TÍNH CHẤT CỦA CÁC MODE TE VÀ TM
Mode TM
Điện trường theo chiều dọc của các chế độ TM trong hình chữ nhật ống dẫn sóng phải thỏa mãn phương trình sóng:
∇ 2 𝐸̃ 𝑧 𝑇𝑀 + 𝑘 2 𝐸̃ 𝑧 𝑇𝑀 = 0 (2.11) trong đó mở rộng trong tọa độ vuông góc là:
Các chức năng điện trường có thể được xác định thông qua kỹ thuật phân tách các biến, với giả định về một giải pháp theo các hình thức nhất định.
𝐸̃ 𝑧 𝑇𝑀 = X(x) Y(y)𝑒 −𝑗𝛽𝑧 (2.13) Chèn các giải pháp giả định vào các phương trình vi phân cho
𝑑𝑦 2 + ℎ 2 = 0 (2.14) Kết quả là điện trường theo chiều dọc cho một ống dẫn sóng hình chữ nhật TM mode
Các điều kiện biên TM cho hình chữ nhật ống dẫn sóng là:
𝐸̃ 𝑧 𝑇𝑀 (x,0,z) = 𝐸̃ 𝑧 𝑇𝑀 (x,b,z) = 0 (2.16) Áp dụng các điều kiện trên có
Trong nghiên cứu về TM mode, A và C được xem như hằng số, trong khi số lượng TM mode rời rạc là vô hạn và phụ thuộc vào các giá trị của m và n Mỗi TM mode được ký hiệu là TMmn mode.
Các thành phần trường ngang của TMmn mode được tìm thấy bằng cách phân biệt điện trường dọc theo định nghĩa của TM chuẩn phương trình :
Mode TE
Từ trường theo chiều dọc trong chế độ TE của ống dẫn sóng hình chữ nhật phải tuân theo phương trình sóng tương tự như điện trường theo chiều dọc trong chế độ TM.
∇ 2 𝐻 𝑧 𝑇𝐸 + 𝑘 2 𝐻 𝑧 𝑇𝐸 = 0 (2.20) trong đó mở rộng trong tọa độ vuông góc là
𝜕𝑧 2 + 𝑘 2 𝐻 𝑧 𝑇𝐸 = 0 (2.21) Biến đổi tương tự các thành như TM mode ta có phương trình các thành phần
Kết hợp các hằng số B và D vào H0 , có kết quả từ trường theo chiều dọc của mode
Các thành phần của TE mode
Khi m=n=0, tất cả các thành phần từ trường, ngoại trừ 𝐻 𝑧, đều bằng 0 Do đó, m và n có thể nhận các giá trị bất kỳ như 0, 1, 2, 3 nhưng không thể đồng thời bằng 0 Điều này cho thấy trong ống dẫn sóng hình chữ nhật có thể tồn tại nhiều kiểu trường điện ngang khác nhau Phân bố trường theo các cạnh a và b tạo thành dạng sóng đứng, trong đó m xác định số nửa sóng trong khoảng (0,a) và n là số nửa sóng trong khoảng (0,b).
TRÌNH BÀY CƠ SỞ LÝ THUYẾT CỦA PHƯƠNG PHÁP KHAI TRIỂN SÓNG PHẲNG (PLANE WAVE EXPANSION METHOD)
Giới thiệu về tinh thể quang tử
Trong bối cảnh thế giới ngày nay, nhu cầu về máy tính và thông tin liên lạc ngày càng gia tăng, khiến chúng ta chú trọng hơn đến các linh kiện quang Độ rộng phổ và tốc độ làm việc của những linh kiện này có thể đóng góp cho nhiều ứng dụng quan trọng Sự thay đổi cấu trúc của linh kiện quang sẽ dẫn đến sự thay đổi về tính chất, điều này là một quan điểm then chốt trong nghiên cứu và phát triển công nghệ.
