TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN ************* HOÀNG THỊ NHUNG CẤU TRÚC CỦA TẬP NGHIỆM PARETO YẾU CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU TUYẾN TÍNH TỪNG KHÚC TRONG KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích HÀ NỘI, 2015 LỜI CẢM ƠN Em xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Th.S Nguyễn Văn Tuyên, người thầy đã truyền thụ kiến thức, tận tình giúp đỡ, hướng dẫn em trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành khóa luận này. Em xin được gửi lời cảm ơn tới các thầy cô giáo trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, các thầy cô giáo khoa Toán đã giúp đỡ em trong quá trình học tập tại trường và tạo điều kiện cho em hoàn thành đề tài khóa luận tốt nghiệp. Trong quá trình nghiên cứu, không tránh khỏi những thiếu sót và hạn chế, em kính mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy giáo, cô giáo và toàn thể bạn đọc để khóa luận được hoàn thiện hơn. Hà Nội, tháng 5 năm 2015 Sinh viên Hoàng Thị Nhung LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan dưới sự hướng dẫn của thầy giáo Nguyễn Văn Tuyên khóa luận của em được hoàn thành không trùng với bất kì đề tài nào khác. Trong khi làm khóa luận này, em đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 5 năm 2015 Sinh viên Hoàng Thị Nhung Mục lục Chương 1. Bài toán tối ưu vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1. Một số khái niệm cơ bản. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2. Quan hệ hai ngôi và quan hệ thứ tự. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3. Điểm hữu hiệu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4. Sự tồn tại của điểm hữu hiệu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.5. Bài toán tối ưu vector (VOP). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Chương 2. Cấu trúc của tập nghiệm Pareto yếu của bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính từng khúc . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.1. Đặt bài toán. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2. Cấu trúc của tập nghiệm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2.1. Trường hợp nón thứ tự là đa diện. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2.2. Trường hợp nón thứ tự tổng quát. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 MỞ ĐẦU Tối ưu đa mục tiêu tuyến tính được nghiên cứu rộng rãi và được áp dụng để giải quyết nhiều vấn đề khác nhau trong kinh tế, tổ chức khoa học, năng lượng, ... Ta biết rằng họ các hàm tuyến tính từng khúc lớn hơn họ các hàm tuyến tính và tồn tại một lớp rộng các hàm có thể xấp xỉ bằng các hàm tuyến tính từng khúc. Vì thế việc nghiên cứu các bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính từng khúc càng có ý nghĩa quan trọng hơn. Trong không gian hữu hạn chiều, một số nhà toán học đã nghiên cứu các bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính từng khúc khi các hàm mục tiêu là lồi và nón sinh thứ tự là đa diện (xem [9, 16]). Trong khóa luận này chúng tôi nghiên cứu các bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính từng khúc trong không gian định chuẩn với thứ tự được sinh bởi một nón lồi đóng với phần trong khác rỗng. Như chúng ta đã biết, một trong những vấn đề quan trọng trong tối ưu đa mục tiêu là nghiên cứu về cấu trúc của tập nghiệm Pareto (xem [3, 5, 8, 14, 20, 21, 24]). Arrow, Barankin và Blackwell [3] đã chứng minh rằng nếu hàm mục tiêu là một ánh xạ tuyến tính giữa hai không gian hữu hạn chiều và nếu nón thứ tự và tập ràng buộc là các đa diện thì tập tất cả các nghiệm Pareto yếu là hợp hữu hạn các đa diện và là liên thông đường. Mục đích của khóa luận này là trình bày các kết quả trong bài báo [27]. Các kết quả này là một mở rộng của [3] từ trường hợp các không 1 2 gian hữu hạn chiều sang trường hợp các không gian định chuẩn. Chúng tôi sẽ chỉ ra rằng nếu hàm mục tiêu là tuyến tính từng khúc, lồi theo nón giữa hai không gian định chuẩn, nón thứ tự có phần trong khác rỗng và tập ràng buộc là đa diện thì tập các nghiệm Pareto yếu là hợp hữu hạn các đa diện và là liên thông đường. Nếu bỏ qua giả thiết về tính lồi theo nón của hàm mục tiêu, bằng phản ví dụ, chúng ta thấy rằng các kết quả trên không còn đúng. Nhưng nếu nón thứ tự là đa diện và hàm mục tiêu là tuyến tính từng khúc (không nhất thiết lồi), thì chúng tôi cũng chỉ ra rằng tập nghiệm Pareto yếu là hợp hữu hạn các đa diện. Khóa luận được chia thành hai chương. Chương 1 giới thiệu một số kiến thức cơ bản về tối ưu vector. Chương 2 trình bày cấu trúc của tập nghiệm Pareto yếu của bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính từng khúc trong không gian định chuẩn. Các ví dụ cũng được trình bày trong chương này để phân tích các kết quả đạt được. Chương 1 Bài toán tối ưu vector 1.1. Một số khái niệm cơ bản. Giả sử E là không gian tuyến tính, R là tập các số thực. Định nghĩa 1.1. Tập A ⊂ E được gọi là lồi, nếu: ∀x1 , x2 ∈ A; ∀λ ∈ R : 0 λ 1 ⇒ λx1 + (1 − λ)x2 ∈ A. Ví dụ 1.1. Các nửa không gian là các tập lồi. Hình tam giác, hình tròn trong mặt phẳng là các tập lồi. Hình cầu đơn vị trong không gian Banach là tập lồi... Nhận xét 1.1. a) coA là một tập lồi. Đó là tập lồi bé nhất chứa A; b) A lồi khi và chỉ khi A = coA. Định nghĩa 1.2. Tập C ⊂ E được gọi là nón có đỉnh tại 0 nếu: ∀x ∈ C, ∀λ > 0 ⇒ λx ∈ C. C được gọi là nón có đỉnh tại xo , nếu C − xo là nón có đỉnh tại 0. Định nghĩa 1.3. Nón C có đỉnh tại 0 được gọi là nón lồi, nếu C là