LờI CảM ƠN Sau thời gian nghiên cứu, với cố gắng thân, động viên từ gia đình bảo tận tình thầy Phan Hồng Trường, em đà hoàn thành khóa luận tôt nghiệp Em xin gửi lời biết ơn sâu sắc tới thầy, cô khoa Toán nói chung; thầy, cô tổ hình học nói riêng; đặc biệt thầy Phan Hồng Trường, đà tạo điều kiện thuận lợi để em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp Do điều kiện thời gian khả thân nhiều hạn chế nên luận văn tránh khỏi thiếu sót Kính mong thầy, cô bạn đọc nhận xét góp ý kiến để em rút kinh nghiệm khóa luận hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2013 Sinh viên Phan Thị Huệ LờI CAM ĐOAN Em xin cam đoan khóa luận hoàn thành nỗ lực tìm hiểu, nghiên cứu thân, với bảo, giúp đỡ tận tình thầy Phan Hồng Trường thầy, cô giáo tổ Hình học khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội Khóa luận không trùng với kết nghiên cứu tác giả khác Nếu trùng em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Em mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô toàn thể bạn đọc để khóa luận ngày hoàn thiện Sinh viên Phan Thị Huệ Mục lục Phần 1: Mở ĐầU PhÇn 2: NéI DUNG CHƯƠNG 1: CƠ Së Lý LUËN 1.1 Đại cương phép biến hình 1.2 PhÐp tÞnh tiÕn CHƯƠNG 2: ứNG DụNG CủA PHéP TịNH TIếN VàO GIảI CáC LớP BàI TOáN 2.1 ứng dụng phép tịnh tiến vào giải toán chøng minh 2.2 øng dơng cđa phÐp tịnh tiến vào giải toán quỹ tích 15 2.3 ứng dụng phép tịnh tiến vào giải toán dựng hình 21 2.4 øng dông phép tịnh tiến vào giải toán cực trị 31 2.5 øng dơng cđa phÐp tÞnh tiÕn vào giải toán tính toán 36 KÕt luËn 43 Tài liệu tham khảo 44 PhÇn 1: Mở ĐầU Lý chọn đề tài Hình học môn học khó học sinh, tính chặt chẽ, logic tính trừu tượng hình học cao môn học khác Các phép biến hình sơ cấp phần quan trọng hình học công cụ hữu ích toán hình học phẳng hình học không gian Trong chương trình môn Toán phổ thông nước ta nay, vai trò tầm quan trọng phép biến hình ngày thể rõ ràng sâu sắc không lý thuyết, mà thực hành giải tập Các phép biến hình công cụ đơn giản đầy hiệu lực việc giải toán hình học Phép tịnh tiến phép biến hình sơ cấp vận dụng để giải toán dựng hình, toán quỹ tích, toán chứng minh tính chất hình học, Tuy nhiên, việc vận dụng phép tịnh tiến để giải toán hình học mặt phẳng không gian việc dễ dàng, thực tế lại phần khó giáo viên học sinh Vì vậy, em định lựa chọn nghiên cứu đề tài: Phép tịnh tiÕn E2, E3” Trong khu«n khỉ mét khãa ln tốt nghiệp, em xin trình bày kiến thức phép tịnh tiến ứng dụng việc giải lớp toán hình học phẳng hình học không gian Mục đích nghiên