TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ***** DỖN HỒNG VIỆT PHÉP ĐỐI XỨNG QUA ĐƯỜNG THẲNG TRONG E2 KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học HÀ NỘI - 2013 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TỐN ***** DỖN HỒNG VIỆT PHÉP ĐỐI XỨNG QUA ĐƯỜNG THẲNG TRONG E2 KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học Người hướng dẫn khoa học GVC PHAN HỒNG TRƯỜNG HÀ NỘI - 2013 LỜI CẢM ƠN Trong thời gian vừa qua, giúp đỡ thầy cô giáo bạn sinh viên lớp Em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp với đề tài “Phép đối xứng qua đường thẳng E2” Em xin chân thành cảm ơn thầy, giáo tổ hình học tạo điều kiện cho em hồn thiện khóa luận Và đặc biệt, em xin chân thành cảm ơn thầy giáo Phan Hồng Trường người trực tiếp hướng dẫn em hồn thành khóa luận Hà Nội, ngày 10 tháng năm 2013 Người thực Dỗn Hồng Việt LỜI CAM ĐOAN Khố luận hồn thành kết q trình tìm tịi, tích luỹ kiến thức thân mái trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, với trình học hỏi, nghiên cứu dạy dỗ bảo tận tình thầy giáo Phan Hồng Trường Vì vậy, tơi cam đoan luận văn khơng trùng với luận văn trước Người cam đoan Dỗn Hồng Việt MỤC LỤC PHẦN 1: MỞ ĐẦU PHẦN 2: NỘI DUNG CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Các khái niệm phép biến hình 2 Các khái niệm tính chất phép biến hình đẳng cự Định nghĩa tính chất phép đối xứng qua đường thẳng CHƯƠNG 2: ỨNG DỤNG CỦA PHÉP ĐỐI XỨNG QUA ĐƯỜNG THẲNG TRONG VIỆC GIẢI CÁC BÀI TỐN HÌNH HỌC §1: Ứng dụng phép đối xứng qua đường thẳng việc giải toán chứng minh §2: Ứng dụng phép đối xứng qua đường thẳng việc giải tốn tính tốn 14 §3: Ứng dụng phép đối xứng qua đường thẳng việc 19 giải tốn dựng hình 19 §4: Ứng dụng phép đối xứng qua đường thẳng việc 29 giải tốn quỹ tích 29 CHƯƠNG 3: BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ 34 KẾT LUẬN 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO 40 PHẦN 1: MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Hình học mơn học khó tương đối trừu tượng chương trình tốn phổ thơng, đặc biệt phép biến hình Vấn đề này, học sinh tiếp xúc tiếp cận tới nó, học sinh thường lúng túng bỡ ngỡ Nhưng phép biến hình cơng cụ đơn giản đầy hiệu việc giải tốn hình học Tuy nhiên, việc giải tốn hình học phương pháp biến hình khơng phải dễ học sinh giáo viên Về phép biến hình đẳng cự nói chung phép đối xứng qua đường thẳng nói riêng hình học phẳng, học sinh học phép đối xứng qua đường thẳng cách sơ lược hệ thống tập sơ sài, chưa thể tính ưu việt phép đối xứng qua đường thẳng giải tốn hình học Nhưng thực tế, phép đối xứng qua đường thẳng giúp giải nhiều lớp tốn hình học Để thấy tính hiệu nó, tơi chọn đề tài “Phép đối xứng qua đường thẳng E2” Nhiệm vụ nghiên cứu đề tài Nghiên cứu kiến thức liên quan đến phép đối xứng qua đường thẳng xây dựng hệ thống ví dụ, tập minh hoạ, lời đánh giá nhận xét cho hữu ích sử dụng được, thơng qua lớp tốn: Bài tốn chứng minh, tốn