi X M và với mọi đồng cấu : X N  Xét biểu đồ:

N N N là phép nhúng chính tắc n  (0, ,0,n  ,0, )

Do N là M – nội xạ nên tồn tại đồng cấu mở rộng : M N sao cho

i  Cần chứng minh rằng : M N  là mở rộng của  sao cho

 ( )x Vậy  i Hay N  là M – nội xạ,  

() Giả sử N  là M – nội xạ,   Chứng minh 

Thật vậy, lấy X M và đồng cấu : 

X N Chứng minh rằng tồn tại một đồng cấu mở rộng : 

Do N  là M – nội xạ,   nên tồn tại đồng cấu : M N  là mở rộng của * để i* Ta có:  x X,  i x ( )   .i x( )   *( )x

1.4 Môđun nội xạ và môđun tựa nội xạ

(1) Môđun N được gọi là nôi xạ nếu N là M – nội xạ, với mọi môđun M

(2) Môđun N được gọi là tựa nội xạ nếu N là N – nội xạ

(3) Bao nội xạ của môđun M, kí hiệu E(M), là môđun nội xạ bé nhất sao cho M cốt yếu trong E(M)

1.4.2 Định lí (Tiêu chuẩn Bear về môđun nội xạ)

Môđun N được gọi là nội xạ khi và chỉ khi với mọi iđean của vành R và mọi đồng cấu R – môđun f từ I đến N, tồn tại phần tử a thuộc N sao cho f(x) = ax với mọi x thuộc I Để chứng minh điều này, ta cần xem xét điều kiện cần, trong đó N là môđun nội xạ với mọi môđun M Do R là một vành môđun, nên N cũng phải là một môđun.

R – nội xạ Ta có sơ đồ sau:

Với f* là mở rộng của f Lấy a = f*(1) (1 là đơn vị của R), khi đó

( ) (1 ) *(1 ) *(1)  f x f x f x f x ax i Điều kiện đủ Cho f thỏa mãn điều kiện đủ ta chứng minh N là nội xạ

X là môđun con bất kì của M, đồng cấu :g X N Ta chứng minh tồn tại g* là mở rộng của g

Xét họ   ( , ) T  X  T M , : T N là mở rộng của g  Ta cĩ ( X g, )   

Sắp thứ tự  như sau 1 1 2 2 1 2

Ta chứng minh  thỏa mãn Zorn Lấy tập con sắp thứ tự tuyến tính là ( ,T 1  1 ) ( , T 2  2 ) ( ,T n  n ) (a)

 x  k x , khi đó  là đồng cấu Vậy ( , )T  của dãy (a)

Theo bổ đề Zorn,  có phần tử tối đại Kí hiệu ( , )B   Ta chứng minh B = M và g* Thật vậy, nếu BM n M B\

Lấy H  B nR B H (do n B ) và :h HN trong đó a được xác b nr ( )b ar định như sau:

Gọi I    r R mr  B  Khi đó I R R Xác định đồng cấu :g IN r (mr) Theo định lí Baer  a N g x, ( )ax, x I Điều này mâu thuẩn với tính tối đại của ( , )B  trong  Suy ra B = M và lấy *g  Suy ra g* là mở rộng từ M N của g Vậy N là nội xạ

1.4.3 Bổ đồ Cho M, N là các môđun khi đó môđun N là M – nội xạ nếu và chỉ nếu  M  N ,    Hom E M E N  ( ), ( ) 

Vì E(N) là nội xạ nên ta cần chứng minh  Hom M E N  , ( ) 

( ) Giả sử X M và :XN là đồng cấu

Do E(N) là nội xạ nên  có thể mở rộng thành đồng cấu

 E M E N Từ giả thiết M N, khi đó : M N là mở rộng của  Vậy N là M – nội xạ

Ta có N là M – nội xạ,  X có thể mở rộng thành : M N Cần chứng minh N ( )M 0 Thật vậy, giả sử n N m M ,  sao cho ( )( )

1.4.4 Hệ quả Mở rộng của môđun M – tựa nội xạ bé là tồn tại duy nhất một đẳng cấu

Giả sử Q(M) = End(E(M),M) Khi đó hiển nhiên Q(M) thỏa điều kiện cần tìm

1.4.5 Hệ quả Hai môđun A và B được gọi là nội xạ lẫn nhau (nghĩa là

Nếu E A( ) tương đương với E B, thì mọi đẳng cấu E A( ) đến E B đều được thu hẹp thành đẳng cấu A đến B, trong trường hợp A và B là tựa – nội xạ.

