Tính khả vi và khả vi chặt
Cho X, Y là các không gian Banach, ánh xạ f : X → Y được gọi là khả vi Fréchet tại x¯ ∈ X nếu tồn tại một phiếm hàm tuyến tính liên tục ∇f(¯x) : X → Y, được gọi là đạo hàm Fréchet của f tại x¯, sao cho giới hạn khi x tiến đến x¯ của f(x) - f(¯x) - ∇f(¯x)(x - x¯) bằng 0.
Đạo hàm Fréchet là khái niệm cơ bản trong giải tích, trong khi khái niệm về khả vi chặt ít được biết đến hơn Một ánh xạ f : X → Y được gọi là khả vi chặt tại điểm x¯ nếu nó có đạo hàm Fréchet.
∇f(¯x) tại x¯ và nếu x→¯limx u→¯ x f(x)ưf(u)ư ∇f(¯x)(xưu)
Nếu một hàm số f khả vi chặt tại một điểm nào đó, thì f cũng sẽ khả vi Fréchet tại điểm đó Tuy nhiên, điều ngược lại không đúng, vì tồn tại những hàm số khả vi Fréchet mà không phải khả vi chặt.
Ví dụ 1.1 Cho f : R →R được cho bởi công thức f(x)
x 2 nếu x là số hữu tỉ,
0 nếu x là số vô tỉ.
Tại điểm x¯ = 0, hàm f được xác định là khả vi Fréchet nhưng không khả vi chặt Cụ thể, đạo hàm Fréchet tại x¯ được biểu diễn bởi ∇f(¯x) = 0 Để chứng minh rằng f không khả vi chặt tại x¯ = 0, ta xem xét hai dãy xk = 1/k và uk = √(2/k^2 + 1/k) với k = 1, 2, 3,
Khi đó, nếu (1.1) nghiệm đúng thì ta phải có
√2, mâu thuẫn Vậy f không khả vi chặt tại x¯= 0.
Nhắc lại rằng hàm f được gọi là thuộc lớp C 1 nếu f khả vi liên tục. Khi đó ta có kết quả sau:
Mệnh đề 1.1 (Xem [5, Vol I, tr 19]) Nếu f ∈ C 1 , tức là f khả viFrộchet trong lõn cận của x¯, và ∇f(ã) liờn tục trong lõn cận ấy, thỡ f khả vi chặt tại x¯.
Mọi ánh xạ khả vi chặt tại điểm x¯ đều là liên tục Lipschitz xung quanh x¯, hay còn được gọi là Lipschitz địa phương Điều này có nghĩa là tồn tại một lân cận U của x¯ và một hằng số l > 0 sao cho tính chất Lipschitz được đảm bảo trong khu vực này.
Nón pháp tuyến và Dưới vi phân bậc nhất
Nón pháp tuyến
Cho X là không gian Banach, không gian liên hợp thứ nhất và không gian liên hợp thứ hai của X được kí hiệu lần lượt là X ∗ và X ∗∗ Cho
Ω là một tập con khác rỗng của X Với x¯ ∈ Ω ta định nghĩa nón pháp tuyến Fréchet (Fréchet normal cone) của Ω tại x¯ là tập
Nb(¯x; Ω) := nx ∗ ∈ X ∗ | lim sup x−→ Ω x ¯ hx ∗ , x−xi¯
||x−x||¯ ≤ 0o, ở đóx −→ Ω x¯có nghĩa làx → x¯và x ∈ Ω Nếu x /¯∈ Ω, ta đặtNb(¯x; Ω):=∅.Nhận xét 1.2 Tập Nb(¯x; Ω) là lồi với mọi x¯∈ Ω.
Nhắc lại rằng tập Ω ⊂ X được gọi là lồi địa phương xung quanh x¯ nếu tồn tại một lân cận U của x¯ sao cho U ∩Ω là tập lồi.
Mệnh đề 1.2 (Xem [5, Vol I, tr 6]) Cho Ω là lồi địa phương xung quanh x¯ Khi đó tập Nb(¯x; Ω) trùng với nón pháp tuyến theo nghĩa giải tích lồi, tức là
Sau đây là một số ví dụ tính toán các nón pháp tuyến trong trường hợp Ω là tập lồi và Ω là tập không lồi.
Ví dụ 1.2 Cho Ω = (x1, x2) ∈ R 2 | x1 ≥ 0, x2 ≥0 và x¯ = (0,0). Trong trường hợp này, Ω là tập lồi Vì thế, theo Mệnh đề 1.2,
Ví dụ 1.3 Cho Ω = {(x 1 ,0)∈ R 2 | x 1 ≥ 0} ∪ {(x 1 ,0) ∈ R 2 | x 2 ≥ 0}. Đầu tiên, xét tại x¯ = (0,0) Giả sử (x ∗ 1 , x ∗ 2 ) ∈ Nb(¯x; Ω) Khi đó lim sup
(u 1 ,u 2 )−→ Ω (0,0) x ∗ 1 u 1 + x ∗ 2 u 2 pu 2 1 +u 2 2 ≤ 0 (1.2) Lấy (u k 1 , u k 2 ) = (1/k,0) ∈ Ω, k ∈ N, ta có (u k 1 , u k 2 ) →(0,0) khi k → ∞.