Yablomovitch tới giả thiết rằng chúng ta có thể thực hiện với photon những gì mà ta đã làm với điện tử
Các tinh thể quang tử, hay còn gọi là các cấu trúc micro với vùng cấm quang, là những vật liệu có cấu trúc tuần hoàn với các hằng số điện môi khác nhau Chúng có thể được phân loại thành 1D, 2D, và 3D tùy thuộc vào sự tuần hoàn của hằng số điện môi trong không gian Tinh thể quang tử 3D tương tự như các tinh thể chất rắn, cho phép điều khiển photon tương tự như cách mà các tinh thể bán dẫn điều khiển điện tử Điều này tạo ra trạng thái mà photon ở một dãy năng lượng nhất định không thể đi qua tinh thể, bị phản xạ hoặc không được phép truyền qua trong tất cả các hướng Tính năng này rất quan trọng, vì nó cho phép ánh sáng phát ra từ nguồn sáng được tinh thể tái hấp thụ và tái phát xạ.
Hình 3.1 Tinh thể quang tử 1D, 2D và 3D
Tinh thể photonic band gap (PBG)
Một tinh thể PBG là cấu trúc điều khiển chùm ánh sáng tương tự như cách các chất bán dẫn điều khiển dòng điện Giống như chất bán dẫn không cho phép điện tử trong vùng cấm, tinh thể quang tử cũng không hỗ trợ photon nằm trong khe hở lượng tử ánh sáng Bằng cách kiểm soát sự truyền qua của ánh sáng trong tinh thể, quá trình xử lý ánh sáng được thực hiện, hứa hẹn sẽ cách mạng hóa lĩnh vực lượng tử ánh sáng và các bóng bán dẫn điện tử.
Tinh thể quang tử thường được cấu tạo từ vật liệu điện môi, có chức năng như một vật liệu cách điện và cho phép truyền tải trường điện từ với tổn hao thấp Trong cấu trúc mạng tinh thể, các lỗ được khoan vào điện môi theo thứ tự của các bước sóng liên quan, tạo thành một cấu trúc lặp lại Khi được xây dựng chính xác, các tinh thể này sẽ hoạt động như một vật liệu ngăn chặn bước sóng, tạo ra một dải tần số mà trong đó một bước sóng cụ thể của ánh sáng sẽ bị chặn lại.
Sự hình thành PBG là kết quả của sự tương tác hiệp lực giữa hai cơ chế cộng hưởng tán xạ khác nhau Đầu tiên, cộng hưởng Bragg vĩ mô từ một mảng tuần hoàn của tán xạ tạo ra khoảng cách dừng điện tử khi sóng lan truyền theo hướng điều chế định kỳ Thứ hai, tán xạ cộng hưởng vi mô từ một tế bào đơn vị duy nhất của vật liệu Để tăng cường sự hình thành PBG, cần chọn các vật liệu có thông số phù hợp để cả hai loại cộng hưởng vĩ mô và vi mô xảy ra tại cùng một tần số.
Sợi tinh thể quang tử và kĩ thuật truyền dẫn trong sợi tinh thể quang tử
Sợi tinh thể quang tử (PCFs) là loại sợi quang học mới, có cấu trúc tuần hoàn với các ống nhỏ và lỗ trống hình lục giác chứa đầy không khí Ánh sáng có khả năng truyền qua các lỗ khuyết trong cấu trúc tinh thể nhờ vào sự dịch chuyển của một hoặc nhiều tâm của các ống nhỏ.
Nếu lỗ khuyết trong cấu trúc do dịch chuyển tâm của các ống nhỏ, thì sự truyền sóng điện từ trong sợi tinh thể quang tử thể hiện sự biến đổi của tổng phản xạ nội Biến đổi này xảy ra do hệ thống ống nhỏ chứa không khí, dẫn đến việc dò rỉ các mode cao hơn, chỉ cho phép mode cơ bản được truyền đi Mode này có đường kính nhỏ nhất, gần kích thước của lỗ khuyết và hằng số mạng của cấu trúc tuần hoàn.
Trong mạng của những sợi nhỏ chứa không khí, tâm của chúng được thay thế bằng một thanh khác Nếu tâm của lỗ khuyết được chèn bằng tâm của sợi nhỏ có đường kính khác biệt, chúng ta sẽ tạo ra dải vùng cấm quang tử (PBG) Sự định hướng ánh sáng tương tự như cách dẫn điện tử trong vật lý chất rắn với cấu trúc giải năng lượng.
