ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– Đặng Phạm Phú An TÍNH CHẤT CỦA DÃY I-HỘI TỤ TRONG KHƠNG GIAN TOPO LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Đà Nẵng - 2021 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– Đặng Phạm Phú An TÍNH CHẤT CỦA DÃY I-HỘI TỤ TRONG KHÔNG GIAN TOPO Chuyên ngành: Tốn Giải tích Mã số: 8.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Lương Quốc Tuyển Đà Nẵng - 2021 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các số liệu, kết luận văn trung thực chưa công bố cơng trình khác Tác giả ĐẶNG PHẠM PHÚ AN LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành luận văn này, lời tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy TS Lương Quốc Tuyển tận tình hướng dẫn tác giả suốt trình thực đề tài Tác giả gửi lời cảm ơn chân thành đến tất quý thầy tận tình dạy bảo tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Đồng thời, tác giả xin gửi lời cảm ơn đến ban lớp cao học Tốn Giải Tích K39-ĐN, nhiệt tình giúp đỡ tác giả trình học tập vừa qua ĐẶNG PHẠM PHÚ AN MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG Kiến thức chuẩn bị 1.1 Dãy số thực 1.2 Hội tụ thống kê 1.3 Không gian topo, tập hợp mở lân cận tập hợp 1.4 Tập hợp đóng bao đóng tập hợp 11 1.5 Phần tập hợp 17 1.6 Ánh xạ liên tục 19 1.7 Không gian 21 1.8 Tổng không gian topo 23 1.9 Không gian thương 24 CHƯƠNG Tính chất dãy I -hội tụ không gian metric suy rộng 26 2.1 Ideal lọc tập hợp M 26 2.2 Tính chất dãy I -hội tụ 29 2.3 Tính chất tập I -mở, I -đóng 36 2.4 Không gian I -Fréchet-Urysohn không gian I -dãy 40 KẾT LUẬN 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO 51 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Năm 1951, H Fast giới thiệu phần mở rộng khái niệm giới hạn thông thường dãy số thực tác giả gọi hội tụ thống kê (xem [1]) Trong [4], I J Schoenberg đưa số tính chất hội tụ thống kê nghiên cứu tổng chuỗi nhờ khái niệm hội tụ thống kê Đến năm 1985, J A Fridy đưa khái niệm dãy Cauchy thống kê chứng minh tương đương với dãy hội tụ thống kê (xem [2]) Gần đây, nhiều tác giả giới mở rộng khái niệm hội tụ thống kê theo nhiều hướng khác Một hướng mở rộng tác giả giới quan tâm nhiều khái niệm I -hội tụ không gian topo, I ideal Trong [5], X Zhou, L Liu, S Lin đưa khái niệm ánh xạ I -liên tục, chứng minh ánh xạ liên tục bảo toàn dãy I -hội tụ, f bảo tồn dãy I -hội tụ, f ánh xạ I -liên tục Từ đó, tác giả đặt toán sau Bài toán Ánh xạ I -liên tục có bảo tồn dãy I -hội tụ hay khơng? Bên cạnh đó, tác giả chứng minh hợp hai tập I -mở tập I -mở; I -là ideal cực đại, giao hai tập I -mở tập I -mở Bởi vậy, tác giả đặt toán mở sau: Bài toán Giao