CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Nhiễu trong kênh truyền vô tuyến
Trong lĩnh vực thông tin di động, chất lượng truyền và nhận tín hiệu bị ảnh hưởng bởi nhiều yếu tố, trong đó bao gồm nhiễu, can nhiễu và nhiễu đa đường.
2.1.1 Nhiễu trắng AWGN (Addition White Gaussian Noise)
Nhiễu trắng đƣợc sinh ra do sự chuyển động nhiệt trong các linh kiện bán dẫn, các vấn đề thời tiết, âm thanh (tiếng gió, tiếng nước), con người…
Là quá trình xác suất có mật độ công suất phẳng trên toàn bộ dải tần
H nh 2 1: Mật độ phổ công suất AWGN
Nhiễu trắng có phân bố xác suất là hàm Gaussian
H nh 2 2: Phân bố xác suất theo hàm Gaussian
2.1.2 Can nhiễu đồng kênh (Co-channel interference) Đây là một loại can nhiễu xảy ra khi hai tín hiệu phát đi ở c ng tần số đến c ng một bộ thu Trong thông tin tế bào thì can nhiễu đồng kênh gây ra bởi một cell khác hoạt động ở c ng tần số
H nh 2 3: Hi n tượng can nhiễu đồng k nh
Trong hệ thống FDMA và TDMA, dung lượng chủ yếu phụ thuộc vào băng thông Để đáp ứng nhu cầu ngày càng tăng về số lượng thuê bao, tần số của một cell được tái sử dụng ở các cell khác, dẫn đến khả năng gây can nhiễu đồng kênh giữa các cell.
2.1.3 Giao thoa đa truy cập (Multiple access interference)
Trong hệ thống WCDMA, người dùng chia sẻ một băng tần duy nhất và được phân biệt nhờ các mã trải phổ trực giao Tín hiệu phát ra sẽ được nhân với mã trải phổ, và tại phía thu, tín hiệu nhận cũng sẽ được nhân với mã này để phân biệt.
H nh 2 4: Giao thoa đa truy cập
Trong hệ thống WCDMA không đồng bộ, vấn đề trực giao của các mã không thể duy trì do sự không đồng bộ và độ trễ của kênh truyền Điều này dẫn đến việc tín hiệu từ các người dùng khác nhau gây ra can nhiễu lẫn nhau, làm giảm chất lượng và dung lượng của hệ thống Hiện tượng này được gọi là giao thoa đa truy cập (MAI).
2.1.4 Nhiễu đa đ ờng (multipath fading) Đa đường là hiện tượng tín hiệu đi từ anten thu đến anten phát b ng nhiều đường khác nhau do sự phản xạ trên các bề mặt vật thể như núi non, nhà cửa hay khúc xạ và phản xạ trên các tầng khí quyển, tầng điện ly, mặt nước, …
H nh 2 5: Hi n tượng đa đường
Khi các tín hiệu từ nhiều nguồn khác nhau kết hợp tại một điểm thu, hiện tượng lệch pha có thể xảy ra, dẫn đến việc tăng cường hoặc suy giảm tín hiệu mong muốn.
Fading: khi sóng của các tín hiệu đa đường triệt pha nhau, tín hiệu bị suy giảm
Hiện tượng này thường được biết đến như là “Rayleigh fading” hay “Fading nhanh”
Trong lĩnh vực thông tin số, hiện tượng đa đường gây ra sự trễ tín hiệu, khi tín hiệu đến bộ thu băng qua nhiều đường tại các thời điểm khác nhau, dẫn đến nhiễu giao thoa liên ký tự (Intersymbol Interference) Hiện tượng này làm gia tăng tỷ lệ bit lỗi (BER) và giảm chất lượng của hệ thống.
Anten và dãy anten
Anten là các hệ thống cho phép truyền và nhận năng lượng trường điện từ trong môi trường không gian tự do[1]
Anten là thiết bị truyền năng lượng trường điện từ giữa máy phát và máy thu mà không cần sử dụng bất kỳ phương tiện trung gian nào như cáp đồng, sợi quang hay ống dẫn sóng.
Trong nhiều ứng dụng, anten có khả năng cạnh tranh với các phương tiện truyền dẫn khác trong việc chuyển tải năng lượng điện từ Suy hao trường điện từ trong vật liệu thường tăng nhanh theo tần số, dẫn đến hiệu quả kém khi sử dụng các phần tử dẫn sóng bằng vật liệu ở tần số cao Vì vậy, anten trở thành lựa chọn ưu việt hơn cho việc truyền tải trường điện từ ở tần số cao.
H nh 2 6: Mô h nh phân tích bức xạ anten trong h toạ độ không gian 3 chiều
Ph n lo i anten: Anten có thể phân loại thành anten đơn và dãy anten
Anten đơn gồm có anten vô hướng và anten định hướng
Anten vô hướng omnidirectional antenna : bức xạ công suất theo mọi hướng
Anten vô hướng được sử dụng để truyền tín hiệu đến các người dùng chưa xác định trước hoặc không biết hướng chính xác Công suất truyền tín hiệu ra mọi hướng là như nhau.
H nh 2 7: ức xạ của anten vô hướng
Anten c định hướng directional antenna
Anten có định hướng được phát triển để khắc phục những nhược điểm của anten vô hướng Định nghĩa của anten có định hướng là loại anten phát bức xạ với công suất cực đại ở một hoặc một số hướng cụ thể.
H nh 2 8: ức xạ của anten vô hướng và anten c hướng
Việc sử dụng một anten đơn thông thường không hiệu quả trong việc thu và phát tín hiệu trong môi trường có nhiễu hoặc can nhiễu Do đó, thực tế cho thấy người ta thường sử dụng một dãy các anten giống nhau thay vì chỉ một anten đơn.
Dãy anten là một hệ thống nhiều anten đƣợc sắp xếp theo một trật tự nhất định trong không gian
H nh 2.9 trình bày các kiểu phân bố của các phần tử anten trong dây anten Dây anten được phân loại thành dây thông thường, dây tròn và dây phẳng Dây anten đồng nhất phân bố tuyến tính được xác định theo trục x trong hệ tọa độ Ecart.
Hệ thống anten thông minh
2.3 HỆ TH NG ANTEN THÔNG MINH
Trong các hệ thống truyền vô tuyến, anten thông thường không tối ưu do phát sóng công suất theo mọi hướng, dẫn đến lãng phí năng lượng và gây nhiễu Sử dụng hệ thống anten thông minh sẽ khắc phục những vấn đề này, nâng cao hiệu quả truyền tải.