tính tốn, tốn dựng hình tốn quỹ tích Phương pháp phạm vi nghiên cứu Chứng minh ví dụ cụ thể dựa tài liệu sẵn có Nghiên cứu sách giáo khoa lớp 11 (cơ nâng cao), giảng chuyên đề, sách tham khảo lớp 10 lớp 11, giáo trình hình học sơ cấp tài liệu có liên quan đến phép đối xứng qua đường thẳng PHẦN 2: NỘI DUNG CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Các khái niệm phép biến hình 1.1 Định nghĩa Mỗi song ánh f : En  En gọi phép biến hình khơng gian En 1.2 Định nghĩa Cho phép biến hình f : En  En ta có khái niệm sau: a Điểm M  En gọi điểm bất động phép biến hình f f(M) = M b Hình H  En gọi hình kép phép biến hình f f(H) = H c Hình H  En gọi bất động phép biến hình f điểm H điểm bất động f 1.3 Định nghĩa Phép biến hình f : En  En mà f ∙ f = id E gọi phép biến hình n đối hợp Các khái niệm tính chất phép biến hình đẳng cự 2.1 Định nghĩa Phép biến hình f : En  En gọi phép biến hình đẳng cự En bảo tồn khoảng cách điểm Tức là: F phép đẳng cự  d(M, N) = d(f(M), f(N)),  M, N En ( d(M, N) khoảng cách điểm M, N) 2.2 Tính chất a Phép biến hình đẳng cự biến điểm A, B, C thẳng hàng với B nằm A C thành điểm A', B', C' thẳng hàng với B' nằm A' C' b Phép biến hình đẳng cự biến: - Đường thẳng thành đường thẳng - Tia thành tia - Đoạn thẳng thành đoạn thẳng - Góc thành góc - Đường trịn có bán kính đường trịn cho Định nghĩa tính chất phép đối xứng qua đường thẳng 3.1 Định nghĩa Cho đường thẳng ∆ Phép biến hình biến điểm X  ∆ thành điểm X biến điểm M  ∆ thành điểm M' cho ∆ trung trực đoạn thẳng MM' gọi phép đối xứng qua đường thẳng ∆ kí hiệu Đ∆ Phép đối xứng qua đường thẳng gọi đơn giản phép đối xứng trục Đường thẳng ∆ gọi trục đối xứng đường thẳng bất động phép đối xứng trục Đ∆ Cho trước hình H Tập hợp ∆ ảnh điểm thuộc H qua phép đối xứng trục Đ∆ lập thành M hình H' gọi hình / / M' đối xứng với H qua ∆ Nếu H  H' ta nói H hình có trục đối xứng 3.2 Tính chất Ta có định lý sau: * Định lý: Phép đối xứng trục phép biến hình đẳng cự * Dựa vào định lý định nghĩa phép đối xứng qua đường thẳng, ta suy tính chất : a) Phép đối xứng qua đường thẳng phép biến hình đẳng cự nên có đầy đủ tính chất phép biến hình đẳng cự b) Nếu M' ảnh M qua phép đối xứng qua đường thẳng ∆ M lại ảnh M' qua phép đối xứng Ta suy tích phép đối xứng qua đường thẳng với phép đồng hay phép đối xứng qua đường thẳng phép đối hợp c) Mọi điểm thuộc trục đối xứng ∆ điểm bất động d) Mỗi đường thằng a vng góc với trục đối xứng ∆ biến thành với ý giao điểm a với ∆ điểm khác a điểm bất động CHƯƠNG 2: ỨNG DỤNG CỦA PHÉP ĐỐI XỨNG QUA ĐƯỜNG THẲNG TRONG VIỆC GIẢI CÁC BÀI TỐN HÌNH HỌC §1: Ứng dụng phép đối xứng qua đường thẳng việc giải toán chứng minh 1.1 Khái niệm toán chứng minh Bài toán chứng minh chứa đựng tất loại tốn hình học khác như: tốn tính tốn, tốn dựng hình, tốn tìm quỹ tích Đó tốn cần chứng minh mệnh đề A  B với A giả thiết, B kết luận Ta từ giả thiết A đến kết luận B suy luận hợp logic dựa sở định nghĩa, định