Dữợi vi phƠn Clarke
GiÊ sỷ x = (x1, , x`) v y = (y1, , y`) l hai vectỡ trong R ` CĂc kẵ hiằu sau Ơy s³ ữủc sỷ dửng sau n y: x = y, náu x i = y i , vợi mồi i, x 5 y, náu xi ≤ yi, vợi mồi i, x < y, náu xi < yi, vợi mồi i, x ≤ y, náu x 5 y v x6= y.
GiÊ sỷ M l mởt têp con cừa R ` Thổng thữớng, cl M, int M, co(M) v cone (M) ữủc kẵ hiằu l bao õng, phƯn trong, bao lỗi v nõn sinh bði
M tữỡng ựng Cỹc Ơm v cỹc Ơm ch°t cừa M ữủc xĂc ành bði
M s :n ξ ∈ R ` hξ, νi 0 \) sao cho với mọi \( x \in B(x_0, \delta) \cap S \) đều không vi phạm điều kiện (2.3) Đối với mọi \( i_0 \in I \) trong (2.13), ta có cách lấy \( j = 0 \) với \( j \notin J(x_0) \) và tồn tại \( (\lambda, a, \nu, \nu') \in \mathbb{R}^{m++} \times \mathbb{R}^n_+ \times \mathbb{R}^p_+ \times \mathbb{R}^p_+ \) sao cho biểu diễn (1.1) thỏa mãn Bằng cách thay thế \( \nu_k = \nu_k - \nu'_k \in \mathbb{R}^p \) (với \( \nu_k \) có thể không ẩn hoặc không giữ) dẫn đến việc chứng minh Điều kiện tồn tại \( (\lambda, a, \nu) \in \mathbb{R}^{m++} \times \mathbb{R}^n_+ \times \mathbb{R}^p \) sao cho biểu diễn (2.12) thỏa mãn.
Chựng minh Vẳ (CQ4) k²o theo (CQ3), theo ành lỵ 2.4, tỗn tÔi(λ, à, ν) ∈
R m + ìR n + ìR p , λ 6= 0 sao cho (2.12) úng BƠy giớ ta giÊ sỷ rơng tỗn tÔi i 0 ∈ I sao cho λ i 0 = 0 Theo (2.12), tỗn tÔi ξ i ∈ ∂ C f i (x 0 ), η j ∈ ∂ C g j (x 0 ), ζk ∈ ∂Chk(x0), e ∈B v d∈ N(Q, x0) sao cho m
M°t khĂc, theo phƯn hai cừa hằ (CQ4), tỗn tÔi ν ∈ T C (Q, x 0 ) sao cho hξ i , νi 0 sao cho φ(x) ≥ φ(x₀) + hξ, x - x₀i - αkx - x₀k, với mọi x ∈ B(x₀, δ) ∩ X và mọi ξ ∈ ∂Cφ(x₀) Hàm gần đúng xấp xỉ giả (approximate pseudoconvex function) φ: X → R tại điểm x₀ cũng được xác định với tồn tại α > 0 và δ > 0, sao cho với mọi x ∈ B(x₀, δ) ∩ X, ta có hξ, x - x₀i + αkx - x₀k ≥ 0 với ξ ∈ ∂Cφ(x₀) và φ(x) ≥ φ(x₀) - αkx - x₀k Ngược lại, nếu φ(x) < φ(x₀) - αkx - x₀k thì hξ, x - x₀i < -αkx - x₀k với mọi ξ ∈ ∂Cφ(x₀).
Dạ d ng kiºm tra mồi h m lỗi l h m giÊ lỗi xĐp x¿ tÔi x 0 Tuy nhiản, chiãu ngữủc lÔi nõi chung khổng úng Ch¯ng hÔn, ta x²t ϕ(x) =−x 2 −2x, x∈ X = [−1,0].
Khi õ ϕ l giÊ lỗi xĐp x¿ những khổng lỗi tÔi x0 = 0.
Sau đây là nội dung chính về khái niệm hai loại lợp hàm và điều kiện Kuhn-Tucker trong bài viết Định nghĩa 2.6 liên quan đến hàm số f: R^n → R (MP) được chia thành hai loại: a) Hàm KT-strictly approximate pseudoconvex-affine tại x0, tồn tại α ∈ int(R^m +) và δ > 0, sao cho với mọi x ∈ B(x0, δ), có f(x) ≤ f(x0) - α||x - x0||^k theo điều kiện (2.11) b) Hàm KT-approximate pseudoconvex-affine tại x0, cũng tồn tại α ∈ int(R^m +) và δ > 0, sao cho với mọi x ∈ B(x0, δ), có f(x) < f(x0) - α||x - x0||^k theo điều kiện (2.11).
