Một số tính chất của cs môđun và cess môđun

KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Hạng tử trực tiếp

Môđun suy biến

Định nghĩa Cho M là R- môđun Đặt

Z(M) là tập hợp các phần tử m thuộc M sao cho mI = 0, với I là một lý thuyết cơ bản của R Z(M) được xem là một môđun con của M, được gọi là môđun con suy biến Các phần tử trong Z(M) được gọi là các phần tử suy biến Nếu M bằng Z(M), thì M được gọi là môđun suy biến; ngược lại, nếu Z(M) bằng 0, M được xem là môđun không suy biến.

Môđun con cốt yếu, môđun đều, chiều đều

1.3.1 Định nghĩa Môđun con N đƣợc gọi là cốt yếu (essential) trong R-môđun M nếu với mọi môđun con K khác không của M ta đều có

N K (Một cách tương đương, nếu N K 0 thì K=0) Nếu N là môđun con cốt yếu trong M thì ta nói rằng M là mở rộng cốt yếu (essential extension) của N và kí hiệu N  e M.

Sau đây là một số ví dụ cụ thể về môđun cốt yếu

1.3.2 Ví dụ a) Đối với mỗi môđun M ta đều có M  e M b) Xem vành số nguyên nhƣ là -môđun trên chính nó Khi đó, mỗi môđun con khác không trong đều cốt yếu Thật vậy, giả sử N là môđun con khác không của , lấy K là môđun con khác không bất kì của Khi đó, N có dạng a , K có dạng b với ,a b là các số nguyên khác 0 và do đó

0aba b hay N K 0 Vậy N là môđun con cốt yếu trong

Từ định nghĩa của môđun con cốt yếu, ta có một số tính chất sau:

1.3.3 Mệnh đề a) Nếu trong môđun M có dãy các môđun con và e

Nếu \(\phi: M \rightarrow N\) là đồng cấu môđun và \(B \subseteq N\), thì \(\phi^{-1}(B) \subseteq M\) Hơn nữa, với \(M\) là R-môđun và \(A\) là môđun con của \(M\), thì \(A \subseteq M\) khi và chỉ khi với mỗi phần tử \(m\) khác không của \(M\, tồn tại \(r \in R\) sao cho

Giả sử E là môđun con khác 0 của C và M có dãy các môđun con A ≤ e C, trong đó A ≤ e C, ta cần chứng minh rằng B ≤ e C hoặc E ∩ B ≠ 0 Vì E là môđun con khác 0 của C và A ≤ e C, nên E ∩ A ≠ 0, do đó E ∩ B ≠ 0 Điều này chứng tỏ rằng B ≤ e C Tiếp theo, ta tiến hành chứng minh bằng quy nạp theo n, bắt đầu với n = 1.

M  e M mệnh đề đúng theo giả thiết Giả sử mệnh đề đúng với n-1, tức là 1

   Ta cần chứng minh mệnh đề đúng với n Thật vậy, giả sử E0 là một môđun con của M Do A n cốt yếu trong

M nên A n  E 0 Vì A cốt yếu trong M nên A(A n E)0, suy ra (AA n ) E 0, do đó AA n  e M c) Giả sử E là một môđun con của M và E  1 ( )B 0, ta cần chứng minh   1 ( )B  e M hay E=0 Thật vậy, vì E  1 ( )B 0 nên

B E  và vì vậy ( )E 0 (do B e N) Từ đó, ta có

E Ker   B suy ra E E   1 ( )B 0 Điều này chứng tỏ

   d) () Nếu m 0 thì mR 0 và do A e M nên AmR0 Từ đó suy ra sự tồn tại của r  R mà 0mrA

Giả sử B là môđun con khác 0 của M Theo giả thiết, tồn tại một phần tử khác 0 trong B, và ta có thể tìm ra một phần tử r trong R sao cho phần tử mr cũng khác 0 và thuộc A Vì mr thuộc B, nên giao của B và A không rỗng, từ đó chứng tỏ rằng A là một phần của M Nếu A là một phần của B, thì cần chứng minh B.

A là suy biến Thật vậy, đặt /

BB A Xét phần tử bất kì: b  B \ 0   Ta phải chứng tỏ rằng:

Giả sử y thuộc R và không thuộc A, theo định nghĩa của ann b, tồn tại một phần tử z trong R sao cho byz không thuộc A Điều này dẫn đến việc yz không bằng 0, và do đó, yz thuộc ann b Như vậy, điều kiện (*) đã được chứng minh.

1.3.4 Định nghĩa Môđun U gọi là môđun đều (uniform) nếu bất kì môđun con A và B khác không của U thì A B 0, hay mọi môđun con khác không của U là môđun cốt yếu trong U

1.3.5 Ví dụ a) -môđun là đều Thật vậy, cho 0 A B,  ta có

A=n , B=m , với n m, * Khi đó A B [ , ]n m 0, suy ra A e M Vậy là -môđun đều b) Xét –môđun Khi đó, là môđun đều Thật vậy, lấy 0A B, 

  , với a b n k, , ,  * Khi đó, ta có

 b , suy ra anA; n an ak

 k , do đó anB, nghĩa là

0an A B hay A B 0 Vậy là -môđun đều

1.3.6 Định nghĩa Số tự nhiên n đƣợc gọi là chiều đều (uniform dimension) của môđun M, nếu tồn tại hữu hạn n môđun con đều U i của M sao cho

 là cốt yếu trong một môđun con của M, ký hiệu là udim(M)=n Khi M 0 ta quy ƣớc udim(M)=0.

