BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI LÊ ĐÀO HẢI AN TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ ỔN ĐỊNH HÓA CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN CĨ TRỄ VÀ ỨNG DỤNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI-2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI LÊ ĐÀO HẢI AN TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ ỔN ĐỊNH HĨA CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN CÓ TRỄ VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Phương trình vi phân tích phân Mã số: 46 01 03 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Tập thể hướng dẫn khoa học: PGS.TS LÊ VĂN HIỆN TS TRẦN THỊ LOAN HÀ NỘI-2019 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tơi, hồn thành hướng dẫn PGS.TS Lê Văn Hiện TS Trần Thị Loan Các kết phát biểu luận án trung thực, trí đồng tác giả đưa vào luận án chưa cơng bố cơng trình luận văn, luận án khác Nghiên cứu sinh Lê Đào Hải An LỜI CẢM ƠN Luận án hồn thành Bộ mơn Giải tích, Khoa Tốn-Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn PGS.TS Lê Văn Hiện TS Trần Thị Loan Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc đến Thầy, Cô, đặc biệt PGS.TS Lê Văn Hiện, người có định hướng đắn, dẫn sát đầy trách nhiệm cho tác giả suốt trình học tập, nghiên cứu hồn thành luận án Ngoài dẫn mặt khoa học, động viên lòng tin tưởng Thầy, Cơ dành cho tác giả nguồn động lực vô lớn lao đem lại niềm say mê, giúp tác giả vượt qua khó khăn nghiên cứu Tác giả xin trân trọng cảm ơn đến Ban Giám hiệu, Phòng Sau đại học, Ban Chủ nhiệm khoa Toán-Tin, trường Đại học Sư phạm Hà Nội thầy giáo, cô giáo mơn Giải tích ln giúp đỡ, động viên, tạo môi trường học tập nghiên cứu thuận lợi cho tác giả Tác giả xin chân thành cảm ơn bạn nghiên cứu sinh thành viên Xemina Phương trình vi phân tích phân mơn Giải tích quan tâm, trao đổi góp ý cho tác giả trình học tập làm luận án Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến Ban Giám hiệu trường Đại học Hàng hải Việt Nam, thầy giáo, cô giáo đồng nghiệp mơn Tốn, khoa Cơ sở-Cơ bản, trường Đại học Hàng hải Việt Nam tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ động viên tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Sau cùng, tác giả xin dành lời tri ân gia đình, người ln u thương, chia sẻ, động viên tác giả vượt qua khó khăn để hồn thành luận án Tác giả MỤC LỤC Trang Lời cam đoan Lời cảm ơn Kí hiệu MỞĐẦU 1.KIẾNTHỨCCHUẨNBỊ 23 1.1 Mơ hình động lực mạng nơron 23 1.2 Cơ sở toán học 27 1.2.1 Hệ phương trình vi phân có trễ tính ổn định Lyapunov 27 1.2.2 Hệ phương trình vi phân hàm chứa xung 29 1.2.3 Hệ dương 32 1.2.4 Một số kết bổ trợ 35 TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN MƠ TẢ MẠNG NƠRON HOPFIELD CĨ TRỄ VỚI XUNGBIẾNTHIÊN 39 2.1 Ví dụ mở đầu 39 2.2 Mơ hình mạng nơron Hopfield khơng ơ-tơ-nơm chứa trễ xung bất ổn định 41 2.3 Điều kiện ổn định 43 2.3.1 Kết 44 2.3.2 Một số kết áp dụng 48 2.3.3 Ví dụ minh họa 50 2.4 Ổn định hóa dạng mũ mạng nơron Hopfield chứa trễ tỉ lệ với hiệu ứng xung phân phối kiểu tuần hoàn 55 2.4.1 Tính ổn định mũ suy rộng hệ đóng (2.35) 57 2.4.2 Điều kiện ổn định hóa dạng mũ suy rộng hệ (2.32) 64 2.4.3 Ví dụ minh họa 65 2.5 Kết luận chương 69 NGHIỆM DƯƠNG VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA ĐIỂM CÂN BẰNG ĐỐI VỚI MƠ HÌNH MẠNG NƠRON QUÁN TÍNH ĐA TRỄ BIẾN THIÊN 71 3.1 Thiết lập sơ 72 3.1.1 Sự tồn nghiệm 73 3.1.2 Nghiệm dương điểm cân 73 3.2 Tính dương mạng nơron qn tính có trễ 75 3.3 Sự tồn điểm cân 77 3.4 Tính ổn định mũ điểm cân dương 81 3.5 Ví dụ minh họa 85 3.6 Kết luận chương 88 TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA LỚP HỆ DƯƠNG