Do đó x ∗ 1 ≤ 0 Lấy (u k 1 , u k 2 ) = (0,1/k) ∈ Ω, k ∈ N, ta có (u k 1 , u k 2 ) →
Do đó, x ∗ 2 ≤ 0 Ngược lại, với (x ∗ 1 , x ∗ 2 ) ∈ R 2 mà x ∗ 1 ≤ 0 và x ∗ 2 ≤ 0 thì (x ∗ 1 , x ∗ 2 ) nằm trong nón pháp tuyến Fréchet Nb(¯x; Ω) Vậy
Trong trường hợp tổng quát, với (x 1 , x 2 ) ∈ Ω, ta có
Dưới vi phân
Cho X là không gian Banach, xét hàm ϕ : X →R nhận giá trị trong tập số thực suy rộng R = [−∞,+∞] Miền hữu hiệu (domain) và trên đồ thị (epigraph) của ϕ tương ứng được cho bởi domϕ := {x ∈ X | ϕ(x) < ∞}, epiϕ := {(x, à) ∈ X ìR | à ≥ϕ(x)}.
Hàm ϕ được gọi là chính thường (proper) nếu domϕ6= ∅ và ϕ(x) < ∞ với mọi x ∈ X.
Cho x¯ ∈ X và |ϕ(¯x)| < ∞, dưới vi phân Fréchet (Fréchet subdiffer- ential) của ϕ tại x¯ được định nghĩa bởi
∂ϕ(¯b x) := nx ∗ ∈ X ∗ | (x ∗ ,−1) ∈ Nb((¯x, ϕ(¯x)); epiϕ)o (1.3) Trong trường hợp|ϕ(¯x)| = ∞, ta quy ước rằng tập∂ϕ(¯b x)là tập rỗng.
Nhận xét 1.3 (i) (Xem [5, Vol I, tr 90]) Dưới vi phân Fréchet của ϕ tại x¯ có thể được biểu diễn dưới dạng
(ii) (Xem [5, Vol I, tr 95]) Nếu ϕ là hàm lồi thì
∂ϕ(¯b x) ={x ∗ ∈ X ∗ | hx ∗ , x−xi ≤¯ ϕ(x)−ϕ(¯x), ∀x ∈ X}, tức là dưới vi phân Fréchet của ϕ tại x¯ trùng với dưới vi phân của ϕ tại ¯ x theo nghĩa Giải tích lồi.
Nếu ϕ là khả vi Fréchet, thì ta có các kết quả sau.
Mệnh đề 1.3 (Xem [5, Vol I, tr 90]) Choϕ: X → Rvới |ϕ(¯x)| < ∞. Khi đó, ∂ϕ(¯b x) 6= ∅ nếu và chỉ nếu ϕ khả vi Fréchet tại x¯ Trong trường hợp này, ta có ∂ϕ(¯b x) = {∇ϕ(¯x)}.
Hàm số ϕ : R → R được định nghĩa là ϕ(x) = −|x|, với epiϕ = {(x1, x2) ∈ R² | x2 ≥ −|x1|} là một tập không lồi Gọi Ω = epiϕ và xét tại điểm x¯ = 0 Để tính dưới vi phân Fréchet của hàm ϕ tại x¯, trước tiên cần xác định nón pháp tuyến Fréchet của Ω tại x¯.
Giả sử (x ∗ 1 , x ∗ 2 ) ∈ Nb(¯x; Ω) Khi đó lim sup
Do đó x ∗ 1 ≤0 Lấy (u k 1 , u k 2 ) = (−1/k,0)∈ Ω, k ∈ N, khi đó ta cũng có (u k 1 , u k 2 ) →(0,0) khi k → ∞ Từ (1.4) ta có
Do đó, x ∗ 1 ≥ 0 và kết hợp với (1.5) cho ta x ∗ 1 = 0 Từ tính chất đối xứng, x ∗ 2 cũng bằng 0 Ngược lại, nếu (x ∗ 1 , x ∗ 2 ) = (0,0) thì (1.4) được thỏa mãn, dẫn đến Nb(¯x; Ω) = {(0,0)} Tuy nhiên, theo công thức dưới vi phân Fréchet, không thể tìm được x ∗ ∈ R 2 thỏa mãn (1.3), tức là ∂ϕ(¯b x) = ∅.
Đối đạo hàm và Dưới vi phân bậc hai
Cho F : X ⇒ Y là ánh xạ đa trị giữa các không gian Banach.
