Các khái niệm cơ bản
Trong phần này, chúng tôi sẽ trình bày những kiến thức cơ bản cần thiết để viết luận văn, đồng thời giải thích mối quan hệ giữa các khái niệm và kết quả đã đề cập, kèm theo một số ví dụ minh họa cụ thể.
1.1.1 Định nghĩa ([1]) Cho tập hợp X 6= φ Hàm d : X ì X → R được gọi là một mêtric trên X nếu thỏa mãn các điều kiện
(1) d(x, y) ≥ 0 với mọi x, y ∈ X và d(x, y) = 0nếu và chỉ nếu x = y
Tập X cùng với một mêtric d được gọi là không gian mêtric, ký hiệu là (X, d) hoặc đơn giản là X Khoảng cách giữa hai điểm x và y được biểu thị bằng d(x, y).
1.1.2 Định nghĩa ([1]) Cho các không gian mêtric (X, d) và (Y, ρ) ánh xạ f : (X, d) → (Y, ρ)được gọi là ánh xạ co nếu tồn tại α ∈ [0, 1) sao cho ρ[f (x) , f (y)] ≤ αd (x, y) , với mọi x, y ∈ X
Trong không gian mêtric đầy đủ (X, d), nếu f : X → X là một ánh xạ co, thì tồn tại duy nhất một điểm x ∗ ∈ X sao cho f (x ∗ ) = x ∗ Điểm x ∗ này được gọi là điểm bất động của ánh xạ f.
Mở rộng Nguyên lý ánh xạ co Banach, P N Dutta, B S Choudhury đã thu được kết quả sau.
Trong không gian mêtric đầy đủ (X, d), nếu T : X → X là một tự ánh xạ thỏa mãn bất đẳng thức ψ (d (T x, T y)) ≤ ψ (d (x, y)) − ϕ (d (x, y)) với mọi x, y ∈ X, trong đó ψ và ϕ là các hàm liên tục, đơn điệu không giảm và ψ(t) = ϕ(t) = 0 chỉ khi t = 0, thì T sẽ có một điểm bất động duy nhất.
1.1.5 Định nghĩa ([5]) Cho tập hợp X 6= φ Hàm d : X ì X → Rđược gọi là một mêtric suy rộng trên X nếu thỏa mãn các điều kiện
(3) d(x, y) ≤ d(x, w) + d(w, z) + d(z, y) với mọi x, y ∈ X và với mọi cặp điểm phân biệt w, z ∈ X \ {x, y }
Tập X cùng với một mêtric suy rộng d trên nó được gọi là không gian mêtric suy rộng, kí hiệu là (X, d) hoặc đơn giản là X Trong không gian này, điều kiện (3) được biết đến với tên gọi bất đẳng thức tứ giác.
1.1.6 Nhận xét ([2]) Giả sử (X, d) là một không gian mêtric suy rộng Với x ∈ X và ε > 0 ta ký hiệu B(x, ε) = {y ∈ X : d(x, y) < ε} Khi đó họ B = {B(x, r) : x ∈ X, r > 0}lập thành một cơ sở của một tôpô τ dtrên X
1.1.7 Ví dụ ([12]) Xét X = {t, 2t, 3t, 4t, 5t} với t > 0 là hằng số Cho số γ ∈ X sao cho γ > 0 Ta xác định hàm d : X ì X → R cho bởi công thức
Khi đó dễ dàng kiểm tra được rằng (X, d) là một không gian mêtric suy rộng, nhưng (X, d) không là không gian mêtric, vì ta có d(t, 2t) = 3γ > γ + γ = d(t, 3t) + d(3t, 2t).
∪ {0, 2} Ta xác định hàm d : X ì X → R + cho bởi công thức d(x, y) =
1 nếu x, y thuộc các trường hợp còn lại
Khi đó dễ dàng thử thấy rằng (X, d) là một không gian mêtric suy rộng, nhưng (X, d) không là không gian mêtric, vì ta có d 1
1.1.9 Định nghĩa ([5]) Cho (X, d) là một không gian mêtric suy rộng, dãy
{x n } ⊂ X được gọi là hội tụ về điểm x ∈ X nếu với mọi ε > 0 tồn tại n 0 ∈ N ∗ sao cho với mọi n ≥ n 0 ta có d (x n , x) < ε Lúc đó ta kí hiệu là lim n→+∞ x n = x hay x n → xkhi n → +∞
Trong không gian mêtric suy rộng (X, d), một dãy {x_n} ⊂ X được gọi là dãy Cauchy nếu với mọi ε > 0, tồn tại n_ε ∈ N* sao cho với mọi n > m ≥ n_ε, khoảng cách d(x_n, x_m) nhỏ hơn ε.
1.1.11 Định nghĩa ([5]) Không gian mêtric suy rộng (X, d) được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy trong (X, d) đều hội tụ trong nó.
Tương tự như trường hợp không gian mêtric, người ta đã thu được các kết quả sau.
1.1.12 Mệnh đề ([12]) Nếu {x n } là dãy hội tụ trong không gian mêtric suy rộng, thì nó là dãy Cauchy.
1.1.13 Mệnh đề ([12]) Nếu {x n } là một dãy hội tụ trong không gian mêtric suy rộng, thì giới hạn của nó là duy nhất.
1.1.14 Mệnh đề ([12]) Nếu {x n } là dãy trong không gian mêtric suy rộng
X mà nó hội tụ về điểm x ∈ X , thì mọi dãy con {x n k }của nó cũng hội tụ về ®iÓm x
Trong không gian mêtric (X, d), giả sử T và f là hai ánh xạ từ X vào chính nó Điểm y ∈ X được gọi là giá trị chung của hai ánh xạ T và f nếu tồn tại x ∈ X sao cho y = f(x) = T(x) Điểm x ∈ X trong trường hợp này được gọi là điểm trùng nhau của T và f Cặp ánh xạ (T, f) được xem là tương thích yếu nếu chúng giao hoán tại các điểm bất động chung, tức là T(f(x)) = f(T(x)) tại những điểm x ∈ X mà T(x) = f(x).
Không gian mêtric suy rộng thứ tự được định nghĩa là một không gian (X, d) với d là một metric, và (X, ) là một tập hợp sắp thứ tự bộ phận với quan hệ thứ tự Trong không gian này, hai phần tử x, y ∈ X được coi là so sánh được nếu thỏa mãn x y hoặc y x.