một tập lồi, nghĩa là: ∀x, y ∈ C, ∀λ, µ > 0 ⇒ λx + µy ∈ C. 4 Ví dụ 1.2. Các tập sau đây trong Rn : {ξ1 , ξ2 , ..., ξn ∈ Rn : ξi 0, i = 1, ..., n} (nón orthant không âm) {ξ1 , ξ2 , ..., ξn ∈ Rn : ξi > 0, i = 1, ..., n} (nón orthant dương) là các nón lồi có đỉnh tại 0. Đó là nón lồi quan trọng trong Rn . Ngoài ra, nếu cho D ⊆ Rm là một nón lồi, nón cực dương của D được xác định bởi: D∗ := {x∗ ∈ Rm :< x∗ , x > Cho a, b ∈ Rm , a ai D 0, ∀x ∈ D} . b khi và chỉ khi a − b ∈ D; a m 0, i = 1, ..., m. Kí hiệu Rm + := {x ∈ R : x 0 khi và chỉ khi 0} và cho g : X → Rm . Hàm g được gọi là D- giống lồi trên S ⊆ X khi và chỉ khi : ∀x1 , x2 ∈ S, ∀α ∈ [0, 1], ∃x ∈ S. sao cho (1 − α)g(x1 ) + αg(x2 ) − g(x) ∈ D. Điều này được biết đến trong [13] rằng g là một hàm D- giống lồi khi và chỉ khi tập g(S) + D là lồi. Định nghĩa 1.4. Phần trong tương đối của tập A ⊂ Rn là phần trong của A trong af f A (bao affine); kí hiệu là riA. Các điểm thuộc riA được gọi là điểm trong tương đối của tập A. 5 Nhận xét 1.2. intA := {x ∈ Rn : ∃ε > 0, x + εB ⊂ A} , riA := {x ∈ af f A : ∃ε > 0, (x + εB) ∩ af f A ⊂ A} , trong đó, B là hình cầu đơn vị đóng trong Rn . Tiếp theo, chúng ta sẽ đi xem xét một số nón thường gặp Cho C là nón lồi trong không gian vector tôpô E. Kí hiệu l(C) := C ∩ (−C) (phần tuyến tính của C); clC (bao đóng của C); một tập con A ⊆ E, Ac là phần bù của A trong E, nghĩa là Ac = E\A. Định nghĩa 1.5. Chúng ta nói nón C là: (a) Nhọn nếu l(C) = 0; (b) Nón sắc nếu bao đóng của nó là nhọn; (c) Nón có giá chặt nếu C\l(C) là được chứa trong một nửa không gian mở thuần nhất; (d) Nón đúng nếu (clC) + C\l(C) ⊆ C, hoặc tương đương clC + C\l(C) ⊆ C\l(C). Ví dụ 1.3. Theo định nghĩa 1.5 1. Cho Rn là không gian Euclide n-chiều. Khi đó, nón orthant không âm Rn+ gồm tất cả các vector của Rn với toạ độ không âm là nón lồi, sắc, đóng, có giá chặt và là nón đúng. Tập {0} cũng là một nón, nhưng là nón tầm thường. 6 Tập hợp của 0 và các vector với toạ độ đầu tiên dương là một nón đúng, nhọn, có giá chặt nhưng không là nón sắc. Bất kì nửa không gian đóng thuần nhất là nón đúng, có giá chặt nhưng không là nón nhọn. 2. Cho Ω là không gian vector gồm tất cả dãy x = {xn } số thực. Cho C = {x ∈ Ω : xn 0, ∀n}, thì C là nón nhọn, lồi. Tuy nhiên, ta chưa biết nón C là nón đúng hoặc nón sắc vì ta chưa biết tôpô xác định trên không gian này. 3. Nón thứ tự từ điển: Cho lp = x ∈ Ω : x = ( 1 |xn |p ) p , 1 p < ∞. Kí hiệu C là hợp của 0 và các dãy mà số hạng đầu tiên khác không của dãy là dương. Đây là một nón lồi, còn gọi là nón thứ tự từ điển. Nó là nón nhọn nhưng không là nón đúng và cũng không phải là nón có giá chặt. Mệnh đề 1.1. Nón C là đúng khi và chỉ khi một trong các điều kiện sau thoả mãn: (a) C là đóng; (b) C\l(C) là mở, khác rỗng; (c) C là hợp của 0 và giao của các nửa không gian mở và nửa không gian đóng trong E. Chứng minh. (a) Hiển nhiên (b) Nếu C\l(C) mở thì intC = ∅ và intC = C\l(C). Do đó, ta có clC + C\l(C) = (clC) + intC ⊆ C, 7 hay C là nón đúng. (c) Giả sử, C = {0}∪(∩ {Hλ : λ ∈ Λ}), ở đây, Hλ là nửa không gian đóng hoặc mở trong E. Nếu tất cả Hλ là đóng thì điều này tương đương với C là đóng. Do đó, ta có thể giả sử ít nhất một nửa không gian là mở thì l(C) = {0} và b ∈ C\l(C) khi và chỉ khi b ∈ Hλ , ∀λ ∈ Λ. Hơn thế nữa, ta thấy a ∈ clC khi và chỉ khi a ∈ clHλ , ∀λ ∈ Λ nên clHλ + Hλ ∈ Hλ . Vậy Hλ là mở hoặc đóng thì a + b ∈ C, a ∈ C, b ∈ C\l(C). Mệnh đề được chứng minh. Định nghĩa 1.6. Cho một nón C trong không gian E. Một tập B ⊆ E sinh ra nón C và viết C = cone(B) nếu C = {tb : b ∈ B, t 0} . Hơn nữa, nếu B không chứa 0 và với mỗi c ∈ C, c = 0, tồn tại duy nhất b ∈ B, t > 0 sao cho c = tb thì B được gọi là cơ sở của C. Khi đó B là một tập hữu hạn, cone(conv(B)) được gọi là một nón đa diện. Nhận xét 1.3. Rõ ràng trong không gian hữu hạn chiều một nón có cở sở là lồi, đóng bị chặn khi và chỉ khi nó là nhọn, đóng. Tuy nhiên, nó không đúng trong không gian vô hạn chiều. Mệnh đề 1.2. Nếu E là không gian Hausdorff thì một nón với một cơ sở lồi, đóng bị chặn là nón đóng, nhọn vì vậy nó là nón đúng. Chứng minh. Trước hết ta chỉ ra rằng C là đóng. Cho dãy{cα } là một lưới từ C hội tụ tới c. Do B là một cơ sở nên tồn tại một lưới {bα } từ B và một lưới {tα } các số dương mà cα = tα bα . Dễ thấy tα là bị chặn. 8 Thật vậy, giả sử ngược lại lim tα = ∞. Vì E là không gian Hausdorff nên lưới {bα = cα /tα } hội tụ tới 0. Hơn thế nữa B là đóng, dẫn tới mâu thuẫn: 0 = lim bα ∈ B. Bằng cách này, ta có thể giả sử {tα } hội tụ tới điểm to 0. Nếu to = 0 thì từ tính bị chặn của B, lim tα bα = 0. Do đó c = 0 và hiển nhiên c ∈ C. Nếu to > 0, ta có thể giả sử tα > , ∀α, > 0. Từ bα = cα /tα hội tụ tới c/to và hơn nữa, B đóng nên vector c/to ∈ B. Do đó c ∈ C và C đóng nên C nhọn là hiển nhiên. 1.2. Quan hệ hai ngôi và quan hệ thứ tự. Cho một tập hợp E tuỳ ý, một quan hệ hai ngôi trong E được định nghĩa bởi một tập con B của tập hợp tích E × E. Điều này có nghĩa là, một phần tử x ∈ E có quan hệ với y ∈ E nếu (x, y) ∈ B. Định nghĩa 1.7. Cho B là một quan hệ hai ngôi trong E. Ta nói quan hệ này là: (a) Phản xạ nếu (x, x) ∈ B với mọi x ∈ E; (b) Đối xứng nếu(x, y) ∈ B suy ra (y, x) ∈ B với mỗi x, y ∈ E; (c) Bắc cầu nếu (x, y) ∈ B, (y, z) ∈ B suy ra (x, z) ∈ B với x, y, z ∈ B; (d) Đầy đủ hoặc liên thông nếu (x, y) ∈ B hoặc (y, x) ∈ B với mỗi x, y ∈ E, x = y; (e) Tuyến tính trong trường hợp E là không gian vector thực nếu: (x, y) ∈ B suy ra (tx + z, ty + z) ∈ B với mọi x, y, z ∈ E, t > 0; (f) Đóng trong trường hợp E là không gian vector tôpô, nếu nó là đóng như một tập con của không gian tích E × E. 9 Để làm rõ định nghĩa này, chúng ta xem xét một số ví dụ cổ điển sau. Cho E là một cộng đồng dân cư của một thành phố và chúng ta định nghĩa quan hệ hai ngôi như sau (số dân cư được gán bởi x, y, z,...) 