Hệ thống anten không tự động thông minh; chính các bộ xử lý tín hiệu bên trong anten mới tạo ra tính năng thông minh cho hệ thống này.
H nh 2 10: H thống anten thông minh
Hệ thống anten thông minh tích hợp bộ xử lý tín hiệu để phân tích tín hiệu nhận được, từ đó đưa ra các giải pháp tối ưu nhằm nâng cao chất lượng kênh truyền.
Anten thông minh có thể được phân loại dựa trên phương thức hoạt động thành hai loại chính: dãy anten chuyển đổi búp sóng (Switched fixed beam array) và dãy anten thích nghi (Adaptive Array Antenna) Dãy anten chuyển đổi búp sóng cho phép điều chỉnh hướng sóng phát, trong khi dãy anten thích nghi có khả năng tự động điều chỉnh để tối ưu hóa hiệu suất và độ chính xác trong việc thu phát tín hiệu.
Dựa trên ý tưởng cơ bản là búp sóng lựa chọn sẽ cho tín hiệu thu hoặc phát mạnh nhất ở hướng đó
Bằng cách điều chỉnh pha của từng phần tử trong dãy anten, búp sóng có thể được kiểm soát để thay đổi hướng trong không gian Anten thích nghi, hay còn gọi là anten dãy thích ứng, cho phép tối ưu hóa khả năng định hướng và thu phát tín hiệu.
Hệ thống anten chuyển đổi búp sóng gặp khó khăn trong việc đạt độ lợi tối đa ở hướng mong muốn và loại bỏ hoàn toàn nhiễu từ các hướng khác Trong khi đó, dãy anten thích nghi lại có khả năng đáp ứng tốt hơn cho những yêu cầu này.
Dãy anten thích nghi, với khả năng hoạt động hiệu quả cho cả băng rộng và băng hẹp, được sử dụng linh hoạt và phổ biến hơn nhờ vào khả năng điều chỉnh hướng búp sóng đến các vị trí mong muốn.
Dãy anten thích nghi tạo ra một búp sóng hướng đến user và tạo những điểm cực tiểu ở những hướng can nhiễu khác a y anten pha b y anten thích nghi
H nh 2.11 trình bày cách tạo búp sóng của dãy anten pha và dãy anten thích nghi Hướng búp sóng có thể thay đổi theo yêu cầu của người dùng nhờ vào một vòng hồi tiếp Vòng hồi tiếp này có khả năng định vị và theo dõi người dùng, từ đó cập nhật những thay đổi về dãy anten, giúp dãy anten được điều chỉnh linh hoạt theo những biến đổi này Đây chính là tính thích nghi của dãy anten.
2.3.2 Những u nh c điểm của anten thông minh u đi m
Hệ thống anten thông minh nâng cao chất lượng truyền dẫn bằng cách tăng cường tín hiệu mong muốn và giảm thiểu can nhiễu Việc triệt nhiễu cho phép anten hoạt động với công suất thấp, kéo dài thời gian sử dụng năng lượng và giảm kích thước, khối lượng thiết bị đầu cuối Ngoài ra, phát công suất thấp cũng giúp giảm ảnh hưởng đến các kênh lân cận.
Hệ thống anten thông minh mang lại nhiều ưu điểm vượt trội khi được áp dụng vào mạng thông tin Những lợi ích này bao gồm khả năng tối ưu hóa hiệu suất truyền dẫn, cải thiện chất lượng tín hiệu và tăng cường khả năng kết nối cho người dùng Việc triển khai hệ thống này không chỉ nâng cao trải nghiệm người dùng mà còn góp phần vào việc phát triển hạ tầng mạng hiện đại.
Trang 13 tin di động Ƣu điểm lớn nhất của hệ thống anten thông minh là có thể tăng đƣợc băng thông và tầm hoạt động của mạng Trong hệ thống sử dụng TDMA nhƣ là GSM, hệ thống anten thông minh tăng chất lƣợng tín hiệu mong muốn trong khi làm giảm thiểu nhiễu, tức là làm tăng tỉ số tín hiệu trên can nhiễu (Signal to Interference Ratio-SIR)
Chúng ta có thể giảm khoảng cách sử dụng lại tần số trong một cụm Điều này được minh họa rõ ràng trong hình 2.12, khi một cụm 7 ô được thu gọn thành một cụm nhỏ hơn.
3 cell Khả năng sử dụng lại tần số tăng lên, tức là băng thông của hệ thống đã tăng lên[8]
(a) Cluster truyền thống gồm 7 cell (b) h năng cluster ch gồm 3 cell khi s dụng h thống anten thông minh
H nh 2.12: Gi m số cell trong một cluster b ng cách làm c c ti u can nhiễu
Hệ thống anten thông minh có khả năng mở rộng tầm hoạt động của các trạm gốc bằng cách chuyển hướng năng lượng đến các người dùng cụ thể, thay vì phát sóng đến những hướng không cần thiết, từ đó giúp tiết kiệm công suất hiệu quả.
Hệ thống anten thông minh đang ngày càng trở nên phổ biến và chứng tỏ được ưu điểm trong việc bảo mật thông tin Trong kênh truyền vô tuyến hiện nay, thông tin cần bảo mật có nguy cơ bị xâm nhập hoặc đánh cắp Tuy nhiên, với khả năng truyền thông tin theo những hướng mong muốn, hệ thống anten thông minh giúp giảm thiểu khả năng này Những kẻ muốn truy cập thông tin trên kênh truyền vô tuyến sẽ phải ở cùng hướng với người dùng, trong khi ở các hướng khác, họ sẽ không thể nhận được thông tin do hệ thống chỉ truyền theo hướng của người dùng.
Hệ thống anten thông minh vượt trội hơn hệ thống anten thông thường trong khả năng định vị Nhờ vào khả năng lọc tín hiệu, hệ thống này có thể trích xuất thông tin của người dùng, từ đó cung cấp ước lượng vị trí chính xác hơn.
Tuy hệ thống anten thông minh có những ƣu điểm nổi bật nhƣ trên, vẫn còn một số nhƣợc điểm đối với hệ thống này
Hệ thống anten thu phức tạp hơn so với hệ thống anten thu truyền thống
Kỹ thuật ước lượng hướng đến cho các nguồn tín hiệu băng hẹp
2.5.1 Vector lái và ma trận vector lái
Khi nguồn tín hiệu nằm ở khoảng cách xa so với dãy anten, hướng của nguồn tín hiệu đến từng phần tử trong dãy anten có thể được coi là giống nhau, và mặt đồng pha của tín hiệu đến sẽ tạo thành một mặt phẳng.
