Nửa nhóm số
Tập hợp S được gọi là nửa nhóm khi có phép toán kết hợp Tập hợp số tự nhiên N với phép cộng là một ví dụ về nửa nhóm có đơn vị Nếu H là một tập con không rỗng của N và khép kín đối với phép cộng, thì H được coi là nửa nhóm con của N Đặc biệt, trong số các nửa nhóm con của N, có một nhóm nửa nhóm con được gọi là nửa nhóm số.
H là một tập con chứa số 0 của tập hợp các số tự nhiên N, và nếu H đóng kín với phép cộng trong khi N\H là hữu hạn, thì H được gọi là một nửa nhóm số.
Cho Alà một tập con khác rỗng của N\ {0} Nửa nhóm con nhỏ nhất của
N (theo quan hệ bao hàm) chứa A được gọi là nửa nhóm sinh bởi A, kí hiệu
< A > và được xác định bởi:
A được gọi là hệ sinh của nửa nhóm < A >.
1.1.2 Mệnh đề Mỗi nửa nhóm số đều tồn tại duy nhất một hệ sinh tối tiểu và hệ sinh tối tiểu này luôn hữu hạn.
Như vậy, mỗi nửa nhóm số đều là nửa nhóm hữu hạn sinh.
Tập con A của N được gọi là có ước chung lớn nhất bằng 1, ký hiệu là gcd(A) = 1, nếu mọi tập con hữu hạn của A đều có ước chung lớn nhất là 1 Định lý sau đây chỉ ra rằng nửa nhóm con của N sinh bởi A là một nửa nhóm số nếu và chỉ nếu ước chung lớn nhất của các phần tử trong A thỏa mãn điều kiện nhất định.
1.1.3 Định lý Cho A là một tập con khác rỗng của N\ {0} Khi đó, < A > là một nửa nhóm số khi và chỉ khi gcd(A) = 1.
Đặt d = gcd(A), ta thấy rằng nếu s ∈ hAi thì d chia hết cho s Bởi vì hAi là một nửa nhóm số, nên tập N \ hAi là hữu hạn, dẫn đến việc tồn tại một số nguyên dương x sao cho d chia hết cho x và d cũng chia hết cho (x + 1) Do đó, suy ra d = 1.
Ngược lại, ta cần chứng minh N\ hAi là một tập hợp hữu hạn Thật vậy, do 1 = gcd(A) nên tồn tại các số nguyên z1, z2, , zn và a1, a2, , an ∈ A sao cho z1a1 +z2a2 + .+znan = 1.
Bằng cách chuyểnz i sang vế phải, ta có thể tìm đượci 1 , , i k , j 1 , , j l ∈
Có tồn tại một số nguyên s ∈ hAi sao cho s + 1 cũng thuộc hAi Để chứng minh điều này, giả sử n ≥ (s−1)s + (s−1), ta có n ∈ hAi Chọn q và r là các số nguyên sao cho n = qs + r với 0 ≤ r < s Từ n ≥ (s−1)s + (s−1), suy ra q ≥ s−1 và r ≤ s−1 Do đó, n có thể được biểu diễn dưới dạng n = r(s + 1) + (q − r)s, chứng minh rằng n ∈ hAi.
H là một nửa nhóm số với hệ sinh tối tiểu A {a1, , ae} thỏa mãn điều kiện a1 < a2 < < ae Chiều nhúng của H được xác định bằng số nguyên e và được kí hiệu là e(H), trong khi số nguyên a1 được gọi là số bội của H và kí hiệu là m(H).
1.1.5 Mệnh đề Cho nửa nhóm số H, khi đó ta có: e(H) ≤ m(H).
Nếu e(H) = 1, thì H phải bằng N, vì m(N) = 1 và e(H) = m(H) Trong trường hợp e(H) ≥ 2, với hệ sinh tối thiểu A = {a1, , an} được sắp xếp tăng dần, ta có e(H) = n và m(H) = a1 Giả sử n > a1, tồn tại hai số ai < aj trong tập A sao cho ai ≡ aj (mod a1), điều này dẫn đến việc tồn tại số nguyên dương k sao cho aj = k.ai + a1, từ đó cho thấy A không phải là hệ sinh tối thiểu của H, điều này mâu thuẫn với giả thiết ban đầu, do đó điều cần chứng minh đã được xác nhận.
