BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ THU HỒNG ỔN ĐỊNH MŨ MỘT SỐ LỚP HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH Vũ Ngọc Phát Hà Nội - 2016 LỜI CẢM ƠN Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS TSKH Vũ Ngọc Phát, người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn để hoàn thành luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy cô phòng Sau đại học, thầy cô giáo dạy lớp thạc sỹ chuyên ngành Toán giải tích trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ suốt trình học tập Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè động viên, cổ vũ, tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng năm 2016 Tác giả Nguyễn Thị Thu Hồng LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan, hướng dẫn GS TSKH Vũ Ngọc Phát, luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Ổn định mũ số lớp hệ phương trình vi phân phi tuyến” hoàn thành nhận thức thân tác giả Trong trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng năm 2016 Tác giả Nguyễn Thị Thu Hồng MỤC LỤC Mở đầu Danh mục kí hiệu Cơ sở toán học 1.1 Hệ phương trình vi phân 1.2 Bài toán ổn định 1.2.1 Ổn định hệ tuyến 1.2.2 Ổn định hệ phi tuyến 1.3 Các bổ đề tính 7 11 17 18 Ổn định mũ số lớp hệ phương trình vi phân phi tuyến 19 2.1 Ổn định hệ phương trình vi phân có nhiễu phi tuyến 19 2.2 Ổn định mũ số lớp hệ phương trình vi phân phi tuyến 26 Kết luận 37 Tài liệu tham khảo 38 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Lý thuyết ổn định quan tâm nghiên cứu cách sâu rộng mạnh mẽ, có nhiều ứng dụng quan trọng nhiều lĩnh vực toán học ứng dụng Đặc biệt toán ổn định hệ phi tuyến toán khó nhiều nhà toán học nước nghiên cứu, nhận được nhiều kết đặc sắc Vì tính quan trọng ứng dụng toán ổn định hệ phương trình phi tuyến, chọn đề tài: “Ổn định mũ số lớp hệ phương trình vi phân phi tuyến” Mục đích nghiên cứu Giới thiệu phương pháp hàm Lyapunov kết sở toán ổn định mũ hệ phương trình vi phân phi tuyến Chứng minh chi tiết điều kiện đủ cho tính ổn định mũ hệ phương trình vi phân phi tuyến theo biến thời gian Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu sở lý thuyết toán ổn định Lyapunov phương pháp giải Đối tượng phạm vi nghiên cứu Các khái niệm ổn định, ổn định mũ, phương pháp hàm Lyapunov Các điều kiện đủ cho tính ổn định mũ hệ phương trình phi tuyến 5 Phương pháp nghiên cứu - Lý thuyết phương trình vi phân - Phương pháp đại số tuyến tính - Lý thuyết ma trận - Giải tích hàm Đóng góp đề tài Trình bày cách giải toán ổn định Lyapunov cho lớp hệ phương trình vi phân phi tuyến với chứng minh chi tiết ví dụ minh họa Luận văn chia làm chương Chương 1: Cơ sở toán học Chương