Dựa trên các khái niệm về nón pháp tuyến đã được trình bày, chúng ta có thể định nghĩa đối đạo hàm Fréchet của ánh xạ đa trị Cụ thể, đối đạo hàm Fréchet (Fréchet coderivative) của F tại điểm (¯x,y)¯ ∈ gphF được ký hiệu là ánh xạ đa trị Db ∗ F(¯x,y).
Y ∗ ⇒ X ∗ được cho bởi công thức
Nếu (¯x,y¯) ∈/ gphF thì ta quy ước rằng tập Db ∗ F(¯x,y)(y¯ ∗ ) là rỗng, với mọi y ∗ ∈ Y ∗
Ví dụ 1.5 Xét hàm số thực ϕ : R →R, ϕ(x) = |x|, và ánh xạ đa trị F : R ⇒ R được cho bởi công thức
Tại điểm (¯x,y) = (0,¯ 0) ∈ gphF, ta có
∅ nếu y ∗ < 0, [−y ∗ , y ∗ ] nếu y ∗ ≥ 0. Định nghĩa 1.3 (Xem [5, Vol I, tr 122]) Cho ϕ : X → R là hàm số hữu hạn tại x.¯ Với mọi y¯∈ ∂ϕ(¯b x), ánh xạ ∂b 2 ϕ(¯x,y) :¯ X ∗∗ ⇒ X ∗ được cho bởi
∂b 2 ϕ(¯x,y)(u) = (¯ Db ∗ ∂ϕ)(¯b x,y)(u)¯ (u ∈ X ∗∗ ) được gọi là dưới vi phân bậc hai Fréchet (Fréchet second-order subdif- ferential) của ϕ tại x¯ tương ứng với y.¯
Trong trường hợp∂ϕ(¯b x) = {¯y}, ta có thể viết∂b 2 ϕ(¯x,y)(u) =¯ ∂b 2 ϕ(¯x)(u). Nếu ϕ khả vi Fréchet bậc hai tại x¯, khi đó
∂b 2 ϕ(¯x)(u) ={(∇ 2 ϕ(¯x)) ∗ u}, ở đó (∇ 2 ϕ(¯x)) ∗ là toán tử liên hợp của toán tử (∇ 2 ϕ(¯x)) Trong trường hợp X là không gian Hilbert, ta có
Một số kết quả bổ trợ
Cho hàm ϕ: X →R là hàm chính thường Nhắc lại rằng:
Hàm ϕ là được gọi là lồi (convex) nếu domϕ là lồi và bất đẳng thức Jensen ϕ((1−t)x 1 +tx 2 ) ≤ (1−t)ϕ(x 1 ) +tϕ(x 2 ) đúng với mọi x 1 , x 2 trong domϕ và t∈ [0,1].
Hàm ϕ được gọi là lồi mạnh (strongly convex) nếu tồn tại số dương
` > 0 sao cho ϕ((1−t)x 1 +tx 2 ) ≤ (1−t)ϕ(x 1 ) +tϕ(x 2 )−`(1−t)tkx−yk 2
2 với mọi x 1 , x 2 ∈ domϕ, và với mọi t ∈ [0,1]. Định lý 1.1 Giả sử hàm chính thường ϕ : X →R khả vi trên tập mở domϕ Khi đó,
(i) ϕ là hàm lồi nếu và chỉ nếu domϕ lồi và h∇ϕ(x), y−xi ≤ ϕ(y)−ϕ(x), ∀x, y ∈ domϕ.
(ii) ϕ là hàm lồi mạnh thì h∇ϕ(x)− ∇ϕ(y), x−yi ≥ l||x−y|| 2 , ∀x, y ∈ domϕ.
Giả sử ϕ là hàm lồi, ta có thể dễ dàng thấy rằng tập xác định của ϕ cũng là lồi Cho x, y ∈ domϕ tùy ý và đặt h = y−x Với mỗi t ∈ [0,1], do tính chất lồi của ϕ, ta có ϕ(x+th) = ϕ[ty + (1−t)x] ≤ tϕ(y) + (1−t)ϕ(x).
Khi t ∈ (0,1), ta có thể chia cả hai vế của bất đẳng thức cho t, dẫn đến ϕ(x+th)−ϕ(x) t ≤ ϕ(y)−ϕ(x) Do hàm ϕ khả vi tại điểm x, ta có h∇ϕ(x), hi = lim t→0 ϕ(x+th)−ϕ(x) t.
Từ đó suy ra h∇ϕ(x), y−xi ≤ ϕ(y)−ϕ(x).
