1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH TRẦN ĐÌNH LỘC TÍNH CHẤT THU HẸP IĐÊAN ĐỐI VỚI CÁC NỬA NHĨM IĐÊAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC NGHỆ AN – 2011 MỤC LỤC Trang LỜI MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Tương đẳng Nửa nhóm thương đồng cấu 1.2 Băng nửa dàn Băng nửa nhóm 10 Chương TÍNH CHẤT THU HẸP IĐÊAN ĐỐI VỚI NỬA NHĨM IĐÊAN 2.1 15 Tính chất thu hẹp iđêan nửa nhóm có phần tử zero 15 2.2 Cấu trúc nửa nhóm iđêan giao hốn 22 2.3 Nửa nhóm iđêan với tính chất thu hẹp iđêan 31 Kết luận 36 TÀI LIỆU THAM KHẢO 37 LỜI MỞ ĐẦU Tính chất mở rộng iđêan nửa nhóm đề xuất nghiên cứu năm cuối kỷ hai mươi J.I Giacia (1991), K.D Aucoin (1999) đầu kỷ hai mươi mốt X Guo (2001) Một vấn đề tự nhiên nẩy sinh xét tính chất thu hẹp iđêan nửa nhóm Tuy nhiên vấn đề quan tâm muộn Năm 2003, K.D Aucoin cộng khảo sát vấn đề báo Semigroups with the ideal retraction property đăng tạp chí Semigroup Forum số 66 năm 2003 (xem [4]) Ta nói nửa nhóm S gọi có tính chất thu hẹp iđêan S khơng đơn (nghĩa S có iđêan thực sự) I iđêan S tồn thu hẹp đồng cấu φ: S → I (nghĩa φ đồng cấu φ thu hẹp I ánh xạ đồng nhất: φ(ab) = φ(a)φ(b), a, b  S φ(x) = x, x  I) Luận văn dựa vào báo nêu để thu hẹp nghiên cứu lớp nửa nhóm iđêan với tính chất thu hẹp iđêan, lớp nửa nhóm mà tương đẳng tương đẳng Rees Ngồi lời mở đầu, mục lục, tài liệu tham khảo kết luận, luận văn gồm hai chương Chƣơng Kiến thức chuẩn bị 1.1 Tương đẳng Nửa nhóm thương đồng cấu 1.2 Băng nửa dàn Băng nửa nhóm Chƣơng Tính chất thu hẹp iđêan nửa nhóm iđêan 2.1 Tính chất thu hẹp iđêan nửa nhóm có phần tử zero 2.2 Cấu trúc nửa nhóm iđêan giao hốn 2.3 Nửa nhóm iđêan với tính chất thu hẹp iđêan Luận văn hoàn thành Trường Đại học Vinh hướng dẫn PGS.TS Lê Quốc Hán Nhân dịp xin bày tỏ lòng tri ân chân thành sâu sắc tới PGS.TS Lê Quốc Hán, người định hướng nghiên cứu, thường xuyên quan tâm tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn Thầy Cơ giáo Khoa Tốn – Trường Đại học Vinh, Khoa Sau Đại học – Trường Đại học Vinh Trường Đại học Sài Gòn tạo điều kiện để chúng tơi hồn thành chương trình học tập luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn PGS.TS Ngô Sỹ Tùng, PGS.TS Nguyễn Thành Quang đọc đóng góp ý kiến quý báu cho luận văn Mặc dù có nhiều cố gắng song luận văn không tránh khỏi thiếu sót Chúng tơi mong nhận ý kiến đóng góp thầy bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Vinh, tháng 12 năm 2011 Tác giả Chƣơng KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 TƢƠNG ĐẲNG NỬA NHÓM THƢƠNG VÀ ĐỒNG CU 1.1.1 Định nghĩa Giả sử X tập hợp không rỗng Khi tập tích Descartes đ-ợc gọi quan hệ X Chóng ta sÏ viÕt (x,y)   hay xy ®Ĩ chØ r»ng cỈp cã thø tù (x,y) n»m quan hệ Giả sử (X) tập hợp tất quan hệ X Tập hợp (X) tạo thành vị nhóm d-ới toán tử phép hợp thành   = (x, y)  X.X  z  X : (x, z)  , (z, y)   Phần tử đơn vị (X) quan hệ đồng nhÊt i = iX = (x, x)  x  X Phần tử không (X) quan hệ phổ dông  = X = X.X = (x, y)  