Trong lý thuyết tập hợp sắp thứ tự, một ánh xạ T từ tập hợp X được gọi là ánh xạ f-không giảm nếu điều kiện T(x) ≤ T(y) chỉ xảy ra khi f(x) ≤ f(y) cho mọi x, y thuộc X.
1.1.18 Định nghĩa ([6]) Giả sử X là một không gian tôpô, f : X → R Ta nói rằng:
(a) Hàm f được gọi là nửa liên tục trên tại x 0 ∈ X nếu với mọi số thực α ∈ Rmà f x 0 < αthì tồn tại lân cận mở U của x 0trong X sao cho f x < α với mọi x ∈ U ,
(b) Hàm f được gọi là nửa liên tục dưới tại x 0 ∈ X nếu với mọi số thực α ∈ Rmà f x 0 > αthì tồn tại lân cận mở V của x 0trong X sao cho f x > α với mọi x ∈ V ,
Hàm f được xem là nửa liên tục trên tập X nếu nó thỏa mãn tính chất nửa liên tục trên tại mọi điểm trong X Tương tự, hàm f cũng được gọi là nửa liên tục dưới trên X khi nó đáp ứng yêu cầu nửa liên tục dưới tại tất cả các điểm thuộc X.
1.1.19 Định nghĩa ([4]) Cho (X, d) là một không gian mêtric và ánh xạ T :
X → X Với mỗi số n ∈ N ∗ ta kí hiệu O(x, n) = {x, T x, , T n x} Tập hợp
O(x, ∞) = {x, T x, , T n x, }được gọi là quỹ đạo của T tại x
Không gian mêtric X được gọi là T -quỹ đạo đầy đủ nếu mỗi dãy Cauchy {x n } ⊂ X mà {x n } ⊂ O(x, ∞)với x ∈ X , thì x n → z ∈ X.
Rõ ràng, một không gian mêtric đầy đủ bất kỳ là một không gian T -quỹ đạo đầy đủ, nhưng điều ngược lại không đúng.
Định lý 1.1.20 khẳng định rằng trong không gian mêtric (X, d), nếu có một ánh xạ T: X → X thỏa mãn điều kiện ρ(T x, T y) ≤ qρ(x, y) với mọi x, y ∈ X và q thuộc khoảng [0, 1), thì T sẽ có một điểm bất động duy nhất trong không gian T-quỹ đạo đầy đủ X.
Điểm bất động của các ánh xạ co suy rộng trong không gian mêtric
Trong phần này, chúng tôi giới thiệu một số định lý về điểm bất động của các ánh xạ co trong không gian mêtric suy rộng Đồng thời, chúng tôi cũng nêu ra các hệ quả liên quan và cung cấp một số ví dụ minh họa cho các định lý đã được trình bày.
1.2.1 Bổ đề ([7]) Cho (X, d) là một không gian mêtric suy rộng x i ∈ X, x i−1 6= x i , 1 ≤ i ≤ n , n ≥ 3 , x 0 = x, x n = y Khi đó, hoặc d(x, y) ≤ n
Chứng minh Theo bất đẳng thức tứ giác, đồng thời sử dụng phép quy nạp theo k , với mọi k ∈ N và với mọi t i ∈ X, 0 ≤ i ≤ 2k + 3, với t i 6= t i+1 , ta có d(t 0 , t 2k+3 ) ≤ n−2
Ta cho x i ∈ X, x i−1 6= x i với mọi i = 1, , n, n ≥ 3, x 0 = x, x n = y Ta có
Nếu n − 3 là số chẵn thì tồn tại k ∈ Nsao cho n = 2k + 3 Do đó nhờ (1.1) ta có d(x, y) ≤ n
Nếu n − 3 là số lẻ thì tồn tại k ∈ Nsao cho n − 1 = 2k + 3 Vì thế nhờ (1.1) ta có d(x, y) ≤ n−2
1.2.2 Định nghĩa ([5]) Cho không gian mêtric suy rộng (X, d) ánh xạ f :
X → X được gọi là ánh xạ co nếu tồn tại α ∈ [0, 1) sao cho d[f (x) , f (y)] ≤ αd (x, y) , với mọi x, y ∈ X
Khi đó ta có được Nguyên lý ánh xạ co Banach cho trường hợp các không gian mêtric suy rộng.
1.2.3 Định lý ([5]) Cho (X, d) là một không gian mêtric suy rộng đầy đủ và
T : X → X là một ánh xạ co Khi đó, T có một điểm bất động duy nhất trong
Chứng minh Cho x ∈ X là một điểm bất kỳ Đặt x 0 = x, x 1 = T x 0 , x 2 =
T x 1 , , x n = T x n−1 , Từ đây, ta có thể xây dựng được một dãy các điểm trong
Nếu tồn tại n 0 ∈ N sao cho x n 0 +1 = x n 0 thì ta có T x n 0 = x n 0 và x n 0 là điểm bất động của T Bởi vậy không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử rằng x n 6= x n+1 với mọi n ∈ N.
Vì T là ánh xạ co nên với mỗi n ∈ N, ta có d(x n , x n+1 ) = d(T x n−1 , T x n )
≤ αd(x n−1 , x n ) ≤ α 2 d(x n−2 , x n−1 ) ≤ ≤ α n d(x, x 1 ), trong đó α ∈ [0, 1) Từ đó theo Bổ đề 1.2.1 với mọi m ≥ n + 3 ta có hoặc d(T n x, T m x) ≤ d(T n x, T n+1 x) + d(T n+1 x, T n+2 x) + + d(T m−1 x, T m x), hoặc d(T n x, T m x) ≤ d(T n x, T n+1 x) + d(T n+1 x, T n+2 x) + + d(T m−2 x, T m x).
Với M = max{d(x, x 1 ), d(x, x 2 )} Vì vậy từ (1.2) và (1.4) ta có d(T n x, T m x) ≤ m−1
X k=n α k M với mọi m, n ∈ N và m ≥ n + 3 cho thấy rằng {x n } là một dãy Cauchy do α thuộc [0, 1) Trong không gian metric X đầy đủ, tồn tại một u ∈ X sao cho x n hội tụ về u khi n tiến tới vô cùng Bởi T là ánh xạ co, ta có thể kết luận rằng T là liên tục Do đó, ta có u = lim n→∞ x n = lim n→∞ T x n−1 = T u.