Môđun con tối đại, môđun con đóng, bao đóng của một môđun, bù giao

1.4.1 Định nghĩa Môđun con A của M đƣợc gọi là tối đại (maximal) nếu

AM và nó không chứa trong một môđun con thực sự nào của M Tức là nếu A B Mvà AM thì BA hoặc BM

1.4.2 Định nghĩa Cho R-môđun M và N  M đƣợc gọi là đóng (closed) trong M nếu N không có mở rộng cốt yếu thực sự trong M Nói khác đi N đƣợc gọi là đóng trong M nếu với mọi môđun con K khác không của M mà

1.4.3 Ví dụ A và B là hai môđun con của M thỏa mãn M  A B thì môđun B là đóng trong M

1.4.4 Định nghĩa Môđun con K đƣợc gọi là bao đóng (closure) của môđun con N trong M, ký hiệu E(K) nếu K là môđun con tối đại trong M sao cho N là cốt yếu trong K

1.4.5 Định nghĩa Cho R-môđun M và A, B là hai môđun con của M

Môđun B được gọi là bù giao của A trong M nếu B là môđun con tối đại của M và thỏa mãn điều kiện A ∩ B = 0 B được ký hiệu là bù giao trong M, ký hiệu B ≤ c M, nếu tồn tại môđun con A của M sao cho B là bù giao của A trong M.

1.4.6 Bổ đề Zorn Cho A là tập sắp thứ tự Nếu mỗi tập con sắp thứ tự toàn phần trong A có cận trên trong A thì A có phần tử tối đại

1.4.7 Mệnh đề Khái niệm đóng và bù giao là tương đương (tức là nếu K là môđun con đóng thì K là bù giao trong M và ngược lại)

Chứng minh () Giả sử K đóng trong M Ta chứng minh K bù giao trong

Khi 0 không thuộc vào tập hợp Suy ra, ta có thể kiểm tra rằng sắp thứ tự theo quan hệ bao hàm trong tập hợp đó thỏa mãn Bổ đề Zorn Điều này dẫn đến việc xác định được phần tử tối đại, ký hiệu là A Từ kết quả này, ta có thể chứng minh rằng K là bù giao của A trong M.

Giả sử K là bù giao trong M, chúng ta chứng minh rằng K là tập đóng trong M Cụ thể, nếu K ≤ e X ≤ M, thì ta có thể chứng minh rằng X = K Điều này xảy ra bởi vì K là bù giao trong M, do đó tồn tại một môđun con A của M sao cho K là tối đại trong M.

 Ta có X  A 0 Thật vậy, giả sử ngƣợc lại X  A 0, suy ra tồn tại aX sao cho aA và a0 Khi đó aR X aR;  A Do K  e X, suy ra aRK 0, do đó AK 0 (vô lí vì K  A 0)) Vậy

Xét xR  X, khi đó K K xR, (KxR) A 0 Thật vậy, nếu tồn tại

( ) a A KxR suy ra aA và axR Do

KX và xRX suy ra k xr X, do đó aXsuy ra a0

(do X  A 0) Điều này mâu thuẫn với tính tối đại của K với tính chất K A 0 suy ra X K Vậy K đóng trong M

1.4.8 Mệnh đề Nếu K là môđun con của M và L là bù giao của K Khi đó: i) L là môđun con đóng trong M; ii) LK là môđun con cốt yếu của M

Chứng minh i) Theo Mệnh đề 1.4.7 ii) Ta cần chứng minh L K e M Thật vậy, lấy 0N M Nếu

N KL  thì N K 0, N  L 0 Do đó (NL) K 0 (vì nếu n l k  thì n k l  hay nN và n K L và do đó n = 0 và k  0l )

Lúc đó, theo tính tối đại của L thì N L L hay N=0 Điều này mâu thuẫn với giả thiết N0 Vậy N(KL)0 hay K  L e M.

Môđun đơn, môđun nửa đơn

1.5.1 Định nghĩa R-môđun M khác 0 đƣợc gọi là đơn (simple) nếu nó chỉ có hai môđun con là 0 và chính nó

1.5.2 Ví dụ i) K là một trường, mọi K-không gian vectơ 1-chiều là

K-môđun đơn ii) Với là -môđun Khi đó, không là môđun đơn Vì 2 là môđun con thực sự của

1.5.3 Mệnh đề Cho N là môđun con của R-môđun M Khi đó, R-môđun N là tối đại nếu và chỉ nếu môđun thương M

Chứng minh N là môđun con tối đại của M nếu và chỉ nếu N M và không có môđun con P nào của M sao cho N  P M , tức là môđun thương M

N khác không chỉ có hai môđun con là 0 và chính nó Theo định nghĩa thì môđun thương M

