TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ***** PHẠM THỊ PHƯỢNG PHÉP VỊ TỰ TRONG E2, E3 KHỐ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chun ngành: Hình học HÀ NỘI – 2013 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ***** PHẠM THỊ PHƯỢNG PHÉP VỊ TỰ TRONG E2, E3 KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học Người hướng dẫn khoa học GVC PHAN HỒNG TRƯỜNG HÀ NỘI - 2013 LỜI NÓI ĐẦU Khóa luận trình bày số kiến thức kĩ thuật, cách tiếp cận, ứng dụng phép vị tự để giải số lớp toán có liên quan tới hình đồng dạng: toán tính toán, toán chứng minh, toán dựng hình, toán quỹ tích Bên cạnh đó, khóa luận cố gắng mở rộng toán, qua nêu lên số suy nghĩ, đề xuất giảng dạy Em xin bày tỏ lòng biết ơn công lao dạy dỗ thầy, cô đặc biệt hướng dẫn tận tình thầy Phan Hồng Trường đà giúp em hoàn thành khóa luận Hà Nội, tháng năm 2013 Phạm Thị Phượng LI CAM OAN Em xin cam đoan khóa luận hoàn thành nỗ lực tìm hiểu, nghiên cứu thân hướng dẫn, giúp đỡ thầy giáo Phan Hồng Trường Bản khóa luận không trùng với kết tác giả khác Nếu trùng em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Sinh viên Phạm Thị Phượng A.PHẦN MỞ ĐẦU LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong chương trình tốn trường phổ thơng, học sinh làm quen với phép biến hình Đây vừa cơng cụ để giải tốn đồng thời bồi dưỡng giới quan vật biện chứng cho học sinh Trong nhiều trường hợp, phép biến hình thể rõ hiệu việc giải tốn Tuy nhiên việc sử dụng phép biến hình vào giải tốn khơng đơn giản với giáo viên học sinh Trong khn khổ khóa luận tốt nghiệp chọn nghiên cứu phép vị tự ứng dụng nhằm trình bày số kiến thức kĩ thuật, cách tiếp cận, ứng dụng phép vị tự để giải số lớp toán có liên quan tới hình đồng dạng MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Nghiên cứu phép vị tự ứng dụng lớp tập hình học ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU Phép vị tự E2, E3 NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU - Trình bày sở lí thuyết phép vị tự - Các ví dụ minh họa thể ứng dụng phép vị tự lớp tập hình học: Bài tốn tính tốn Bài tốn chứng minh Bài tốn dựng hình Bài tốn quỹ tích PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo, tạp chí tốn học tài liệu có liên quan đến nội dung nghiên cứu B NỘI DUNG CHƯƠNG CÁC KIN THC CHUN B Đại cương phép biến hình 1.1 Định nghĩa Giả sử đà cho tập hợp T Một song ánh f: T T từ T vào đươc gọi phép biến hình tập T 1.2 Phép biến hình đảo ngược Cho phép biến hình f: T T Khi ánh xạ ngược f-1 phép biến hình, gọi phép biến hình đảo ngược phép biÕn h×nh f 1.3 TÝch cđa hai