hai tập I -mở có tập I -mở hay khơng? Các toán số tác giả giới quan tâm chưa có lời giải đáp Với mong muốn nghiên cứu hội tụ thống kê nghiên tính chất dãy I -hội tụ không gian topo, hướng dẫn thầy giáo TS Lương Quốc Tuyển, định chọn đề tài: “Tính chất dãy I -hội tụ không gian topo” làm đề tài cho luận văn Mục đích nghiên cứu Trong luận văn này, nghiên cứu hội tụ thống kê dãy số thực, từ làm tiền đề để nghiên cứu dãy I -hội tụ không gian topo Chứng minh chi tiết số kết liên quan đến dãy I -hội tụ tác giả trước Đối tượng nghiên cứu Dãy số thực hội tụ thống kê, Dãy I -hội tụ không gian topo, tính chất tập I -mở, I -đóng, tính chất khơng gian I -FréchetUrysohn , không gian I -dãy Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu tính chất dãy I -hội tụ, tập I -mở, I -đóng khơng gian topo Phương pháp nghiên cứu • Tham khảo tài liệu, hệ thống lại số kiến thức topo đại cương • Thu thập báo khoa học tác giả trước liên quan hội tụ thống kê I -hội tụ • Bằng cách tương tự hóa, khái qt hóa nhằm đưa kết mở rộng số kết tác giả trước • Phân tích, đánh giá, tổng hợp trao đổi với thầy hướng dẫn kết nghiên cứu để hồn chỉnh đề tài Cấu trúc đề tài Nội dung luận văn chúng tơi trình bày hai chương Ngồi ra, khóa luận có Lời cảm ơn, Mục lục, phần Mở đầu, phần Kết luận Tài liệu tham khảo Chương 1, trình bày số kiến thức hội tụ dãy số, hội tụ thống kê số thực, không gian topo, không gian metric suy rộng nhằm phục vụ cho việc nghiên cứu Chương Chương 2, trình bày tính chất dãy I -hội tụ khơng gian metric suy rộng; tập hợp I -đóng, I -mở không gian topo; không gian I -dãy, không gian I -Fréchet-Urysohn 45 I Như vậy, xn → x X ◦ Nếu x ∈ / A, x ∈ A \ A, kéo theo A khơng đóng X Bây giờ, ta đặt Y = A ∪ {x}, Y khơng gian X Bởi A ⊂ Y A khơng đóng X nên A khơng đóng Y Thật vậy, giả sử ngược lại A đóng Y Khi đó, tồn F đóng X cho A = Y ∩ F = (A ∪ {x}) ∩ F = (A ∩ F ) ∪ ({x} ∩ F ) (2.1) Nhờ (2.1) ta suy A ⊂ F , kéo theo x ∈ A ⊂ F = F Do đó, từ (2.1) ta có A = A ∪ {x}, mâu thuẫn Bởi giả thiết ta suy Y không gian I -dãy Do đó, tồn dãy I {xn } ⊂ A cho xn → x Như vậy, X khơng gian I -Fréchet-Urysohn Định lí 2.4.11 ([5]) Giả sử {(Xα , τα )}α∈Λ họ gồm không gian topo X = α∈Λ Xα Khi đó, 1) Nếu (Xα , τα ) không gian I -Fréchet-Urysohn với α ∈ Λ, X không gian I -Fréchet-Urysohn ; 2) Nếu (Xα , τα ) không gian I -dãy với α ∈ Λ, X khơng gian I -dãy Chứng minh (1) Giả sử A ⊂ X x ∈ A Khi đó, tồn α ∈ Λ cho x ∈ Xα Trước tiên ta chứng minh Xα ∩ A = Xα ∩ A Xα Xα (2.2) ◦ Ta có Xα ∩ A tập đóng nhỏ Xα chứa Xα ∩ A Bởi A đóng X chứa A nên Xα ∩ A tập đóng Xα chứa Xα ∩ A Do đó, Xα Xα ∩ A ⊂ Xα ∩ A (2.3) 46 Xα ◦ Xα ∩ A tập đóng Xα nên