Một số tính chất của phân tích hình p adic

Kiến thức cơ sở 4

Giá trị tuyệt đối trên trường số hữu tỷ

1.1.1 Định nghĩa, sự phụ thuộc và sự độc lập

1.1.1.1 Định nghĩa Giả sử K là một trường, giá trị tuyệt đối  trên K là hàm số từ Kvào R (ký hiệu    x  x  ,   x K ), thỏa mãn đồng thời ba điều kiện sau đây: a x   0,   x K và x   0 khi và chỉ khi x  0 b xy   x  y  ,  x y ,  K c x  y   x   y  ,  x y ,  K

Một hàm giá trị tuyệt đối trên trường K được gọi là hàm giá trị tuyệt đối phi Ácsimét nếu thỏa mãn điều kiện: c’ x  y   max  x  , y   ,  x y ,  K .

Ví dụ 1 Đặt x     1, 0 x K ; 0 ;  0, ta được một giá trị tuyệt đối trên K

Giá trị tuyệt đối này được gọi là giá trị tuyệt đối tầm thường

2 Giả sử K là trường số hữu tỷ Khi đó giá trị tuyệt đối thông thường x trên K thỏa mãn các điều kiện a, b và c

3 Giả sử x là một số hữu tỷ khác 0 tùy ý Khi đó x có thể viết một cách duy nhất dưới dạng: x   2  p p 1  1 2  2 p n  n , trong đó p i là số nguyên tố lẻ và   , i là các số nguyên Khi đó nếu đặt x  2   và 0  0, ta nhận được một giá trị tuyệt đối trên trường số hữu tỷ Dễ thấy rằng, giá trị tuyệt đối định nghĩa trên đây thỏa mãn tiên đề c’ và đó là một giá trị tuyệt đối phi Ácsimét

- Khi chỉ làm việc với một giá trị tuyệt đối ta sẽ viết x thay cho x  và nói về như giá trị tuyệt đối trên trường K

Giá trị tuyệt đối trên trường K xác định một mêtric, trong đó khoảng cách giữa hai điểm x và y thuộc K được tính bằng |x - y| Điều này cho thấy rằng giá trị tuyệt đối trên trường K cũng xác định một tô pô Bộ (K, ν) bao gồm trường K và hàm giá trị tuyệt đối ν trên K được gọi là trường định giá hay trường định chuẩn.

1.1.1.3 Định nghĩa Hai giá trị tuyệt đối trên một trường K được gọi là phụ thuộc (còn gọi là tương đương) nếu chúng xác định cùng một tô pô trên K Trong trường hợp trái lại, chúng được gọi là độc lập (còn gọi là không tương đương) Định lý sau đây nêu lên tiêu chuẩn cần và đủ để hai giá trị tuyệt đối trên một trường K là phụ thuộc lẫn nhau (hay chúng tương đương với nhau)

Giá trị tuyệt đối không tầm thường trên trường K phụ thuộc lẫn nhau khi và chỉ khi từ hệ thức x1 < 1 suy ra x2 < 1 Nếu chúng phụ thuộc, sẽ tồn tại số thực λ > 0 sao cho x1 = x2λ với mọi x ∈ K Định lý dưới đây trình bày các điều kiện tương đương của giá trị tuyệt đối phi Ácsimét trên trường K.

1.1.1.5 Định lý Giả sử  K ,  là trường định chuẩn với đơn vị e, khi đó các điều kiện sau là tương đương: a phi Ácsimét b  x  K : x    1   x K : e     x 1  c Tập số tự nhiên bị chặn d 2 e  1

1.1.1.6 Nhận xét Trong định lý 1.1.1.4, chúng ta thu được một điều kiện khá mạnh mà các giá trị tuyệt đối tương đương thỏa mãn Bây giờ, chúng ta đưa ra một điều kiện mà giá trị tuyệt đối độc lập nghiệm đúng

1.1.1.7 Định lý (Định lý xấp xỉ của Artin – Whepern)

Giả sử K là một trường, , , , 1 s là các giá trị tuyệt đối không tầm thường, từng đôi một độc lập trên K Nếu x 1 , , x s là các phần tử thuộc K ,

  0 thì tồn tại phần tử x  K sao cho: x  x i i   , với mọi i  1, 2, , s

1.1.2 Phân loại giá trị tuyệt đối trên trường số hữu tỷ Q

Giả sử 0   x Q , khi đó x có thể viết dưới dạng:

Trong phân tích số hữu tỷ x, ta có thể biểu diễn x dưới dạng tích của các số nguyên tố p_j (j = 1, 2, , k) với các chỉ số lũy thừa α_j, trong đó các số nguyên tố này là khác nhau và các chỉ số lũy thừa là các số nguyên.