trình bày định nghĩa, khái niệm hệ phương trình vi phân, tính ổn định hệ phương trình vi phân, vài định lý tính ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính, số bổ đề kỹ thuật dùng chứng minh định lý Chương 2: Ổn định mũ số lớp hệ phương trình vi phân phi tuyến Chương trình bày điều kiện đủ tính ổn định mũ hai lớp hệ phương trình vi phân phi tuyến: Phương trình vi phân có nhiễu phi tuyến phương trình vi phân phi tuyến phương hàm Lyapunov DANH MỤC KÍ HIỆU R tập hợp số thực; R+ tập hợp số thực không âm; Rn không gian Euclide n-chiều trường số thực; AT ma trận chuyển vị ma trận A; I ma trận đơn vị; λ(A) tập tất giá trị riêng ma trận A; λmin (A) phần thực nhỏ giá trị riêng ma trận A CHƯƠNG CƠ SỞ TOÁN HỌC Chương chuẩn bị kiến thức sở cho chương 2, trước tiên trình bày hệ phương trình vi phân, toán ổn định hệ phương trình vi phân bổ đề Nội dung chương lấy từ tài liệu [1, 2, 5] 1.1 Hệ phương trình vi phân Xét hệ phương trình vi phân    x˙ = f (t, x), t ∈ I = (a, b),   x(t0 ) = x0 , n x∈R , (1.1) t0 ≥ f (t, x) : I × D → Rn , D = {x ∈ Rn : x − x0 ≤ r} Nghiệm x(t) phương trình vi phân (1.1) hàm số khả vi liên tục thỏa mãn i) (t, x(t)) ∈ I × D, ii) x(t) thỏa mãn phương trình vi phân (1.1) Giả sử f (t, x) liên tục I × D, nghiệm x(t) cho dạng tích phân sau t x(t) = x0 + f (s, x(s))ds t0 Định lý 1.1.1 (Định lý Picard- Lindeo¨lff) Xét hệ phương trình vi phân (1.1), giả sử hàm f (t, x) : I × D → Rn liên tục theo t thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo x theo t : ∃K > : f (t, x1 ) − f (t, x2 ) ≤ K x1 − x2 , ∀t ∈ I, ∀x1 , x2 ∈ D Khi với (t0 , x0 ) ∈ I × D tìm số d > cho hệ (1.1) có nghiệm khoảng [t0 − d, t0 + d] Trong luận văn xét phương trình vi phân (1.1) toàn nửa trục số [0, +∞), giả sử có điều kiện cần thiết hàm f (t, x) cho nghiệm phương trình vi phân (1.1) xác định toàn nửa trục số [0, +∞) Định lý 1.1.2 (Bất đẳng thức Gronwall) Giả sử u(t), a(t) hai hàm không âm xác định [t0 , ∞) Giả sử t u(t) ≤ C + ∀t ≥ t0 ≥ 0, a(s)u(s)ds, t0 C số không âm tùy ý Khi nghiệm bất đẳng thức sau t a(s)ds u(t) ≤ Ce , t0 ∀t ≥ t0 Chứng minh Trước tiên ta chứng minh cho C > Ta có u(t) ≤ 1, t t ≥ t0 a(s)u(s)ds C+ t0 Nhân hai vế bất đẳng thức với a(t) ≥ ta a(t)u(t) t C+ a(s)u(s)ds t0 ≤ a(t), t ≥ t0 Vì t d C+ dt a(s)u(s)ds = a(t)u(t), t0 nên sau lấy tích phân hai vế bất đẳng thức từ t0 đến t ta có t C+ a(s)u(s)ds t0 ln t ≤ C a(s)ds t0 Vậy t u(t) ≤ C + t a(s)ds a(s)u(s)ds ≤ Cet0 t0 Bây cho C → rõ ràng điều khẳng định với C = Định lý chứng minh 1.2 Bài toán ổn định Xét hệ thống mô tả phương trình vi phân x˙ = f (t, x), t ≥ 0, (1.2) x(t0 ) = x0 , x(t) ∈ Rn vectơ trạng thái, f : R+ × Rn → Rn hàm phi tuyến cho