cứu - Hệ thống, tóm tắt kiến thức vỊ phÐp tÞnh tiÕn E2, E3 - VÝ dơ tập có hướng dẫn giải để minh họa cho phần ứng dụng phép tịnh tiến E2, E3 vào giải toán Đối tượng, phạm vi nghiên cứu Phép tịnh tiến E2, E3 Nhiệm vụ nghiên cứu - Trình bày sở lý thuyết phép tịnh tiến - Các ví dụ minh häa thĨ hiƯn øng dơng cđa phÐp tÞnh tiÕn lớp tập hình học: Bài toán chứng minh tính chất hình học Bài toán cực trị Bài toán quỹ tích Bài toán dựng hình Bài toán tính toán Phương pháp nghiên cứu - Phân tích tài liệu liên quan - Tổng kết từ kinh nghiệm giải toán - Tham khảo ý kiến thầy cô, bạn bè Phần 2: NộI DUNG CHƯƠNG 1: CƠ Sở Lý LUậN 1.1 Đại cương vỊ phÐp biÕn h×nh 1.1.1 PhÐp biÕn h×nh En (n = 2, 3) 1.1.1.1 Định nghĩa Cho quy tắc f Với điểm M theo quy tắc f ta xác định điểm M Khi ta nói M ảnh M qua phép biến đổi f ký hiệu f: M M (đọc f biến M thành M) Điểm M gọi tạo ảnh M, f gọi phép biến đổi hình học hay nói ngắn gọn phép biến hình Từ định nghÜa ta suy r»ng: NÕu M , M t­¬ng ứng ảnh M1, M2 phép biến đổi M khác M M1 M2 hai điểm phân biệt Nếu f xác định với điểm không gian ta nói f phép biến hình không gian 1.1.1.2 Phép biến đổi - Nếu ảnh điểm M qua phÐp biÕn ®ỉi f chØ cã nhÊt mét tạo ảnh ứng với nó, ta nói f phép biến đổi đối (song ánh) hay - 1.1.1.3 PhÐp biÕn ®ỉi ®ång nhÊt Ta nói f phép biến đổi đồng f biến điểm M En (n = 2, 3) thµnh chÝnh nã Ký hiƯu lµ Id: Id(M) = M, M 1.1.1.4 Phép biến đổi ngược Giả sử f: M ↦ M’, ∀ M NÕu tån t¹i mét phÐp biến đổi g biến M thành M ta nói g phép biến đổi ngược f hay f có phép biến đổi ngược Kí hiệu: g = f-1 Nh­ vËy: NÕu M’ = f(M) th× M = f-1(M’) vµ f-1∘ f = f ∘ f-1 = Id 1.1.1.5 Tích hai (hoặc nhiều) phép biến đổi Cho hai phép biến đổi f g, với ®iĨm M bÊt kú f: M ↦ M’ vµ g: M M Phép biến đổi biến M thành M gọi tích hai phép biến đổi f vµ g Ký hiƯu: g ∘ f: M ↦ M” Cho n phÐp biÕn ®ỉi f1, f2, , fn (n > 2) TÝch cđa n phÐp biÕn ®ỉi ®· cho phép biến đổi F có cách thực liên thứ tự ®Þnh n phÐp biÕn ®ỉi ®ã Ký hiƯu: F = fn ∘ fn-1 ∘ ∘ f2 ∘ f1 1.1.1.6 Hai phÐp biÕn ®ỉi trïng Cho hai phÐp biÕn ®ỉi f vµ g Ta nãi f vµ g trïng nhau, ký hiệu f = g, ảnh mäi ®iĨm M En (n = 2, 3) cđa hai phép biến đổi trùng Nghĩa M, f: M ↦ M’ vµ g: M ↦ M’ 1.1.1.7 Điểm bất động, đường thẳng bất động, mặt phẳng bÊt ®éng cđa mét phÐp biÕn ®ỉi Cho phÐp biÕn ®ỉi f cđa tËp T §iĨm M cđa tËp T gọi điểm bất động (hay điểm kép, ®iĨm tù øng) cđa phÐp biÕn ®ỉi f, nÕu f(M) = M Đường thẳng d đường thẳng bất ®éng cđa phÐp biÕn ®ỉi f, nÕu mäi ®iĨm thc d điểm bất động f Mặt phẳng (P) gọi mặt phẳng