1.5.4 Định nghĩa Môđun M đƣợc gọi là nửa đơn (semisimple) nếu M là tổng của các môđun con đơn của nó

1.5.5 Định lí Đối với R-môđun M, các mệnh đề sau là tương đương:

(ii) Mỗi môđun con của M là hạng tử trực tiếp của M

1.5.6 Hệ quả (i) Mỗi Môđun con của môđun nửa đơn là môđun nửa đơn

(ii) Môđun đẳng cấu với môđun nửa đơn là môđun nửa đơn

(iii) Tổng các môđun nửa đơn là môđun nửa đơn

1.6 Môđun nội xạ, môđun xạ ảnh

1.6.1 Định nghĩa Cho M là một R-môđun Môđun Q đƣợc gọi là nội xạ theo M (hay Q là M-nội xạ) nếu mọi môđun con N của M và mọi đồng cấu

: f NQ đều tồn tại mở rộng R-đồng cấu g sao cho f g i (với i là phép nhúng đồng nhất), tức là biểu đồ sau đây giao hoán:

Môđun Q là môđun nội xạ nếu Q là M-nội xạ, với mọi R-môđun M i g

1.6.2 Định nghĩa Một R-môđun phải P đƣợc gọi là xạ ảnh

(projective) nếu mọi toàn cấu f A: B và với mỗi đồng cấu g P: B tồn tại đồng cấu h P:  A sao cho g  f h , hay biểu đồ sau giao hoán g

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA CS-MÔĐUN VÀ CESS-MÔĐUN

Trong chương này, chúng tôi hệ thống hóa và chứng minh chi tiết một số tính chất của CS-môđun và CESS-môđun, dựa trên các tài liệu tham khảo như [2], [4], [6], và [9] Bên cạnh đó, chúng tôi còn trình bày khái niệm về đế của một môđun, UC-môđun, CS-môđun yếu, và môđun thỏa mãn điều kiện (P) Chúng tôi cũng cung cấp một số ví dụ cụ thể về các khái niệm này cũng như mối liên hệ giữa chúng.

2.1.1 Các điều kiện (C i ) của một môđun

Giả sử M là R-môđun Ta xét các điều kiện sau trên M:

(C 1 ) Với mỗi môđun con U của M luôn có hạng tử trực tiếp U* của M sao cho U* là mở rộng cốt yếu của U

(C 2 ) Mỗi môđun con đẳng cấu với một hạng tử trực tiếp của M cũng là một hạng tử trực tiếp của M

(C 3 ) Nếu U và V là các hạng tử trực tiếp của M với U  V 0 thì UVlà hạng tử trực tiếp của M

2.1.2 Mệnh đề Nếu M thỏa (C 2 ) thì M thỏa (C 3 )

Giả sử M là môđun thỏa mãn điều kiện (C 2) và A, B là các hạng tử trực tiếp của M với A∩B = 0 Chúng ta sẽ chứng minh rằng A⊕B ≤ M Giả sử M = A⊕M₁, ta định nghĩa phép chiếu π: A⊕M₁ → M₁ → 0 Khi đó, A⊕B = B⊕Aπ(B) Nếu x, y thuộc B sao cho π(x) = π(y), thì (x - y) = 0.

   , suy ra x y A Nhƣng ta lại có x-y  B Vậy x y 0, hay

Vậy ta có ( )B   M (do điều kiện x y Do đó,  B là một đơn cấu

(C2)) Vì ( )B M 1 nên A( )B   M Vậy M thỏa mãn (C3)

2.1.3 Định nghĩa Môđun M đƣợc gọi là CS-môđun (hay extending module) nếu M thỏa mãn (C1)

2.1.4 Nhận xét R-môđun M là CS-môđun nếu và chỉ nếu mọi môđun con đóng trong M là hạng tử trực tiếp của M

Chứng minh Giả sử M là CS-môđun, N là môđun con đóng bất kỳ trong M

Do N là môđun con của M nên N cốt yếu trong hạng tử trực tiếp của M

Mặt khác, do N là đóng trong M nên N cốt yếu trong chính nó và do đó N là hạng tử trực tiếp của M

Ngược lại, nếu mọi môđun con đóng của M là hạng tử trực tiếp của M, thì với bất kỳ môđun con K của M, chúng ta có thể chứng minh rằng K là cốt yếu trong hạng tử trực tiếp của M Cụ thể, E(K) là bao đóng của K.

E(K) là môđun con đóng trong M nên E K     M , do đó K e E K     M

Sau đây là một số ví dụ cụ thể về CS-môđun:

2.1.5 Ví dụ (1) Mọi môđun nửa đơn là CS-môđun Thật vậy, giả sử M là

R-môđun nửa đơn Khi đó, mọi môđun con đóng của M đều là hạng tử trực tiếp của M, do đó M là CS-môđun

(2) Mọi môđun đều là CS-môđun Thật vậy, giả sử M là R-môđun đều Khi đó, mọi môđun con khác không của M đều cốt yếu trong M Vậy M là

(3) Cho p là số nguyên tố Xét -môđun M  p  p 2 Khi đó, M là

CS-môđun Vì mọi môđun con đóng của M đều cốt yếu trong M

Cho p là số nguyên tố, xét môđun M = p ⊕ p³ M không phải là CS-môđun Giả sử M là CS-môđun, ta có môđun K = +(lp, p + p³) là bù giao trong M có cấp p² Nếu K là một hạng tử trực tiếp của M, thì M = ⊕K K', với K’ là môđun con của M và cũng có cấp p² Khi đó, pM² = 0, điều này dẫn đến mâu thuẫn Do đó, M không phải là CS-môđun.