Ta nói rằng (MP) là affine giới lỗi trong không gian D ⊂ R, nếu tồn tại một điểm x ∈ B(x0, δ) ∩ D Khi đó, (MP) được xác định là affine giới lỗi trong không gian D với x0 ∈ D Từ đó, ta có thể thấy rằng affine giới lỗi trong không gian này có ý nghĩa quan trọng Đặc biệt, với các bài toán khổng lồ, affine giới lỗi trong không gian D và affine giới lỗi trong không gian khác có mối liên hệ chặt chẽ với nhau trong ngữ cảnh của các bài toán tối ưu.
Dạ kiểm tra răng miệng là một phần quan trọng trong việc duy trì sức khỏe tổng thể Việc kiểm tra định kỳ giúp phát hiện sớm các vấn đề về răng miệng, từ đó có biện pháp xử lý kịp thời Quan hệ giữa sức khỏe răng miệng và sức khỏe toàn thân không thể xem nhẹ Chúng ta cần chú trọng đến việc chăm sóc răng miệng để đảm bảo chất lượng cuộc sống tốt hơn.
Ta cõ (P4) l affine giÊ lỗi KT-xĐp x¿ tÔi x0 = 0 bði vẳ vợi mội α (α 1 , α 2 ) ∈int(R 2 +) thẳ ta ch¿ cƯn x²t δ sau: δ
Tuy nhiên, (P4) khẳng định rằng tồn tại một điểm x ∈ B(x0, δ) ∩ S sao cho f(x) ≤ f(x0) − αk x − x0 k với α = (2,2) và mọi δ > 0, điều này cho thấy rằng hàm f(x) có thể đạt giá trị nhỏ hơn tại các điểm gần x0.
2. ành lẵ 2.7 GiÊ sỷ (MP) l affine giÊ lỗi KT-xĐp x¿ ch°t tÔi x 0 trản S. GiÊ sỷ x0 l KTVCP theo α Khi õ, x0 cụng l mởt tỹa nghiằm hỳu hiằu theo α.
Chứng minh rằng, dưới điều kiện (MP), nếu tồn tại x ∈ S sao cho f(x) ≤ f(x0) - αk x - x0 k, thì bài toán (MP) là affine và có nghiệm x0 Từ đó, theo định nghĩa 2.6, k x - x0 k là một nghiệm của (2.11) Bằng cách lấy j = 0 với j ∉ J(x0) và sử dụng điều kiện Hằng quế 1.1, ta suy ra x0 không thể là KTVCP theo α Chứng minh này cho thấy rằng việc xác định x0 là điểm cực tiểu theo α có thể được thực hiện thông qua các phương pháp đã nêu Hình 2.8 cho thấy (MP) là affine và có nghiệm x0 trong S, với x0 là điểm cực tiểu theo α.
Ró r ng l mồi tỹa nghiằm hỳu hiằu (tỹa nghiằm hỳu hiằu yáu) cừa (MP) là một tỹa nghiằm hỳu hiằu àa phữỡng, những iãu ngữủc lÔi khổng úng Kát quÊ sau Ơy cho cĂc iãu kiằn º Êm bÊo mởt tỹa nghiằm hỳu hiằu àa phữỡng GiÊ sỷ x0 l mởt tỹa nghiằm hỳu hiằu àa phữỡng theo α cừa (MP) v (CQ2) thọa mÂn tÔi (x 0 , α) GiÊ sỷ (MP) l affine giÊ lỗi xĐp x¿ KT-ch°t tÔi x0 trản S Khi õ, x0 l mởt tỹa nghiằm hỳu hiằu theo α cừa (MP).
Chứng minh rằng, dưới điều kiện cho trước, nếu tồn tại x ∈ S sao cho f(x) ≤ f(x0) − αk x − x0 k, thì tồn tại một nghiệm tối ưu x0 cho bài toán Kuhn-Tucker Điều này dẫn đến mối liên hệ giữa x − x0 và nghiệm của phương trình (2.11) trong bối cảnh (2.3) Khi thỏa mãn điều kiện (CQ2) với (x0, α), tồn tại tn ↓ 0 và νn → x − x0 sao cho x0 + tnνn ∈ S Từ đó, có thể kết luận rằng với mọi δ > 0, n đủ lớn, x n = x0 + tnνn ∈ B(x0, δ) ∩ S là một nghiệm của (2.1) Kết quả cho thấy x0 là một nghiệm tối ưu trong bối cảnh (MP) với điều kiện hàm mục tiêu phụ thuộc vào α.