Ngược lại, lấy x, y ∈ domϕ tùy ý, t∈ [0,1], và đặt z := (1−t)x+ty. Một mặt, do h∇ϕ(z), y−zi ≤ ϕ(y)−ϕ(z), nên th∇ϕ(z), y−zi ≤ t[ϕ(y)−ϕ(z)] (1.6)
Mặt khác, do h∇ϕ(z), x −zi ≤ ϕ(x)−ϕ(z), nên
(1−t)h∇ϕ(z), x−zi ≤ (1−t)[ϕ(x)−ϕ(z)] (1.7) Cộng vế với vế của (1.6) và (1.7), chúng ta thu được bất đẳng thức
Chuyển vế của bất đẳng thức và từ cách biểu diễn của z, ta suy ra hàm ϕ là hàm lồi.
(ii) Từ khẳng định (i), ta có h∇ϕ(x), x −yi ≥ ϕ(y)−ϕ(x), ∀x, y ∈ domϕ.
Hơn nữa do ϕ là hàm lồi mạnh nên với t= 1
Không gian Banach X được gọi là không gian Asplund nếu mọi hàm lồi, liên tục ϕ : U → R xác định trên một tập con lồi mở U của X là khả vi Fréchet trên một tập con trù mật của U.
Trên đây là định nghĩa của không gian Asplund, tuy nhiên ta hay dùng các kết quả sau.
Nhận xét 1.4 Các tính chất sau nghiệm đúng (Xem [5, Vol I, tr 196]): (i) Mọi không gian Banach phản xạ đều là không gian Asplund.
(ii) Mọi không gian Banach có hàm chuẩn khả vi Fréchet tại những điểm khác 0, đều là không gian Asplund.
Cho X là không gian tôpô, bài toán tối ưu không ràng buộc được định nghĩa là min{ϕ(x) | x ∈ X}, với ϕ : X → R là hàm khả vi liên tục Điểm x¯ ∈ X được xem là nghiệm địa phương của bài toán (P) nếu tồn tại lân cận U của x¯ sao cho ϕ(¯x) ≤ ϕ(x) với mọi x ∈ U Nếu điều kiện ϕ(¯x) ≤ ϕ(x) được thỏa mãn với mọi x ∈ X, thì x¯ được gọi là nghiệm toàn cục của bài toán (P).
Phần cuối chương, chúng tôi nhắc lại một số kiến thức phục vụ cho việc chứng minh kết quả chính của các chương sau.
Quy tắc Fermat: Cho hàm ϕ : X → R Nếu ϕ đạt cực tiểu địa phương tại x¯∈ X và khả vi tại x¯ thì ∇ϕ(¯x) = 0.
Tương tự như định nghĩa về tính chất nửa xác định dương của ma trận thực, ánh xạ đa trị T : X ⇒ X ∗ được coi là nửa xác định dương nếu điều kiện hz, ui ≥ 0 được thỏa mãn với mọi u ∈ X và z ∈ T(u) Đối với không gian Asplund X, hàm ϕ : X → R thuộc lớp hàm trơn C 1 là lồi nếu điều kiện hz, ui ≥ 0 được thực hiện cho mọi u ∈ X ∗∗ và z ∈ ∂b 2 ϕ(x, y)(u) với (x, y) thuộc gph∂ϕ.b.
Từ Định lý 1.2, tính lồi của hàm khả vi trong không gian Asplund được đặc trưng bởi tính nửa xác định dương của dưới vi phân Fréchet bậc hai Theo Định lý 1.3 (Xem [2, Định lý 5.1]), nếu X là không gian Hilbert và hàm ϕ : X → R là hàm trơn C 1, thì ϕ là lồi mạnh với hằng số l > 0 nếu và chỉ nếu với mọi (x, y) thuộc gph∂ϕb, dưới vi phân Fréchet bậc hai thỏa mãn điều kiện hz, ui ≥ 2l||u|| 2 cho mọi x ∈ X và z ∈ ∂b 2 ϕ(x, y)(u).
(i) x¯ được gọi là một cực tiểu địa phương ổn định nghiêng (tilt-stable local minimizer) của ϕ nếu tồn tại γ > 0 sao cho ánh xạ
M γ : x ∗ 7→ argmin{ϕ(x)− hx ∗ , xi | x ∈ B γ (¯x)} là một hàm đơn trị và liên tục Lipschitz xung quanh điểm 0 ∈ X ∗, với M γ (0) = {¯x} Tập hợp argmin{ϕ(x) − hx ∗ , xi | x ∈ B γ (¯x)} đại diện cho các giá trị cực tiểu của hàm ϕ(x)− hx ∗ , xi trong miền B γ (¯x).
(ii) x¯ được gọi là cực tiểu địa phương ổn định nghiêng của ϕ với môđun κ > 0 nếu ánh xạ Mγ là đơn trị với Mγ(0) = {x}¯ và liên tục Lipschitz với hằng số κ.
Nếu x¯ là một cực tiểu địa phương ổn định nghiêng, thì nó cũng là một cực tiểu địa phương Tuy nhiên, điều này không đúng với trường hợp ngược lại; ví dụ, x¯ = 0 là một cực tiểu địa phương của hàm hằng ϕ := 0, nhưng không phải là cực tiểu địa phương ổn định nghiêng của ϕ.
