BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH - ĐỖ THẾ SƠN MỘT SỐ ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRONG XÁC SUẤT KHƠNG GIAO HỐN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC NGHỆ AN - 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐỖ THẾ SƠN MỘT SỐ ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRONG XÁC SUẤT KHƠNG GIAO HỐN Chun ngành: Lý thuyết xác suất Thống kê toán học Mã số: 9460106 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS TS NGUYỄN VĂN QUẢNG TS LÊ HỒNG SƠN NGHỆ AN - 2020 i LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu Các kết viết chung với tác giả khác trí đồng tác giả đưa vào luận án Các kết trình bày luận án chưa cơng bố trước Tác giả Đỗ Thế Sơn ii LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành Trường Đại học Vinh, hướng dẫn khoa học GS.TS Nguyễn Văn Quảng TS Lê Hồng Sơn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc hai Thầy hướng dẫn tận tình chu đáo suốt trình tác giả học tập nghiên cứu Trong trình hoàn thành luận án, tác giả nhận quan tâm góp ý TS Nguyễn Thị Thế, PGS.TS Lê Văn Thành, TS Nguyễn Trung Hòa, TS Nguyễn Thanh Diệu, TS Võ Thị Hồng Vân, TS Dương Xuân Giáp, TS Trần Anh Nghĩa, PGS TS Nguyễn Chiến Thắng, TS Nguyễn Huy Chiêu nhà khoa học bạn bè đồng nghiệp Tác giả xin chân thành cảm ơn giúp đỡ quý báu Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Viện Sư phạm Tự nhiên Phòng Đào tạo Sau đại học, Trường Đại học Vinh hỗ trợ tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành nhiệm vụ nghiên cứu sinh Tác giả xin chân thành cảm ơn Khoa Khoa học Cơ bản, Trường Đại học Cơng nghiệp TP Hồ Chí Minh, nơi tác giả làm việc, tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hồn thành khóa học Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Viện Nghiên cứu cao cấp Toán hỗ trợ tạo điều kiện thuận lợi để tác giả học tập nghiên cứu Viện Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới bạn bè đồng nghiệp động viên khích lệ tác giả suốt q trình học tập Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình ln chỗ dựa vững cho tác giả yên tâm học tập, nghiên cứu công tác Đỗ Thế Sơn MỤC LỤC Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 10 1.1 Toán tử không gian Hilbert 10 1.2 Đại số von Neumann 15 1.3 Toán tử đo 18 1.4 Các dạng hội tụ độc lập 23 Chương Một số định lý giới hạn dạng luật mạnh số lớn dãy toán tử đo 26 2.1 Luật mạnh số lớn dãy toán tử đo dương 26 2.2 Luật mạnh số lớn dãy tốn tử đo độc lập đơi 41 2.3 Một số dạng khả tích luật mạnh số lớn dãy toán tử đo 49 Chương Một số định lý giới hạn dạng luật yếu số lớn dãy mảng toán tử đo 3.1 Luật yếu số lớn dãy toán tử đo 64 64 3.2 Luật yếu số lớn mảng toán tử đo 69 Danh mục cơng trình tác giả liên quan đến luận án 87 Tài liệu tham khảo 88 MỘT SỐ KÝ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN N Tập số tự nhiên R Tập số thực R+ Tập số thực không âm C Tập số phức ∅ Tập rỗng B(R) σ -đại số Borel tập số thực R B ∈ B(R) B tập Borel