1. (x, y) ∈ B1 nếu x, y là những người tuổi cao hoặc có tuổi. 2. (x, y) ∈ B2 nếu x, y là hai giới tính khác nhau. 3. (x, y) ∈ B3 nếu x, y là những người có họ. Ta thấy rằng B1 là phản xạ, bắc cầu, không đối xứng, đầy đủ. B2 không phản xạ, đối xứng, không bắc cầu, không đầy đủ. B3 là phản xạ, không bắc cầu, đối xứng, không đầy đủ. Định nghĩa 1.8. Quan hệ hai ngôi là một quan hệ thứ tự nếu nó là phản xạ, bắc cầu. Thật vậy, nếu B là một quan hệ thứ tự mà là tuyến tính trong một không gian vector thì tập C = {x ∈ E : (x, 0) ∈ B} là một nón lồi. Hơn nữa, nếu B là không đối xứng thì C là nhọn. Ngược lại, mỗi nón lồi trong E cho một quan hệ hai ngôi BC = {(x, y) ∈ E × E : x − y ∈ C} là phản xạ, bắc cầu và tuyến tính. Ngoài ra, nếu C là nhọn thì BC là không đối xứng. Bây giờ, chúng ta sẽ xét một vài thứ tự sinh ra bởi các nón lồi. Đôi khi chúng ta viết: x x C y thay cho x − y ∈ C; hoặc y nếu nó chắc chắn là quan hệ hai ngôi được định nghĩa bởi C; x >C y nếu x Khi intC = 0, x C y và không phải là y C C x, hay là x ∈ y + C\l(C). y nghĩa là x >K y với K = {0} ∪ intC. 10 Ví dụ 1.4. 1. Cho Rn và tập C = Rn+ . Thì BC là phản xạ, bắc cầu, tuyến tính, đóng, không đối xứng nhưng không đầy đủ. Cho x = (x1 , ..., xn ) , y = (y1 , ..., yn ) ∈ Rn : x C y khi và chỉ khi xi x >C y khi và chỉ khi xi yi với i = 1,..., n; yi với i = 1,..., n và ít nhất một bất đẳng thức là ngặt; x C y khi và chỉ khi xi > yi với mọi i = 1,..., n. 2. Trong R2 . Nếu C = R1 , 0 thì BC là phản xạ, bắc cầu, tuyến tính, đóng và đối xứng. Trong trường hợp này x C y khi và chỉ khi hai thành phần của các vector trùng nhau. Thứ tự này không đầy đủ. 3. Nón thứ tự từ điển là một quan hệ phản xạ, bắc cầu, tuyến tính đầy đủ trong lp . 1.3. Điểm hữu hiệu. Cho E là không gian vector tôpô thực với quan hệ thứ tự ( ) được sinh bởi một nón lồi C. Định nghĩa 1.9. Cho A là một tập con khác rỗng của E. Ta nói rằng: (a) x ∈ A là một điểm hữu hiệu lí tưởng (hoặc cực tiểu lí tưởng) của A tương ứng với C nếu y x, ∀y ∈ A; Tập các điểm cực tiểu lí tưởng của A được kí hiệu là IE (A, C); (b) x ∈ A là điểm hữu hiệu (cực tiểu-Pareto hoặc không cực tiểu) của A tương ứng với C nếu x y, y ∈ A thì y x; Tập các điểm hữu hiệu của A kí hiệu là E(A, C); 11 (c) x ∈ A là điểm hữu hiệu thực sự (toàn cục) của A tương ứng với C nếu tồn tại một nón lồi K = E với intK ⊇ C\l(C) sao cho x ∈ E(A, K); Tập các điểm hữu hiệu toàn cục của A được kí hiệu là P rE(A, C); (d) Giả sử intC = ∅, x ∈ A là một điểm hữu hiệu yếu của A tương ứng với C nếu x ∈ E(A, {0} ∪ intC); Tập các điểm hữu hiệu yếu của A kí hiệu là W E(A, C). Ví dụ 1.5. Cho A = (x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 1, y 0 ∪ {(x, y) : x 0, 0 B = A ∪ {(−2, −2)}. Nếu cho C = R2+ , ta có: IE(B) = P rE(B) = E(B) = W E(B) = {(−2, −2)}; IE(A) = ∅, P rE(A) = (x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 = 1, 0 > x, 0 > y , E(A) = P rE(A) ∪ {(0, −1)} ∪ {(−1, 0)}, W E(A) = E(A) ∪ {(x, y) : y = −1, x 0}. Bây giờ cho C = (R1 , 0) ⊆ R2 . Ta có : IE(B) = ∅, P rE(B) = E(B) = W E(B) = B, IE(A) = ∅, P rE(A) = E(A) = W E(A) = A. Từ định nghĩa của các điểm hữu hiệu, ta có mệnh đề sau: Mệnh đề 1.3. Cho A ⊆ E thì : (a) x ∈ IE(A) khi và chỉ khi x ∈ A và A ⊆ x + C; y −1} ; 12 (b) x ∈ IE(A) khi và chỉ khi A ∩ (x − C) ⊆ x + l(C) hoặc tương đương: ∃y ∈ A sao cho x > y. Đặc biệt khi C là nhọn, x ∈ E(A) khi và chỉ khi A ∩ (x − C) = {x}; (c) Khi C = E, x ∈ W E(A) khi và chỉ khi A ∩ (x − intC) = ∅ hoặc tương đương với ∃y ∈ A sao cho x y. Mệnh đề 1.4. Cho tập khác rỗng A ⊆ E có P rE(A) ⊆ E(A) ⊆ W E(A). Hơn nữa, nếu IE(A) = ∅ thì IE(A) = E(A) và nó là tập một điểm khi C là nhọn. Chứng minh. Lấy x ∈ P rE(A). Nếu x ∈ E(A) có y ∈ A và x − y ∈ C\l(C). Lấy nón lồi K, K = E với intK ⊆ C\l(C) và x ∈ E(A, K). Thì x − y ∈ intK ⊆ K\l(K). Điều này mâu thuẫn với x ∈ E(A, K) suy ra P rE(A) ⊆ E(A). Lấy x ∈ E(A). Nếu x ∈ W E(A) theo Mệnh đề 1.3 tồn tại y ∈ A sao cho x − y ∈ intC. Do C = E, intC ⊆ C\l(C) nên ta có x − y ∈ C\l(C). Điều này mâu thuẫn với x ∈ E(A). Vậy E(A) ⊆ W E(A). Rõ ràng, IE(A) ⊆ E(A). Nếu IE(A) = ∅, cho x ∈ IE(A) thì x ∈ E(A). Cho y ∈ E(A) thì y ≥ x vì vậy x y. Lấy một điểm bất kì z ∈ A có z x vì x ∈ IE(A) suy ra z y là y ∈ IE(A). Do đó, IE(A) = E(A). Ngoài ra, nếu C là nhọn x y và y ≥ x chỉ có thể xảy ra trường hợp x = y. Vậy IE(A) là tập một điểm. Định nghĩa 1.10. Cho x ∈ E. Tập A ∩ (x − C) được gọi là một nhát cắt A tại x và kí hiệu Ax . 