ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN CÓ PHÂN PHỐI BIẾN ĐỔI CHÍNH QUY VÀ CÁC TÍNH CHẤT
Các tính chất của phân phối ổn định
Trong chương này, chúng tôi trình bày một định nghĩa tương đương của phân phối ổn định và đại lượng ngẫu nhiên, véctơ ngẫu nhiên biến đổi chính quy Bài viết sẽ đưa ra biểu thức giải thích của hàm đặc trưng, cũng như một số tính chất cần có của lớp đại lượng ngẫu nhiên có phân phối ổn định và biến ngẫu nhiên biến đổi chính quy.
1.1 Định nghĩa và các tính chất cơ bản của phân phối ổn định
1.1.1 Các định nghĩa của phân phối ổn định
Một biến ngẫu nhiên quan trọng trong thống kê là biến ngẫu nhiên chuẩn, và tổng của hai biến ngẫu nhiên độc lập cũng sẽ tạo ra một biến ngẫu nhiên chuẩn Cụ thể, nếu X là một biến ngẫu nhiên chuẩn, và X1, X2 là hai biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối chuẩn, thì tổng của chúng, cộng với bất kỳ hằng số nào a, b, sẽ vẫn là một biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn.
d k hi u cho kh i ni m ằng nhau theo nghĩa ph n ph i
Lớp các đại lượng ngẫu nhiên có phân phối ổn định thể hiện tính chất đặc trưng của phân phối chuẩn Phân phối chuẩn là một trường hợp đặc biệt của lớp các đại lượng ngẫu nhiên ổn định Định nghĩa 1.1.1.1 nêu rõ rằng đại lượng ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối ổn định nếu với mọi X1 và X2 độc lập có phân phối với X, cùng với bất kỳ hằng số dương a, b, tồn tại các số c và d sao cho (1 1) thỏa mãn.
X được gọi à c ph n ph i ổn đ nh theo nghĩa hẹp n u (1 1) đ ng với d 0, với mọi a0,b0.
Gi sử hai đại ượng ngẫu nhi n X và Y được gọi à đ ng dạng n u t n tại c c hằng s A0 và B sao cho d
Đại lượng ngẫu nhiên X được gọi là phân phối ổn định nếu với mọi X1 và X2 độc lập có phân phối với X, thì bất kỳ hằng số a, b thỏa mãn aX1 + bX2 cũng luôn có dạng phân phối giống như X.
Phân phối ổn định, ngoại trừ một số trường hợp đặc biệt như phân phối Gauss, phân phối Cauchy hay phân phối Levy, không có biểu thức giải thích cụ thể cho hàm mật độ và hàm phân phối Tuy nhiên, các phân phối ổn định có thể được mô tả một cách đầy đủ thông qua công cụ hàm đặc trưng Hàm đặc trưng của phân phối ổn định đã được đề cập trong các nghiên cứu của R Weron và V.M Zolotarev Trong luận văn này, chúng tôi sẽ chỉ ra một biểu diễn hàm đặc trưng của phân phối ổn định.
V.M Zolotarev trong [10] Định nghĩa 1.1.1.3 Đại ượng ngẫu nhi n X đư c gọi à - ổn đ nh n u hàm đặc trưng c a X c dạng: exp( [1 tan ( )] ), 1,
Nhận xét: Định nghĩa 1.1.1.3 cho thấy rằng một ph n ph i ổn đ nh n i chung phụ thuộc vào 4 tham s : tham s ổn đ nh hoặc s đặc trưng mũ (0; 2];
tham s v độ ch [ 1; 1]; tham s đ a phư ng 0 và tham s đ nh v Ph n ph i c a X đ i x ng quanh g c tọa độ O khi 0 và
0, trong trường hợp này hàm đặc trưng X c dạng đ n gi n:
Đại lượng ngẫu nhiên X được định nghĩa là ổn định nếu với mọi X1, X2 độc lập có phân phối tương tự như X, và với mọi hằng số d, a, b (với b > 0), luôn tồn tại a và b sao cho điều kiện này được thỏa mãn.