tập số thực R H Không gian Hilbert phức x, y L(H) T ∞ Tích vơ hướng x, y ∈ H Đại số tất tốn tử tuyến tính bị chặn H Chuẩn toán tử T ∈ L(H) A Đại số von Neumann Toán tử đồng 1A Hàm tiêu tập A σ(T ) Phổ toán tử T W ∗ (X) Đại số von Neumann sinh toán tử đo X eB (X) Phép chiếu phổ toán tử tự liên hợp X tương ứng với tập Borel B tập số thực R τ Trạng thái vết ✷ Kết thúc chứng minh MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài 1.1 Các định lý giới hạn nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu có nhiều ứng dụng thống kê, kinh tế, y học số ngành khoa học thực nghiệm khác Định lý giới hạn dạng luật số lớn nghiên cứu cho nhiều đối tượng khác Chẳng hạn, luật số lớn cho biến ngẫu nhiên đơn trị, biến ngẫu nhiên đa trị, biến ngẫu nhiên nhận giá trị tập mờ; luật số lớn lý thuyết trò chơi, xác suất khơng giao hốn Trong đó, định lý giới hạn xác suất khơng giao hốn thu hút quan tâm nhiều tác giả đạt kết định (xem [3], [23], [35], [43], [60]) 1.2 Lý thuyết tích phân khơng giao hốn bắt đầu nghiên cứu vào năm 1952-1953 I E Segal [52] Sau đó, tiếp tục nghiên cứu R A Kunze [31], W F Stinespring [53], E Nelson [36], F J Yeadon [59] Trên sở lý thuyết tích phân khơng giao hốn, lý thuyết xác suất khơng giao hốn nghiên cứu C J Batty [3], A R Padmanabhan [37], A Luczak [35], R Jajte [23] tiếp tục quan tâm Trong xác suất khơng giao hốn, khơng có khơng gian xác suất bản, thay nghiên cứu biến ngẫu nhiên ta nghiên cứu toán tử đại số von Neumann toán tử đo Do phép nhân tốn tử khơng có tính giao hốn khơng thể nói max, toán tử nên để nghiên cứu vấn đề lý thuyết xác suất khơng giao hốn, cần có cơng cụ kỹ thuật 1.3 Luật số lớn xác suất khơng giao hốn nghiên cứu theo hai hướng chính: tốn tử bị chặn đại số von Neumann với trạng thái toán tử đo với trạng thái vết Khó khăn hướng thứ tính chất hạn chế trạng thái, hướng thứ hai tính khơng bị chặn toán tử đo làm nảy sinh nhiều vấn đề phức tạp Các đặc điểm góp phần tạo nên đa dạng vấn đề cần quan tâm, nghiên cứu định lý giới hạn xác suất khơng giao hốn 1.4 Do yêu cầu nhiều toán nảy sinh từ lý thuyết vật lý lượng tử, vấn đề toán tử bị chặn đại số von Neumann tốn tử đo được nghiên cứu sơi từ năm bảy mươi kỷ trước tiếp tục nghiên cứu Chính vậy, việc nghiên cứu định lý giới hạn xác suất khơng giao hốn khơng có ý nghĩa lý thuyết mà có ý nghĩa thực tiễn Với lý nêu trên, chọn đề tài nghiên cứu cho luận án là: “Một số định lý giới hạn xác suất khơng giao hốn” Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu luận án thiết lập số định lý giới hạn dạng luật số lớn cho dãy mảng toán tử đo điều kiện khác Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu luận án toán tử đo luật số lớn cho toán tử đo trạng thái vết xác suất khơng giao hốn Phạm vi nghiên cứu Luận án tập trung nghiên cứu định lý giới hạn dạng luật số lớn toán tử đo dạng hội tụ khác như: hội tụ hầu hai phía, hội tụ LP , hội tụ theo độ đo; nghiên cứu mở rộng khái niệm khả tích sang khơng gian xác suất khơng giao hốn