Giả sử p là một số nguyên tố

Kí hiệu , 1, 2, , , or 0 j x p j p ord x   j  k d  nếu p  p j Đặt or x d p x p  p  nếu x  0 và 0 p  0

1.1.2.1 Ví dụ Với p  2 , ta có: 2 2 1 , 12 2 1 , 3 2 1

Mệnh đề sau đây chứng tỏ p xác định như trên là một giá trị tuyệt đối phi Ácsimét trên trường các số hữu tỷ Q

1.1.2.2 Mệnh đề Hàm p xác định như trên là một hàm giá trị tuyệt đối phi Ácsimét, trong đó p là số nguyên tố bất kỳ Người ta gọi p là giá trị tuyệt đối p – adic

1.1.2.3 Nhận xét Trên trường số hữu tỷ Q, ngoài giá trị tuyệt đối tầm thường và giá trị tuyệt đối thông thường   , chúng ta đã chỉ ra một họ các giá trị tuyệt đối p – adic Vấn đề đặt ra là trên Q có tồn tại các giá trị tuyệt đối khác nữa hay không? Định lý Ostrowski sẽ trả lời cho câu hỏi đó

1.1.2.4 Định lý (Ostrowski) Mọi giá trị tuyệt đối không tầm thường trên Q đều tương đương (hay phụ thuộc) với giá trị tuyệt đối p – adic, trong đó p là số nguyên tố bất kỳ, hoặc p  .

Xây dựng trường số hữu tỷ p – adic p

1.2.1 Dãy Cauchy (dãy cơ bản) Giả sử p là một số nguyên tố cố định Dãy

Dãy số hữu tỷ được gọi là dãy cơ bản theo giá trị tuyệt đối p-adic nếu với mọi số dương ε, tồn tại một số tự nhiên n0 sao cho với mọi m, n lớn hơn n0, khoảng cách giữa các số m và n là nhỏ hơn ε.

1.2.2 Quan hệ tương đương Gọi X là tập hợp các dãy cơ bản các số hữu tỷ theo giá trị tuyệt đối p – adic p Ta xác định một quan hệ hai ngôi trên X như sau:

Rõ ràng " " là quan hệ tương đương trên X Đặt p  X /   a    a j  , trong đó   j : lim j j 0 j a b X a b

Đặc biệt, với x thuộc tập hợp số hữu tỉ Q, ta ký hiệu dãy Cauchy hằng là {x} và {x} {x'} khi và chỉ khi x = x' Giá trị tuyệt đối trên p được phát sinh từ giá trị tuyệt đối p-adic trên Q.

Nếu a    a j , ta định nghĩa p lim j p j a a

 , trong đó   a j là phần tử đại diện của lớp tương đương a

Mệnh đề sau khẳng định rằng định nghĩa giá trị tuyệt đối trên p như trên là hợp lý

1.2.3 Mệnh đề Tồn tại giới hạn của dãy   a j p trong đó   a j là dãy cơ bản các số hữu tỷ

1.2.4 Phép toán trên p Giả sử a    a j , b    b j  p Ta xây dựng hai phép toán sau:

1.2.5 Mệnh đề Các phép toán trên không phụ thuộc vào phần tử đại diện

1.2.6 Định lý p cùng hai phép toán được xây dựng như trên lập thành một trường gọi là trường các số hữu tỷ p – adic và p là trường mở rộng của trường các số hữu tỷ

1.2.7 Bổ đề Nếu x  và x p  1 , với mỗi j luôn tồn tại số nguyên  sao cho: j , x p p

    trong đó số nguyên  có thể chọn trong tập  0,1, 2, , p j  1  Định lý sau đây làm cơ sở cho việc xác định các số nguyên p – adic

1.2.8 Định lý Với mỗi lớp tương đương a  p : a  1 , có đúng một dãy Cauchy   a j thỏa mãn hai điều kiện sau:

1.2.9 Nhận xét Trong định lý 1.2.8 ta luôn giả thiết a p  1 Vậy điều gì sẽ xảy ra khi a p  1 Để đi đến kết luận, chúng ta biến đổi như sau:

Vì a p  1 nên a p  p m , m  N m ,  1. Đặt a '  a p m ' , m '  m Rõ ràng ' m ' 1 p p a  a p  

Khi đó a '    a ' j với a '  a p m ' thỏa mãn giả thiết của định lý 1.2.8 và

' m ' a  a p  có đại diện tương ứng là   a j , trong đó a j a p ' j  m ' ,j Để thuận lợi trong trình bày, chúng ta viết a ' j trong hệ đếm cơ số p, nghĩa là:

0 1 1 j , j j a  b b p b  p  trong đó b j là các chữ số, 0   b i p i ,  1, 2, , j  1 và a ' j  1   b 0 b p 1   b j  1 p j  1  b p j j

Như vậy với mọi a  p đều có dạng:

        trong đó b j là các chữ số, b j  { 0,1, , p  1}.

Biểu thức (*) là biểu diễn chính tắc của số hữu tỷ p – adic a thuộc tập hợp p Tập hợp p được định nghĩa là tất cả các số a trong p với điều kiện a ≤ 1, không chứa lũy thừa âm của số nguyên tố p Mỗi phần tử trong tập hợp p được gọi là số nguyên p – adic.

  suy ra a p  p  m , trong đó m  min  j a : j  0 

Chúng ta dễ dàng chứng minh được kết quả sau

1.2.10 Mệnh đề p là vành con của p , không chứa ước của 0 Đặt * p a p : 1 p a

  là nhóm nhân các phần tử khả nghịch Các phần tử của * p còn gọi là các phần tử đơn vị (hay phần tử khả nghịch) của vành p

Kết quả sau đây cho chúng ta dấu hiệu nhận biết một số nguyên p - adic là đơn vị

1.2.11 Mệnh đề Số nguyên p – adic a  p là đơn vị khi và chỉ khi

1.2.12 Hệ quả Mọi số p – adic có dạng   p m , trong đó m  ,  là phần tử khả nghịch.

Một số tính chất tô pô của p

Theo cách xây dựng, p được xem là một mở rộng của trường số hữu tỷ, tương tự như trường số thực Tuy nhiên, giá trị tuyệt đối trên p là phi Ácsimet, dẫn đến nhiều tính chất tôpô đặc biệt của p so với trường số thực Một trong những đặc điểm nổi bật là vành Z_p là compact, và Z là trù mật trong Z_p.

Tuy nhiên Z không trù mật trong trường số thực (đối với tô pô cảm sinh bởi giá trị tuyệt đối thông thường)

1.3.3 Mệnh đề trù mật trong Z p

Chú ý rằng p không compact vì dãy 1 n p

  không thể trích được dãy con hội tụ Tuy nhiên chúng ta có :

1.3.4 Mệnh đề p compact địa phương, trù mật trong p

1.3.5 Hệ quả p đầy đủ và tách được

1.3.6 Mệnh đề Tô pô của p là tô pô không chiều, p là hoàn toàn không liên thông

1.3.7 Nhận xét (so sánh p và )

Con đường xây dựng của trường số p-adic và trường số thực đều là các mở rộng của trường số hữu tỷ, nhưng chúng có giá trị tuyệt đối khác nhau Do đó, giữa trường số p-adic và trường số thực tồn tại nhiều điểm khác biệt đáng chú ý.

Thứ nhất, tập các giá trị tuyệt đối trên chính là  , còn tập các giá trị tuyệt đối p – adic trên p là:   0   p m , m  

Thứ hai, mỗi x  p ,   a n  0,1, , p  1  sao cho a n  0 với mọi số nguyên n thỏa mãn n  N 0 và

  , nếu y  , tồn tại b n   0,1, , p  1  sao cho b n 0 với n  N 0 và

  Tuy nhiên a n duy nhất, còn b n không duy nhất.

Mở rộng đóng đại số đầy đủ p của trường các số p

Bao đóng đại số của trường số thực là trường số phức, có thể xem là không gian vectơ hai chiều Vấn đề đặt ra là liệu có thể mở rộng trường p thành một trường đóng đại số và đầy đủ hay không Câu trả lời là có, nhưng có những khác biệt như giá trị tuyệt đối trên và trên p khác nhau, dẫn đến tô pô cũng khác nhau Trong khi bao đóng đại số của trường số thực là một trường đầy đủ, bao đóng đại số của p lại không có tính chất đó Chúng tôi sẽ trình bày một số kết quả từ quá trình xây dựng bao đóng đại số và đầy đủ của trường p.