Trong trường hợp e(H) =m(H) thì ta nói nửa nhóm số H có chiều nhúng tối đại.
Nhà toán học Frobenius đã nghiên cứu công thức xác định số nguyên lớn nhất không thể biểu thị tuyến tính qua một tập hợp các số nguyên dương có ước chung lớn nhất là 1 Vấn đề này được diễn đạt dưới dạng tìm số nguyên lớn nhất không thuộc nửa nhóm số H, và số nguyên này được xác định thông qua các phần tử trong hệ sinh tối tiểu của H Số nguyên đó được gọi là số Frobenius của nửa nhóm số H, ký hiệu là F(H).
1.1.6 Ví dụ 1) Cho nửa nhóm số H =< 5,7,9 > Khi đó
Khi đó ta tính được F(H).
1.1.7 Định nghĩa Cho một nửa nhóm số H với số Frobenius là F(H) Ta nhận thấy ngay F(H)−n /∈ H,∀n ∈ H Xét tương ứng ϕ :H −→Z\H, h 7→F(H)−h.
Ta có thể chứng minh rằng ánh xạ ϕ là một đơn ánh và trong trường hợp ϕ là một song ánh, ta gọi nửa nhóm số H là nửa nhóm số đối xứng.
Như vậy, một nửa nhóm số đối xứng H là một nửa nhóm số mà các tập hợp H và Z\H tương đương nhau.
Vành phân bậc
Các kiến thức trong mục này chúng tôi tham khảo từ [2].
1.2.1 Định nghĩa Một vành R được gọi là vành phân bậc hay vành Z-phân bậc, nếu tồn tại một họ các nhóm con {R i } i∈ Z của nhóm cộng R thỏa mãn:
Ri xét như nhóm cộng;
Một vành phân bậc R được gọi là phân bậc dương hay N−phân bậc nếu
Trong không gian R i, giá trị R i bằng 0 cho mọi i nhỏ hơn 0 Mỗi phần tử x khác 0 thuộc R i được gọi là phần tử thuần nhất bậc i và được ký hiệu bậc là degx = i Đặc biệt, phần tử 0 được xem là phần tử thuần nhất bậc tùy ý.
R i đều phân tích được duy nhất thành tổng các thành phần thuần nhất, tức là x = P i∈ Z x i trong đó x i ∈ R i với mọi i ∈ Z.
R là một vành phân bậc, trong đó R0 là một vành con của R và 1 ∈ R0 Các R_i là các R0-môđun với mọi i Do R0 ⊆ R0, R0 đóng kín đối với phép nhân, điều này chứng tỏ R0 là vành con của R.
R 0 R i ⊆ R i nên R i là R 0 -môđun với mọi i Bây giờ ta viết 1 dưới dạng
1 = P i x i trong đó x i ∈ R i và chỉ một số hữu hạn các x i 6= 0 Khi đó với mọi n ta có x n = x n 1 = x n X i x i
So sánh bậc ta có x n = x n x 0 với mọi n Do đó x0 = 1x0 = X i xix0 = X i xi = 1.
R là một vành, và trong trường hợp này, R có thể được xem như một vành phân bậc tầm thường, với R 0 = R và R i = 0 cho mọi i khác 0 Dưới đây là một ví dụ quan trọng về vành phân bậc.
1.2.3 Ví dụ (Vành đa thức phân bậc) Cho R là một vành Vành đa thức
S = R[x 1 , , x d ] có thể được phân bậc như sau:
(1) Gọi S n là tập tất cả các đa thức thuần nhất bậc n, tính cả đa thức 0, nghĩa là
S n = n X m∈ N d a m x m | a m ∈ R, m 1 + .+m d = no, trong đó m = (m 1 , , m d ) ∈ N d , x m = x m 1 1 x m d d Khi đó S = L n≥0
S n là một vành N−phân bậc, với kiểu phân bậc được gọi là phân bậc chuẩn hay phân bậc tự nhiên Đặc điểm của kiểu phân bậc này là S 0 = R và degx i = 1 cho mọi i.
(2) Vành đa thức S có thể được phân bậc theo cách khác như sau: với mỗi α = (α 1 , , α d ) ∈ Z d , các nhóm con {S n } với
S n = n X m∈ Z d a m x m | a m ∈ R, α 1 m 1 + .+α d m d = no xác định một sự phân bậc của S Đối với kiểu phân bậc này thì R ⊆ S 0 và degx i = α i với mọi i.