Phương pháp nghiên cứu Chúng sử dụng phối hợp phương pháp lý thuyết xác suất chứng minh luật số lớn kỹ thuật lý thuyết toán tử như: phương pháp chặt cụt, phương pháp dãy con, kỹ thuật biểu diễn phổ toán tử Ý nghĩa khoa học thực tiễn Các kết luận án góp phần làm phong phú thêm cho hướng nghiên cứu định lý giới hạn lý thuyết xác suất khơng giao hốn Luận án tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên cao học nghiên cứu sinh thuộc chuyên ngành Lý thuyết xác suất Thống kê toán học Tổng quan cấu trúc luận án 7.1 Tổng quan luận án Luật số lớn xác suất khơng giao hốn chứng minh năm 1979 C J K Batty [3] Trong báo mình, ông thiết lập dạng không giao hoán bất đẳng thức Kolmogorov chứng minh luật mạnh số lớn dãy toán tử đo độc lập liên tiếp Sau đó, A Luczak [35] xây dựng số luật mạnh luật yếu số lớn cho dãy toán tử đo độc lập liên tiếp phân phối Tiếp đến, R Jajte [23], [24] chứng minh số kết đáng quan tâm như: luật mạnh số lớn dãy toán tử trực giao, định lý chuỗi Kolmogorov 80 kn kn Xni − τ Xni e[0,kn ) (Xni ) τ → − n → ∞ i=1 Chứng minh Với n ≥ 1, ta đặt Yni = Xni e[0,kn ) (Xni ), Sn = kn kn i=1 Xni Sn = kn kn Yni i=1 Với ε > cho trước, lập luận tương tự chứng minh Định lý 3.2.10, ta kn p ≡ e[ε,∞) Sn − τ (Sn ) ∧ e[0, 2ε ) Sn − τ (Sn ) ∧ e[0,kn ) (Xni ) = i=1 Suy kn e[ε,∞) Sn − τ (Sn ) ≺ e[ 2ε ,∞) Sn − τ (Sn ) ∨ e[kn ,∞) (Xni ) i=1 Do kn τ e[ε,∞) Sn − τ (Sn ) ≤ τ e[ 2ε ,∞) Sn − τ (Sn ) + τ e[kn ,∞) (Xni ) i=1 := I7 + I8 Bởi giả thiết (3.11), ta có I8 −→ n → ∞ Với I7 , bất đẳng thức Chebyshev, với n ≥ 1, ta τ Sn − τ (Sn ) ε  k  n = 2 τ Yni − τ (Yni ) ε kn  I7 ≤ i=1 = 2 ε kn kn τ Yni2 − [τ (Yni )]2 i=1 τ (Yni Ynj ) − τ (Yni )τ (Ynj ) + i=j    81 Mặt khác, với n ≥ ≤ i ≤ kn , sử dụng định lý Fubini, ta có ∞  τ (Yni2 ) = τ  y 1[0,kn ) (y)edy (Xni ) 0 ∞  = 2τ  y  λdλ 1[0,kn ) (y)edy (Xni )   kn ≤2 λτ e[λ,∞) (Xni ) dλ = 2kn2 zτ e[kn z,∞) (Xni ) dz = 2kn2 z τ e[kn z,∞) (Xni ) dudz Hơn nữa, với ≤ i ≤ kn , n ≥ 1, sử dụng tính dương mảng {Yni , ≤ i ≤ kn , n ≥ 1} định lý Fubini, ta nhận ∞  τ (Yni ) = τ   λ1[0,kn ) (λ)edλ (Xni ) kn λedλ (Xni ) =τ   λ kn =τ    dy  edλ (Xni )  0 kn kn =τ  edλ (Xni )dy    kn  =τ y  ∞ edλ (Xni )dy −   ∞ y   edλ (Xni )dy  kn 82 kn τ e[y,∞) (Xni ) dy − kn τ e[kn ,∞) (Xni ) = τ e[kn z,∞) (Xni ) dz − kn τ e[kn ,∞) (Xni ) = kn Do [τ (Yni )]2  ≥ kn2  2 τ e[kn z,∞) (Xni ) dz  − 2kn2 τ e[kn ,∞) (Xni ) = 2kn2 τ e[kn z,∞) (Xni ) dz z τ e[kn u,∞) (Xni ) dudz τ e[kn z,∞) (Xni ) − 2kn2 τ e[kn ,∞) (Xni ) τ e[kn z,∞) (Xni ) dz Kết hợp lập luận trên, với ≤ i ≤ kn , n ≥ 1, ta có τ (Yni2 ) − [τ (Yni )]2 ≤ 2kn2 z τ e[kn z,∞) (Xni ) dudz − 2kn2 z τ e[kn z,∞) (Xni ) τ e[kn u,∞) (Xni ) dudz + 2kn2 τ e[kn ,∞) (Xni ) τ e[kn z,∞) (Xni ) dz z = 2kn2 τ e[kn z,∞) (Xni ) τ e[0,kn u) (Xni ) dudz + 2kn2 τ e[kn ,∞) (Xni ) τ e[kn z,∞) (Xni ) dz 83 ≤ 2kn2 z τ e[kn z,∞) (Xni ) τ e[0,kn u) (Xni ) dudz + τ e[kn ,∞) (Xni ) , từ suy kn I7 ≤ ε z τ e[kn z,∞) (Xni ) i=1 τ e[0,kn u) (Xni ) dudz kn + τ e[kn ,∞) (Xni ) i=1 Sử dụng (3.11) (3.12), ta I7 −→ n → ∞ Định lý chứng minh Nhận xét 3.2.16 Lập luận tương tự S Ankirchner, T Kruse M Urusov [1], ta suy (3.11) (3.12) yếu ngặt điều kiện lim sup c→∞ n≥1 kn kn cτ e(c,∞) (|Xni |) = (3.13) i=1 Hơn nữa, từ cτ e(c,∞) (|Xni |) ≤ τ |Xni |e(c,∞) (|Xni |) , ta suy điều kiện lim sup c→∞ n≥1 kn kn τ |Xni |e(c,∞) (|Xni |) = i=1 kéo theo (3.13) Vì vậy, giả thiết Định lý 3.2.15 yếu ngặt điều kiện khả tích theo nghĩa Cesa `ro mảng {Xni , ≤ i ≤ kn , n ≥ 1} 84 Do đó, áp dụng Định lý 3.2.15, ta hệ sau Hệ 3.2.17 Nếu {Xni , ≤ i ≤ kn , n ≥ 1} mảng toán tử đo tự liên hợp, độc lập đôi theo hàng khả tích theo nghĩa Cesa `ro, kn kn Xni − τ Xni e[0,kn ) (Xni ) τ → − n → ∞ i=1 Chứng minh Bởi vì, với mảng {Xni , ≤ i ≤ kn , n ≥ 1} ⊂ L0 (A, τ ) tốn tử tự liên hợp, độc lập đơi theo hàng thỏa mãn điều kiện khả tích theo nghĩa Cesa `ro Ta suy mảng toán tử dương + {Xni , ≤ i ≤ kn , n ≥ 1} ⊂ L0 (A, τ ), − {Xni , ≤ i ≤ kn , n ≥ 1} ⊂ L0 (A, τ ), độc lập đôi theo hàng thỏa mãn điều kiện khả tích theo nghĩa Cesa `ro Do đó, từ Nhận xét 3.2.16, sử dụng Định lý 3.2.15 cho mảng + {Xni , ≤ i ≤ kn , n ≥ 1} ⊂ L0 (A, τ ), − {Xni , ≤ i ≤ kn , n ≥ 1} ⊂ L0 (A, τ ), ta hoàn thành việc chứng minh hệ Hệ sau tổng quát Định lý 3.1 A Luczak [35], điều kiện “độc lập liên tiếp” thay điều kiện yếu “độc lập đôi một” 85 Hệ 3.2.18 Giả sử {Xn , n ≥ 1} dãy toán tử đo tự liên hợp, độc lập đôi phân phối Nếu lim nτ e[n,∞) (|X1 |) = n→∞ n (3.14) n τ Xi − τ X1 e[0,n) (|X1 |) → − n → ∞ i=1 Chứng minh Vì {Xn , n ≥ 1} dãy toán tử đo phân phối nên ta suy (3.14) kéo theo (3.13) với Xni = Xi kn = n Do đó, hệ dễ dàng chứng minh từ Nhận xét 3.2.16 Định lý 3.2.15 Kết luận chương Trong chương này, luận án giải vấn đề sau: - Thiết lập luật yếu số lớn dãy toán tử đo tự liên hợp khả tích Cesàro dư mức α trường hợp dãy độc lập đôi m-phụ thuộc đôi một; - Xây dựng số khái niệm khả tích mảng tốn tử đo được; - Chứng minh số luật yếu số lớn mảng tốn tử đo độc lập đơi theo hàng 86 KẾT LUẬN CHUNG VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận chung Luận án thu kết sau đây: - Thiết lập tiêu chuẩn tương đương khả tích dãy toán tử đo được; - Xây dựng số khái niệm khả tích dãy tốn tử đo mối quan hệ khái niệm xác suất khơng giao hốn; - Chứng minh số tiêu chuẩn khả tích xác suất khơng giao hoán; - Thiết lập số luật mạnh số lớn dãy toán tử đo dương độc lập đôi một; - Xây dựng số khái niệm khả tích mảng tốn tử đo thiết lập số luật yếu số lớn đối dãy, mảng toán tử đo Kiến nghị hướng nghiên cứu Trong thời gian tới, dự định nghiên cứu vấn đề sau đây: - Thiết lập luật mạnh số lớn hội tụ đầy đủ mảng toán tử đo độc lập liên hàng; - Mở rộng số luật mạnh số lớn dạng Baum-Katz sang xác suất khơng giao hốn; - Nghiên cứu biến ngẫu nhiên tự 87 DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN Nguyen Van Quang, Do The Son, Le Hong Son (2017), The strong laws of large numbers for positive measurable operators and applications, Statistics and Probability Letters, 124, 110-120 