PHI TUYẾN TRONG MƠ HÌNHMẠNGBAMĐATRỄBIẾNTHIÊN 90 4.1 Mô tả mơ hình phân tích sơ 90 4.1.1 Sự tồn nghiệm 92 4.1.2 Nghiệm dương điểm cân 94 4.2 Nghiệm dương mơ hình mạng BAM với trễ biến thiên 95 4.3 Sự tồn điểm cân 97 4.4 Tính ổn định mũ điểm cân 103 4.5 Mạng nơron BAM dương với đa trễ tỉ lệ 108 4.6 Ví dụ minh họa 110 4.7 Kết luận chương 112 Kết luận chung 114 Danh mục cơng trình cơng bố 116 TÀILIỆUTHAMKHẢO 116 KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN [n] tập hợp n số nguyên dương {1, 2, , n} N tập số tự nhiên khác không, N0 = N ∪ {0} không gian Euclide n chiều R n n n nón dương {x ∈ R : x 0} ∞ maxi∈[n] |xi|, chuẩn max vectơ x = (xi) ∈ R R+ x n n |x| Rm×n A n (|xi|) ∈ R+ với x = (xi) ∈ R tập hợp ma trận cỡ m × n ma trận chuyển vị ma trận A ⊤ A>0 ma trận A xác định dương, tức x⊤Ax > 0, x=0 ∀ S+ n tập ma trận đối xứng xác định dương Rn×n SYM(A) ⊤ n×n En với A ∈ R ma trận đơn vị cấp n diag{d1, , dn} ma trận chéo phần tử d1, d2, , dn A A≻0 ma trận không âm, tức [A]ij ≥ với i, j ma trận dương, tức [A]ij > với i, j x xi ≥ yi, ∀i ∈ [n], với x = (xi) ∈ R y = (yi) ∈ R A+A n y + n n ξ (t.ư ξ+) σ(A) ρ(A) maxi∈[n] ξi (t.ư mini∈[n] ξi) với ξ ∈ R , ξ ≻ tập hợp giá trị riêng ma trận A max{|λ| : λ ∈ σ(A)}, bán kính phổ A λMAX(A), λMIN(A) max{Reλ : λ ∈ σ(A)}, min{Reλ : λ ∈ σ(A)} n C([a, b], R ) tập hàm giá trị Rn liên tục [a, b] xi(tk − 0) (t.ư xi(tk + 0)) limǫ↓0 xi(tk − ǫ) (t.ư limǫ↓0 xi(tk + ǫ)) D v(t) đạo hàm Dini bên phải lim sup h→0 + + v(t+h)−v(t) h THUẬT NGỮ VIẾT TẮT NNs mạng nơron (neural networks) RNNs mạng nơron hồi quy (recurrent neural networks) GAS ổn định tiệm cận toàn cục (globally asymptotically stable) GES ổn định mũ toàn cục (globally exponentially stable) GGES ổn định mũ suy rộng (generalized globally exponentially stable) UGAS ổn định tiệm cận toàn cục (uniformly globally asymptotically stable) LMIs bất đẳng thức ma trận tuyến tính (linear matrix inequalities) LKF phương pháp hàm Lyapunov-Krasovskii LP quy hoạch tuyến tính (linear programming) HNNs mạng nơron Hopfield CGNNs mạng nơron Cohen-Grossberg INNs mạng nơron quán tính (inertial neural networks) BAM nhớ hai chiều kết hợp (bidirectional associative memory) MỞ ĐẦU Lịch sử vấn đề lí chọn đề tài Lý thuyết ổn định phận quan trọng lý thuyết định tính phương trình vi phân Được nghiên cứu cách có hệ thống từ cơng trình A.M Lyapunov [63] vào cuối kỉ XIX, trải qua lịch sử 100 năm, đến lý thuyết chủ đề quan tâm nghiên cứu ứng dụng nhiều lĩnh vực học, vật lý, hóa học, sinh thái học hay trí tuệ nhân tạo [1, 2, 54] Nhiều mơ hình thực tiễn ứng dụng, từ kinh tế, mơi trường đến mơ hình sinh thái học, vật lý, hóa học, học, điều khiển tự động mơ tả phương trình vi phân có trễ [20, 40, 45, 76] Trong điều khiển kĩ thuật, trạng thái trễ xuất cách tự nhiên trình truyền tải liệu hạn chế mặt công nghệ thiết bị (băng thơng hẹp hay dung lượng tín hiệu đo lớn) Sự xuất độ trễ làm thay đổi dáng điệu nghiệm hệ ảnh hưởng đến tính ổn định hệ, đặc tính quan trọng có tính phổ dụng mơ hình ứng dụng [25, 74, 88] Bên cạnh đó, cấu trúc vô hạn chiều không gian pha, việc nghiên cứu định tính hệ có trễ trở nên khó khăn phức tạp nhiều so với hệ phương trình vi phân thường tương ứng Vì vậy, chủ đề nghiên cứu tính ổn định ứng dụng mơ hình điều khiển hệ phương trình vi phân có trễ vấn đề nghiên cứu thu hút quan tâm giới toán học kỹ sư vài thập kỉ gần Nhiều kết nghiên cứu lý thuyết ứng dụng tính ổn định ổn định hóa hệ phương trình vi phân có trễ công bố [4, 26, 33, 37, 50, 51, 69, 73, 103] Khi đó, ta có K1 = 0.4982 0.4179 , K2 = 0.4304 0.3929 0.4048 0.4262 10 E4−K= 0 45 − − 0.4048 0.45 0.4857 1.0 − 0.4857 − 0.4982 − 0.4179 