Trong bài viết này, chúng ta xem xét vành đa thức ba biến S = k[x, y, z] với một ví dụ cụ thể là f = x³ + yz Đối với phân bậc chuẩn của S, các thành phần thuần nhất của f được xác định là x³ và yz Ngược lại, khi áp dụng sự phân bậc cảm sinh với degx = 3, degy = 4 và degz = 5, f trở thành một phần tử thuần nhất có bậc 9.
Như vậy ta thấy rằng trên cùng một vành có thể có nhiều cách phân bậc khác nhau.
S n là một vành phân bậc và R là một vành con của S R được gọi là vành con phân bậc của S nếu R = L n
Vành con R được coi là vành con phân bậc nếu với mọi phần tử f thuộc R, tất cả các thành phần thuần nhất của f đều thuộc vành con S n ∩ R.
Sn là một vành phân bậc và f1, , fd là các phần tử thuần nhất của S với bậc tương ứng là α 1 , , α d Khi đó R S 0 [f 1 , , f d ] là vành con phân bậc của S với
R n = n X m∈ N d a m f 1 m 1 f d m d | a m ∈ S 0 , α 1 m 1 + .+ α d m d = no.1.2.6 Ví dụ (1) k[x 2 , xy, y 2 ] là vành con phân bậc của vành k[x, y].
(2) k[t 3 , t 4 , t 5 ] là vành con phân bậc của vành k[t].
(3) Z[u 3 , u 2 +v 3 ] là vành con phân bậc của vành Z[u, v] với degu = 3 và degv = 2.
Vành nửa nhóm số
Khái niệm vành nửa nhóm số có nhiều ứng dụng trong Đại số hiện đại. Sau đây chúng tôi trình bày khái niệm vành nửa nhóm số dựa theo [4].
1.3.1 Định nghĩa Cho H là một nửa nhóm số, k[t] là vành đa thức một biến t trên trường k Ký hiệu k[H] := k[t h | h ∈ H]⊆ k[t].
Vành k[H] được định nghĩa là tập hợp các đa thức k[t] có dạng k[H] = {X n≥0 c n t n | c n = 0 nếu n ∈ N\H} Đây là một vành con của vành đa thức k[t] và được gọi là vành nửa nhóm của nửa nhóm số H, hay còn gọi là vành nửa nhóm số.
1.3.2 Nhận xét Vành nửa nhóm số R := k[H] có cấu trúc là một vành
Z-phân bậc theo phân bậc tự nhiên R = ⊕ n∈ Z
1.3.3 Mệnh đề Vành nửa nhóm số k[H] là một vành Noether, tồn tại a 1 , a 2 , , a ` ∈ N (` > 0) sao cho H =< a 1 , a 2 , , a ` > và dimk[H] = 1 nếu H 6= {0}.
Chứng minh Giả sử H 6= {0} Khi đó ta có thể chọn 06= a ∈ H Ta có k[t a ] ⊆ k[H] ⊆k[t].
Vì t là nghiệm của đa thức X a − t a trong (k[t a ])[X], nên t là một phần tử nguyên trên k[t a ] Điều này dẫn đến việc k[t] là một mở rộng hữu hạn của k[t a ] Suy ra, k[H] cũng là một mở rộng hữu hạn của k[t a ], từ đó có thể kết luận rằng dimk[H] = 1.
Nếu {a1, a2, , a`} là một hệ sinh của nửa nhóm số H, thì k[H] = k[ta1, ta2, , ta`] là một k-đại số con hữu hạn sinh của k-đại số k[t] được sinh bởi {ta1, ta2, , ta`} Vành k[H] có duy nhất một lý thuyết cực đại thuần nhất với h = (ta1, ta2, , ta`).
1.3.4 Chú ý Cho nửa nhóm số H =< a 1 , a 2 , , a n > với hệ sinh tối tiểu {a 1 , a 2 , , a n } Ký hiệu R := k[H] = k[t a 1 , t a 2 , , t a n ] Xét vành đa thức n biến S = k[t 1 , t 2 , , t n ] và ánh xạ ϕ :S −→R, t i 7−→ t a i ,∀i ∈ {1,2, , n}.