Nguyen Van Quang, Do The Son, Le Hong Son (2018), Some kinds of uniform integrability and laws of large numbers in noncommutative probability, Journal of Theoretical Probability, 31, 1212-1234 Nguyen Van Quang, Do The Son, Tien-Chung Hu, Nguyen Van Huan (2019), Mean convergence theorems and weak laws of large numbers for arrays of measurable operators under some conditions of uniform integrability, Lobachevskii Journal of Mathematics, 40, 1218-1229 88 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] S Ankirchner, T Kruse, M Urusov (2017), WLLN for arrays of nonnegative random variables, Statist Probab Lett., 122, 73-78 [2] T M Apostol (1974), Mathematical analysis, second edition, Addison-Wesley [3] C J K Batty (1979), The strong law of large numbers for states and traces of a W ∗ -algebra, Z Wahrsch Verw Gebiete, 48, 177-191 [4] H Bercovici, V Pata (1996), The law of large numbers for free identically distributed random variables, Ann Probab., 24, 453-465 [5] B Blackadar (2006), Operator algebras - Theory of C ∗ -Algebras and von Neumann algebras, Springer, Berlin [6] M O Cabrera, A I Volodin (2005), Mean convergence theorems and weak laws of large numbers for weighted sums of random variables under a condition of weighted integrability, J Math Anal Appl., 305, 644-658 [7] T K Chandra (1989), Uniform integrability in the Cesa `ro sense and the weak law of large numbers, Sankhya ¯, A 51, 309-317 [8] T K Chandra, A Goswami (1992), Cesa `ro uniform integrability and the strong law of large numbers, Sankhya ¯ Ser., A54, 215-231 89 [9] T K Chandra, A Goswami (1993), Corrigendum : Cesa `ro uniform integrability and the strong law of large numbers, Sankhya ¯ Ser., A55, 327-328 [10] T K Chandra, A Goswami (2003), Cesa `ro α-Integrability and law of large numbers I, J Theoretical Probab., 16, 655-669 [11] T K Chandra, A Goswami (2006), Cesa `ro α-Integrability and law of large numbers II, J Theoretical Probab., 19, 789-816 [12] P Chen, S H Sung (2016), A strong law of large numbers for nonnegative random variables and applications, Statist Probab Lett., 118, 80-86 [13] B J Choi, U C Ji (2014), Convergence rates for weighted sums in noncommutative probability space, J Math Anal Appl., 409, 963972 [14] Y S Chow, H Teicher (1997), Probability theory, Springer, Third Edition [15] K L Chung (1947), Note on some strong laws of large numbers, Amer J Math., 69, 189-192 [16] S Csoărgo, K Tandori, V Totik (1983), On the strong law of large numbers for pairwise independent random variables, Acta Math Hungar., 42, 319-330 [17] I Cuculescu (1969), Supermartingales on the W ∗ -algebras, Rev Rou Math Pur Appl., 14 , 759-773 [18] N Etemadi (1981), An elementary proof of the strong law of large numbers, Z Wahrsch Verw Gebiete., 55, 119-122 90 [19] N Etemadi (1983), On the laws of large numbers for nonnegative random variables, J Multivariate Anal., 13, 187-193 [20] D J H Garling (2014), A course in mathematical analysis, Volume