phÐp biÕn h×nh Giả sử f g hai phép biến hình tập T đà cho, dễ thấy ánh xạ tích f g song ánh từ T vào T nên tích phép biến hình T Ta gọi phép biến hình phép biến hình f g Kí hiệu: gf 1.4 Phép đồng dạng 1.4.1 Định nghĩa Phép biến hình không gian En (n=2,3) biến điểm M thành điểm M cho với cặp điểm M, N cặp ảnh tương ứng M, N MN= kMN ( k số dương cho trước) gọi phép biến hình đồng dạng tỉ số k KÝ hiƯu: Zk 1.4.2 TÝnh chÊt a) PhÐp ®ång dạng phép afin b) Phép đồng dạng biến đường tròn thành đường tròn E2, biến mặt cầu thành mặt cầu E3 c) Phép đồng dạng bảo tồn độ lớn góc phẳng 1.4.3 Điều kiện xác định phép đồng dạng a) Trong E2, phép đồng dạng xác định hoàn toàn tam giác đồng dạng b) Trong E3, phép đồng dạng xác định hoàn toàn tứ diện có cạnh tương ứng tỉ lệ Phép vị tự 2.1 Định nghĩa Trong En (n=2,3) cho điểm O số thực k khác Phép biến hình không gian biến điểm M thành điểm M cho OM' kOM gọi phép vị tự tâm O, tỉ số k Kí hiệu: V(O,k) V Ok 2.2 TÝnh chÊt a PhÐp vÞ tù V(O, k)là phép đồng dạng tỉ số k mà đường thẳng nối điểm với ảnh qua O b Víi k  1, phÐp vÞ tù V(O,k) có điểm bất động O c Phép vị tự bảo tồn phương đường thẳng d Trong E2, phép vị tự thuận phép đồng dạng thuận Trong E3, phép vị tự phép đồng dạng thuận hay nghịch tùy theo tỉ số vị tự âm hay dương 2.3 Tích hai phép vÞ tù 2.3.1 TÝch cđa hai phÐp vÞ tù cïng tâm Cho hai phép vị tự tâm: V1 = V(O, k1), V2 = V(O, k2) TÝch cđa V1 vµ V2 phép vị tự: V1 V2 = V(O, k1.k2) 2.3.2 Tích phép vị tự khác tâm Cho phép vị tự khác tâm: V1 = V(O1, k1), V2 = V(O2, k2) - NÕu k1.k2 = tích V1 V2 phép tịnh tiÕn - NÕu k1.k2  th× tÝch cđa V1 V2 phép vị tự V(O, k1.k2) với O xác định hệ thức: k O1O O1O2 k1.k2 CHƯƠNG ỨNG DỤNG CỦA PHÉP VỊ TỰ VÀO GIẢI CÁC LỚP BÀI TỐN CƠ BẢN Ứng dơng cđa phÐp vÞ tự việc giải số lớp toán hình học trình sử dụng phép vị tự vào giải toán hình học dạng cụ thể nhằm giúp cho người đọc thấy tiện lợi tính ưu việt phương pháp biến hình nói chung phép vị tự nói riêng việc giải toán 2.1 ng dụng phép vị tự vào giải toán chứng minh hình học 2.1.1 Bài toán chứng minh Bài toán chứng minh toán cần mệnh đề A B đúng, A giả thiết, B kết luận Để giải toán chứng minh, ta xuất phát từ giả thiết A mệnh đề đà biết, lập luận chặt chẽ suy luận hợp logic, dựa vào định nghĩa, tính chất, định lí đối tượng toán học để đến kết luận 2.1.2 ng dụng phép vị tự giải toán chứng minh Khi vận dụng phép vị tự vào giải toán chứng minh, ta thường tiến hành theo bước sau: - Bước 1: Xác định yêu cầu toán - Bước 2: Xác định phép vị tự (Xác định tâm vị tự tỉ số vÞ tù) - B­íc 3: Thùc hiƯn phÐp vÞ tù - Bước 4: Đưa kết luận toán 2.1.3 VÝ dô VÝ dô 1: Chøng minh r»ng: a) Các trung điểm cạnh tam giác, chân đường cao trung điểm đoạn thẳng nối trực tâm với đỉnh nằm đường tròn ( Đường tròn Euler) b) Bốn điểm tam giác: trực tâm, trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, tâm đường tròn Euler thẳng hàng lập thành hàng điểm điều hòa Lời giải: A A3 H B I G O A A C A4 A Giả sử G, H, O trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp ABC, A1, B1, C1 chân đường cao hạ từ A, B, C xuống cạnh đối diện; A2, B2, C2 giao điểm thứ A1H, B1H, C1H với (O); A3, B3, C3 trung điểm AH, BH, CH; A4, B4, C4 trung điểm BC, CA, AB; A5, B5, C5 giao điểm thứ hai OA, OB, OC víi (O) Ta cã: ฀ ฀ BAH  BCH (Cïng phơ víi gãc ABC) ฀ ฀ ฀ ฀ = BCA Mµ BAH  BCH = BCA CA1 phân giác HCA , mà CA1 đường cao nên tam giác CHA2 cân C CA1 trung tuyến A1 trung điểm HA2 HA1 HA 2 (1) Dễ dàng chứng minh tứ giác BHCA5 hình bình hành Thay đổi yếu tố cố định di động toán ta đưa toán mới: Bài 1: Cho đường tròn (O,R) điểm A cố định nằm đường tròn BC dây cung di động đường tròn có độ dài a không đổi (a < 2R) Tìm quỹ tích trọng tâm G trực tâm H cña ABC A O G H B C M A' Gọi M trung điểm BC +) Trước tiên ta tìm quỹ tích điểm M Vì M trung điểm BC nên OM BC Xét OMC cã: OM2 = OC2 - MC2 a = R2 - ( )2 a2 =R  OM = R2- không đổi a2 = m không đổi M (O,m) = (O1) Ngược lại, lấy M thuộc (O1) Đường thẳng qua M vuông góc với OM M cắt (O) B, C Ta cã: BC = 2MC = OC2  OM = R  R  a2 = a VËy q tÝch trung ®iĨm M cđa BC (O1) = (O, m) +) Tìm quỹ tích trọng tâm G ABC Xét phép vị tự V(A, ): M  G (O1)  (O2) Vì M (O1) nên G (O2) = V(A, )[ (O1)] Khi B  A th× M  P1, C  A th× M  N1 2  G  P2 = V(A, )( P1), G  N2 = V(A, )( N1) 3 VËy quü tÝch trọng tâm G ABC đường tròn (O2) ¶nh cña (O1) qua V(A, ) trõ điểm P2, N2 +) Tìm quỹ tích trực tâm H Gọi A giao điểm thứ AO với (O) A cố định Xét phép vị tù V(G,  ): H  O B N XÐt phÐp vÞ tù V(A, 2): O  A’ N C  V(A,2)  V(G,  ): H  A’, B  C 2 Do 2.(  ) = -1 nªn V(A,2)  V(G,  ) phép đối xứng tâm tâm phép ®èi xøng nµy lµ trung ®iĨm M cđa BC  M trung điểm HA Xét phép vị tự V(A’, 2): M  H (O1)  (O3) V× M  (O1) nªn H  (O3) = V(A’,2)[ (O1)] Do B, C  A nªn M  P1, N1  H  P3 = V(A’, 2) (P1), H  N3 = V(A’, 2) (N1) VËy quü tÝch trùc t©m H ABC đường tròn (O3) ảnh (O1) qua V(A,2) trừ điểm P3, N3 Bài 2: Giừ nguyên giả thiết cho A điểm cố định mặt phẳng ta toán: Cho đường tròn (O, R) điểm A cố định BC dây cung di động đường tròn có độ dài a không đổi (a < 2R) Tìm quỹ tích trọng tâm G ABC. Bài 3: Cho dường tròn (O,R) điểm A cố định nằm đường tròn BC dây cung di động đường tròn