lý 1.2 Sử dụng phép đối xứng qua đường thẳng toán chứng minh Nếu ta thiết lập mối quan hệ điểm hay đường cho giả thiết A với điểm hay đường kết luận B thơng qua phép đối xứng trục nhờ tính chất đẳng cự phép đối xứng qua đường thẳng ta nhận kết tính đồng quy, thẳng hàng, quan hệ song song, quan hệ vng góc, đoạn thẳng nhau, góc nhau,các tam giác, đường trịn nhau… Từ ta dễ dàng giải toán chứng minh 1.3 Khai thác toán chứng minh nhờ phép đối xứng qua đường thẳng Nếu mệnh đề A  B khẳng định nhờ phép đối xứng qua đường thẳng ta sử dụng phép đối xứng qua đường thẳng xét mệnh đề đảo B  A, xét trường hợp đặc biệt hoá, khái quát hoá, tương tự hoá mệnh đề ta toán 1.4 Một số ví dụ cụ thể Ví dụ 1.1: Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Đường tròn (S) qua điểm I, B, C cắt đường thẳng AB AC thành dây cung Chứng minh hai dây cung có độ dài Ví dụ 3.4: Cho đường thẳng d hai đường tròn (O), (O') nằm hai phía d dựng hình vng ABCD cho đường chéo BD nằm d, đỉnh A nằm đường tròn (O), đỉnh C nằm đường trịn (O') Lời giải: Bước 1: Phân tích Giả sử ABCD hình vng ta dựng Xét phép đối xứng qua đường O thẳng d ta có : A Đd : A  C D (O)  (O') d B Mặt khác, AC đường kính đường trịn ngoại tiếp hình vng ABCD, đường O'' kính AC qua B D C O' Từ ta thấy C thuộc đường trịn đối xứng với đường tròn (O) qua d (O') Từ C tìm điểm cịn lại qua Đd Bước 2: Cách dựng - Dựng ảnh (O'') (O) qua phép đối xứng qua đường thẳng d - Ta gọi C = (O'')  (O') - Dựng ảnh C qua phép đối xứng trục Đd Đó đỉnh A - Dựng đường trịn đường kính AC Gọi B,D giao điểm đường trịn với d, ABCD hình vng phải dựng 26 Bước 3: Chứng minh Theo cách dựng, C thuộc đường tròn (O'') nên ảnh A C qua phép đối xứng trục Đd thuộc (O) Tứ giác ABCD có đường chéo nhau, vng góc với trung điểm đường, ABCD hình vng Bước 4: Biện luận Số nghiệm hình tốn số giao điểm (O'') (O') Nếu hai đường trịn trùng tốn có vơ số nghiệm Có nghĩa đường tròn (O) đối xứng với (O') qua d tốn có vơ số nghiệm * Khai thác sâu tốn Khi thay đường trịn (O') đường thẳng d, ta có tốn tương tự toán ban đầu: Bài toán: Cho đường tròn (O) đường thẳng a, b Hãy dựng hình vng ABCD cho hai đỉnh liên tiếp A, C nằm a (O), hai đỉnh lại nằm b Hướng dẫn giải: Gọi a' ảnh a qua phép đối xứng qua đường thẳng b Giả sử A điểm chung a' với đường trịn (O) Khi C điểm đối xứng với A qua b C nằm a Gọi H giao điểm b với AC Đường tròn tâm H bán kính HA cắt b điểm Đó B D Ví dụ 3.5: Hãy dựng tam giác cân MNP đỉnh M với M cho trước nằm tam giác ABC thoả mãn điều kiện NP // AB, N  AC, P  BC Lời giải: Bước 1: Phân tích Giả sử dựng ∆MNP thoả mãn yêu cầu toán Gọi d đường thẳng qua M vng góc với AB Khi đó, NP // AB ∆MNP cân M nên d trục đối xứng ∆MNP Ta có: 27 P  BC, N  AC  N đối xứng với P qua d  P  d' ảnh AC qua d Bước 2: Cách dựng - Dựng đường thẳng d qua M vng góc với AB C - Dựng d' ảnh AC qua d - Từ P kẻ đường thẳng d' M N - d'  BC = P d P B A vng góc với d cắt AC N Bước 3: Chứng