bất động phép biến đổi f, điểm thuộc (P) điểm bất động f Đường thẳng (mặt phẳng) gọi đường thẳng (mặt phẳng) bất biến phép biến đổi f, f biến đường thẳng (mặt phẳng) đà cho thành 1.1.1.8 ảnh hình qua phép biến đổi Cho hình F En (n = 2, 3) Tập hợp ảnh ®iĨm thc F qua mét phÐp biÕn ®ỉi f lËp thành hình F gọi ảnh F qua phép biến đổi đó, ký hiệu F = f(F) f có phép biến đổi ngược tøc lµ F = f-1 (F’) Ký hiƯu f: F ↦ F’ hc F’ = {F(M) ∖ M ∈ F} F = f(F)} 1.1.1.9 Hai hình trùng Ta nói hai hình F1 F2 trùng nhau, điểm hình thuộc hình ngược lại Ký hiƯu: F1 = F2 NÕu mäi ®iĨm cđa F1 thuộc F2, ta nói F1 hình F2 Ký hiƯu: F1 ⊂ F2 1.1.2 PhÐp biÕn h×nh afin PhÐp biÕn h×nh En (n = 2, 3) biến đường thẳng thành đường thẳng gọi phép biến hình afin, gọi tắt phép afin 1.1.3 Phép biến hình đẳng cự Phép biến hình En (n = 2, 3) bảo toàn khoảng cách hai điểm gọi phép biến hình đẳng cự, gọi tắt phép đẳng cự 1.2 Phép tịnh tiến 1.2.1 Định nghĩa Cho véctơ v Phép biến hình biến điểm M thành điểm M cho MM = v gọi phép tịnh tiến theo vÐct¬ v⃗ Ký hiƯu: T ⃗ Nh­ vËy: T ⃗ (M) = M’ ⇔ MM′⃗ = v⃗ NÕu phÐp biến hình thực cho điểm không gian, ta nói T phép tịnh tiến không gian Tập hợp ảnh điểm thuộc hình H phép tịnh tiến T lập thành hình H H gọi ảnh hình H phép tịnh tiến 1.2.2 Tính chất Cho phép tịnh tiến T ta có tính chất sau: i T điểm bất động T phép biến đổi ngược nó: ( T ⃗ )-1 = T ⃗ ii Nếu v = T phép đồng iii Nếu A, B ảnh A, B qua phép tịnh tiến AB = AB iv Tích hai phép biến đổi T T phép tịnh tiến mà véctơ tịnh tiÕn lµ u⃗ + v⃗ tøc lµ T ⃗ ∘ T ⃗ = T ⃗ ∘ T ⃗ = T ⃗ ⃗ v TÝch cđa mét phÐp ®èi xøng tâm Đ phép tịnh tiến T phép đối xứng tâm tâm O phép biến đổi xác định hệ thức 2OA = v 1.2.3 Hệ Phép tịnh tiến T biến: i Ba điểm A, B, C thẳng hàng thành ba điểm A, B, C thẳng hàng bảo toàn thứ tự chúng ii Bốn điểm đồng phẳng thành bốn điểm đồng phẳng iii Đường thẳng d thành đường thẳng d song song trùng với d iv Tia Ox thành tia Ox chiều với Ox v Đoạn thẳng AB thành đoạn thẳng AB AB = AB vi Mặt cầu (O, R) thành mặt cầu (O, R) 1.2.4 Phép tịnh tiến với mặt phẳng, miền mặt phẳng (đa giác, hình tròn) Phép tịnh tiến T biến: i Mặt phẳng (P) thành mặt phẳng (P) (P) // (P) (P) (P); nửa mặt phẳng thành nửa mặt phẳng ii Miền đa giác thành miền đa giác iii Hình tròn (I, r) thành hình tròn (I, r) 1.2.5 PhÐp tÞnh tiÕn víi gãc nhÞ diƯn PhÐp tịnh tiến T biến góc nhị diện thành góc nhị diện số đo hai góc phẳng nhị diện 1.2.6 Phép tịnh tiến với hình trụ tròn xoay, hình nón tròn xoay Phép tịnh tiến T biến hình trụ tròn xoay (T) thành hình trụ tròn xoay (T); hình nón tròn xoay (N) thành hình nón tròn xoay (N) 1.2.7 Phép đối xứng - trượt không gian Cho mặt phẳng (P) véctơ v ≠ 0⃗ cïng ph­¬ng víi (P) Ta nãi phÐp biÕn ®ỉi T1 = S(P) ∘ T ⃗ hc T2 = T S(P) phép đối xứng trượt theo mặt phẳng (P) Phép đối xứng trượt theo mặt phẳng có mặt phẳng bất biến mặt phẳng (P) Bài 2: Cho ABC đường thẳng d Tìm cạnh AB AC điểm D, E cho BD - CE = a (a > 0, a lµ h»ng sè) vµ DE // d” H­íng dẫn giải Lấy điểm H cạnh AB cho BD - HD = a Khi đó, toán trở toán với điểm H có vai trò điểm B Bài 3: Cho hai mặt phẳng song song (P) (Q), hai điểm A, B không nằm hai mặt phẳng cho đoạn AB cắt hai mặt phẳng Hai điểm M, N thay đổi (P) (Q) cho MN vuông góc với (P) (Q) Tìm vị trí M N để tổng khoảng cách AM + MN + NB đạt giá trị nhỏ Hướng dẫn giải A * Phân tích Lấy điểm H (P) H gọi K hình chiếu vuông P góc H mặt phẳng M J C (Q) Dễ thấy MN = HK⃗ K Q Gäi C = T ⃗ (A), N I B ta cã MN⃗ = AC⃗ = HK⃗ ⇒ MN = AC AM = CN Do đó: AM + MN + NB = AC + CN + NB ⇒ AM + MN + NB ⇔ CN + NB ⇔ N ≡ I = BC ∩ (Q) Khi ®ã M ≡ J = T ⃗ (I) Tõ suy cách dựng Tóm lại: Nếu gọi C = T ⃗ (A),I = BC ∩ (Q), J = T (I) đạt giá trị nhỏ AC + CB M ≡ J vµ N ≡ I 30 th× AM + MN + NB 2.4 øng dơng phép tịnh tiến vào giải toán cực trị 2.4.1 Bài toán cực trị Bài toán cực trị hình học dạng bài: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất; tìm điều kiện để yếu tố hình học đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Đó toán cần A ≤ B th× Amax = B, A ≥ B Amin = B Xuất phát từ giả thiết đà biết, ta bất đẳng thức trường hợp xảy dấu = trường hợp yếu tố hình học đạt cực trị 2.4.2 Giải toán biến hình nhờ phép cực trị Giải toán cực trị hình học nhờ sử dụng phép biến hình ta thùc hiƯn theo c¸c b­íc: - Lùa chän phÐp biÕn h×nh - Thùc hiƯn phÐp biÕn h×nh - Rót kết luận toán (bài toán có đạt cực trị hay không đạt cực trị đạt cực trị trường hợp nào) Nhờ phép biến hình, thông qua việc sử dụng hình phụ, ta đưa điều kiện đà cho toán hình liên quan đến việc tìm cực trị vốn rời rạc thành hình làm chúng có quan hệ với nhau, giúp việc tìm cực trị dễ dàng 2.4.3 Khai thác bái toán cưc trị nhờ phép biến hình Từ to¸n thĨ ta cã thĨ xem xÐt mét sè trường hợp đặc biệt, khái quát, tương tự, thay đổi vài điều kiện giả thiết, ta toán 31 2.4.4 Ví dụ Ví dụ 1: Cho trước điểm A đường thẳng d không qua A Trên d đặt đoạn thẳng BC = a (a > 0) Tìm vị trí đoạn BC để AB + AC nhỏ Lời giải Ta thực phép tịnh tiến T , phương song song víi d vµ ïu⃗ï= a T ⃗ : A A Khi A điểm cố định khác A ta có: AB = AC AB + AC = AC + AC Bài toán quay trở toán: Tìm điểm a' a C d cho AC + A’C nhá nhÊt” Gäi A’’ điểm đối xứng A qua d Ta có: AC + A’C nhá nhÊt d b c' c ⇔ A’C +A’’C nhá nhÊt a'' ⇔ C ≡ C’ = AA’’ ∩ d VËy AB + AC nhá nhÊt ⇔ C = AA d (với A = Đđ (A); A’ = T ⃗ (A); B = T ⃗ (C)) Nhận xét: Ta có toán với cách giải tương tự: Bài toán: Cho hình thang ABCD có độ dài hai đáy AB = a, CD = b Đáy CD cố định, đáy AB trượt đường thẳng cố định x Tìm vị trí AB để tổng độ dài hai đường chéo AC BD đạt giá trị nhỏ Ví dụ 2: Cho đường thẳng d hai điểm A, B nằm hai phía d Một đoạn thẳng CD = a (a độ dài cho trước) trượt d Tìm vị trí đoạn thẳng để độ dài đường gấp khúc ACDB ngắn 32 Lời giải Gọi A = T ⃗ (A) ⇒ AC = A’D a' a Khi ®ã: AC + CD + DB ⇔ A’D + CD + BD ⇔ A’D + BD (v× CD = a) c d ⇔ D ≡ D = A’B ∩ d d' c' d b vµ C ≡ C = T (D) Vậy độ dài đường gấp khóc ACDB ng¾n nhÊt ⇔ D = A’B ∩ d vµ C = T ⃗ (D)  NhËn xÐt: Trong trường hợp A, B nằm phía d cách giải toán hoàn toàn tương tự Ví dụ 3: Cho hai mặt phẳng (P) (Q) song song với hai điểm A, B không thuộc hai mặt phẳng cho A (Q) nằm hai phía (P), B (P) nằm hai phía (Q) Tìm (P) điểm M (Q) điểm N cho MN (P) AM + MN + NB ngắn Lời giải Do MN (P) (P) // (Q) nên MN có độ dài hướng không đổi XÐt T ⃗: A ↦ A1, M ↦ N ⇒ AM = A1N AA1 = MN A M Vì MN không đổi nên: A1 P AM + MN + NB ⇔ AM + NB Q ⇔ A1N + NB Bài toán quay trở toán: Tìm điểm N thuộc mặt phẳng (Q) cho A1N + NB nhỏ 33 N B Vì A (Q) khác phía so với (P) nên khoảng cách A (Q) lớn khoảng cách (P) (Q), mà khoảng cách (P) (Q) MN (= AA1) A1 B khác phía so với (Q) ⇒ A1N + NB ≥ A1B Do ®ã A1N + NB nhá nhÊt ⇔ N = A1B ∩ (Q) Khi M = T Vậy độ dài đường gấp khóc AMNB ng¾n nhÊt ⇔ N = A1B ∩ (Q) M = T 2.4.5 Bài tập đề nghị (N) (N) Bài 1: Cho hai đường thẳng song song x, y điểm M nằm phía x ®èi víi y vµ n»m cïng phÝa y ®èi víi x Trên x ta đặt đoạn AB = a, y ta đặt đoạn CD = b (a, b độ dài cho trước) Tìm vị trí đoạn AB CD để MA + MB + MC + MD nhá nhÊt” H­íng dÉn gi¶i m1 Xét điểm A, B, C, D hình vẽ Gäi M’ = T ⃗ (M) M’’ = T ⃗ (M) b m m'' M1 = §x(M’) m' y M2 = Đy(M) Khi đó: MA + MB + MC + MD ⇔ M’B + MB + MC + M’C a x ⇔ M1B + MB + MC + M2C ⇔ m2 c d B = MM ∩ x, A = T ⃗ (B) C = MM ∩ y, D = T (C) Bài 2: Cho đoạn thẳng CD = a véctơ CD có hướng không ®ỉi Ngoµi (P) cho hai ®iĨm A, B n»m cïng phía với (P) HÃy tìm vị trí CD cho AC + BD nhá nhÊt” 34 H­íng dÉn gi¶i b a co d c p a1 a2 Kh«ng tổng quát, giả sử T : A A cho AC cạnh hình bình hành ACDA’ ⇒ AC⃗ = A′D⃗ ⇒ AC = A’D ⇒ AC + BD = AD + BD Bài toán đưa tìm D (P): Với hai điểm