Biến ngẫu nhiên và các tính chất liên quan
Trong toàn bộ luận văn, chúng ta giả định rằng (Ω,F, P) là một không gian xác suất đầy đủ cố định, với tất cả các biến ngẫu nhiên được xác định trên cùng một không gian này Ở đây, m là số tự nhiên và C là một hằng số dương, mặc dù hằng số này có thể khác nhau trong các lần xuất hiện.
1.1.1 Định nghĩa Cho không gian xác suất (Ω,F,P) Anh xạ X : Ω → R được gọi là biến ngẫu nhiên nếu X là ánh xạ đo được, tức là ∀a ∈ R thì
1.1.2 Định nghĩa Cho biến ngẫu nhiên X, hàm số F(x) = P(X < x), x ∈ R được gọi là hàm phân phối xác suất của X.
Hàm phân phối của X có các tính chất sau
1.1.3 Định nghĩa 1 Họ hữu hạn các biến cố A 1 , A 2 , , A n được gọi là độc lập nếu với mọi 2 ≤k ≤ n và với mọi bộ k chỉ số 1 ≤ i 1 ≤ i k ≤n ta có
2 Họ các biến cố {A i ;i ∈ I} được gọi là độc lập nếu với mọi họ hữu hạn của nó độc lập.
3 Họ các σ− đại số {F i ;i ∈ I} được gọi là độc lập nếu họ bất kì {A i ;i ∈ I} với
4 Họ các biến ngẫu nhiên {X i ;i ∈ I} được gọi là độc lập nếu họ các σ− đại số {σ(X i );i ∈ I} là độc lập.
1.1.4 Định nghĩa Kí hiệuL 1 là tập tất cả các đại lượng ngẫu nhiên X : Ω → R khả tích Lebesgue, tức là R
Ω|X|dP < ∞. Đặt X + = max(X,0); X − = max(−X; 0) Khi đó
X = X + −X − Nếu có ít nhất X + ∈ L 1 hoặc X − ∈ L 1 , thì ta kí hiệu
X − dP là kì vọng của X.
Các tính chất của kì vọng.
1 Nếu C là hằng số thì EC = C.
2 Nếu a, b ∈ R và X, Y ∈ L 1 thì E(aX +bY) X + bEY.
3 Nếu X, Y ∈ L 1 và X ≤Y h.c.c thì EX ≤EY.
6.Nếu {X n ;n ≥ 1} ⊂ L 1 và X ∈ L 1 thỏa mãn 0 ≤X n ↑X thì EX n ↑ EX.
7 Nếu X và Y độc lập và X, Y ∈ L 1 thì EXY = EXEY.
1.1.5 Bổ đề Bổ đề Borel-Cantelli Giả sử(A n , n ≥1) là dãy các biến cố Khi đó
P(A n ) =∞và(A n , n ≥ 1)độc lập thìP(lim supA n ) = 1, trong đó lim supA n ∞
Chứng minh (i) Giả sử P∞ n=1P(An) < ∞ Khi đó
(ii) Trước hết, nhận xét rằng nếu 0 ≤x ≤ 1 thì 1−x ≤ e −x
Giả sửP∞ n=1P(A n ) =∞ Khi đó, vì dãy(A n , n ≥ 1)độc lập nên dãy(A n , n ≥1) cũng độc lập Do đó, với mọi n = 1,2, và mọi m > n, ta có
Do đó P(S∞ k=n)Ak = 1 với mọi n = 1,2, Điều này kéo theo
1.1.6 Định nghĩa Giả sử X và Y là hai biến ngẫu nhiên Khi đó, Covariance của X và Y kí hiệu là Cov(X, Y) được định nghĩa bởi:
Rõ ràng là nếu X và Y độc lập thì Cov(X, Y) = 0.
Một số khái niệm hội tụ của dãy các biến ngẫu nhiên
Giả sử {X n , n ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên cùng xác định trên không gian xác suất (Ω,F, P).