Ký hiệu p là bao đóng đại số của p Nếu  p , thì  là nghiệm của đa thức bất khả quy f x ( )  p   x :

Khi đó giá trị tuyệt đối của  trên p được xác định bởi hệ thức: p a n p

Rõ ràng đây là một hàm mở rộng của hàm giá trị tuyệt đối trên p Ta có định lý sau:

1.4.1 Định lý p là trường không đầy đủ

Bao đóng đại số của trường số p-adic không phải là không gian đầy đủ Để đạt được không gian đầy đủ, cần thực hiện việc làm đầy theo phương pháp thông thường.

Giả sử X là tập hợp các dãy cơ bản gồm các phần tử của p , dãy

  x n được gọi là dãy không nếu lim n p 0 j x

Hai dãy cơ bản   x n và   y n được gọi là tương đương nếu và chỉ nếu

 x n  y n  là dãy không Đặt p  X/ , rõ ràng C cùng với hai phép toán +, các dãy p thông thường (cộng, nhân thành phần) lập thành một trường

Khi thực hiện việc làm đầy bao đóng đại số của trường số p-adic nhằm tạo ra không gian đầy đủ, một câu hỏi quan trọng đặt ra là liệu tính chất đóng đại số có được bảo toàn hay không Định lý dưới đây sẽ cung cấp câu trả lời cho thắc mắc này.

1.4.2 Định lý C là trường đóng đại số p

Như vậy mỗi phần tử của C là giới hạn của một dãy cơ bản các phần p tử của p Nếu lim n n x

   , thì giá trị tuyệt đối trên C được định nghĩa như p sau: lim n p n x p

Ngoài ra, hàm ord x p trên p được mở rộng thành hàm số cho bởi công thức:

Cuối cùng, một số tính chất đại số và tô pô của trường C được mô tả p bởi định lý sau

p i C đóng đại số và đầy đủ

p ii là p - không gian vectơ vô hạn chiều

p iii không compact địa phương

v Trường các lớp thặng dư của p là trường đóng đại số của trường có p phần tử

vi Nhóm giá trị của p là compact

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA HÀM PHÂN HÌNH P – ADIC

Ta định nghĩa hình cầu mở bán kính R bởi B  R    z F : z  R 

Ta cũng sử dụng ký hiệu B   F cho trường hợp toàn bộ trường Hình cầu đóng bán kính R được định nghĩa bởi B  R   z  F : z  R }

Nếu R  0 thì cả B  R và B  R đều là những tập hợp vừa mở vừa đóng trong tô pô của F

Vành hàm chỉnh hình trong B  R , kí hiệu A   R , được định nghĩa bởi

Tương tự, vành các hàm chỉnh hình trong B  R , kí hiệu A   R , được định nghĩa như sau:

Các phần tử của A    , tức là các chuỗi lũy thừa bán kính hội tụ bằng vô cùng, được gọi là các hàm nguyên

Những định nghĩa trên đây có thể dễ dàng chuyển sang cho các chuỗi Laurent Cụ thể là ta có thể xét những kiểu vành khăn như sau:

Một số tính chất của hàm phân hình p – adic 16 1 Hàm chỉnh hình

Tương tự công thức tích phân Cauchy

Định lý Cauchy và công thức tích phân Cauchy là những vấn đề quan trọng trong hàm biến phức, và trong bối cảnh p-adic, chúng ta tìm kiếm các tương tự của những kết quả này Tích phân Shnirelman được xem là khái niệm phù hợp để đạt được mục tiêu này Bài viết sẽ trình bày các tính chất cơ bản của tích phân Shnirelman và áp dụng chúng để xây dựng những tương tự p-adic cho lý thuyết hàm một biến phức.