4304 0.3929 −0 1.0 − − 0.4262 1.0 M-ma trận khơng suy biến Theo Định lí 4.4.1, với vectơ đầu vào J = vec(I, J) ∈ R4+, mơ hình mạng BAM xét có điểm cân dương χ∗ ổn định mũ Để minh họa cho kết quả, lấy J = (1.0, 1.5, 1.8, 2.1) ⊤ ∈ R + Giải hệ (4.12) dùng Matlab Symbolic Toolbox ta χ ∗ ⊤ = (1.5704, 1.2328, 1.4916, 1.5861) Hình 4.1 mơ dáng điệu hàm kích hoạt fj (yj) gi(xi) Các kết mô đưa Hình 4.2(a)- (d) lấy với 20 quỹ đạo trạng thái với hàm trễ τi(t) = + 3| sin(10πt)|, σj (t) = 4| cos(5πt)| điều kiện ban đầu biến thiên đoạn [0, 2] Các quỹ đạo trạng thái tương ứng cho Hình 4.3(a)-(b) Rõ ràng quỹ đạo trạng thái hệ dương hội tụ đến điểm cân dương χ∗ kết phân tích lý thuyết 4.7 Kết luận chương Chương nghiên cứu nghiệm dương tính ổn định mũ tồn cục điểm cân dương mơ hình mạng BAM đa trễ biến thiên với tốc độ phân rã phi tuyến phương pháp so sánh kết hợp với định lí điểm bất động Brouwer Các kết đạt bao gồm: Đưa điều kiện chứng minh tính dương hệ (Định lí 4.2.1) Thiết lập điều kiện cho tồn điểm cân dương ổn định mũ (Định lí 4.3.1 4.4.1) mở rộng cho mơ hình mạng BAM với trễ tỉ lệ (Định lí 4.5.1) 112 Bình luận cuối chương Các kết trình bày chương kết nghiên cứu cho mơ hình mạng BAM dương có trễ xem phần phát triển tự nhiên vấn đề nghiên cứu từ Chương Mặc dù ý tưởng so sánh lấy cảm hứng từ Chương 3, cấu trúc tác động chéo dạng “hai chiều”, kĩ thuật so sánh phát triển cách tinh tế qua hàm vectơ (hệ bất đẳng thức vi phân) Đồng thời, phương pháp đồng phôi sử dụng chứng minh tồn điểm cân trình bày Chương Chương khơng phù hợp với mơ hình mạng BAM, thay vào việc vận dụng định lí điểm bất động đòi hỏi cải biên thích hợp để đảm bảo tính quán điều kiện tồn ổn định điểm cân Bên cạnh đó, câu hỏi việc phát triển kết chương cho mơ hình khơng ơ-tơ-nơm vấn đề có nhiều thách thức, cần tiếp tục nghiên cứu mở rộng 113 KẾT LUẬN CHUNG Luận án nghiên cứu tính ổn định số lớp hệ phương trình vi phân phi tuyến có trễ số mơ hình mạng nơron Cụ thể, luận án nghiên cứu bốn vấn đề sau: (1) Tính ổn định mũ tồn cục lớp hệ phương trình vi phân mơ tả mạng nơron Hopfield không ô-tô-nôm với trễ biến thiên tác động xung bất ổn định; (2) Bài tốn ổn định hóa mơ hình mạng nơron Hopfield chứa trễ tỉ lệ với xung ổn định xung bất ổn định phân phối kiểu tuần hoàn; (3) Nghiệm dương tính ổn định mũ tồn cục điểm cân dương mơ hình mạng nơron qn tính chứa trễ biến thiên; (4) Nghiệm dương tồn điểm cân dương ổn định mũ mơ hình mạng BAM với trễ biến thiên khơng đồng Phương pháp sử dụng xun suốt luận án kĩ thuật so sánh bất đẳng thức vi phân dựa cách tiếp cận lý thuyết M-ma trận Các kết đạt Thiết lập điều kiện thông qua tính chất phổ M-ma trận đảm bảo tính ổn định mũ tồn cục mạng nơron Hopfield khơng ơ-tơ-nơm với trễ biến thiên tác động xung bất ổn định (Định lí 2.3.1) Đưa đánh giá mũ suy rộng (dạng lũy thừa) mạng nơron Hopfield chứa trễ tỉ lệ với tác động đồng thời xung ổn định xung bất ổn định phân phối kiểu tuần hồn (Định lí 2.4.1) Chứng minh tính dương đưa điều kiện cho tồn điểm cân dương ổn định mũ mạng nơron quán tính đa trễ biến thiên (Định lí 3.2.1-3.4.1) 114 Thiết lập điều kiện cho tồn điểm cân dương ổn định mũ lớp hệ dương phi tuyến mơ hình mạng BAM với trễ biến thiên khơng đồng (Định lí 4.2.1-4.5.1) Một số vấn đề nghiên cứu Bên cạnh kết đạt luận án, số vấn đề liên quan cần tiếp tục nghiên cứu • Tính ổn định/đồng mạng nơron không ô-tô-nôm với dãy xung hỗn hợp phân phối tuần hồn Đối với mơ hình này, phương pháp truyền thống dựa hàm Lyapunov hay Razumikhin nói chung khơng khả dụng Hơn nữa, ý tưởng sử dụng tốc độ biến thiên tham số mơ hình để đưa điều kiện ổn định vấn đề thú vị đầy thách thức • Nghiên cứu