1.2.1 Định nghĩa Dãy các biến ngẫu nhiên {X n , n ≥ 1} được gọi là hội tụ theo xác suất đến biến ngẫu nhiên X(khi n → ∞) nếu ∀ > 0 ta đều có n→∞lim P(|X n −X| > ).
Khi đó, ta kí hiệu: X n → P X.
1.2.2 Định nghĩa Dãy các biến ngẫu nhiên {X n , n ≥ 1} được gọi là hội tụ hẫu chắc chắn đến biến ngẫu nhiên X(khi n → ∞) nếu
Khi đó, ta kí hiệu: lim n→∞ X n = X h.c.c.
1.2.3 Định lý Dãy các biến ngẫu nhiên {X n , n ≥ 1} hội tụ hầu chắc chắn đến biến ngẫu nhiên X(khi n→ ∞) khi và chỉ khi ∀ > 0 bất kì, n→∞lim P(sup k≥n
Một số khái niệm về luật số lớn
Giả sử {X n , n ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên cùng xác định trên không gian xác suất (Ω,F, P). Đặt
1.3.1 Định nghĩa Dãy các biến ngẫu nhiên {X n , n ≥ 1} được gọi là tuân theo luật yếu số lớn nếu
Dãy các biến ngẫu nhiên {X n , n ≥1} được gọi là tuân theo luật yếu số lớn tổng quát nếu tồn tại hai dãy số {a n , n ≥ 1},{b n , n ≥ 1},0 < b n ↑ ∞ sao cho
1.3.2 Định nghĩa Dãy các biến ngẫu nhiên {X n , n ≥ 1} được gọi là tuân theo luật mạnh số lớn nếu
Dãy các biến ngẫu nhiên {X n , n ≥ 1} được gọi là tuân theo luật mạnh số lớn tổng quát nếu tồn tại hai dãy số {a n , n ≥1},{b n , n ≥1},0 < b n ↑ ∞ sao cho
1.3.3 Bổ đề Giả sử 0< p ≤ 1 và {a i ; 1≤ i ≤ n} là các số thực Khi đó
|a 1 +a 2 + +a n | p ≤ |a 1 | p +|a 2 | p + +|a n | p Chứng minh Thật vậy, trước hết nếu a > 0, b > 0,0< p ≤ 1 thì
Ta thấy với p= 1 hiển nhiên.
Với 0 < p < 1, xét hàm số f(x) = (x+ 1) p −x p + 1 với x > 0,0< p ≤ 1. Khi đó f 0 (x) =p((x+ 1) p−1 −x p−1 ).
Sử dụng phương pháp quy nạp ta có điều phải chứng minh.
1.3.4 Bổ đề Giả sử p≥ 1 và {1≤ i ≤ n} là các số thực Khi đó,
Chứng minh Thật vậy, với p = 1 hiển nhiên.
Trong trường hợp p > 1, xét hàm số f(x) =x p , x > 0.
Khi đó f là hàm lồi nên f(
Từ Bổ đề 1.3.3 và 1.3.4 ta dễ dàng suy ra kết quả sau.
1.3.5 Định lý Giả sử {X i ; 1 ≤ i ≤ n} là họ các biến ngẫu nhiên, 0 < p ≤ 1 và E|X i | p < ∞, i= 1,2, , n Khi đó
E|X 1 | p Chứng minh Do 0 < p ≤1 nên ta có
Để chứng minh kỳ vọng của hai vế, chúng ta cần áp dụng Định lý được thiết lập từ Bổ đề Borel - Cantelli Kết quả này là cơ sở để xây dựng những kết luận chính trong nghiên cứu.
1.3.6 Định lý Giả sử {X n , n ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên và p > 0.
Chứng minh Với > 0 bất kì và mọi k ≥ 1 ta có
E|X n | p →0,khik → ∞. Điều này kéo theo k→∞lim P(sup n≥k
|X n | > ) = 0. Định lí sau đây được gọi là Bổ đề Toeplitz.