U là một điểm bất động của T Để chứng minh tính duy nhất, giả sử tồn tại w ∈ X cũng là điểm bất động của T Do T là một ánh xạ co, ta có d(w, u) = d(Tw, Tu) ≤ αd(w, u).
Vì 0 ≤ α < 1 nên từ bất đẳng thức cuối cùng này ta suy ra d(w, u) = 0.
Trong không gian mêtric suy rộng đầy đủ (X, d), nếu tồn tại ánh xạ T: X → X thỏa mãn điều kiện d(Tx, Ty) ≤ α[d(x, Tx) + d(y, Tx) + d(y, Ty) + d(x, y)] với mọi x, y ∈ X và 0 < α < 1/4, thì ánh xạ T sẽ có một điểm bất động duy nhất trong X.
Chứng minh Lấy điểm tùy ý x 0 ∈ X Ta xác định một dãy {x n }như sau: Chọn x 1 ∈ Xsao cho x 1 = T x 0 , x 2 ∈ X sao cho x 2 = T x 1 Tiếp tục quá trình trên với mỗi n ≥ 2 ta lấy x n+1 ∈ X sao cho x n+1 = T x n
Nếu tồn tại số n 0 ∈ Nsao cho x n 0 +1 = x n 0 , thì ta có T x n 0 = x n 0 và khi đó ta có x n 0 là điểm bất động của T
Bây giờ ta giả sử rằng với mọi n ∈ N ta có x n+1 6= x n Khi đó với n ≥ 1 nhờ điều kiện co (1.6), với x = x n−1 và y = x n ta có d(x n , x n+1 ) = d(T x n−1 , T x n ) ≤ α[d(x n−1 , T x n−1 ) + d(x n , T x n−1 ) + d(x n , T x n ) + d(x n−1 , x n )]
1 − α d(x n−1 , x n ) = r.d(x n−1 , x n ), với r = 1−α 2α thỏa mãn 0 < r < 1 Nhờ phép truy hồi với mọi n ∈ N ∗ ta thu được d(x n , x n+1 ) ≤ r n d(x 0 , x 1 ).
Bây giờ ta chứng minh rằng {x n }là một dãy Cauchy trong X Thật vậy, với m > n , vì x n+1 6= x n với mọi n ∈ N, nên nhờ bất đẳng thức tứ giác ta có d(x n , x m ) ≤ d(x n , x n+1 ) + d(x n+1 , x n+2 ) + d(x n+2 , x m )
Khi cho n, m tiến tới vô cùng trong các bất đẳng thức, ta có d(x n , x m ) tiến tới 0 khi n, m tiến tới vô cùng Điều này cho thấy rằng dãy {x n } là một dãy Cauchy trong không gian metric suy rộng đầy đủ, từ đó suy ra tồn tại một điểm u thuộc X sao cho x n hội tụ về u.
Lại nhờ bất đẳng thức tứ giác ta có d(u, T u) ≤ d(u, x n ) + d(x n , x n+1 ) + d(x n+1 , T u)
Vì thế nhờ điều kiện co (1.6) ta có d(u, T u) ≤ d(u, x n ) + d(x n , x n+1 ) + α[d(x n , T x n ) + d(u, T x n ) + d(u, T u) + d(x n , u)]
Từ các bất đẳng thức trên ta suy ra
Cho n → ∞ trong bất đẳng thức trên ta thu được (1 − α)d(u, T u) ≤ 0 Vì
0 < α < 1 4 , từ bất đẳng thức này ta suy ra d(u, T u) = 0 và T u = u Do đó u là một điểm bất động của T trong X
Bây giờ ta sẽ chỉ ra rằng u là duy nhất Thật vậy, giả sử u, v là hai điểm bất động của T Khi đó d(u, v) = d(T u, T v) Nhờ điều kiện co (1.6) ta có d(u, v) ≤ α[d(u, T u) + d(v, T u) + d(v, T v) + d(u, v)]
Vì 0 < α < 1 4 , từ bất đẳng thức trên ta suy rad(u, v) = 0và u = v
Vậy T có duy nhất một điểm bất động
Định lý 1.2.5 cho rằng trong không gian mêtric suy rộng đầy đủ (X, d), nếu ánh xạ T : X → X thỏa mãn điều kiện d(T x, T y) ≤ α[d(x, T x) + d(y, T x) + d(y, T y) + d(x, y)] với 0 < α < 1, thì tồn tại một dãy con {T n k x} của {T n x} hội tụ đến một điểm u ∈ X Khi đó, u sẽ là điểm bất động duy nhất của ánh xạ T trong không gian X.
T n k x = T n k +1 x, thì ta có T n k x = u và là điểm bất động của T
Giả sử với mọi k ∈ N, ta có T n k x khác T n k +1 x Theo bất đẳng thức tứ giác, ta có d(u, T u) ≤ d(u, T n k x) + d(T n k x, T n k +1 x) + d(T n k +1 x, T u) Đồng thời, áp dụng điều kiện co với x = T n k x và y = u, ta nhận được d(T n k +1 x, T u) = d(T T n k x, T u).
Từ bất đẳng thức cuối này và bất đẳng thức (1.7) ta suy ra d(u, T u) ≤ d(u, T n k x) + d(T n k x, T n k +1 x)
Lấy giới hạn hai vế của bất đẳng thức trên khi k → ∞ , ta được d(u, T u) = 0.
Do đó ta có T u = u Tính duy nhất của điểm bất động của T trong X được chứng minh tương tự như Định lý 1.2.3
1.2.6 Bổ đề ([10]) Giả sử (X, d) là một không gian mêtric suy rộng và T :
X → X là một ánh xạ sao cho với một số α ∈ (0, 1 2 ) nào đó, ta có d(T x, T y) ≤ α[d(x, T x) + d(y, T y)] với mọi x, y ∈ X (1.8) Khi đó với mỗi n ∈ N, ta có d(T n x, T n+1 x) ≤ α
Chứng minh Ta chứng minh bất đẳng thức (1.9) bằng phương pháp quy nạp.
Víi n = 1 , tõ (1.8), thay y = T x ta cã d(T x, T 2 x) ≤ α[d(x, T x) + d(T x, T 2 x)].
Bây giờ giả sử (1.9) đúng với n , nghĩa là ta có d(T n x, T n+1 x) ≤ α
Ta sẽ chứng minh rằng bất đẳng thức (1.9) đúng với n + 1 Thật vậy, từ (1.8), thay x = T n x và y = T n+1 x , ta được d(T n+1 x, T n+2 x) ≤ αd(T n x, T n+1 x) + αd(T n+1 x, T n+2 x).