2.1.6 Định nghĩa Môđun M đƣợc gọi là liên tục (continuous) nếu M thỏa mãn (C1) và (C2)

2.1.7 Định nghĩa Môđun M đƣợc gọi là tựa liên tục (quasi-continuous) nếu M thỏa mãn (C1) và (C3)

2.1.8 Mệnh đề i) Giả sử A là một môđun con của R-môđun M tùy ý Nếu

A là đóng trong hạng tử trực tiếp của M thì A là môđun con đóng của M ii) Mọi hạng tử trực tiếp của M là đóng trong M

Chứng minh i) Giả sử M M 2 M 2 , với A là môđun con đóng của M 1

Ký hiệu :M 1 M 2 M 1 là phép chiếu chính tắc Giả sử A e B với

B  M Khi đó ta có A=(A) e (B)  M 1 Vì A là đóng trong M 1 suy ra

Trong một không gian M, nếu A là một tập hợp đóng và tồn tại một môđun con B sao cho M = A ⊕ B, thì A có thể được xem là hạng tử trực tiếp của M Đối với môđun con N, với điều kiện A ≤ e N, ta có A ∩ B ≤ e N ∩ B Điều này dẫn đến kết luận rằng B = π(B) và A = B, từ đó khẳng định rằng A cũng đóng trong M.

0 e NB, suy ra N B 0 Xét phép chiếu : A B A, ta có ker( ) B mà N B 0 nên Nker( ) 0,  suy ra  B là đơn cấu Vì thế N nhúng đơn cấu vào môđun A, mà AN nên A=N Vậy A đóng trong M

2.1.9 Mệnh đề Môđun không phân tích được M là CS-môđun khi và chỉ khi M đều

Chứng minh () Giả sử A, B là hai môđun con tùy ý của M, với A, B 0

Theo giả thiết M là CS-môđun nên tồn tại M 1 , M 2 là hạng tử trực tiếp của

M sao cho A e M 1 , B e M 2 Vì M không phân tích đƣợc nên

M M M suy ra A e M do đó A B 0 Vậy M đều

() Giả sử M đều ta cần chứng minh M không phân tích đƣợc và M là

M là một CS-môđun, vì với mọi môđun con A, B của M mà A ∩ B ≠ 0, ta có A ≤ eM và B ≤ eM Do đó, M không phân tích được Giả sử M = C ⊕ D, nhưng điều này dẫn đến mâu thuẫn với tính chất của CS-môđun.

C D điều này mâu thuẫn với M đều Vậy M không phân tích đƣợc

2.1.10 Mệnh đề Giả sử X là CS-môđun Khi đó, mỗi hạng tử trực tiếp của

Chứng minh Giả sử X là CS-môđun và X có một sự phân tích không tầm thường X  A B Ta chứng minh A cũng là CS-môđun Thật vậy, giả sử

U là môđun con đóng của A Khi đó, theo Bổ đề 2.1.6 thì U đóng trong X

Lại do X là CS-môđun nên U là hạng tử trực tiếp của X, tức là có sự phân tích không tầm thường X  U H Theo luật Modunla ta có:

A   A X A UH  U AH Vậy U là hạng tử trực tiếp của A

2.1.11 Mệnh đề Giả sử M là CS- môđun, với udim(M) = n Khi đó,

Chứng minh Do udim(M) = n nên M có sự phận tích:

  , với k  n, trong đó mỗi M i , i1,2, ,k là những môđun không phân tích đƣợc Vì M là CS-môđun, suy ra mỗi M i cũng là CS-môđun (theo Mệnh đề 2.1.10)

Chọn một môđun M i bất kỳ, chúng ta sẽ chứng minh rằng M i là môđun đều Giả sử ngược lại, nếu M i không phải là môđun đều, thì sẽ tồn tại một môđun con U trong M i mà không phải là môđun con cốt yếu của i.

M Suy ra tồn tại một môđun con V của M i sao cho

0 U e V   M i , V M i Điều này chứng tỏ M i có một sự phân tích không tầm thường, đây điều vô lý Khi đó, udim(M) = k Vậy k = n và

2.1.12 Mệnh đề Mỗi hạng tử trực tiếp của một môđun liên tục (tựa liên tục) cũng là một môđun liên tục (tựa liên tục)

Chứng minh Ta xét các môđun liên tục (tựa liên tục) M, và giả sử

M M M cho thấy M1 là một mô đun liên tục Điều này được chứng minh bởi vì M là mô đun liên tục, tức là M là CS-mô đun và mọi hạng tử trực tiếp của M cũng đều là CS-mô đun (theo Mệnh đề 2.1.10).