1.3.7 Định lý Cho a n i ; 1 ≤ i ≤ n, n ≥ 1 và x i , i ≥ 1 là các số thực sao cho với mọi i cố định lim n→∞ a n i = 0 và với mọi nta có Pn i=1|a n i | ≤ C 0 tồn tại n sao cho
Do đó với n≥ n ta có
Theo giả thiết ta suy ra lim n→∞ an i = 0 với mọi i = 1,2, , n −1. Điều này kéo theo n→∞lim n
X i=1 a n i x i = 0. ii) Nếu lim n→∞ Pn i=1a n i = 1,lim n→∞ x n = x thì từ kết quả trên và đẳng thức n
(xi −x)an i ta thu được lim n→∞ Pn i=1a n i x i = x.
Bổ đề sau đây dùng để chứng minh Bổ đề 1.4.6 Bổ đề 1.4.6 là công cụ để chứng minh kết quả chính của luận văn.
1.3.8 Bổ đề Giả sử {X n , n ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập và
EX n = 0;n≥ 1 và giả sử p > 1 thì
X i 2 ) p 2 , ở đây C là hằng số không phụ thuộc n.
Khi đó {X n ,F n , n ≥1} là hiệu martingale.
Từ đó áp dụng bất đẳng thức Doob và bất đẳng thức Marcinkiewicz - Zyg- mund với n ≥ 1 ta có
Các biến ngẫu nhiên m−liên kết âm và kiến thức chuẩn bị
Trước hết ta trình bày một số khái niệm và kí hiệu để thiết lập kết quả chính.
Một họ biến ngẫu nhiên {X i ,1 ≤ i ≤ n} được gọi là liên kết âm nếu với mọi tập con A và B không giao nhau của {1,2,3 , n}, cùng với các hàm thực không giảm theo tọa độ f trên R |A| và g trên R |B|, điều kiện nhất định được thỏa mãn.
Khái niệm m−liên kết âm sau đây được giới thiệu trong [4].
Định nghĩa m-liên kết âm: Cho m là một số nguyên dương, một họ các biến ngẫu nhiên {X i ,1 ≤i ≤n} được gọi là m-liên kết âm nếu n ≤ m + 1 Nếu n > m + 1, với mỗi k ≥ 2 và các chỉ số i1, i2, ik thỏa mãn |ih - il| > m, thì đối với mọi 1 ≤ h ≠ l ≤ k, họ này cũng được coi là m-liên kết âm.
Khi m = 1, khái niệm m−liên kết âm tương đương với khái niệm liên kết âm Bất đẳng thức Kolmogorov dạng mũ sau đây được suy ra từ định lý 3 trong tài liệu [5] với lựa chọn α = 1/2.
1.4.3 Bổ đề Cho {X i ,1 ≤ i ≤ n} là một dãy các biến ngẫu nhiên liên kết âm với kì vọng 0 và moment cấp hai hữu hạn Cho B n 2 = Pn i=1EX i 2 Khi đó
P(max 1≤k≤n Pn i=1X i ≥ ε) ≤ P(max 1≤i≤n X i > a) + 4 exp( 4(aε+B −ε 2 n )(1 + 2 3 ln(1 + aε
Dựa vào Bổ đề 1.4.3, các tác giả trong [4] đã chứng minh một kết quả quan trọng liên quan đến tổng các biến ngẫu nhiên m−liên kết âm, và Bổ đề này là công cụ chính để chứng minh định lý 1.5.1.
Bổ đề 1.4.4 khẳng định rằng cho dãy biến ngẫu nhiên {X_n, n ≥ 1} m-liên kết âm với kỳ vọng bằng 0 và moment cấp hai hữu hạn, ta định nghĩa S_n = ∑(i=1 đến n) X_i và B_n = ∑(i=1 đến n) E[X_i^2] Khi n ≥ m, với x > 0, a > 0 và 0 < α < 1, các điều kiện trên sẽ được thỏa mãn.