Giả sử f : ( )E A E B( ) là một đẳng cấu Do B là A – nội xạ nên

( ) f A B (theo Bổ đề 1.4.3) Tương tự f  1 ( )B A

Vậy ( )f A B Do đó, f A :AB là một đẳng cấu hay A B

Ta lại có A là B – nội xạ và B A nên A là A – nội xạ Vậy A là môđun tựa – nội xạ

1.4.6 Mệnh đề M 1 M là tựa – nội xạ khi và chỉ khi 2 M là i M – nội j xạ ( ,i j1,2) Đặc biệt hạng tử trực tiếp của môđun tựa – nội xạ là tưa – nội xạ i f g

Chương 2 Môđun M – giả nội xạ

(1) Cho M, N là các R – môđun N được gọi là M – giả nội xạ nếu với mọi môđun con A của M, với mọi đơn cấu :f AN đều mở rộng thành đồng cấu :g M N

(2) N được gọi là giả nội xạ nếu N là N – giả nội xạ

(3) Hai môđun A, B được gọi là giả nội xạ lẫn nhau nếu A là B – giả nội xạ và B là A – giả nội xạ

(4) Các điều kiện (C i ) của môđun

Giả sử M là một môđun ta thường xét các điêu kiện sau của M

(C 1 ) Mọi môđun con của M là cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của M hay nói cách khác mọi môđun con đóng trong M là hạng tử trực tiếp của M

(C 2 ) Nếu A và B là các môđun con của M đẳng cấu với nhau và

A là hạng tử trực tiếp của M thì B cũng là hạng tử trực tiếp của M

(C 3 ) Nếu A và B là các hạng tử trực tiếp của M và A B 0thì

A B cũng là một hạng tử trực tiếp của M

(5) Môđun M được gọi là CS – môđun (hoặc extending môđun) nếu

(6) Môđun M được gọi là liên tục nếu M thỏa điều kiện (C 1 ) và (C 2 )

(7) Môđun M được gọi là tựa – liên tục nếu M thỏa điều kiện (C1) và (C 3 ).

2.2 Một số tính chất của môđun M – giả nội xạ

(1) Nếu N là M – giả nội xạ thì mọi đơn cấu f N: M là chẻ ra

(2) N là nội xạ khi và chỉ khi N là M – giả nội xạ với mọi M

(3) Nếu N là M – giả nội xạ thì N là A – giả nội xạ với mọi môđun con A của M

(4) Mỗi hạng tử trực tiếp của một môđun M – giả nội xạ cũng là M

(5) Nếu N là M – giả nội xạ, thì (M)N với mỗi đơn cấu

 E M E N Đặc biệt, nếu P là giả nội xạ, thì ( )P P với mỗi đơn cấu En E Pd( ( ))

A và B là hai môđun giả nội xạ lẫn nhau Nếu E A( ) và E B( ) tương đương, thì mọi đẳng cấu từ E A( ) đến E B( ) sẽ thu hẹp thành đẳng cấu từ A đến B, xác nhận rằng A và B là giả nội xạ.

(1) Cho f N: M là một đơn cấu Xét biểu đồ sau: f(N) M

Do N là M – giả nội xạ nên tồn tại mở rộng ':f M N sao cho f i'  f  1

Ta chứng minh 'f f 1 N Thật vậy  x N ta có  f f '  ( ) x  f i f x '  ( ) 

   Vậy 'f f 1 N Hay ( )f N chẻ ra trong M

(2) () Giả sử N là nội xạ ta cần chứng minh N là M – giả nội xạ với mọi M

Do N là nội xạ nên N là M – nội xạ với mọi M Với mọi AM, với mọi đơn cấu :f AN Xét biểu đồ sau

Ta có N là M – nội xạ với mọi M, nên tồn tại mở rộng ':f MN sao cho 'f i f Hay N là M – giả nội xạ với mọi M

() Giả sử N là M – giả nội xạ với mọi M, theo (1) thì mỗi đơn cấu

:  f N M là chẻ ra, do đó tồn tại đồng cấu :g M N sao cho gf 1 N

Với mọi A  M , với mọi đồng cấu :h AN Xét biểu đồ sau

Ta chứng minh gih Thật vậy, với mọi aA ta có gi a( )g a( )h a( )

Suy ra g là mở rộng của h Vậy N là M – nội xạ với mọi M hay N là nội xạ

Môđun con X của A với ánh xạ f từ X đến N là một đơn cấu, đồng nghĩa với việc X cũng là môđun con của M Vì N là M – giả nội xạ, ánh xạ f có thể mở rộng thành đồng cấu từ M đến N Hơn nữa, ánh xạ thu hẹp từ A đến N cũng là đồng cấu mở rộng của f, cho thấy N là A – giả nội xạ.