13 Mệnh đề 1.5. Cho x ∈ E với Ax = ∅. Ta có : (a) IE(Ax ) ⊆ IE(A) nếu IE(A) = ∅; (b) E(Ax ) ⊆ E(A) (tương tự cho W E). Chứng minh. (a) Cho y ∈ IE(Ax ) và z ∈ IE(A) có Ax ⊆ y + C và A ⊆ z + C. Thì z ∈ Ax và z − y ∈ l(C) suy ra A ⊆ z + C = y + z − y + C = y + l(C) + C = y + C. Do đó y ∈ IE(A). (b) Giả sử y ∈ E(Ax ). Theo Mệnh đề 1.4 có Ax ∩ (y − C) ⊂ y + l(C) suy ra y − C ⊆ x − C nên A ∩ y − C ⊆ A ∩ (y − C) ∩ (x − C) ⊆ Ax ∩ (y − C) ⊆ y + l(C). Do đó y ∈ E(A). Chứng minh tương tự cho W E. Nhận xét 1.4. Quan hệ P rE(Ax ) ⊆ P rE(A) nói chung không đúng trừ một số trường hợp đặc biệt. 1.4. Sự tồn tại của điểm hữu hiệu. Định nghĩa 1.11. Cho lưới {xα : α ∈ I} từ E được gọi là lưới giảm ( tương ứng với C) nếu xα >C xβ với α, β ∈ I; β > α. Định nghĩa 1.12. Cho A ⊆ E được gọi là C- đầy đủ (tương ứng Cđầy đủ mạnh) nếu nó không có phủ dạng {(xα − clC)c : α ∈ I} (tương ứng {(xα − C)c : α ∈ I}) với {xα } là một lưới giảm trong A. 14 Định lý 1.1. Giả sử C là một nón lồi đúng và A là một tập khác rỗng trong E. Thì E(A, C) = ∅ khi và chỉ khi A có một nhát cắt C- đầy đủ và khác rỗng. Chứng minh. Nếu E(A, C) = ∅ thì mọi điểm của tập này cho ta một nhát cắt C- đầy đủ vì không tồn tại lưới giảm. Ngược lại, cho Ax khác rỗng là một nhát cắt C- đầy đủ của A. Theo Mệnh đề 1.5 thì ta chỉ cần chứng minh E(Ax , C) = ∅. Xét tập P bao gồm tất cả các lưới giảm trong A. Vì A = ∅ suy ra P = ∅. Với a, b ∈ P ta viết a b nếu b ⊆ a. Rõ ràng ( ) là quan hệ thứ tự trong P , và một xích bất kì trong P đều có cận trên. Thật vậy, giả sử {aλ ; λ ∈ Λ} là một xích trong P . Gọi B là tập tất cả các tập con hữu hạn B của Λ được sắp thứ tự bởi bao hàm, đặt aB = ∪ {aα ; α ∈ B} . Và ao = ∪ {aB : B ∈ B} . Thì ao là một phần tử của P và ao aα với mọi α ∈ Λ nghĩa là ao là một cận trên của xích này. Áp dụng bổ đề Zorn, tồn tại phần tử lớn nhất của P , kí hiệu là a∗ = {xα : α ∈ I} ∈ P . Bây giờ, giả sử ngược lại E(Ax , C) = ∅. Chúng ta sẽ chứng minh {(xα − clC)c : α ∈ I} phủ Ax . Ta chỉ ra với mỗi y ∈ Ax có α ∈ I mà (xα − clC)c chứa y. Giả sử phản chứng y ∈ xα − clC, ∀α ∈ I. Vì E(Ax , C) = ∅ có z ∈ Ax với y >C z. Do tính đúng của C nên x − α >C z, (α ∈ I). Thêm z vào lưới a∗ ta thấy rằng lưới này không thể lớn nhất, dẫn tới mâu thuẫn. Vậy định lí được chứng minh. 15 1.5. Bài toán tối ưu vector (VOP). Cho X là một tập con khác rỗng của một không gian tôpô và F là một ánh xạ đa trị từ X vào E, ở đây, E là không gian vector tôpô thực được sắp thứ tự bởi nón lồi C. Xét VOP : minF (x) với ràng buộc x ∈ X. Điểm x ∈ X được gọi là tối ưu (cực tiểu hoặc hữu hiệu) của VOP nếu F (x) ∩ E(F (X), C) = ∅. Ở đây, F (X) là hợp của các tập F (x) trên X. Các phần tử của E(F (x), C) được gọi là giá trị tối ưu của VOP. Tập các điểm hữu hiệu của VOP được kí hiệu là S(X; F ). Thay thế IE, P rE, W E cho E(F (X), C) chúng ta có các khái niệm IS(X; F ), P rS(X; F ) và W S(X; F ). Quan hệ giữa các điểm hữu hiệu, hữu hiệu thực sự và hữu hiệu yếu của VOP được trình bày trong mệnh đề sau: Mệnh đề 1.6. Cho VOP, chúng ta có các bao hàm thức sau: P rS(X; F ) ⊆ S(X; F ) ⊆ W S(X; F ). Hơn nữa, nếu IS(X; F ) = ∅ thì IS(X; F ) = S(X; F ). Chứng minh tương tự Mệnh đề 1.4 Bổ đề 1.1. Giả sử C là lồi, X là tập compact khác rỗng và F là C- liên tục trên trong X với F (x) + C là C- đầy đủ, đóng với mọi x ∈ X thì F (X) là C- đầy đủ. 16 Chứng minh. Giả sử phản chứng rằng F (X) không là C đầy đủ. Điều này có nghĩa là có một lưới giảm {aα : α ∈ I} của F (X) sao cho {(aα − cl(C))c : α ∈ I} là phủ của F (X). Lấy xα ∈ X với aα ∈ F (xα ). Không mất tính tổng quát, giả sử lim xα = x ∈ X. Khi đó, với mỗi lân cận V của F (x) trong E có một chỉ số β ∈ I sao cho aα ∈ V + C, ∀α β. Do {aα } là dãy giảm, nên aα ∈ aδ + C, ∀δ α. Từ đây suy ra: aα ∈ cl(F (x) + C) = F (x) + C, ∀α. Dẫn tới mâu thuẫn: F (x) + C không thể là C- đầy đủ. Chương 2 Cấu trúc của tập nghiệm Pareto yếu của bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính từng khúc 2.1. Đặt bài toán. Trong phần này, cho X, Y là các không gian định chuẩn và cho C ⊂ Y là nón lồi với int (C) = ∅, khi đó xác định một quan hệ thứ tứ ≤C trong Y : với y1 , y2 ∈ Y, y1 ≤C y2 ⇔ y2 − y1 ∈ C. y1 0 sao cho B (xo , εo ) ∩ i∈Io Pi = ∅. Mặt khác, lấy x˜o ∈ B (xo , εo ) và ε˜o ∈ (0, εo − xo − x˜o ) sao cho B (x˜o , ε˜o ) ∩ B (x˜o , ε˜o ) ∩ m i=1 Pi Pi = ∅. Giả sử ngược i∈I\Io Pi = ∅. Do đó, = ∅. Mâu thuẫn với giả thiết của (2.1). Bổ đề được chứng minh. Bổ đề 2.2. f là C lồi nếu và chỉ nếu Ti (x) + bi ≤C f (x) , ∀x ∈ X, 1 ≤ i ≤ m. (2.3) 20 Chứng minh. • Điều kiện đủ: Đặt Ωi := {(x, y) ∈ X × Y : Ti (x) + bi ≤C y} . Khi đó, (2.1)và (2.3) có nghĩa là epiC (f ) = m i=1 Ωi . Do đó, epiC (f ) là lồi và như vậy f là C lồi. • Điều kiện cần: Cho Io giống như trong Bổ đề 2.1. Khi đó, X = i∈Io Pi . Do đó, chúng ta chỉ cần chứng minh rằng, Ti (x) + bi ≤C f (x) , ∀x ∈ X và i ∈ Io . Lấy i ∈ Io và x ∈ X. Cho z ∈ int (Pi ) . Khi đó, tồn tại t ∈ (0, 1) đủ nhỏ sao cho z + t (x − z) ∈ Pi . Theo tính chất C - lồi của f thì Ti (z + t (x − z)) + bi = f (z + t (x − z)) ≤C (1 − t) f (z) + tf (x) = (1 − t) (Ti (z) + bi ) + tf (x) . Điều này có nghĩa là Ti (x) + bi ≤C f (x). Bổ đề được chứng minh. Bổ đề 2.3. Cho A là một tập con đóng và khác rỗng của Y . Khi đó, W E (A, C) = A ∩ bd (A + C) , trong đó, bd (.) là biên hình học tôpô. Chứng minh. Cho y ∈ W E (A, C) . Khi đó, A ∩ (y − int (C)) = ∅. Điều này có nghĩa là (A + C) ∩ (y − int (C)) = ∅ ( bởi vì int (C) + C ⊂ int (C)). Từ B (y, ε) ∩ (y − int (C)) = ∅ với mọi ε > 0, y không là điểm trong cuả A + C. Suy ra y ∈ A ∩ bd (A + C) . Vì 21 thế, W E (A, C) ⊂ A ∩ bd (A + C). Để chứng minh bao hàm thức ngược lại, cho yo ∈ A \ W E (A, C). Khi đó, tồn tại z ∈ A ∩ (yo − int (C)) . Do đó, yo ∈ z + int (C) ⊂ A + int (C) ⊂ int (A + C) và như vậy yo ∈ / bd (A + C). Điều này cho thấy rằng, W E (A, C) ⊃ A ∩ bd (A + C) . Bổ đề được chứng minh. 2.2. Cấu trúc của tập nghiệm. Trong phần tiếp theo, chúng ta nghiên cứu cấu trúc của Sw và Vw . Trước hết ta nhắc lại một kết quả cơ bản của Arrow, Barankin và Brackwell [3]: Định lý ABB. Cho X, Y là không gian hữu hạn chiều và nón sinh thứ tự C là đa diện. Gọi T : X → Y là toán tử tuyến tính bị chặn