Giả sử dãy anten có M phần tử được đánh số từ 0 đến M-1, với mỗi phần tử được phân bố đều cách nhau một khoảng b, tương ứng với nửa bước sóng.
Tín hiệu s(t) đến từng phần tử anten với các khoảng thời gian trễ khác nhau Nếu pha của tín hiệu đến phần tử đầu tiên được đặt bằng 0, pha của tín hiệu đến các phần tử còn lại sẽ được xác định dựa trên phần tử đầu tiên Để tính toán sự trễ pha của phần tử thứ k, cần xác định khoảng thời gian mà tín hiệu đến phần tử thứ k.
H nh 2.14: ín hi u đến ph n t thứ k
Khi tín hiệu s(t) đến phần tử thứ 0 tại thời điểm t được chọn làm gốc, tín hiệu s(t) sẽ đến phần tử thứ k sau một khoảng thời gian trễ ∆t k, được tính toán theo công thức cụ thể.
Trong đó : c: là vận tốc ánh sáng
D: là khoảng cách giữa các phần tử trong dãy anten
Với s(t) là tín hiệu đã điều chế có dạng:
Gọi s lowpass (t) là tín hiệu lowpass tương đương ở tần số thấp thì tín hiệu nhận đƣợc ở phần tử thứ k là:
( ) * ( ) ( ) + (2.4) Tín hiệu thu đƣợc đƣợc đổi về tần số thấp (giải điều chế) thu đƣợc:
( ) ( ) (2.5) Với những giả sử tín hiệu băng hẹp ta có thể xấp xỉ:
( ) ( ) (2.6) Đặt và thay từ (2.2) và (2.6) suy ra:
( ) ( ) (2.7) Với giả sử thì thay vào (2.7)
B ng cách tương tự xét cho từng phần tử của dãy k = 0, 1, … , M-1 ta suy ra:
Với α(θ i ) gọi là vectơ lái của dãy anten (array steering vector) ở góc tới thứ i, α(θ i ) C M
Bây giờ với d nguồn tín hiệu đến thì tín hiệu nhận đƣợc ở phần tử thứ k có đƣợc là chồng chập của d nguồn:
Giả sử trong quá trình thu có nhiễu xuất hiện đƣợc cộng thêm vào tín hiệu đến
Ta viết đƣợc biểu thức tổng quát là:
Trong đó n(t) biểu diễn cho nhiễu đƣợc cộng thêm vào hệ thống
Biểu thức (2.11) được viết dưới dạng ma trận như sau:
(2.13) gọi là ma trận lái (steering matrix) C M x d hay là ma trận các vectơ lái n i (t) là nhiễu cộng thêm vào phần tử thứ i, i = 0, 1, …, M-1
2.5.2 Ph ng pháp trị riêng (eigenstructure và ma trận t ng quan (spatial covariance matrix)
Ma trận tương quan của tín hiệu s(t) ký hiệu là R SS được định nghĩa như sau:
Giả sử tín hiệu s(t) và nhiễu n(t) là không tương quan n(t) được cho theo quy luật Gauss có trung bình b ng không và ma trận tương quan là σ 2 I
Từ (2.14) và (2.15), ma trận tương quan của tín hiệu x(t) được tính như sau :
(2.16) Trường hợp không có nhiễu cộng vào: σ 2 = 0
Sử dụng phương pháp tách trị riêng (Eigen decomposition) ta có thể biểu diễn nhƣ sau:
Ma trận con chứa những giá trị riêng khác 0 được ký hiệu là *, trong khi các ma trận - và - tạo nên không gian con tín hiệu S có chiều d Các thành phần trực giao với không gian con tín hiệu này được gọi là không gian con nhiễu N.
Trường hợp có nhiễu cộng vào: σ 2 0
Từ các biểu thức (2.17) và (2.18), ta thấy rằng tất cả trị riêng trong (2.18) chỉ bị dịch chuyển bởi σ²N so với các trị riêng trong (2.17), trong khi các trị riêng tương quan của tín hiệu vẫn giữ nguyên Do đó, không gian con tín hiệu và không gian con nhiễu không bị thay đổi.
2.5.3 Ước l ng không gian con tín hiệu (signal subspace và không gian con nhiễu (noise subspace) Đặt X là ma trận đo đƣợc khi có nhiễu cộng vào gồm N snapshots x(t n )
Vậy ước lượng ma trận tương quan được tính bởi :
Sử dụng phép tách trị riêng (eigen decomposition) của Rˆ xx ta đƣợc
Trong đó ∑ là ma trận chéo M x N
Ma trận Q đƣợc tách ra thành , -
Q S chứa r vectơ trị riêng tương quan với không gian con tín hiệu
Q n chứa vectơ trị riêng tương quan với không gian con nhiễu
Một cách khác để tách lấy vectơ trị riêng là sử dụng chính ma trận X d ng giải thuật tách trị riêng (Singular Value Decomposition - SVD)[4]
Giải thuật SVD làm việc ngay trên ma trận dữ liệu X thay vì phải tính dựa trên
Việc này làm cho việc tính toán dễ dàng hơn
Sử dụng thuật toán SVD, ma trận X đƣợc tách ra nhƣ sau :
Ma trận U đƣợc tách ra thành , -
Trong đó các cột của U S là không gian con tín hiệu và các cột của U O là không gian con nhiễu
2.5.4 Thuật toán MUSIC (Multiple Signal Classification
Thuật toán MUSIC được sử dụng để ước lượng không gian con, bao gồm không gian con tín hiệu và không gian con nhiễu Phiên bản cơ bản của thuật toán này được gọi là Spectral MUSIC.
Giả sử tín hiệu đến là:
Ma trận tương quan của tín hiệu x(t) là:
Sử dụng phương pháp tách trị riêng (SVD) ta có thể biểu diễn R xx như sau:
Trong đó: U S là ma trận gồm d cột đặc trƣng cho không gian con tín hiệu
U O là ma trận gồm (M - d) cột đặc trƣng cho không gian con nhiễu
Với ma trận A là ma trận các vectơ lái thì
Nếu ước lượng dựa vào không gian con nhiễu, hướng đến có thể xác định dựa vào đỉnh của phổ MUSIC, đƣợc xác định bởi công thức:
H nh 2 15: Phổ spectral MUSIC với 3 nguồn tín hi u đến ở 3 hướng -30, -5 và 40
2.5.5 Thuật toán ESPRIT (Estimation of Signal Parameters via Rotational Invariance Techniques)[5]
Dãy anten gồm M phần tử được chia thành hai dãy con, trong đó mỗi phần tử của dãy con kết hợp với phần tử tương ứng từ dãy con còn lại để tạo thành một cặp xác định.