Bảng mở rộng chứng minh tướng tỷ cho ảnh lý 2.9, ta nhận được ảnh lý sau Ảnh lý 2.10 cho thấy rằng sự tỷ lệ nghịch giữa yếu tố và phương theo α (CQ3) thỏa mãn tôi (x0, α) Sự tỷ lệ (MP) là affine, gây lỗi KT - xĐp x¿ tôi x0 tràn S Khi x0 cụng là tỷ lệ nghịch giữa yếu tố và phương theo α của (MP).
Rỗng lâm mồi tỹa nghiằm hỳu hiằu là phương cụng l tỹa nghiằm hỳu hiằu yáu àa phữỡng theo α những iãu ngữủc lÔi khổng úng Kết quả sau Ơy cho ta iãu kiằn Êm bÊo tỹa nghiằm hỳu hiằu yáu àa phữỡng Hình 2.11 thể hiện mở một tỹa nghiằm hỳu hiằu yáu àa phữỡng theo α và (CQ3) ứng với (x0, α) Giải sỹ (MP) là affine, thể hiện lỗi KT-xĐp x¿ chất tÔi x0 trản S Khi x0 cụng l tỹa nghiằm hỳu hiằu àa phữỡng theo α của (MP).
Chứng minh rằng giá trị cực tiểu không phải là tiểu cực của hàm theo một điểm cố định (MP) khi tồn tại δ > 0 sao cho với mọi x ∈ B(x₀, δ) ∩ S, ta có f(x) ≤ f(x₀) − αk x − x₀ k Sử dụng tính chất của hàm affine và định lý cực tiểu, suy ra x − x₀ là một điểm trong một hàm liên tục Theo điều kiện (CQ3) tại (x₀, α), và từ chứng minh trong bài 2.9, ta có thể khẳng định rằng với mọi δ > 0, tồn tại x₀ + tnνn ∈ B(x₀, δ) ∩ S là một điểm trong hàm liên tục Do đó, việc áp dụng điều kiện này cho phép chúng ta chứng minh tính chất của hàm liên tục.
Chúng ta tõm tưt cĂc kát quÊ trản trong hằ quÊ sau Ơy.
Hằ quÊ 2.1 GiÊ sỷ (MP) l affine giÊ lỗi KT-xĐp x¿ ch°t tÔi x 0 trản S v (CQ2) óng t¤i (x0, α) Khi â c¡c ph¡t biºu sau l t÷ìng ÷ìng: (a) x0 l tỹa nghiằm hỳu hiằu àa phữỡng theo α,
(b) x 0 l tỹa nghiằm hỳu hiằu theo α,
(d) x 0 l tỹa nghiằm hỳu hiằu yáu theo α,
(e) x0 l tỹa nghiằm hỳu hiằu yáu àa phữỡng theo α.
Chựng minh Theo cĂc kát quÊ ữủc suy ra tứ cĂc ành lỵ 2.3, 2.4, 2.7,
Trong phần 2.8, 2.9, 2.10 và 2.11, chúng ta sẽ minh họa mở rộng bài toán tối ưu hóa mục tiêu khổng lồ liên quan đến các yếu tố KTVCP Điều này nhằm hiểu rõ hơn về các yếu tố quan trọng trong quá trình tối ưu hóa và cách chúng ảnh hưởng đến kết quả cuối cùng.
Vẵ dử 2.4 X²t b i toĂn tối ữu a mửc tiảu
1 +|x| vợi r ng buởc: x ∈ S = {x∈ R|g(x) 5 0, h(x) = 0, x ∈ Q} trong õ Q = {x ∈ R : |x| ≤ 1} v g j , h k : R → R, j = 1,2;k = 1,2 ữủc cho bði g1(x)
Bði vẳ vợi mộiα ∈ int(R 2 +)v δ >0 khổng tỗn tÔi x∈ B(x0, δ)∩S sao cho f(x) ≤ f(0)−αkx−0k v f(x) < f(0)−αkx−0k, nản b i toĂn (P5) l affine giÊ lỗi KT-xĐp x¿ ch°t tÔi x = 0 trản S Ta tẳm cĂc iºm KTVCP.
Ta x²t cĂc trữớng hủp sau:
(a) x= 0 Bơng mởt tẵnh toĂn ỡn giÊn ta cõ
Cõ thº thĐy rơng vợi λ = (1,1), à = (0,0), ν = (0,0), α = (1,1) v e = 0 thẳ cĂc phĂt biºu sau l úng
Bði vẳ x = 0 l iºm chĐp nhên ữủc nản x = 0 l KTVCP theo α = (1,1).