số tốn quan trọng lý thuyết điều khiển hệ thống mơ hình mạng nơron dương có trễ tham số mơ hình khoảng 115 DANH MỤC CƠNG TRÌNH CƠNG BỐ CỦA LUẬN ÁN [CT1] L.D Hai An, L.V Hien, T.T Loan, Exponential stability of non-autonomous neural networks with heterogeneous time-varying delays and destabilizing impulses, Vietnam Journal of Mathematics 45 (2017) 425–440 (ESCI/Scopus) [CT2] L.D Hai-An, L.V Hien, T.T Loan, On exponential stability of neural networks with proportional delays and periodic distribution impulsive effects, Differential Equations and Dynamical Systems (2019) DOI: 10.1007/s12591-019-00459-x (ESCI/Scopus) [CT3] L.V Hien, L.D Hai-An, Positive solutions and exponential stability of positive equilibrium of inertial neural networks with multiple time-varying delays, Neural Computing and Applications 31 (2019) 6933–6943 (SCIE) [CT4] L.V Hien, L.D Hai-An, Exponential stability of positive neural networks in bidirectional associative memory model with delays, Mathematical Methods in the Applied Sciences 42 (2019) 6339–6357 (SCIE) 116 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Lê Văn Hiện (2010), Tính ổn định số lớp hệ phương trình vi phân điều khiển, Luận án tiến sĩ Toán học, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội [2] Vũ Ngọc Phát (2001), Nhập môn Lý thuyết Điều khiển Tốn học, NXB ĐHQG Hà Nội [3] Đồn Thái Sơn (2019), Tính ổn định số lớp hệ vi phân có trễ ứng dụng mơ hình sinh thái, Luận án tiến sĩ Tốn học, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội [4] T.T Anh, L.V Hien, V.N Phat (2011), Stability analysis for linear non- autonomous systems with continuously distributed multiple time-varying delays and applications, Acta Math Vietnam, 36, 129–143 [5] T.T Anh, T.V Nhung, L.V Hien (2016), On the existence and exponential attractivity of a unique positive almost periodic solution to an impulsive hematopoiesis model with delays, Acta Math Vietnam, 41, 337–354 [6] O Arino, M.L Hbid, E Ait Dads (2002), Delay Differential Equations and Applications, Springer, Dordrecht [7] S Arik (2014), An improved robust stability result for uncertain neural networks with multiple time delays, Neural Netw., 54, 1–10 [8] C Aouiti, E.A Assali (2019), Stability analysis for a class of impulsive bidirectional associative memory (BAM) neural networks with distributed delays and leakage time-varying delays, Neural Process Lett., 50, 851–885 [9] K.L Babcock, R.M Westervelt (1986), Stability and dynamic of simple electronic neural networks with added inertia, Phys D: Nonlin Phenom., 23, 464–469 [10] P Baldi, A.F Atiya (1994), How delays affect neural dynamics and learning, IEEE Trans Neural Netw., 5, 612–621 117 [11] A Berman, R.J Plemmons (1994), Nonnegative Matrices in the Mathemat-ical Sciences, SIAM, Philadelphia [12] S Boyd, L Ghaoui, E Feron, V Balakrishnan (1994), Linear Matrix Inequalities in Systems and Control Theory, Philadelphia, SIAM [13] F Cacace, L Farina, R Setola, A Germani (2017), Positive Systems: The-ory and Applications, Springer, Switzerland [14] J Cao, R Manivannan, K.T Chong, L.X Xiao (2019), Enhanced L2-L∞ state estimation design for delayed neural networks including leakage term via quadratic-type generalized free-matrix-based integral inequality, J Frank Inst., 356, 7371–7392 [15] A Chen, J Cao, L Huang (2004), Exponential stabilityof BAM neural networks with transmission delays, Neurocomputing, 57, 435–454 [16] T Chen, K Chen, L Wang (2007), Trends in Neural Computation, Springer-Verlag, Berlin [17] A Chen, L Huang, Z Liu, J Cao (2006), Periodic bidirectional associative memory neural networks with distributed