Bổ đề được chứng minh
1.2.7 Định lý ([2]) Cho (X, d) là một không gian mêtric suy rộng đầy đủ và
T : X → X là một ánh xạ thỏa mãn điều kiện d(T x, T y) ≤ λ[d(x, T x) + d(y, T y)], (1.10) với mọi x, y ∈ X và λ ∈ [0, 1 2 ) Khi đó, T có một điểm bất động duy nhất trong
Chứng minh rằng với điểm x₀ ∈ X, nếu x₁ = T(x₀) và x₁ = x₀ thì x₀ là điểm bất động của T Nếu x₁ ≠ x₀, ta đặt x₂ = T(x₁) và tiếp tục xác định dãy các điểm xₙ với công thức xₙ₊₁ = T(xₙ) = Tⁿ⁺¹(x₀), trong đó xₙ ≠ xₙ₊₁ cho n = 0, 1, 2,
Sử dụng cùng phương pháp chứng minh như trong Bổ đề 1.2.6, ta được d(x n , x n+1 ) = d(T n x 0 , T n+1 x 0 ) ≤ λ
Có thể giả định rằng x₀ không phải là một điểm tuần hoàn Nếu x₀ là điểm tuần hoàn, sẽ tồn tại n ∈ N sao cho xₙ = x₀ Khi đó, ta có d(x₀, T x₀) = d(xₙ, T xₙ) = d(Tⁿx₀, Tⁿ⁺¹x₀) ≤ λ.
Đặt r = 1−λ λ với λ ∈ [0, 1 2 ) dẫn đến r < 1 và (1 − r n )d(x 0 , T x 0 ) ≤ 0 Từ đó, suy ra d(x 0 , T x 0 ) = 0, tức là x 0 = T x 0, cho thấy x 0 là một điểm bất động của T Do đó, trong các phần tiếp theo của chứng minh, có thể giả sử rằng T n x 0 6= x 0 với n = 1, 2, 3,
Bây giờ từ bất đẳng thức (1.10) ta suy ra d(T n x 0 , T n+m x 0 ) ≤ λ[d(T n−1 x 0 , T n x 0 ) + d(T n+m−1 x 0 , T n+m x 0 )]
Vì r < 1, từ bất đẳng thức cuối cùng, ta suy ra rằng d(x_n, x_{n+m}) → 0 khi n → ∞ với mọi m ∈ N, điều này cho thấy dãy {x_n} là một dãy Cauchy trong không gian X Do X là không gian đầy đủ, tồn tại phần tử u ∈ X sao cho x_n → u Theo bất đẳng thức (1.10), ta có d(Tu, u) ≤ d(Tu, T^n x_0) + d(T^n x_0, T^{n+1} x_0) + d(T^{n+1} x_0, u).
Tõ ®©y ta suy ra d(T u, u) ≤ rd(T n−1 x 0 , T n x 0 ) + r n
Cho n → ∞ trong bất đẳng thức trên và sử dụng d(a n , y) → d(a, y)và d(x, a n ) → d(x, a)khi n → ∞ , với {a n } là một dãy trong X mà a n → a ∈ X khi n → ∞ và r < 1, ta cãd(T u, u) = 0, suy ra u = T u
Cuối cùng, chúng ta chứng minh rằng phép biến đổi T có một điểm bất động duy nhất Giả sử tồn tại một điểm v khác trong không gian X sao cho v = T v Theo điều kiện (1.10), ta có d(v, u) = d(T v, T u) ≤ r[d(v, T v) + d(u, T v)] ≤ r[d(v, v) + d(u, u)] = 0.
1.2.8 Ví dụ Cho X = {1, 2, 3, 4} Ta xác định d : X ì X → Rnhư sau d(1, 1) = d(2, 2) = d(3, 3) = d(4, 4) = 0 d(1, 2) = d(2, 1) = 3 d(2, 3) = d(3, 2) = d(1, 3) = d(3, 1) = 1 d(1, 4) = d(4, 1) = d(2, 4) = d(4, 2) = d(3, 4) = d(4, 3) = 4.
Không gian mêtric suy rộng đầy đủ (X, d) có thể được kiểm tra, nhưng không phải là không gian mêtric do không thỏa mãn điều kiện bất đẳng thức tam giác Cụ thể, d(1, 2) = 3 lớn hơn 2, không bằng tổng d(1, 3) + d(3, 2) = 1 + 1.
Bây giờ ta xét ánh xạ T : X → X cho bởi công thức
Khi d(T 1 , T 2 ) = d(T 1 , T 3 ) = d(T 2 , T 3 ) = 0 và d(T x, T y) = 1 trong các trường hợp khác, ta luôn có d(x, T x) + d(y, T y) ≥ 4 Bằng cách chọn λ = 1/3, ta có d(T x, T y) ≤ λ[d(x, T x) + d(y, T y)] cho mọi x, y ∈ X Do đó, tất cả các điều kiện của Định lý 1.2.7 được thỏa mãn, dẫn đến kết luận rằng T có một điểm bất động duy nhất x = 3.
1.2.9 Ký hiệu Cho X là một tập hợp khác rỗng và T : X → X là một ánh xạ. Với mọi x, y ∈ X , ta ký hiệu
Ta cũng sẽ ký hiệu Ψ = {ψ| ψ : [0, ∞) → [0, ∞),liên tục, không giảm và ψ (t) = 0 ⇔ t = 0}, và Φ = {φ| φ : [0, ∞) → [0, ∞),nửa liên tục dưới , φ(t) > 0 với mọi t > 0 và φ(0) = 0} Nếu ψ ∈ Ψ thì ψ được gọi là hàm thay đổi khoảng cách.
Định nghĩa điểm tuần hoàn: Cho X là một tập hợp không rỗng, ánh xạ T: X → X được gọi là có điểm tuần hoàn nếu tồn tại một điểm u ∈ X sao cho u = T^p(u) với p ≥ 1 Khi đó, điểm u ∈ X được xem là điểm tuần hoàn của ánh xạ T.