2.2.1 Định nghĩa Giả sử n  1 là một số nguyên với n p  1 Ký hiệu qua

   là các căn bậc n của đơn vị trong trường F Giả sử a, r là những phần tử của F , đồng thời hàm f xác định tại mọi điểm có dạng

Ta định nghĩa tích phân Shnirelman của hàm f trên vòng tròn z a   r là giới hạn sau đây, nếu nó tồn tại:

Trong trường hợp giới hạn trên đây tồn tại, hàm f được gọi là khả tích Shnirelman trên vòng tròn z   a r

   tồn tại thì ( ) max ( ) z a r z a r f z dz r f z

  , với giả thiết rằng vế phải xác định

2.2.3 Mệnh đề Nếu chuỗi  f j hội tụ đều trên z   a r đến f và nếu mỗi hàm f khả tích Shnirelman trên j z   a r thì f khả tích Shnirelman trên z   a r và ( ) j ( ) z a r j z a r f z dz f z dz

Chứng minh Giả sử   0 Do giả thiết về tính hội tụ đều của tổng, ta có:

( ) ( ) j 3 j f z   f z   r với mọi j đủ lớn và với mọi z sao cho z   a r Như vậy, với mọi n sao cho

Do các f j hội tụ đều đến 0 trên z   a r nên từ Mệnh đề 2.3.2 suy ra:

    với mọi j đủ lớn Cố định j đủ lớn sao cho bất đẳng thức trên nghiệm đúng

Do tính khả tích của các f j , tồn tại số N sao cho với mọi n  N và n  1, ta có:

Như vậy, nếu n  N và n  1, thì

Định lý tích phân Cauchy

2.3.1 Bổ đề Giả sử 1  j  n là những số nguyên (trong đó j là ký hiệu trị tuyệt đối thông thường của chỉ số j) Khi đó ta có   ( )

Chứng minh Do   1   n , ,  n   n       1   n  1 , ,    n   n  1  chỉ cần xét j  0 Giả sử

1 , 2 , , n x x x là các biến Khi đó x 1 j  x 2 j   x n j là đa thức của các hàm đối xứng sơ cấp:

   và không có từ hằng số Do  i  x x 1 , 2 , , x n  0,    1 i n ,nên suy ra Bổ đề 

2.3.2 Định lý (Công thức tích phân Cauchy)

Giả sử B  R ( ) a    z F : z   a R  là hình cầu đóng bán kính R, tâm a Giả sử f chỉnh hình trong B  R ( ) a Giả sử r F với r  R Khi đó hàm f khả tích Shnirelman trên z a r , đồng thời

Để chứng minh định lý, ta không cần giảm tổng quát mà có thể giả thiết a=0 Nhờ tính tuyến tính và Mệnh đề 2.2.3, chỉ cần chứng minh cho trường hợp hàm f(z) = z^j với j ≥ 0 Khi đó, định lý sẽ được suy ra từ Bổ đề 2.3.1, vì biểu thức trong giới hạn định nghĩa tích phân Shnirelman triệt tiêu khi n ≥ j + 2.

Cho chuỗi lũy thừa hình thức f z ( )   a z j j

Ta định nghĩa đạo hàm Hasse thứ k của f bởi công thức:

Khi trường có đặc số 0, đạo hàm Hasse thứ k, D   k f , đơn giản là

! f k k Việc sử dụng đạo hàm Hasse thứ k có ích lợi chủ yếu khi làm việc với các trường có đặc số dương 

2.3.3 Định lý (Công thức tích phân Cauchy)

Giả sử hàm f chỉnh hình trên B  R ( ) a , r F với r  R , w F với w a   R và n  0 Khi đó

Chứng minh Từ định nghĩa và Bổ đề 2.3.1 ta thấy rằng nếu k là một số nguyên thì

Không giảm tổng quát, ta xem a=0 và viết f dưới dạng chuỗi lũy thừa:

Nếu w  0 thì định lý suy ra từ (1) và Mệnh đề 2.2.3

   hội tụ đều đến 1/ 1   w z /  n  1 trên z  R Do đó

 trong đó đẳng thức thứ hai suy ra từ (1) Nếu W  R thì ta sử dụng lập luận tương tự đối với

    để đi đến kết luận rằng tích phân bằng 0, vì trong đó không có lũy thừa âm của z 

2.3.4 Định lý (Định lý thặng dư)

Giả sử a và r là những phần tử của F Giả sử f(z) chỉnh hình trong z   a r , P(z) là đa thức khác không trên z a   r , ( ) ( )

 P z Khi đó ta có: ( ) Re ( , ). b a r z a r

Chứng minh Khi khai triển R(z) thành phân thức đơn giản ta được

    trong đó g chỉnh hình trên z   a r Định lý suy ra từ định lý 2.3.3 

Trường hàm phân hình

2.4.1 Trường các lớp thặng dư

Nếu F là một trường định chuẩn (định giá) phi Ácsimét thì tập hợp

O F sẽ lập thành một vành con của vành F

Vành con O được gọi là vành các số nguyên của F , ký hiệu

M là iđêan cực đại duy nhất của O, do đó O được coi là một vành địa phương Ta ký hiệu vành O M qua F, và gọi đây là trường các lớp thặng dư của F Mỗi phần tử a trong O sẽ được ký hiệu là ảnh của nó trong F.