và b ∈ Y. Giả sử rằng, ánh xạ mục tiêu f (x) = T (x) + b với mọi x ∈ X và Sw là khác rỗng. Khi đó, Sw là hợp của hữu hạn các đa diện và là liên thông đường. Chúng ta sẽ trình bày các mở rộng của Định lí ABB tới các không gian vô hạn chiều và trường hợp tuyến tính từng khúc trong hai trường hợp sau: 22 2.2.1. Trường hợp nón thứ tự là đa diện. Trong mục này, ta giả thiết rằng, nón sinh thứ tự C là đa diện. Do đó, tồn tại y1∗ , ..., yp∗ ∈ Y ∗ sao cho C = {y ∈ Y : yi∗ , y ≤ 0, i = 1, .., p} . Đặt Y1 := p ∗ i=1 ker (yi ), (2.4) trong đó, ker (yi∗ ) = {y ∈ Y : yi∗ , y = 0} là hạt nhân của yi∗ . Do đó tồn tại không gian con Y2 của Y sao cho dim (Y2 ) ≤ p, Y1 ∩ Y2 = {0} và Y = Y1 + Y2 . (2.5) Dễ dàng chứng minh rằng tồn tại một hằng số M ∈ (0, +∞) sao cho y1 + y 2 ≤ M y1 + y2 với mọi (y1 , y2 ) ∈ Y1 × Y2 . (2.6) Theo (2.5) với bất kì y ∈ Y tồn tại một cặp duy nhất (y1 , y2 ) ∈ Y1 × Y2 sao cho y = y1 + y2 ; đặt G (y) := y2 . Khi đó, ánh xạ y → G (y) là toán tử tuyến tính bị chặn từ Y vào Y2 và ánh xạ G từ tập mở Y vào tập mở Y2 . Đặt C2 := {y2 ∈ Y2 : yi∗ , y2 ≤ 0, i = 1, .., p} . Khi đó, C2 = G (C). Theo (2.4) và (2.6) thì C = Y1 + C2 và int (C) = Y1 + intY2 (C2 ) , (2.7) trong đó, intY2 (C2 ) là phần trong của C2 trong Y2 . Đặt g (x) = G (f (x)) với mọi x ∈ X. (2.8) Rõ ràng, g là ánh xạ tuyến tính từng khúc từ X vào Y2 . Xét bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính từng khúc sau: C2 − min g (x) với mọi x ∈ Γ, (2.9) 23 trong đó, Γ là tập chấp nhận được của (2.2). Bổ đề 2.4. Cho x ∈ Γ. Khi đó, x là một nghiệm Pareto yếu của (2.2) nếu và chỉ nếu x là một nghiệm Pareto yếu của (2.9). Chứng minh. Cho x là một nghiệm Pareto yếu của (2.2). Khi đó, (f (x) − int (C)) ∩ f (Γ) = ∅, suy ra, (f (x) − Y1 − intY2 (C2 )) ∩ f (Γ) = ∅ (do (2.7)). Do đó, với mọi z ∈ Γ, f (z) ∈ / f (x) − Y1 − intY2 (C2 ) và như vậy, g (z) ∈ / g (x) + [f (x) − g (x) − (f (z) − g (z))] − Y1 − inty2 (C2 ) . Vì f (x) − g (x) , f (z) − g (z) ∈ Y1 nên g (z) ∈ / g (x) − intY2 (C2 ) . Điều này chứng tỏ x là một nghiệm Pareto yếu của (2.9). Để chứng minh điều ngược lại, giả sử x không là nghiệm Pareto yếu của (2.2). Khi đó, tồn tại y1 ∈ Y1 , c2 ∈ intY2 (C2 ) và a ∈ Γ sao cho f (x) − y1 − c2 = f (a) . Do đó, g (x) − c2 − g (a) = − (f (x) − g (x)) + y1 + f (a) − g (a) . Theo (2.5) thì g (x) − c2 − g (a) = 0, và như vậy (g (x) − intY2 (C2 )) ∩ g (Γ) = ∅. Điều này chứng tỏ rằng, x không là một nghiệm Pareto yếu của (2.9). Do đó mệnh đề đảo đúng. Bổ đề được chứng minh. Để chứng minh kết quả chính của mục này, chúng ta cũng cần bổ đề sau. Bổ đề 2.5. Cho P và Q tương ứng là các đa diện trong X và Y. Cho T ∈ L (X, Y ) và giả sử rằng Y là không gian hữu hạn chiều. Khi đó, T (P ) và T −1 (Q) tương ứng là đa diện trong Y và X. 24 Chứng minh. Lấy x∗1 , ..., x∗k ∈ X ∗ và l1 , ..., lk ∈ R sao cho P = {x ∈ X : x∗i , x ≤ li , i = 1, ..., k} . Đặt X1 := m ∗ i=1 ker (xi ) . Khi đó tồn tại một không gian con hữu hạn chiều X2 của X sao cho X = X1 + X2 và X1 ∩ X2 = {0} . Đặt Po = {x ∈ X2 : x∗i , x ≤ li , i = 1, ..., k} . Khi đó, Po là một đa diện không chứa đường thẳng trong X2 và P = Po + X1 . Theo [19, Định lí 19.1] nên tồn tại h1 , ..., hp , hp+1 , ..., hp+q ∈ X2 sao cho p p+q ti hi : (t1 , ..., tp , tp+1 , ..., tp+q ) ∈ Po := p+q R+ ti = 1 . và i=1 i=1 Do đó p p+q ti T (hi ) | (t1 , ..., tp+q ) ∈ T (P ) = Rp+q + ti = 1 và + T (X1 ) . i=1 i=1 Từ Y là không gian hữu hạn chiều, theo [19, Định lí 19.1] thì T (P ) là đa diện trong Y . Để chứng minh T −1 (Q) là một đa diện, lấy y1∗ , ..., yn∗ ∈ Y ∗ và r1 , ..., rn ∈ R sao cho Q = {y ∈ Y : yi∗ , y ≤ ri , i = 1, ..., n} . Khi đó, T −1 (Q) = {x ∈ X : yi∗ , T (x) ≤ ri , i = 1, ..., n} = {x ∈ X : T ∗ (yi∗ ) , x ≤ ri , i = 1, ..., n} , trong đó, T ∗ là toán tử liên tục của T. Do đó, T −1 (Q) là một đa diện trong X. Bổ đề được chứng minh. 25 Định lý 2.1. Giả sử nón sinh thứ tự C là đa diện. Khi đó, tồn tại hữu hạn các đa diện H1 , ..., Hq trong X sao cho Sw = q i=1 Hi . Do đó, Sw là đóng. Chứng minh. Lấy Pi , Ti , bi (i = 1, ..., m) và g như trong (2.1) và (2.8). m i=1 G (Ti (T Khi đó, g (Γ) = ∩ Pi ) + bi ) . Từ điều này và Bổ đề 2.5 suy ra g (Γ) là hợp của hữu hạn các đa diện trong Y2 . Do đó, g (Γ) + C2 là hợp của hữu hạn các đa diện trong Y2 và như vậy là bd (g (Γ) + C2 ). Do đó, g(Γ) + C2 là hợp hữu hạn các đa diện trong Y2 . Kết hợp với Bổ đề 2.3 suy ra tồn tại các đa diện E1 , ..., Ep trong Y2 sao cho W E (g (Γ) , C2 ) = p j=1 Ej . Theo Bổ đề 2.4 thì p Sw = Γ ∩ g −1 Γ ∩ g −1 (Ej ) . (W E (g (Γ) , C2 )) = j=1 Do đó, chúng ta chỉ cần chứng minh rằng, với mỗi số nguyên j ∈ [1, p], g −1 (Ej ) là hợp hữu hạn các đa diện trong X. Cố định một số nguyên j ∈ [1, p] và chú ý rằng, m g −1 m Pi ∩ g (Ej ) = i=1 −1 Pi ∩ (G ◦ Ti )−1 (Ej − G (bi )) . (Ej ) = i=1 Từ Bổ đề 2.5, ta có g −1 (Ej ) là hợp hữu hạn các đa diện trong X. Định lí được chứng minh. Nhận xét 2.1. Theo cách chứng minh của Định lí 2.1, ta có thể thấy rằng Vw là hợp của hữu hạn các đa diện trong Y nếu Y là không gian hữu hạn chiều. Ví dụ sau đây chỉ ra rằng Định lí 2.1 và các nhận xét ở trên không còn đúng khi nón sinh thứ tự C không là đa diện. 26 Ví dụ 2.1. Lấy X = R2 , Y = R3 . Xét C là một nón trong R3 được xác định bởi C = (t1 , t2 , t3 ) ∈ R3 : t21 + t22 1 2 ≤ 2t3 . Khi đó, C là nón lồi đóng trong R3 và int (C) khác rỗng. Đặt P1 := (t1 , t2 ) ∈ R2 : −1 ≤ t1 ≤ 0, t1 ≤ t2 ≤ −t1 ; P2 := (t1 , t2 ) ∈ R2 : 0 ≤ t2 ≤ 1, −t2 ≤ t1 ≤ t2 ; P3 := (t1 , t2 ) ∈ R2 : 0 ≤ t1 ≤ 1, −t1 ≤ t2 ≤ t1 ; P4 := (t1 , t2 ) ∈ R2 : −1 ≤ t2 ≤ 0, t2 ≤ t1 ≤ −t2 . Khi đó, mỗi tập Pi là đa diện trong R2 và 4 i=1 = [−1, 1]×[−1, 1]. Chúng ta định nghĩa f : R2 → R3 bởi     (t1 , t2 , −t1 ) , (t1 , t2 ) ∈ P1        (t1 , t2 , t2 ) , (t1 , t2 ) ∈ P2     f (t1 , t2 ) := (t1 , t2 , t1 ) , (t1 , t2 ) ∈ P3       (t1 , t2 , −t2 ) , (t1 , t2 ) ∈ P4         (t , t , 1) , (t , t ) ∈ R2 \ 1 2 1 2 4 i=1 Pi . Rõ ràng f là xác định và tuyến tính từng khúc. Trong (2.2), cho a∗j = 0 và c∗j = 0 với mỗi số nguyên j ∈ [1, n] . Khi đó, tập Γ là toàn bộ không gian X. Chúng ta chứng minh rằng Sw = {(0, 0)} ∪ (t1 , t2 ) ∈ R2 : t21 + t22 ≥ 4 (2.10) Vw = {(0, 0, 0)} ∪ (t1 , t2 , 1) ∈ R3 : t21 + t22 ≥ 4 (2.11) 27 Điều này suy ra Sw và Vw không là hợp hữu hạn các đa diện. Dễ thấy, (2.11) là kết quả trực tiếp suy ra từ (2.10). Như vậy, ta chỉ cần chứng minh (2.10) đúng. Lấy (t1 , t2 ) ∈ P1 \ {(0.0)} . Khi đó, |t2 | ≤ |t1 | và t21 + t22 < 4t21 . Từ đó suy ra f (t1 , t2 ) ∈ int (C) . Do đó, f (P1 \ {(0, 0)}) ⊂ int (C) . Tương tự có f (Pi \ {(0, 0)}) ⊂ int (C) , (i = 1, 2, 3, 4) . Vì vậy, 4 Pi \ {(0, 0)} f ⊂ int (C) . (2.12) i=1 Đặt A := (t1 , t2 ) ∈ R2 : 0 < t21 + t22 < 4 . Khi đó, f (t1 , t2 ) = (t1 , t2 , 1) ∈ int (C) với mọi (t1 , t2 ) ∈ A \ 4 i=1 Pi . Theo (2.12) thì f (A) ⊂ int (C) . (2.13) Điều này và (0, 0, 0) = f (0, 0) suy ra A ∩ Sw = ∅ tức là, Sw ⊂ {(0, 0)} ∪ (t1 , t2 ) ∈ R2 : t21 + t22 ≥ 4 . Chú ý rằng (0, 0) ∈ Sw , để chứng minh (2.10), ta chỉ cần chứng minh (t1 , t2 ) ∈ R2 : t21 + t22 ≥ 4 ⊂ Sw . Giả sử ngược lại, tồn tại (t¯1 , t¯2 ) ∈ R2 với t¯21 + t¯22 ≥ 4 và t˜1 , t˜2 ∈ R2 sao cho f (t¯1 , t¯2 ) − f t˜1 , t˜2 ∈ int (C) . (2.14) Từ f (t¯1 , t¯2 ) = (t¯1 , t¯2 , 1) ∈ / int (C), suy ra f t˜1 , t˜2 ∈ / int (C). Điều này cùng với (2.13) suy ra t˜1 , t˜2 ∈ / A. Khi đó, t˜1 , t˜2 = (0, 0) hoặc t˜21 + t˜22 ≥ 4. Do đó f t˜1 , t˜2 = (0, 0, 0) hoặc t˜1 , t˜2 , 1 , thuẫn với (2.14). 28 2.2.2. Trường hợp nón thứ tự tổng quát. Tiếp theo, trong mục này, chúng ta sẽ chứng minh rằng Định lí 2.1 vẫn đúng khi C là nón lồi đóng tổng quát với phần trong khác rỗng miễn là hàm f là C-lồi. Trước hết ta chứng minh bổ đề sau. Bổ đề 2.6. Giả sử rằng f là C- lồi. Khi đó, tồn tại y1∗ , ..., yq∗ ∈ C + \ {0} sao cho Sw là đồng nhất với tập của tất cả các nghiệm Pareto yếu của bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính từng khúc sau Rq+ − min fo (x) với x ∈ Γ, trong đó, fo (x) = y1∗ , f (x) , ..., yq∗ , f (x) (2.15) với mọi x ∈ X. Chứng minh. Với mỗi y ∗ ∈ Y ∗ bất kì, đặt λy∗ := inf y ∗ , f (x) và L (y ∗ ) := {x ∈ Γ : y ∗ , f (x) = λy∗ } . x∈Γ (2.16) Khi đó, theo [10, Định lí 5.13] ta có L (y ∗ ) . Sw = (2.17) y ∗ ∈C+ \{0} Đặt I := {1, ..., m} (trong đó, m được xét như trong (2.1)) và với mỗi i ∈ I, đặt Ci+ := y ∗ ∈ C + \ {0} : L (y ∗ ) ∩ Pi = ∅ Pi ∩ L (y ∗ ) . và Si := y ∗ ∈Ci+ (2.18) Theo (2.17) và đẳng thức đầu tiên của (2.1)thì Sw = Si . i∈I (2.19) 29 Lấy i ∈ I và y ∗ ∈ C+ i . Do (2.1), (2.16)và (2.18) ta có Pi ∩ L (y ∗ ) = {x ∈ Pi ∩ Γ : y ∗ , Ti (x) + bi = infu∈Pi ∩Γ y ∗ , T (u) + bi } . Từ Pi ∩ Γ là đa diện trong X, suy ra Pi ∩ L (y ∗ ) là một mặt của Pi ∩ Γ. Lưu ý rằng, một đa diện có hữu hạn các mặt nên tồn tại một tập con hữu hạn Di ⊂ Ci+ sao cho Si = y ∗ ∈Di Pi ∩ L (y ∗ ). Do đó, theo (2.17) và (2.19) thì tồn tại y1∗ , ..., yq∗ ∈ C + \ {0} sao cho q L (yk∗ ) . Sw = (2.20) k=1 Đặt fo : X → Rn với fo (x) = y1∗ , f (x) , ..., yq∗ , f (x) với mọi x ∈ X. Từ mỗi hàm số x → yk∗ , f (x) là lồi và tuyến tính từng khúc, suy ra fo là Rn+ - lồi và tuyến tính từng khúc. Lấy x ∈ Γ và gọi Swo là tập nghiệm Pareto yếu của (2.15). Khi đó, từ [10, Định lí 5.13] suy ra x ∈ Swo nếu và chỉ nếu tồn tại (t1 , ..., tq ) ∈ Rq+ \ {0} sao cho (t1 , ..., tq ) , fo (x) = inf { (t1 , ..., tq ) , fo (u) : u ∈ Γ} , tức là, q q tk yk∗ , f (x) = inf k=1 tk yk∗ , f (u) : u ∈ Γ . k=1 Do đó q x∈ Sωo tk , yk∗ ⇔x∈L với (t1 , ..., tq ) ∈ Rq+ \ {0} . k=1 Từ (2.17) và (2.20) suy ra Sw = Swo . Bổ đề được chứng minh. Định lí sau đây trực tiếp được suy ra từ Định lí 2.1 và Bổ đề 2.6: 30 Định lý 2.2. Giả sử f là C- lồi. Khi đó, Sw là hợp của hữu hạn các đa diện trong X. Mệnh đề 2.1. Giả sử f là C - lồi và Y là không gian hữu hạn chiều. Khi đó, Vw là hợp của hữu hạn các đa diện trong Y . Chứng minh. Theo Định lí 2.2, tồn tại hữu hạn các đa diện E1 , ..., Ep trong X sao cho Sw = p k=1 Ek . Do đó, Vw = p k=1 f (Ek ). Từ (2.1) suy ra p p n f (Pi ∩ Ek ) Vw = k=1 i=1 n (Ti (Pi ∩ Ek )) + bi . = k=1 i=1 Điều này cùng với Bổ đề 2.5 chứng tỏ rằng Vw là hợp của hữu hạn các đa diện trong Y. Mệnh đề được chứng minh. Theo Ví dụ 2.1, có thể thấy rằng cả Định lí 2.1 và Mệnh đề 2.1 đều không đúng nếu không có giả thiết về tính C- lồi của f . Sau đây là các kết quả liên thông đường của Sw và Vw . Định lý 2.3. Giả sử f là C-lồi. Khi đó, Sw và Vw là liên thông đường. Để chứng minh Định lí 2.3, chúng ta sử dụng bổ đề sau. Bổ đề 2.7. Cho Z là không gian định chuẩn và K ⊂ Z là một nón đa diện với int (K) = ∅. Giả sử A ⊂ Z là một đa diện. Khi đó, W E (A, K) là liên thông đường. ∗ ∗ Chứng minh. Lấy z1∗ , ..., zm , zm+1 , ..., zn∗ ∈ Z ∗ và c1 , ..., cm ∈ R sao cho A = {z ∈ Z : zi∗ , z ≤ ci , i = 1, ..., m} 31 và K = {z ∈ Z : zi∗ , z ≤ 0, i = m + 1, ..., n} . Đặt Z1 := n ∗ i=1 ker (zi ). Khi đó, tồn tại một không gian con hữu hạn chiều Z2 của Z sao cho Z = Z1 + Z2 và Z1 ∩ Z2 = {0} . Đặt Ao = {z ∈ Z2 : zi∗ , z ≤ ci , i = 1, ..., m} và Ko = {z ∈ Z2 : zi∗ , z ≤ 0, i = m + 1, ..., n} . Khi đó, A = Z1 + Ao , K = Z1 + Ko , Ao là một đa diện trong Z2 và Ko là một nón đa diện trong Z2 . Ngoài ra, int (K) = intZ2 (Ko ) + Z1 . Ta chứng minh rằng, W E (A, K) = W E (Ao , Ko ) + Z1 . (2.21) Từ điều này cùng với Định lí ABB chứng tỏ rằng, W E (Ao , Ko ) là liên thông đường suy ra W E (A, K) là liên thông đường. Ta còn phải chứng tỏ (2.21) là đúng. Lấy x ∈ W E (A, K). Khi đó, (x − int (K)) ∩ A = ∅. Cho ao ∈ Ao và z1 ∈ Z1 với x = ao + z1 , suy ra (ao + z1 − intZ2 (Ko ) − Z1 ) ∩ (Ao + Z1 ) = ∅. Do z1 − Z1 = −Z1 nên điều này có nghĩa là (ao − intZ2 (Ko )) ∩ Ao = ∅, do đó, ao ∈ W E (Ao , Ko ) suy ra x = ao + z1 ∈ W E (Ao , Ko ) + Z1 . Vì vậy, W E (A, K) ⊂ W E (Ao , Ko ) + Z1 . 