delays, J Math Anal Appl., 317, 80–102 [18] A Cichocki, R Unbehauen (1993), Neural Networks for Optimization and Signal Processing, Wiley, Chichester [19] N Cui, H Jiang, C Hu, A Abdurahman (2018), Global asymptotic and robust stability of inertial neural networks with proportional delays, Neurocomputing, 272, 326–333 [20] T Erneux (2009), Applied Delay Diferential Equations, Springer, Berlin [21] R Fantacci, M Forti, M Marini, L Pancani (1999), Cellular neural network approach to a class of communication problems, IEEE Trans Circuit Syst.I: Reg Paper., 46, 1457–1467 [22] L Farina and S Rinaldi (2000), Positive Linear Systems: Theory and Applications, New York: Wiley [23] H.R Feyzmahdavian, T Charalambous, M Johanson (2014), Exponential stability of homogeneous positive systems of degree one with time-varying delays, IEEE Trans Autom Control, 59, 1594–1599 118 [24] M Forti, A Tesi (1995), New conditions for global stability of neural networks with application to linear and quadratic programming problems, IEEE Trans Circuits Syst-I, 42, 354–366 [25] E Fridman (2014), Introduction to Time-Delay Systems: Analysis and Con-trol, Birkhăauser [26] K Gu, V.L Kharitonov and J Chen (2003), Stability of Time-delay Systems, Birkhăauser [27] S Haykin (1999), Neural Networks: A Comprehensive Foundation, Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ [28] R.L Harvey (1994), Neural Network Principles, Prentice-Hall Inc., New Jersey [29] D.O Hebb (1949), The Organization of Behavior, John Wiley & Sons, New York [30] Y He, M.D Ji, C.K Zhang, M Wu (2016), Global exponential stability of neural networks with time-varying delay based on free-matrix-based integral inequality, Neural Netw., 77, 80–86 [31] L.V Hien (2017), On global exponential stability of positive neural networks with time-varying delay, Neural Netw., 87, 22–26 [32] L.V Hien, T.T Loan, B.T Huyen-Trang, H Trinh (2014), Existence and global asymptotic stability of positive periodic solution of delayed Cohen– Grossberg neural networks, Appl Math Comput., 240, 200–212 [33] L.V Hien, V N Phat (2009), Exponential stability and stabilization of a class of uncertain linear time-varying delay systems, J Frank Inst., 346, 611–625 [34] L.V Hien, V.N Phat, H Trinh (2015), New generalized Halanay inequali-ties with applications to stability of nonlinear non-autonomous time-delay systems, Nonlinear Dyn., 82, 563–575 [35] L.V Hien, D.T Son (2015), Finite-time stability of a class of nonautonomous neural networks with heterogeneous proportional delays, Appl Math Comput., 251, 14–23 119 [36] L.V Hien, D.T Son, H Trinh (2018), On global dissipativity of nonautonomous neural networks with multiple proportional delays, IEEE Trans Neural Netw Learn Syst., 19, 225–231 [37] L.V Hien, H Trinh (2015), Refined Jensen-based inequality approach to stability analysis of time-delay systems, IET Control Theory Appl., 9, 2188– 2194 [38] J Hopfield (1982), Neural networks and physical systems with emergent collective computational abilities, In: Proc National Acad Sci USA, 79, 2554–2558 [39] J Hopfield (1984), Neurons with graded response have collective computa-tional properties like those of two-state neurons, In: Proc Nat Acad Sci USA, 81, 3088–3092 [40] T Insperger, T Ersal, G Orosz (Eds.) (2017), Time Delay Systems: Theory, Numerics, Applications, and Experiments, Springer, Switzerland [41] S Jia, C Hu, J Yu, H Jiang (2018), Asymptotical and adaptive synchro-nization of Cohen–Grossberg neural networks with heterogeneous propor-tional delays, Neurocomputing, 275, 1449–1455 [42] Y Ke, C Miao (2013), Stability analysis of inertial