Giả sử có m cặp, nếu các cặp không trùng lặp thì M sẽ bằng 2m Tuy nhiên, trong trường hợp tổng quát, M có thể nhỏ hơn hoặc bằng 2m, cho phép sự trùng lặp của các phần tử trong hai dãy con.
H nh 2 16: í dụ về chia d y M 6 ph n t anten thành 2 d y con a : d y con c m 5 ph n t b : d y con c m 3 ph n t c : d y con c m 4 ph n t
Ma trận lựa chọn J 1 của dãy con thứ 1 lấy m=5 hàng đầu tiên của ma trận A
Ma trận lựa chọn J 2 của dãy con thứ 2 lấy m=5 hàng cuối c ng của ma trận A
Thông thường, hai ma trận lựa chọn được chọn sao cho nó có tính đối xứng tâm, tức là:
2.5.5 1 ấu tr c d ch chuyển bất biến
Do có hai dãy con tương đồng nhưng khác nhau về không gian, từ biểu thức (2.31) ta có thể kết luận rằng vectơ lái của dãy con thứ hai là bản sao của dãy con thứ nhất.
( ) ( ) (2.32) p dụng tương tự cho d dãy vectơ lái ( i ), ta có thể biểu diễn được như sau:
Với * + là ma trận đường chéo d x d chứa thông tin hướng đến cần ƣớc lƣợng
Tất cả các thuật toán ESPRIT căn bản và mở rộng đều dựa trên tính chất dịch chuyển bất biến này
Nhắc lại phần trước, các cột của ma trận các vectơ lái tạo ra không gian con d chiều:
Thuật toán ESPRIT dựa trên việc ước lượng không gian con tín hiệu, và luôn tồn tại một ma trận T A d x d Biểu thức (2.33) có thể được biểu diễn theo U S, tương ứng với không gian con tín hiệu.
Ma trận Ѱ và Ф có mối liên hệ thông qua phép biến đổi trị riêng, do đó các thành phần trên đường chéo chính của ma trận Ф chính là các trị riêng của ma trận Ѱ.
Giá trị Ѱ giải được từ phương trình sẽ được tách lấy trị riêng b ng phép tách trị riêng với * + (2.35)
Các giá trị φ i sẽ ứng với thành phần , tức là chứa thông tin hướng đến i đƣợc xác định theo biểu thức sau:
Mô hình tín hiệu băng rộng
H nh 2 17: Phổ các loại tín hi u kh o sát
Trong các hệ thống tín hiệu, nếu tỉ số băng thông trên tần số trung tâm (fractional bandwidth) nhỏ hơn 1%, tín hiệu đó được coi là tín hiệu băng hẹp Ngược lại, các tín hiệu có fractional bandwidth lớn hơn 1% sẽ được xem là tín hiệu băng rộng.
Các phân tích mô hình tín hiệu băng rộng sẽ được trình bày chi tiết ở chương sau.
KỸ THUẬT ƯỚC LƯỢNG HƯỚNG ĐẾN BĂNG RỘNG CHO MÔ HÌNH DÃY ANTEN LÝ TƯỞNG
Các phương pháp ước lượng không gian con tín hiệu
Các phương pháp không gian con tín hiệu tập trung vào việc sử dụng ma trận tương quan của dữ liệu để thực hiện tính toán, thay vì làm việc trực tiếp với dữ liệu đầu vào Bằng cách áp dụng phép tách trị riêng (SVD), các không gian con tín hiệu và không gian con nhiễu được phân tách từ ma trận tương quan Dựa trên các không gian con này, phổ ước lượng sẽ được xây dựng.
Phương pháp ước lượng không gian con được phân thành 2 loại như sau:
H nh 3 1: Phương pháp ước lượng không gian con
Incoherent Signal Subspace Methods (ISS)
Coherent Signal Subspace Methods (CSS)
Phương pháp ước lượng không gian con nguồn tín hiệu không tương quan
Phương pháp này sử dụng K băng con phân tách độc lập, cho phép áp dụng các kỹ thuật băng hẹp cho từng băng tín hiệu Do các tín hiệu được phân tách không tương quan và được xem như băng hẹp, kết quả ước lượng cuối cùng được tính từ giá trị trung bình của các kết quả băng hẹp độc lập.
Nếu sử dụng MUSIC, ta có phổ ƣớc lƣợng ở k băng hẹp nhƣ sau:
Phương pháp này đạt được kết quả tốt nhất khi các nguồn tín hiệu không tương quan, nhờ vào việc tính toán giá trị trung bình của K giá trị ước lượng băng hẹp Tuy nhiên, trong trường hợp các nguồn tín hiệu có sự tương quan, phương pháp CSS sẽ mang lại hiệu quả vượt trội hơn và có tính tổng quát cao hơn.
Các phương pháp ước lượng không gian con nguồn tín hiệu tương quan
Nhiều kỹ thuật xử lý dãy dựa vào không gian con tín hiệu, phụ thuộc vào các bin tần số khác nhau của tín hiệu băng rộng Các phương pháp ước lượng thường sử dụng biến đổi FFT để chuyển đổi các không gian con tín hiệu tại các bin tần số khác nhau vào một không gian con hội tụ, với tần số hội tụ thường được chọn ở trung tâm băng thông tín hiệu Các không gian con tín hiệu tại các bin tần số sẽ được biến đổi để hội tụ vào không gian con hội tụ thông qua các vector vị trí tại tần số đó Cuối cùng, các phương pháp cấu trúc trị riêng được áp dụng để xác định các hướng, và kỹ thuật này được gọi là kỹ thuật CSS.
Narrowband Estimation such as MUSIC
Trang 27 này cho kết quả làm tăng ngƣỡng phân giải với các giá trị SNR đòi hỏi nhỏ hơn Tuy nhiên kỹ thuật CSS thuần tuý không đƣa ra cách nào để chọn không gian con hội tụ tối ƣu nh m giảm sai lệch ƣớc lƣợng
H nh 3 3: Phương pháp C S Đối với kỹ thuật CSS, ma trận hội tụ T k đƣợc định nghĩa nhƣ sau:
Ma trận A k đại diện cho vị trí tại bin tần số thứ k-th, trong khi A 0 là ma trận vị trí hội tụ Cả hai ma trận A 0 và A k đều phụ thuộc vào các giá trị DOA, cho thấy rằng phép biến đổi có khả năng chuyển đổi các ma trận vị trí ở các bin tần số khác nhau thành ma trận vị trí hội tụ Bằng cách sử dụng các ma trận hội tụ T k, các vector quan sát tại các tần số khác nhau sẽ được chuyển đổi vào không gian con hội tụ Trong thực tế, các vector quan sát được xác định theo công thức: k k k y T x , với k = 1, ,K.