Chương 2 Điều kiện cần tối ưu cho lớp các bài toán tối ưu trơn C 1
Trong chương này, chúng tôi hệ thống hóa các điều kiện cần thiết để tối ưu hóa sử dụng dưới vi phân bậc hai Fréchet cho các bài toán tối ưu trơn C 1 Nội dung chương này được tham khảo từ bài báo của N.H Chieu, G.M Lee và N.D Yen.
Điều kiện cần tối ưu
Xét bài toán tối ưu (P) trong trường hợp X = R, tức là min{ϕ(x) | x ∈ R}, (P1) với ϕ :R →R là một hàm thuộc lớp C 1 Định lý 2.1 Nếu x¯ là một nghiệm địa phương của bài toán (P1) thì
∇ϕ(¯x) = 0 và dưới vi phân bậc hai Fréchet ∂b 2 ϕ(¯x) nửa xác định dương, tức là với mọi u ∈ R và z ∈ ∂b 2 ϕ(¯x)(u), zu ≥ 0 luôn đúng.
Để chứng minh, trước hết, vì x¯ là nghiệm địa phương của bài toán (P1), theo quy tắc Fermat, ta có ∇ϕ(¯x) = 0 Chúng ta sẽ áp dụng phương pháp phản chứng để chứng minh khẳng định thứ hai của định lý Giả sử ∂b²ϕ(¯x) không nửa xác định dương, thì tồn tại u ∈ R và z ∈ ∂b²ϕ(¯x)(u) sao cho zu < 0 Theo định nghĩa của dưới vi phân Fréchet bậc hai, ta có: z ∈ ∂b²ϕ(¯x)(u) ⇔ z ∈ Db*∇ϕ(ã)(¯x)(u).
|x−x|¯ +|∇ϕ(x)− ∇ϕ(¯x)| ≤ 0. Thay ∇ϕ(¯x) = 0 vào bất đẳng thức cuối và thu gọn lại, ta được lim sup x→ x ¯ z(x−x)¯ −u∇ϕ(x)
Vì zu < 0, do đó sẽ xảy ra một trong những trường hợp sau:
Trong trường hợp z > 0 và u < 0, ta xét một dãy x_k giảm dần về x¯ Vì x¯ là nghiệm địa phương của bài toán (P1), theo định lý giá trị trung bình cổ điển, với mỗi k đủ lớn, tồn tại ξ_k nằm trong khoảng (¯x, x_k).
Trong (2.1), thay x bởi ξ k , ta được lim sup k→ ∞ z(ξ k −x)¯ −u∇ϕ(ξ k )
|ξ k −x|¯ +|∇ϕ(ξ k )| ≤ 0 (2.3) Đặt r := min{z,−u}, khi đó r > 0 Từ (2.2), ta có
∆ k > 0 Điều này mâu thuẫn với (2.3).
Trường hợp 2: z < 0 và u > 0 Ta lấy một dãy x k ↑ x¯ bất kì Với mỗi k đủ lớn, cũng từ định lý giá trị trung bình cổ điển, tồn tại ξ k ∈ (x k ,x)¯ sao cho
Do (2.1) nên bất đẳng thức (2.3) đúng Đặt r := max{z,−u}, khi đó r < 0 Do đó, từ (2.4), ta có
Điều kiện cần cho bài toán tối ưu với hàm ϕ xác định trên không gian Banach X sẽ được nghiên cứu Xét bài toán min{ϕ(x) | x ∈ X}, (P2) với ϕ :X →R là hàm thuộc lớp C 1 Định lý 2.2 nêu rằng nếu x¯ là một nghiệm địa phương của (P2), thì sẽ có những điều kiện nhất định phải thỏa mãn.
∇ϕ(¯x) = 0 Nếu tồn tại hằng số l > 0 sao cho k∇ϕ(x)− ∇ϕ(¯x)k ≤ l kx−x¯ k, (2.5) với mọi x nằm trong lân cận của x¯ thì dưới vi phân bậc hai Fréchet
∂b 2 ϕ(¯x) : X ⇒ X ∗ , ở đó X được nhúng chính tắc vào X ∗∗ , là nửa xác định dương.
Giả sử x¯ là một nghiệm địa phương của bài toán (P2), theo quy tắc Fermat, ta có ∇ϕ(¯x) = 0 Để chứng minh rằng ∂b 2 ϕ(¯x) nửa xác định dương, chúng ta áp dụng phương pháp phản chứng Giả sử tồn tại u ∈ X và z ∈ ∂b 2 ϕ(¯x)(u) với điều kiện hz, ui < 0.