Chứng minh Với 1 ≤k ≤ n, đặt r = [ m n ]; Yi X i với 1 ≤i ≤ n
Kết hợp với bổ đề 1.4.3 suy ra
Tiếp theo, chúng ta sẽ thiết lập bất đẳng thức cực đại cho tập hợp các biến ngẫu nhiên m−liên kết âm Để làm điều này, trước tiên, chúng ta sẽ áp dụng kết quả đã được các tác giả nghiên cứu.
1.4.5 Bổ đề Giả sử p > 1, {X i ,1 ≤ i ≤n} là dãy các biến ngẫu nhiên liên kết âm thỏa mãn EX i = 0, E|X i | p < ∞ với mọi i Khi đó,
Dựa vào Bổ đề 1.4.5 và phương pháp chứng minh Bổ đề 2.2 trong tài liệu của Thanh [6], chúng ta có thể thiết lập bất đẳng thức cực đại cho tập hợp các biến ngẫu nhiên m−liên kết âm.
Bổ đề 1.4.6 nêu rằng, với tập hợp các biến ngẫu nhiên {X i ; 1 ≤ i ≤ n} có m−liên kết âm và kỳ vọng EXi = 0, đồng thời E|X i | p < ∞ với p > 1, tồn tại một hằng số C chỉ phụ thuộc vào m và p.
Chứng minh Với n ≤m + 1, bổ đề hiển nhiên đúng.
Ta chứng minh bổ đề trong trường hợp n > m + 1 Với n > m + 1, chú ý rằng với mọi j thỏa mãn: 1 ≤ j ≤ m + 1 ta có họ các biến ngẫu nhiên {Xi(m+1)+j;0≤i(m+1)≤n−j} liên kết âm Ta có
(theo bất đẳng thức Liapunov)
Sự hội tụ hầu chắc chắn của tổng có trọng số các biến ngẫu nhiên m−liên kết âm
Sử dụng phương pháp chứng minh trong Bing-Yi Jing - Han-Ying Liang [3] và
Bổ đề 1.4.4, ta thiết lập luật mạnh số lớn đối với tổng có trọng số các biến ngẫu nhiên m−liên kết âm.
Cho {X, X n , n ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên cùng phân phối m−liên kết âm Cho {b ni ,1 ≤ i ≤ n} là một mảng số thực Đặt T n = Pn i=1b ni X i , ta có định lí sau.
1.5.1 Định lý Giả sử E | X1 | p < ∞ với p > 0 và EX1 = 0 nếu p > 1 Giả sử {b ni ; 1 ≤ i ≤n;n ≥ 1} thoã mãn: max 1≤i≤n | bni | = O(n −1 p ) Khi đó,
(1) Nếu p > 2 và Pn i=1b 2 ni = o((logn) −1 ) thì Tn = o(1) h.c.c.
(2) Nếu p > 2 và Pn i=1b 2 ni = O((logn) −1 ) thì T n = O(1) h.c.c.
(3) Nếu 0 < p ≤2 và Pn i=1 | b ni | p = O(n −δ ) với δ >0 thì T n = o(1) h.c.c. Chứng minh Từ b ni = b + ni −b − ni ta có thể giả sử b ni > 0.
Giả sử ε > 0tùy ý, chọn η >0đủ bé và N ≥ 1(sẽ được xác định sau này) và đặt
Xni(1) = −b −1 ni n −η I(bniXi < −n −η ) +XiI(| bniXi |≤n −η ) +b −1 ni n −η I(bniXi > n −η ),
Xni(3) = (Xi+b −1 ni n −η )I(−n −η > bniXi > −ε mN),
X ni (4) = (X i −b −1 ni n −η )I(b ni X i ≥ ε mN) + (X i + b −1 ni n −η )I(b ni X i ≤ −ε mN),
Dễ thấy {b ni Xni(1),1 ≤ i ≤ n, n ≥ 1} là dãy m-liên kết âm do định nghĩa của X ni (1).