A, B cho tr­íc n»m cïng phÝa víi (P) th× A’D + BD nhỏ Sp phép đối xứng qua (P): Sp: A A1 Vì (P) mặt phẳng đối xøng cña AA1 ⇒ DA’ = DA1 Ta cã: A’D + BD = DA1 + BD ≥ BA1 DÊu “=” x¶y ⇔ D = A1B ∩ (P) (hay D D0) Khi C ảnh D qua T ⃗ VËy AC + BD nhá nhÊt ⇔ D = BA1 ∩ (P) vµ C = T ⃗ (D) 35 2.5 ứng dụng phép tịnh tiến vào giải toán tính toán 2.5.1 Bài toán tính toán Ta thường gặp số toán tính khoảng cách, tính số đo góc, tính diện tích, Để giải toán tính toán ta phải thiết lập mối quan hệ đà biết cần tìm, sau tính toán theo yêu cầu toán 2.5.2 Giải toán tính toán nhờ phép biến hình Dùng phép biến hình giải toán tính toán thực chất sử dụng phép biến hình để di chuyển yếu tố đà cho vị trí không thuận lợi vị trí thuận lợi cho việc tính toán (đưa tam giác, đường tròn ) Khi giải toán tính toán điều quan trọng phát mối liên hệ yếu tố đà biết yếu tố cần tìm Để làm điều ta thường mắc phải khó khăn định khó khăn giải ta biết vận dụng phép biến hình thích hợp biết lợi dụng tính chất phép biến hình 2.5.3 Khai thác toán tính toán nhờ phép biến hình - Từ vài điều kiện ban đầu ta tính vài yếu tố lại, dùng phép biến hình (vẽ thêm hình phụ) để tạo hình mới, thêm vài kiện toán tính toán với hình - Ta thay đổi điều kiện đà cho, yêu cầu tìm, xem xét trường hợp tương tự, đặc biệt, tổng qu¸t, 2.5.4 VÝ dơ VÝ dơ 1: “Cho ∆ABC Gọi A1, B1, C1 trung điểm cạnh AB, BC, CA Gọi O1, O2, O3 tâm đường ngoại tiếp 36 tam giác AC1B1, CA1B1, BC1A1 Tính độ dài cạnh góc O1O2O3 biết: AB = 4, AC = 43, BAC = 300. Lời giải Xét phép tịnh tiÕn T ⇒T ⃗: ⃗: A ↦ C1, B1 ↦ A1, C1 ↦ B ∆AB1C1 ↦ ∆C1A1B, O1 ↦ O3 ⇒ O O ⃗ = B A ⃗ = AC ⃗ (1) a T­¬ng tù ta cã : T ⃗: Vµ T ∆CB1A1 ↦ ∆B1AC1, O2 ↦ O1 ⇒ O O ⃗ = A C ⃗ = CB ⃗ (2) ⇒ O O ⃗ = B C ⃗ = BA ⃗ (3) ⃗: ∆BC1A1 ↦ ∆A1B1C, O3 ↦ O2 o1 c1 A1 b o3 o2 b1 Tõ (1), (2) vµ (3) ⇒ ∆O1O2O3 = ∆A1B1C1 XÐt ∆A1B1C1 cã: A1B1 = AB = 2, A1C1 = AC = 2√3, C B A = 300 Theo định lý hàm số cosin, ta cã: B1C1 = A B + A C − 2A B A C cosC B A = A1B1C1 cân B1, đó: B1A1 = B1C1 = 2, A1C1 = 2√3 C B A = B C A = 300, A B C = 1200 mµ ∆O1O2O3 = ∆A1B1C1 ⇒ O2O3 = O3O1 = 2, O1O2= 2√3 O O O = O O O = 300, O O O = 1200  NhËn xÐt: Tõ bµi toán ta rút kết luận sau: Nếu phép tịnh tiến biến tam giác thành tam giác biến tam đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp, trực tâm, trọng tâm tam giác 37 c thành điểm tương ứng tam giác Từ đó, ta thay đổi số kiện toán mà cách làm không thay đổi Chẳng hạn ta thay: O1, O2, O3 tâm đường tròn ngoại tiếp thành: O1, O2, O3 tâm đường tròn nội tiếp O1, O2, O3 trực tâm O1, O2, O3 trọng tâm Ví dụ 2: Tính diện tích hình thang ABCD (AB // CD) cã AC =5, BD = đoạn thẳng nối trung điểm hai đáy MN Lời giải Phép tịnh tiến T : A ↦ B, C ↦ C’ ⇒ T ⃗ : ∆ABC ↦ ∆BCC’ ⇒S TÝnh S ’: =S +S =S Gäi I trung điểm DC a +S m =S b ’ Ta cã: NI + IC = CD NI − IC = AB − ⇒ NI = AB CD d n i c ⇒ NI = MB (= AB) mà MB // NI MBIN hình bình hµnh ⇒ MN = BI = XÐt ∆ BDC’ cã: BC’ = AC = 5, BD = 3, trung tuyÕn BI = Ta cã: BI2 = ’ − ’ ⇒ DC’2 = 2(BC’2 + BD2) – BI2 = 52 áp dụng công thức Heron ta có: 38 c' S ’ = ⇒S VËy S ( ’ ’ =6⇒S ’ ’ ) ( ’ = ’ ’ ) = Nhận xét: Ta có toán tương tự: Bài toán 1: Tính diện tích hình thang ABCD có dường cao h, góc AB CD BD có độ dài a Bài toán 2: Tính diện tích hình thang ABCD có góc AB CD , BD AC vuông góc với có độ dài a, b Ví dụ 3: Cho mặt phẳng (P) ABC có đỉnh C nằm khác phía với hai đỉnh A, B (P) Biết khoảng cách từ A, B, C đến (P) tương ứng a, b, c Tính khoảng cách từ trọng tâm G tam giác đên (P) Lời giải Gọi A, B, C chân đường vuông góc hạ từ A, B, C xuống (P) 0Ta cã: AA’ = a, BB’ = b, CC’ = c B A XÐt phÐp tÞnh tiÕn: T ⃗’ : (P) ↦ (Q) A’ ↦ A1 P B’ ↦ B1 C’ ↦ C ⇒ A1, B1, C1 ∈ (Q) vµ (P) // (Q) Q A' A1 C' C Ta cã: CC’ ⊥ (P), BB’ ⊥ (P), AA’ ⊥ (P) ⇒ AA’ // BB’ // CC’ L¹i cã: CC’ // A’A // B’B CC’ = A’A = B’B = c A, A, A1 thẳng hàng AA1 = a + c B, B, B1 thẳng hàng BB1 = b + c DƠ thÊy: AA1 vµ BB1 ⊥ (Q) Gọi E, F trung điểm BC CB1 39 B' B1 Ta cã: EF // BB // AA EF = BB = G trọng tâm A1B1C ⇒ EF ⊥ (Q) A ⇒ A1G’ = A1F A1 G trọng tâm ABC AG = AE E' F B G G' Q C E B1 F H×nh thang AA1FE cã: GG’ // EF ⇒ GG’ ⊥ (Q) d(G, (Q)) = GG Gọi E, F trung điểm AG, A1G EF (Q) Hình thang EFFE có GG đường trung bình ’ ⇒ GG’ = = + ’ ’ = + (1) Hình thang GGA1A có: EF đường trung bình EF = (2) Từ (1) (2) ta cã: GG = ⇒ GG = = ⇒ GG = + = Gäi d (G, (P)) = h h = GG c = đpcm 2.5.5 Bài tập đề nghị Bài 1: Cho hình thang ABCD (BC // AD) cã: AB = a, CD = c, DA = d, tổng hai đáy lớn tổng hai cạnh bên ( b + d > a + c) Gọi M giao điểm phân giác góc A B; N giao điểm phân giác góc C D Tính khoảng cách MN 40 Hướng dẫn giải b' b n m a c d a' Vì M giao điểm phân giác góc A B nên M cách hai đáy BC AD Tương tự ta có N cách hai đáy BC AD Do MN // BC AD Phép tịnh tiÕn T ⇒T ⃗: ⃗: M↦N A ↦ A’ (A’ ∈ AD) B ↦ B’ (B’ ∈ BC) ABM ↦ A’B’N, MBC ↦ CB’N, BAM ↦ NA’B’, MAD ↦ NA’D ⇒ A’B’N = CB’N vµ NA’B’ = NA’D Do N tâm đường tròn nội tiếp tứ giác A’B’CD ⇒ A’B’ + CD = B’C + A’D ⇒ AB + CD = (BC - MN) + ( AD – MN) (v× AB = A’B’, BB’ = AA’ = MN) ⇒ 2MN = BC + AD – AB – CD MN = = Bài 2: Cho hình bình hành ABCD, từ B kẻ đường thẳng BE ⊥ CD vµ BK ⊥ AD (E ∈ CD, K ∈ CD), biÕt KE = a, BD = b (b > a) Tính khoảng cách từ B đến trực tâm cđa ∆BEK” 41 H­íng dÉn gi¶i b c h a e d k Gọi H trực tâm BEK, ta cã: EH ^ BK KH ^ BE ⇒ EH //DK , ⇒ KH //DE DK ^ BK DE ^ BE KDEH hình bình hành DE = KH HB⃗ = KD⃗ PhÐp tÞnh tiÕn T ⃗ : H ↦ E B ↦ B’ ⇒ T : BH BE Vì BH EK nên BE EK Trong tam giác vuông BEK ta có: BE2 = BK2 KE2 Mặt khác, tứ giác BBDK hình chữ nhật nên BK = BD = b ⇒ B’E = BK = √b − a VËy khoảng cách từ B đến trực tâm BEK b a 42 Kết luận Phép biến hình vấn đề tương đối khó học sinh phổ thông, hầu hết học sinh chưa thấy hết vị trí tầm quan trọng việc ứng dụng phép biến hình vào giải toán Để gióp häc sinh cã høng thó h¬n viƯc sư dụng phép biến hình vào giải toán hình học, em xin trình bày số kiến thức phép biến hình phép tịnh tiến ứng dụng việc giải lớp tập mặt phẳng không gian Cuối cùng, em xin trân trọng cảm ơn thầy cô tổ Hình học khoa Toán trường ĐHSP Hà Nội 2, đặc biệt thầy Phan Hồng Trường đà giúp đỡ, hướng dẫn tạo điều kiện thuận lợi để em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp Do bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học, thân em đà nỗ lực cố gắng có hạn chế trình độ chuyên môn thời gian có hạn nên khóa luận tránh khỏi thiếu sót Em kính mong thầy cô bạn đóng góp ý kiến để khóa luận hoàn thiện 43 Tài liệu tham khảo [1] Bùi Văn Bình, Nguyễn Văn Vạn (1993), Giáo trình hình học sơ cấp tập 1, tập 2, ĐHSP Hà Nội [2] Bùi Văn Bình (1993), Bài tập hình học sơ cấp tập 1, §HSP Hµ Néi [3] §oµn Qnh (2010), Tµi liƯu chuyên toán hình học 11, NXBGD [4] Đoàn Quỳnh (2010), Tài liệu chuyên toán tập hình học 11, NXBGD [5] Nguyễn Văn Mậu (2008), Các chuyên đề bồi dưỡng học sinh chuyên Toán: Hình học số vấn đề liên quan, NXBGD [6] Đỗ Thanh Sơn (2010), Phương pháp giải toán hình học 11 theo chủ đề, NXBGD [7] Nguyễn Việt Hải (1993), 100 tập sử dụng phép biến hình, sở Giáo dục Đào tạo Hải Phßng 44 ... thức phép tịnh tiến E2, E3 - Ví dụ tập có hướng dẫn giải để minh họa cho phần ứng dụng phép tịnh tiến E2, E3 vào giải toán Đối tượng, phạm vi nghiên cứu Phép tịnh tiến E2, E3 Nhiệm vụ nghiên cứu... gian, ta nói T phép tịnh tiến không gian Tập hợp ảnh điểm thuộc hình H phép tịnh tiến T lập thành hình H H gọi ảnh hình H phép tịnh tiến 1.2.2 Tính chất Cho phép tịnh tiến T ta có tính chất... động T phép biến đổi ngược nã: ( T ⃗ )-1 = T ⃗ ii Nếu v = T phép đồng iii Nếu A, B ảnh A, B qua phép tịnh tiến AB = A′B′⃗ iv TÝch cđa hai phÐp biÕn ®ỉi T ⃗ T phép tịnh tiến mà véctơ tịnh tiến