x,y X Giả sử (X) Y  X Chóng ta sÏ sư dơng c¸c ký hiƯu sau đây: x = y (x, y) ; Y = y Y y ; ran() = X ; dom() = X -1 ®ã  -1 = (y, x)  (x, y)   Nãi riªng:   dom() ran() 1.1.2 Định nghĩa Một quan hệ (X) đ-ợc gọi quan hệ t-ơng đ-ơng phản xạ (iX ), đối xứng ( -1 = ) bắc cầu ( = ) Các tập hợp x đ-ợc gọi lớp t-ơng đ-ơng, chúng tạo thành phân hoạch tập X: X = xX vµ x  y   x = y 1.1.3 Định nghĩa Giả sử quan hệ t-ơng đ-ơng nửa nhóm S Khi đ-ợc gọi t-ơng đẳng phải (trái) ổn định bên phải (trái), nghĩa víi mäi x, y, z  S, xy  xzyz (hay t-ơng ứng zxzy) đ-ợc gọi t-ơng đẳng vừa t-ơng đẳng trái vừa t-ơng đẳng phải Chúng ta nhắc lại quan hệ t-ơng đ-ơng phân hoạch miền xác định S thành lớp t-ơng đ-ơng x (x S) Một lớp t-ơng đ-ơng t-ơng đẳng đ-ợc gọi lớp t-ơng đẳng Nếu t-ơng đẳng bảo toàn tích S, nghĩa phần tử x1 y1y2 x1, y1 x2, y2 thuộc lớp t-ơng đẳng (x1 = y1, x2 = y2) tích x1x2 x1x2 y1 y1y2 thuộc lớp t-ơng đẳng x1 y2 Thùc ta cã 1.1.4 Bỉ ®Ị Mét quan hƯ t-ơng đ-ơng nửa nhóm S t-ơng đẳng với x1, x2, y1, y2 cã: x1y1, x2y2  x1x2y1y2 Chøng minh.Gi¶ sư  t-ơng đẳng Nếu x1y1 x2y2 theo định nghĩa, x1x2x1y2 x1y2y1y2, tính bắc cầu suy x1x2y1y2 Khẳng định ng-ợc lại hiển nhiên 1.1.5 Định nghĩa Giả sử X tập nửa nhóm S Xác định quan hÖ X nh- sau: (x, y)  X  (u, v  S1: uxv  X  uyv  X) Khi X t-ơng đẳng S đ-ợc gọi t-ơng đẳng cú pháp X S Chúng ta nói t-ơng đẳng bóo hịa mét tËp X cđa nưa nhãm S nÕu X hợp lớp t-ơng đẳng 1.1.6 Bổ đề Một t-ơng đẳng bóo hũa X  S nÕu vµ chØ nÕu X= xX x (1.1) Chứng minh Vì x x nên X luôn đ-ợc chứa hợp (1.1) Hơn nữa, bÃo hòa X, X hợp (1.1) Khẳng định ng-ợc lại hiển nhiên 1.1.7 Bổ ®Ị §èi víi mäi tËp X  S, quan hệ X t-ơng đẳng lớn bÃo hòa X Chứng minh Khẳng định X t-ơng đẳng S đ-ợc suy trực tiếp từ cách xác định X Rõ ràng, X đ-ợc chứa hợp tất xX (x X) Hơn nữa, y xX cách chọn u = v = định nghĩa X, nhận đ-ợc x X kÐo theo y  X Tõ ®ã xX  X với x X X= xX X Suy X bÃo hòa X Giả sử t-ơng đẳng bÃo hòa X Theo Bổ ®Ị 1.1.6, cã X = xX x Gi¶ thiÕt r»ng xy u, v S1 phần tử tùy ý Thế uxuy uxvuyv Từ uxv X uyv X, bÃo hòa X Nh- (x, y) X X Vậy X t-ơng đẳng lớn S bÃo hòa X 1.1.8 Định nghĩa Giả sử t-ơng đẳng S, giả sư S∕ = x  x  S lµ tËp hợp tất lớp t-ơng đẳng S Khi t-ơng ứng (x, y) xy phép toán hai S (theo Bổ đề 1.1.4), với phép toán đó, S trở thành nửa nhóm đ-ợc gọi nửa nhóm th-ơng (của S modulo) Để chứng tỏ Định nghĩa 1.1.8 hợp lý, ta cần chứng tỏ phép toán hai xác định S nh- có tính chất kết hợp Thật vËy, víi mäi x, y, z  S, ta cã x.(y.z) = x.(yz) = (x(yz) = ((xy)z) = (xy).z = (x.y).z 1.1.9 VÝ dơ (1) XÐt nưa nhãm S = e, a, f, b với bảng nhân sau (xem hỡnh 1a) Khi e f lũy đẳng, e đơn vị S Giả sử quan hệ S khác quan hệ đồng Thế có fb bf, t-ơng đẳng S với lớp t-ơng đẳng x = c, y = a vµ z = f, b Bảng nhân nửa nhóm th-ơng S đ-ợc cho bảng thứ hai bên cạnh (xem hỡnh 1b) e a f b e e a f b a a e b f f b b b f x y z x x y z f y y x z f b z z z z b f (b) (a) Hỡnh T-ơng tự, quan hệ đối xứng (với iS  1) cho e1a vµ f1b lµ mét t-ơng