Trong khoảng -1 ≤ x < 0, các hàm g(x) = (x², x³) và h(x) = (0,0) đều có giá trị nhỏ hơn (0,0) Do đó, chúng ta có thể xác định các đạo hàm riêng ∂Cf(x), ∂Cg(x) và ∂Ch(x) tương ứng với các vector Of(x), ∇g(x) và Oh(x) Cụ thể, ta có ∂Cf(x) = {(-1, (1-x)²)}, ∂Cg(x) = {(2, 3)} và ∂Ch(x) = {(0,0)} Trong đó, x là biến số và λ = (λ₁, λ₂), (à₁, à₂), ν = (ν₁, ν₂), α = (α₁, α₂) với e thuộc B, đảm bảo các điều kiện trong (2.12) được thỏa mãn.
3 = 0. iãu kiằn thự hai ð trản k²o theo à = (à 1 , à 2 ) = (0,0) v do õ, iãu kiằn mởt thọa mÂn vợi λ1 = λ2 = 1, ν1 = ν2 = 0, α = (1, (1−x) 1 2) v e = 1 Bði vẳ x l iºm chĐp nhên ữủc nản x l KTVCP theo α = (1, (1−x) 1 2).
(c) x > 0, x < −1 Dạ kiºm tra rơng x khổng l iºm chĐp nhên ữủc. Nhữ vêy x khổng l KTVCP.
Do õ x l KTVCP theo α = (1, (1−x) 1 2) với x ∈ S = [−1,0] Hiện tại, chúng ta sẽ xem xét tỹa nghiằm hỳu hiằu và tỹa nghiằm hỳu hiằu yáu Dựa vào các định lý 2.7 và 2.8, ta có thể rút ra rằng mỗi x ∈ S đều liên quan đến tỹa nghiằm hỳu hiằu và tỹa nghiằm hỳu hiằu yáu theo α = (1, (1−x) 1 2).
Chữỡng 3 trẳnh b y cĂc ành lỵ ối ngău yáu, mÔnh v ối ngău ngữủc cõa M Golestani, H Sadeghi, Y Tavan [4] cho èi ng¨u Mond-Weir cõa b i to¡n (MP).
Trong trường hợp bài toán khổng lồ với các ràng buộc thực và ràng buộc tuyến tính, Gupta đã nghiên cứu cựu tối ưu Wolfe (WD) cho bài toán (MP) với giải thiết lỗi xấp xỉ suy giảm Trong phần này, bài toán tối ưu Mond-Weir (MWD) cho bài toán (MP) được trình bày cũng với các ràng buộc tối ưu xấp xỉ và giải thiết về tính affine của lỗi KT-xấp xỉ chất lượng.
B i toĂn ối ngău Mond-Weir cừa b i toĂn (MP) ữủc cho bði
(MWD) max f(u), vợi r ng buởc:
ối ngău mÔnh v ối ngău ngữủc
Chúng ta sẽ chứng minh mối quan hệ giữa lành lặn và ngẫu nhiên Mối quan hệ này chứng minh tầm quan trọng của ngẫu nhiên trong lý thuyết tối ưu Hình 3.3 (ngẫu nhiên) giới thiệu một tỷ lệ nghiệm hữu hiệu tại phương theo α của (MP) và (CQ2) ứng với (x0, α0) Khi tồn tại
Trong bài toán tối ưu hóa, ta có các biến (λ₀, à₀, ν₀) thuộc R⁺ m × R⁺ n × R⁺ p, sao cho (x₀, λ₀, à₀, ν₀, α₀) là điểm cực trị của bài toán (MWD) Nếu (MP) là bài toán affine với các biến (u, λ, à, ν, α) thuộc SD, và (λ, à, ν) thuộc R⁺ m × R⁺ n × R⁺ p, thì α phải nằm trong int(R⁺ m) Tại mỗi γ = α, (x₀, λ₀, à₀, ν₀, α₀) là một điểm tối ưu, thể hiện mối quan hệ giữa hai bài toán (MP) và (MWD).
Chứng minh rằng tồn tại một tỷ lệ nghiêm ngặt hài hòa theo x₀ và α₀, thỏa mãn điều kiện (MP) và (CQ2) tại điểm (x₀, α₀) Từ đó, suy ra tồn tại (λ₀, α₀, ν₀) thuộc R⁺ m × R⁺ n × R⁺ p với λ₀ ≠ 0 sao cho (2.12) đúng Điều này cho thấy (MP) là một hàm affine trong không gian Q, với (u, λ, α, ν) thuộc SD, trong đó (λ, α, ν) thuộc R⁺ m × R⁺ n × R⁺ p và α thuộc int(R⁺ m) Như vậy, tồn tại một giá trị lớn hơn cho mọi γ = α.