Cohen-Grossbergtype neural networks with time delays, Neurocomputing, 117, 196–205 [43] C.T Kinh, L.V Hien, T.D Ke (2018), Power-rate synchronization of fractional-order nonautonomous,neural networks with heterogeneous pro-portional delays, Neural Process Lett., 47, 139–151 [44] C Koch (1984), Cable theory in neurons with active linearized membrane, Biol Cybern, 50, 15–33 [45] V Kolmanovskii, A Myshkis (1992), Applied Theory of Functional Differential Equations, Academic Publisher, New York [46] B Kosko (1987), Adaptive bi-directional associative memories, Appl Opt., 26, 4947–60 [47] B Kosko (1988), Bi-directional associative memories, IEEE Trans Syst Man Cybern, SMC-18, 49-60 120 [48] Y.C Lai, A Chang, J Liang (2007), Provision of proportional delay differ-entiation in wireless LAN using,a cross-layer fine-tuning scheduling scheme, IET Commun., 1, 880–886 [49] V Lakshmikantham, S Leela, A.A Martynyuk (1989), Stability Analysis of Nonlinear Systems, Marcel Dekker, New York [50] T.H Lee, J.H Park (2017), A novel Lyapunov functional for stability of time-varying delay systems via matrix-refined-function, Automatica, 80, 239–242 [51] T.H Lee, J.H Park (2018), Improved stability conditions of time-varying delay systems based on new Lyapunov functionals, J Frankl Inst., 355, 1176–1191 [52] T.H Lee, H Trinh, J.H Park (2018), Stability analysis of neural networks with time-varying delay by constructing novel Lyapunov functionals, IEEE Trans Neural Netw Learn Syst., 29, 4238–4247 [53] L Li, Y.Q Yang, G Lin (2016), The stabilization of BAM neural networks with time-varying delays in the leakage terms via sampled-data control, Neural Comput Applic., 27, 447–457 [54] X Liao, L Wang, P Yu (2007), Stability of Dynamical Systems, Elservier, New York [55] B Liu (2016), Global exponential convergence of non-autonomous cellular neural networks with multi-proportional delays, Neurocomputing, 191, 352– 355 [56] B Liu (2017), Global exponential convergence of non-autonomous SICNNs with multi-proportional delays, Neural Comput Appl., 28, 1927–1931 [57] B Liu, L Huang (2008), Positive almost periodic solutions for recurrent neural networks, Nonlinear Anal.: Real World Appl., 9, 830–841 [58] C Liu, W Liu, Z Yang, X Liu, C Li, G Zhang (2016), Stability of neural networks with delay and variable-time impulses, Neurocomputing, 171, 1644–1654 121 [59] B Liu, W Lu, T Chen (2012), Stability analysis of some delay differential inequalities with small time delays and its applications, Neural Netw., 33, 1–6 [60] S Long, D Xu (2013), Global exponential stability of non-autonomous cellular neural networks with impulses and time-varying delays, Commun Nonlinear Sci Numer Simulat., 18, 1463–1472 [61] J Lu, D.W.C Ho, J Cao (2010), A unified synchronization criterion for impulsive dynamical networks, Automatica, 46, 1215–1221 [62] W Lu, T Chen (2007), R+n-global stability of a Cohen–Grossberg neural network system with nonnegative equilibria, Neural Netw., 20, 714–722 [63] A.M Lyapunov (1992), The General Problem of the Stability of Motion (Translated from Russian Edition), CRC Press [64] G.J Ma, S Wu, G.Q Cai (2013), Neural networks control of the Ni-MH power battery positive mill thickness, Appl Mech Material, 411-414, 1855– 1858 [65] K Mathiyalagan, J.H Park, R Sakthivel (2015), Synchronization for delayed memristive BAM neural networks using impulsive control with random nonlinearities, Appl Math Comput., 259, 967–979 [66] A Michalas, M Louta, P Fafali, G Karetsos, Y Loumos (2004), Proportional delay differentiation provision by bandwidth adaptation of classbased queue scheduling, Int