đẳng Nó có hai lớp t-ơng đẳng e, a f, g, nửa nhóm th-ơng S1 nửa nhóm có hai phần tử Quan hệ đối xứng cho a2b t-ơng đẳng, a.a = e a.b = f S nh-ng (e,f) Trong tr-ờng hợp này, không t-ơng thích với tích S: (a,b)2 nh-ng (aa, ab)  2 (2) XÐt S = (ℤ, +) Nếu t-ơng đẳng S, th× nm kÐo theo (n + k)(m + k), k Giả thiết k nguyên không âm nhá nhÊt cho n(n + k) víi n nµo thuộc Nói riêng, 0k Ký hiệu m số d- lại m đ-ợc chia k:  m  m vµ m = m (modk) Khi m m Điều ng-ợc lại đúng, nh- t-ơng đẳng (Z, +) thực chất t-ơng đẳng đà xét Lý thuyết sè,  b»ng modk (k > 0) B©y giê, ta chứng minh t-ơng đẳng nửa nhóm S ®ãng d-íi phÐp lÊy giao 1.1.10 MƯnh ®Ị i) Nếu i i I họ t-ơng đẳng S, = iI i t-ơng đẳng S ii) Giả sử S.S quan hệ S Thế c = t-ơng đẳng S, t-ơng đẳng bé S chứa Chứng minh i) Giả sử xy z  S Khi ®ã xiy, víi mäi i  I zxizy, xziyz, với i I, i t-ơng đẳng, với i I Từ zxzy xzyz Do t-ơng đẳng S ii) Khẳng định thứ hai đ-ợc suy trực tiếp từ khẳng định thứ định nghĩa giao tập hợp 1.1.11 Định nghĩa Giả sử t-ơng đẳng S Khi ánh xạ : S S/, (x) = x toàn cấu đ-ợc gọi đồng cấu tự nhiên Vì toàn ánh, nên để chứng tỏ Định nghĩa 3.11 hợp lý, ta cần chứng minh đồng cấu ThËt vËy, x, y  S cã  (xy) = xy = x.y =  (x)  (y) 10 1.1.12 Định nghĩa Giả sử : S P đồng cấu nửa nhóm Khi quan hệ (x, y) SS (x) = (y) t-ơng đẳng S, đ-ợc gọi hạt nhân đ-ợc ký hiệu ker() Ng-ời ta viết ker() =  -1, ®ã  -1(y) = x S (x) = y -1 đ-ợc hình dung nh- tích quan hệ (thực từ trái qua phải) Sự kiện: ker() t-ơng đẳng đ-ợc suy trực tiếp từ định nghĩa đồng cấu nửa nhóm cách xác định ker() Hơn nữa, t-ơng đẳng S, = ker( ) ThËt vËy, xy  x = y   (x) =  (y)  (x, y)  ker(  ) Gộp kết trên, ta nhận đ-ợc 1.1.13 Hệ Mỗi t-ơng đẳng hạt nhân đồng cấu Bây chuyển sang chứng minh Định lý đồng cấu đẳng cấu nửa nhóm 1.1.14 Định lý Giả sử : S P đồng cấu tùy ý Tồn t¹i nhÊt mét phÐp nhóng  : S/ker()  P cho biểu đồ sau giao hoán: S ker()     P  S/ker() nghÜa lµ  =  ker() Chøng minh Gi¶ sư  = ker() : S S/ đồng cấu tù nhiªn Khi tương ứng  : S/  P xác định (x) = (x) với x S ánh xạ Thật vậy, x = y  (x, y)  ker()  (x) = (y) (x) = (y) Từ trực tiếp suy đơn ánh 24 n gin, ta dùng ký hiệu S I thay cho ký hiệu S I Chú ý I phần tử zero S I ii) Một nửa nhóm S gọi nửa nhóm iđêan (ideal semigroup) tương đẳng S tương đẳng Rees, nghĩa là:  tương đẳng S tồn iêan I S cho  = I Chú ý I  ( I  I )   S ,  S tương đẳng đồng S (nghĩa (a, b)   S a = b) 2.2.2 Mệnh đề Giả sử S nửa nhóm iđêan Khi (1) S có phần tử zero (2) Nếu  tương đẳng S,   ( I  I )   S , I = {x  S | (x, 0) } Chứng minh Để chứng minh (1), ta nhận thấy  S  (s, s)  S  S s  S tương đẳng S Vì S nửa nhóm iđêan, nên tồn iđêan I S cho  S   I  I    S Do I  I   S , từ I  I  0,0  Ta kết luận I = {0} S có phần tử zero Để chứng minh (2), giả sử  tương đẳng S Thế thì, S nửa nhóm iđêan nên tồn iđêan S cho   ( I  I )   S Giả sử J = {x  S |(x,0)  } Thế J iđêan S J  I Để hoàn thành phép chứng minh ta cần chứng tỏ I  J Thật vậy, giả sử x  I Thế (x, 0)  I×I   Do x  J  