Khi z thuộc ∂b 2 ϕ(¯x)(u), điều này tương đương với việc z thuộc Db ∗ ∇ϕ(ã)(¯x)(u) và (z,−u) thuộc Nb((¯x,0);gph∇ϕ(ã)) Như đã đề cập, X được nhúng vào X ∗∗ và ∇ϕ(ã) : X → X ∗ Do đó, lim sup khi x tiến gần đến ¯x của h(z,−u),(x,5ϕ(x)) −(¯x,0) sẽ nhỏ hơn hoặc bằng 0 Đặt x k := ¯x− 1 k u, với k = 1,2, , ta có x k tiến gần đến ¯x khi k tiến đến vô cùng Vì ¯x là nghiệm địa phương của bài toán (P2), với k đủ lớn, theo định lý giá trị trung bình cổ điển, tồn tại ξk trong khoảng (¯x, xk) sao cho
Chú ý xk −x¯= −1 ku, từ đó ta có h∇ϕ(ξ k ), ui ≤ 0 (2.8)
Từ (2.7) và chú ý ξk = ¯x−tku với tk ∈ (0, 1 k ), ta có lim sup k→∞ hz,−t k ui − hu,∇ϕ(ξ k )i kt k uk+k∇ϕ(ξ k )k ≤0 (2.9) Theo giả thiết, với k đủ lớn, k∇ϕ(ξ k )k= k∇ϕ(ξ k )− ∇ϕ(¯x)k
Vậy, từ (2.6) và (2.8) ta có
∆ k = hz,−t k ui − hu,∇ϕ(ξ k )i kt k uk+k∇ϕ(ξ k )k
∆ k > 0, điều này mâu thuẫn (2.9) Định lý đã được chứng minh xong.
Ví dụ minh họa
Trong mục này, chúng tôi trình bày các ví dụ minh họa cho các kết quả của Định lý 2.1 và Định lý 2.2.
Ví dụ 2.1 Cho hàm ϕ :R → R được xác định bởi ϕ(x)
Ta thấy x¯ = 0 là nghiệm tối ưu của bài toán (P1) (Hình 1) Tính toán trực tiếp ta thu được
Đạo hàm ∇ϕ là hàm liên tục, điều này cho thấy hàm ϕ thuộc lớp hàm trơn C 1 Tại điểm x¯ = 0, điều kiện ∇ϕ(¯x) = 0 được thỏa mãn Tiếp theo, chúng ta sẽ kiểm tra tính nửa xác định dương của dưới vi phân bậc hai.
Hình 1: Đồ thị của hàm ϕ
Hình 2: Đồ thị của hàm ψ := ∇ϕ
∂b 2 ϕ(¯x) Từ định nghĩa của dưới vi phân Fréchet bậc hai ta có: z ∈ ∂b 2 ϕ(¯x)(u) ⇔z ∈ Db ∗ ∇ϕ(ã)(¯x)(u)
|x−x|¯ +|∇ϕ(x)− ∇ϕ(¯x)| ≤0. Thay x¯ = 0,∇ϕ(¯x) = 0 và thu gọn lại, bất đẳng thức cuối tương đương với lim sup x→0 zxưu∇ϕ(x)
|x|+|∇ϕ(x)| ≤ 0 (2.10) Trường hợp 1: x > 0 Khi đó từ (2.10), ta có
0≥ lim sup x→0 zxưu 3 2 √ x x+ 3 2 √ x = lim sup x→0 z√ xưu 3 2
Trường hợp 2: x < 0 Khi đó từ (2.10), ta có
Kết hợp (2.11) và (2.12), ta được z ∈ ∂b 2 ϕ(¯x)(u) khi và chỉ khi u ≥ 0, z ≥0 và −z +u ≤0.
Do đó với mọi z ∈ ∂b 2 ϕ(¯x)(u), ta có z.u ≥ 0 Hay nói cách khác, dưới vi phân bậc hai Fréchet nửa xác định dương.
Ví dụ 2.2 Xét hàm ϕ :R → R xác định bởi ϕ(x)
2x 2 nếu x ≤ 0,3x 2 nếu x > 0. Đầu tiên, ta thấy ϕ ∈ C 1 và x¯ = 0 là cực tiểu của hàm ϕ (Hình 3).
Hình 3: Đồ thị của hàm ϕ
Bằng tính toán đơn giản, ta thu được
Ta thấy đạo hàm của hàm ϕ là hàm liên tục Do đó ϕ ∈ C 1 Khi đó tại ¯ x = 0, ta có ∇ϕ(¯x) = 0 và
Do đó ta luôn tìm được l > 0 sao cho điều kiện (2.5) được thỏa mãn. Khi đó
Từ định nghĩa của dưới vi phân Fréchet bậc hai ta có: z ∈ ∂b 2 ϕ(¯x)(u) ⇔z ∈ Db ∗ ∇ϕ(.)(¯x)(u)
|x−x|¯ +|∇ϕ(x)− ∇ϕ(¯x)| ≤0. Thay x¯ = 0,∇ϕ(¯x) = 0 và thu gọn lại, bất đẳng thức cuối tương đương với lim sup x→0 zxưu∇ϕ(x)
|x|+|∇ϕ(x)| ≤ 0 (2.13) Trường hợp 1: x > 0 Khi đó từ (2.13), ta có
0≥ lim sup x→0 zxưu6x x+ 6x = lim sup x→0 z−6u
Trường hợp 2: x < 0 Khi đó từ (3.7), ta có
Kết hợp (2.14) và (2.15), ta được z ∈ ∂b 2 ϕ(¯x)(u) khi và chỉ khi u ≥ 0, z ≥0 và z −u ≥ 0 Do đó, với mọi z ∈ ∂ 2 ϕ(¯x)(u) ta có z.u ≥0.