Những lõi không khí không phân bố tuần hoàn có thể hình thành cấu trúc tinh thể quang tử hai chiều với hằng số mạng tương đương bước sóng ánh sáng Trong cấu trúc này, dải vùng cấm xuất hiện, ngăn cản ánh sáng truyền trong một dải tần số nhất định Khi cấu trúc tuần hoàn bị lỗi và có lỗ khuyết với đặc điểm quang học khác biệt, vùng lỗ khuyết này có thể tạo ra các mode tần số nằm trong dải vùng cấm quang tử, ngăn cản sóng xuyên sâu vào tinh thể Để giam hãm ánh sáng trong lõi, dải vùng cấm yêu cầu miền lỗ khuyết phải có chiết suất lớn hơn so với miền xung quanh.
Phương pháp khai triển sóng phẳng (Plane wave expansion method)
Bằng 2 phương trình Maxwell mô tả sự lan truyền của sóng điện từ, biến đổi thành tập các phương trình có thể được lấy xấp xỉ bằng phường phương pháp triển khai sóng phẳng
𝜕𝑡 (𝛻 × 𝐵⃗ ) (4) Xét các mode TE và TM ta có:
Mà ta có chỉ những thành phần ứng với z khác 0 vậy suy ra (6a) trở thành:
𝜕𝑦 2 ] 𝐸(𝑟 )𝑒 𝑖(𝑘 ⃗ ⋅𝑟 −𝑤𝑡) = 𝜔 2 𝐸(𝑟 )𝑒 𝑖(𝑘 ⃗ ⋅𝑟 −𝑤𝑡) (7a) Tương tự ta có (6b) trở thành:
Giả sử tinh thể quang phân bố trên mặt phẳng 2 chiều vô cùng lớn => áp dụng khai triển chuỗi Fourier ta có:
𝐺 𝑒 𝑖(𝐺 ⋅𝑟 ) (8c) Với 𝐺 là vector mạng đảo được xác định bởi hai thành phần m và n
𝐺 = 𝐺 𝑚𝑛 = 𝑚𝑏⃗ 1 + 𝑛𝑏⃗ 2 == 𝐺 𝑥 𝑚𝑛 𝑒 𝑥 + 𝐺 𝑦 𝑚𝑛 𝑒 𝑦 (9) Biến đổi Fourier 𝑐(𝑟 ) 2 với các hệ số l và m (𝑐 𝐺 2 = 𝑐 𝑙𝑚 2 )
Biến đổi Fourier 𝐸(𝑟 ), 𝐵(𝑟 ) với các hệ số n và o
Từ đó ta có (7a) và (7b) trở thành:
Từ hệ số mũ của vế trái và vế phải của phương trình ta có: l + n = p và m + o = q
Hai phương trình trên có thể giải quyết bằng số nếu chúng ta giới hạn số lượng vector mạng đảo 𝐺 Đặt 𝛯 𝑚𝑙 𝑝𝑞 = [(𝐺 𝑥 (𝑝 − 𝑙)(𝑞 − 𝑚)
+ 𝑘 𝑥 ) 2 + ] và giả sử giới hạn trên của p và q là 1
=> ta có phương trình ma trận (11):
• ma trận A là phương trình sóng phẳng của từ trường hoặc điện trường
• 𝐶 𝑙𝑚 2 là hệ số Fourier của vận tốc pha được tính theo công thức:
Cell: là diện tích chọn trước
Từ phương trình ma trận (11) tìm tần số riêng 𝜔 cho tinh thể đưa ta về bài toán tím trị riêng trong đại số và giải tích
MÔ PHỎNG BẰNG PHẦN MỀM OPTIFDTD
Thiết kế
Dựa trên tài liệu hướng dẫn OptiFTDT, tinh thể quang tử được cấu tạo từ các ống trụ chất điện môi sắp xếp trong một mạng hình vuông Các thông số chi tiết được trình bày dưới đây.
Bảng 4.1 chiết suất vật liệu
Tên đối tượng Giá trị chiết suất Loại vật liệu Ống trụ 2.983287 AlAs
Về dạng mạng, các ống trụ có trục cách nhau khoảng cách a = 1 𝜇m Bán kính mỗi ống trụ r = 0.2 × a
Kích thước mạng 9x9, chiều dài ống trụ 1 𝜇m
Hình 4.1 Kích thước mạng tinh thể 2 chiều
Hình 4.2 Mô hình mạng tinh thể
Bảng 4.1 Thông số nguồn phát sóng điện từ
Loại sóng Gaussian Modulated Continuous Wave