2.2.3 Mệnh đề Ảnh đồng cấu nửa nhóm iđêan nửa nhóm iđêan 25 Chứng minh Giả sử S nửa nhóm iđêan, : S  T đồng cấu từ S lên nửa nhóm T  tương đẳng T Định nghĩa  = {(x,y)  S×S | ((x), (y) } Thế  tương đẳng S Vì S nửa nhóm iđêan nên   ( I  I )   S với iđêan I S Giả sử J = (I) Thế J iđêan T  tồn cấu Chúng ta khẳng định  = (J×J)  T Thật vậy, giả thiết ((x), (y))  Khi (x,y)   Nếu x = y (x,y)  T Nếu x  y (x, y)  I×I ((x), (y)  J×J Suy   (J×J)  T Mặt khác, giả sử (a,b)  J×J Thế a = (x) b = (y) (x, y)  I×I Như (x,y)   (a,b)   Suy  = (J×J)  T T nửa nhóm iđêan  Bây ta trình bày cấu trúc nửa nhóm giao hốn tùy ý Các kết thuộc Tamura Kimura 2.2.4 Định nghĩa Nửa nhóm giao hốn S gọi nửa nhóm Acsimet (Archimedian semigroup) với a, b  S tồn số tự nhiên m n cho am chia hết b bn chia hết a (nghĩa am.q = b bn.p = a với p, q thuộc S) 2.2.5 Định nghĩa Giả sử S nửa nhóm  tương đẳng S Khi  gọi lũy đẳng (idempotent) phần tử nửa nhóm thương S  phần tử lũy đẳng 26 2.2.6 Mệnh đề ([1], Định lý 4.12, trang 225) Giả sử S nửa nhóm giao hốn  quan hệ S cho bởi: a  b tồn số tự nhiên m n cho am chia hết b bn chia hết a Thế thì: (i)  tương đẳng S (ii) S/ ảnh đồng cấu nửa dàn tối đại S 2.2.7 Mệnh đề ([1] Định lý 4.13, trang 226) Mỗi nửa nhóm giao hoán S biểu diễn thành nửa dàn Y nửa nhóm Acsimet S (  Y) Nửa dàn Y đẳng cấu với ảnh đồng cấu nửa dàn tối đại S/ S, S (  Y) lớp tương đương S theo modun  Từ hai kết trực tiếp suy ra: 2.2.8 Hệ Giả sử S nửa nhóm giao hốn Khi tương đẳng tối đại cảm sinh sinh ảnh đồng cấu tối đại cho ta phân tích S thành lớp mà lớp nửa nhóm chứa khơng q lũy đẳng Lớp tương đương chứa phần tử zero (nếu có) S kí hiệu C(0) Các kết sau [5] 2.2.9 Mệnh đề Giả sử S nửa nhóm giao hốn (i) Quan hệ H S cho (a, b)  H aS1 = bS1 (a, b  S) tương đẳng S Quan hệ  H cho a  H b a  bS1 thứ tự phận S H = S (ii) Nếu e  E, ánh xạ : S  Se cho (x) = xe với x S đồng cấu cảm sinh tương đẳng S 27 (iii) Nếu T nửa nhóm S, quan hệ  xác định (a,b)   xT  yT   tương đẳng S (iV) Nếu N tập tùy ý S, quan hệ  cho (a,b)   xN = yN tương đẳng S Ký hiệu: Nếu  tương đẳng S  -lớp chứa a kí hiệu [a] Theo Mệnh đề 2.2.2, S nửa nhóm iđêan S phải chứa phần tử zero Hơn nữa,  tương đẳng Rees S với phần tử zero  = ([0][0] )  s Từ suy tất tương đẳng nửa nhóm iđêan có dạng Nói riêng, S nửa nhóm iđêan giao hốn H = s, [0]H = {0} Như ý Mệnh đề 2.2.9 (i), điều nhận xét chứng tỏ  H quan hệ thứ tự nửa nhóm iđêan giao hốn 2.2.10 Chú ý Tương đẳng S sinh cặp (a,b) kí hiệu S(a,b) Xin nhắc lại  s (a, b)    n * n  = {(sc, sd) | (c, d)  {a, b}, (b, a)}   S ; s  S1} S giao hoán 2.2.11 Bổ đề Giả sử S nửa nhóm giao hốn với phần tử zero Khi điều kiện sau tương đương (1) S nửa nhóm iđêan (2) S(a,b) tương đẳng Rees a, b S (3) (a,b)  S(a,b) tất a, b  S với a  b Chứng minh (1)  (2) theo định nghĩa nửa nhóm iđêan (2)  (3) Giả sử a  b Thế [a] s ( a,b) lớp không - tầm thường tương đẳng Rees nửa nhóm với zero nên từ phải lớp chứa zero theo ý Do (3) 28 (3)  (1) Giả sử  tương đẳng S,    