Khi ϕ là một toàn cấu k-đại số, hạt nhân của đồng cấu ϕ được ký hiệu là I_H Ta có thể diễn đạt rằng R ∼= S/Kerϕ hay k[H] ∼= k[t_1, t_2, , t_n]/I_H Iđêan I_H được gọi là iđêan định nghĩa của vành nửa nhóm số k[H], và vành nửa nhóm số k[H] hoàn toàn được xác định bởi iđêan định nghĩa I_H.
CHƯƠNG 2 VÀNH NỬA NHÓM SỐ CÓ CHIỀU NHÚNG BẰNG 3
Việc xác định vành nửa nhóm k[H] của nửa nhóm số H đồng nghĩa với việc xác định iđêan định nghĩa I H Trường hợp chiều nhúng của nửa nhóm số
H là n=3, được mô tả bởi Herzog vào năm 1970 Khi n=4, trường hợp H là nửa nhóm số đối xứng (khi đó k[H] là vành Gorenstein) đã được Bresinsky tính toán hệ sinh tối tiểu của I H vào năm 1975, trong khi trường hợp H là nửa nhóm số giả đối xứng được Komeda nghiên cứu vào năm 1982 Hiện tại, chúng ta chỉ mới mô tả IH trong các trường hợp có số phần tử sinh của H nhỏ Đặc biệt, với chiều nhúng của H bằng 4, chúng ta vẫn chỉ có một phần câu trả lời Gần đây, trong một bài báo tiền ấn phẩm, các nhà toán học Shiro Goto, Đỗ Văn Kiên, Nayuki Matsuoka và Hoàng Lê Trường đã phát hiện ra mối liên hệ giữa hệ sinh của IH và tập các số giả Frobenius PF(H) của nửa nhóm số H.
Trong [5], Herzog đã mô tả iđêan định nghĩa IH trong trường hợp chiều nhúng củaH bằng 3 Tuy nhiên trình bày của bài báo này rất khó hiểu Trong
Trong chương này, chúng tôi sẽ mở rộng và làm rõ kết quả mà Goto đã đề cập, mặc dù ông không cung cấp chứng minh chi tiết Chúng tôi sẽ dựa vào các tài liệu như [4] và [5] để trình bày vấn đề một cách dễ hiểu, giúp độc giả không cần có kiến thức sâu về đại số vẫn có thể tiếp cận Chúng tôi sẽ hướng dẫn các bước cụ thể để xác định iđêan định nghĩa I H, bao gồm việc xác định vành nửa nhóm số k[H] cùng với một số tính chất của I H.
Trong chương này, chúng ta ký hiệu H =< a, b, c > là nửa nhóm số có chiều nhúng bằng 3 với hệ sinh tối tiểu {a, b, c} Điều này dẫn đến việc gcd(a, b, c) = 1 và H được xác định theo cách cụ thể.
H = {ad 1 +bd 2 +cd 3 | d 1 , d 2 , d 3 ∈ N}. Để thuận tiện, trong chương này ta ký hiệu iđêan định nghĩa IH bởi K.
2.1 Iđêan định nghĩa của vành nửa nhóm của nửa nhóm số có chiều nhúng bằng 3
Vành nửa nhóm của H là k[H] = k[t a , t b , t c ] là vành con của vành đa thức một biến k[t] Ký hiệu R := k[H] Với mỗi n∈ Z ta đặt
R n là một vành Z-phân bậc theo phân bậc tự nhiên.
Cho S = k[X, Y, Z] là vành đa thức ba biến X, Y, Z trên trường k Đặt
S n là một vànhZ-phân bậc vớiS 0 = k,degX = a,degY = b, degZ = c. Đồng cấu k-đại số ϕ : S −→ R, X 7→ t a ;Y 7→t b ;Z 7→ t c là một toàn cấu đại số Hơn nữa ϕ là một đồng cấu phân bậc bậc 0 Đặt
Khi đó K là một iđêan nguyên tố phân bậc của vành S = k[X, Y, Z] và ta có k[H] ∼= k[X, Y, Z]/Kerϕ.