minh Theo cách dựng, ta có ∆MNP cân M nhận d làm trục đối xứng  d  NP (1) Mà d  AB  NP // AB Bước 4: Biện luận Khi MC  AB, tốn khơng có nghiệm hình d'  BC = C  P ≡ C nên không tồn ∆MNP Khi MC khơng vng góc với AB, tốn ln có nghiệm hình 28 §4: Ứng dụng phép đối xứng qua đường thẳng việc giải toán quỹ tích 4.1 Khái niệm tốn quỹ tích Bài tốn quỹ tích: Là tốn tìm tập điểm (hay hình) có chung tính chất α cho trước Sau tìm hiểu kỹ toán, yếu tố đặc trưng toán bước đốn nhận quỹ tích giúp ta hình dung hình dạng vị trí kích thước quỹ tích đến dự đốn quỹ tích K điểm M có tính chất α hình H Để chứng minh mệnh đề ta thường tiến hành bước sau : + Phần thuận: K tập hợp H, nghĩa điểm có tính chất α nằm hình H (đảm bảo tính chất khơng thể thiếu quỹ tích) + Phần đảo: H tập hợp K, nghĩa điểm nằm hình H có tính chất α + Biện luận quỹ tích: Ta xem xét trường hợp đặc biệt để tìm điểm khơng thuộc quỹ tích 4.2 Sử dụng phép đối xứng qua đường thẳng để giải tốn quỹ tích Cho hình H hình mặt phẳng, f phép đối xứng qua đường thẳng đó, tập hợp H' = f(H) = {M' = f(M) / M H} gọi ảnh H qua phép đối xứng qua đường thẳng f Khi M chạy khắp H M' chạy khắp H' ngược lại có H = f-1(H')={M / f(M) = M', M'  H'} Vậy N ảnh M qua phép đối xứng qua đường thẳng f: N = f(M) M có tính chất α N có tính chất α' (α' quy định α f) hay quỹ tích điểm N có tính chất α' hình H' quỹ tích điểm M có tính chất α hình f-1(H') Vậy dùng phép đối xứng trục f chuyển tốn tìm quỹ tích điểm M có tính chất α thành tốn tìm điểm N có tính chất α' với 29 N=f(M) quy định f α cho quỹ tích quỹ tích tìm dễ dàng 4.3 Khai thác sâu tốn quỹ tích nhờ phép đối xứng qua đường thẳng Xuất phát từ toán (ξ) M hay tốn quỹ tích tìm điểm M có tính chất α giải quỹ tích (ξ) phép đối xứng qua đường thẳng f tích phép đối xứng qua đường thẳng biến điểm M thành M' chuyển tính chất α điểm M thành tính chất α' điểm M' cho: M có tính chất α  M' có tính chất α' Lúc tốn quỹ tích là: “Tìm quỹ tích điểm M' có tính chất α'” mà kết quỹ tích M' f(ξ) 4.4 Một số ví dụ cụ thể Ví dụ 4.1: Cho hai điểm B,C cố định nằm đường tròn (O) điểm A thay đổi đường trịn Tìm quỹ tích trực tâm H tam giác ABC Lời giải: Gọi H' điểm A đối xứng với H qua BC H Ta dễ dàng chứng minh Được H'  (O) Ta có: ĐBC : H'  H (O)  (O')  H thuộc đường tròn (O') ảnh (O) qua O B C O' C' H' B' phép đối xứng ĐBC Khi A ≡ B A ≡ C không tồn ∆ABC : + Trường hợp A ≡ B H' ≡ C' (với CC' đường kính (O')) Thật vậy, A ≡ B AB tiếp tuyến đường tròn (O) B 30  OB  AB mà OB // O'C (do tứ giác BOCO' hình thoi)  AB  O'C hay AB  CC' (CC' đường kính (O') (1) Do B nằm đường trịn (O') đường kính CC' nên BC  BC' (2) Từ (1) (2)  C' trực tâm ∆ABC hay ∆BBC Tương tự, A ≡ C H ≡ B' (BB' đường kính (O')) Vậy quỹ tích điểm H đường tròn (O') bỏ điểm B' C' với BB' CC' đường kính đường trịn (O') ( (O') ảnh (O) qua ĐBC ) * Khai thác sâu toán Từ toán trên, ta suy nhiều kết va toán khác sau: i H'' điểm cho tứ giác BHCH'' hình