Trong Ví dụ 2.1, do ∇ϕ(x) = 3 2 √ x với x > 0, điều kiện (2.5) không được thỏa mãn, dẫn đến việc Định lý 2.2 không thể áp dụng Mặc dù vậy, nhờ vào tính khả vi liên tục của ϕ, Định lý 2.1 vẫn có thể được áp dụng cho trường hợp này.
Chương 3 Điều kiện đủ tối ưu cho lớp các bài toán tối ưu trơn C 1
Trong chương này, chúng tôi trình bày các kết quả về điều kiện đủ tối ưu cho lớp bài toán tối ưu trơn C¹ Nội dung chương được tham khảo từ Section 4 của bài báo [3].
Điều kiện đủ tối ưu
Kết quả đầu tiên liên quan đến điều kiện đủ tối ưu cho bài toán (P2) trong không gian Asplund X Định lý 3.1 nêu rõ rằng nếu ϕ : X → R là hàm C^1 và ∇ϕ(¯x) = 0, cùng với sự tồn tại của δ > 0 sao cho với mọi x ∈ B δ (¯x), điều kiện hz, ui ≥ 0 được thỏa mãn cho mọi u ∈ X và z ∈ ∂b^2 ϕ(x)(u), thì ∂b^2 ϕ(x) là nửa xác định dương Do đó, x¯ sẽ là nghiệm địa phương của bài toán (P2).
Chứng minh Đầu tiên ta nhận thấy, nếu (3.1) đúng, thì theo Định lý 1.2, hàm ϕ là lồi trên B δ (¯x) Vì ϕ là hàm lồi, nên theo Định lý 1.1, ta có ϕ(x)−ϕ(¯x) ≥ h∇ϕ(¯x), x−xi,¯ ∀x ∈ B δ (¯x).
Hơn nữa, ∇ϕ(¯x) = 0, nên từ bất đẳng thức trên suy ra ϕ(x)−ϕ(¯x) ≥ 0, ∀x ∈ B δ (¯x), hay ϕ(x) ≥ ϕ(¯x), ∀x ∈ B δ (¯x).
Điều kiện tối ưu II trong định lý 3.2 xác định rằng nếu ϕ : X → R là một hàm trơn, thì x¯ là nghiệm địa phương của bài toán (P2) trong không gian Hilbert Định lý này cung cấp điều kiện đủ để xác định khi nào một điểm được coi là cực tiểu địa phương ổn định nghiêng của hàm.
C 1 , ở đó X là không gian Hilbert Nếu ∇ϕ(¯x) = 0, và tồn tại δ, r > 0 sao cho mọi x ∈ B δ (¯x) , hz, ui > rkuk 2 , ∀u ∈ X, ∀z ∈ ∂b 2 ϕ(x)(u) (3.2) Khi đó x¯ là một cực tiểu địa phương ổn định nghiêng của (P2).
Giả sử rằng ∇ϕ(¯x) = 0 và (3.2) đúng, theo Định lý 1.3, tồn tại γ > 0 sao cho ϕ lồi mạnh trên Bγ(¯x) Với ∇ϕ(¯x) = 0 và ϕ lồi mạnh trên Bγ(¯x), ta có Mγ(0) = {¯x} và Mγ(x ∗ ) là đơn trị.
M γ (x ∗ ) = {v(x ∗ )} với mọi x ∗ ∈ X ∗ Chúng ta khẳng định rằng tồn tại một lân cận U ∗ của 0 ∈ X ∗ trong tôpô chuẩn, sao cho v(x ∗ ) ∈ intB γ (¯x) với mọi x ∗ ∈ U ∗ Nếu điều này không đúng, sẽ tồn tại một dãy x ∗ k → 0 và x k ∈ X với kx k −xk¯ = γ, sao cho x k = v(x ∗ k ) với mọi k Do đó, theo tính lồi mạnh của ϕ, ta có ϕ(¯x) = ϕ(¯x) − h0, x¯ − xi¯ > ϕ(x k ) − hx ∗ k , x k − xi,¯ ∀k.