Giả sử M là liên tục, và U   M 1 , V M 1 , V U Khi đó ta cũng có

U   M và U,V cũng là các môđun con của M nên suy ra V   M (vì M liên tục) Giả sử rằng M  V M' Theo luật Modunla ta có:

M M M M  V M  V M M Điều này chứng tỏ V cũng là hạng tử trực tiếp của M 1 Vậy M 1 là R- môđun liên tục

Với M là tựa liên tục, ta chứng minh rằng M 1 cũng là tựa liên tục Giả sử U ≤ ⊕ M 1, V ≤ ⊕ M 1 và U ∩ V = ∅ Từ tính chất tựa liên tục của M, ta suy ra U⊕ ≤ V⊕ M Cụ thể, nếu M = (U⊕V)⊕M', thì do U⊕ ≤ V M 1, theo luật Modunla ta có kết quả mong muốn.

Từ đó suy ra U V  M 1 Vậy M 1 cũng là môđun tựa liên tục

2.1.13 Mệnh đề Môđun nội xạ là CS-môđun

Giả sử Q là môđun nội xạ và A là môđun con khác không tùy ý của Q Chúng ta cần chứng minh rằng trong Q tồn tại một môđun Q1 sao cho Q1 ≤ Q và A ≤ eQ1 Để làm điều này, hãy gọi A' là bù giao của A trong Q và Q1 là bù giao của A'.

A’ trong Q Khi đó AA'0 và Q 1  A' 0, suy ra AQ 1 , và do đó với mọi môđun con B của Q 1 ta có A B 0 (nếu A B   0 B A') Vì vậy

2.1.14 Mệnh đề Môđun xạ ảnh P là CS-môđun khi và chỉ khi mọi ảnh đồng cấu của P là tổng trực tiếp của một môđun suy biến và một môđun xạ ảnh

Chứng minh Giả sử P là CS-môđun, xạ ảnh Xét môđun con thực sự U bất kì của P Ta sẽ chứng minh P

U là tổng trực tiếp của một môđun suy biến và một môđun xạ ảnh Do P là CS-môđun, nên tồn tại hạng tử trực tiếp U1 của P sao cho U ≤ eU1 ≤ ⊕P Giả sử rằng P = U1 ⊕ P1, từ đó ta suy ra được các mối quan hệ giữa các môđun này.

    trong đó P 1 là xạ ảnh, còn U 1

U là suy biến theo Bổ đề 1.3.4 (e) Vậy

PU là tổng trực tiếp của một môđun xạ ảnh và một môđun suy biến

Ngược lại, nếu mọi ảnh đồng cấu của môđun xạ ảnh P là tổng trực tiếp của một môđun xạ ảnh và một môđun suy biến, thì P sẽ là CS-môđun Cụ thể, hãy xem xét một môđun con thực sự U bất kỳ của P, theo giả thiết, ta có P(U₁) N.

U là suy biến và N là xạ ảnh Vì

  là một môđun xạ ảnh nên U 1 là hạng tử trực tiếp của P, chẳng hạn ta có PU 1 P 1 Theo Mệnh đề 1.7.8 thì U  e U 1 , với

U là suy biến Vậy P là CS-môđun

2.1.15 Định nghĩa Môdun M gọi là UC-môđun (unique closure module) nếu mọi môđun con của M đều có bao đóng duy nhất trong M

Ví dụ Xem nhƣ là -môđun Khi đó, là UC-môđun

2.1.16 Mệnh đề Đối với R-môđun M, các điều kiện sau là tương đương: i) M là một UC-môđun; ii) Đối với bất kì K  c M và N M ta có K N c N; iii) Không tồn tại R-môđun X với môđun con cốt yếu Y sao cho môđun

2.1.17 Mệnh đề Mọi môđun đều là UC-môđun

Chứng minh Giả sử U là R-môđun đều, ta chứng minh U là UC-môđun

Thật vậy, gọi N là môđun con bất kì của U, và N 1 ,N 2 là hai bao đóng bất kì của N, tức là N e N N 1 ,  e N 2 và N 1 ,N 2 đóng trong U Khi đó:

 Nếu N 0 thì N 1 0, N 2 0 Vì U đều và N 1 0 nên N 1  e U Kết hợp với N 1 đóng trong U suy raN 1 U

Hoàn toàn tương tự, ta cóN 2 U Do đó, N có duy nhất bao đóng

2.1.18 Mệnh đề Mọi môđun nửa đơn là UC-môđun

Chứng minh Giả sử M là môđun nửa đơn, ta chứng minh M là UC-môđun

Thật vậy, gọi N là môđun con bất kì của M, và N N 1 , 2 là hai bao đóng bất kì của N, tức là N e N N 1 ,  e N 2 và N N 1 , 2 đóng trong U Khi đó:

 Nếu N 0, do M là môđun nửa đơn nên N là hạng tử trực tiếp của M, nghĩa là tồn tại 'N M sao cho NN'M Theo luật Modula ta có:

Kết hợp với giả thiết N  e N 1 , suy ra N N 1

Hoàn toàn tương tự, ta đượcN N 2 , suy ra N N 1 N 2 Do đó, N có duy nhất bao đóng Vậy M là UC-môđun