qua điểm cố định nằm đường tròn Tìm quỹ tích trọng tâm G ABC +) Với toán q tÝch trung ®iĨm M cđa BC thay ®ỉi: Gäi M trung điểm BC, I điểm cố định nằm đường tròn mà BC qua OMI vuông M có O, I cố định nên M thuộc đường tròn đường kính OI: (OI) = (O4) Khi B C trùng với A M trùng với M1 Vậy quỹ tích M đường tròn (O4) \ { M1} 3 +) Sư dơng V(A, ) ta cã q tÝch G lµ V(A, )[ (O4)] \ V(A, )(M1) A M1 G O O4 B I M C Bài 4: Tìm tập hợp trọng tâm G tam giác ABC cân A có AB cố định B' A G M B C Ta có: C chạy đường tròn bán kÝnh AB trõ hai ®iĨm B, B’ ®èi xøng  với qua A Vì M trung điểm BC nên BM BC Dễ dàng tìm quỹ tích trung điểm M BC đường tròn đường kính AB, trừ điểm A, B Sư dơng phÐp vÞ tù V(A, ): M  G suy quü tÝch G Më réng E3 ta có toán tương tự: Bài 5: Cho mặt cầu (O), dây cung BC cố định điểm A di động (O).Tìm quỹ tích trọng tâm G trực tâm H ABC A di động (O) Giải tương tự ví dụ Bài 6: Cho mặt cầu (O,R), BC dây cung di động mặt cầu có độ dài a không đổi (a < 2R) Tìm quỹ tích trọng tâm G trực tâm H ABC BC di động Giải tương tự Ví dụ 2: Cho đường tròn (O) có đường kính AB Gọi C điểm đối xứng với A qua B PQ đường kính thay đổi (O) Đường thẳng CQ cắt PA PB M N a) Chứng minh Q trung điểm CM, N trung điểm CQ b) Tìm quỹ tÝch M, N ®­êng kÝnh PQ thay ®ỉi Lêi gi¶i: P A O B C N Q M a) Ta có O trung điểm AB PQ nên tứ giác APBQ hình hình hành AP // BQ vµ AQ // BP XÐt ACM cã: BQ // AM (cmt) B trung điểm AC BQ đường trung bình ACM Q trung điểm CM Chứng minh tương tự với ACQ ta N trung điểm CQ b) +) Tìm quỹ tích M PQ thay đổi Vì Q trung điểm CM nên CM  2CQ XÐt phÐp vÞ tù V(C, 2):Q  M (O)  (O’) Do Q  (O) nªn M  (O’) = V(C,2)[(O)] VËy q tÝch cđa M lµ đường tròn (O) = V(C, 2)[(O)] +) Tìm quỹ tích N PQ thay đổi Do N trung điểm CQ nên CQ 2CN XÐt phÐp vÞ tù V(C, ): Q  N (O)  (O’’) Do Q  (O) nªn N  (O’’) = V(C, )(O) VËy quü tÝch điểm N đường tròn (O) = V(C, )[(O)] Ví dụ 3: Cho đường tròn (O, R) (O, R’) tiÕp xóc víi t¹i A (R > R) Đường kính qua A cắt đường tròn tâm (O,R) B cắt (O,R) C Một đường thẳng biến thiên qua A cắt (O,R) M cắt (O,R) N Gọi S = BN CM Tìm quü tÝch S Lêi gi¶i: M N S B O C O' A Ta cã: BM // CN (cïng vu«ng góc với AM) Khi đó, ta có tam giác BMS NCS đồng dạng nên: CS CN AC 2R' R'     SM BM AB 2R R Do ®ã: R' CS R' CS  = hay R+R' SM  CS R+R' SM   CS = R'  CM R+R' XÐt phÐp vÞ tù V(C, R' ): M  S R+R' (O)  (O’’) V× M  (O) nªn S  (O’’) = V(C, R' )[(O)] R+R' Vậy quỹ tích S đường tròn (O) ¶nh cđa (O) qua phÐp vÞ tù V(C, R' ) R+R' Ví dụ 4: Cho đường tròn (O,R) (O,R) tiếp xúc với A Kẻ dây AB (O) AC (O) cho BAC = 90 , M điểm chia BC theo