III: Complex analysis, measure and integration, Cambridge University Press [21] S Goldstein (1991), Conditional expectation and stochastic integrals in non-commutative Lp spaces Math Proc Camb Phil Soc., 110, 365-383 [22] A Gut (2005), Probability: A graduate course, Springer [23] R Jajte (1985), Strong limit theorems in non-commutative probability, Lect Notes in Math., 1110, Springer, Berlin [24] R Jajte (1985), Strong limit theorems for orthogonal sequences in von Neumann algebra, Proc Amer Math Soc., 94 [25] R V Kadison, J R Ringrose (1983), Fundamentals of the theory of operator algebras, Academic Press, Inc, Vol I [26] R V Kadison, J R Ringrose (1986), Fundamentals of the theory of operator algebras, Academic Press, Inc, Vol II [27] K Klimczak (2012), Strong laws of large numbers in von Neumann algebras, Acta Math Hungar., 135, 236-247 [28] K Klimczak (2014), Noncommutative versions of Kolmogorov’s three series theorem and some limit theorems, Hous Jour Math., 40, 407419 [29] V Korchevsky (2015), A generalization of the Petrov strong law of large numbers, Statist Probab Lett., 104, 102-108 91 [30] E Kreyszig (1978), Introductory functional analysis with applications, Jonh Wiley & Sons Inc [31] R A Kunze (1958), Lp Fourier transforms on locally compact unimodular groups, Trans Amer Math Soc., 89, 519-540 [32] D Landers, L Rogge (1987), Laws of large numbers for pairwise independent uniformly integrable random variables, Math Nachr., 130, 189-192 [33] D Landers, L Rogge (1997), Law of large numbers for uncorrelated Cesa `ro uniformly integrable random variables, Sankhya ¯ A, 59, 301310 [34] J M Lindsay, V Pata (1997), Some weak laws of large numbers in noncommutative probability, Math Z., 226, 533-543 [35] A Luczak (1985), Laws of large numbers in von Neumann algebras and related results, Studia Mathematica, 81, 231-143 [36] E Nelson (1974), Notes on non-commutative integration, J Funct Anal., 15, 103-116 [37] A R Padmanabhan (1979), Probabilistic aspects of von Neumann algebras, J Funct Anal., 31, 139-149 [38] V V Petrov (1969), On strong law of large numbers, Theory Probab Appl., 14, 183-192 [39] V V Petrov (1975), Sum of independent random variables, SpringerVerlag, NewYork [40] V V Petrov (2008), On the strong law of large numbers for nonnegative random variables, Theory Probab Appl., 53, 346-349 92 [41] G Pisier, Q Xu (2003), Non-commmutative Lp − spaces, In Handbook of the geometry of Banach spaces, 2, 1459-1517, Elsevier, Amsterdam [42] Nguyen Van Quang (1996), The strong law of large numbers for twodimensional arrays of orthogonal operator in von Neumann algebra, Acta Mathematica Vietnamica, 21, 15-25 [43] Nguyen Van Quang, Nguyen Duy Tien (1997), The strong law of large numbers for d-dimensional arrays in von Neumann algebra, Theory Probab Appl., 41, 569-578 [44] Nguyen Van Quang (2004), On the weak law of large numbers for adapted sequences in von Neumann algebra, Acta Mathematica