Dễ thấy rằng một điểm bất động của T là điểm tuần hoàn của T và nếu p = 1 thì điểm tuần hoàn u của T là điểm bất động của T
Điểm bất động của các ánh xạ co suy rộng trong không gian mêtric nón suy rộng 28
Điểm bất động của các ánh xạ co địa phương trong không gian mêtric nón suy rộng
Trong bài viết này, chúng tôi giới thiệu các định lý liên quan đến điểm bất động của các ánh xạ co địa phương và ánh xạ co suy rộng trong không gian mêtric nón suy rộng Bên cạnh đó, chúng tôi cũng trình bày một số hệ quả liên quan và cung cấp các ví dụ minh họa để làm rõ các khái niệm này.
2.1.1 Định nghĩa ([8]) Cho E là một không gian Banach thực và P là một tập con của E Tập P được gọi là một nón nếu
(1) P là tập đóng, khác rỗng và P 6= {0}
(2) a, b ∈ R , a, b ≥ 0, x, y ∈ P suy ra ax + by ∈ P , với mọi x, y ∈ X
Trên tập E, chúng ta xác định quan hệ thứ tự "≤" theo quy tắc P, trong đó x ≤ y nếu và chỉ nếu y − x thuộc P Chúng ta cũng quy ước rằng x < y khi x ≤ y và x khác y Ngoài ra, x y nếu y − x thuộc intP, với intP là phần trong của P.
Nón P được gọi là chuẩn tắc nếu có một số K > 0 sao cho với mọi x, y ∈ E, ta có 0 ≤ x ≤ y kéo theo kxk ≤ Kkyk, trong đó k.k là chuẩn trong E
Số K dương nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện trên được gọi là hằng số chuẩn tắc của P
Sau đây ta luôn giả sử rằng E là một không gian Banach, P là một nón trong E với intP 6= ∅ và " ≤ " là quan hệ thứ tự bộ phận xác định bởi P
2.1.2 Định nghĩa ([8]) Cho X là một tập khác rỗng, E là không gian Banach. ánh xạ d : X ì X → E được gọi là một mêtric nón nếu thỏa mãn các điều kiện sau:
(1) 0 ≤ d(x, y) với mọi x, y ∈ X ; d(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y
Khi đó (X, d) được gọi là không gian mêtric nón.
Không gian mêtric nón là một dạng tổng quát của không gian mêtric, thể hiện sự mở rộng thực sự của lớp không gian mêtric thông qua ví dụ cụ thể.
2.1.3 Ví dụ 1) Xét không gian Rvới chuẩn thông thường Khi đó P = {x ∈
2) Cho E = R 2 và P = {(x, y) ∈ E : x, y ≥ 0} Xét X = R và ánh xạ d : X ì X → Exác định bởid(x, y) = (|x − y|, α|x − y|)với mọi x, y ∈ X , trong đó α là số thực dương cho trước Khi đó dễ dàng kiểm tra được (X, d) là không gian mêtric nón.
2.1.4 Định nghĩa ([9]) Cho X là một tập khác rỗng Giả sử d : X ì X → E là ánh xạ thỏa mãn các điều kiện
(3) d(x, y) ≤ d(x, u) + d(u, v) + d(v, y) với mọi x, y ∈ X và với tất cả các điểm phân biệt u, v ∈ X \ {x, y}
Khi đó d được gọi là một mêtric nón suy rộng trên X và (X, d) là một không gian mêtric nón suy rộng.
Tương tự như không gian mêtric suy rộng, một không gian mêtric nón bất kỳ cũng được chứng minh là không gian mêtric nón suy rộng Tuy nhiên, điều ngược lại không đúng.
2.1.5 Ví dụ Cho E = R 2 , P = {(x, y) ∈ E | x, y ≥ 0} , X = Rvà d : X ì X → E là ánh xạ xác định bởi d(x, y) =
Trong không gian mêtric nón mở rộng (X, d), ta có các điều kiện sau: nÕu x = y, thì d(x, y) = 0; nếu x, y cùng thuộc {1, 2} và x 6= y, thì d(x, y) = (3α, 3); nếu x, y không đồng thời thuộc {1, 2} và x 6= y, thì d(x, y) = (α, 1), với α > 0 là hằng số Tuy nhiên, (X, d) không phải là không gian mêtric nón, vì d(1, 2) = (3α, 3) lớn hơn tổng d(1, 3) + d(3, 2) = (2α, 3).
2.1.6 Định nghĩa ([9]) Cho (X, d) là một không gian mêtric nón suy rộng, {x n }là một dãy trong X và x ∈ X Nếu với mọi c ∈ P, c 0 , tồn tại n 0 ∈ Nsao cho với mọi n > n 0, ta có d(x n , x) c, thì khi đó {x n } được gọi là hội tụ tới x và x được gọi là giới hạn của {x n } Lúc đó ta cũng viết là x n → xkhi n → ∞ Tương tự như trong không gian mêtric nón ta có kết quả sau
2.1.7 Bổ đề ([9]) Cho (X, d) là một không gian mêtric nón suy rộng, P là một nón chuẩn tắc, {x n } là một dãy trong X Khi đó, dãy x n → x khi n → ∞ nếu và chỉ nếu kd(x n , x)k → 0khi n → ∞
Trong không gian mêtric nón (X, d), đã được chứng minh rằng nếu {x n} là một dãy hội tụ trong X, thì giới hạn của nó là duy nhất Tuy nhiên, trong trường hợp không gian mêtric nón suy rộng, tính duy nhất của giới hạn không luôn được đảm bảo.
Ví dụ sau minh họa nhận xét trên
2.1.8 Ví dụ Cho E = R, P = {x ∈ R | x ≥ 0} Giả sử {x n } là dãy nằm trongQ và a, b ∈ R \ Q mà a 6= b Ta đặt X = {x 1 , x 2 , , x n , } ∪ {a, b} và xét d : X ì X → E là ánh xạ cho bởi
d(x, x) = (0, 0), với mọi x ∈ X d(x, y) = d(y, x), với mọi x, y ∈ X d(x n , x m ) = 1, với mọi n, m ∈ N ∗ , n 6= m d(x n , b) = n 1 , với mọi n ∈ N ∗ d(x n , a) = n 1 , với mọi n ∈ N ∗ d(a, b) = 1.