2.1.19 Định nghĩa Môđun M đƣợc gọi là CS-môđun yếu (weak CS- module) nếu mỗi môđun con nửa đơn của M là cốt yếu trong hạng tử trực tiếp của M

2.1.20 Ví dụ Cho p là số nguyên tố, và -môđun

Khi đó, M là CS-môđun yếu

Chứng minh Chú ý rằng M có chiều đều bằng 2 Lấy S là môđun nửa đơn của M Khi đó:

Nếu S không là môđun đơn thì S cốt yếu trong M

Nếu S là môđun đơn Khi đó, S (a p , p 2 b p 3 ), với a,b là các số nguyên sao cho 0a b,  p 1 Nếu a0, thì S cốt yếu trong hạng tử trực tiếp L 0 ( 3 )

  p của M Nếu a0, thì M  S L Nghĩa là S cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của M Vậy M là CS-môđun yếu

2.1.21 Mệnh đề Cho M là UC-môđun Nếu M là CS-môđun yếu thì mọi hạng tử trực tiếp của M cũng là CS-môđun yếu

Chứng minh Cho K  M và N là một môđun nửa đơn của K Từ M là CS-môđun yếu nên tồn tại một hạng tử trực tiếp M 1 của M sao cho

Gọi L là bao đóng của N trong K, với điều kiện N  e L  c K Khi đó, ta có L  c M, dẫn đến N  e M 1  c M và N  e L  c M Do M là UC-môđun, ta suy ra L = M 1 Từ đây, bao đóng L của N trong K là một hạng tử trực tiếp của K, cho thấy K là CS-môđun yếu.

2.1.22 Mệnh đề Cho M M 1 M 2 , với M 1 , M 2 là CS-môđun yếu và

M 1 là M 2 - nội xạ thì M là CS-môđun yếu

Chứng minh Cho N là một môđun nửa đơn của M Ta chứng minh N là cốt yếu trong hạng tử trực tiếp của M bởi hai trường hợp sau:

 Trường hợp 1 NM 1 0 Trong trường hợp này theo [5, lemma 5] tồn tại một hạng tử trực tiếp C của M sao cho C đẳng cấu với M 2 , và 1

N C M M C Khi đó, C là một CS-môđun yếu và vì vậy N  e K   C với K  C nhƣ đòi hỏi

 Trường hợp 2 NM 1 0 Lấy N’ là môđun con của N sao cho

Từ M 1 là CS-môđun yếu nên

NM  K   M K K , với K 1 và K 2 là các môđun con của M 1

Từ N'M 1 0, như Trường hợp 1, tồn tại C 1   M sao cho C 1 đẳng cấu với M 2 , N'C 1 , MC 1 M 1 và C 1 C 2 C 3 với N' e C 2 , với

C 2 và C 3 là các môđun con của C 1 Từ đó ta có K 1 C 2   M hay M là

2.1.23 Định nghĩa Đế của môđun M ký hiệu Soc(M) là tổng trực tiếp của các môđun con đơn của M Nếu M không có môđun con đơn thì Soc(M)=0

2.1.24 Ví dụ a) Cho là -môđun Khi đó Soc( )=0 Thật vậy, giả sử

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA CS-MÔĐUN VÀ CESS-MÔĐUN 2.1 CS-môđun

CESS-môđun

2.2.1 Định nghĩa Môđun M đƣợc gọi là CESS-môđun (complement in M with essential socle is a direct summand of M) nếu mọi phần bù giao trong

M với đế cốt yếu là một hạng tử trực tiếp của M

Và sau đây là các ví dụ cụ thể về CESS-môđun:

2.2.2 Ví dụ (1) Cho R-môđun M sao cho Soc M    0 Khi đó, M là

CESS-môđun Thật vậy, gọi môđun A là bù giao trong M sao cho

Soc A  A Vì AM nên Soc A( )Soc M( )0, do đó Soc A    0.

Vì Soc A( ) e A nên A0 Do đó, A là hạng tử trực tiếp của M Vậy M là

(2) Mọi -môđun tự do đều là CESS-môđun Thật vậy, giả sử M là

-môđun tự do Khi đó,

Ta có Soc( )0, do đó Theo ví dụ (1) thì M là CESS-môđun

Môđun M được xét là CESS-môđun với M = 2 ⊕ Giả sử K là bù giao trong M với Soc(K) ≤ eK Vì Soc M = 2 là môđun con đơn của M, nên Soc(M) = Soc(K) và K là một môđun đều.

K  , và vì thế K   M Vậy M là CESS-môđun

(4) Cho p là số nguyên tố, xét -môđun

Khi đó, M không là CESS-môđun (Xem Ví dụ 2.2.4)

Nhƣ vậy, chúng ta đã biết các khái niệm: CS-môđun, CESS-môđun,

CS-môđun yếu Thế thì, chúng quan hệ với nhau nhƣ thế nào? Để trả lời câu hỏi này, chúng ta xét mệnh đề sau:

2.2.3 Mệnh đề Mọi CS-môđun là một CESS-môđun, mọi CESS-môđun là CS-môđun yếu

Chứng minh Trước hết mỗi CS-môđun là CESS-môđun (theo định nghĩa)

Tiếp theo, chúng ta chứng minh rằng M là CS-môđun yếu bằng cách xem xét môđun con nửa đơn N của M Môđun N là tổng của các môđun con đơn, dẫn đến việc Soc N = N Hơn nữa, N là phần bù giao trong M, và theo định nghĩa, mọi môđun con đều có phần bù giao tồn tại.