S Đặt I = [0] Thế I iđêan S theo (3),  = (II)   S Vậy S nửa nhóm iđêan  Chú ý Bổ đề 2.2.11 trường hợp S khơng giao hốn 2.2.12 Bổ đề Giả sử S nửa nhóm iđêan giao hốn Thế nửa nhóm khơng tầm thường S chứa phần tử zero S Chứng minh Giả sử T nửa nhóm khơng tầm thường S  T Giả sử  tương đẳng (iii) Mệnh đề 2.2.9, nghĩa (x,y)   xT  yT   Giả sử x, y  T, x  y Khi xy  xT  yT nên xT  yT  , suy (x,y)   Mà (x,0)    xT 0.T = Do  tương đẳng Rees: mâu thuẫn với giả thiết S nửa nhóm iđêan  Bổ đề 2.2.13 Nếu S nửa nhóm iđêan giao hốn (a,b)  C(0), ab = b b = Chứng minh Giả thiết ab = b với a, b  C(0) Đặt T= {xxb = b} Khi a  T nên T  , T nửa nhóm S Vì lũy đẳng C(0), trừ a = 0, a  a2 Vì T khơng tầm thường nên  T theo Bổ đề 2.2.12 Nhưng 0.b = b; mà 0.b = nên b =  Tổng quát hơn, chứng minh điều kiện cho Bổ đề 2.2.13 trường hợp S nửa nhóm giao hốn tùy ý Hơn cách áp dụng định nghĩa tương đẳng Hệ 2.2.8, chứng minh nửa nhóm zero x  C(0) tồn số nguyên dương n cho xn = 2.2.14 Bổ đề Giả sử S nửa nhóm iđêan giao hốn Khi S = C(0)  E \{0} Hơn e  f, e, f  E \ {0} ef = 29 Chứng minh Tương đẳng Hệ 2.2.8 có dạng  C (0)  C (0)    S tương đẳng Rees Như S hợp rời C(0) lớp tầm thường mà chúng lũy đẳng chúng nửa nhóm Từ S = C(0)  E \ {0} Bây giả sử e, f  E \ {0}, e  f Nếu ef  {e, f, ef} tạo thành nửa nhóm không tầm thường S không chứa zero: mâu thuẫn với Bổ đề 2.2.13 Do ef =  2.2.15 Định nghĩa Một nửa nhóm giao hốn với zero gọi giản ước (cancellation) xy = xz  kéo theo y = z 2.2.16 Bổ đề Giả sử S nửa nhóm iđêan giao hốn Thế S giản ước Chứng minh Giả sử N = {x}  tương đẳng  Mệnh đề 2.2.9(iv) Thế yN = zN kéo theo (y, z) , mà (y,0)   giả thiết xy  Do đó, y  z  khơng phải tương đẳng Rees Từ y = z S giản ước  2.2.17 Hệ Giả sử S nửa nhóm iđêan giao hốn Giả sử x  C(0) e  E \ {0} Thế xe = xe = x Chứng minh Giả thiết xe  Thế  xe  xee Từ Bổ đề 2.2.16 suy x = xe  2.2.18 Định nghĩa Một nửa nhóm S với zero gọi rút gọn yếu (weakly reductive) a, b S \ 0, xa = xb ax = bx với x  S kéo theo a = b 2.2.19 Hệ Nếu S nửa nhóm iđêan giao hốn S rút gọn yếu 2.2.20 Bổ đề Giả sử S nửa nhóm iđêan giao hốn Nếu x  S khơng phải ước zero, x đơn vị S 30 Chứng minh Tập hợp T phần tử ước zero tạo thành nửa nhóm khơng chứa zero Do đó, T   theo Hệ 2.2.17, T gồm phần tử lũy đẳng e Lấy x  S Vì ex  nên ex = x theo Hệ 2.2.17 Do x  eS nên S = eS, từ e đơn vị S. Các điều kiện đạt chưa đủ để suy nửa nhóm giao hốn S nửa nhóm iđêan Thực tế, có nhiều nửa nhóm đạt điều kiện chúng khơng phải nửa nhóm iđêan Điều kiện cần đủ đưa kết thức Trong chứng minh, sử dụng kí hiệu a||Hb để a  b H H b a (a b không so sánh với theo quan hệ  H) Chúng ta nói hai chuỗi C1 C2 zero - rời để C1 C2 =0 2.2.21 Định lý Giả sử S nửa nhóm giao hốn Thế S nửa nhóm iđêan hai điều kiện sau thỏa mãn (1) S có phần tử zero S = C(0)  (E \0) (2) Đối với lũy đẳng e E \0, tập hợp es chuỗi H - chuỗi tối đại Tập hợp (S \ ES)  0 H – chuỗi tối đại Hơn hai H – chuỗi tối đại phân biệt tùy ý zero rời Chứng minh Trước hết ta nhắc lại rằng: Tập C nửa nhóm S thử phận quan hệ  gọi gọi chuỗi với cặp phần tử a, b thuộc C a  b b  a Điều kiện cần Giả sử S nửa nhóm iđêan Khi (1) theo Bổ đề 2.2.14 Nếu e  E \ 0, eS H – chuỗi, tồn a, b eS cho a||Hb (*) Tương tự, (S \ ES) 0 khơng phải H – chuỗi, tồn a, b  S \ ES cho cho a||Hb (**) 31 Rõ ràng a  0, b  a  b trường hợp Chúng ta nhận mâu thuẫn trường hợp cách S(a,b) tương đẳng Rees Trước hết, chứng tỏ a nối với b cặp dạng  =(sa,sb), (sb,sa) | s  S1 Nếu (*) đúng, việc nối a với phần tử khác cặp dạng  bắt đầu cặp dạng (a = sa,sb) với s  S1 (Chú ý a  sb với s  S1 a ||Hb) Vì a, b  eS nên ea = a, eb = b Như vậy, ea = a = sa a  theo Bổ đề 2.2.16, ta có e = s Từ đó, sb = eb = b cặp ban đầu chẳng qua (a, b) Đối ngẫu, b làm cặp với a tập hợp  Từ ta nhận thấy a b phần tử sử dụng phép nối tùy ý bắt đầu a với cặp dạng  Nếu (**) đúng, lập luận trên, phép nối  tùy ý a đến phần tử khác bắt đầu (a = sa, sb) Khi a  S \ ES kéo theo a  C(0) theo Bổ đề 2.2.13, s  C(0) a  Hơn nữa, s  E a  ES Từ s = cặp lại (a = sa, b = sb) Với lập luận đối ngẫu cặp bắt đầu b ta nhận kết a nối b với cặp dạng  = (sa, sb), (sb, sa) |s  S1 Do đó, hai trường hợp (*) (**), a, b tạo thành lớp không tầm thường S(a, b) mà khơng chứa zero a  b a  0, b  Như vậy, S(a, b) tương đẳng Rees Tiếp theo chứng minh tính tối đại H – chuỗi (S \ ES)  0 eS e  E \ 0 Giả sử C H – chuỗi cho eS  C e  E \ 0 Nếu tồn x  C \ eS, x > e Theo Bổ đề 2.2.14, Hệ 2.2.17 Bổ đề 2.2.5 x  e suy ex = x ex = Vì x  eS nên ex = Hơn nữa, x He kéo theo e = xy với y  S Như vậy, C = eS eS H – chuỗi tối đại tất e  E \ 0 Nếu (S \ ES)  \0 khơng phải H – chuỗi tối đại 32 tồn  ex  eS mà H – so sánh với chuỗi S \ ES: mâu thuẫn với tính tối đại chuỗi eS thiết lập Để thấy chuỗi tối đại zero – rời nhau, giả sử e1, e2  E \ 0 với e1  e2 Giả sử x  e1S  e2S Thế e1x = x = e2x Nếu x  thể theo Bổ đề 2.2.5, e1 = e2 Từ x = chuỗi tối đại eS e  E \ 0 cặp zero – rời Rõ ràng, (S \ ES)  0 chuỗi tối đại tùy ý có dạng eS zero – rời Điều kiện đủ Giả thiết (1) (2) thỏa mãn Theo Bổ đề 2.2.11, cần chứng tỏ (a, 0)  S(a, b) tất a, b  S a  b Với mục đích đó, giả sử a, b  S a  b Chúng ta giả thiết a b nằm H - chuỗi phân biệt Ca Cb Ít chuỗi có dạng aS nên giả thiết Ca = eS với e  E \ 0 Khi a = ea a  Ca = eS eb  Ca  Cb = 0, (a,0) = (ea,eb)  S(a,b) Đảo lại, a b nằm H - chuỗi tối đại Trong trường hợp này, giả thiết b H a Như vậy, b = as với s  S Nếu s = e  E \0, a, b  eS b = ea = a Từ đó, s  C(0) theo ý trước Bổ đề 2.2.14, tồn số tự nhiên m cho sm = Khi b = as kéo theo (a, as)  S(a,b) Nhưng tính ổn định, suy (asn, asn+1)  S(a, b) tất n nguyên dương Do tính bắc cầu, (a, asn)  S(a, b) tất n nguyên dương Như vậy, (a, 0) = (a, asm) S(a,b)  2.3 NỬA NHĨM IĐÊAN VỚI TÍNH CHẤT THU HẸP IĐÊAN 2.3.1 Định lý Giả sử S nửa nhóm iđêan Thế S có tính chất thu hẹp iđêan iđêan I S, tồn iđêan đối ngẫu J S 33 Chứng minh Giả sử S có tính chất thu hẹp iđêan giả sử I iđêan S Giả sử : S  I đẳng cấu thu hẹp S lên I Giả sử  =(x,y) S S |(x) = (y) Và  đồng cấu nên  tương đẳng S Vì S nửa nhóm iđêan nên tồn iđêan J S cho x, y  S, (x) = (y) x, y  J x = y Chúng ta khẳng định J = -1(0) Thật giả sử x  J Thế 0, x  J từ (x) = (0) = nên x  -1(0) Đảo lại, z  -1(0) Thế (z) = = (0) từ 0, z  J z = Trong hai trường hợp tới z  J J = –1(0) Bây giờ, giả sử t  S \ I Thế (t)  I  thu hẹp nên ((t)) = (t), t, (t) J (t) = t Vì t không thuộc I nên t, (t)  J từ (t) = Vậy S \ I 0 = J nên S = I J  Từ Định lý 2.3.1 trực tiếp suy 2.3.2 Hệ Giả sử S nửa nhóm với tính chất thu hẹp iđêan : S  T đồng cấu từ S lên T Thế T nửa nhóm iđêan với tính chấ thu hẹp iđêan Chứng minh Theo 7, T nửa nhóm iđêan Giả sử I iđêan T Chúng ta chứng tỏ tồn iđêan J T cho T = I  J Thật vậy,  đồng cấu nên -1(I) iđêan S Vì S có tính chất thu hẹp iđêan, nên từ Định lý 2.3.1 suy tồn iđêan P S cho S = P  -1(I) Giả sử J = (P) Vì  tồn cấu P iđêan S nên J iđêan T Giả sử x  T giả thiết x  I Giả sử z  S cho x = (z) Thế z  –1(I) từ z  P Như x  (P) = J T = I  J 34 Giả sử t  I  J Thế t  J = (P) nên tồn w  P cho t = (w) Vì t  I nên (w)  I w  -1(I) Suy w P  -1(I) nên w = Từ t = (w) =  (0) = nên I  J = 0 Vậy T = I  J  Ví dụ sau nửa nhóm khơng phải nửa nhóm iđêan, iđêan có iđêan đối ngẫu, từ nửa nhóm có tính chất thu hẹp iđêan 2.3.3 Ví dụ Giả sử S =a, b, c, d nửa nhóm với bảng nhân Cayley a b c d a a a a a b a a a a c a a c c d a a d d Thế iđêan S A = a, B = a, c, d, C = a, b S Rõ ràng S = A  S S = B  S, iđêan S có iđêan đối ngẫu Từ Định lý 2.1.9 suy S có tính chất thu hẹp iđêan Tuy vậy, S nửa nhóm iđêan 2.3.4 Định lý Giả sử S nửa nhóm giao hốn Thế S nửa nhóm iđêan điều kiện sau thỏa mãn (1) S có phần tử zero S = C(0)  E \ 0, C(0) lớp zero phân tích nửa dàn tối đại S (2) Nếu e, f  E \ 0, e  f ef = (3) Nếu a  C(0), e  E \ 0 ae = ae = a (4) Nếu a, b  C(0) điều kiện sau (i) a H b b H a 35 (ii) a|| H b hai kết luận sau đúng: (A) Tồn e  E \ 0 cho ea = a eb = b (B) Nếu e  E \ 0 cho ea = eb = Chứng minh Xem 5 2.3.5 Định lý Giả sử S nửa nhóm iđêan giao hốn hữu hạn Thế S có tính chất thu hẹp iđêan ab = == e a = b  E ngược lại S = E S \ E có phần tử Chứng minh Điều kiện đủ suy trực tiếp từ Mệnh đề 2.1.6 Ta chứng minh điều kiện cần Trước hết, theo Định lý 2.3.4, ef = e, f  E e  f, C(0) E hai iđêan đối ngẫu S Giả sử a  C(0) e  E Thế ae  C(0)  E =0 Như ae = Để hoàn thành chứng minh cần chứng tỏ C(0) 0 nửa nhóm zero với cấp Chúng ta chứng minh C(0) nửa nhóm zero Giả thiết C(0) khơng phải nửa nhóm zero Thế theo Mệnh đề 2.1.16, tồn p  C(0) cho p  0, p = ab với a, b  C(0) đó, px = với x  C(0) Giả sử I = x  S | xS = 0 Thế I iđêan S rõ ràng e  I tất e  E nên I  C(0) Hơn nữa, tích E C(0) nên I = x  C(0) | xC(0) = 0 Như vậy, p I Lập luận tương tự chứng minh Định lý 2.1.17 chứng tỏ sử dụng thu hẹp S lên I để nhận p = Điều mâu thuẫn dẫn tới kết luận C(0) nửa nhóm zero Chú ý ta thiết lập kết quả: a, b  S: 36 a a = b  E ngược lại ab = == Để chứng minh C(0) có nhiều hai phần tử, giả thiết a  b, a  0, b  