(4) Giả sử N là môđun M – giả nội xạ, và N A A' Cho X là một môđun con của M và f X: A là một đơn cấu

Xác định g X:   N A A' cho bởi g x ( )   f x ( ),0  Do đó g là một đơn cấu và do N là M – giả nội xạ nên g mở rộng thành một đồng cấu *:g M N

Cho  A :N  A A' A là phép chiếu tự nhiên Thì  A g*:M A là một đồng cấu mở rộng của f Vì vậy A là M – giả nội xạ

(5) Cho N là M – giả nội xạ và đơn cấu : ( E M)E N( )

Xác định X   m M  : ( )  m  N  , ta có  X : X  N là một đơn cấu và do N là M – giả nội xạ nên  X có thể mở rộng thành đồng cấu

Theo định nghĩa bao nội xạ ta có N e E N( ) nên (  )(M) 0 , do đó

 M  M Mà ( M)N nên ( M)N Đặc biệt, nếu P là giả nội xạ thì P là P – giả nội xạ, theo chứng minh trên ta có ( ) P P

(6) Giả sử f E A: ( )E B( ) là một đẳng cấu

Ta có B là A – giả nội xạ nên ( )f A B(theo Mệnh đề 2.1(5))

Tương tự f  1 ( )B A Ta có B    ff  1 ( ) B  f f   1 ( ) B   f A ( )  B

Vậy ( )f A B, do đó :  f A A B là một đẳng cấu Như vậy A B

Ta lại có A là B – giả nội xạ và BA nên A là A – giả nội xạ Vậy A là giả nội xạ

2.2.2 Định lí Nếu M 1 M là giả nội xạ, thì M 2 1 và M 2 là nội xạ lẫn nhau Chứng minh

Giả sử M1 và M2 là giả nội xạ, ta chứng minh rằng M1 là M2 – nội xạ và ngược lại Đối với mọi tập A thuộc M2 và mọi đồng cấu fA từ A đến M1, ta xác định gA từ A đến M1 ⊕ M2 với công thức g(a) = (f(a), a) cho mọi a thuộc A Tiếp theo, ta chứng minh rằng g là đơn cấu.

Vậy g là đơn cấu Theo Mệnh đề 2.2.1 ta có M 1 M 2 là M 2 – giả nội xạ, nên g mở rộng thành một đồng cấu g*:M 2 M 1 M 2

Nếu  1 :M 1 M 2 M 1 là phép chiếu tự nhiên thì  1 g*:M 2 M 1 là một đồng cấu mở rộng của f Do đó, M 1 là M 2 – nội xạ

2.2.3 Hệ quả Nếu   i i M là môđun giả – nội xạ, thì M j là M k – nội xạ với mọi i j i j, , 

Suy ra từ Định lí 2.2.2

2.2.4 Hệ quả Với mọi số nguyên n2, M là giả – nội xạ nếu và chỉ n nếu M là tựa – nội xạ

() Nếu M n là giả – nội xạ, thì theo Hệ quả 2.2.3, M là M – nội xạ, nghĩa là M là tựa – nội xạ

() Nếu M là tựa – nội xạ, thì M n là tựa – nội xạ, M n là giả nội xạ

2.2.5 Nhận xét Pandeya and Koirala (2001, Corollary 2.10), khẳng định

Nếu M là giả - nội xạ, thì mọi tổng trực tiếp hữu hạn M_n cũng sẽ là giả - nội xạ Ngược lại, nếu M_n là giả - nội xạ với một số n ≥ 2, theo Hệ quả 2.2.4, ta có thể kết luận rằng M là tựa - nội xạ, trong khi môđun giả - nội xạ không phải là tựa - nội xạ.

Ví dụ: Cho R là một đại số trên / (2) có cơ sở

 e e e n n n n 1 2 3 1 2 3 4, , , , , ,  với bảng nhân sau đây: e 1 e 2 e 3 n 1 n 2 n 3 n 4 e 1 e 1 0 0 0 0 n 3 0 e 2 0 e 2 0 n 1 0 0 n 4 e 3 0 0 e 3 0 n 2 0 0 n 1 n 1 0 0 0 0 0 0 n 2 n 2 0 0 0 0 0 0 n 3 0 0 n 3 0 0 0 0 n 4 0 0 n 4 0 0 0 0 khi đó R – môđun phải M e R 2 là giả – nội xạ nhưng không tựa – nội xạ

Ví dụ: Cho F / (2)và A F X [ ] Khi đó A x/ ( ) là một (A x/ ( ) - / ( )2

A x ) – song môđun theo cách tự nhiên và

   là một vành thông thường Cho M là một iđian phải

  khi đó M R là giả – nội xạ nhưng không tựa – nội xạ

2.2.6 Định lí Mọi môđun giả nội xạ đều thỏa mãn (C 2 )

Giả sử M là môđun giả – nội xạ và B là môđun con của M đẳng cấu với hạng tử trực tiếp A của M Ta chứng minh B là hạng tử trực tiếp của

M Thật vậy, :f BA là đẳng cấu Khi đó, f cũng là đơn cấu từ B vào