tỉ số k Tìm quỹ tích điểm M Lêi gi¶i: C B I O M A O' D R' , lÊy I cho I chia ngoµi O’O theo tØ sè h R    IO' hIO Đặt h = V(I, h): O O (O) (O) Kẻ đường kính AD (O), ta cã V(I, h): A  D L¹i cã: AB // DC (cùng vuông góc với AC) nên V(I, h): tia AB  tia DC Do B thuéc (O) vµ tia AB nên V(I, h)(B) thuộc (O) tia DC  V(I, h)(B) = C    IC  hIB V× M chia BC theo tØ sè k nªn ta cã:   MB   kMC      IB  IM  k(IC  IM)     (k+1)IM  IB  kIC  k   k   1+kh  IC  IB  hIB  IB  IB  IM  k+1 k+1 k+1 k+1 k+1 XÐt phÐp vÞ tù V(I, 1+kh ): B  M k+1 (O)  (O’’) Do B  (O) nªn M (O’’) = V(I, 1+kh )[(O)] k+1 VËy q tÝch ®iĨm M đường tròn (O) ảnh (O) qua V(I, ®ã h = 2.4 1+kh ) k+1 R' R ng dụng phép vị tự vào giải toán tính toán hình học Trong ví dụ 2, vÝ dơ ta sư dơng c«ng thøc tÝnh diện tích tam giác ảnh tam giác qua phép vị tự tỉ số k công thức tính thể tích tứ diện ảnh mét tø diƯn qua phÐp vÞ tù tØ sè k: Diện tích tam giác ảnh = k Diện tích tam giác tạo ảnh Thể tích tứ diện ảnh = k Thể tích tứ diện tạo ảnh Ví dụ 1: Trong mặt phẳng cho đường tròn (O1, R1) (O2, R2), (R2=2R1) cắt điểm A, B Các tiếp điểm tiếp tuyến chung với (O1) (O2) P1, P2 tiếp điểm tiếp tuyến chung lại với (O1) (O2) Q1, Q2 M1, M2 trung điểm P1Q1 P2Q2 ฀ AM biÕt O O = R TÝnh M 1 Lêi gi¶i: P C T P O A M O M1 O Q1 Q2 ฀AO  M ฀ AM Theo vÝ dơ phÇn 2.1.3 ta cã O 2 XÐt tam gi¸c AO1O2 cã: ฀AO = cos O ฀AO = 60  O ฀ AM = 60  M R12  R 22  O1O 22 R12  4R 12  3R 12   2R 1R 4R 12 VÝ dơ 2: Cho tam gi¸c ABC, P điểm nằm tam giác G1, G2, G3 trọng tâm tam giác PBC, PCA, PAB BiÕt diƯn tÝch tam gi¸c ABC b»ng S, tính diện tích tam giác G1G2G3 Lời giải: Gọi A1, A2, A3 trung điểm BC, CA, AB, G trọng tâm ABC A G B P G G G A1  Ta cã: GA1  C 1   1   1  GA , GA  GB , GA  GC 3  V(G, 1 ): A, B,C  A1, A2, A3  V(G, 1 ):  ABC   A1A2A3 V× G1, G2, G3 trọng tâm tam giác PBC, PCA, PAB nªn ta cã:       PG1  PA1 , PG  PA , PG  PA 3 3 2  V(P, ):A1,A2,A3  G1,G2,G3  V(P, ):  A1A2A3   G1G2G3 3 1 3 Ta cã: ( )  1 2 2  nªn V(P, )  V(G, ) phép vị tự tỉ số biến tam 3 9 giác ABC thành tam giác G1G2G3  DiÖn tÝch(G1G2G3) = ( 2 ) diÖn tÝch (ABC) = S 81 VÝ dô 3: Cho tứ diện ABCD, P điểm nằm tứ diện G1, G2, G3, G4 träng t©m PBCD, PCDA, PDAB, PABC BiÕt ABCD cã thĨ tích V Tính thể tích G1G2G3G4 Lời giải: Gọi G trọng tâm tứ diện ABCD, A1, A2, A3, A4 trọng tâm tam giác BCD, ACD, ABD, ABC Khi ®ã ta cã:  1   1   1   1  GA1  GA , GA  GB , GA  GC , GA  GD 3 3  V(G, 1 ): ABCD  A1A2A3A4 A P G B A1 G C D Do G1, G2, G3, G4 trọng tâm PBCD, PCDA, PDAB, PABC nªn ta         cã: PG1  PA1 , PG  PA , PG  PA , PG  PA  V(P, ): A1A2A3A4  G1G2G3G4 Ta cã: ( 1  ) =  4 1 1  V(P, ) V(G, ) phép vị tự tỉ số : ABCD  G1G2G3G4 4  ThÓ tÝch(G1G2G3G4) = 1 thÓ tÝch(ABCD) = V 64 C.KT LUN Qua khóa luận rút số kết luận sau: - Các phép biến hình nói chung phép vị tự nói riêng cung cấp công cụ hữu hiệu việc giải toán Đối với nhiều toán giải phương pháp thông thường dài phức tạp sử dụng phép biến hình lời giải ngắn gọn dễ hiểu - Khi dựa vào toán nhờ phép biến hình, ta mở rộng, sáng tạo nhiều toán Từ gây hứng thú cho việc học tập nghiên cứu - Việc dạy học phép biến hình giúp bồi dưỡng thÕ giíi quan vËt biƯn chøng cho häc sinh: nhìn nhận vật, tượng trạng thái biến đổi không ngừng Bên cạnh đó, nhận thấy số khó khăn giải toán nhờ phép vị tự như: - Tìm phép vị tự phù hợp với lời giải nhiều toán nhiều khó Không thế, nhiều toán không sử dụng đơn phép vị tự mà tích phép vị tự với phép biến hình - Nhiều toán giải phương pháp biến hình Từ đó, xin đưa số suy nghĩ giảng dạy phép biến hình nói chung phép vị tự nói riêng sau: - Cần cho học sinh thấy chất phép biến hình, giống khác phép biến hình - Khi áp dụng phép biến hình vào giải tập cần đưa lớp toán phong phú (chứng minh, quỹ tích, dựng hình, tính toán), có phân bậc từ dễ đến khó - RÌn lun cho häc sinh dïng mét phÐp biÕn h×nh giải nhiều dạng tập giải tập nhiều phép biến hình Do thời gian lực hạn chế nên khóa luận chắn nhiều thiếu sót, mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô bạn để khóa luận hoàn thiện TI LIU THAM KHO Bùi Văn Bình, 1993, Giáo trình hình học sơ cấp tập 2, ĐHSP Hà Nội 2 Bùi Văn Bình, 1993, Bài tập hình học sơ cấp, ĐHSP Hà Nội Nguyễn Mộng Hy, 1996, Các phép biến hình mặt phẳng, NXB Giáo dục Phan Huy Khải, 1998, Toán nâng cao cho học sinh hình học 11, NXB ĐHQG Hà Nội Đoàn Quỳnh (Chủ biên), 2010, Tài liệu chuyên toán hình học 11, NXB Giáo dục Đoàn Quỳnh (Chủ biên), 2010, Tài liệu chuyên toán tập hình học 11, NXB Giáo dục Vũ Dương Thụy (Chủ biên), 2001, 40 năm Olympic toán học quốc tế NXB Giáo dục Toán học tuổi trẻ số 350, 2006, NXB Gi¸o dơc ... điểm bất động O c Phép vị tự bảo tồn phương đường thẳng d Trong E2, phép vị tự thuận phép đồng dạng thuận Trong E3, phép vị tự phép đồng dạng thuận hay nghịch tùy theo tỉ số vị tự âm hay dương... TÝch cđa hai phép vị tự tâm Cho hai phép vị tù cïng t©m: V1 = V(O, k1), V2 = V(O, k2) Tích V1 V2 phép vị tù: V1  V2 = V(O, k1.k2) 2.3.2 TÝch cña phép vị tự khác tâm Cho phép vị tự khác tâm:... khó khăn giải toán nhờ phép vị tự như: - Tìm phép vị tự phù hợp với lời giải nhiều toán nhiều khó Không thế, nhiều toán không sử dụng đơn phép vị tự mà tích phép vị tự với phép biến hình - Nhiều