2.4.2 Mệnh đề Nếu F đóng đại số thì F cũng đóng đại số

2.4.3 Giá trị tuyệt đối phi Ácsimét trong vành các hàm chỉnh hình

Giả sử r 1  r 2 , ký hiệu qua A *  r r 1 , 2  vành các hàm chỉnh hình trên vành khăn   r r 1 , 2  Các phần tử của A *  r r 1 , 2  là các chuỗi Laurent có dạng

  sao cho lim n  c r n n  0 với mọi r 1   r r 2

Với mỗi r nằm giữa r 1 và r 2 ta định nghĩa f r  sup c r n n

Với mỗi hàm f cố định, r là một hàm liên tục của r Nếu r = 1, chuỗi Laurent sẽ không chứa số hạng lũy thừa âm, và f(r) trở thành một hàm không giảm của r.

Nhận xét 2 Ta sẽ thấy rằng r là một giá trị tuyệt đối phi Ácsimét trên trường các hàm phân hình trong vành khăn

Trước tiên, ta thiết lập một dạng của nguyên lý mô đun cực đại

2.4.4 Mệnh đề Nếu hàm f chỉnh hình trong   r r 1 , 2  và z 0 là một điểm thuộc

0 z z thuộc một tập hợp hữu hạn lớp thặng dư của F

Chứng minh Bất đẳng thức

Bất đẳng thức tam giác phi Ácsimét cho phép chúng ta suy ra rằng f(z) ≤ z Để chứng minh điều này, cần chỉ ra rằng đẳng thức chỉ xảy ra cho một số hữu hạn các phần tử trong tập hợp F Do đó, chúng ta có thể viết f(z) = c_n z, trong đó c_n là một hằng số.

  và giả sử c là một phần tử của F sao cho c  f z ( ) 0 Đặt ( ) n n n g z b z

 c Nhận thấy rằng sup b n  1 và đặc biệt hàm g có hệ số trong O Đặt ( ) n n n g z b z

  , với chú ý rằng g không đồng nhất bằng 0 Khi đó từ định nghĩa suy ra rằng nếu z  z 0 và

  nên g chỉ có hữu hạn hệ số khác 0, suy ra chỉ có hữu hạn khả năng có thể của

2.4.5 Hệ quả Nếu hàm f chỉnh hình trên   r r 1 , 2  và tập  f r : r 1   r r 2  giới nội trong thì f giới nội trong   r r 1 , 2 

2.4.6 Mệnh đề Giả sử f và g là những hàm chỉnh hình trong   r r 1 , 2  Khi đó ta có:

Bất đẳng thức tam giác được chứng minh rõ ràng Nếu r thuộc F*, tính chất nhân cho thấy điều này dựa trên Nguyên lý mô đun cực đại Trong trường hợp r không thuộc F*, ta có thể tìm một dãy r_n thuộc F* sao cho r_n tiến tới r, từ đó suy ra mệnh đề dựa trên tính liên tục của r theo r.

Như vậy, Mệnh đề trên đây chứng tỏ rằng r là một chuẩn phi Ácsimét trên vành hàm chỉnh hình trên đường tròn  z z :  r , với giả thiết rằng r  0 

2.4.7 Mệnh đề Vành các hàm chỉnh hình trên   r r 1 , 2  đầy đủ với chuẩn sup supsup r f  f

Chứng minh Giả sử n ( ) n m , m m f z   a z là dãy Cauchy Khi đó với   0 tùy ý và

, ' n n đủ lớn ta có :   f n  f n ' sup supsup a n m ,  a n m ', r m (2)

Từ đó suy ra rằng với mỗi m cố định, dãy các hệ số a m n , là dãy Cauchy, và do đó hội tụ đến b m nào đó Giả sử f z ( )  F     z z ,  1    

Trước tiên ta cần chứng tỏ rằng f r   với r 1   r r 2 Do a n m ,  b m nên nếu m 0 b  thì a n m ,  b m với m đủ lớn Như vậy

Bất đẳng thức cuối cùng được suy ra từ giả thiết rằng dãy f n là dãy Cauchy Tiếp theo, cần chứng minh rằng f - f n tiến tới 0 Do a n m tiến tới b m, nên với n m đủ lớn (phụ thuộc vào m), ta có: sup(b m - a n m) < r m < ε.