32 Để chứng minh bao hàm thức ngược lại, giả sử phản chứng tồn tại zo ∈ W E (Ao , Ko ) và z1 ∈ Z1 sao cho zo + z1 ∈ / W E (A, K) . Từ int (K) = intZ2 (Ko ) + Z1 và A = Ao + Z1 , tồn tại e ∈ intZ2 (Ko ), u, v ∈ Z1 và ao ∈ Ao sao cho zo + z1 − e − u = ao + v, hay là zo − e − ao = u + v − z1 . Chú ý rằng với zo − e − a0 ∈ Z2 , u + v − z1 ∈ Z1 và từ Z1 ∩ Z2 = {0} thì zo − e = ao . Vì vậy, ao ∈ zo − intZ2 (Ko ), mâu thuẫn với zo ∈ W E (Ao , Ko ). Điều này chứng tỏ rằng (2.21) là đúng. Bổ đề đã được chứng minh. Chứng minh Định lý 2.3. Giử sử fo và q giống như trong Bổ đề 2.6. Đặt K = X × Rq+ . Khi đó, K là một nón đa diện trong X × Rq . Ta chứng minh rằng, Sw = x : (x, y) ∈ W E epiRq+ (fo ) ∩ (Γ × Rq ) , K . (2.22) Lấy x ∈ Sw . Khi đó, theo Bổ đề 2.6, x là một nghiệm Pareto yếu của (2.15). Do đó, (fo (x) − fo (Γ)) ∩ int (Rq+ ) = ∅. Điều này có nghĩa là, (x, fo (x)) − (u, fo (u)) ∈ / X × int (Rq+ ) = int (K) với mọi u ∈ Γ. Lưu ý rằng, int (K) + h ⊂ int (K) với mọi h ∈ K, điều này suy ra (x, fo (x)) − (u, fo (u) + c) ∈ / int (K) với mọi u ∈ Γ và c ∈ Rq+ . Tức là, (x, fo (x)) ∈ W E epiRq+ (fo ) ∩ (Γ × Rq ) , K . Vì thế, Sw ⊂ x : (x, y) ∈ W E epiRq+ (fo ) ∩ (Γ × Rq ) , K . (2.23) 33 Ngược lại, cho (x, y) ∈ W E epiRq+ (fo ) ∩ (Γ × Rq ) , K . Khi đó, x ∈ Γ và tồn tại c ∈ Rq+ sao cho y = fo (x) + c, hơn nữa, (x, fo (x) + c) − epiRq+ (f0 ) ∩ (Γ × Rq ) ∩ (X × int (Rq+ )) = ∅. Do đó, (fo (x) + c − (f (Γ) + Rq+ )) ∩ int (Rq+ ) = ∅, và như vậy (fo (x) − fo (Γ)) ∩ int (Rq+ ) = ∅. Vì vậy, x là một nghiệm Pareto yếu của (2.15). Theo Bổ đề 2.6 thì x ∈ Sw . Điều này cùng với (2.23) chứng tỏ (2.22) đúng. Chú ý rằng từ (2.1) và Bổ đề 2.2 ta có yk∗ , f (x) = max yk∗ , Ti (x) + bi với 1 ≤ k ≤ q, 1≤i≤m ta có epiRq+ (fo ) là một đa diện trong X ×Rq . Do đó, epiR+q (fo )∩(Γ × Rq ) là một đa diện trong X × Rq . Theo Bổ đề 2.7 thì W E epiRq+ (fo ) ∩ (Γ × Rq ) , K là liên thông đường. Điều này cùng với (2.22) chứng tỏ Sw cũng là liên thông đường. Lưu ý rằng, một ánh xạ tuyến tính từng khúc là liên tục. Từ tính liên thông đường của Sw , dễ dàng kiểm tra được Vw = f (Sw ) cũng là liên thông đường. Định lí được chứng minh. ✷ Trong Định lí 2.3, giả thiết C lồi không thể bỏ được. Để thấy điều này, ta xét ví dụ sau. Ví dụ 2.2. Cho X = Y = R và C = R+ . Lấy f (x) = 0 nếu x ∈ R \ (−1; 1) và f (x) = 1 − |x| nếu x ∈ [−1; 1] . Khi đó, Sw = R \ (−1; 1) là không liên thông. 34 Nhận xét 2.2. Định lí 2.1, 2.2 và 2.3 cải tiến và tổng quát hóa các kết quả của Arrow, Barankin và Brackwell, nó là sự mở rộng từ trường hợp tuyến tính đến trường hợp tuyến tính từng khúc và tổng quát từ trường hợp hữu hạn chiều sang vô hạn chiều. Tiếp theo, chúng ta xét trường hợp f là tuyến tính. Định lý 2.4. Giả sử tồn tại T ∈ L (X, Y ) và b ∈ Y sao cho f (x) = ∗ T (x) + b với mọi x ∈ X. Khi đó, tồn tại y1∗ , ..., ym ∈ C+ \ {0} sao cho L yj∗ là một mặt của Γ, (j = 1, ..., m) và Sw = m j=1 L yj∗ , trong đó, L (y ∗ ) giống như trong (2.16). Chứng minh. Theo (2.20) trong phần chứng minh của Bổ đề 2.6 thì tồn ∗ tại y1∗ , ..., ym ∈ C+ \ {0} sao cho Sw = m j=1 L yj∗ . Do đó ta chỉ cần chứng minh rằng mỗi L yj∗ là một mặt của Γ. Do tính tuyến tính của f và định nghĩa của L yj∗ , dễ dàng chứng minh được rằng, L yj∗ = x ∈ Γ : yj∗ , T (x) = min y ∗ , T (u) u∈P . Điều này chứng tỏ L yj∗ là một mặt của Γ. Định lí được chứng minh. Nhận xét 2.3. Nếu bỏ giả thiết về tính tuyến tính của f thì Định lí 2.4 không còn đúng. Ví dụ sau chứng tỏ điều này. Ví dụ 2.3. Cho X = Y = R, C = [0, +∞) , Γ = [−1, 1] và f (x) = |x| với mọi x ∈ X. Dễ thấy rằng, Sw = {0} không là một mặt của Γ. Kết luận Khóa luận trình bày một số khái niệm cơ bản về lý thuyết tối ưu vector và một số dạng mở rộng của Định lý ABB. Cụ thể: Chương 1 trình bày một số kiến thức cơ bản trong lý thuyết tối ưu vector như: Tập lồi, nón, quan hệ thứ tự, các điểm hữu hiệu và sự tồn tại nghiệm của bài toán tối ưu vector. Chương 2: Mục 2.1 trình bày bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính từng khúc và một số tính chất cơ bản được sử dụng trong phần sau. Mục 2.2 nghiên cứu cấu trúc của tập nghiệm của bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính từng khúc trong hai trường hợp: Mục 2.2.1 khảo sát cấu trúc của tập nghiệm của bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính từng khúc trong trường hợp nón sinh thứ tự là một đa diện. Mục 2.2.2 nghiên cứu cấu trúc tập nghiệm của lớp bài toán này với trường hợp nón sinh thứ tự tổng quát của hàm mục tiêu là lồi theo nón. Các ví dụ được đưa ra để phân tích các kết quả được trình bày trong khóa luận. 35 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu Tiếng Việt [1] Giải tích lồi, Đỗ Văn Lưu, Phan Huy Khải, NXB Khoa học kỹ thuật, 2000. [B] Tài liệu Tiếng Anh [2] P. Armand, Finding