F F F tư ng ng là c c hàm ph n ph i c a c c đại lượng ngẫu nhi n
X X X “” là k hi u cho tích chập
1.1.2 Các tính chất của phân phối ổn định
Từ đ nh giới hạn trung t m ta c k t qu sau: Định lí 1.1.2.1 Nếu X ~ ( , , , )S thì lim ( ) (1 ) , lim ( ) (1 ) , x x x X x C x X x C
là hàm Gamma Định lí 1.1.2.1 n i l n t nh chất đuôi “heavy-tail” c a ph n ph i ổn đ nh:
F x a x khi x , với aC (1 ) , C x c đ nh như tr n
Khi 0, ph n ph i c a ph n ph i ổn đ nh ch sang b n ph i, nghĩa là đuôi ph a b n ph i c a ph n ph i ổn đ nh “nặng” h n đuôi b n tr i, hay n i c ch kh c:
Khi 1, ph n ph i c a ph n ph i ổn đ nh hoàn toàn ch sang b n ph i
Khi β = -1, phân phối ổn định hoàn toàn chuyển sang bậc trĩ, trong khi khi β < 0, phân phối của phân phối ổn định cũng chuyển sang bậc trĩ Điều này có nghĩa là đuôi bên phải của phân phối ổn định "nặng" hơn đuôi bên trái.
Khi 0, ph n ph i c a ph n ph i ổn đ nh đ i x ng quanh trục x.
Phân phối chuẩn, phân phối Levy và phân phối Cauchy là những ví dụ điển hình về tính chất của phân phối ổn định, đặc biệt là tính chất "heavy-tail" của chúng.
Ví dụ 1 Đại lượng ngẫu nhi n X c ph n ph i chuẩn N( ; 2 ) với hàm mật độ c a X c dạng:
à đại ượng ngẫu nhi n c ph n ph i ổn đ nh với c c tham s : 2, 0,
Ví dụ 2 Đại ượng ngẫu nhi n X c ph n ph i Cauchy C( ; ) với hàm mật độ c a X c dạng:
à đại ượng ngẫu nhi n c ph n ph i ổn đ nh với c c tham s : 1, 0,
Ví dụ 3 Đại ượng ngẫu nhi n X c ph n ph i Levy a b( ; ) với c c tham s
à đại ượng ngẫu nhi n c ph n ph i ổn đ nh với c c tham s : 1, 1,
Như ch ng ta đ i t, gi sử X X 1 , 2 , ,X n là c c đại lượng ngẫu nhi n độc ập c ng ph n ph i,
(1.3) với a b n , n ,b n 0 Khi đ , n u {Z n } n hội tụ v đại lượng ngẫu nhi n X khi
, n th X ph i là đại lượng ngẫu nhi n c ph n ph i ổn đ nh
Khi X 1 c kỳ vọng m X 1 và phư ng sai DDX 1 h u hạn th
Trong toàn ộ uận văn này, ta k hi u f x( ) ~ ( )g x khi x , nghĩa là ( ) / ( ) 1 f x g x khi x . Định lí 1.1.2.2 (Định lí giới hạn trung tâm dạng tổng quát) Giả sử
X X X là các đại lượng ngẫu nhiên độ lập cùng phân phối với hàm phân phối F x x( ), thỏa mãn điều kiện
F x d x khi x , với c d, ,c d 0, 0 2 Khi đó tồn tại dãy số a n và b n 0, n=1, 2,… sao cho dãy đại lượng ngẫu nhiên:
hội tụ theo phân phối đến đại lượng ngẫu nhiên X ~S ( , ,1,0) với tham số c d, c d
các dãy số a n và b n được xác định bởi: a) nếu 0 1, thì a n 0, ( ) 1/ 2 ( )sin 1/ 1/ , n 2 b c d n
b) nếu 1, thì ( ) ln( ), ( ) , n n 2 a cd n n b cd n c) nếu 1 2, thì a n n X 1 , ( ) 1/ 2 ( )sin 1/ 1/ , n 2 b c d n
ĐỊNH LÍ GIỚI HẠN DẠNG ARC-SIN
Một số định lí giới hạn cho dãy R n và P n
Khi Y 1 0, ta c một i n ngẫu nhi n V 1 với ph n ph i đ i x ng sao cho
Tại miền thu hút của luật phân phối chuẩn, nếu X là biến ngẫu nhiên độc lập với một chuỗi biến ngẫu nhiên {Xn}, thì luôn tồn tại hai chuỗi {an} và {bn} với an > 0, n = 1, 2, sao cho
Bổ đề 2.1.1 Điều kiện cần và đủ để
S là tồn tại dãy hằng số
Chứng minh Trong [6] chư ng 6, n u n 1 n
(1 ( n )) 0, n F B với mọi 0 trong đ F à hàm ph n ph i c a Y 1 Khi đ
N u F i n tục, chọn C n ( ) sao cho (Y (1) ( ) n C n ( )) , ta đặt
mà theo Dar ing D.A [5] ta c S n c ng ph n ph i với tổng
N u F không i n tục, đặt Y ˆ Y 1 U 1 , Y 1 và U 1 độc ập, U 1 c hàm ph n ph i i n tục và 0U 1 1 N u Y (1) ( ) n h u ch c ch n, th Yˆ / (1) ( ) n Y (1) ( ) n P 1. Ngoài ra, do S n Yˆ , n từ S n /Y (1) ( ) n P ta c Y ˆ n /Y ˆ (1) ( ) n P , n u t n tại hằng s C n sao cho n(1F C ˆ( n ))0,
B n ydF y ch ng ta chia ra hai trường hợp:
(i) Y 1 ; (ii) Y 1 Trường hợp (i) à t m thường ch ng ta c thể cho B n n Y 1 Trong trường hợp (ii),
với ch rằng S n /B ˆ n P 1 ổ đ được ch ng minh Định lí 2.1.2 Điều kiện cần và đủ để
S là V 1 DANL. Chứng minh Đi u ki n đ được suy ra từ ổ đ tr n, y giờ ta gi sử
Do T 1 ,…,T n à độc ập, và ph n ph i c a Z n à ( )
Do đ Z n D N(0, 1), khi đ lấy B n sao cho S n /B n P 1, từ
N i c ch kh c c t n tại D n sao cho
Theo Darling D.A trong [5] ta ại c max( , ,1 )
mà theo L eve M trong [8] th
đ nh được ch ng minh
Hệ quả 2.1.3 Điều kiện cần và đủ để R n P 0 là V 1 DANL.
Phân phối giới hạn của R n và P n trong lớp phân phối ổn định
Với F x( ) à hàm ph n ph i c a y, đặt F x( ) 1 F x( ) và gi sử với mọi
c ph n ph i tư ng tự như
Mệnh đề 2.2.1 Nếu lim ( ) / ( ) 1, x F yx F x
Ch ng minh c a mệnh đề 2.2.1 xem trong [3]
Cho YRV( ), nghĩa à Y c ph n ph i i n đổi ch nh quy với tham s
Mệnh đề 2.2.2 Cho YRV( ), 0 1 và Y 0 Nếu X độc lập với Y và X , thì XYRV( ).
Chứng minh Cho G x( ) à hàm ph n ph i c a X Ta sẽ ch ng minh
Dễ thấy ( )y 0, m y( )1(y ), khi y đ ớn mà ( ) 1y và ( ) 2, m y ta c
N u 0 x 1 th F y x F y( / ) ( ) 1, c đ nh x, khi đ F y x F y( / ) ( )x , và sử dụng đ nh hội tụ và chặn Le esgue ta c
Do đ n u H x( ) à hàm ph n ph i c a XY, th
(**) từ đ ch ng ta c đi u ph i ch ng minh Định lý 2.2.3 Nếu T là biến ngẫu nhiên có hàm đặc trưng
1 1 sin( ) lim sin( ) bu bu x e cbu du e ux bcu du u
0 lim1 bu sin( ) x e ux bcu du
1 2 Đ nh được ch ng minh
với 0 1. Định lí 2.2.5 Nếu Y 1 RV( ), 0 1, thì R n p R với
và G x ( ) là hàm phân phối của X 1
Đặt T x k ( )Y X k ( k x), khi đ theo mệnh đề 2.2.1, T x k ( )RV( ), và t n tại hằng s B n sao cho
với (x) / (1( ))x c c 1 / 2 khi x Trong (*) và (**) ch ng ta c thể ấy
Từ đ ta c đi u ph i ch ng minh
th (2 ) 1 2 (2 ) 2 2 1, khi đ ta đặt 2 1 sin ,
22 cos Theo định lí 2.2.5, ta c ,
mà sin cos tan( ). sin cos 4
Trong trường hợp đặc biệt của công thức Tak, khi X1 = 0 hoặc X1 = 1, định lý 2.2.6 cho thấy rằng nếu tỷ lệ Y(1) trên Sn hội tụ đến một biến ngẫu nhiên không suy biến nào đó, thì Y1 thuộc vào không gian biến ngẫu nhiên RV(α), với α nằm trong khoảng (0, 1).
Chứng minh Trong, [5] đưa ra Y (1) ( ) n m, S n c ph n ph i
Sự hội tụ c a n ( ) tới ( ) dẫn đ n
B y giờ ch ng ta thay ( , )y t, với t[0,), khi đ
Ta c thể gi sử F y( )0, với mọi y0, do đ lim0 ( ) 0 t Q t
từ đ ta thấy rằng với ất k y sao cho F y( ) 1, 1 ( / , ) y y à một hàm gi m nghi m ngặt đ i với y Do vậy ( , )y log(1( , ))y à một hàm gi m nghi m ngặt đ i với y, để đ n gi n ta đặt Q ( ( , )) y F y( ) Khi
Đ nh được ch ng minh
2.3 Tích của các đại lƣợng ngẫu nhiên biến đổi chính quy
Hàm tích phân phức tạp hơn nhiều so với hàm tổng, đặc biệt trong trường hợp d > 1 Tuy nhiên, trong trường hợp một chiều, chúng ta có thể chứng minh tính chất đuôi của hàm phân phối của tích các biến ngẫu nhiên theo quy tắc chính xác với các điều kiện chặt chẽ hơn Giả sử rằng X1 và X2 là các biến ngẫu nhiên độc lập không âm và X1 biến đổi chính quy với tham số α > 0.
