❛❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜❝ ❞❞❞ ❡ ❡ ❡ ❞❞❞ ❡ ❡ ❡ ❞❞❞ ❡ ❡ ❡ ❞❞❞ ❡ ❡ ❡ ❞❞❞ ❡ ❡ ❡ ❞❞❞ ❡ ❡ ❡ ❞❞❞ ❡ ❡ ❡ ❞❞❞ ❡ ❡ ❡ ❞❞❞ ❡ ❡ ❡ ❞❞❞ ❡ ❡ ❡ ❞❞❞ ❡ ❡ ❡ ❞❞❞ ❡ ❡ ❡ ❞❞❞ ❡ ❡ ❡ ❞❞❞ ❡ ❡ ❡ ❞❞❞ ❡ ❡ ❡ ❞❞❞ ❡ ❡ ❡ ❞❞❞ ❡ ❡ ❡ ❞❞❞ ❡ ❡ ❡ ❞❞❞ ❡ ❡ ❡ ❞❞❞ ❡ ❡ ❡ ❢❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❤ BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI NCKH CỦA SINH VIÊN NĂM HỌC 2018-1019 CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ VÀ TÍNH CHẤT SỐ CƠ SỞ BẤT BIẾN CỦA ĐẠI SỐ ĐƯỜNG ĐI LEAVITT Mã số: SPD2018.02.51 Chủ nhiệm đề tài: Tăng Võ Nhật Trung Lớp: ĐHSTOAN16B Giảng viên hướng dẫn: ThS Ngô Tấn Phúc Đồng Tháp, 6/2019 ❛❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜❝ ❡ ❞❞❞ ❡ ❡ ❡ ❞❞❞ ❡ ❡ ❡ ❞❞❞ ❡ ❡ ❡ ❞❞❞ ❡ ❡ ❡ ❞❞❞ ❡ ❡ ❡ ❞❞❞ ❡ ❡ ❡ ❞❞❞ ❡ ❡ ❡ ❞❞❞ ❡ ❡ ❡ ❞❞❞ ❡ ❡ ❡ ❞❞❞ ❡ ❡ ❡ ❞❞❞ ❡ ❡ ❡ ❞❞❞ ❡ ❡ ❡ ❞❞❞ ❡ ❡ ❡ ❞❞❞ ❡ ❡ ❡ ❞❞❞ ❡ ❡ ❞❞❞ ❡ ❡ ❡ ❡ ❞❞❞ ❡ ❡ ❡ ❞❞❞ ❡ ❡ ❡ ❞❞❞ ❡ ❡ ❡ ❞❞❞ ❡ ❡ ❡ ❞❞❞ ❡ ❡ ❢❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❤ BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI NCKH CỦA SINH VIÊN NĂM HỌC 2018-2019 CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ VÀ TÍNH CHẤT SỐ CƠ SỞ BẤT BIẾN CỦA ĐẠI SỐ ĐƯỜNG ĐI LEAVITT Mã số: SPD2018.02.51 Giảng viên hướng dẫn Giảng viên hướng dẫn Chủ nhiệm đề tài Tăng Võ Nhật Trung Xác nhận Chủ tịch hội đồng TS.Lê Hoàng Mai Đồng Tháp, 6/2019 ii MỤC LỤC Thông tin kết nghiên cứu iii Information on research results v Mở đầu 1 Tổng quan tình hình nghiên cứu Tính cấp thiết đề tài Mục tiêu đề tài Cách tiếp cận phương pháp nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nội dung nghiên cứu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Vành, môđun đại số 1.2 Đại số đường Leavitt 11 Một số phép biến đổi đồ thị tính chất số sở bất biến cho đại số đường Leavitt 15 2.1 Tính chất số sở bất biến đại số đường Leavitt 15 2.2 Sự thay đổi tính chất số sở bất biến đại số đường Leavitt qua số phép biến đổi đồ thị 19 Kết luận kiến nghị 24 Phụ lục 27 iii BỘ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO CỘNG HÒA Xà HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP Độc lập - Tự - Hạnh phúc THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU Thông tin chung: - Tên đề tài: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ VÀ TÍNH CƠ SỞ BẤT BIẾN CỦA ĐẠI SỐ ĐƯỜNG ĐI LEAVITT - Mã số: SPD2018.02.51 - Chủ nhiệm đề tài: Tăng Võ Nhật Trung - Thời gian thực hiện: 7/2018 đến 6/2019 Mục tiêu: Xét thay đổi tính chất sở bất biến đại số đường Leavitt qua số phép biến đổi đồ thị Tính sáng tạo: Đề tài đưa khái niệm chu trình gần Từ đó, tiêu chuẩn để đại số đường Leavitt thỏa mãn tính chất số phần tử sinh vơ hạn mô tả cách đơn giản Kết nghiên cứu: - Chương Khái quát lý thuyết đồ thị đại số đường Leavitt - Chương Một số phép biến đổi đồ thị tính chất số sở bất biến cho đại số đường Leavitt Sản phẩm: - Một báo cáo tổng kết kết nghiên cứu - Một báo khoa học đăng tạp chí khoa học có số ISSN Phương thức chuyển giao, địa ứng dụng, tác động lợi ích mang lại kết nghiên cứu: Kết nghiên cứu đề tài chuyển giao đến người quan tâm thông qua báo cáo tổng kết việc công bố báo tạp chí khoa học Kết nghiên cứu chuyển giao ứng dụng thư viện Trường iv Đại học Đồng Tháp trường đại học, cao đẳng khác tạp chí khoa học cơng bố kết nghiên cứu đề tài Kết nghiên cứu góp phần phát triển đại số kết hợp nói riêng Tốn học nói chung Kết nghiên cứu đề tài góp phần bồi dưỡng phát triển lực nghiên cứu sinh viên ngành Tốn qua nâng cao chất lượng đào tạo cho nhà trường Chủ nhiệm đề tài Tăng Võ Nhật Trung v MINISTRY OF EDUCATION AND TRAINING DONG THAP UNIVERSITY SOCIALIST REPUBLIC OF VIET NAM Independence - Freedom - Happiness INFORMATION ON RESEARCH RESULTS General information: - Project title: THE GRAPH TRANSFORMATIONS AND INVARIANT BASIS NUMBER PROPERTY OF LEAVITT PATH ALGEBRAS - Code number: SPD2018.02.51 - Coordinator: Tăng Võ Nhật Trung - Duration: from 2018, May to 2019, June Objective(s): To investigate the invariant basis number property of the associated Leavitt path algebras under the graph tranformations Creativeness and innovativeness: The research introduced the nearest cycles Thereby, the criterion for the Leavitt path algebras have unbounded generating number property was described simpler Research results: - Chapter Introduction to Leavitt path algebras - Chapter The graph tranformations and invariant basis number property of Leavitt path algebras Products: - The scientific report presents the research results - One article were published on the ISSN journal Transfer alternatives, application institutions, impacts and benefits of research results: The research results of the project be transferred to interested people through the scientific report and the publication in scientific journals The research results can be transferred at the library of Dong Thap University and others or the scientific journals where publish the results of the project vi The research results contribute to the development of noncommutative algebra and mathematics in general The research results contribute to motivate the researching of mathematical students, thereby improving the quality of training for our school Coordinator Tăng Võ Nhật Trung MỞ ĐẦU Tổng quan tình hình nghiên cứu Năm 2005, đại số đường Leavitt đề xuất cách độc lập Abrams - Pino [2] Ara - Moreno - Pardo [6] Đây lĩnh vực nghiên cứu sử dụng kết quả, ý tưởng phương pháp giải tích, đại số đại cổ điển Trong chuyên ngành Đại số kết hợp người ta thường xét tính chất vành thông qua lớp môđun vành Một tính chất tính chất số sở bất biến Một vành gọi có tính chất số sở bất biến hai sở môđun tự hữu hạn sinh vành có số phần tử Tính chất đề xuất nghiên cứu [9] nhiều tác giả quan tâm Một ví dụ cổ điển minh họa cho vành lớp môđun thỏa mãn điều kiện trường môđun trường (hay cịn gọi khơng gian vectơ) Gần đây, tác giả nghiên cứu đại số đường Leavitt quan tâm đến vấn đề xét tính chất số sở bất biến đại số đường Leavitt đại số có liên quan Một số kết gần hướng nghiên cứu cơng trình [3], [4], [8], [10], [12] [13] Từ cơng trình ta suy rằng, đồ thị biến đổi tính chất số sở bất biến đại số đường Leavitt đồ thị thay đổi Các cơng trình [1] [5] số phép biến đổi đồ thị đóng vai trị quan trọng việc phân loại đại số đường Leavitt Vấn đề đặt qua phép biến đổi đồ thị này, tính chất số sở bất biến đại số đường Leavitt đồ thị có cịn giữ ngun đồ thị ban đầu hay không? Chúng chọn vấn đề “Các phép biến đổi đồ thị tính chất số sở bất biến đại số đường Leavitt” làm đề tài nghiên cứu ý nghĩa tính thời trình bày 2 Tính cấp thiết đề tài Trong nghiên cứu tính chất đại số đường Leavitt, người ta quan tâm đến phép biến đổi đồ thị, chẳng hạn phép thu gọn gốc: E = •v E/v = G B •a j •a j B G •c •b •b G •c Có tính chất ρ đại số đường Leavitt bất biến qua số phép biến đổi đồ thị này, chẳng hạn tính chất ρ="tính hữu hạn chiều đại số" Nghĩa đại số đường Leavitt LK (E) đồ thị E có tính chất ρ đại số đường Leavitt LK E/v đồ thị E/v có tính chất ρ Nhờ vào việc biết bất biến ρ này, người ta chuyển tốn từ đại số đường Leavitt đồ thị ban đầu phức tạp đại số đường Leavitt đồ thị đơn giản (rõ ràng E/v đơn giản E ) Cho đến tính chất số sở bất biến có tính chất bất biến qua phép biến đổi đồ thị hay không câu hỏi mở Chúng tơi tìm câu trả lời qua đề tài Mục tiêu đề tài Xét thay đổi tính chất số sở bất biến đại số đường Leavitt qua số phép biến đổi đồ thị Cách tiếp cận phương pháp nghiên cứu Chúng áp dụng kĩ thuật [8] [10] để xét tính chất số sở bất biến cho đại số đường Leavitt đồ thị ban đầu đồ thị sau phép biến đổi đồ thị Từ thu kết theo mục tiêu đề Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đề tài nghiên cứu đại số đường Leavitt điều kiện lí thuyết vành tính chất số phần tử sinh vơ hạn tính chất số sở bất biến Nội dung nghiên cứu Ngoài Mở đầu, Mục lục, Tài liệu tham khảo Phụ lục, nội dung đề tài trình bày hai chương Chương 1: Khái quát lý thuyết đồ thị đại số đường Leavitt Chương 2: Một số phép biến đổi đồ thị tính chất số sở bất biến cho đại số đường Leavitt 13 Khi đó, LK (E) ∼ = Mn (K) thơng qua ánh xạ ϕ: vi → Eii , ei → Eii+1 , e∗i → Ei+1i (trong Eij biểu thị ma trận đơn vị chuẩn (i, j) Mn (K)) (ii) Đại số đa thức Laurent K[x, x−1 ]: Cho đồ thị e Ø E = •p v e∗ Khi đó, LK (E) ∼ = K[x, x−1 ] thông qua ánh xạ ϕ: a : K v, e, e∗ → K x, x−1 v→1 e→x e∗ → x−1 (iii) Đại số Leavitt kiểu LK (1, n) Với số nguyên n ≥ gọi en Rn = Ø •‚ v it e2 e1 Rn gọi hoa n cạnh; đồ thị đặc biệt đại số đường Leavitt LK (Rn ) ∼ = LK (1, n) thông qua ánh xạ ϕ: K v, e1 , , en , e∗1 , , e∗n → LK (1, n) v→1 ei → xi e∗i → yi LK (1, n) đại số Leavitt kiểu (1, n) 14 1.2.4 Nhận xét Cho E = (E , E ) đồ thị hữu hạn K trường Từ [[7], Lemma 2.1.9] [[6], Theorem 3.5], ta được: (i) LK (E) = ⊕ vLK (E) v∈E (ii) vLK (E) = ⊕ e∈s−1 (v) r(e)LK (E) với đỉnh quy v ∈ E Với đồ thị hữu hạn E = (E , E ), ta định nghĩa ma trận liên thuộc E , kí hiệu AE , ma trận xác định sau: gọi E = {v1 , v2 , , vh }, AE ma trận vng (aij )h aij số cạnh nối từ vi đến vj 15 CHƯƠNG MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ VÀ TÍNH CHẤT SỐ CƠ SỞ BẤT BIẾN CHO ĐẠI SỐ ĐƯỜNG ĐI LEAVITT Trong chương này, chúng tơi trình bày nội dung đề tài Phần đầu chương, chúng tơi tóm lược kết gần tính chất số sở bất biến đại số đường Leavitt mà sử dụng nghiên cứu Phần hai trình bày kết đề tài Các kết chúng tơi viết thành báo [13] 2.1 Tính chất số sở bất biến đại số đường Leavitt Trong phần nhắc lại định nghĩa vành thỏa mãn tính chất số sở bất biến vành thỏa mãn tính chất số phần tử sinh vơ hạn Tiếp theo, chúng tơi cịn giới thiệu kết gần tính chất số sở bất biến đại số đường Leavitt Phần viết dựa vào tài liệu [3], [4], [8], [9], [10] [12] 2.1.1 Định nghĩa (i) Một vành R gọi thỏa mãn tính chất số sớ bất biến (Ivariant Basis Number, viết tắt IBN) Rm ∼ = Rn (như Rmôđun trái) kéo theo m = n (ii) Một vành R gọi thỏa mãn tính chất số phần tử sinh vô hạn (Unbounded Generating Number, viết tắt UGN) có đơn ánh từ Rm đến Rn m ≤ n Dễ thấy điều kiện UGN kéo theo điều kiện IBN Các điều kiện đề xuất W Leavitt [11] đóng vai trị quan trọng 16 lí thuyết vành hay lí thuyết mơđun nói chung Một số kết tính IBN UGN tham khảo [9] Cho R vành m, n ∈ N Khi đó, Rm ∼ = Rn tồn xij , yji R cho: xiv yvk = δik (i, k = 1, m), yhu xuj = δhj (h, j = 1, n) Điều dẫn đến nhận xét sau: 2.1.2 Nhận xét Một vành R thỏa mãn tính chất sở bất biến với A ∈ Mm×n (R) với B ∈ Mn×m (R), AB = Im BA = In m = n Nhận xét 2.1.2 giúp ta định nghĩa tính chất số sở bất biến thơng qua R-mơđun phải 2.1.3 Ví dụ (i) Mọi trường vành thỏa tính chất IBN (ii) Mọi vành Noether phải thỏa tính chất IBN (suy từ [9], Proposition 1.13) 2.1.4 Ví dụ Cho K trường, V = ⊕∞ i=1 ei K K -không gian vectơ vô hạn đếm R := EndK (V ) Khi R ∼ = R2 (như R-môđun) Chứng minh Chọn f1 , f2 , g1 , g2 ∈ R sau: f1 (ei ) = e2i , f2 (ei ) = e2i+1 , g1 (e2i ) = ei , g1 (e2i+1 ) = 0, g2 (e2i+1 ) = ei , g2 (e2i ) = Ta dễ dàng kiểm tra phương trình sau đây: (f1 ◦ g1 + f2 ◦ g2 ) (ei ) = ei ∀i, g1 ◦ f1 (ei ) = ei , g2 ◦ f2 (ei ) = ei ∀i, g1 ◦ f2 (ei ) = 0, g2 ◦ f1 (ei ) = ∀i 17 Suy f1 ◦ g1 + f2 ◦ g2 = 1R , g1 ◦ f1 = 1R , g1 ◦ f2 (ei ) = 0R , g2 ◦ f1 (ei ) = 0R Điều có nghĩa vành R khơng thỏa tính IBN Trong [4] tác giả điều kiện đồ thị E để LK (E) thỏa mãn tính UGN 2.1.5 Định lí ([4], Theorem 3.9) Cho E = (E , E , r, s) đồ thị hữu hạn khơng có gốc, K trường Khi đó, LK (E) thỏa điều kiện U GN E chứa chu trình c cho |r−1 (v)| = với v ∈ c0 Chu trình c thỏa mãn điều kiện |r−1 (v)| = với v ∈ c0 gọi chu trình nguồn (theo nghĩa khơng có cạnh bên ngồi đến chu trình này) Cho E = (E , E , r, s) đồ thị, v ∈ E gốc Ta gọi đồ thị thu gọn gốc E\v E đồ thị xác định sau: (E\v )0 = E \ {v}, (E\v )1 = E \ s−1 (v), sE\v = s|(E\v )1 rE\v = r| E Nói cách khác, E\v ( \v ) đồ thị có từ E cách bỏ v cạnh E có điểm đầu v Trong trường hợp E đồ thị có đỉnh v khơng có cạnh (cịn gọi đỉnh lập) ta qui ước E\v = E 2.1.6 Nhận xét Nếu E = (E , E , r, s) đồ thị hữu hạn không chứa chu trình tồn dãy thu gọn gốc E = E0 → E1 → · · · → Ei → · · · → Et = Esf cho Esf đồ thị có đỉnh lập 2.1.7 Định lí ([4], Theorem 3.16) Cho E đồ thị hữu hạn K trường Đặt E = E0 → E1 → · · · → Ei → · · · → Et = Esf dãy đồ thị thu gọn gốc Esf đồ thị khơng có gốc Khi đó, LK (E) thỏa điều kiện U GN (∃0 ≤ j ≤ t) để Ej chứa điểm cô lập, Esf chứa chu trình c với |r−1 (v)| = với v ∈ c0 (chu trình nguồn) 2.1.8 Ví dụ Một số đồ thị sau thỏa mãn điều kiện Định lí 2.1.5: 18 B •a j G •c •b •a Ø G •b 2.1.9 Ví dụ Các đồ thị sau khơng thỏa mãn điều kiện Định lí 2.1.5 thỏa mãn điều kiện Định lí 2.1.7: B G •a j •v G •b •c G •v •a Ø G •b Như vậy, đại số đường Leavitt đồ thị Ví dụ 2.1.9 thỏa mãn tính chất UGN, chúng thỏa mãn tính chất IBN Ngồi ra, ta dùng định lí 2.1.11 để kiểm tra trực tiếp đại số đường Leavitt đồ thị thỏa mãn điều kiện IBN 2.1.10 Ví dụ Từ đồ thị sau đây, sau bước thu gọn gốc ta thu đồ thị chứa đỉnh lập w1 , w2 chu trình nguồn c = ef d• G • G •w1 G • e •i C •v1 G • G •v2 f  • G •w2 2.1.11 Định lí ([10], Theorem 2.5 [8], Theorem 18) Cho E đồ thị hữu hạn có tập đỉnh {vi | ≤ i ≤ h} {v1 , , vz } (z ≤ h) tập đỉnh quy E Đặt JE = Ik 0 ∈ Mh (N), b = [1 1]t ∈ Mh×1 (N) [AtE − JE b] ma trận có từ AtE − JE cách thêm vào cột b Cho K trường Khi LK (E) thỏa mãn tính chất sở bất biến rank(AtE − JE ) < rank([AtE − JE b]) 2.1.12 Ví dụ Với lớp đại số giới thiệu Ví dụ 1.2.3, tính chất sở bất biến chúng xét cơng trình [9] Tuy nhiên, ta dùng Định lí 2.1.11 để kiểm tra cách dễ dàng rằng: 19 (i) Mn (K) thỏa tính chất sở bất biến (ii) K[x, x−1 ] thỏa tính chất sở bất biến (iii) LK (1, n) không thỏa tính chất sở bất biến 2.2 Sự thay đổi tính chất số sở bất biến đại số đường Leavitt qua số phép biến đổi đồ thị Phần trình bày kết đạt đề tài Trước tiên, đưa tiêu chuẩn đồ thị E để đại số đường Leavitt liên kết với E thỏa mãn tính chất số phần tử sinh vô hạn Tiêu chuẩn tương đương với [[3], Theorem 3.16] trực quan dễ áp dụng (Định lí 2.2.3) Tiếp theo, chúng tơi chứng minh phép thu gọn gốc phép mở rộng bảo tồn tính chất UGN khơng bảo tồn tính chất IBN đại số đường Leavitt đồ thị liên kết Các kết viết thành báo [13] 2.2.1 Định nghĩa (i) Giả sử c1 c2 hai chu trình đồ thị E (ta qui ước đỉnh chu trình có độ dài 0) Nếu có đường p mà s(p) ∈ c01 , r(p) ∈ c02 (điểm đầu đỉnh thuộc c01 điểm cuối đỉnh thuộc c02 ) ta nói chu trình c1 kéo theo chu trình c2 Kí hiệu c1 < c2 (ii) Chu trình c đồ thị E gọi chu trình gần E khơng tồn chu trình khác c kéo theo chu trình c Tương tự, đỉnh v E gọi đỉnh gần E không tồn chu trình kéo theo v 2.2.2 Ví dụ Trong đồ thị chu trình c1 = e1 e2 kéo theo chu trình c2 = f1 f2 f3 f4 c1 chu trình gần đồ thị E e f1 a E=• G •b j e1 e2 B c • G d • b• f2 – f4 g • ~ f3 •f 20 2.2.3 Định lí ([13], định lí 3) Cho E đồ thị hữu hạn K trường Khi LK (E) thỏa điều kiện UGN E chứa gần chu trình gần Chứng minh Ta chứng minh Định nghĩa 2.2.1 tương đương với Định lí 2.1.7 Để làm điều đó, ta cần chứng tỏ “ngọn gần nhất” Định lí tương ứng với “đỉnh lập” Định lí 2.1.7 “chu trình gần nhất” Định lí 2.2.3 Giả sử v0 gần E Khi đó, v0 đỉnh lập tồn đỉnh v1 trước v0 , tức tồn cạnh có điểm đầu v1 điểm cuối v0 Nếu v1 không gốc tồn đỉnh v2 trước v1 Quá trình phải dừng sau hữu hạn bước tính hữu hạn đồ thị tính gần v0 Tức là, ta dãy đỉnh cạnh •vn G •vn−1 •v2 G •v1 G •v0 Khi đó, sau phép khử gốc vn−1 , , v2 , v1 ta đồ thị chứa đỉnh cô lập v0 Như vậy, E chứa gần sau hữu hạn bước thu gọn gốc, ta thu đồ thị chứa đỉnh cô lập Bây giờ, thay vai trò v0 lập luận chu trình gần c ta thu kết tương tự là: E chứa chu trình gần c sau hữu hạn bước thu gọn gốc, ta thu đồ thị c chu trình khơng có cạnh vào 2.2.4 Ví dụ Trong đồ thị xét Ví dụ 1, w1 , w2 đỉnh lập c = ef chu trình gần 2.2.5 Bổ đề ([13], bổ đề 1) Cho E = (E , E , r, s) đồ thị hữu hạn Nếu E không chứa chu trình E phải chứa gần Chứng minh Gọi v0 đỉnh E Nếu v0 khơng tồn đỉnh v1 sau v0 , tức tồn cạnh có điểm đầu v0 điểm cuối v1 Nếu v1 khơng tồn đỉnh v2 sau v1 Quá trình phải dừng sau hữu hạn bước tính hữu hạn đồ thị Vì đồ thị khơng chứa chu trình nên đỉnh dãy v0 , v1 , v2 phân biệt Tức là, ta dãy đỉnh cạnh 21 G •v1 •v0 G G •v2 •vn−1 •vn gần 2.2.6 Hệ ([13], Hệ 1) Cho E = (E , E , r, s) đồ thị hữu hạn K trường Nếu E không chứa chu trình LK (E) thỏa mãn tính UGN Chứng minh Suy trực tiếp từ Định lí 2.2.3 Bổ đề 2.2.5 2.2.7 Bổ đề ([13], Bổ đề 3) Cho E = (E , E , r, s) đồ thị hữu hạn v gốc E Nếu E chứa gần chu trình gần E\v Chứng minh Giả sử v gốc đồ thị E E\v đồ thị thu gọn gốc E v Vì v khơng đỉnh khơng thuộc chu trình E nên dễ thấy số đỉnh số chu trình E E\v Do E chứa gần chu trình gần E\v Từ Bổ đề 2.2.7 Định lí 2.2.3 ta suy kết sau: 2.2.8 Định lí ([13], Định lí 4) Cho E = (E , E , r, s) đồ thị hữu hạn v gốc E Cho K trường Khi tính UGN LK (E) LK (E\v) 2.2.9 Nhận xét Như vậy, phép thu gọn gốc bảo tồn tính UGN Tuy nhiên, ví dụ chứng tỏ phép thu gọn gốc khơng bảo tồn tính IBN 2.2.10 Ví dụ Xét đồ thị E= G •v0 Ø G •v1ˆ G •v2 gọi đồ thị thu gọn gốc E v0 F = Ø •v1ˆ G •v2 G •v3 •v3 22 Khi đó, áp dụng Định lí để xét tính IBN LK (E) LK (F ) ta có   −1 0 0 −1 0   [AtE − JE b] =     1  1  Suy rank([AtE − JE ]) = = rank([AtE − JE b] hay LK (E) khơng thỏa tính IBN Mặt khác  0     [AtF − JF b] =  −1   1 Suy rank([AtF − JF ]) = < = rank([AtF − JF b] Hay LK (F ) thỏa tính IBN Tiếp theo, chúng tơi xét thay đổi tính IBN đại số đường Leavitt qua phép mở rộng đồ thị Cho E = (E , E , r, s) đồ thị hữu hạn v đỉnh E Ta kí hiệu Ev = (Ev , Ev , rv , sv ) đồ thị mở rộng E v Trong đó, Ev = E ∪ {v ∗ }, Ev = E ∪ {f }, ánh xạ sv , rv cảm sinh từ s, r cách cho sv (f ) = v, rv (f ) = v ∗ với e ∈ s−1 (v), sv (e) = v ∗ Tóm lại, từ đồ thị E , để xây dựng đồ thị mở rộng Ev ta thêm vào đỉnh v ∗ , cạnh f nối từ v đến v ∗ dời cạnh có điểm đầu từ v sang v ∗ 2.2.11 Ví dụ Các đồ thị sau tương ứng đồ thị E ban đầu đồ thị mở rộng đỉnh v nó: a Õ f •v j a G• b •v C •v ∗ b c G • G • c G • 23 2.2.12 Bổ đề ([13], Bổ đề 3) Cho E = (E , E , r, s) đồ thị hữu hạn v đỉnh E Nếu E chứa gần chu trình gần đồ thị mở rộng Ev Chứng minh Giả sử w gần đồ thị E Ev đồ thị mở rộng E đỉnh v E Nếu v = w w gần Ev Nếu v = w Ev , w khơng cịn v ∗ gần Như vậy, số gần E Ev Giả sử c = e1 e2 en chu trình gần đồ thị E Ev đồ thị mở rộng E đỉnh v E Nếu v ∈ / c0 c chu trình gần Ev Nếu ∃ ≤ i ≤ n : v = vi := r(ei ) = s(ei+1 ) Ev , c = e1 e2 ei f ei+1 en chu trình gần Như vậy, số chu trình gần E Ev Từ hai lập luận ta điều phải chứng minh Từ Bổ đề 2.2.12 Định lí 2.2.3 ta suy kết sau: 2.2.13 Định lí ([13], Định lí 5) Cho E = (E , E , r, s) đồ thị hữu hạn v đỉnh E Cho K trường Khi tính UGN LK (E) LK (Ev ) 2.2.14 Nhận xét Tương tự phép thu gọn gốc, phép mở rộng bảo toàn tính UGN khơng bảo tồn tính IBN qua ví dụ 2.2.15 Ví dụ Xét đồ thị E đồ thị mở rộng E v Ví dụ 2.2.11 Khi đó, tính tốn tương tự Ví dụ 2.2.10, ta thấy LK (E) thỏa mãn tính IBN LK (Ev ) khơng 24 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận Đề tài đạt kết sau • Đề tài đưa khái niệm chu trình gần (Định nghĩa 2.2.1) dùng để chứng minh kết tương đương với [[3], Theorem 3.16] Định lí 2.2.3 • Chứng minh bảo tồn tính UGN qua phép thu gọn gốc (Định lí 2.2.3 Bổ đề 2.2.7) phép mở rộng (Định lí 2.2.3 Bổ đề 2.2.12) • Chỉ thay đổi tính IBN qua hai phép biến đổi thu gọn gốc phép mở rộng (Ví dụ 2.2.10 Ví dụ 2.2.15) Kiến Nghị Các kết đề tài áp dụng để khảo sát tương đương Morita đại số đường Leavitt tìm ứng dụng khác phép biến đổi đồ thị giới thiệu [6] TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] G Abrams, "Leavitt path algebras: the first decade", Bulletin of Mathematical Sciences (2015), 59 - 120 [2] G Abrams and G Aranda Pino (2005), “The Leavitt path algebra of a graph”, Journal of Algebra (293), p 319 - 334 [3] G Abrams and M Kanuni, "Cohn path algebras have invariant basis number", Communications in Algebra 44 (2016), 371 – 380 [4] G Abrams, T G Nam and N T Phuc (2017), "Leavitt path algebras having unbounded generating number", Journal of Pure and Applied Algebra, 6(221), p 1322 - 1343 [5] G Abrams, A Louly, E Pardo and C Smith, "Flow invariants in the classification of Leavitt path algebras", Journal of Algebra 333 (2011), 202 - 231 [6] P Ara, M A Moreno, E Pardo, "Nonstable K-theory for graph algebras", Algebr Represent Theory, 10 (2006), 157 - 178 [7] I Dangerfield, "Leavitt path algebra" (Thesis, Master of Science) University of Otago Retrieved from http://hdl.handle.net/10523/1667, 2011 [8] M Kanuni and M Ozaydin, "Cohn-Leavitt path algebras and the invariant basis number property", (2016) arXiv:1606.07998v1 [9] T Y Lam (1999), "Lectures on modules and rings", Springer - Verlag, New York - Berlin [10] T G Nam and N T Phuc (2019), “The structure of Leavitt path algebras and the Invariant Basis Number property”, Journal of Pure and Applied Algebra, 11 (223), p 4827 - 4856 25 26 [11] W G Leavitt (1962), “The module type of a ring”, Trans Amer Math Soc (42), p 113 - 130 [12] N H Tính, N T Phúc (2017), “Khảo sát tính UGN đại số đường Leavitt đồ thị lũy thừa”, Tạp chí Khoa học – Đại học Đồng Tháp 28, p 83 - 87 [13] T V N Trung, N T Phúc (2019), “Các phép biến đổi đồ thị tính IBN đại số đường Leavitt”, Tạp chí Khoa học Đại học Đà Nẵng (17), p 01 - 04 PHỤ LỤC Danh mục cơng trình liên quan đến đề tài [1] T V N Trung, N T Phúc (2019), “Các phép biến đổi đồ thị tính IBN đại số đường Leavitt”, Tạp chí Khoa học Đại học Đà Nẵng (17), p 01 - 04 [2] T V N Trung, N T Phúc (2019), “Các phép biến đổi đồ thị tính IBN đại số đường Leavitt”, Hội nghị sinh viên NCKH, Trường Đại học Đồng Tháp 27 ... phép biến đổi đồ thị này, tính chất số sở bất biến đại số đường Leavitt đồ thị có cịn giữ ngun đồ thị ban đầu hay không? Chúng chọn vấn đề ? ?Các phép biến đổi đồ thị tính chất số sở bất biến đại. .. suy rằng, đồ thị biến đổi tính chất số sở bất biến đại số đường Leavitt đồ thị thay đổi Các cơng trình [1] [5] số phép biến đổi đồ thị đóng vai trị quan trọng việc phân loại đại số đường Leavitt. .. 1.1 Vành, môđun đại số 1.2 Đại số đường Leavitt 11 Một số phép biến đổi đồ thị tính chất số sở bất biến cho đại số đường Leavitt 15 2.1 Tính chất số sở