CESS-môđun ta có N là hạng tử trực tiếp của M Vậy M là CS-môđun yếu

2.2.4 Nhận xét Mỗi CESS-môđun với đế cốt yếu là CS-môđun

Chứng minh Giả sử M là CESS-môđun với Soc M( ) e M Ta chứng minh M là CS-môđun Thật vậy, giả sử A là bù giao trong M, ta chứng minh

A là một hạng tử trực tiếp của M, và để chứng minh điều này, ta chỉ cần chứng minh rằng Soc A( ) e A, vì M là CESS-môđun Giả sử L là môđun con bất kỳ của A, từ đó có thể tiến hành phân tích và chứng minh.

  suy ra Soc A( ) e A Vậy M là CS-môđun

Nhƣ vậy, chúng ta đã biết đƣợc mối quan hệ của CS-môđun,

CESS-môđun và CS-môđun yếu Câu hỏi tự nhiên là chiều ngƣợc lại của

Mệnh đề 2.2.3 có luôn đúng không? Ví dụ sau đây nói rằng chiều ngƣợc lại của Mệnh đề 2.2.3 nói chung là không đúng

2.2.5 Ví dụ a) Cho p là số nguyên tố, xét -môđun

M  p  Khi đó, M là CESS-môđun nhƣng không là CS-môđun

Tiếp theo, ví dụ sau đây chỉ ra rằng một CS-môđun yếu nhƣng không là CESS- môđun b) Cho p là số nguyên tố, xét -môđun

Khi đó, M là CS-môđun yếu nhƣng không là CESS-môđun

Chứng minh Trước hết, ta chứng minh M không là CESS-môđun Thật vậy, chú ý rằng M có đế cốt yếu và từ Ví dụ 2.1.5 (4) ta đƣợc M không là

CS-môđun Do đó, M không là CESS-môdun

Mặt khác, từ Ví dụ 2.1.20 ta lại có M là CS-môđun yếu

2.2.6 Bổ đề Mỗi hạng tử trực tiếp của CESS-môđun cũng là CESS- môđun

Chứng minh Hiển nhiên theo định nghĩa

Mệnh đề 2.2.3 khẳng định rằng mọi CS-môđun đều là CESS-môđun và mọi CESS-môđun là CS-môđun yếu Tuy nhiên, Ví dụ 2.2.5 chỉ ra rằng chiều ngược lại của Mệnh đề 2.2.3 không đúng trong nhiều trường hợp Do đó, câu hỏi đặt ra là cần bổ sung điều kiện gì để có thể xảy ra chiều ngược lại của Mệnh đề 2.2.3 Để giải đáp thắc mắc này, chúng ta sẽ nghiên cứu Mệnh đề tiếp theo.

2.2.7 Mệnh đề Cho M là UC-môđun với đế cốt yếu Khi đó, các điều kiện sao là tương đương: i) M là CS-môđun yếu; ii) M là CESS-môđun; iii) M là CS-môđun

Chứng minh (i)(ii) Lấy A là môđun con của M sao cho A là bù giao trong M (nghĩa là tồn tại BM để A B 0 và A là tối đại trong M) và

Soc A  A, và vì Soc(A) là nửa đơn, nên tồn tại môđun con N của M sao cho Soc A  e N   M Do M là UC-môđun, nên A = N (vì A tối đại trong M và N là đóng trong M), dẫn đến A   M, từ đó suy ra M là CESS-môđun Đối với (ii)  (iii), xét X  M, X sẽ là phần bù giao trong M, và Soc(X) thỏa mãn Soc X  e X, do đó M là CS-môđun.

(iii) (i) Hiển nhiên theo định nghĩa

2.2.8 Mệnh đề Cho M là R-môđun sao cho M Soc M   là đơn Khi đó M là CESS-môđun nếu và chỉ nếu M là CS-môđun

Chứng minh Giả sử M là CESS- môđun và K là phần bù giao trong

M Vì M Soc M  là đơn nên Soc(M) là môđun con tối đại của M Do đó, hoặc K Soc M( ) hoặc K  Soc M    M Trong trường hợp đầu từ M là CESS- môđun, ta có K   M Trong trường hợp sau, tồn tại một môđun con B của Soc(M) sao cho:

Khi đó, M  K Soc M( ) K B Vậy M là CS-môđun

2.2.9 Định nghĩa Một R-môđun M đƣợc gọi là thỏa mãn điều kiện (P)

(satisfy condition (P)) nếu cho bất kì môđun con N của M có tồn tại một hạng tử trực tiếp K của M sao cho Soc K     N K

2.2.10 Ví dụ (1) Xem nhƣ là -môđun Khi đó, là môđun thỏa mãn điều kiện (P)

M = 2 ⊕ Khi đó, M không đáp ứng điều kiện (P) vì có chiều đều bằng 2 và không phải là một CS-môđun (xem [7]) Giả sử ngược lại, nếu M thỏa mãn điều kiện (P) thì cho K ≤ cM, sẽ tồn tại một hạng tử trực tiếp.