Khi đó (X, d) không là không gian mêtric nón, vì ta có d(x 2 , x 3 ) = 1 > d(x 2 , a) + d(a, x 3 ) = 1
Tuy nhiên, dễ dàng kiểm tra được (X, d) là một không gian mêtric nón suy rộng và vì d(x n , a) = n 1 → 0khi n → ∞ , nên x n → atrong (X, d) Tương tự ta có vì d(x n , b) = n 1 → 0khi n → ∞ , nên x n → b trong (X, d) , nhưng a 6= b
2.1.9 Định nghĩa ([9]) Cho (X, d) là một không gian mêtric nón suy rộng, {x n }là một dãy trong X Nếu với bất kỳ c ∈ E mà c 0 , tồn tại N sao cho với mọim, n > N, d(x m , x n ) cthì {x n }được gọi là một dãy Cauchy trong X Nếu mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ, thì X được gọi là không gian mêtric nón suy rộng đầy đủ.
Tương tự như trường hợp không gian mêtric nón, ta thu được kết quả sau.
2.1.10 Bổ đề ([9]) Cho (X, d) là một không gian mêtric nón suy rộng, P là một nón chuẩn tắc, {x n }là một dãy trong X Khi đó, {x n }là một dãy Cauchy nếu và chỉ nếu d(x n , x m ) → 0 khi m, n → ∞
2.1.11 Nhận xét Như ta đã biết nếu (X, d) là một không gian mêtric nón và {x n } là một dãy hội tụ trong X , thì {x n } là một dãy Cauchy trong X Tuy nhiên, đối với không gian mêtric nón suy rộng điều đó không còn đúng nữa. Thật vậy, trong Ví dụ 2.1.8 ta thấy rằng dãy {x n }hội tụ, nhưng d(x n , x m ) → 1 khi n, m → ∞ , vì thế {x n } không là dãy Cauchy trong X
Trong trường hợp riêng sau đây thì tính duy nhất của giới hạn được thỏa mãn.
2.1.12 Mệnh đề ([9]) Cho (X, d) là một không gian mêtric nón suy rộng đầy đủ, P là một nón chuẩn tắc với hằng số chuẩn tắc K Giả sử {x n } là một dãy Cauchy trong X và tồn tại một số n 0 ∈ Nsao cho
(2) x n , x là các điểm phân biệt trong X với mọi n > n 0.
(3) x n , y là các điểm phân biệt trong X với mọi n > n 0.
Chứng minh Với c ∈ E bất kỳ mà c 0 , vì x n → x, x n → yvà {x n }là dãy Cauchy, nên tồn tại số m 0 sao cho d(x n , x) c, d(x n , y ) c và d(x n , x m ) c với mọin, m > m 0
Do đó, với mọi n, m > max{n 0 , m 0 }ta có d(x, y) ≤ d(x, x n ) + d(x n , x m ) + d(x m , y) 3c.
Vì nón P chuẩn tắc, từ bất đẳng thức trên, ta có thể suy ra rằng \( rad(x, y)k \leq 3Kkck \) Khi c được chọn tùy ý, điều này dẫn đến kết luận rằng \( rad(x, y) = 0 \), tức là \( x = y \) Trong bài viết này, chúng tôi sẽ trình bày một số định nghĩa liên quan đến c-khả xíc, ánh xạ co địa phương, và (c, λ)-co địa phương đều.
2.1.13 Định nghĩa Không gian mêtric nón suy rộng (X, d) được gọi là c -khả xíc, nếu với 2 điểm bất kỳ a, b ∈ X và với mọi c 0 tồn tại hữu hạn điểm a = x 0 , x 1 , x 2 , , x n = bsao cho d(x i−1 , x i ) c , víi i = 1, 2, 3, , n.
2.1.14 Định nghĩa Cho (X, d) là một không gian mêtric nón suy rộng ánh xạ T : X → X được gọi là ánh xạ co địa phương nếu với mọi x ∈ X , tồn tại c x 0 và λ x ∈ [0, 1) sao cho với mọi p, q ∈ {y : d(x, y) c x } thì ta có d(T p, T q) ≤ λ x d(p, q).
Điểm bất động của các ánh xạ kiểu ϕ -co trong không gian mêtric nãn suy réng
2.2.1 Bổ đề Cho P là một nón trong E và {x n }, {y n } là hai dãy trong E Nếu x n → x, y n → ykhi n → ∞ và x n ≤ y n với mọi n thì x ≤ y
Chứng minh Từ x n ≤ y n ta có y n − x n ∈ P Vì P đóng và (y n − x n ) → y − x nên y − x ∈ P Do đó x ≤ y
2.2.2 Định lý Cho (X, d) là một không gian mêtric nón suy rộng đầy đủ Hausdorff, P là một nón chuẩn tắc trong không gian Banach E với hằng số chuẩn tắc K và E là tập sắp tốt theo quan hệ thứ tự bộ phận " " xác định bởi P (nghĩa là hai phần tử bất kỳ của E bao giờ cũng so sánh được theo quan hệ " " và mỗi tập con khác rỗng của E mà bị chặn dưới đều có cận dưới đúng) Giả sử T : X → X là một ánh xạ thỏa mãn với mọi x, y ∈ X ta cã d(T x, T y) ≤ 1
, (2.5) trong đó ϕ : P ì P → P là ánh xạ liên tục và ϕ(a, b) = 0 nếu và chỉ nếu a = b = 0 Khi đó, tồn tại một điểm bất động duy nhất u ∈ X
Chứng minh Cho x 0 ∈ X là một điểm tùy ý Bằng quy nạp ta dễ dàng xây dựng được một dãy {x n }sao cho x n+1 = T x n = T n+1 x 0 với mọi n ≥ 0 (2.6)
Nếu tồn tại số n 0 ∈ N sao cho x n 0 = x n 0 +1 = T x n 0, thì x n 0 là điểm bất động Giả sử x n khác x n+1 với mọi n ∈ N, chúng ta sẽ chứng minh rằng giới hạn lim d(x n , x n+1) khi n tiến đến vô cùng bằng 0.
Thay x = x n và y = x n−1 vào (2.5) và sử dụng các tính chất của ϕ , ta được d(x n+1 , x n ) = d(T x n , T x n−1 )
Từ các bất đẳng thức trên ta suy ra d(x n+1 , x n ) ≤ d(x n , x n−1 )với mọi n ≥ 1
Vì vậy các dãy {d(x n , x n+1 )} là dãy đơn điệu không tăng và bị chặn dưới Vì
E là tập sắp thứ tự toàn phần theo quan hệ thứ tự bộ phận " ≤ ", tồn tại r ≥ 0 sao cho n→∞ lim d(x n , x n+1 ) = r Khi cho n → ∞ trong (2.8) và áp dụng tính liên tục của ϕ, ta có r ≤ 1/2 (r + r) − ϕ(r, r), kéo theo ϕ(r, r) ≤ 0 Với P là nón chuẩn tắc, ta có kϕ(r, r)k ≤ K.k0k = 0, từ đó suy ra ϕ(r, r) = 0 Nhờ tính chất của hàm ϕ, ta kết luận r = 0, chứng minh (2.7) đã hoàn tất.