bình hành Chứng minh H'' thuộc đường trịn (O) Từ suy quỹ tích H'' ii O' = ĐBC(O) suy O' = ĐI(O) với I trung điểm BC H1, H2, H3, H4, H5, H6 đối xứng với H qua BC, CA, AB trung điểm BC, CA, AB điểm thuộc đường trịn đường trịn (O) AH1, BH2, CH3 đồng quy O Đó đường kính (O) iii Gọi O1, O2, O3 điểm đối xứng O qua BC, CA, AB ta có đường trịn qua O1, O2, O3 đường tròn (O) iv K điểm Gọi K1, K2, K3 điểm đối xứng K qua BC, CA, AB ta có: ∆K1K2K3 = ∆ABC Ví dụ 4.2: Cho hình thang cân ABCD có đáy AB cố định Hai điểm D,C thay đổi, cạnh AC = m khơng đổi Tìm quỹ tích đỉnh D hình thang Lời giải: Do tứ giác ABCD A hình thang cân đáy AB cố định d B m  Trục đối xứng d hình thang cố định Ta có: Đd(C) = D C D 31 Theo giả thiết, ta có AC = m khơng đổi với A cố định  Quỹ tích điểm C đường trịn (C) tâm A bán kính m  D nằm đường trịn (C') (C') = Đd((C)) Do quỹ tích D đường trịn (C) Ví dụ 4.3: Cho tam giác cân ABC (AB=AC) Với điểm M cạnh BC dựng hình bình hành APMQ (P nằm cạnh AB, Q nằm cạnh AC) Gọi M' điểm đối xứng với M qua PQ Tìm tập hợp M' M thay đổi cạnh BC Lời giải: Ta thấy, rõ ràng M nằm A đường trịn tâm Q bán kính QC Vì vậy, ta : Q ฀ ฀ ' C = MQC ฀ = BAC MM 2 M' Tương tự, M' thuộc đường tròn P Tâm P với bán kính PB, nên B ฀ ฀ ' P = MPB ฀ = BAC MM 2 M C ฀ ' C , BM ฀ ' C = NM ฀ 'P Tia M'M nằm góc BM ฀ ' P = BAC ฀ Và MM ฀ Mặt khác, M' nằm phía với A, nên M' thuộc cung BAC ฀ Vậy M'  BAC Ví dụ 4.4: Cho hai điểm A, B cố định Với đường thẳng d qua B ta dựng điểm A' đối xứng với A qua d Tìm tập hợp điểm A' d quay quanh B 32 Lời giải: Gọi H giao điểm đường thẳng d AA' A Ta có: BH  AA' B Gọi C điểm đối xứng d H với A qua B Qua A kẻ d' // d C d' AB  d' = C A' Xét AA'C có: HB // AC, HA = HA'  BH đường trung bình ∆AA'C  B trung điểm AC ฀ 'C = 90° Do A, B cố định nên C cố định Mặt khác ta lại có AA  A' nằm đường trịn đường kính AC + Khi d ≡ AB A' ≡ A, C ≡ B, A' nằm đường trịn đường kính AC + Đảo lại, A' nằm đường trịn đường kính AC đường thẳng d qua B trung điểm AA' trục đối xứng hai điểm A A' * Khai thác sâu tốn Ngồi cách giải cách sử dụng phép đối xứng qua đường thẳng, ta cịn có cách giải khác đơn giản xoay quanh phép đối xứng qua đường thẳng d Qua cho thấy tính đa dạng việc vận dụng phép đối xứng qua đường thẳng Ta có : Đd(A) = A' Vì B  d nên quay d quanh B ta có BA = BA' Mà A, B cố định nên AB khơng thay đổi  Quỹ tích ta cần tìm đường trịn đường kính AB 33 CHƯƠNG 3: BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 1: Chứng minh tam giác ABC, bất đẳng thức sau đúng:  p( p  a) đó, độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A, BC = a, 2p = a + b + c Bài 2: Đường trịn tâm I nội tiếp tam giác khơng cân ABC, tiếp xúc với BC, CA, AB tương ứng A1, B1, C1 gọi A2 điểm đối xứng với A1 qua AI, B2 điểm đối xứng với B1 qua BI, C2 điểm đối xứng với C1 qua CI Chứng minh ∆A2B2C2 có cạnh song song với cạnh ∆ABC Bài 3: Tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Đường phân