tồn F đóng X cho Xα ∩ A Xα = Xα ∩ F Bởi Xα ∩ A ⊂ Xα nên ta có Xα Xα ∩ A ⊂ X α ∩ A = Xα ∩ F Suy Xα ∩ A ⊂ F , kéo theo Xα ∩ A ⊂ F = F Mặt khác, Xα đóng X nên Xα ∩ A ⊂ Xα = Xα Do đó, ta có Xα ∩ A ⊂ Xα ∩ F = X α ∩ F Xα (2.4) Nhờ (2.3) (2.4) ta suy (2.2) Tiếp theo, Xα x ∈ Xα ∩ A = Xα ∩ A Xα không gian I -Fréchet-Urysohn nên tồn dãy {xn } ⊂ Xα ∩ A I cho xn → x Xα Bởi {xn } ⊂ A nên để hoàn thành chứng I minh ta cần chứng tỏ xn → x X Thật vậy, giả sử U lân cận mở x X Khi đó, Xα mở I X nên U ∩ Xα lân cận mở x Xα Mặt khác, xn → x Xα nên tồn m ∈ N cho {n ∈ N : xn ∈ / U ∩ Xα } ∈ I Hơn nữa, {xn } ⊂ Xα nên ta có {n ∈ N : xn ∈ / U } = {n ∈ N : xn ∈ / U ∩ Xα } ∈ I I Điều chứng tỏ xn → x X (2) Giả sử F tập I -đóng X Khi đó, với α ∈ Λ, ta có • F ∩ Xα I -đóng X 47 I Thật vậy, giả sử {xn } ⊂ F ∩ Xα cho xn → x X Bởi Xα đóng X nên theo Bổ đề 2.3.2 ta suy Xα I -đóng X I Mặt khác, {xn } ⊂ Xα xn → x X nên x ∈ Xα Hơn nữa, I {xn } ⊂ F , xn → x X F tập I -đóng nên x ∈ F Như vậy, x ∈ F ∩ Xα , F ∩ Xα tập I -đóng X • F ∩ Xα I -đóng Xα I Thật vậy, giả sử {xn } ⊂ F ∩ Xα cho xn → x Xα U lân cận x Xα Khi đó, tồn lân cận V x X cho U = Xα ∩ V Bởi F ∩ Xα ⊂ Xα nên {n ∈ N : xn ∈ / V } = {n ∈ N : xn ∈ / U } ∈ I I Do đó, xn → x X Bởi F ∩ Xα đóng X nên ta suy x ∈ F ∩ Xα Bởi thế, F ∩ Xα tập I -đóng Xα Hơn nữa, Xα khơng gian I -dãy nên F ∩ Xα tập đóng Xα Như vậy, F ∩ Xα đóng Xα với α ∈ Λ Theo định nghĩa topo tổng ta suy F đóng X Do đó, X không gian I -dãy Bổ đề 2.4.12 ([5]) Dãy I -hội tụ bất biến qua ánh xạ liên tục Chứng minh Giả sử f : (X, τ ) → (Y, σ) ánh xạ liên tục từ không gian I topo (X, τ ) vào không gian topo (Y, σ), xn → x X Ta chứng minh I f (xn ) → f (x) Y Thật vậy, giả sử U lân cận f (x) Y Khi đó, f I ánh xạ liên tục nên f −1 (U ) lân cận x X Mặt khác, xn → x X nên {n ∈ N : xn ∈ / f −1 (U )} ∈ I Hơn nữa, {n ∈ N : xn ∈ / f −1 (U )} = {n ∈ N : f (xn ) ∈ / U} 48 nên ta suy {n ∈ N : f (xn ) ∈ / U } ∈ I I Do đó, f (xn ) → f (x) Y , f bảo tồn dãy I -hội tụ Định lí 2.4.13 ([5]) Giả sử f : (X, τ ) → (Y, σ) ánh xạ liên tục (X, τ ) khơng gian I -dãy Khi đó, f bảo tồn I -dãy hội tụ Chứng minh Theo Bổ đề 2.4.12 ta suy f bảo toàn dãy I -hội tụ Bây giờ, giả sử f bảo toàn dãy I -hội tụ Ta chứng minh f liên tục Thật vậy, giả sử ngược lại f không liên tục Khi đó, tồn U ∈ σ cho f −1 (U ) ∈ / τ , kéo theo X \ f −1 (U ) khơng đóng X Bởi X khơng gian I -dãy nên ta suy X \ f −1 (U ) không tập I -đóng X I Do đó, tồn {xn } ⊂ X \ f −1 (U ) cho xn → x x ∈ / X \ f −1 (U ) Suy x ∈ f −1 (U ), kéo theo f (x) ∈ U Mặt khác, f bảo tồn I -dãy I nên f (xn ) → f (x) Y Hơn nữa, U mở nên theo Bổ đề 2.3.2, U tập I -mở, kéo theo X \ U tập I -đóng