U cừa (x₀, λ₀, à₀, ν₀, α₀) sao cho mọi (u, λ, à, ν, α) ∈ U ∩ S D đều không thỏa mãn điều kiện f(x₀) + γk u − x₀ k ≤ f(u) Do đó, từ định nghĩa 3.1, ta suy ra (x₀, λ₀, à₀, ν₀, α₀) là điểm tối ưu theo γ của (MWD) Hơn nữa, giá trị mục tiêu của (MP) và (MWD) khác nhau là f(x₀).
Để xác định điểm tối ưu (x0, λ0, à0, ν0, α0) cho bài toán tối ưu hóa (MP) và (MWD), cần đảm bảo rằng các tham số này thuộc R m +, R n +, và R p Nếu (MP) là bài toán affine, thì tồn tại một điểm (u, λ, à, ν, α) thuộc S D, với (λ, à, ν) nằm trong R m +, R n +, và R p, đồng thời α thuộc int(R m +) Điều này cho phép thiết lập mối quan hệ giữa (x0, λ0, à0, ν0, α0) và γ, trong đó γ = α, nhằm đảm bảo tính khả thi và tối ưu cho các bài toán (MP) và (MWD).
Các kết quả về ngẫu nhiên chứng minh dữ liệu ơy Mô hình 3.5 (ngẫu nhiên) giới thiệu các tham số (MP) gồm (x0, λ0, a0, ν0, α0) để mô tả sự biến động của dữ liệu (MWD) Nếu (MP) là một hàm affine, thì các lỗi KT-xĐp sẽ được kiểm soát tại x0, phản ánh sự tương tác theo α0 của (MP).
Chựng minh Ta giÊ sỷ rơng x 0 l iºm chĐp nhên ữủc cừa (MP) v (x0, λ0, à0, ν0, α0) l iºm chĐp nhên ữủc cừa (MWD) Khi õ tỗn tÔi
Trong bài viết này, chúng ta xem xét các yếu tố (λ0, à0, ν0) thuộc R m + ìR n + ìR p với λ0 khác 0 và v α0 nằm trong int(R m +) Điều này dẫn đến việc xác định x0 là nghiệm của bài toán tối ưu (MP) theo α0 Qua đó, chúng ta nhận thấy rằng (MP) có tính chất affine và từ định lý 2.7, x0 là điểm tối ưu được xác định theo α0 của bài toán tối ưu này.
Tữỡng tỹ ành lỵ 3.5, ta nhên ữủc ành lỵ sau Ơy. ành lẵ 3.6 (ối ngău ngữủc) GiÊ sỷ x 0 l iºm chĐp nhên ữủc cừa
(MP) v (x0, λ0, à0, ν0, α0)l iºm chĐp nhên ữủc cừa (MWD) Náu (MP) l affine giÊ lỗi KT-xĐp x¿ tÔi x 0 trản S thẳ x 0 l tỹa nghiằm hỳu hiằu yáu theo α0 cõa (MP).
Luên vốn trong bài toán tối ưu bao gồm các kết quả nghiên cứu của M Golestani và các tác giả khác, cùng với những điều kiện cần thiết để đạt được hiệu quả tối ưu Bài toán tối ưu này được áp dụng trong nhiều lĩnh vực, với sự tham gia của các phương pháp như vi phân Clarke và các ảnh hưởng của bài toán Mond-Weir Nội dung chính của luận văn tập trung vào việc phân tích và áp dụng các phương pháp này để giải quyết các bài toán tối ưu phức tạp.
- CĂc kián thực cỡ bÊn vã dữợi vi phƠn Clarke;
- CĂc iãu kiằn cƯn Kuhn-Tucker v Kuhn-Tucker mÔnh dữợi ngổn ngỳ dữợi vi phƠn Clarke;
- CĂc iãu kiằn ừ tối ữu;
- CĂc ành lỵ ối ngău mÔnh, yáu v ối ngău ngữủc cho b i toĂn ối ng¨u Mond-Weir cõa b i to¡n (MP).
Tối ưu hóa nội dung cho trải nghiệm người dùng là một yếu tố quan trọng trong SEO Việc xây dựng nội dung chất lượng, phù hợp với từ khóa và hấp dẫn sẽ giúp cải thiện thứ hạng trên các công cụ tìm kiếm Các nhà sáng tạo nội dung cần chú ý đến việc sử dụng ngôn ngữ tự nhiên và dễ hiểu, đồng thời đảm bảo rằng thông tin cung cấp có giá trị cho người đọc.