all maximal efficient faces in multiobjecture linear programming, Math. Program., 61 (1993), pp.357-375. [3] K. J. Arrow, E. W. Barankin and D. Blackwell, Admissible points of convex sets, Contribution to the Theory of Games, Edited by H. W. Kuhn and A. W. Tucker, Princeton University Press, Princeton, New Jersey, 1953, pp.87-92. [4] H. P. Benson and E. Sun, Outcome space partition of the weight set in multiobjecture linear programming, J. Optim. Theory Appl., 105 (2000), pp. 17-36. [5] G. R. Bitran and T. L. Magnanti, The structure of admissible points with respect to cone dominance, J. Optim. Theory and Appl., 29 (1979), pp.573-614. [6] F. H. Clarke, Optimization and Nonsmooth Analysis, Wiley, New York, 1983 36 37 [7] S. I. Gass and P. G. Roy, The compromise hypersphere for multiobjecture linear programming, European J. Oper. Res., 144 (2003), pp.1105-479. [8] X. H. Gong, Connectedness of the efficient solution sets of a convex vector optimzation problem in normed spaces, Nonlinear Anal, 23 (1994), pp.1105-1114. [9] H. W. Hamacher and S. Nickel, Multiobjecture planar location problems, Europea J. Oper. Res., 94 (1996), pp.66-86. [10] J. Jahn, Vector Optimization: Theory, Applications and Extensions, Springer - Verlag 2004. [11] B. Jimenez, Strict efficiency in vector optimzation, J. Math. Anal. Appl., 265 (2002), pp.264-284. [12] B. Jimenez, Strict minimality conditions in nondifferentiable multiobjective programming, J. Optim. Theory Appl., 116 (2003), pp.99116. [13] D. T. Luc, Theory of Vector Optimization, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 1989. [14] D. T. Luc, Contractibilty of efficient point sets in normed spaces, Nonlinear Anal., 15(1990), pp.527-535. [15] E. K. Makarov and N. N. Rachkovski, Efficient sets of convex compacta are arewise connected, J. Optim. Theory Appl., 110 (2001), pp.159-172. 38 [16] S. Nickel and M. M. Wiecek, Multiple objective programming with piecewise linear functions, J. Multi-Crit. Decis. Anal., 8 (1999), pp.322-332. [17] G. Perez etal, Management of surgical waiting lists through a possibilistic linear multiobjective programming problem, App. Math. Comput., 167 (2005), pp.477-495. [18] B. T. Polyak, Introduction to Optimization, Optimization Software, inc., Publications Division, New York, 1987. [19] R. T. Rockafellar, Convex Analysis, Princenton Univ. Press, Princenton, New Jersey, 1970. [20] W. Song, Connectibility of efficient solution sets in vector optimization of set-valued mappings, Optimization, 39 (1997), pp.1-11. [21] E. J. Sun, On the connectedness of efficient set for strictly quasiconvex vector optimization problems, J. Optim. Theory Appl., 89 (1996), pp.475-481. [22] L. V.Thuan and D. T. Luc, On sensitivity in linear multiobjective programming, J. Optim. Theory Appl., 107 (2000), pp.615-626. [23] M. Zelenny, Linear Multiobjecture Programming, Lecture Notes in Econimics and Mathematical Systems, Vol.95, SPringer-Verlag, New York, 1974. [24] X. Y. Zheng, Contractibilty and connectedness of efficient point sets, J. Optim. Theory Appl., 104 (2000), pp.717-737. 39 [25] X. Y. Zheng and K. F. Ng, metric regularity and constraint qualifications for convex inequalities on Banach sapces, SIMAM J. Optim. 14 (2003), pp.757-772. [26] X. Y. Zheng, X. M. Yang and K.L. Teo, Sharp minima for multiobjective optimization in Banach Spaces, Set-Valued Anal., In press. [27] X. Y. Zheng and X. Q. Yang, The structure of weak Pareto solution sets in piecewise linear multiobjective optimization in normed spaces, Science in China Series A: Mathematics 51.7 (2008), 1243– 1256. [...]... trúc của tập nghiệm Pareto yếu của bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính từng khúc 2.1 Đặt bài toán Trong phần này, cho X, Y là các không gian định chuẩn và cho C ⊂ Y là nón lồi với int (C) = ∅, khi đó xác định một quan hệ thứ tứ ≤C trong Y : với y1 , y2 ∈ Y, y1 ≤C y2 ⇔ y2 − y1 ∈ C y1 C z Do tính đúng của C nên x − α >C z, (α ∈ I) Thêm z vào lưới a∗ ta thấy rằng lưới này không thể lớn nhất, dẫn tới mâu thuẫn Vậy định lí được chứng minh 15 1.5 Bài toán tối ưu vector (VOP) Cho X là một tập con khác rỗng của một không gian tôpô và F là một ánh xạ đa trị từ X vào E, ở đây, E là không gian vector tôpô thực được sắp thứ tự bởi nón lồi C Xét... Y2 Xét bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính từng khúc sau: C2 − min g (x) với mọi x ∈ Γ, (2.9) 23 trong đó, Γ là tập chấp nhận được của (2.2) Bổ đề 2.4 Cho x ∈ Γ Khi đó, x là một nghiệm Pareto yếu của (2.2) nếu và chỉ nếu x là một nghiệm Pareto yếu của (2.9) Chứng minh Cho x là một nghiệm Pareto yếu của (2.2) Khi đó, (f (x) − int (C)) ∩ f (Γ) = ∅, suy ra, (f (x) − Y1 − intY2 (C2 )) ∩ f (Γ) = ∅ (do ... Chương 2: Mục 2.1 trình bày toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính khúc số tính chất sử dụng phần sau Mục 2.2 nghiên cứu cấu trúc tập nghiệm toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính khúc hai trường hợp: Mục. .. thức tối ưu vector Chương trình bày cấu trúc tập nghiệm Pareto yếu toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính khúc không gian định chuẩn Các ví dụ trình bày chương để phân tích kết đạt Chương Bài toán tối. .. hàm tuyến tính khúc Vì việc nghiên cứu toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính khúc có ý nghĩa quan trọng Trong không gian hữu hạn chiều, số nhà toán học nghiên cứu toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính