KhĂi niằm nỷa nhõm số
1.1.1 ành nghắa ChoS l mởt têp con chựa 0 cừa têp hủp cĂc số tỹ nhiản
N Giêsỹ sống kẵn vợi pháp cởng và N\S hỳu hôn thẳn sự gồi l mởt nhóm số Mỗi nhóm số S đều có một hằng sinh hỳu hôn, nghĩa là tồn tại n số p ∈ S sao cho
Cho A l mởt têp con khĂc rộng cừa N Ta nõi ữợc chung lợn nhĐt cừa
A bơng 1, kỵ hiằu gcd(A) = 1 náu ữợc chung lợn nhĐt cừa mồi têp con hỳu hÔn cừa A ãu bơng 1 Mằnh ã sau cho thĐy nỷa nhõm con cừa N sinh bði
A l mởt nỷa nhõm số náu v ch¿ náu gcd(A) = 1.
1.1.2 Mằnh ã Cho A l mởt têp con khĂc rộng cừa N\{0} Khi õ,< A > l mởt nỷa nhõm số khi v ch¿ khi gcd(A) = 1.
Chứng minh rằng \( d = \text{gcd}(A) \) Rõ ràng rằng nếu \( s \in hAi \) thì \( d | s \) Do \( hAi \) là một nửa nhóm số nguyên \( \mathbb{N} \) và \( hAi \) là tập hợp hữu hạn, nên tồn tại một số nguyên dương \( d \) sao cho \( d | x \) và \( d | (x + 1) \) Suy ra \( d = 1 \).
Ngữủc lÔi, ta cƯn chựng minh N\ hAi l mởt têp hủp hỳu hÔn Thêt vêy, do 1 = gcd(A) nản tỗn tÔi cĂc số nguyản z 1 , z 2 , , z n v a 1 , a 2 , , a n ∈ A sao cho z 1 a 1 +z 2 a 2 + .+z n a n = 1.
Bơng cĂch chuyºnz i sang vá phÊi, ta cõ thº tẳm ữủci 1 , , i k , j 1 , , j l ∈
Để chứng minh rằng \( n \in H_a \), ta cần chỉ ra rằng \( n \geq (s-1)s + (s-1) \) với \( n \) được biểu diễn dưới dạng \( n = qs + r \) và \( 0 \leq r < s \) Từ bất đẳng thức \( n \geq (s - 1)s + (s - 1) \), ta suy ra rằng \( q \geq s - 1 \) và \( r \) cũng phải nhỏ hơn \( s \) Do đó, ta có thể viết lại \( n \) như sau: \( n = (rs + r) + (q - r)s = r(s + 1) + (q - r)s \), và điều này cho thấy \( n \in H_a \).
Hằ quÊ sau cho ta mởt sỹ phƠn loÔi cĂc và nhõm con cừa và nhõm cởng cĂc số tỹ nhiản N thổng qua cĂc nỷa nhõm số.
1.1.3 Hằ quÊ Cho M l mởt và nhõm con khổng tƯm thữớng cừa và nhõm cởng cĂc số tỹ nhiản N Khi õ M ¯ng cĐu vợi mởt nỷa nhõm số.
Chựng minh Cho d = gcd(M) Theo Mằnh ã 1.1.2, ta cõ
S = h m d |m ∈ M i l mởt nỷa nhõm số Dạ thĐy Ănh xÔ f : M →S, f(m) = m d l mởt ¯ng cĐu và nhõm Vẳ vêy M ¯ng cĐu vợi nỷa nhõm số S.
GiÊ sỷ A v B l cĂc têp con cừa têp số tỹ nhiản N Khi õ ta kỵ hiằu
Nhữ vêy, náu cho S l mởt nỷa nhõm số v S ∗ = S \ 0 thẳ S ∗ +S ∗ l têp con cừa S gỗm cĂc phƯn tỷ biºu thà ữủc dữợi dÔng tờng hai phƯn tỷ khĂc 0 trong S.
1.1.4 Bờ ã Cho S l mởt và nhõm con cừa N Khi õ S ∗ \(S ∗ + S ∗ ) l mởt hằ sinh cừa S Hỡn thá nỳa, mồi hằ sinh cừa S ãu chựa S ∗ \(S ∗ +S ∗ ).
Chứng minh rằng cho s ∈ S∗, nếu s không thuộc S∗ \(S∗ + S∗\), thì tồn tại x, y ∈ S∗ sao cho x + y = s Chúng ta tiếp tục phân tích các phần tử x và y Sau một số bước, ta có thể tìm được s1, s2, , sn ∈ S∗ \(S∗ + S∗\) sao cho s = s1 + + sn Điều này chứng minh rằng S∗ \(S∗ + S∗\) là một tập hợp con của S.
BƠy giớ cho A l mởt hằ sinh cừa S LĐy x ∈ S ∗ \(S ∗ +S ∗ ) Khi õ tỗn t¤i n∈ N ∗ , λ 1 , , λ n ∈ N v a 1 , , a n ∈ A sao cho x = λ 1 a 1 + .+λ n a n
Vẳ x /∈ S ∗ + S ∗ , nản ta suy ra tỗn tÔi i ∈ 1, , n sao cho x = ai Do õ x ∈ A Hay nõi cĂch khĂc, mồi hằ sinh cừa S ãu chựa S ∗ \(S ∗ +S ∗ ).
1.1.5 ành lỵ Mội nỷa nhõm số ãu cõ duy nhĐt mởt hằ sinh tối tiºu Hằ sinh tối tiºu n y gỗm hỳu hÔn phƯn tỷ.
Chựng minh Theo Bờ ã 1.1.4 thẳ S ∗ \(S ∗ +S ∗ ) l mởt hằ sinh tối tiºu cừa
S Theo [2], vợi mội n∈ S ∗ , ta cõ S = hAp(S, n)∪ n i Do Ap(S, n)∪ n l têp hỳu hÔn, suy ra S ∗ \(S ∗ +S ∗ ) cụng l têp hỳu hÔn.
Chiãu nhúng v số bởi cừa nỷa nhõm số
Một tập hợp S được định nghĩa là một nửa nhóm số nguyên tối thiểu A = {a1, a2, , ae} thỏa mãn điều kiện a1 < a2 < < ae Giá trị e được gọi là chiều nhúng của S, trong khi giá trị a1 được gọi là số bậc của S.
Mằnh ã sau Ơy s³ cho ta thĐy ữủc mối quan hằ giỳa số bởi v chiãu nhúng cừa mởt nỷa nhõm số.
1.2.2 Mằnh ã Cho nỷa nhõm số S, khi õ ta cõ: e(S) ≤ m(S).
Để chứng minh, giả sử e(S) = 1 thì S = N Nếu m(N) = 1 và e(S) = m(S) Nếu e(S) ≥ 2, tập A = {a1, , an} được sắp xếp theo thứ tự tăng dần Khi đó, e(S) = n và m(S) = a1 Giả sử n > a1, tồn tại trong tập A hai số ai < aj sao cho ai ≡ aj (mod a1) Điều này có nghĩa là tồn tại số nguyên k sao cho aj = k.ai + a1, suy ra A không phải là hằng sinh tối tiểu của S, từ đó ta cần phải chứng minh.
Trong trữớng hủp e(S) =m(S) thẳ ta nõi nỷa nhõm số S cõ chiãu nhúng tèi ¤i.
Sè Frobenius v gièng cõa nûa nhâm sè
Trong bài viết này, chúng tôi sẽ khám phá ứng dụng của toán học Frobenius trong việc xác định số nguyên lớn nhất m cho một tập hợp các số nguyên dương Cụ thể, chúng tôi sẽ phân tích cách xác định số nguyên lớn nhất m thông qua việc sử dụng các phần tử trong tập hợp S và các phân tỷ tối tiểu của S Số Frobenius của S, ký hiệu là F(S), sẽ được xác định và giải thích một cách chi tiết, cung cấp cái nhìn sâu sắc về vấn đề này.
Ta biát rơng vợi mội nỷa nhõm số S thẳ têp hủp G(S) = N \S l hỳu hÔn v nõ ữủc gồi l khoÊng hð cừa S Việc xác định có bao nhiêu số nguyên dương khổng biểu thị tuyến tính ữủc qua một têp hủp các số nguyên dương được gọi là g(S) Điều này liên quan đến việc tìm hiểu cấu trúc của têp hủp G(S) và các số nguyên khổng Ơm Ví dụ, cho nỷa nhõm số S = < 5, 7, 9 >, khi xác định các giá trị liên quan.
Cho S l mởt nỷa nhõm số v n∈ S \ {0} Têp hủp ữủc xĂc ành bði:
Ap(S, n) = {h ∈ S | h−n /∈ S} ữủc gồi l têp Ap²ry cừa n trong S.
Mằnh ã sau Ơy cho ta cĂch tẳm têp Ap²ry cừa mởt nỷa nhõm số.
1.3.2 Mằnh ã Cho S l mởt nỷa nhõm số v n ∈ S \ {0} Khi õ ta cõ:
Ap(S, n) = {0 = w(0), w(1), , w(n−1)} trong õ w(i) l số nhọ nhĐt cừa S sao cho w(i) ≡ i(modn),∀i ∈ {0,1, , n−1}.
Chựng minh Ró r ng, vợi mội i ∈ 1,2, , n−1 thẳ têp hủp
{i+kn | k ∈ N} cĂc số tỹ nhiản ỗng dữ vợi i theo mổun n l têp hủp vổ hÔn Vẳ têp hủp
N\S hỳu hÔn nản s³ tỗn tÔi k ∈ N sao cho i+ kn ∈ S Gồi w(i) l số nhọ nhĐt thuởc S cõ dÔng i+kn, nghắa l , w(i) l số nhọ nhĐt thuởc S ỗng dữ vợi i theo mổun n Khi õ ró r ng w(i)−n /∈ S vẳ w(i)−n = i+kn−n i+ (k −1)n < w(i) Vêy w(i) ∈ Ap(S, n) vợi mồi i ∈ 1,2, , n−1 Do â
Ap(S, n) ⊇ 0 = w(0), w(1), , w(n−1) Ngữủc lÔi, giÊ sỷ x ∈ Ap(S, n) Khi õ x ∈ S v x−n /∈ S Do õ x ∈ 0 = w(0), w(1), , w(n−1)
Từ Tứ Mằnh ã 1.3.2, chúng ta suy ra rằng Ap(S, n) là một hệ thống dữ liệu mở Bằng cách phân tích mọi lớp thông dữ liệu mod n, ta có thể trích xuất số nguyên nhỏ nhất trong tập hợp đó.
S Nhữ vêy, têp Ap²ry cừa phƯn tỷ n trong nỷa nhõm số S cõ n phƯn tỷ. 1.3.3 Vẵ dử Cho nỷa nhõm số
(trong õ kẵ hiằu →nghắa l cĂc số tỹ nhiản liản tiáp bưt Ưu tứ 14) Ta tẵnh ữủc
Ap(S,5) = {0,7,9,16,18}, Ap(S,7) = {0,5,9,10,15,18,20}. º tẵnh số Frobenius v giống cừa mởt nỷa nhõm số ta cõ mằnh ã sau.
1.3.4 Mằnh ã Cho mởt nỷa nhõm số S, v 0< n ∈ S Khi õ ta cõ:
Chùng minh (1) Gi£ sû Ap(S, n) = {0 = w 0 , w 1 , , w n−1 }, trong â 0 w 0 < w 1 Khi õ gcd(20,30) = 10 v T =< 2,3,17 >=< 2,3> Theo Mằnh ã 1.3.6, ta cõ
Mằnh ã sau Ơy cho ta thĐy mối liản hằ cừa số Frobenius v giống cừa nûa nhâm sè.
1.3.8 Mằnh ã Cho mởt nỷa nhõm số S, khi õ ta cõ:
Sè gi£ Frobenius v kiºu cõa nûa nhâm sè
Cho một nửa nhóm số S Số nguyên dương x được gọi là số giới hạn Frobenius của S nếu x ∉ S và x + h ∈ S, ∀h ∈ S \ {0} Tập hợp các số giới hạn Frobenius được gọi là PF(S) Lực lượng của PF(S) được gọi là kiểu của S và ký hiệu là t(S).
1.4.1 Mằnh ã Cho S l mởt nỷa nhõm số Khi õ ta cõ:
Chựng minh Theo ành nghắa F(S) l số lợn nhĐt cừa têp hủp Z\ S nản F(S) ∈/ S v F(S) +h ∈ S,∀h ∈ N\ {0} Do â, F(S) +h ∈ S,∀0< h ∈ S. Vêy nản ta cõ F(S) ∈ PF(S).
1.4.2 Quan hằ thự tỹ "≤ S " trản têp hủp cĂc số nguyản
Cho một tập hợp số S Quan hệ "≤ S" được định nghĩa trên tập hợp số nguyên Z như sau: a ≤ S b nếu và chỉ nếu b−a ∈ S với a, b ∈ Z Ta có thể kiểm tra tính chất của quan hệ "≤ S" thông qua tập hợp các số nguyên Z.
Cho A l têp con cừa têp cĂc số nguyản Z Têp hủp cĂc phƯn tỷ tối Ôi theo quan hằ "≤ S " trản têp A ữủc kỵ hiằu Maximals ≤ S (A).
Ta có thể xác định tập hợp các số nguyên Frobenius của một nửa nhóm số nguyên sau Chúng tôi đã xuất chứng minh cho các mảnh này Theo định nghĩa, số Frobenius F(S) là số lớn nhất trong Z \ S theo quan hệ lớn hơn hoặc bằng Mảnh này cho thấy tập các số nguyên Frobenius PF(S) chính là tập các phần tử của Z\S theo quan hệ "≤ S".
1.4.3 Mằnh ã Cho S l mởt nỷa nhõm số Ta cõ cĂc kh¯ng ành sau:
Chùng minh (1) Ta chùng minh PF(S) ⊆ Maximals ≤ S (Z \ S) L§y x ∈ PF(S), c¦n chùng minh x ∈ Maximals ≤ S (Z\S).
GiÊ sỷ tỗn tÔi y ∈ Z\S, y 6= x sao cho x ≤ S y hay 0 < y −x ∈ S Do x ∈
PF(S) nản y = x+ (y −x) ∈ S mƠu thuăn vợi y ∈ Z\S Vẳ vêy, x ∈ Maximals ≤ S (Z\S), do â
B¥y gií ta chùng minh PF(S) ⊇ Maximals ≤ S (Z \ S) L§y ph¦n tû x ∈ Maximals ≤ S (Z\S), ta c¦n chùng minh x ∈ PF(S).
GiÊ sỷ tỗn tÔi 0 < h∈ S sao cho x+h /∈ S, khi õ tỗn tÔi y ∈ Z\S º x+h = y ⇒y −x = h ∈ S ⇒x ≤ S y. iãu n y mƠu thuăn vợi giÊ thiát x ∈ Maximals ≤ S (Z\S).
Nhữ vêy ta  chựng minh ữủc
(2) (⇒) : LĐy x ∈ Z\s Theo (1) thẳ tỗn tÔi p ∈ PF(S) sao cho x ≤ S p⇒ p−x ∈ S.
(⇐) : L§y ph¦n tû p∈ PF(S), p−x ∈ S, ta s³ chùng minh x ∈ Z\S.
GiÊ sỷ x ∈ S Khi õ, tỗn tÔi h ∈ S sao cho p−x = h ⇒p = x+h ∈ S, iãu n y mƠu thuăn vợi p ∈ PF(S) Do õ, x ∈ Z\S.
1.4.4 Mằnh ã Cho S l mởt nỷa nhõm số v n l mởt phƯn tỷ khĂc 0 cừa
Chựng minh Trữợc hát ta chựng minh
LĐy x ∈ PF(S), ta cƯn chựng minhx = w−nvợi w ∈ Maximals ≤ S Ap(S, n). Khi x ≡w(mod n) thẳ x = w −k.n, k ∈ N ∗ , w ∈ Ap(S, n)
Vẳ x+ n ∈ S nản k = 1 hay x = w −n GiÊ sỷ tỗn tÔi w 0 ∈ Ap(S, n) sao cho 0< w 0 −w ∈ S, chồn h = w 0 −w ta cõ x+h ∈ S ⇒ w−n+w 0 −w = w 0 −n ∈ S. iãu n y mƠu thuăn vợi w 0 ∈ Ap(S, n) Do õ, w ∈ Maximals ≤ S Ap(S, n). B¥y gií ta chùng minh
LĐy x= w−nvợi w ∈ Maximals ≤ S Ap(S, n).Ta cƯn chựng minhx ∈ PF(S). GiÊ sỷ tỗn tÔi số 0 < h∈ S m x+ h /∈ S thẳ w−n+h /∈ S ⇒(w+h)−n /∈ S m w+h ∈ S ⇒w +h ∈ Ap(S, n).
Những vẳ w + h−w = h ∈ S nản w ≤ S (w + h) iãu n y mƠu thuăn vợi giÊ thiát w ∈ Maximals ≤ s Ap(S, n).
1.4.5 Vẵ dử Cho nỷa nhõm số S =< a, b > trong õ a, b ∈ N \ {0} v gcd(a, b)=1 Khi â,
Theo Mằnh ã 1.4.4 thẳ PF(S) = {(a−1)b−a} = {ab−a−b}.
1.4.6 Vẵ dử Cho nỷa nhõm số S =< 5,7,9 > Khi õ ta cõ
Cho mởt nỷa nhõm số S vợi số Frobenius l F(S) Ta nhên thĐy ngay F(S)−n /∈ S,∀n∈ S X²t t÷ìng ùng ϕ : S −→ Z\S, h7→ F(S)−h.
Ta đang chứng minh rằng việc thưởng thức trà sữa là một trải nghiệm đáng giá, hơn nữa đây là một món ăn ngon Trong trường hợp thưởng thức trà sữa, ta nhận thấy rằng số lượng người yêu thích ngày càng tăng.
Nhữ vêy, mởt nỷa nhõm số ối xựng S l mởt nỷa nhõm số m cĂc têp hủp S v Z\S tữỡng ữỡng nhau.
Mằnh ã sau Ơy l mởt °c trững cừa nỷa nhõm số ối xựng qua kiºu cõa nâ.
1.4.7 Mằnh ã Cho mởt nỷa nhõm số S CĂc phĂt biºu sau l tữỡng ữỡng:
(1) S l nûa nhâm sè èi xùng;
Chúng ta có thể chứng minh rằng với một tập S là một nhãn nhóm số hữu hạn, ta có t(S) = 1 Nếu t(S) > 1, thì tồn tại một phần tử x ∈ PF(S) sao cho x < F(S) và F(S) - x không thuộc S Điều này cho thấy mối quan hệ giữa các phần tử trong tập S là một nhãn nhóm số hữu hạn.
(2) ⇒ (1): Cho t(S) = 1, ta chùng minh S l nûa nhâm sè èi xùng.Náu S khổng l nỷa nhõm số ối xựng thẳ tỗn tÔi số nguyản x /∈ S m
F(S) − x /∈ S Do x > 0 (vẳ x < 0 thẳ F(S) − x ∈ S) nản tỗn tÔi số k ∈ N\ {0} v w i ∈ Ap(S, n) sao cho w i −x = kn ⇒ x = w i −kn.
⇒F(S)−x = w n−1 −w i + (k−1)n ∈ S. iãu n y mƠu thuăn vợi giÊ thiát F(S) −x /∈ S nản S l nỷa nhõm số ối xùng.
Nhữ vêy, mởt nỷa nhõm số l ối xựng náu v ch¿ náu nõ cõ duy nhĐt mởt số giÊ Frobenius õ chẵnh l số Frobenius.
CH×ÌNG 2 NÛA NHÂM Sẩ VẻI CHIU NHểNG BNG 3
Trong b i bĂo [5], cĂc nh toĂn hồc J C Rosales and P A Garcẵa-Sanch²z  nghiản cựu số Frobenius v giống cừa nỷa nhõm số vợi chiãu nhúng bơng
Ba phương trình tỷ lệ trong hàm sinh tối thiểu của nhóm số nguyên dương xác định bởi 6 số nguyên dương nằm trong một hàm ba biến thực Điều này dẫn đến việc xác định số Frobenius thông qua 6 số nguyên dương đó Chúng tôi sẽ trình bày các kết quả của bài báo này.
2.1 CĂc tham số xĂc ành hằ sinh tối tiºu cừa nỷa nhõm số vợi chiãu nhúng bơng 3
Trong mửc n y, ta luổn kỵ hiằu S l mởt nỷa nhõm số cõ hằ sinh tối tiºu l {n 1 , n 2 , n 3 }, vợi gcd{n i , n j } = 1,∀i 6= j Vợi {i, j, k}= {1,2,3} ta °t c i = min{x ∈ N\ {0} | xn i ∈ hn j , n k i}.
Do õ tỗn tÔi cĂc số nguyản khổng Ơm r12, r13, r21, r23, r31, r32 sao cho: c 1 n 1 = r 12 n 2 +r 13 n 3 , c 2 n 2 = r 21 n 1 +r 23 n 3 , c3n3 = r31n1 +r32n2.
Bờ ã sau cho thĐy r ij l cĂc số nguyản dữỡng.
2.1.1 Bờ ã r 12 , r 13 , r 21 , r 23 , r 31 , r 32 l cĂc số nguyản dữỡng.
Chùng minh Gi£ sû r 13 = 0 Khi â c 1 n 1 = r 12 n 2 Do gcd{n 1 , n 2 } = 1 v c 1 ≤ n 2 nản ta cõ c 1 = n 2
M°t khĂc, tỗn tÔi x ∈ {1,2, , n−1} sao cho xn 1 ≡ n 3 (modn 2 ) Do õ xn 1 = zn 2 + n 3 , vợi z ∈ Z Vẳ {n 1 , n 2 , n 3 } l hằ sinh tối tiºu cừa S nản z ∈ N Suy ra c 1 ≤ x < n 2 v iãu n y l mƠu thuăn vợi c 1 = n 2 Vêy r 13 l số nguyản dữỡng.
Tữỡng tỹ ta cụng chựng minh ữủc r 12 , r 21 , r 23 , r 31 , r 32 l cĂc số nguyản d÷ìng.
2.1.2 Bờ ã Vợi i 6= j, ta cõ c i > r ji
Chựng minh Ta chựng minh bơng phÊn chựng Ch¯ng hÔn, ta giÊ sỷ rơng r31 ≥ c1 Khi õ r31 = qc1 + r, vợi q ∈ N\ {0} v 0≤ r < c1 Do õ c 3 n 3 = r 31 n 1 +r 32 n 2
Để chứng minh rằng \( c_3 > qr_{13} \), ta có phương trình \( rn_1 + qr_{12} n_2 + qr_{13} n_3 + r_{32} n_2 \) Dựa vào điều kiện \( c_3 - qr_{13} > 0 \), suy ra \( c_3 > qr_{13} \) khi \( r \geq 0 \) và \( qr_{12} + r_{32} > 0 \) Điều này cho thấy mối quan hệ giữa các biến và khẳng định tính đúng đắn của \( c_3 \) trong ngữ cảnh đã nêu.
2.1.3 Bờ ã Vợi mồi {i, j, k} = {1,2,3}, ta cõ c i = r ji +r ki
Chựng minh Chú ỵ rơng (r 13 +r 23 )n 3 = (c 1 −r 21 )n 1 + (c 2 −r 12 )n 2 , do õ r 13 +r 23 ≥ c 3
T÷ìng tü ta công câ r 21 +r 31 ≥c 1 v r 12 +r 32 ≥ c 2
Quan hệ thứ tự trong tập hợp S được định nghĩa như sau: với a, b ∈ S, ta có a ≤ b nếu và chỉ nếu b - a ∈ S Đặc biệt, quan hệ thứ tự này cũng áp dụng cho tập hợp Z, trong đó với a, b ∈ Z, ta có a ≤ b nếu b - a ∈ N.
Chựng minh Ta chựng minh vợi i = 1, cĂc trữớng hủp cỏn lÔi chựng minh t÷ìng tü.
Trữợc hát ta chựng minh (c 3 −1)n 3 + (r 12 −1)n 2 ∈ Ap (S, n 1 ).
(c3 −1)n3 + (r12 −1)n2 = a1n1 +a2n2 +a3n3, vợi a 1 , a 2 , a 3 ∈ N, a 1 6= 0 Do tẵnh nhọ nhĐt cừa c 3 v c 2 , ta cõ a 3 < c 3 −1 v a 2 < r 12 −1 Suy ra a 1 n 1 = (c 3 −1−a 3 )n 3 + (r 12 −1−a 2 )n 2 , vợic 3 −1−a 3 , r 12 −1−a 2 ∈ N v do õa 1 ≥ c 1 Gồi q ∈ N\ {0}v 0 ≤r < c 1 sao cho a 1 = qc 1 +r Khi â
(c 3 −1−a 3 −qr 13 )n 3 = rn 1 + (qr 12 −r 12 + 1 +a 2 )n 2 vợi r ∈ N, qr 12 −r 12 + 1 + a 2 ∈ N\ {0}, iãu n y mƠu thuăn vợi ành nghắa cõa c 3
B¥y gií ta l§y an 2 + bn 3 ∈ Ap (S, n 1 ) Ta s³ chùng minh ho°c (a, b) ≤
(r 12 −1, c 3 −1) ho°c(a, b) ≤ (c 2 −1, r 13 −1) Theo Bỗ ã 2.1.1 ta cõa < c 2 v b < c 3 Náu (a, b) > (r 12 −1, c 3 −1) thẳ a ≥ r 12 Bơng phÊn chựng ta chựng minh b < r 13 GiÊ sỷ ngữủc lÔi b ≥ r 13 , thẳ an 2 +bn 3 = r 12 n 2 +r 13 n 3 + (a−r 12 )n 2 + (b−r 13 )n 3
= c 1 n 1 + (a−r 12 )n 2 + (b−r 13 )n 3 , mƠu thuăn vợi an 2 +bn 3 ∈ Ap (S, n 1 ) Do õ (a, b) ≤ (c 2 −1, r 13 −1).
Bờ ã sau cho ta mởt biºu diạn cừa cĂc phƯn tỷ sinh trong hằ sinh tối tiºu cừa nỷa nhõm số S thổng qua r ij
Chựng minh Ta cõ ]Ap (S, n) = n, vợi mồi n ∈ S \ {0} Do tẵnh nhọ nhĐt cừa c 2 , c 3 , náu a 2 n 2 + a 3 n 3 = b 2 n 2 + b 3 n 3 vợi a i , b i ∈ {0, , c i −1} thẳ
(a 2 , a 3 ) = (b 2 , b 3 ) Do õ theo Bờ ã 2.1.4, ta suy ra
Do õ n1 = r12c3 + c2r13 −r12r13 v do õ bði Bờ ã 2.1.3 ta cõ n 1 = r 12 r 13 +r 12 r 23 +r 13 r 32 Chựng minh tữỡng tỹ ta ữủc n 2 = r 13 r 21 +r 21 r 23 + r 23 r 31 v n 3 = r 12 r 31 +r 21 r 32 +r 31 r 32
2.1.6 Bờ ã Cho cĂc số nguyản dữỡng a 12 , a 13 , a 21 , a 23 , a 31 , a 32 v m 1 = a 12 a 13 +a 12 a 23 +a 13 a 32 , m 2 = a 13 a 21 +a 21 a 23 +a 23 a 31 , m 3 = a 12 a 31 +a 21 a 32 +a 31 a 32
Chựng minh 1) Ta chựng minh (a 21 +a 31 )m 1 = a 12 m 2 +a 13 m 3 Thêt vêy, ta câ
= a 12 m 2 +a 13 m 3 Tữỡng tỹ ta chựng minh ữủc
(a ji +a ki )m i = a ij m j + a ik m k , vợi mồi {i, j, k} = {1,2,3}.
2) Do tẵnh ối xựng, ta ch¿ cƯn chựng minh rơng náu gcd{m 1 , m 2 } = 1 thẳ m 3 ∈ hm/ 1 , m 2 i GiÊ sỷ ngữủc lÔi m 3 ∈ hm 1 , m 2 i thẳ m 3 = λm 1 +àm 2 vợi λ, à ∈ N Theo Kh¯ng ành 1), ta cõ
Do gcd{m 1 , m 2 } = 1 nản ta suy ra a 21 +a 31 −a 13 λ = km 2 , k ∈ N\ {0}. °c biằt, a 21 +a 31 ≥km 2 ≥m 2 , iãu n y l mƠu thuăn vợi m2 = (a21+ a31)a23 +a13a21, bði vẳ aij > 0,∀i, j nản a21 +a31 < m2.
Tứ Bờ ã 2.1.3 v Bờ ã 2.1.5 ta cõ phĂt biºu sau.
2.1.7 Bờ ã Vợi mồi {i, j, k} = {1,2,3}, ni = cjck −rjkrkj.
Mởt phƯn tỷ (x 1 , , x p ) ∈ Z p ữủc gồi l dữỡng mÔnh (strongly positive) náu x i > 0,∀i = 1, , p.
2.1.8 ành lỵ Chom 1 , m 2 , m 3 l cĂc số nguyản dữỡng sao chogcd{m i , m j } 1, vợi i 6= j Khi õ hằ phữỡng trẳnh
( m 1 = x 12 x 13 +x 12 x 23 + x 13 x 32 m 2 = x 13 x 21 +x 21 x 23 + x 23 x 31 m 3 = x 12 x 31 +x 21 x 32 + x 31 x 32 cõ nghiằm dữỡng mÔnh náu v ch¿ náu {m 1 , m 2 , m 3 } l hằ sinh tối tiºu cừa mởt nỷa nhõm số Hỡn nỳa, náu nghiằm nhữ thá l tỗn tÔi thẳ nõ l duy nhĐt.
Chựng minh iãu kiằn cƯn: suy ra tứ Bờ ã 2.1.6. iãu kiằn ừ: l hằ quÊ cừa Bờ ã 2.1.5.
BƠy giớ ta chựng minh tẵnh duy nhĐt cừa nghiằm Vợi n i = m i , i ∈ {1,2,3}, tứ Bờ ã 2.1.5 ta cõ
(x 12 , x 13 , x 21 , x 23 , x 31 , x 32 ) = (r 12 , r 13 , r 21 , r 23 , r 31 , r 32 ) l mởt nghiằm nguyản dữỡng mÔnh.
Giá sỉ (a12, a13, a21, a23, a31, a32) mở ra một nghiêm ngặt trong việc điều chỉnh các phương trình Khi tính toán, cần đảm bảo rằng aij < rij Đối với tường hợp cụ thể, ta có a12 < r12 Khi xét n1 = r12 n2 + r13 n3 = (a12 + λ)n2 + r12 n3 với λ ∈ N\{0}, ta có (aji + aki)m i = aij m j + aik m k, dẫn đến a12 n2 = (a21 + a31)n1 - a13 n3 và yêu cầu a21 + a31 ≥ c1 Cuối cùng, c1 n1 = (a21 + a31)n1 - a13 n3 + λn2 + r13 n3.
(a 13 −r 13 )n 3 = (a 21 +a 31 −c 1 )n 1 +λn 2 v vẳ vêy a 13 > c 3 Do n1 = a12a13 +a12a23+a13a32 = a13(a12+a32) +a12a23 v tứ Bờ ã 2.1.6, (1) a12 + a32 ≥ c2, ta suy ra n1 > c3c2 + a12a23 > c3c2, iãu n y mƠu thuăn vợi Bờ ã 2.1.7.
2.1.9 ành nghắa Ma trên A ữủc gồi l 0-ma trên náu A cõ dÔng
! trong õa 12 , a 13 , a 21 , a 23 , a 31 , a 32 l cĂc số nguyản dữỡng sao chogcd (A i , A j ) 1 vợi
Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá mối quan hệ giữa các yếu tố trong không gian sinh của các phần tỷ Cụ thể, công thức (a ji + a ki)A i = a ij A j + a ik A k thể hiện sự tương tác giữa các yếu tố A j và A k Hơn nữa, điều kiện a ji + a ki = min{x ∈ N\ {0} | xA i ∈ hA j , A k} cho thấy cách xác định giá trị tối thiểu cho các yếu tố này trong không gian.
Ngữu lÔi, náu S l nỷa nhõm số cõ chiãu nhúng bơng 3 v cõ hằ sinh l cĂc phƯn tỷ ổi mởt nguyản tố cũng nhau thẳ khi õ tỗn tÔi 0-ma trên A sao cho S = hA 1 , A 2 , A 3 i.
Chựng minh Tứ ành lỵ 2.1.8, ta cõ hA 1 , A 2 , A 3 i l mởt nỷa nhõm số vợi chiãu nhúng bơng 3.
Theo Bờ ã 2.1.6, ta cõ (a ji +a ki )A i = a ij A j +a ik A k
Tứ Bờ ã 2.1.3, Bờ ã 2.1.5 v ành lỵ 2.1.8, ta suy ra a ji +a ki = min{x ∈ N\ {0} | xA i ∈ hA j , A k i}.
BƠy giớ ta giÊ sỷ S l mởt nỷa nhõm số cõ hằ sinh tối tiºu {n 1 , n 2 , n 3 } sao cho gcd{n i , n j } = 1 vợi mồi i 6= j Thá thẳ theo Bờ ã 2.1.5, ta cõ
! l mởt 0- ma trên vợi S = hA 1 , A2, A3i.
Do õ h5,7,9i l mởt nỷa nhõm số vợi chiãu nhúng bơng 3 Hỡn nỳa,
Do õ h41,63,102i l nỷa nhõm số vợi chiãu nhúng bơng 3 Hỡn nỳa,
2.2 Số giÊ Frobenius v giống cừa nỷa nhõm số vợi chiãu nhúng bơng 3
Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá vai trò của các nhóm số trong lý thuyết số, đặc biệt là việc xác định các số nguyên dương n1, n2, n3 sao cho ước số chung lớn nhất (gcd) giữa bất kỳ cặp nào trong số chúng đều bằng 1 Điều này có nghĩa là các số này phải tương đối nguyên tố với nhau, một khái niệm quan trọng trong toán học.
2.2.1 Mằnh ã Têp cĂc số giÊ Frobenius cừa nỷa nhõm số S l
Chựng minh Theo Bờ ã 2.1.4 v Mằnh ã 1.4.4 ta cõ:
PF (S) ={(c 3 −1)n 3 + (r 12 −1)n 2 −n 1 ,(c 2 −1)n 2 + (r 13 −1)n 3 −n 1 }. Theo Bờ ã 2.1.4 v ành nghắa cừa c2, c3, ta suy ra
Tứ mằnh ã trản ta cõ cổng thực sau Ơy xĂc ành số Frobenius cừa nỷa nhõm số S Cổng thực n y ữủc ữa ra bði Johnson nôm 1960.
2.2.2 Hằ quÊ Số Frobenius cừa nỷa nhõm số S l
GiÊ thiát rơng c 3 n 3 +r 12 n 2 < c 2 n 2 +r 13 n 3 Khi õ theo Bờ ã 2.1.3 ta suy ra r 23 n 3 < r 32 n 2 Do â
Theo Mằnh ã 1.4.7, thẳ mởt nỷa nhõm số l ối xựng náu v ch¿ náu kiºu cừa nõ bơng 1, nghắa l nõ cõ duy nhĐt mởt số giÊ Frobenius õ chẵnh l số Frobenius Nhữ vêy, Mằnh ã 2.2.1 cho ta ngay hằ quÊ sau Ơy.
Hằ quÊ là một nhóm số có chiều nhúng bơng 3 với hằng sinh tối tiểu là các số nguyên tố cùng nhau Điều này được suy ra từ Mằnh ã 2.2.1 và vành lỵ 2.1.10.
! l mởt 0-ma trên v S = hA 1 , A2, A3i. Khi â PF (S) ={g 1 , g2}, trong â g 1 = −a 12 a 13 −a 12 a 23 −a 12 a 31 −a 13 a 21 −a 13 a 32 −a 21 a 23 −a 21 a 32 −a 23 a 31 −a 31 a 32
2.2.5 ành lỵ Cho S l mởt nỷa nhõm số cõ hằ sinh tối tiºu l {n 1 , n 2 , n 3 } vợi gcd{n i , n j } = 1, ∀i, j ∈ {1,2,3} v i 6= j Khi õ
Chựng minh Theo ành nghắa cừa ci, rij, Bờ ã 2.1.5 v Mằnh ã 2.2.1 ta suy ra
Theo Bờ ã 2.1.4 v Mằnh ã 1.4.4 ta suy ra
PF (S) ={c 1 n1 +r23n3 −(n1 +n2 +n3), c3n3 +r21n1 −(n1 +n2 +n3)}. Vẳ c3n3 = r31n1 +r32n2 nản theo Bờ ã 2.1.3 ta cõ c3n3 +r21n1 = (r31 +r21)n1 +r32n2 = c1n1 +r32n2.
Ta cõ thº viát lÔi
Vẳ F(S) = max PF(S) nản ta cõ
Nhưc lÔi rơng têp hủp G(S) được định nghĩa là tập hợp các số nguyên không thuộc nhóm số S Số Frobenius F(S) chính là phần tử lớn nhất trong G(S) Lý thuyết của G(S) được gọi là giống của nhóm số S, thường được ký hiệu là g(S), và đôi khi còn được gọi là bậc ký tự của S.
2.2.6 ành lỵ Cho S l mởt nỷa nhõm số cõ hằ sinh tối tiºu l {n 1 , n 2 , n 3 }, vợi gcd{n i , n j } = 1, ∀i, j ∈ {1,2,3} v i 6= j Khi õ g(S) = 1
Chựng minh Theo chựng minh cừa Bờ ã 2.1.5, ta cõ
Ap (S, n 1 ) = an 2 +bn 3 | (a, b) ≤ (r 12 −1, c 3 −1)ho°c(a, b) ≤ (c 2 −1, r 13 −1) Theo Mằnh ã 1.3.4, ta cõ g(S) = 1 n 1
Tứ ành lỵ 2.2.6 v ành lỵ 2.1.10 ta cõ hằ quÊ sau.
! l mởt 0-ma trên v S = hA 1 , A 2 , A 3 i. Khi â g(S) = 1