Bởi {f (xn )} ⊂ X \ U nên ta suy f (x) ∈ X \ U Điều mâu thuẫn với f (x) ∈ U Như vậy, f ánh xạ liên tục Định lí 2.4.14 ([5]) Khơng gian thương không gian I -dãy không gian I -dãy Chứng minh Giả sử (X, τ ) không gian topo, (X ∗ , τ ∗ ) không gian thương X A ⊂ X ∗ tập I -mở X ∗ Ta chứng minh A mở X ∗ Thật vậy, giả sử ngược lại A không tập mở X ∗ Khi đó, nhờ định nghĩa khơng gian thương ta suy π −1 (A) không mở X , kéo theo X \ π −1 (A) khơng đóng X Bởi X khơng gian I -dãy nên X \ π −1 (A) không tập I -đóng X Do đó, tồn dãy {xn } ⊂ X \ π −1 (A) cho I xn → x ∈ π −1 (A) 49 X Mặt khác, π liên tục nên nhờ Bổ đề 2.4.12, ta suy I π(xn ) → π(x) ∈ A Như vậy, tồn dãy {π(xn )} ⊂ X ∗ \ A cho I π(xn ) → π(x) ∈ A Điều chứng tỏ X ∗ \ A khơng tập I -đóng Do đó, A khơng tập I -mở, mâu thuẫn 50 KẾT LUẬN Sau thời gian tìm hiểu nghiên cứu, kết luận văn đọc hiểu chứng minh chi tiết số kết báo [2, 5], thu thành sau (1) Trình bày ideal, lọc tập M , tính chất mối liên hệ ideal lọc tập hợp M (2) Trình bày khái niệm tính chất dãy I -hội tụ Chứng minh mối liên hệ tính chất dãy I -hội tụ với số tính chất loại hội tụ khác (3) Trình bày tập I -mở, tập I -đóng tính chất chúng Nghiên cứu mối liên hệ tập I -mở, tập mở dãy tập mở; mối quan hệ tập I -đóng, tập đóng dãy tập đóng (4) Trình bày khơng gian Fréchet-Urysohn , không gian I -FréchetUrysohn , không gian dãy, không gian I -dãy Nghiên cứu tính di truyền lên khơng gian con, không gian thương, không gian tổng mối liên hệ khơng gian 51 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Fast, H (1951), Sur la convergence statistique Colloq Math 2, 241244 [2] Fridy, J (1985), On statistical convergence Analysis 5, 301–313 ˇ [3] Salát, T (1980), On statistically convergent sequences of real numbers Math Slovaca 30, 139-150 [4] Schoenberg, I J (1959), The integrability of certain functions and related summability methods Amer Math Monthly 66, 361-375 [5] Zhou X, Liu, L., Lin S., (2020), On topological spaces defined by I -convergence, Bulletin of the Iranian Mathematical Society 46, 675–692 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc BIÊN BẢN HỌP HỘI ĐỒNG CHẤM LUẬN VĂN THẠC SĨ Tên đề tài: Tính chất dãy I-hội tụ khơng gian topo Ngành: Tốn giải tích Lớp K39.TGT Theo Quyết định thành lập Hội đồng chấm luận văn thạc sĩ số 2040/QĐ-ĐHSP ngày 28 tháng 10 năm 2021 Ngày họp Hội đồng: ngày 28 tháng 11 năm 2021 Danh sách thành viên Hội đồng: HỌ VÀ TÊN STT CƯƠNG VỊ TRONG HỘI ĐỒNG TS Phạm Quý Mười Chủ tịch TS Lê Văn Dũng Thư ký TS Phan Đức Tuấn Phản biện PGS.TS Nguyễn Văn Đức Phản biện PGS.TS Nguyễn Thành Chung a Thành viên có mặt: Ủy viên b Thành viên vắng mặt: Thư