Khi đó, ma trận tương quan tổng quát cho tất cả các bin tần số có thể được biểu diễn nhƣ sau:
Narrowband Estimation such as MUSIC
Và S k S k là ma trận tương quan nguồn tại bin tần số thứ k-th
Ma trận biến đổi T k phải thoả điều kiện cƣỡng bức : min 0 k k k
Với T T k H k I Điều kiện trên thu đƣợc kết quả là
Với V k và W k là các vector singular bên phải và bên trái của ma trận A A 0 k H
3.1.1 Ph ng pháp CSS lựa chọn không gian con tối u
Trong phần này, chúng ta sẽ thảo luận về kỹ thuật lựa chọn không gian con hội tụ tối ưu nhằm giảm thiểu không gian con fitting lỗi Không gian con fitting lỗi tại mỗi bin tần số được xác định là khoảng cách giữa ma trận hội tụ và ma trận vị trí đã biến đổi A 0 T A k k Quy trình lựa chọn tần số hội tụ được thực hiện qua hai bước, bắt đầu bằng việc xác định các giá trị singular.
Sau đó ta giải quyết bài toán cực tiểu hàm một biến phi tuyến để đạt đƣợc không gian con hội tụ
Kỹ thuật xác định hướng này giúp giảm thiểu sai lệch giá trị DOA ước lượng, so với phương pháp không sử dụng không gian con tối ưu.
Chúng tôi định nghĩa phép tính dựa trên việc tối thiểu hóa lỗi của phép biến đổi không gian con tín hiệu Cực tiểu của phép tính này giúp xác định tần số hội tụ Do đó, cần tìm giá trị f0 sao cho thỏa mãn điều kiện cực tiểu.
Tk là ma trận hội tụ, trong khi A(l) đại diện cho tập hợp tất cả các ma trận vị trí tương ứng với giá trị DOA θ đã cho Ngoài ra, w k là trọng số tại bin tần số thứ k-th.
Mặt khác, không gian fitting lỗi của (3.9) là :
D ng các phép biến đổi tương đương, ta có cực tiểu của công thức (3.9) ứng với cực đại của:
Với i ( ),B i1, ,q là các giá trị singular của ma trận B sắp xếp theo thứ tự giảm dần
Tuy nhiên trong thực tế, công thức (3.11) rất phức tạp khi tính toán Để rút gọn đơn giản cho việc tính toán, ta sử dụng tính chất sau:
Nếu A B, M m n , được cho trước th các giá trị singular được sắp xếp theo thứ t 1 A q A 0 và 1 B q B 0 với q min( , ) m n hi đ :
Từ tính chất trên suy ra:
Từ đó trong thực tế, ta sử dụng công thức sau để tìm tần số hội tụ:
Bài toán một biến tìm giá trị cực đại được giải quyết thông qua phương pháp xác định tần số hội tụ, nhằm tối ưu hóa không gian lỗi Phương pháp này giúp đạt được cực tiểu chính xác hơn so với các kỹ thuật khác, từ đó cải thiện độ chính xác của các sai lệch ước lượng.
Các bước thực hiện thuật toán lựa chọn tần số hội tụ tối ưu:
- Chọn một tần số hội tụ ban đầu bất kỳ, giả sử là bin tần số đầu tiên
Sử dụng các phương pháp tiền ước lượng để xác định các giá trị DOA ban đầu, sau đó áp dụng kết quả này để tính toán ma trận vị trí tại tần số hội tụ đã chọn trong bước 1.
- Tìm q trị riêng singular của ma trận vị trí này
- Tại mỗi bin tần số, thay đổi tần số hội tụ và tính tổng của tích các trị riêng singular nhƣ trong công thức (3.16)
Để xác định tần số hội tụ tối ưu, cần tìm giá trị bin tần số đạt cực đại trong bước trước Sau đó, tính toán ma trận vị trí của dãy tại giá trị tần số hội tụ tối ưu A 0 mới này.
- Tính các ma trận biến đổi tại mỗi bin tần số T k b ng cách nhân 2 vector trị riêng singular trái và phải của tích ma trận A A 0 k H
Áp dụng kỹ thuật CSS thuần túy kết hợp với ma trận vị trí hội tụ để xác định DOA, dựa trên ma trận tương quan tổng quát được tính từ Tk.
3.1.2 Ph ng pháp biến đổi TCT
Kỹ thuật biến đổi TCT sử dụng phương pháp CSS để biến đổi không gian con tín hiệu thông qua hội tụ ma trận Thuật toán MUSIC được áp dụng để ước lượng góc đến, với việc sử dụng phép biến đổi 2 cạnh đơn vị cho ma trận tương quan tại mỗi bin tần số Bằng cách thay thế vector lái bằng ma trận tương quan, chúng ta có thể tìm cấu trúc trị riêng thông qua phân tích ma trận tương quan tổng quát của tín hiệu bằng các phương pháp ước lượng phổ.
Kỹ thuật biến đổi ma trận tương quan 2 cạnh (TCT) mang lại ưu điểm vượt trội so với phương pháp CSS trong việc ước lượng hướng đến (DOA) Trong khi CSS phân tán năng lượng tín hiệu vào không gian con nhiễu, dẫn đến độ chính xác thấp, TCT giữ lại năng lượng trong không gian con tín hiệu, cho phép ước lượng DOA chính xác hơn Kích thước không gian con fitting lỗi của TCT nhỏ hơn so với CSS, giúp giảm ngưỡng phân giải góc đến của tín hiệu Hơn nữa, thuật toán TCT cũng cung cấp giá trị variance tổng quát nhỏ hơn, nâng cao hiệu quả trong các ứng dụng thực tế.
Trong phương pháp CSS thì lỗi của phép biến đổi được cho bởi:
Ta sử dụng tính chất sau:
Nếu A B, M m n , và q min m n , , các i ( ),A i ( ),B i (AB H ) với i1, ,J là các trị singular của các ma trận tương ứng được sắp xếp theo thứ t gi m d n th khi đ :
Khi đó áp dụng (3.18) vào (3.17) ta có giới hạn dưới của lỗi phép biến đổi CSS
Giới hạn dưới không thể đạt được nếu không sử dụng kỹ thuật CSS Giả sử có một phép biến đổi 2 cạnh với ma trận U và V, mục tiêu là tối thiểu hóa kết quả.