L của M cần thỏa mãn điều kiện Soc L( ) K  L Khi L=M, K trở thành một hạng tử trực tiếp của M Ngược lại, nếu L khác M, L sẽ có chiều đều bằng 1 và K sẽ nhỏ hơn hoặc bằng e L Điều này dẫn đến K=L và K cũng nhỏ hơn hoặc bằng  M Tuy nhiên, trong trường hợp này, M lại được xem là CS-môđun, điều này tạo ra một mâu thuẫn.

M trong Ví dụ 2.2.10 có chiều đều bằng 2 nhưng không thỏa mãn điều kiện (P) Ngược lại, Ví dụ 2.2.2 cho thấy M là CESS-môđun Chúng ta sẽ chứng minh một kết quả tổng quát hơn thông qua Mệnh đề sau.

2.2.11 Mệnh đề Cho M là R- môđun với udim(M) =2 sao cho Soc(M) là một hạng tử trực tiếp khác không của M và M không là CS-môđun Khi đó: i) M không thỏa mãn điều kiện (P) ii) M là CESS-môđun

Theo giả thiết M = Soc(M) ⊕ T, với T là một môđun con khác không của M, giả sử ngược lại rằng M thỏa mãn điều kiện (P) Lấy K là bù giao trong M nhưng không phải là hạng tử trực tiếp của M Do đó, tồn tại các môđun con L và L1 của M.

Soc M   K  L  M  L L Bây giờ, chúng ta xét hai trường hợp sau:

 Trường hợp 1 L=M ở đây Soc M( )K M và Soc M( ) K Từ

K  T ta có Soc M( )(K T)K Vì udim(M) =2 nên e

K  M Nhƣ vậy K=M, điều này mâu thuẫn

Trong trường hợp 2, khi L không bằng M, với L là môđun đều và K nhỏ hơn hoặc bằng L cũng như K nhỏ hơn hoặc bằng c M, dẫn đến K bằng L, tạo ra một mâu thuẫn Điều này cho thấy rằng M không thỏa mãn điều kiện (P) Hơn nữa, K được xác định là một bù giao trong M với Soc K nhỏ hơn hoặc bằng e K Từ Soc M nhỏ hơn hoặc bằng tổng hợp M, ta có kết quả tương ứng.

Soc K   M và vì thế K Soc K( )  M

2.2.12 Định lí Cho M là UC-môđun Khi đó, các điều kiện sau đây là tương đương: i) M thỏa mãn điều kiện (P); ii) M là CESS-môđun; iii) M là CS-môđun yếu

Chứng minh (i)(ii) Cho K  c M với Soc K( ) e K Theo (i) thì tồn tại một hạng tử trực tiếp L của M sao cho Soc L( )K L Khi đó, theo

[8, Proposition 10] ta có M M 1 M 2 với Soc M( 1 ) e M 2 , M 1 là

CS-môđun và Soc M   2 0 Từ đây Soc K( )Soc L( )M 1 Từ M 1 là

CS-môđun, ta có thể tìm một hạng tử trực tiếp U của M sao cho

Soc K  U Khi đó, M là UC-môđun, chúng ta có K=U và K   M Vậy

(ii)(i) Theo [9, Corollary 1.6], ta cóM M 1 M 2 , với M 1 là CS-môđun,

Soc M  M và Soc M  2 0 Cho K là một bù giao trong M, ta xét hai trường hợp sau:

 Trường hợp 1 Soc K    0 Từ Soc M  Soc M   1  e M 1, ta có

KM  Hơn nửa, KM 2  e M 2 theo Mệnh đề 2.2.7.(ii) Khi đó, tồn tại V M 2 sao cho V (KM 2 ) e M 2 Khi đó,

M  V K  V  K Điều đó kéo theo rằng

Trong trường hợp 2, khi Soc K( ) khác 0, ta có Soc K( ) bằng giao của Soc M(1) và K Theo mệnh đề 2.2.7.(ii), K giao với M1 nhỏ hơn hoặc bằng cM1 Vì M1 là CS-môđun, ta suy ra K giao với M1 nhỏ hơn hoặc bằng tổng trực tiếp M1, với M1 được xác định là tổng trực tiếp của (K giao M1) và một môđun con L của M1 Đặt T bằng K giao với (L tổng trực tiếp M2), ta có K bằng tổng trực tiếp của (K giao M1) và T Khi đó, T là bù giao trong M và Soc T bằng 0 Tương tự như trường hợp 1, chúng ta chứng minh rằng T được chứa trong M2.

K KM M   M với Soc K(( M 1 )M 2 )K. Hay M thỏa mãn điều kiện (P)

(ii)  (iii) Suy ra từ Mệnh đề 2.2.3

Cho K là một bù giao trong M với Soc K( ) e K Từ điều này, có một hạng tử trực tiếp L của M sao cho Soc K( ) e L Từ tính chất của UC-môđun, ta suy ra rằng K=L, xác nhận sự tồn tại của hạng tử trực tiếp theo yêu cầu.