giác ฀ cắt đường tròn (O) D Chứng minh rằng: 2AD > AB + AC BAC Bài 4: Cho hai điểm A, B đường thẳng d Hãy dựng tam giác có hai đỉnh hai điểm cho d đường phân giác góc thuộc đỉnh thứ ba Bài 5: Cho hai điểm phân biệt M, N đường thẳng d Hãy dựng tam giác ABC mà M, N trung điểm hai cạnh AB, AC tam giác d phân giác góc thuộc đỉnh C Bài 6: Dựng tam giác ABC, biết điểm M, N, P ảnh trực tâm H tam giác phép đối xứng qua cạnh tam giác Bài 7: Cho tam giác ABC đường thẳng d Hãy tìm đường thẳng d điểm M cho:    a, │ MA + MB │ + 2│ MC │ nhỏ     b, │2 MA + MB │ + │4 MC + MA │ nhỏ Bài 8: Cho tam giác nhọn ABC Gọi A' chân đường cao tam giác kẻ từ đỉnh A Hãy tìm cạnh AB, AC điểm C' B' tương ứng cho chu vi tam giác A'B'C' nhỏ Bài 9: Cho hai điểm cố định A B Với đường thẳng x qua B, ta dựng điểm A' đối xứng với A qua x Tìm tập điểm A' x quay quanh điểm B 34 Bài 10: Cho Elíp (E) có tiêu điểm F1 F2 Xét đường thẳng d có điểm chung M với Elíp F' điểm đối xứng với F2 qua d Tìm tập hợp điểm F' d thay đổi Hướng dẫn giải tập: Bài 1: Hướng dẫn Qua A kẻ đường thẳng d // BC gọi B', C' điểm đối xứng với B, C qua d Ta có: AB + AB' + AC + AC'  BC' + CB' = 2BC'  b+c  2 4ha  a B' C' A 2  (b+c) – a  4ha  4p(p – a)  d 4ha2 Dấu “=” xảy ∆ABC cân A h C B Bài 2: Hướng dẫn Ta thấy A2 đối xứng với A1 B1 đối xứng với C1 qua AI nên C1A2 = A1B1 Tương tự A1 đối xứng với C1 A B1 đối xứng với B2 qua BI B1 nên C1B2 = A1B1 C1 Ngồi ta có: I IA1=IA2=IB2=IC1 Điều chứng tỏ điểm B2 B A2, B2 nằm đường tròn (I) A2 A1 C Tam giác C1A2B2 cân C1 nội tiếp đường tròn (I) nên A2B2 song song với tiếp tuyến đường tròn (I) C1 Tức A2B2 // AB Tương tự ta có : A2C2 // AC B2C2 // BC 35 Bài 3: Hướng dẫn Lấy D' điểm đối xứng với D qua đường trung trực AB Khi AD = BD' AC = DD' Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành : AD + BD' > AB + DD' Bài 4: Hướng dẫn A' B B A d C A A' C Phân tích: Ta xét A, B nằm hai phía d Gọi A' ảnh A phép đối xứng qua đường thẳng d A' thuộc BC C điểm chung d đường thẳng A'B Trường hợp A, B phía với d, ta lập luận tương tự có kết hình vẽ Biện luận: Bài tốn có nghiệm A'B cắt d A' B trùng (trường hợp A B khác phía với d) Bài 5: Hướng dẫn Phân tích: Giả sử ta có ∆ABC cần dựng Nếu ABC tam giác có tính chất cho ta có MN // AC Gọi D giao điểm MN với d, tam giác CND tam giác cân đỉnh N Ta ký hiệu x đường trung trực CD, x qua N x trục đối xứng hai điểm C, D 36 Biện luận: Bài tốn có nghiệm MN không song song với d M, N không nằm đường thẳng d D A M B x N C Bài 6: Hướng dẫn Phân tích: Giả sử ta dựng ∆ABC theo yêu cầu đề Nếu tam giác ABC có tính chất cho tốn điểm M, N, P nằm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC H tâm đường tròn nội tiếp tam giác MNP đường trịn bàng tiếp tam giác Bài 7: Hướng dẫn a, Ta đưa toán dạng quen thuộc : Gọi K trung điểm AB Theo tính chất trung điểm, ta có:    MA + MB = MK Khi tốn đưa tìm điểm M d cho MK + MC nhỏ A d K M B C 37 b, Ta quy toán A toán quen