Vietnamica, 29, 231-236 [45] N V Quang, N N Huy, L H Son (2013), The degenerate convergence criterion and Feller’s weak law of large numbers for double array in noncommutative probability, Statist Probab Lett , 83, 1812-1818 [46] N V Quang, D T Son, L H Son (2017), The strong laws of large numbers for positive measurable operators and applications, Statist Probab Lett., 124, 110-120 [47] N V Quang, D T Son, L H Son (2018), Some kinds of uniform integrability and laws of large numbers in noncommutative Probability, J Theor Probab., 31, 1212-1234 [48] N V Quang, D T Son, T -C Hu, N V Huan (2019), Mean convergence theorems and weak laws of large numbers for arrays of measurable operators under some conditions of uniform integrability, Lobachevskii Journal of Mathematics, 40, 1218-1229 93 [49] N Randrianantoanina (2002), Kadec-Pelczy´ nski decomposition for Haagerup Lp -spaces, Math Proc Camb Phil Soc., 132 , 137-154 [50] W Rudin (1991), Functional analysis, second edition, McGraw Hill, Inc [51] G Sadeghi, M S Moslehian (2016), Inequalities for sums of random variables in noncommutative probability spaces Rocky Mountain journal of mathematics, 40, 309-323 [52] I E Segal (1953), A non-commutative extension of abstract integration, Ann Math., 57, 401-457 [53] W F Stinespring (1959), Integration theorems for gages and duality for unimodular groups, Trans Amer Math Soc., 90, 15-56 [54] H S Sung, S Lisawadi, A Volodin (2008), Weak laws of large numbers for arrays under a condition of uniform integrability, J Korean Math Soc., 45, 289-300 [55] M Takesaki (1979), Theory of operator algebras I, st editon, Springer [56] D Voiculescu (2000), Lectures on free probability theory, Lect Notes in Math., 1738, 279-349, Springer-Verlag Berlin [57] Y Wu, M Guan (2011), Mean convergence theorems and weak laws of large numbers for weighted sums of dependent random variables, J Math Anal Appl 377, 613-623 [58] Y Wu, J Peng, T.-C Hu (2015), Limiting behavior for arrays of rowwise END random variables under conditions of h-integrability, Stochastics., 87, 409-423 94 [59] F.J Yeadon (1975), Non-commutative Lp -spaces, Math Proc Camb Phil Soc., 77, 91-102 [60] C Zhang, Y L Hou (2013), Convergence of weighted averages of noncommutative martingales, Sci China Math., 56, 823-830 ... cứu định lý giới hạn xác suất không giao hốn khơng có ý nghĩa lý thuyết mà có ý nghĩa thực tiễn Với lý nêu trên, chọn đề tài nghiên cứu cho luận án là: Một số định lý giới hạn xác suất khơng giao. .. VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐỖ THẾ SƠN MỘT SỐ ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRONG XÁC SUẤT KHƠNG GIAO HỐN Chun ngành: Lý thuyết xác suất Thống kê toán học Mã số: 9460106 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI... hạn, luật số lớn cho biến ngẫu nhiên đơn trị, biến ngẫu nhiên đa trị, biến ngẫu nhiên nhận giá trị tập mờ; luật số lớn lý thuyết trò chơi, xác suất khơng giao hốn Trong đó, định lý giới hạn xác