Chứng minh (1). Để chứng minh(1)ta sẽ chứng minh S n (l) =o(1)h.c.c đối với l = 1,2,3,4. Đầu tiên ta chứng minh S n (1) →0. Để chứng minh điều này ta sẽ chứng minhES n (1) →0vàS n (1)−ES n (1)→
Do EXi = 0(1≤ i ≤ n) và giả thiết của định lí ta có
Chọn η đủ nhỏ thỏa mãn (p−1)η − 1 ≤ 1− 2 p Khi đó ES n (1) → 0, khi n → ∞.
Bây giờ ta chứng minh S n (1)−ES n (1) → 0 h.c.c. Để chứng minh Sn(1)−ESn(1) →0 h.c.c ta chứng minh
1≤i≤nmax |b ni X ni (1)−E(b ni X ni (1))| ≤ 2n −η ,
E|b ni X ni (1)−E(b ni X ni (1))| 2 = o(logn) −1
Sử dụng Bổ đề 1.4.4 với x = , a = 2n −η , α = 1 2 ta được
Từ đó ta suy ra P∞ n=1P(|S n (1)−ES n (1)| > ) < ∞, với mọi > 0.
Bây giờ ta chứng minh Sn(2) = o(1).
Sử dụng tính chất của liên kết âm và bất đẳng thức Markov ta có
P(Có ít nhất N số i thỏa mãn|b n,mi+j X mi+j | > n −η )
Chọn η đủ nhỏ và N > 1 sao cho 1− 2 p −pη > 0 và (1− 2 p −pη)N ≥ 1.
Từ đó ta suy ra P∞ n=1P(|S n (2)| > ) < ∞,với ∀ > 0 Điều này kéo theo
Chứng minh S n (3) = o(1) h.c.c tương tự với chứng minh S n (2) nên ta bỏ qua.
Theo bổ đề Borel - Canteli, ta có
P(lim sup(| Xi |≥ ci 1 p )) = 0 nên P(S∞ n=1
Kết hợp điều này với max 1≤i≤n | b ni |= O(n −1 p ) dễ dàng thấy Pn i=1|X ni (4)| bị chặn hầu chắc chắn Do vậy
Chứng minh phần (2) tương tự phần (1).
Sau đây ta sẽ chứng minh phần (3). Đầu tiên chúng ta chứng minh ES n (1) = o(1).
Nếu p > 1 chứng minh tương tự như ở phần (1).
Bây giờ ta chứng minh S n (1)−ES n (1) = o(1) h.c.c.
Sau đó áp dụng bất đẳng thức cực đại như ở phần (1) ta có S n (1) = o(1) h.c.c.
Chứng minh S n (l) = o(1) h.c.c đối với l = 2,3,4 chứng minh giống phần (1).
Chúng ta sẽ thiết lập luật mạnh số lớn Brunk - Chung cho dãy m− liên kết âm Trước tiên, một số bổ đề được chứng minh trong tài liệu [6] sẽ được trình bày.
Giả sử {X n , n ≥ 1} là một dãy biến ngẫu nhiên, cùng với {b n , n ≥ 1} là dãy số dương không giảm, và {k n , n ≥ 0} là dãy số dương thỏa mãn điều kiện n≥0 inf b k n+1 b k n > 1 và sup n≥0 b k n+1 b k n < ∞.
Xi = 0 h.c.c (1.6) khi và chỉ khi n→∞lim( 1 b k n+1 −b k n max k n ≤k≤k n+1 | k
M n , n ≥ 0. Điều kiện cần: Với k ≥ 1, giả sử n ≥0 thỏa mãn k n ≤ k ≤k n+1 , ta có
Từ đó ta có max k n ≤k 1/2, 1 ≤ p < 2, và αp ≥ 1, với điều kiện EX 1 = 0 khi α ≤ 1 Các phát biểu trong định lý này được coi là tương đương với nhau, tạo nên một cơ sở lý thuyết vững chắc cho nghiên cứu trong lĩnh vực thống kê.