(1) Nếu X X 1 , 2 là độc lập cùng phân phối với (X 1 ) , khi đó
(2) Giả sử rằng X 1 , X 2 , , X n là các đại lượng ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối, (X 1 x) ~c x với c0 Khi đó
Chứng minh (1) : Với mọi M 0 ta c
đ ng nhất cho mọi y 0, M Do đ
(2): Ch ng ta t đ u với trường hợp khi Y c i / x x , x 1 và một chuỗi độc ập c ng ph n ph i Y i
Theo xét duyệt các đại lượng ngẫu nhiên độc lập {X_i}, độc lập với Y_i, tham số điều kiện được mô tả bởi phân phối R(X_1 > x) ~ c x α - α và không mất tính tổng quát, giả sử c = 1 Khi hàm phân phối của
à G x ( ) và cho h x với ất kỳ hàm tăng th a m n x h x / Khi đ
2 / log log / log log log n log n
Lập uận tư ng tự ta c
Từ (2 2), ch ng ta thu được
Một nghiên cứu gần đây cho thấy rằng chúng ta có thể thay thế giá trị ở bất kỳ vị trí nào trong biến ngẫu nhiên X Do đó, Định lý 2.3.2 được chứng minh Cụ thể, cho hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập không âm X1 và X2, sao cho X1 và X2 biến đổi chính quy với tham số α > 0; X2 có mật độ với p > 0.
Lebesgue dạng f x c x e 0 cx , x0, trong đó , ,c c 0 0, , và
1 1 x X x là đơn điệu tới hạn theo x Khi đó X 1 biến đổi chính quy với tham số, và X X 1 2 x X 2 ( X 1 x ).
Chứng minh Do X X 1 2 RV khi đ X X 1 2 p RV / p với p0. Không mất t nh tổng qu t gi sử p1 và gi sử đ n gi n rằng c1.
Khi X X 1 2 i n đổi ch nh quy, t n tại một hàm s i n đổi chậm L th a m n
từ Đ nh Tauberian Karamata (xem Feller [9], XIII, ph n 5) ta c
khi x . Theo gi thi t, X 1 z 1 z đ n đi u tới hạn, ta c
nghĩa à X 1 i n đổi ch nh quy với chỉ s .
Các kỹ thuật thống kê có thể chứng minh rằng hàm tích và các biến ngẫu nhiên độc lập cũng có thể được áp dụng theo cách này Định lý 2.3.3 chỉ ra rằng nếu \(X_i\) là các đại lượng ngẫu nhiên độc lập và cùng phân phối thực, thì \((\log X_1) + \varepsilon \sim RV(\alpha)\) cho mọi \(\alpha \geq 0\), và xác suất \(P(X_1 \leq x - 1) = P(X_1 > x)\).
Chứng minh Với x0, từ hệ quả 1.2.2.5 ta c
~n(logX 1 log )x n (X 1 x), (đi u ph i ch ng minh)
Chú ý: Từ sự i n đổi ch nh quy c a logX 1 ta c : với x0,
Tích của các đại lƣợng ngẫu nhiên biến đổi chính quy
Luận v n thu đƣợc nh ng kết quả sau:
1 Tr nh ày c h th ng c c đ nh nghĩa và t nh chất c a ph n ph i ổn đ nh và i n ngẫu nhi n i n đổi ch nh quy
2 Tr nh ày c c t nh chất v ph n ph i giới hạn c a R n trong ớp ph n ph i chuẩn, đưa ra đi u ki n để R n P 0 khi n , với 1
3 Đưa ra m i i n h gi a hai đi u ki n 1
4 Tr nh ày một s t nh chất x c suất c a t ch c c đại ượng ngẫu nhi n c ph n ph i i n đổi ch nh quy
1 Ti p tục nghi n c u ph n ph i giới hạn c a R n trong ớp ph n ph i chuẩn và ớp ph n ph i ổn đ nh
2 Nghi n c u v m i i n h gi a ph n ph i giới hạn c a R n trong ớp ph n ph i chuẩn và ph n ph i giới hạn c a R n trong ph n ph i ổn đ nh.