Như vậy để xác định vành nửa nhóm số k[H] ta cần xác định iđêan định nghĩa K Để làm điều này ta đặt:
Rõ ràng T i 6= ∅ với i ∈ {1; 2; 3} vì b ∈ T 1 , c ∈ T 2 , a∈ T 3 Đặt α1 = minT1, β1 = minT2, γ1 = minT3. Lấy α i , β i , γ i với i ∈ {2; 3} sao cho
Nội dung chính của mục này là chứng minh định lý sau đây mô tả iđêan định nghĩa K của vành nửa nhóm số k[H].
2.1.1 Định lý Với những ký hiệu như trên, ta có
K = (F1, F2, F3). Để chứng minh Định lý 2.1.1, trước hết ta có bổ đề sau đây.
2.1.2 Bổ đề Với các ký hiệu như trên ta có: aα 1 = bα 2 +cα 3 (2.1) bβ 1 = cβ 2 +aβ 3 (2.2) cγ 1 = aγ 2 +bγ 3 (2.3)
Chứng minh Ta chứng minh 2.1 Thật vậy, do X α 1 − Y α 2 Z α 3 ∈ K, suy ra ϕ(X α 1 −Y α 2 Z α 3 ) = 0 Điều này có nghĩa là t aα 1 −t bα 2 t cα 3 = 0 Do đó aα 1 = bα 2 +cα 3 Các đẳng thức 2.2, 2.3 được chứng minh tương tự.
Bây giờ ta sẽ chứng minh Định lý 2.1.1 Ký hiệu
I = (F1, F2, F3) là iđêan của S sinh bởi F1, F2, F3 Rõ ràng I ⊆ K vì F1, F2, F3 ∈ K Ta cần chứng minh I = K.
Giả sử I (K Do K là một lý thuyết phân bậc), tồn tại một phần tử h ∈ K\I, với h là đa thức thuần nhất có bậc nhỏ nhất Chúng ta chọn h sao cho h = X, trong đó n được định nghĩa là bậc của h (degh).
Từ đây suy ra P λ∈∧ n c λ = 0 Do đó lấy (λ 0 1 , λ 0 2 , λ 0 3 ) ∈ ∧ n và ta có thể viết h dưới dạng sau h = X λ∈∧ n c λ X λ 1 Y λ 2 z λ 3 − X λ∈∧ n c λ X λ 0 1 Y λ 0 2 z λ 0 3
Lưu ý rằng h là đa thức thuần nhất bậc n, do đó tất cả các hạng tử của h đều có cùng bậc n Điều này dẫn đến việc tồn tại ít nhất một hạng tử của tổng không thuộc vào iđêan I; nếu không, tất cả các hạng tử của tổng sẽ thuộc về iđêan này.
I thì h ∈ I mà điều này là không thể Hơn nữa vì 0 6= h ∈ K nên tồn tại hạng tử của h thuộc K Vì vậy tồn tại (λ 1 , λ 2 , λ 3 ),(λ 0 1 , λ 0 2 , λ 0 3 ) ∈ ∧ n sao cho
Do đó, không mất tính tổng quát chúng ta có thể giả thiết rằng h = X λ 1 Y λ 2 Z λ 3 −X λ 0 1 Y λ 0 2 Z λ 0 3 , với (λ 1 , λ 2 , λ 3 ),(λ 0 1 , λ 0 2 , λ 0 3 ) ∈ ∧ n Như vậy h = X λ 1 Y λ 2 Z λ 3 −X λ 0 1 Y λ 0 2 Z λ 0 3 ∈ K ∩Sn\I.
Khi đó, ta có khẳng định sau đây.
λ1 = 0 hoặc λ 0 1 = 0 λ2 = 0 hoặc λ 0 2 = 0 λ3 = 0 hoặc λ 0 3 = 0 Chứng minh Bây giờ ta chứng minh Khẳng định (*).
Trước hết ta cần chỉ ra λ 1 = 0 hoặc λ 0 1 = 0 Giả sử ngược lại, λ 1 > 0 và λ 0 1 > 0 Vì
Do X /∈ K và K là iđêan nguyên tố nên từ Xg ∈ K ta suy ra g ∈ K Mặt khác, do (λ 1 , λ 2 , λ 3 ),(λ 0 1 , λ 0 2 , λ 0 3 ) ∈ ∧ n nên λ 1 a+λ 2 b+λ 3 c = n= λ 0 1 a+λ 0 2 b+ λ 0 3 c, suy ra
Theo giả thiết gX = h /∈ I, dẫn đến g /∈ I, cho thấy g là một đa thức thuần nhất trong K\I với bậc nhỏ hơn bậc của h Điều này mâu thuẫn với việc chọn h là đa thức thuần nhất có bậc nhỏ nhất trong K \ I Mâu thuẫn này chỉ ra rằng giả sử ban đầu λ 1 > 0 và λ 0 1 > 0 là sai, từ đó suy ra rằng λ 1 = 0 hoặc λ 0 1 = 0.
Các khẳng định λ 2 = 0 hoặc λ 0 2 = 0 và λ 3 = 0 hoặc λ 0 3 = 0 được chứng minh tương tự.
Bây giờ ta tiếp tục chứng minh Định lý 2.1.1 Theo Khẳng định (*) thì h có một trong các dạng cho bởi bảng sau đây.
Do đó, có thể giả thiết h có dạng h = X λ 1 −Y λ 0 2 Z λ 0 3 hoặc h = X λ 1 −Y λ 0 2 Nếu h có dạng h = X λ 1 −Y λ 0 2 Z λ 0 3 ∈ K ∩ S n \I với λ 0 2 > 0, λ 0 3 > 0 thì do
X λ 1 − Y λ 0 2 Z λ 0 3 = h ∈ K ∩ S n \I nên X λ 1 −Y λ 0 2 Z λ 0 3 ∈ K Do tính nhỏ nhất của α 1 nên α 1 ≤ λ 1 Suy ra
Y λ 0 2 Z λ 0 3 = X λ 1 = X λ 1 −α 1 Y α 2 Z α 3 trong vành thương S K Vì vậy
Y λ 0 2 Z λ 0 3 −X λ 1 −α 1 Y α 2 Z α 3 −X λ 1 −α 1 (X α 1 −Y α 2 Z α 3 ) =Y λ 0 2 Z λ 0 3 −X λ 1 = −h /∈ I nên Y λ 0 2 Z λ 0 3 −X λ 1 −α 1 Y α 2 Z α 3 ∈/ I (do X λ 1 −α 1 (X α 1 −Y α 2 Z α 3 ) ∈ I) Như vậy ta đã chứng minh được
Theo Khẳng định (*), do λ 0 2 > 0, λ 0 3 > 0 nên α 2 = α 3 = 0 Do đó, α 1 = 0. Điều này mâu thuẫn vì α 1 = minT 1 ≥ 1 Vì vậy h không thể có dạng
Vì vậy h phải có dạng h = X λ 1 −Y λ 0 2 ∈ K ∩ S n \I với λ 0 2 > 0 Do tính nhỏ nhất của α 1 nên α 1 ≤λ 1 , suy ra
Khi đó, ta có Y λ 0 2 −X λ 1 −α 1 Y α 2 Z α 3 ∈ K ∩S n \I Theo Khẳng định (*), ta có λ 0 2 = 0 hoặc α 2 = 0 Vì λ 0 2 > 0 nên α 2 = 0 Vậy
Nếu α 3 = 0 thì α 1 = 0, do đó α 3 > 0 Vì vậy theo Khẳng định (*), ta có λ 1 = α 1 Do đó,
Y λ 0 2 −Z α 3 ∈ K ∩Sn\I và như vậy ta có h = X α 1 −Y λ 0 2
Từ đó, suy ra X α 1 −Y λ 2 −β 1 Z β 2 X β 3 ∈ K∩S n \I Theo Khẳng định (*), ta có β 3 = 0 và λ 0 2 = β 1 Khi đó h = X α 1 −Y β 1 , Y β 1 −Z α 3 , X α 1 −Z β 2 ∈ K ∩S n \I.
Do đó, Z α 2 −Z α 3 = (X α 1 −Z α 3 )−(X α 1 −Z β 2 ) ∈ K∩S n \I Suy ra α 3 = β 2 Vậy
F 1 = X α 1 −Y α 2 Z α 3 = X α 1 −Z β 2 ∈ K ∩S n \I do α 2 = 0, α 3 = β 2 F 1 ∈/ I là điều không thể vì F 1 là phần tử sinh của I Vì vậy, giả sử ban đầu I ( K là sai Do đó I = K hay
K = (F 1 , F 2 , F 3 ) và Định lý 2.1.1 được chứng minh hoàn toàn.