Mặt khác, do f n là dãy Cauchy nên với n ' đủ lớn và độc lập với m, bất đẳng thức (2) được thỏa mãn Do đó

Mệnh đề được chứng minh 

Do tính chất nhân thiết lập trong Mệnh đề 2.5.3 ta có thể thác triển r lên trường hàm phân hình

2.4.8 Mệnh đề Giả sử hàm f chỉnh hình trong B  r 1 với r 1  0 và f (0)  0 Giả sử r 2  sup  r  r 1 : f r  f (0)  0  Khi đó tồn tại hàm chỉnh hình duy nhất g trong B  1 sao cho fg  1 trên B  1

Chứng minh Tính duy nhất của g là rõ ràng Do bất đẳng thức tam giác trong trường hợp phi Ácsimét và cách chọn phần tử r 2 ta có:

Hàm chỉnh hình h hội tụ trên B với B < 1 Chúng ta áp dụng định lý rằng một dãy hàm hội tụ trong A(r) nếu và chỉ nếu dãy này hội tụ trong A(r) với mọi r < r2 Cuối cùng, chỉ cần thực hiện thay thế.

Định lý thác triển Riemann

Trong phần này, chúng ta sẽ chỉ ra rằng những tương tự phi Ácsimét của định lý Liouville và định lý thác triển Riemann có thể dễ dàng suy ra từ những tính chất cơ bản của trị tuyệt đối Do chứng minh của hai định lý này có sự tương đồng, chúng ta sẽ bắt đầu bằng cách phát biểu cả hai định lý trước, sau đó tiến hành chứng minh chung cho chúng.

2.5.1 Mệnh đề (Định lý Liouville) Giả sử f là hàm nguyên, f r giới nội Khi đó f là hằng số Ta nói rằng hàm chỉnh hình f trên A r  1 ,   là chỉnh hình tại vô cùng nếu hàm f (1/ ) z chỉnh hình trên   0, 1/ r 1    *

2.5.2 Mệnh đề (Định lý thác triển Riemann) Giả sử hàm f chỉnh hình trong A r  1 ,   và tập hợp  f r : r  r 1  giới nội trong Khi đó hàm f chỉnh hình tại vô cùng

Để chứng minh các mệnh đề 2.5.1 và 2.5.2, giả sử hàm f có thể được khai triển thành chuỗi lũy thừa dưới dạng f(z) = ∑ c_n z^n Ta cần chỉ ra sự tồn tại của chỉ số n_0 > 0 để hoàn tất chứng minh.

0 0 c n  mâu thuẫn với tính giới nội của f r Thật vậy, nếu chỉ số n 0  0 như vậy tồn tại thì

Hàm chỉnh hình f trên A r  1 ,   được gọi là phân hình tại vô cùng nếu hàm m ( ) z  f z là hàm chỉnh hình tại vô cùng với số nguyên không âm m nào đó

Nếu hàm chỉnh hình f trên A r  1 ,   không phân hình tại vô cùng thì ta nói f có kỳ dị cốt yếu tại vô cùng

Ta sẽ chỉ ra rằng nếu f r tăng chậm khi r   thì nó không thể có kỳ dị cốt yếu tại vô cùng 

2.5.3 Mệnh đề Giả sử f là hàm chỉnh hình trong A r  1 ,   và lim sup log log r r f

Khi đó f phân hình tại 

Chứng minh Đặt g z ( )  z  m f z ( ) Khi đó g(z) là chỉnh hình trong A r  1 ,  

Chọn m lớn hơn so với lim sup log log r r g

Khi đó ta có limsup log r g r

Như vậy g là hàm chỉnh hình tại vô cùng, do Mệnh đề 2.5.2 

Luận văn đã hoàn thành những nội dung sau đây:

1 Bước đầu tìm hiểu về lý thuyết hàm phân hình p – adic

2 Chứng minh một số kết quả của hàm phân hình p – adic được thể hiện qua các định lý ( Định lý 2.3.2, Định lý 2.3.3, Định lý 2.5.2 …).