J Commun Syst., 17, 743–761 [67] J Mózaryn, J.E Kurek (2010), Design of a neural network for an identifi-cation of a robot model with a positive definite inertia matrix, In: Artifical Intelligence and Soft Computing, Springer-Verlag, Berlin [68] P.H.A Ngoc (2013), Stability of positive differential systems with delay, IEEE Trans Autom Control, 58, 203–209 [69] T.N Pham, H Trinh, L.V Hien, K.P Wong (2016), Integration of electric vehicles for load frequency output feedback H∞ control of smart grids, IET Gener Trans Distrib., 10, 3341–3352 [70] R.J Plemmons (1977), M-matrix characterizations I–Nonsingular Mmatrices, Linear Alg Appl., 18, 175–188 122 [71] M Sader, A Abdurahman, H Jiang (2018), General decay synchronization of delayed BAM neural networks via nonlinear feedback control, Appl Math Comput., 337, 302–314 [72] A.M Samoilenko, N.A Perestyuk (1995), Impulsive Differential Equations, World Scientific, Singapore [73] A Seuret, F Gouaisbaut (2013), Wirtinger-based integral inequality: Application to time-delay systems, Automatica, 49, 2860–2866 [74] R Sipahi, S.-I Niculescu, C.T Abdallah, W Michiels and K Gu (2011), Stability and stabilization of systems with time delay, IEEE Control Syst., 31, 38–65 [75] H Smith (2008), Monotone Dynamical Systems: An Introduction to the Theory of Competitive and Cooperative Systems, AMS, Providence, USA [76] H Smith (2011), An Introduction to Delay Differential Equations with Applications to the Life Sciences, Springer-Verlag, New York [77] I.M Stamov (2009), Stability Analysis of Impulsive Functional Differential Equations, Walter de Gruyter, Berlin [78] Y Tang (2018), Pseudo almost periodic shunting inhibitory cellular neural networks with multi-proportional delays, Neural Comput Applic., 48, 167– 177 [79] J Thipcha, P Niamsup (2018), New exponential passivity of BAM neural networks with time-varying delays, Neural Comput Applic., 29, 1593–1600 [80] Z Tu, J Cao, A Alsaedi, F Alsaadi (2017), Global dissipativity of memristor-based neutral type inertial neural networks, Neural Netw., 88, 125–133 [81] Z Tu, J Cao, T Hayat (2016), Matrix measure based dissipativity analysis for inertial delayed uncertain neural networks, Neural Netw, 75, 47–55 [82] Z Tu, J Cao, T Hayat (2016), Global exponential stability in Lagrange sense for inertial neural networks with time-varying delays, Neurocomputing, 171, 524–531 [83] P Wan, J Jian (2017), Global convergence analysis of impulsive inertial neural networks with time-varying delays, Neurocomputing, 245, 68–76 123 [84] J Wang, L Tian (2017), Global Lagrange stability for inertial neural networks with mixed time-varying delays, Neurocomputing, 235, 140–146 [85] Y.W Wang, J.S Zhang, M Liu (2014), Exponential stability of impulsive positive systems with mixed time-varying delays, IET Control Theory Appl., 8, 1537–1542 [86] L Wang, X.F Zou (2002), Harmless delays in Cohen-Grossberg neural net-works, Physica D: Nonlinear Phenom., 170, 162–173 [87] D.W Wheeler, W.C Schieve (1997), Stability and chaos in an inertial two neuron system, Phys D: Nonlin Phenom, 105, 267–284 [88] E Witrant, E Fridman, O Sename, L Dugard (Eds.) (2016), Recent Results on Time-Delay Systems: Analysis and Control, Springer, Basel [89] J Wu (2001), Introduction to Neural Dynamics and Signal Transmission Delay, Walter de Gruyter, Berlin [90] D Xu, Z Yang (2005), Impulsive delay differential inequality and stability of neural networks, J Math Anal Appl., 305, 107–120 [91] Y Xue, K Chen, K Nahrstedt (2004), Achieving proportional delay differ-entiation in wireless LAN via cross-layer scheduling, Wirel Commun