Nghi m của bài toán tr n là UEX H FY H với A E F H , B X Y H là các trị singular kết qu phân tích của A và Lỗi của phép biến đổi được cho bởi:
Nếu A và B là các ma trận Hermitian vuông, thì ma trận biến đổi U sẽ là duy nhất Ma trận này sẽ có dạng b ng EX H, trong đó E và X chứa các vector trị riêng của A và B tương ứng.
Phương pháp ước lượng hướng dến dựa vào các bộ beamformer bất biến tần số -
3.4.1 Ph ng pháp ớc l ng sử dụng các bộ FIB xử lý trong miền thời gian - TDFIB
Kỹ thuật xử lý búp sóng trong không gian thời gian được thực hiện thông qua các khâu trễ, sử dụng bộ lọc giãn nở trước khi tiến hành định trọng số, như thể hiện trong hình 3.3.
Trong bộ beamformer, đáp ứng tần số của bộ lọc dilation phụ thuộc vào phân bố của dãy anten thông qua việc xác định tỉ lệ tần số Phương pháp này có ưu điểm về mức độ tính toán thấp hơn so với hai phương pháp khác Tuy nhiên, nhược điểm là kết quả ước lượng phụ thuộc vào cấu trúc hình học của dãy anten, khoảng cách giữa các phần tử anten và quá trình thiết kế các bộ lọc dilation.
Kỹ thuật FDFIB khắc phục các nhược điểm của TDFIB và có thể áp dụng cho bất kỳ dãy anten nào Đặc điểm của các beam trong miền tần số không phụ thuộc vào cấu trúc của dãy anten, cho phép chúng ta tập trung vào phương pháp ước lượng dựa trên FDFIB trong bài luận văn này.
3.4.2 Ph ng pháp ớc l ng sử dụng các bộ FIB xử lý trong miền tần số - FDFIB
3.4.2.1 Frequency – Domain Frequency – Invariant Beamformer
Xét một dãy anten với M phần tử và J bộ beamformer trong mạng lưới, tín hiệu băng rộng được giả định nằm trong khoảng tần số từ l đến h, trong đó l là tần số thấp nhất và h là tần số cao nhất của tín hiệu.
Beam-pattern thứ j-th B j ( k ), j=1,…, J ở tần số k , l k h đƣợc cho bởi:
là vector lái ở hướng thứ b-th, m m m
T m x y z d d d d là toạ độ của phần tử thứ m của dãy anten,m1, ,M ;
cos sin sin sin cos T b b b b b b
với b và b là góc phương vị và góc ngẩng ở hướng thứ b-th, b , 0 b 2
; c là vận tốc ánh sáng
Trong công thức (3.41), ký hiệu H ứng với phép liên hiệp phức, trong khi w(j, ωk) đại diện cho trọng số ở tần số ωk của beamformer thứ j tại phần tử thứ m Như được mô tả trong hình 3.6, để đạt được các bộ beamformer bất biến tần số, các trọng số tại mỗi tần số cần phải được lựa chọn một cách chính xác.
Với 0 là tần số hội tụ đƣợc chọn trong l h Từ (3.41) và (3.42), trọng số cho các bộ beamformer bất biến tần số ở mỗi tần số đƣợc xác định bởi :
Với m là biên độ của các trọng số Trong bài luận văn này, ta sử dụng
3 4 2 2 Mô hình tín hiệu băng rộng trong miền phần tử và miền b p sóng – không gian
Giả sử P là nguồn tín hiệu băng rộng, s_t(1), , s_t(P) có băng thông B từ miền xa của dãy anten, tương ứng với các góc đến là (φ_p, p) với p = 1, , P, trong đó φ_b và b lần lượt là góc phương vị và góc ngẩng, với điều kiện -π ≤ φ_b ≤ π và 0 ≤ b ≤ 2.
Xét tín hiệu đến x n( ) x n 1( ) x M ( )n T là vector tín hiệu ở đầu ra của dãy anten Trong miền tần số, ta thu đƣợc vector tín hiệu (M x 1) nhƣ sau:
Vector nhiễu N(ωk) có kích thước M x 1 trong dãy anten, trong khi S p (ωk) đại diện cho các hệ số Fourier của tín hiệu thứ p tại ngõ vào Đối với dãy anten ba chiều tổng quát, vector hướng nguồn (M x 1) cho nguồn tín hiệu thứ p tại bin tần số ωk được xác định như sau:
Với p cos p sin p sin p sin p cos p T Ở dạng ma trận, biểu thức (3.45) đƣợc viết nhƣ sau :
Với A k a k , 1 a k , p a k , P là ma trận hướng nguồn (M x P) và S k là vector tín hiệu (P x 1) ở ngõ vào của dãy anten
Giả sử P nguồn c ng phân bố trong một sector (xem như biết trước) l , h và
J beamformer đƣợc thiết kế để có thể bao phủ sector này P J M J tín hiệu ở ngõ ra của các bộ beamformer trong miền tần số đƣợc viết nhƣ sau :
Với Y j k là hệ số Fourier của tín hiệu trong miền búp sóng – không gian,
A C A là ma trận hướng nguồn trong miền búp sóng – không gian,
N C N là vector nhiễu trong miền búp sóng – không gian,
C gọi là ma trận beamforming, và w j k là trọng số của vector thứ j-th của các bộ FIB, đƣợc trình bày trong phần 3.4.2.1
H nh 3.5 : Cấu tr c phương pháp ước lượng hướng đến s dụng FDFIB
H nh 3 6 : Cấu tr c của bộ beamformer thứ j-th
3 2 4 3 Ước lượng hướng đến sử dụng các bộ FDFIB
Các bộ beamformer được thiết kế bất biến theo tần số, dẫn đến ma trận hướng nguồn trong miền búp sóng – không gian giống nhau ở mọi tần số trong băng thông tín hiệu Điều này có nghĩa là A C (ω k) = A C (ω0) cho mọi ω k thuộc [ω l, ω h] Do đó, các góc đến của tín hiệu băng rộng được đặc trưng hoàn toàn bởi ma trận hướng nguồn A C (ω0) Giả sử tín hiệu và nhiễu không tương quan, ma trận tương quan trong miền búp sóng – không gian được xác định bởi các yếu tố này.
Ma trận tương quan chéo trong miền phần tử được xác định bởi R X(ωk) = E{X(ωk)XH(ωk)} Từ đó, ma trận tương quan tổng quát cho tín hiệu băng rộng có thể được xác định.