Bước 2 Ta chứng minh rằng n→∞ lim d(x n , x n+2 ) = 0 (2.9)
(2.10) Vì P là nón chuẩn tắc, từ (2.10) ta suy ra kd(x n+2 , x n )k ≤ 1 2 K.[kd(x n+1 , x n+2 )k + kd(x n−1 , x n )k] Vì thế từ (2.7) ta thấy rằng n→∞ lim d(x n+2 , x n ) = 0.
Như vậy (2.9) đã được chứng minh.
Bước 3 Chúng chứng minh rằng T có một điểm tuần hoàn.
Nếu T không có điểm tuần hoàn, thì dãy {x n} sẽ bao gồm các điểm phân biệt, tức là x n khác x m với mọi m khác n Chúng ta sẽ chứng minh rằng trong trường hợp này, {x n} là một dãy Cauchy trong không gian metric nón suy rộng (X, d) Giả sử ngược lại rằng tồn tại một phần tử c 0, sao cho với mọi số nguyên k, luôn có số nguyên m k lớn hơn n k lớn hơn k, thỏa mãn điều kiện d(x n k , x m k ) c.
Với mỗi k ∈ N, ta có thể chọn m k ∈ Nlà số tự nhiên bé nhất sao cho m k > n k và thỏa mãn (2.11), như vậy ta có d(x n k , x m k−1 ) ≤ c (2.12)
Từ (2.11), (2.12) và sử dụng bất đẳng thức hình chữ nhật, ta được c d(x m k , x n k )
Nhờ Bổ đề 2.2.1, từ (2.7) và (2.9) ta được k→∞ lim d(x n k , x m k ) = c (2.13)
Sử dụng (2.5) với x = x m k −1 và y = x n k −1 ta có d(x m k , x n k ) = d(T x m k −1 , T x n k −1 )
Cho k → ∞ trong bất đẳng thức trên rồi sử dụng Bổ đề 2.2.1, (2.7) và (2.13) ta được
Trong không gian mêtric nón suy rộng, dãy {x n} là một dãy Cauchy, dẫn đến mâu thuẫn khi 0 c ≤ 0 − ϕ(0, 0) = 0 Vì (X, d) là không gian mêtric nón suy rộng đầy đủ, tồn tại một phần tử u ∈ X sao cho x n hội tụ về u Khi áp dụng lại công thức (2.5) với x = x n và y = u, ta có d(x n+1, T u) = d(T x n, T u).
Từ bất đẳng thức này suy ra d(x n+1 , T u) ≤ 1
Tõ (2.7) ta cã lim sup n→∞ d(x n+1 , T u) ≤ 1
Trong trường hợp T không có điểm tuần hoàn, chúng ta sẽ chỉ ra các mâu thuẫn gặp phải Đầu tiên, nếu với mọi n ≥ 2, ta có x n 6= u và x n 6= T u, từ bất đẳng thức d(u, T u) ≤ d(u, x n ) + d(x n , x n+1 ) + d(x n+1 , T u), kết hợp với (2.7), chúng ta suy ra rằng d(u, T u) ≤ lim sup n→∞ d(x n+1 , T u).
Từ (2.15) và (2.16), ta được d(u, T u) ≤ lim sup n→∞ d(x n+1 , T u) ≤ 1
Điều này dẫn đến kết luận rằng d(u, T u) = 0, tức là T u = u, cho thấy u là một điểm bất động của T, điều này mâu thuẫn với việc T không có điểm tuần hoàn Nếu tồn tại q ≥ 2 sao cho x q = u hoặc x q = T u, thì do T không có điểm tuần hoàn, ta có u ≠ x 0 Nếu x q = u = x 0, sẽ dẫn đến T q x 0 = x 0, chứng tỏ x 0 là một điểm tuần hoàn của T Ngược lại, nếu x q = T u và x 0 = u, thì ta có T x 0 = T u = x q, dẫn đến T x 0 là điểm tuần hoàn của T, điều này cũng mâu thuẫn với giả thuyết Do đó, ta khẳng định u ≠ x 0 Với mọi n ≥ 1, ta có d(T n u, u) = d(T n x q, u) = d(x n+q, u) hoặc d(T n u, u) = d(T n−1 T u, u) = d(T n−1 x q, u) = d(x n+q−1, u).
Trong 2 đẳng thức trên, số nguyên q ≥ 2 là cố định, vì vậy các dãy {x n+q } và{x n+q−1 }là các dãy con của {x n } Vì {x n }là dãy hội tụ đến u trong không gian mêtric nón suy rộng (X, d) Hausdorff, nên hai dãy đó cùng hội tụ về một điểm uduy nhất, nghĩa là n→∞ lim d(x n+q , u) = lim n→∞ d(x n+q−1 , u) = 0.
Lại vì (X, d) là không gian Hausdorff nên từ (2.18) ta có n→∞ lim d(T n+2 u, u) = 0 (2.19)
Mặt khác, vì T không có điểm tuần hoàn nên ta luôn có
T s u 6= T r u, với bất kỳ s, r ∈ Nmà s 6= r (2.20) Vì thế sử dụng (2.20) và bất đẳng thức hình chữ nhật ta được d(T n+1 u, T u) − d(u, T u) ≤ d(T n+1 u, T n+2 u) + d(T n+2 u, u).
Vì P là nón chuẩn tắc, từ bất đẳng thức trên ta có kd(T n+1 u, T u) − d(u, T u)k ≤ K.[kd(T n+1 u, T n+2 u)k + kd(T n+2 u, u)k].