a, b C(0) Vì tất tích E C(0) 0, phần 4(i) Định lý 2.3.4 không thỏa mãn, nên 4(i) phải Không tổng quát, giả sử a  Hb, nhận a = bs với s  S Nhưng bs = điều mâu thuẫn với a  Như vậy, C(0) chứa nhiều hai phần tử  2.3.6 Hệ Có hai nửa nhóm iđêan giao hốn hữu hạn với tính chất thu hẹp iđêan 2.3.7 Ví dụ Hai nửa nhóm iđêan giao hốn cấp với tính chất thu hẹp iđêan S = {1, 2, 3, 4} với bảng nhân tương ứng 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 3 1 1 4 1 37 KẾT LUẬN Luận văn hồn thành cơng việc sau: Hệ thống kiến thức liên quan đến tương đẳng, nửa nhóm thương đồng cấu, băng nửa dàn, băng nửa nhóm Chứng minh số điều kiện đủ để nửa nhóm với phần tử khơng có tính chất thu hẹp iđêan (Mệnh đề 2.1.4, Mệnh đề 2.1.6, Mệnh đề 2.1.13, Định lý 2.1.17) Nêu số ví dụ chứng tỏ điều kiện khơng phải điều kiện cần Chứng minh số tính chất nửa nhóm iđêan (Mệnh đề 2.2.2, Mệnh đề 2.2.3) Chứng minh điều kiện cần đủ để nửa nhóm giao hốn có tính chất iđêan (Định lý 2.2.21) Chứng minh điều kiện để nửa nhóm iđêan có tính chất thu hẹp iđêan (Định lý 2.3.1, Định lý 2.3.5) 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] A H Cliphớt G B Prestơn (1970), Lý thuyết nửa nhóm (Tập 1) Bản dịch Trần Văn Hạo Hoàng Kỳ, NXB Đại học Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội [2] Lê Quốc Hán (2007), Lý thuyết ngơn ngữ nhóm, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội [3] Lê Quốc Hán (2008), Lý thuyết nửa nhóm Lý thuyết nhóm, Đại Học Vinh Tiếng Anh [4] K D Aucoin, J A Dumesnil, and J A Hidebran (2003), Semigroups with the ideal retraction property, Semigroup Forum, 66, 416-432 [5] K D Aucoin (1995), The structure of commutative ideal semigroups, Semigroup Forum 50, 295-300 [6] K D Aucoin (1999), The structure of commutative semigroups with the ideal extension property, Semigroup Forum 58, 275-189 [7] J I Garcia (1991), The congruence extension property for algebraic semigroups, Semigroup Forum 43, 1-18 [8] X Guo (2001), Semigroups with the ideal extension property, preprint [9] F D Pedersen, and W S Sizer (1983), Relating certain semigroup hommorphisms with group retractions, Houston J Math 9, 111-117 [10] M S Putcha, and J Weissglaass (1973), Applications of semigroup algebras to ideal extensions of semigroups, Semigroup Forum 6, 283-294 [11] A D Wallace (1957), Retractions in semigroups, Pacific J Math 7, 1513-1517 ... nhóm S S hợp nửa dàn I nửa nhóm S ,  I 16 Chƣơng TÍNH CHẤT THU HẸP IĐÊAN ĐỐI VỚI CÁC NỬA NHĨM IĐÊAN 2.1 TÍNH CHẤT THU HẸP IĐÊAN ĐỐI VỚI CÁC NỬA NHÓM CÓ PHẦN TỬ ZERO 2.2.1 Định nghĩa Nửa nhóm. .. đẳng Nửa nhóm thương đồng cấu 1.2 Băng nửa dàn Băng nửa nhóm 10 Chương TÍNH CHẤT THU HẸP IĐÊAN ĐỐI VỚI NỬA NHĨM IĐÊAN 2.1 15 Tính chất thu hẹp iđêan nửa nhóm có phần tử zero 15 2.2 Cấu trúc nửa nhóm. .. Tương đẳng Nửa nhóm thương đồng cấu 1.2 Băng nửa dàn Băng nửa nhóm Chƣơng Tính chất thu hẹp iđêan nửa nhóm iđêan 2.1 Tính chất thu hẹp iđêan nửa nhóm có phần tử zero 2.2 Cấu trúc nửa nhóm iđêan