ký Hội đồng báo cáo trình học tập, nghiên cứu học viên cao học đọc lý lịch khoa học (có văn kèm theo) Học viên cao học trình bày luận văn Các phản biện đọc nhận xét nêu câu hỏi (có văn kèm theo) Học viên cao học trả lời câu hỏi thành viên Hội đồng 10 Hội đồng họp riêng để đánh giá 11 Trưởng ban kiểm phiếu công bố kết 12 Kết luận Hội đồng a) Kết luận chung: Luận văn đạt yêu cầu Đề nghị hiệu trưởng Trường Đại học Sư phạm – Đại học Đà Nẵng công nhận kết chấm luận văn Hội đồng cấp thạc sĩ cho học viên b) Yêu cầu chỉnh, sửa nội dung: Sửa lại mã số chuyên ngành, sửa lại mục lục, Sửa lại Nhận xét 1.2.6, Cần phải thống ký hiệu toàn luận văn, Bổ sung kiến thức chuẩn bị quan trọng cho Chương 2, Bổ sung Không gian metric suy rộng gì? Sửa luận văn theo góp ý thành viên Hội đồng, đặc biệt nhận xét góp ý phản biện c) Các ý kiến khác: không d) Điểm đánh giá: Bằng số: 8,3 Bằng chữ: Tám ba 13 Tác giả luận văn phát biểu ý kiến 14 Chủ tịch Hội đồng tuyên bố bế mạc THƯ KÝ HỘI ĐỒNG Lê Văn Dũng CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG Phạm Quý Mười CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc - - BẢN NHẬN XÉT LUẬN VĂN THẠC SĨ (dùng cho thành viên hội đồng phản biện) Tên đề tài luận văn: Tính chất dãy I-hội tụ không gian topo Chuyên ngành: Tốn giải tích Mã ngành: 8.46.01.02 Họ tên học viên: Đặng Phạm Phú An Người nhận xét: TS Phan Đức Tuấn Đơn vị công tác: Trường Đại học Sư phạm – ĐH ĐN NỘI DUNG NHẬN XÉT Khái niệm giới hạn, hội tụ theo nghĩa thông thường H Fast mở rộng gọi hội tụ thống kê Sau lại số nhà tốn học tiếp tục mở rộng theo nhiều hướng khác Trong số có mở rộng I-hội tụ khơng gian topo nhiều nhà toán học quan tâm Với mong muốn nghiên cứu số tính chất liên quan đến mở rộng I-hội tụ, tác giả chọn đề tài: Tính chất dãy I-hội tụ khơng gian topo I Tính cấp thiết đề tài: Khái niệm hội tụ đóng vai trị quan trọng giải tích tốn học nói chung topo nói riêng Các khái niệm giải tích tốn học định nghĩa thông qua giới hạn như: Sự liên tục, khả vi, khả tích, tập đóng, … Do vậy, việc mở rộng khái niệm giới hạn để từ mở rộng khái niệm liên quan toán học cần thiết Nó làm phong phú thêm khơng gian nhờ mở rộng thêm khả ứng dụng toán học vào thực tiễn II Cơ sở khoa học thực tiễn: Các khái niệm Idean, liên tục, tập đóng, tập mở, … với tính chất liên quan chứng minh chặt chẽ Trên sở tác giả chứng minh tính chất tương tự có cịn hay khơng cịn cho mở rộng i-hội tụ Bên cạnh đó, kết mở rộng tác giả kế thừa từ kết nghiên cứu nhà toán học tiếng như: H Fast, J A Fridy, X Zhou, L Liu, S Lin Điều cho thấy kết thu luận văn đảm bảo tính khoa học thực tiễn III Phương pháp nghiện cứu: Phương pháp