Xét một lưới I cho các góc đến của cặp góc phương vị và góc ngẩng Bằng cách áp dụng thuật toán MUSIC, chúng ta có thể xác định các góc đến thông qua các đỉnh phổ được tính toán theo công thức sau.
U N là ma trận có kích thước J J P , đại diện cho không gian con nhiễu thu được từ phép tách trị riêng của ma trận tương quan R Y Vector hướng nguồn a C ( ) i có kích thước J 1 trong miền búp sóng – không gian, với i từ 1 đến I.
KỸ THUẬT ƯỚC LƯỢNG HƯỚNG ĐẾN BĂNG RỘNG CHO MÔ HÌNH DÃY ANTEN THỰC KHÔNG LÝ TƯỞNG
Mô hình tín hiệu băng rộng với mảng thực
Trong phần trước, ta đã có mô hình tín hiệu băng rộng của dãy anten Bây giờ ta thay vector lái ở (3.45) với vector lái mới:
T T p M p k M k jd jd T j j k p k M k a e e e e (4.1) là vector lái khi có lỗi vị trí, độ lợi – pha của các phần tử từ hướng đến
Trong (4.1) m ( k ) và m ( k ) lần lƣợt là độ lợi và pha của phần tử thứ m, và
, , T m m m m d x y z biểu diễn toạ độ của các phần tử trong mảng và p p , p , p T là vector đơn vị hướng nguồn: cos sin sin sin cos p p p p p p p p
Với c là vận tốc truyền sóng Khi xét đến lỗi vị trí, độ lợi và pha ta có :
Trong đó m k , m k , d m là các giá trị danh định và ˆ k , ˆ k , d ˆ m là các lỗi ngẫu nhiên tương ứng của chúng
Ta biểu diễn (4.1) dưới dạng ma trận:
Là ma trận lái thực, M x P và S k là vector tín hiệu tại đầu vào của mảng, P x 1, trong miền tần số[15].
Phương pháp TCT và FDFIB với mảng thực
Hai phương pháp TCT và FDFIB, đã được thảo luận trong chương 4, được áp dụng cho tín hiệu băng rộng với dãy anten lý tưởng Trong chương này, để áp dụng cho mảng thực tế, ta chỉ cần thay thế ma trận vector lái lý tưởng bằng ma trận vector lái thực trong (4.5) Khi áp dụng giải thuật MUSIC, như đã trình bày trong chương 3, quy trình hoàn toàn tương tự như trường hợp dãy anten lý tưởng, từ đó cho phép ta thu được phổ ước lượng.
Trong đó 0, p là vector lái của mảng thực trong miền búp sóng tại tần số hội tụ 0 chọn trước
Trong đó C 0, p C H 0 0, p là vector lái của mảng thực trong miền búp sóng – không gian tại tần số 0 chọn trước, C 0 là ma trận trọng số beamforming
Trong trường hợp dãy anten thực không lý tưởng, hai phương pháp trước đó không mang lại kết quả ước lượng chính xác Bài viết này sẽ giới thiệu một phương pháp mới có thể áp dụng hiệu quả cho tình huống này.
Phương pháp biến dổi danh định – MNT
Phương pháp biến đổi danh định (MNT) là kỹ thuật được áp dụng để ước lượng DOA băng rộng trong hệ thống anten thực Phương pháp này dựa trên việc kết hợp các bin tần số khác nhau, từ đó các ma trận lái được hội tụ thành một ma trận lái danh định lý tưởng Các tham số như vị trí, độ lợi và pha được xác định cho từng bin tần số cụ thể, và quá trình biến đổi ma trận lái được thực hiện thông qua phương pháp thích ứng bình phương nhỏ nhất.
Gọi ma trận lái danh định tại tần số đƣợc chọn 0 nhƣ sau :
Các ma trận biến đổi T k tại các bin tần số k khác nhau, l k h , đƣợc định nghĩa bởi :
Với F là Frobenius matrix norm và A C k , là ma trận lái của mảng thực
Việc chuyển đổi là không suy hao nếu T k là các ma trận unitary, tức là
Với L k và R k là các ma trận unitary, M x M, đƣợc tạo ra từ các vector singular bên trái và bên phải của 0
A A Ma trận tương quan biến đổi R là :
Ma trận tương quan tại tần số ωk được định nghĩa bởi R(ωk) = E[X(ωk)XH(ωk)], trong đó E là ký hiệu cho kỳ vọng Để phân tích dữ liệu, chúng ta cần xác định một tập hợp Ω(φ) và chia lưới các góc trong không gian Phổ ước lượng được tính toán bằng cách sử dụng thuật toán MUSIC.
Với U N là ma trận không gian con nhiễu thu đƣợc từ phép biến đổi trị riêng của ma trận tương quan R, p1, ,P
CÁC KẾT QUẢ MÔ PHỎNG
Các kết quả ước lượng hướng đến trong trường hợp tín hiệu băng hẹp
Trong trường hợp tín hiệu băng hẹp, chúng tôi đã mô phỏng kết quả bằng hai thuật toán ước lượng độ phân giải cao là MUSIC và ESPRIT Các thông số sử dụng trong quá trình mô phỏng bao gồm:
- Dãy anten ULA gồm M=4 phần tử sắp xếp theo trục y, mỗi phần tử cách nhau
- Tín hiệu đến ở 3 hướng ngẫu nhiên -10 ,30 ,65 0 0 0
- Tỉ số tín hiệu trên nhiễu SNR đƣợc lấy trong khoảng [0 40] dB
Biểu diễn cấu trúc dãy anten: M=4 phần tử, sắp xếp tuyến tính theo trục y
Phổ MUSIC ở 3 góc đến = -10, 30, 65 M=4, N0, SNR@dB
Hàm RMSE ở góc đến 30 0 thay đổi theo tỉ số SNR
Hàm RMSE ở góc đến 30 0 thay đổi theo số snapshot N
Hàm xác suất ƣớc lƣợng PS của thuật toán với ngƣỡng phân giải RMSE 12 dB o Ở DOA@ 0 hàm P S của phương pháp FDFIB luôn đạt 100%, hàm
P S của phương pháp CSM đạt 100% với SNR > 12 dB o Ở DOAP 0 hàm P S của hai phương pháp đạt 100% với SNR > 10 dB
5.2.4 Khảo sát ảnh h ởng của số beam đối với kết quả ớc l ng sử dụng ph ng pháp FDFIB
Ta khảo sát với sự thay đổi số beam đối với kết quả ƣớc lƣợng nhƣ sau:
Với J=4, 5, 9, 12, 16 hàm sai số RMSE thu đƣợc nhƣ sau:
Khi ta giảm số lƣợng beam hơn nữa (J = 3, 2, …) thì thu đƣợc kết quả nhƣ sau:
Từ kết quả trên ta rút ra nhận xét sau:
Với số lượng beam được chọn J = 4, 5, 9, 12, 16 thì kết quả của phương pháp FDFIB chênh lệch không đáng kể, các hàm sai số RMSE xấp xỉ nhau
Khi ta giảm số lƣợng beam hơn nữa J=3, 2 thì kết quả sai số RMSE tăng vọt, chất lượng của phương pháp FDFIB không còn tốt nữa
Theo khảo sát, việc chọn số lượng beam nhiều hơn không chỉ không cải thiện đáng kể chất lượng mà còn làm tăng khối lượng tính toán một cách không cần thiết.