trước Giả thiết f (t, x) hàm thỏa mãn điều kiện cho toán Cauchy hệ (1.2) với điều kiện ban đầu x(t0 ) = x0 , t0 ≥ 0, có nghiệm toàn nửa trục số [0, +∞) Khi dạng tích phân nghiệm cho công thức t x(t) = x0 + f (s, x(s))ds t0 Ta có định nghĩa sau 24 Theo giả thiết M < 0, ta tìm số dương α > cho M y, y ≤ −α y Kết hợp với bất đẳng thức chứng minh (2.2), ta nhận bất đẳng thức sau: V˙ (x(t)) ≤ −α y(t) Vì y(t) ≥ x(t) nên ta có V˙ (x(t)) ≤ −α x(t) ≤− a V (x) λmax (P ) Lấy tích phân hai vế bất đẳng thức theo t từ đến t ta a V (x(t)) ≤ V (x(0))e− λmax (P ) t , ∀t ≥ Vì V (x(0)) = P x(0), x(0) ≤ λmax (P ) x(0) , ta có a V (x(t)) ≤ λmax (P )e− λmax (P ) t x(0) , ∀t ≥ 0, điều chứng minh tính ổn định mũ hệ (2.4) Ví dụ 2.1.2 Xét hệ:    x˙ = −2x1 + x21 cos2 t   x˙ = −x1 − 3x2 + x22 sin2 t, Ta có (2.8) t ≥  2    x1 cos t    −2   , f (x) =  A=     −1 −3 2 x sin t Ma trận A ổn định λ(A) = −2, −3 Hơn ta có,  1 f (x) = (x41 cos4 t + x42 sin4 t)1/2 ≤ x , 4 ∀x ∈ R2 25 Do đó, hệ (2.8) thỏa mãn điều kiện (2.5) Ta chứng tỏ điều kiện (2.6) định lý (2.1.3) thỏa mãn Thật vậy, theo Bổ đề 1.3.1, (2.6) tương đương với ∃P > cho AT P + P A + a2 I + P I −1 P <  Ta kiểm tra ma trận đối xứng, xác định dương P =  (2.9) 0 Ta có   −2 −2  AT P =  −6      −2 −2  =  PA =  −1 −3 −2 −3  4 0    a2 I =     1 Suy   15 − −2     < AT P + P A + a2 I =     35  −2 − Khi đó, điều kiện (2.9) trở thành   11 − −2     <     19  −2 − Vậy hệ (2.8) ổn định mũ    26 2.2 Ổn định mũ số lớp hệ phương trình vi phân phi tuyến Xét hệ phương trình vi phân phi tuyến không ôtônôm    x˙ = f (t, x(t)), t ≥ 0,   x(t0 ) = x0 , (2.10) t0 ≥ x(t) ∈ Rn , f (t, x) : R+ × Rn → Rn hàm phi tuyến cho trước thỏa mãn f (t, 0) = 0, ∀t ∈ R+ Chúng ta giả sử điều kiện hàm f (.) để tồn hệ (2.10) [0, +∞) Để nghiên cứu tính ổn định mũ hệ (2.10) ta đưa vào khái niệm ổn định mũ mở rộng sau: Định nghĩa 2.2.1 Nghiệm hệ (2.10) ổn định mũ nghiệm x(t, x0 ) (2.10) thỏa mãn x(t, x0 ) ≤ β( x0 , t0 )e−δ(t−t0 ) , ∀t ≥ t0 , đó, β(h, t) : R+ × R+ → R+ hàm không âm tăng với h ∈ R+ δ số dương Nếu hàm β(.) định nghĩa không phụ thuộc vào t0 nghiệm gọi ổn định mũ Để ngắn gọn thay cho việc gọi nghiệm hệ ổn định ta nói hệ ổn định Lấy D ∈ R tập mở chứa gốc V (t, x) : R+ × D → R hàm cho trước Khi ta định nghĩa W = R+ × D Df+ V (t, x) = lim sup h→0+ V (t + h, x + hf ) − V (t, x) , h f (.) hàm bên phải (2.10) Df+ V gọi đạo hàm Dini V (.) theo quỹ đạo (2.10) Đặt x(t) nghiệm (2.10) ký hiệu d+ V (t, x) đạo hàm Dini bên phải V (t, x(t)), d+ V (t, x(t)) = lim sup h→0+ V (t + h, x(t + h)) − V (t, x(t)) h 27 Định nghĩa 2.2.2 Một hàm số V (t, x) : R+ × Rn → R Lipshitz x (đều theo t ∈ R+ ) có số L > cho với t ∈ R+ ta có ∀(x1 , x2 ) ∈ Rn × Rn |V (t, x1 ) − V (t, x2 )| ≤ L x1 − x2 , Từ kết ta cho V (t, x) liên tục t Lipschitz x với số Lipschitz L > Trong trường hợp này, d+ V Df+ V có liên hệ sau V (t + h, x(t + h)) − V (t, x(t)) = V (t + h, x(t + h)) − V (t + h, x + hf (t, x)) + V (t + h, x + hf (t, x)) − V (t, x(t)) Với lim sup h→0+ V (t + h, x + hf (t, x)) − V (t, x(t)) h V (t + h, x(t + h)) − V (t, x(t)) h h→0+ x(t + h) − x(t) + L{ lim+ − f (t, x(t))}, h→0 h ≤ lim sup d+ V (t, x) ≤ lim sup h→0+ V (t + h, x + hf ) − V (t, x) = Df+ V (t, x) h (2.11) Nếu Df+ V (t, x) ≤ từ (2.11) d+ V (t, x) ≤ 0, hàm số V (t, x(t)) không tăng theo t, nghĩa V (t, x) không tăng theo nghiệm (2.10) Xét hệ phương trình vô hướng u(t) ˙ = g(t, u), t ≥ 0, (2.12) g(t, u) hàm liên tục (t, u) Mệnh đề 2.2.1 Đặt u(t) nghiệm lớn (2.12) với u(t0 ) = u0 Nếu hàm số liên tục v(t) với v(t0 ) = u0 thỏa mãn d+ v(t) ≤ g(t, u(t)), ∀t ≥ t0 , 28 t v(t) − v(t0 ) ≤ ∀t ≥ t0 g(s, u(s))ds, t0 Ta đặt Df V (t, x) = dV (t, x) dV (t, x) + f (t, x) dt dx Định nghĩa 2.2.3 Một hàm số V (t, x) : W → R gọi hàm tựa hàm Lyapunov (2.10) V (t, x) hàm khả vi liên tục t ∈ R+ , x ∈ D, tồn số dương λ1 , λ2 , λ3 , K, p, q, r, δ cho λ1 x p ≤ V (t, x) ≤ λ2 x q , Df V (t, x) ≤ −λ3 x r + Ke−δt , ∀(t, x) ∈ W, ∀t ≥ 0, x ∈ D\{0} (2.13) (2.14) Định nghĩa 2.2.4 Một hàm số V (t, x) : W → R gọi hàm tựa hàm Lyapunov tổng quát (2.10) V (t, x) liên tục t ∈ R+ Lipschitz x ∈ D (đều theo t) tồn hàm số dương λ1 (t), λ2 (t), λ3 (t), λ1 (t) không giảm, tồn số dương K, p, q, r, δ cho λ1 (t) x p ≤ V (t, x) ≤ λ2 (t) x q , Df V (t, x) ≤ −λ3 (t) x r + Ke−δt , ∀(t, x) ∈ W, ∀t ≥ 0, x ∈ D\{0} (2.15) (2.16) Định lý 2.2.1 [4] Giả sử (2.10) có hàm tựa Lyapunov, p = q = r Hệ (2.10) ổn định mũ δ> λ3 λ2 Định lý 2.2.2 Hệ (2.10) ổn định mũ có hàm tựa Lyapunov điều kiện sau, với (t, x) ∈ W δ> λ3 , [λ2 ]r/q ∃γ > cho V (t, x) − V (t, x)r/q ≤ γe−δt (2.17) (2.18) 29 Chứng minh Xét thời gian ban đầu t0 ≥ lấy x(t) nghiệm (2.10) với x(t0 ) = x0 Chúng ta đặt Q(t, x) = V (t, x)eM (t−t0 ) , M= λ3 [λ2 ]r/q Khi ˙ x(t)) = Df V (t, x)eM (t−t0 ) + M V (t, x)eM (t−t0 ) Q(t, Từ (2.14), ∀t0 ≥ 0, x ∈ D ta có ˙ x(t)) ≤ (−λ3 Q(t, x r +Ke−δt )eM (t−t0 ) + M V (t, x)eM (t−t0 ) Từ điều kiện (2.13) có − x r V (t, x) , tương đương λ2 V (t, x) r/q ≤ −[ ] λ2 x q ≥ Do ta có ˙ x) ≤ {−V (t, x)r/q λ3 + Ke−δt }eM (t−t0 ) + M V (t, x)eM (t−t0 ) Q(t, [λ2 ]r/q Với λ3 = M, [λ2 ]r/q ∀t ≥ 0, Ta có ˙ x) ≤ M {V (t, x) − V (t.x)r/q }eM (t−t0 ) + Ke(M −δ)(t−t0 ) Q(t, Sử dụng (2.18) ta thu ˙ x) ≤ (K + M γ)e(M −δ)(t−t0 ) Q(t, Tích phân bất đẳng thức từ t0 đến t, ta nhận t (K + M γ)e(M −δ)(s−t0 ) ds Q(t, x(t)) − Q(t0 , x0 ) ≤ t0 = (K + M γ) {e(M −δ)(t−t0 ) − 