nghiên cứu sử dụng luận văn phù hợp Bắt đầu từ việc mở rộng khái niệm I- hội tụ Kế đến tác giả xem xét kết có liên quan đến khái niệm giới hạn như: liên tục, tập đóng, tập mở, …để chứng minh kết cịn hay khơng cịn khái niệm I – hội tụ tìm quan hệ chúng Trong số trường hợp tác giả đưa điều kiện bổ sung để có bao hàm kết làm cho người đọc hình dung rõ mở rộng IV Kết nghiên cứu: Tác giả trình bày tính chất dãy I – hội tụ Chỉ mối liên hệ kết liên quan đến I – hội tụ như: tập I – mở, tập I – đóng, I- dãy, khơng gian I- Fréchet – Urysohn với kết tương ứng hội tụ thơng thường V Hình thức luận văn: Luận văn có bố cục tương đối hợp lý Bản tóm tắc phản ánh trung thực nội dung luận văn Hình thức đẹp, quy định, lỗi chế Tuy nhiên, tác giả nên rà soát lại khái niệm để đảm bảo nguyên tắc định nghĩa khái niệm phải có trước đề cập đến Ví dụ như: Định lý 2.4.2 đề cấp đến khái niệm “không gian I – dãy” (trang 40) đinh nghĩa không gian I – dãy Định nghĩa 2.4.4 (trang 42) VI Đánh giá chung: Các vấn đề đưa luận văn thiết thực, phù hợp với chun ngành Tốn giải tích Tác giả chứng minh chi tiết kết đưa luận văn Tuy nhiên, gần ví dụ để làm mở rơng thực kết khơng cịn mở rộng I – hội tụ Luận văn đáp ứng đầy đủ yêu cầu luận văn thạc sĩ tốn học chun ngành Tốn giải tích Kết luận: Tơi đồng ý để tác giả bảo vệ luận văn thạc sĩ trước hội đồng chấm luận văn thạc sĩ Đà Nẵng, ngày tháng 11 năm 2021 Người nhận xét TS Phan Đức Tuấn CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc =====&&&===== BẢN NHẬN XÉT LUẬN VĂN THẠC SĨ (Dùng cho phản biện) Đề tài: Tính chất dãy I-hội tụ khơng gian topo Chun ngành: Tốn giải tích Mã ngành: 8.46.01.02 Họ tên học viên: Đặng Phạm Phú An Người nhận xét: Nguyễn Văn Đức Đơn vị công tác: Trường Đại học Vinh NỘI DUNG NHẬN XÉT Tính cấp thiết đề tài Trong lí thuyết topo, dãy hội tụ thống kê nhiều nhà toán học giới quan tâm nghiên cứu Trong năm gần đây, khái niệm mở rộng theo nhiều hướng khác Một hướng mở rộng khái niệm I-hội tụ khơng gian topo với I ideal Theo hướng nghiên cứu này, nhà toán học giới đạt số kết song nhiều tốn mở cần tiếp tục nghiên cứu Vì vậy, đề tài “Tính chất dãy I-hội tụ không gian topo” mà học viên Đặng Phạm Phú An nghiên cứu có tính thời cấp thiết II Cơ sở khoa học thực tiễn Hầu hết kết luận văn chứng minh chặt chẽ; ví dụ luận văn cho thấy nội dung trình bày luận văn ứng dụng vào tình khác thực tiễn Vì thế, luận văn đảm bảo tính khoa học thực tiễn III Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu phù hợp, dựa tài liệu thu thập được, cách tương tự hóa, khái qt hóa, phân tích, đánh giá, tổng hợp, tác giả viết thành luận văn có bố cục hợp lý có tính logic cao IV