Cho n → ∞ trong bất đẳng thức trên và sử dụng (2.19) và (2.7) ta được n→∞ lim d(T n+1 u, T u) = d(u, T u) (2.21) Tương tự, ta có n→∞ lim d(T n u, T u) = d(u, T u) (2.22) Bây giờ từ (2.5), nhờ Bổ đề 2.2.1 ta có d(T n+1 u, T u) ≤ 1
(2.23) Cho n → ∞ trong (2.23) và sử dụng (2.21), (2.22) ta có d(u, T u) ≤ d(u, T u) − ϕ d(T u, u), d(u, T u)
Từ bất đẳng thức cuối cùng này ta suy ra ϕ d(T u, u), d(u, T u)
Hàm ϕ có tính chất d(u, T u) = 0, dẫn đến T u = u, cho thấy u là một điểm tuần hoàn của T, điều này tạo ra mâu thuẫn Do đó, từ các mâu thuẫn này, ta kết luận rằng T có ít nhất một điểm tuần hoàn, tức là tồn tại u ∈ X sao cho u = T^p u với p ≥ 1.
Bước 4 Ta chứng minh rằng T có một điểm bất động.
Thật vậy, nếu p = 1 thì u = T u , do đó u là một điểm bất động.
Giả sử p > 1, chúng ta sẽ chứng minh rằng a = T p−1 u là một điểm bất động của T Nếu giả định ngược lại rằng T p−1 u khác T p u, thì khoảng cách d(T p−1 u, T p u) sẽ không bằng 0 Do đó, ϕ d(T p−1 u, T p u) cũng không bằng 0 Áp dụng bất đẳng thức (2.5), ta có d(u, T u) = d(T p u, T p+1 u) = d(T(T p−1 u), T(T p u)).
Vì ϕ d(T p−1 u, T p u), d(T p u, T p u) ∈ P , nên từ định nghĩa nón ta suy ra
Do đó, từ (2.24) vì ϕ d(T p−1 u, T p u), d(T p u, T p u) 6= 0 ta có d(u, T u) < 1
, nghĩa là d(u, T u) < d(T p−1 u, T p u) (2.25) Lại nhờ điều kiện (2.5) ta có d(T p−1 u, T p u) = d T (T p−2 u), T (T p−1 u)
Lập luận tương tự như trên, từ bất đẳng thức này ta suy ra d(T p−1 u, T p u) ≤ d(T p−2 u, T p−1 u) (2.26) Tiếp tục quá trình này như trong (2.25) và (2.26) ta thu được d(u, T u) < d(T p−1 u, T p u) ≤ d(T p−2 u, T p−1 u) ≤ ≤ d(u, T u).
Ta gặp phải mâu thuẫn.
Vậy a = T p−1 u là một điểm bất động của T
Bước 5 Ta chứng minh rằng điểm bất động của T là duy nhất.
Thật vậy, giả sử có hai điểm b, c ∈ X đều là điểm bất động của T , nghĩa là T b = b và T c = c Khi đó nhờ điều kiện (2.5) ta có d(b, c) = d(T b, T c) ≤ 1
Vì P là nón chuẩn tắc ta có kd(b, c)k ≤ K.0 Suy ra d(b, c) = 0 Do đó b = c
Vậy định lý đã được chứng minh
Từ định lý trên ta thu được các kết quả sau.
2.2.3 Hệ quả Cho (X, d) là một không gian mêtric nón suy rộng đầy đủ Hausdorff, P là một nón chuẩn tắc trong không gian Banach E với hằng số chuẩn tắc K và E là tập sắp tốt theo quan hệ thứ tự bộ phận " " xác định bởi P (nghĩa là hai phần tử bất kỳ của E bao giờ cũng so sánh được theo quan hệ " " và mỗi tập con khác rỗng của E mà bị chặn dưới đều có cận dưới đúng) Giả sử T : X → X là một ánh xạ sao cho tồn tại k ∈ [0, 1) thỏa mãn điều kiện ta có k ∈ [0, 1) và d(T x, T y) ≤ k
2 d(x, T x) + d(y, T y) với mọi x, y ∈ X (2.27) Khi đó T có một điểm bất động duy nhất.
Chứng minh Lấy hàm ϕ : P ìP → P cho bởi công thức ϕ(u, v) = 1 − k
Với mọi u, v ∈ P, ta có 2(u + v) Nhờ điều kiện co (2.28), ta suy ra rằng T thỏa mãn điều kiện co (2.5) với hàm ϕ Do đó, áp dụng Định lý 2.2.2, ta kết luận rằng T có một điểm bất động duy nhất.
2.2.4 Hệ quả Cho (X, d) là một không gian mêtric nón suy rộng đầy đủ Hausdorff, P là một nón chuẩn tắc trong không gian Banach E với hằng số chuẩn tắc K và E là tập sắp tốt theo quan hệ thứ tự bộ phận " " xác định bởi P (nghĩa là hai phần tử bất kỳ của E bao giờ cũng so sánh được theo quan hệ " " và mỗi tập con khác rỗng của E mà bị chặn dưới đều có cận dưới đúng) Giả sử T : X → X là một ánh xạ thỏa mãn điều kiện ta có k ∈ [0, 1)và d(T x, T y) ≤ 1
(2.28) trong đó ψ : P → P là hàm liên tục và ψ −1 (0) = {0} Khi đó T có một điểm bất động duy nhất.
Chứng minh Lấy hàm ϕ : P ì P → P cho bởi công thức ϕ(u, v) = ψ
Khi đó, tất cả các điều kiện của Định lý 2.2.2 được thỏa mãn Do đó, T có một điểm bất động duy nhất
Sau quá trình nghiên cứu và tham khảo nhiều tài liệu về điểm bất động của các ánh xạ co suy rộng trong không gian mêtric suy rộng và không gian mêtric nón suy rộng, dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Trần Văn Ân, chúng tôi đã đạt được một số kết quả quan trọng.
1 Hệ thống các khái niệm, các tính chất cơ bản và các ví dụ minh họa về không gian mêtric, không gian mêtric suy rộng, điểm bất động, điều kiện co, ánh xạ co, ánh xạ co suy rộng, ánh xạ kiểu ϕ -co, nón, nón chuẩn tắc, không gian mêtric nón, không gian mêtric nón suy rộng, ánh xạ co địa phương, ánh xạ (c, λ) -co địa phương đều, không gian mêtric nón suy rộng c -khả xic, không gian mêtric nón suy rộng T -quỹ đạo đầy đủ,
2 Chứng minh chi tiết các tính chất và định lý chẳng hạn như Định lý 1.2.3, Định lý 1.2.4, Định lý 1.2.5, Định lý 1.2.7, Định lý 1.2.11.