Mob Comput., 4, 849–866 [92] S Xueli, Z Pan, X Zhiwei, P Jigen (2016), Global asymptotic stability of CNNs with impulses and multi-proportional delays, Math Meth Appl Sci., 39, 722–733 [93] G Yang (2019), Exponential stability of positive recurrent neural networks with multi-proportional delays, Neural Process Lett., 49, 67–78 [94] Z Yang, D Xu (2007), Stability analysis and design of impulsive control systems with delay, IEEE Trans Autom Control, 52, 1448–1454 [95] S.S Young, P.D Scott, N.M Nasrabadi (1997), Object recognition using multilayer Hopfield neural network, IEEE Trans Image Process., 6, 357– 372 [96] E Zeidler (1986), Nonlinear Functional Analysis and its Applications-I: Fixed-Point Theorems, New York, Springer-Verlag 124 [97] Z Zhang, Z Quan (2015), Global exponential stability via inequality tech-nique for inertial BAM neural networks with time delays, Neurocomputing, 151, 1316–1326 [98] W Zhang, Y Tang, J.A Fang, X Wu (2012), Stability of delayed neural networks with time-varying impulses, Neural Netw., 36, 59–63 [99] W Zhang, Y Tang, Q Miao, W Du (2013), Exponential synchronization of coupled switched neural networks with mode-dependent impulsive effects, IEEE Trans Neural Netw Learn Syst., 24, 1316–1326 [100] W Zhang, Y Tang, X Wu, J.A Fang (2014), Synchronization of nonlinear dynamical networks with heterogeneous impulses, IEEE Trans Circuits Syst.-I: Reg Paper, 61, 1220–1228 [101] H Zhang, Z Wang, D Liu (2014), A comprehensive review of stability analysis of continuous-time recurrent neural networks, IEEE Trans Neural Netw Learn Syst., 25, 1229–1262 [102] G Zhang, Z Zeng, J Hu (2018), New results on global exponential dis-sipativity analysis of memristive inertial neural networks with distributed time-varying delays, Neural Netw., 97, 183–191 [103] R Zhang, D Zeng, J.H Park, S Zhong, Y Liu, X Zhou (2019), New approaches to stability analysis for time-varying delay systems, J Frankl Inst., 356, 4174–4189 [104] L Zhou (2013), Delay-dependent exponential stability of cellular neural networks with multi-proportional delays, Neural Process Lett., 38, 347–359 [105] L Zhou (2015), Delay-dependent exponential synchronization of recurrent neural networks with multiple proportional delays, Neural Process Lett., 42, 619–632 [106] L Zhou (2018), Delay-dependent and delay-independent passivity of a class of recurrent neural networks with impulse and multi-proportional delays, Neurocomputing, 308, 235–244 [107] L Zhou, X Chen, Y Yang (2014), Asymptotic stability of cellular neural networks with multiple proportional delays, Appl Math Comput., 229, 457– 466 125 [108] L Zhou, Y Zhang (2016), Global exponential stability of a class of impulsive recurrent neural networks with proportional delays via fixed point theory, J Frankl Inst., 353, 561–575 [109] L Zhou, Z Zhao (2016), Exponential stability of a class of competitive neural networks with multi-proportional delays, Neural Process Lett., 44, 651–663 126 ... DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI LÊ ĐÀO HẢI AN TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ ỔN ĐỊNH HÓA CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN CĨ TRỄ VÀ ỨNG DỤNG Chun ngành: Phương trình vi phân tích phân. .. cứu định tính hệ có trễ trở nên khó khăn phức tạp nhiều so với hệ phương trình vi phân thường tương ứng Vì vậy, chủ đề nghiên cứu tính ổn định ứng dụng mơ hình điều khiển hệ phương trình vi phân. .. nghiên cứu tính ổn định ổn định hóa dạng mũ hai lớp phương trình vi phân phi tuyến mơ tả mạng nơron Hopfield có trễ tác động dãy xung bất ổn định xung phân phối kiểu tuần hồn • Chương trình bày