Để xác định vành nửa nhóm k[H] của nửa nhóm số H, cần xác định iđêan K theo Định lý 2.1.1 Việc xác định K yêu cầu tìm các phần tử sinh F1, F2, F3, được xác định bởi các số nguyên αi, βi, γi với i = 1, 2, 3 Trong đó, α1, β1, γ1 là số nhỏ nhất trong các tập hợp T1, T2, T3, và các số αi, βi, γi với i = 2, 3 phải thỏa mãn Bổ đề 2.1.2 Các tập hợp T1, T2, T3 có thể được mô tả cụ thể hơn để làm rõ hơn nội dung.
Tương tự ta cũng có
Sau đây, chúng tôi trình bày một số ví dụ minh họa cho việc xác định vành nửa nhóm của một nửa nhóm số có chiều nhúng bằng 3.
2.1.4 Ví dụ Cho H =< 3,4,5 > là nửa nhóm số sinh bởi 3 phần tử 3,4,5.
Ta cần xác định nửa nhóm số k[H].
Trước hết ta xác định các số α 1 , β 1 , γ 1 nhờ Nhận xét 2.1.3 α 1 = minT 1 = min{d ∈ N ∗ | 3d ∈< 4,5>}= 3. β 1 = minT 2 = min{d ∈ N ∗ | 4d ∈< 3,5 >} = 2. γ 1 = minT 3 = min{d ∈ N ∗ | 5d ∈< 3,4>} = 2.
Tiếp theo ta xác định các số nguyên α i , β i , γ i , i = 2,3 thỏa mãn Bổ đề 2.1.2:
Do đó ta có thể chọn α 2 = α 3 = 1, β 2 = β 3 = 1, γ 2 = 2 và γ 3 = 1 Do đó,
Iđêan định nghĩa của nửa nhóm số k[H] là
K = (X 3 −Y Z, Y 2 −ZX, Z 2 −X 2 Y) và vành nửa nhóm k[H] của nửa nhóm số H là k[H] = k[t 3 , t 4 , t 5 ] ∼= k[X, Y, Z]
2.1.5 Ví dụ Cho nửa nhóm số H =< 4,5,11 >.
• Xác định các số α 1 , β 1 , γ 1 : α 1 = minT 1 = min{d ∈ N ∗ | 4d ∈< 5,11 >} = 4. β 1 = minT 2 = min{d ∈ N ∗ | 5d ∈< 4,11 >} = 3. γ 1 = minT 3 = min{d ∈ N ∗ | 11d ∈< 4,5>}= 2.
• Xác định các số nguyên αi, βi, γi, i= 2,3 thỏa mãn Bổ đề 2.1.2:
Do đó ta có thể chọn α 2 = α 3 = 1, β 2 = β 3 = 1, γ 2 = 3 và γ 3 = 2 Do đó,
F 1 = X 4 −Y Z, F 2 = Y 3 −ZX, F 3 = Z 2 −X 3 Y 2 Iđêan định nghĩa của nửa nhóm số k[H] là
K = (X 4 −Y Z, Y 3 −ZX, Z 2 −X 3 Y ) và vành nửa nhóm k[H] của nửa nhóm số H là k[H] = k[t 4 , t 5 , t 11 ] ∼= k[X, Y, Z]
(X 4 −Y Z, Y 3 −ZX, Z 2 −X 3 Y ) 2.1.6 Ví dụ Cho nửa nhóm số H =< 4,5,6 > Khi đó ta có α 1 = minT 1 = min{d ∈ N ∗ | 4d ∈< 5,6>}= 3. β 1 = minT 2 = min{d ∈ N ∗ | 5d ∈< 4,6 >} = 2. γ1 = minT3 = min{d ∈ N ∗ | 6d ∈< 4,5 >} = 2 và
Do đó ta có thể chọn α 2 = 0, α 3 = 2, β 2 = β 3 = 1, γ 2 = 3 và γ 3 = 0 Do đó,
Iđêan định nghĩa của nửa nhóm số k[H] là
Tuy nhiên ở đây ta nhận thấy rằng F 1 , F 2 , F 3 không phải là hệ sinh tối tiểu của K vì F 3 = −F 1 Vậy
K = (X 3 −Z 2 , Y 2 −ZX) và như vậy vành nửa nhóm số k[H] là k[H] = k[t 4 , t 5 , t 6 ] ∼= k[X, Y, Z]
Qua các ví dụ, chúng ta thấy rằng F1, F2, F3 không nhất thiết phải là hệ sinh tối thiểu cho iđêan định nghĩa K Điều này cho thấy số phần tử của hệ sinh tối thiểu có thể khác với các ví dụ đã nêu.
K có thể ít hơn 3 Định lý sau cho ta đặc trưng của các trường hợp này.
2.1.7 Định lý Các khẳng định sau đây là đúng.
(1) α3 = 0 hoặc γ2 = 0 khi và chỉ khi K = (F1, F3).
(2) β3 = 0 hoặc α2 = 0 khi và chỉ khi K = (F1, F2).
(3) γ3 = 0 hoặc β2 = 0 khi và chỉ khi K = (F2, F3).
Để chứng minh, chỉ cần xác minh phát biểu (1), từ đó các phát biểu (2) và (3) cũng sẽ được chứng minh tương tự Giả sử α3 = 0, ta có thể viết lại F1 = X α1 − Y α2 Nhờ vào tính nhỏ nhất của β1, từ mối quan hệ bα2 = cα3 + aα1, ta có thể rút ra kết luận cần thiết.
Y α 2 −Z α 3 X α 1 = Y α 2 −X α 1 ∈ K và do đó α2 ≥ β1 Suy ra
Từ đó, suy ra 1−Y α 2 −β 1 Z β 2 X β 3 −α 1 ∈ K Điều này kéo theo ϕ(1−Y α 2 −β 1 Z β 2 X β 3 −α 1 ) = 0.
Do đó α 2 = β 1 ;β 2 = 0;β 3 = α 1 Ta viết lại
Bây giờ ta xét trường hợp α 1 > β 3 Khi đó ta có
Vì α 1 ≥ α 1 −β 3 > 0 và α 1 = minT 1 nên β 3 = 0 Ta viết lại
F 2 = Y β 1 −Z β 2 X β 3 = Y β 1 −Z β 2 , tức là F 2 = Y β 1 −Z β 2 Do γ 1 = minT 3 nên γ 1 ≤β 2 Suy ra
Do đó γ 2 = 0, β 1 = γ 3 , β 2 = α 1 Vì minT 2 = β 1 ≥ β 1 −γ 3 > 0 nên γ 3 = 0.
Như vậy ta đã chứng minh được α 3 = β 3 = γ 3 = 0 α 1 ≤ γ 2 ;β 1 ≤ α 2 ;γ 1 ≤ β 2 và
Mặt khác, ta lại có aα 1 = bα 2 ≥bβ 1 = cβ 2 ≥ cγ 1 = aγ 2 nên α 1 ≥ γ 2 Khi đó, ta có α 1 = γ 2 Chứng minh tương tự, suy ra β 1 = α 2 , γ 1 = β 2
Trong mọi trường hợp, ta có F 2 ∈ (F 1 , F 3 ), tức là K = (F 1 , F 3 ) Nếu γ 2 = 0, ta cũng có K = (F 1 , F 3 ) theo cách chứng minh tương tự Điều kiện đủ là giả sử K = (F 1 , F 2 , F 3 ), từ đó suy ra F 2 ∈ (F 1 , F 3 ) Điều này dẫn đến sự tồn tại của các đa thức f, g ∈ S không đồng thời bằng 0.
Từ đây suy ra α 3 = 0 hoặc γ 2 = 0 vì nếu α 3 và γ 2 đều khác 0 thì không thể tồn tại f, g ∈ S để xảy ra đẳng thức trên.
Ký hiệu à S (K) đại diện cho số phần tử trong hệ sinh tối tiểu của iđờan K Theo định lý 2.1.7, điều kiện cần và đủ để có à S (K) ≤ 2 được xác định Định lý này cũng cung cấp hệ quả quan trọng để nhận biết trường hợp khi nào à S (K) = 3.
2.1.8 Hệ quả à S (K) = 3 khi và chỉ khi α i , β i , γ i là cỏc số nguyờn dương với mọi i ∈ {2; 3}.
Chứng minh Điều kiện cần được suy ra ngay từ Định lý 2.1.7 Vì nếu tồn tại một trong các số nguyên α i , β i , γ i với i ∈ {2; 3} bằng 0 thì theo Định lý 2.1.7 ta cú à S (K) ≤ 2.