1} M −δ 30 Đặt δ1 = −(M − δ), từ (2.17) suy δ1 > K + M γ K + M γ (M −δ)(t−t0 ) − e δ1 δ1 K + Mγ ≤ Q(t0 , x0 ) + δ1 Q(t, x(t)) ≤ Q(t0 , x0 ) + q Với Q(t0 , x0 ) = V (t0 , x0 ) ≤ λ2 x0 ta có Q(t, x(t)) ≤ λ2 x0 Đặt q λ2 x0 + q + K + Mγ δ1 K + Mγ = β( x0 ) > δ1 Ta có Q(t, x(t)) ≤ β( x0 ), ∀t ≥ t0 (2.19) Mặt khác, từ (2.13) ta có λ1 x(t) p x(t) ≤ { Thay V (t, x) = ≤ V (t, x(t)), V (t, x(t)) 1/p } λ1 Q(t, x) vào bất đẳng thức trên, ta eM (t−t0 ) Q(t, x(t)) x(t) ≤ { M (t−t ) }1/p λ e (2.20) Kết hợp (2.19) (2.20) ta nhận x(t) ≤ { β( x0 ) 1/p β( x0 ) 1/p − Mp (t−t0 ) } = { } e , λ1 eM (t−t0 ) λ1 ∀t ≥ t0 (2.21) Bất đẳng thức suy hệ (2.10) ổn định mũ Do định lý chứng minh Chú ý Định lý 2.2.1 trường hợp đặc biệt Định lý 2.2.2 với p = q = r Ví dụ 2.2.1 Xét tính ổn định hệ phương trình vi phân phi tuyến x˙ = − x + xe−2t , t ≥ (2.22) 31 Giải Đặt hàm Lyapunov V (t, x) : R+ × D → R+ , V (t, x) = x6 , D = {x : |x| < 1} Chú ý |x|7 ≤ V (t, x) ≤ |x|6 , ∀x ∈ D thỏa mãn điều kiện (2.13) với λ1 = λ2 = 1, p = 7, q = Mặt khác ta có 28 V˙ (t, x) = 6x5 x˙ = 6x5 (− x + xe−2t ) = − x + 6x6 e−2t Do 28 V˙ (t, x) ≤ − x + 6e−2t , ∀x ∈ D Với λ3 = 3/2, K = 6, δ = 2, r = 28/5 thỏa mãn điều kiện (2.17) (2.18) Định lý 2.2.2 Hơn ta có 28 28 V (t, x) − V (t, x)r/q = x6 − x = x (x − 1) ≤ ≤ e−2t , ∀x ∈ D Do (2.22) ổn định mũ Định lý 2.2.3 Hệ (2.10) ổn định mũ có hàm tựa hàm Lyapunov tổng quát thỏa mãn điều kiện, với (t, x) ∈ W δ > inf+ t∈R λ3 (t) > 0, [λ2 (t)]r/q ∃γ > cho V (t, x) − V (t, x)r/q ≤ γe−δt (2.23) (2.24) Chứng minh Xét hàm số Q(t, x(t)) = V (t, x(t))eM (t−t0 ) , M = inf+ t∈R λ3 (t) [λ2 (t)]r/q Ta thấy M < δ Df+ Q(t, x) = Df+ V (t, x)eM (t−t0 ) + M V (t, x(t))eM (t−t0 ) Bằng việc lập luận Định lý 2.2.2 ta nhận Df+ Q(t, x) ≤ (−λ3 (t) x r + Ke−δt )eM (t−t0 ) + M V (t, x)eM (t−t0 ) 32 Thay điều kiện (2.15) vào với giả thiết λ2 (t) > 0, ∀t ∈ R+ ta có q x ≥ V (t, x) , λ2 (t) Tương đương − x r ≤ −[ V (t, x) r/q ] λ2 (t) Do ta có Df+ Q(t, x) ≤ {−V (t, x)r/q λ3 (t) + Ke−δt }eM (t−t0 ) + M V (t, x)eM (t−t0 ) r/q [λ2 (t)] Với λ3 (t) ≥ M, [λ2 (t)]r/q Và từ điều kiện (2.24) ta nhận ∀t ≥ Df+ Q(t, x) ≤ M {V (t, x) − V (t, x)r/q }eM (t−t0 ) − Ke(M −δ)(t−t0 ) ≤ M γe−δt eM (t−t0 ) + Ke−δt eM (t−t0 ) = (K + M γ)e−δt eM (t−t0 ) ≤ (K + M γ)e−δ(t−t0 ) eM (t−t0 ) Do Df+ Q(t, x) ≤ (K + M γ)e(M −δ)(t−t0 ) Từ đó, áp dụng Mệnh đề 2.2.1 vào trường hợp g(t, u(t)) = (K + M γ)e(M −δ)(t−t0 ) , v(t, x) = Q(t, x(t)), Ta t (K + M γ)e(M −δ)(s−t0 ) ds Q(t, x(t)) − Q(t0 , x0 ) ≤ t0 {e(M −δ)(t−t0 ) − 1} M −δ Đặt δ1 = −(M − δ), từ (2.23) suy δ1 > K + M γ K + M γ (M −δ)(t−t0 ) Q(t, x(t)) ≤ Q(t0 , x0 ) + − e δ1 δ1 K + Mγ ≤ Q(t0 , x0 ) + δ1 = (K + M γ) 33 Với Q(t0 , x0 ) = V (t0 , x0 ) ≤ λ2 (t0 ) x0 q ta có Q(t, x(t)) ≤ λ2 (t0 ) x0 Đặt q λ2 (t0 ) x0 + q + K + Mγ δ1 K + Mγ = β( x0 , t0 ) > δ1 Ta có Q(t, x(t)) ≤ β( x0 , t0 ), ∀t ≥ t0 (2.25) Mặt khác, từ (2.15) ta có λ1 (t) x(t) p ≤ V (t, x(t)), V (t, x(t)) 1/p } λ1 (t) Với λ1 (t) hàm không giảm, λ1 (t) ≥ λ1 (t0 ), ta có x(t) ≤ { x(t) ≤ { Thay V (t, x) = V (t, x(t)) 1/p } λ1 (t0 ) Q(t, x) vào bất đẳng thức trên, ta eM (t−t0 ) Q(t, x(t)) 1/p x(t) ≤ { M (t−t ) } λ (t ) e (2.26) Kết hợp (2.25) (2.26) ta nhận x(t) ≤ { β( x0 , t0 ) 1/p β( x0 , t0 ) 1/p − Mp (t−t0 ) } e , } = { λ1 (t0 ) eM (t−t0 ) λ1 (t0 ) ∀t ≥ t0 (2.27) Bất đẳng thức suy hệ (2.10) ổn định mũ Do định lý chứng minh Chú ý 2.2.1 Chú ý Định lý 2.2.2 ta giả sử hàm λ1 (t) hàm không giảm Trong trường hợp hàm λ1 (t) thỏa mãn điều kiện ∃a > : a < M, λ1 (t) ≥ e−at , ∀t ≥ (2.28) Khi ta thay giả thiết hàm không giảm điều kiện (2.28), M = inf+ t∈R λ3 (t) [λ2 (t)]r/q 34 Ví dụ 2.2.2 Xét tính ổn định hệ phương trình −3t x + e sinx, x˙ = − et x + 12 t ≥ (2.29) Giải Đặt hàm V (t, x) : R+ × D → R+ , D = {x : |x| < 1}, cho V (t, x) = e−t/2 x6 Trong trường hợp ta có p = q = 6, λ1 (t) = e−t/2 , λ2 (t) = −3t x 1 V˙ (t, x) = − e−t/2 x6 + 6e−t/2 x5 (− et x + + e sinx) 12 28 = −e−t/2 x + 6x5 e−2t sinx Suy 28 V˙ (t, x) ≤ −e−t/2 x + 6e−2t , ∀x ∈ D Ta thấy r = 28/5, δ = 2, K = 6, λ3 (t) = et/2 M = inf+ t∈R Hơn nữa, ta thấy a = λ3 (t) = < δ = [λ2 (t)]r/q < M = kiểm tra điều kiện (2.24) Định lý 2.2.3 sau V (t, x) − [V (t, x)]r/q = e−t/2 x6 − {e−t/2 x6 }28/30 = e−t/2 x6 − e−14t/30 x28/5 ≤ ≤ e−2t , ∀x ∈ D Vì x ∈ D = {x : |x| < 1} e−t/2 x6 ≤ e−t/2 x28/5 ≤ e−14t/30 x28/5 Hệ (2.29) ổn định mũ Ví dụ 2.2.3 Xét tính ổn định mũ hệ phương trình 1 x˙ = − x + xe−2t (2.30) 35 Giải Với hàm Lyapunov V (t, x) = |x|5 , D = {x : |x| < 1} Ta có    x5 , x ≥ V (t, x) =   −x5 , x < Trong trường hợp λ1 = λ2 = 1, p = q = Khi ta tính    5x4 (− x1/3 + xe−2t ) = −x13/3 + 5x5 e−2t , x ≥ + Df V (t, x) =   −5x4 (− 51 x1/3 + xe−2t ) = x13/3 − 5x5 e−2t , x < Do Df+ V (t, x) = −|x|13/3 − 5|x|5 e−2t ≤ −|x|13/3 − 5e−2t , ∀x ∈ D Với λ3 = 1, K = 5, δ = 2, r = 13/3 thỏa mãn điều kiện (2.16) λ3 Hơn nữa, δ > r/q = thỏa mãn điều kiện (2.23) λ2 Điều kiện (2.24) V (t, x)−V (t, x)r/q = |x|5 −|x|13/3 = |x|13/3 (|x|2/3 −1) ≤ ≤ e−2t , Khi đó, hệ (2.30) ổn định mũ Ví dụ 2.2.4 Xét tính ổn định mũ hệ phương trình x˙ = −x + x3 e−2t Giải Với hàm Lyapunov V (t, x) = |x|, D = {x : |x| < 1} Ta có λ1 = λ2 = p = q =    −x1/3 + x3 e−2t , x ≥ + Df V (t, x) =   x1/3 − x3 e−2t , x > ∀x ∈ D 36 Khi đó, với x ∈ D, ta có Df+ V (t, x) = −|x|1/3 + |x|3 e−2t ≥ −|x|1/3 + e−2t Với λ3 = 1, r = 1/3, δ = 2, K = tất điều kiện Định lý 2.2.3 thỏa mãn