Số lượng beam J=4 được xác định là ngưỡng tối ưu cho phương pháp FDFIB, với các thông số đầu vào như số phần tử anten và số nguồn tín hiệu cố định Điều này cho thấy ưu điểm của phương pháp FDFIB, khi không cần nhiều beam nhưng vẫn đạt được kết quả ước lượng tốt.
5.2.5 Khảo sát ảnh h ởng việc lựa chọn tần số hội tụ của ph ng pháp FDFIB
Trong phương pháp FDFIB, các tín hiệu băng rộng được hội tụ về một tần số thông qua các bộ beamformer Tần số hội tụ này được lựa chọn một cách cẩn thận để tối ưu hóa hiệu suất.
Trang 58 ảnh hưởng đến kết quả ước lượng của phương pháp này, mà cụ thể là gây ra một lượng bias so với giá trị DOA thật
Sau đây, ta sẽ khảo sát ảnh hưởng của việc lựa chọn tần số hội tụ tối ưu của phương pháp FDFIB:
Xét tín hiêu đến ở các góc DOA = 30 0 , 40 0 , 50 0 Các hàm bias lần lƣợt đƣợc vẽ ra nhƣ sau (xét sự thay đổi của tần số hội tụ f0 đƣợc chọn)
Từ các khảo sát trên, ta rút ra một số nhận xét nhƣ sau:
Việc lựa chọn tần số hội tụ tối ưu là rất quan trọng, vì nó ảnh hưởng trực tiếp đến kết quả ước lượng của phương pháp FDFIB Nếu tần số hội tụ f0 không phù hợp, sẽ dẫn đến bias trong kết quả Dựa trên các dữ liệu đã cung cấp, tần số hội tụ tối ưu nhất được xác định nằm trong khoảng từ 0.85 đến 0.9.
Tuy nhiên việc chọn f0 còn phụ thuộc vào nhiều yếu tố khác dẫn đến sự lựa chọn tối ƣu còn gặp nhiều khó khăn.
Các kết quả ước lượng hướng đến trong trường hợp tín hiệu băng rộng dãy anten thực không lý tưởng
Chúng ta tiếp tục sử dụng dãy anten 16 phần tử với các thông số mô phỏng giữ nguyên như ở phần 5.2 Trong phần này, chúng ta sẽ xem xét thêm một số yếu tố không lý tưởng của dãy anten.
Khoảng cách giữa các phần tử anten vẫn là
2 Tuy nhiên có lỗi vị trí ngẫu nhiên giữa các phần tử anten với P 0 và P 0.083, ứng với lỗi vị trí
Độ lợi và pha của dãy anten không đồng nhất ở các tần số mà thay đổi một lƣợng ngẫu nhiên:
Độ lợi thay đổi một lƣợng ngẫu nhiên có trung bình G 0 và phương sai G 0.033 ứng với m 0.1,0
Pha thay đổi một lượng ngẫu nhiên có trung bình Ph 0 và phương sai Ph 1.67 0 ứng với m 5 ,5 0 0
5.3.1 Các kết quả ớc l ng của ph ng pháp FDFIB với d y anten thực
Phổ ước lượng sử dụng phương pháp FDFIB với dãy anten thực không lý tưởng:
Kết quả phổ không đạt yêu cầu với các đỉnh không rõ ràng, cho thấy phương pháp FDFIB không hiệu quả trong việc xác định đỉnh phổ cho dãy anten thực Để cải thiện khả năng ước lượng trong trường hợp này, cần áp dụng phương pháp biến đổi danh định (MNT) như đã đề cập trong phần 4.3.
5.3.2 Các kết quả ớc l ng sử dụng ph ng pháp biến đổi danh định MNT cho d y anten thực không lý t ởng
Xét ảnh hưởng của dãy anten: thực, không lý tưởng, ta vẽ phổ ước lượng sử dụng phương pháp MNT và phương pháp FDFIB thuần tuý
Với dãy anten không lý tưởng, phương pháp FDFIB cho kết quả không khả quan, với đỉnh phổ không rõ ràng Ngược lại, phương pháp biến đổi danh định (MNT) mang lại kết quả tốt hơn, với đỉnh phổ rõ ràng và sai số ước lượng nhỏ.
Ta khảo sát hàm sai số ước lượng RMSE phương pháp MNT trong trường hợp dãy anten không lý tưởng:
Hàm sai số của phương pháp MNT khi so sánh với phương pháp FDFIB trong trường hợp dãy anten không lý tưởng:
Từ các kết quả trên, ta rút ra một số nhận xét nhƣ sau:
Trong trường hợp dãy anten không lý tưởng, phương pháp MNT cho kết quả sai số RMSE tốt hơn phương pháp FDFIB Cụ thể, ở cả 3 góc đến, phương pháp MNT đạt sai số RMSE dưới 10, trong khi phương pháp FDFIB có sai số RMSE vượt quá 25.
Ta so sánh phổ ước lượng của phương pháp MNT với các giá trị phương sai khác nhau: với variance 1 (σ P =0.083, σ Ph =1.67, σ G =0.033) < variance 2 (σ P =0.15, σ Ph =5, σ G =0.1) < variance 3 (σ P =1, σ Ph , σ G =0.7)
Kết quả cho thấy rằng khi giá trị phương sai của các biến ngẫu nhiên tăng lên, các đỉnh phổ ước lượng của phương pháp MNT trở nên rộng hơn và kém phân biệt hơn, đồng thời biên độ của các đỉnh phổ cũng suy giảm Điều này chỉ ra rằng chất lượng của phương pháp MNT bị ảnh hưởng khi phương sai tăng Tuy nhiên, trong một giới hạn nhất định của phương sai, phương pháp MNT vẫn có khả năng ước lượng và đạt được sai số ước lượng tốt.