Kết nghiên cứu Luận văn có độ dài 51 trang, bao gồm phần mở đầu, nội dung, kết luận tài liệu tham khảo Phần nội dung, luận văn chia làm hai chương: Chương 1: Tác giả trình bày số kiến thức hội tụ dãy số, hội tụ thống kê số thực, không gian topo, không gian metric suy rộng I Chương 2: Tác giả trình bày tính chất dãy I-hội tụ không gian metric suy rộng, tập hợp I-đóng, I-mở khơng gian topo, khơng gian I-dãy, khơng gian I-Frechet-Urysohn Luận văn trình bày rõ ràng, chứng minh chi tiết, có giá trị khoa học thực tiễn Tuy nhiên, luận văn có số lỗi trình bày Tác giả nên chỉnh sửa lại để luận văn hồn thiện Cụ thể, tơi có số góp ý sau: Ở phần mục lục, tiêu đề Chương cần viết hoa chữ Ở Nhận xét 1.2.6: nên sửa “bất phương trình (1.1)” thành “bất đẳng thức (1.1)” Ký hiệu ý nhiều định lý phần chứng minh khơng thống với Định lí 1.4.2, 1.4.5, 1.4.6, 1.5.4, 1.6.2 Tác giả nên thống cách ký hiệu ý phát biểu định lý phần chứng minh tương ứng Trong luận văn, số kết có trích dẫn nguồn tài liệu tham khảo số kết lại khơng trích dẫn Tác giả nên trích dẫn đầy đủ Ý Định nghĩa 2.1.1 trang 27, định nghĩa I f khơng có mối liên hệ với ideal I Do nên bỏ câu “Giả sử I ideal M” ý Trong chứng minh Nhận xét 2.1.2 trang 27 nên sửa lại câu “Bởi M vơ hạn nên M  I ” thành câu “Bởi M vơ hạn nên M  I f ” Trong chứng minh Bổ đề 2.1.5: cần thay F FI ; phần kết luận nên sửa câu “ I ideal M” thành câu “I ideal không tầm thường M” V Hình thức luận văn Hình thức luận văn quy định Tuy nhiên cần chỉnh sửa số lỗi mà nêu VI Đánh giá chung Đồng ý cho học viên bảo vệ trước Hội đồng Câu hỏi dành cho học viên: Tác giả cho biết hội tụ dãy số theo nghĩa thơng thường hội tụ thống kê có mối liên hệ gì? Trong Định nghĩa 2.1.1, trước định nghĩa tập FI ý 4) tác giả yêu cầu I ideal không tầm thường M Điều có ảnh hưởng đến kết luận Bổ đề 2.1.5 khơng? Cho ví dụ dãy không gian topo I-hội tụ không hội tụ, dãy hội tụ dãy I-hội tụ với I ideal N? Nghệ An, ngày 19 tháng 11 năm 2021 Người nhận xét PGS.TS Nguyễn Văn Đức ... I -h? ?i tụ không gian topo Chứng minh chi tiết số kết liên quan đến dãy I -h? ?i tụ tác giả trước Đ? ?i tượng nghiên cứu Dãy số thực h? ?i tụ thống kê, Dãy I -h? ?i tụ khơng gian topo, tính chất tập I. .. kh? ?i niệm tính chất dãy I -h? ?i tụ, chứng minh m? ?i liên hệ tính chất dãy I -h? ?i tụ v? ?i số tính chất lo? ?i h? ?i tụ khác Trình bày chứng minh tính chất tập I -mở, tập I -đóng; m? ?i quan hệ tập I -mở,... I- h? ?i tụ Mục dành cho việc trình bày kh? ?i niệm tính chất dãy I -h? ?i tụ Chứng minh m? ?i liên hệ tính chất dãy I -h? ?i tụ v? ?i số tính chất lo? ?i h? ?i tụ khác Trong mục ta quy ước I ideal N Định nghĩa 2.2.1