Hơn nữa, V (t, x)−V (t, x)r/q = |x|−|x|1/3 = |x|1/3 (|x|2/3 −1) ≤ ≤ e−2t , Hệ ổn định mũ ∀x ∈ D 37 KẾT LUẬN Luận văn giới thiệu tổng quan vấn đề sau: Các kiến thức sở hệ phương trình vi phân, toán ổn định hệ phương trình vi phân phi tuyến, phương pháp hàm Lyapunov giải toán ổn định Trình bày số kết tính ổn định mũ hai lớp hệ phương trình vi phân phi tuyến: Hệ phương trình vi phân có nhiễu phi tuyến hệ phương trình vi phân phi tuyến phương pháp hàm Lyapunov với chứng minh chi tiết ví dụ minh họa 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tài liệu Tiếng Việt [1] Nguyễn Thế Hoàn, Phạm Phu (2003), Cơ sở phương trình vi phân lý thuyết ổn định, NXB Giáo dục, Hà Nội [2] Vũ Ngọc Phát (2001), Nhập môn lý thuyết điều khiển toán học, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Tài liệu Tiếng Anh [3] Bhatia N.P, Szergo G.P, (2002) Stability Theory of Dynamical Systems, Springer, Boston [4] Nguyen Manh Linh, Vu Ngoc Phat, (2001) Exponential stability of nonlinear time-varying differential equations and applications, Electronic Journal of Differential Equations, Vol 2001, No 34, pp 1-13 [5] J.K Hale, (2009) Ordinary Differential Equations, Dover Publications, NewYork [...]... Rn×n là một ma trận đối xứng, xác định dương Khi đó, mọi ma trận Q ∈ Rn×n , ta có 2 Qy, x − Sy, y ≥ QS −1 QT x, x , ∀x, y ∈ Rn 19 CHƯƠNG 2 ỔN ĐỊNH MŨ MỘT SỐ LỚP HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN Chương này trình bày các điều kiện đủ cho tính ổn định mũ cho hai lớp phương trình vi phân phi tuyến: phương trình vi phân có nhiễu phi tuyến và phương trình vi phân phi tuyến Nội dung chương này được trình. .. 19  −2 − 4 Vậy hệ (2.8) là ổn định mũ    26 2.2 Ổn định mũ một số lớp hệ phương trình vi phân phi tuyến Xét hệ phương trình vi phân phi tuyến không ôtônôm    x˙ = f (t, x(t)), t ≥ 0,   x(t0 ) = x0 , (2.10) t0 ≥ 0 trong đó x(t) ∈ Rn , f (t, x) : R+ × Rn → Rn là hàm phi tuyến cho trước thỏa mãn f (t, 0) = 0, ∀t ∈ R+ Chúng ta giả sử các điều kiện trên hàm f (.) để tồn tại của hệ (2.10) được... Ổn định hệ phương trình vi phân có nhiễu phi tuyến Xét hệ phương trình vi phân có nhiễu phi tuyến dạng: x˙ = Ax(t) + g(x(t)), t ≥ 0, (2.1) trong đó x(t) ∈ Rn , A ∈ Rn×n là ma trận hằng số cho cho trước, g(x) : Rn → Rn là hàm phi tuyến thỏa mãn điều kiện ∃M > 0 : g(x) ≤ M x , ∀x ∈ Rn Giả sử A là ma trận ổn định mũ, t.l thỏa mãn điều kiện: eAt ≤ Ke−δt , ∀t ≥ 0 Ta có định lý sau cho điều kiện đủ để hệ. .. trận xác định dương Thật vậy, ta có ∞ T Y eA t x, eAt x dt Xx, x = t0 Do Y > 0 và eAt là không suy biến nên Xx, x > 0, Định lý được chứng minh x = 0 17 1.2.2 Ổn định hệ phi tuyến Để giải các bài toán ổn định các hệ phương trình vi phân phi tuyến, nhà toán học Lyapunov đã đưa ra hai phương pháp: - Phương pháp thứ nhất: Nội dung chính của phương pháp này là nghiên cứu tính ổn định thông qua số mũ Lyapunov... tính ổn định của hệ phương trình vi phân x(4) + 3x(3) + 7x(2) + 2x˙ + 4 = 0 Giải 14 Ta có phương trình đặc trưng là f (λ) = λ4 + 3λ3 + 7λ2 + 2λ + 4 Khi đó, detD1 = 3 > 0, detD2 = 3 2 = 19 > 0, 1 7 3 2 0 0 3 2 0 detD3 = 1 7 4 = 2 > 0, detD4 = 1 7 4 0 = 8 > 0 0 3 2 0 0 3 2 0 0 0 4 Hệ đã cho là ổn định tiệm cận Một phương pháp khác giải bài toán ổn định cho hệ tuyến tính là phương pháp dựa trên phương trình. .. Vậy hệ đã cho là ổn định mũ Theo định lý trên, muốn chứng minh hệ tuyến tính có ổn định hay không ta cần tìm nghiệm của đa thức đặc trưng hay giá trị riêng của ma trận A của hệ Đôi khi vi c tìm nghiệm của đa thức đặc trưng gặp khó khăn, để xác định tính ổn định của hệ thuận tiện hơn ta sử dụng một phương pháp khác của Routh-Hurwitz được nêu ở định lý sau Định lý 1.2.2 Giả sử đa thức đặc trưng mà phương. .. là ổn định đều (hay ổn định tiệm cận đều) 11 Định nghĩa 1.2.3 Hệ (1.2) là ổn định mũ nếu tồn tại các số M > 0, δ > 0 sao cho mọi nghiệm của hệ (1.2) với x(t0 ) = x0 thỏa mãn x(t) ≤ M e−δ(t−t0 ) x0 , ∀t ≥ t0 Ví dụ 1.2.1 Xét phương trình vi phân x(t) ˙ = ax, t ≥ 0, trong đó a ∈ R Hệ có nghiệm với điều kiện ban đầu x(t0 ) = x0 cho bởi x(t) = x0 eat , t ≥ 0 Dễ thấy hệ là ổn định nếu a = 0; ổn định tiêm... τ hệ phương trình (1.2) sẽ được đưa về dạng z˙ = F (τ, z), (1.3) trong đó F (τ, 0) = 0 và khi đó sự ổn định của một nghiệm x(t) nào đó của hệ (1.2) sẽ được đưa về nghiên cứu tính ổn định của nghiệm 0 của hệ (1.3) Để ngắn gọn, từ nay ta sẽ nói hệ (1.3) là ổn định thay vì nói nghiệm 0 của hệ là ổn định Do đó từ bây giờ xét hệ (1.2) với giả thiết hệ có nghiệm 0, tức là, f (t, 0) = 0, t ∈ R+ Ta nói - Hệ. .. dựa trên hệ xấp xỉ tuyến tính Phương pháp này đòi hỏi tính khả vi liên tục của hàm vế phải - Phương pháp thứ hai: Phương pháp này dựa vào sự tồn tại của một lớp hàm trơn đặc biệt gọi là hàm Lyapunov mà tính ổn định của hệ được thử trực tiếp qua dấu của đạo hàm theo vế phải của hệ đã cho Song vi c tìm kiếm hàm Lyapunov trơn này lại khá phức tạp và khó khăn Hàm Lyapunov Xét hệ phương trình phi tuyến dừng... là ổn định nếu với bất kỳ ε > 0, t0 ∈ R+ sẽ tồn tại số δ > 0 (phụ thuộc ε, t0 ) sao cho bất kỳ nghiệm x(t) : x(t0 ) = x0 thỏa mãn x0 < δ thì x(t) < ε với mọi t ≥ t0 - Hệ (1.2) là ổn định tiệm cận nếu hệ là ổn định và có một số δ > 0 sao cho nếu x0 < δ thì lim x(t) = 0 t→∞ Nếu số δ > 0 trong định nghĩa trên không phụ thuộc vào thời gian ban đầu t0 thì tính ổn định (hay ổn định tiệm cận) được gọi là ổn