Vì X là không gian Hilbert và kx k −xk¯ = γ với mọi k, tồn tại dãy con {x k j } của {x k } hội tụ yếu đến xb ∈ B γ (¯x) Do ϕ lồi và liên tục trên B γ (¯x), nó nửa liên tục dưới yếu trên B γ (¯x) Khi lấy liminf cả hai vế của (3.3) theo dãy con {x k j } và lưu ý rằng lim j→∞ hx ∗ k j, x k j −xi¯ = 0, ta có ϕ(¯x) > ϕ(x)b Điều này dẫn đến mâu thuẫn với M γ (0) = {¯x}, khẳng định đã được chứng minh.
Với mỗi x ∗ ∈ U ∗ , vì v(x ∗ ) ∈ intB γ (¯x), theo quy tắc Fermat,
∇ϕ(v(x ∗ )) −x ∗ = 0 hay ∇ϕ(v(x ∗ )) = x ∗ Ta có kv(x ∗ 1 )−v(x ∗ 2 )k.kx ∗ 1 −x ∗ 2 k = kv(x ∗ 1 )−v(x ∗ 2 )k.k∇ϕ(v(x ∗ 1 ))−∇ϕ(v(x ∗ 2 ))k
(3.4) Theo tính lồi mạnh của ϕ trên B γ (¯x), tồn tại l > 0 sao cho h∇ϕ(v(x ∗ 1 ))− ∇ϕ(v(x ∗ 2 )), v(x ∗ 1 )−v(x ∗ 2 )i
Từ (3.4) và (3.5), suy ra kv(x ∗ 1 )−v(x ∗ 2 )k.kx ∗ 1 −x ∗ 2 k ≥ lkv(x ∗ 1 )−v(x ∗ 2 )k 2 , ∀x ∗ 1 , x ∗ 2 ∈ U ∗ ,hay kv(x ∗ 1 )−v(x ∗ 2 )k ≤ κ k x ∗ 1 −x ∗ 2 k với mọi x ∗ 1 , x ∗ 2 ∈ U ∗ , ở đó κ := η −1 Như vậy, x¯ là một cực tiểu địa phương ổn định nghiêng của ϕ.
Ví dụ minh họa
Cho ϕ : R →R là hàm xác định bởi ϕ(x)
Dễ nhận thấy ϕ ∈ C 1 Xét tại x¯ = 0, khi đó ∇ϕ(¯x) = 0, ta kiểm tra tớnh Lipschitz của ∇ϕ(ã), tức là ta sẽ chỉ ra tồn tại l > 0 sao cho
|4x| ≤l|x|, suy ra tồn tại l = 5 thỏa món (3.6) Vậy ∇ϕ(ã) là Lipschitz tại x.¯ Từ định nghĩa của dưới vi phân Fréchet bậc hai ta có: z ∈ ∂b 2 ϕ(¯x)(u) ⇔z ∈ Db ∗ ∇ϕ(ã)(¯x)(u)
|x−x|¯ +|∇ϕ(x)− ∇ϕ(¯x)| ≤0. Thay x¯ = 0,∇ϕ(¯x) = 0 và thu gọn lại, bất đẳng thức cuối tương đương với lim sup x→0 zxưu∇ϕ(x)
Trường hợp 1: x > 0 Khi đó từ (3.7), ta có
0≥ lim sup x→0 zxưu4x x+ 4x = lim sup x→0 z−4u
Trường hợp 2: x < 0 Khi đó từ (3.7), ta có
Kết hợp (3.8) và (3.9), ta được z ∈ ∂b 2 ϕ(¯x)(u) khi và chỉ khi u ≥ 0, z ≥ 0 và z −u ≥ 0 Do đó, với mọi z ∈ ∂ 2 ϕ(¯x)(u),hz, ui ≥ r k u k 2 ,với r = 1 Từ đó ta có x¯ là một nghiệm địa phương duy nhất của (P1).
Luận văn này đã trình bày những nội dung cơ bản sau:
Chương 1 cung cấp kiến thức nền tảng cần thiết để chứng minh các kết quả chính trong Chương 2 và Chương 3 Nội dung chủ yếu của luận văn được thể hiện rõ trong hai chương này, đặc biệt là Chương 2, nơi chúng tôi trình bày các kết quả về điều kiện cần để đạt cực trị cho các bài toán tối ưu với hàm mục tiêu khả vi liên tục (thuộc lớp C1) trong không gian hữu hạn chiều.
Trong bài viết này, chúng tôi nghiên cứu điều kiện đủ tối ưu trong không gian Banach X, đặc biệt là cho không gian Asplund và không gian Banach phản xạ Chương 3 trình bày các điều kiện này, trong khi trường hợp không gian Hilbert được đề cập với một kết quả liên quan đến điều kiện đủ để xác định điểm cực tiểu địa phương ổn định nghiêng Mỗi chương đều có ví dụ minh họa cho các kết quả chính, và nội dung của luận văn được sắp xếp một cách hệ thống dựa trên các kết quả từ bài báo [3].