thuộc: Trên đường thẳng AB, H Ta lấy điểm H cho:  d M K   HA + HB = Trên đường thẳng AC, C B Ta lấy điểm K cho:    HC + HA = Bài tốn đưa tìm điểm M d cho MK + MH nhỏ Bài 8: Hướng dẫn Lấy đối xứng A' qua AB AC, ta ảnh điểm A1 A2 Các điểm C' B' cần tìm giao điểm A1A2 với AB AC Ta chứng minh điểm C', B' chân đường cao tam giác ABC kẻ từ đỉnh C B Vì ∆ABC nhọn nên điểm cần dựng tồn Bài 9: Hướng dẫn Vì A' đối xứng với A qua x nên ta có BA = BA' Mặt khác B điểm cố định nên A' thuộc đường trịn tâm B với bán kính R = BA Đảo lại, A' điểm đường trịn khác A đường trung trực đoạn AA' đường thẳng x Khi A' ≡ A x đường thẳng AB Tóm lại, tập hợp điểm A' đường tròn tâm B với bán kính BA Bài 10: Hướng dẫn Ta kí hiệu 2a độ dài trục lớn Elíp (E)  MF1 + MF2 = 2a Vì F' đối xứng với F2 qua d, ta có: MF1 + MF' = MF1 + MF2 = 2a Điều chứng tỏ M nằm đường thẳng F1F' tập hợp điểm F đường trịn tâm F1, bán kính 2a 38 KẾT LUẬN Việc đưa phép biến hình vào chương trình tốn học phổ thơng giúp học sinh có cơng cụ hữu hiệu để giải lớp tốn hình học Đặc biệt phép biến hình giúp học sinh giải tốn dựng hình, quỹ tích dễ dàng nhiều so với việc sử dụng phương pháp khác, đồng thời phát triển tư sáng tạo niềm đam mê u thích mơn hình học Cụ thể khố luận tơi đưa số toán giải cách sử dụng phép đối xứng qua đường thẳng tốn: tốn chứng minh, tốn tính tốn, tốn dựng hình tốn quỹ tích Mỗi tốn có ví dụ minh hoạ số kết rút từ tốn đó, tốn mở rộng, tương tự Bên cạnh tơi cịn bổ sung số tập luyện tập có gợi ý lời giải, qua giúp người đọc thấy tính ưu việt việc giải tốn hình học nhờ sử dụng phép biến hình (cụ thể sử dụng phép đối xứng qua đường thẳng) Mặc dù thân sức cố gắng, xong hạn chế trình độ chun mơn tính gấp rút thời gian nên chắn khố luận khơng tránh khỏi số sai sót Em mong thầy cô tổ chuyên môn, bạn sinh viên đọc khố luận đóng góp ý kiến để khố luận hồn thiện 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO Đoàn Quỳnh (2010), Tài liệu chun Tốn Hình học 10, Nxb Giáo Dục Đồn Quỳnh (2010), Tài liệu chun Tốn tập Hình học 10, Nxb Giáo Dục Đoàn Quỳnh (2010), Tài liệu chun Tốn Hình học 11, NXB Giáo Dục Đồn Quỳnh (2010), Tài liệu chun Tốn tập Hình học 11, Nxb Giáo Dục Nguyễn Văn Mậu (2008), Hình học số vấn đề liên quan, Nxb Giáo Dục Đỗ Thanh Sơn (2010), Phương pháp giải toán Hình học 11 theo chủ đề, Nxb Giáo Dục 40 ... xứng qua đường thẳng ∆ M lại ảnh M' qua phép đối xứng Ta suy tích phép đối xứng qua đường thẳng với phép đồng hay phép đối xứng qua đường thẳng phép đối hợp c) Mọi điểm thuộc trục đối xứng ∆ điểm... Đ∆ Phép đối xứng qua đường thẳng gọi đơn giản phép đối xứng trục Đường thẳng ∆ gọi trục đối xứng đường thẳng bất động phép đối xứng trục Đ∆ Cho trước hình H Tập hợp ∆ ảnh điểm thuộc H qua phép. .. cách sử dụng phép đối xứng qua đường thẳng, ta cịn có cách giải khác đơn giản xoay quanh phép đối xứng qua đường thẳng d Qua cho thấy tính đa dạng việc vận dụng phép đối xứng qua đường thẳng Ta có