X i=1 a ni X i | > n α ) < ∞, với mọi > 0 và với mọi mảng các hằng số {a ni , n ≥1,1 ≤ i ≤n} thỏa mãn n
Chứng minh Trước hết ta chứng minh (i) kéo theo (ii) Ta kí hiệu a + ni = max{a ni ,0} và a − ni = max{−a ni ,0} khi đó ani = a + ni −a − ni
Do đó, ta chỉ cần chứng minh
Như vậy, không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử rằng a ni ≥ 0 và với mọi n ≥ 1, i ≥1.Với mỗi n ≥1, ta kí hiệu
X i=1 aniYni.Khi đó, với mọi > 0, ta có
Với mọi n≥ 1, theo bất đẳng thức Cauchy, ta có
|E(a ni X ni )| = 0 (theo bổ đề 2.1.2). Để thu được (ii) ta chỉ cần chứng minh
Theo cách đặt, ta có dãy {a ni X ni ,1 ≤ i ≤ n} là dãy các biến ngẫu nhiên m− liên kết âm Ta có
Như vậy, (ii) hoàn toàn được chứng minh Để chứng minh (ii) kéo theo (i) ta chỉ cần chọn a ni = 1 và ứng dụng kết quả của Kuczmaszewsaka [7].
Đề tài nghiên cứu về sự hội tụ của dãy các biến ngẫu nhiên m−liên kết âm đã đạt được nhiều kết quả quan trọng Cụ thể, đề tài thiết lập luật mạnh số lớn đối với tổng có trọng số của biến ngẫu nhiên m−liên kết âm, mở rộng kết quả của Bing-Yi Jing và Han-Ying Liang trong Định lý 1.5.1 Ngoài ra, đề tài cũng thiết lập luật mạnh số lớn đối với Brunk - Chung cho dãy các biến ngẫu nhiên m−liên kết âm, được thể hiện trong Định lý 1.5.4 Cuối cùng, nghiên cứu đã đưa ra một định lý về sự hội tụ đầy đủ của tổng có trọng số của biến ngẫu nhiên m−liên kết âm, được ghi nhận trong Định lý 2.2.1.
Hướng phát triển của luận văn
Mở rộng kết quả các Định lí 1.5.1, Định lí 1.5.4 và Định lí 2.2.1 đối với mảng hai chiều các biến ngẫu nhiên m−liên kết âm.
Nghiên cứu dáng điệu tiệm cận đối với hàm lặp các biến ngẫu nhiên m−liên kết âm.
TÀI LIỆU THAM KHẢO tiếng việt
[1] Nguyễn Văn Quảng (2008), Xác suất nâng cao, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội.
[2] Nguyễn Duy Tiến, Vũ Viết Yên (2003), Lý thuyết Xác suất, NXB Đại học Quốc gia, Hà Nội. tiếng anh
[3] Bing-Yi Jing - Han-Ying Liang , Strong limit theorems for weighted sums of negatively associated random variables,J.Theor Probab ,21, 2008, 890-909.
[4] Tien-Chung Hu, Chen - Yu Chiang, Robert L.Taylor, On complete con- vergence for arrays of rowwise m-negatively associated random variables, Nonlinear Analysis , 71, 2009, e1075-e1081.
[5] Qi-Man Shao , A comparison theorem on moment inequalities between neg- atively associated and independent random variables,Journal of Theoretical Probability ,Vol 13, 2, 2000.
[6] Le Van Thanh , On the Brunk - Chung type strong law of large numbers for sequences of blockwisem−dependent random variables,ESAIM: Probability and Statistics, 10, p.261-267, 2006.
[7] Kuczmaszewska, A On complete convergence in Marcinkiewicz-Zymund type SLLN for large number for negative associated random variables, J.Korean Math Soc 43 (2006), no 6, 1325-1338.
[8] Y.S Chow and H Teicher, Probability Theory: Independence, Interchange- ability, Martingales, 3rd ed Springer-Verlag, New York(1997).