ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - NGUYỄN THỊ THÙY DƯƠNG TÍNH ỔN ĐỊNH HỮU HẠN THỜI GIAN VÀ BỊ CHẶN HỮU HẠN THỜI GIAN CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHÂN THỨ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - NGUYỄN THỊ THÙY DƯƠNG TÍNH ỔN ĐỊNH HỮU HẠN THỜI GIAN VÀ BỊ CHẶN HỮU HẠN THỜI GIAN CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHÂN THỨ Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Mai Viết Thuận THÁI NGUYÊN - 2019 Mục lục Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Giải tích phân thứ 1.1.1 Tích phân phân thứ 1.1.2 Đạo hàm phân thứ 1.2 Các định lí tồn nghiệm hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo 12 1.3 Một số bổ đề bổ trợ 14 Tính ổn định hữu hạn thời gian bị chặn hữu hạn thời gian lớp hệ tuyến tính phân thứ 16 2.1 Tính ổn định hữu hạn thời gian lớp hệ tuyến tính phân thứ 16 2.2 Tính bị chặn hữu hạn thời gian lớp hệ tuyến tính phân thứ 20 Tính ổn định hữu hạn thời gian bị chặn hữu hạn thời gian lớp hệ phương trình vi phân phân thứ có nhiễu phi tuyến 26 3.1 Tính ổn định hữu hạn thời gian hệ phương trình vi phân phân thứ có nhiễu phi tuyến 26 3.2 Tính bị chặn hữu hạn thời gian hệ phương trình vi phân phân thứ có nhiễu phi tuyến 31 LỜI NÓI ĐẦU Trong năm gần đây, giải tích phân thứ hệ phương trình vi phân phân thứ nhận nhiều quan tâm nghiên cứu nhà khoa học ứng dụng chúng nhiều lĩnh vực khoa học kỹ thuật Nhiều hệ thống kỹ thuật, chẳng hạn hệ thống viscoelastic, phân cực điện môi (dielectric polarization), phân cực điện cực (the electrode-electrolyte polarization), mơ hình mạng nơ ron, mơ tả tốt chi tiết hệ phương trình vi phân phân thứ [4, 6, 13] Như biết tính ổn định tính chất quan trọng hệ động lực Do tốn nghiên cứu tính ổn định theo nghĩa Lyapunov hệ phương trình vi phân phân thứ nhận quan tâm nghiên cứu nhiều nhà khoa học Nhiều cơng trình chất lượng cơng bố tạp chí quốc tế uy tín năm gần (xem [5, 7, 11] tài liệu tham khảo đó) Trong ứng dụng thực tế, ta cần phải xem xét dáng điệu véc tơ trạng thái hệ thống mô tả hệ phương trình vi phân phân thứ thời gian hữu hạn, giá trị lớn véc tơ trạng thái chấp nhận M.P Lazarevi´c cộng [9, 10] tác giả nghiên cứu tính ổn định hữu hạn thời gian (FTS) cho hệ động lực mô tả hệ phương trình vi phân phân thứ Khác với tốn ổn định theo nghĩa Lyapunov, nghiên cứu dáng điệu véc tơ trạng thái hệ phương trình vi phân phân thứ khoảng thời gian vô hạn, khái niệm ổn định hữu hạn thời gian nghiên cứu dáng điệu véc tơ trạng thái khoảng thời gian hữu hạn Một số kết thú vị tốn nghiên cứu tính ổn định hữu hạn thời gian bị chặn thời gian hữu hạn cơng bố tạp chí quốc tế uy tín cho số lớp hệ phương trình vi phân phân thứ lớp hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ [3, 14, 15], lớp hệ tuyến tính phân thứ [13], lớp hệ phân thứ có trễ [12] Luận văn tập trung nghiên cứu tính ổn định hữu hạn thời gian bị chặn hữu hạn thời gian số lớp hệ phương trình vi phân phân thứ Luận văn gồm có chương gồm nội dung sau: Trong chương 1, chúng tơi trình bày số khái niệm giải tích phân thứ tích phân đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville, tích phân đạo hàm phân thứ Caputo Sau đó, chúng tơi trình bày số định lí tồn nghiệm Cuối chương, chúng tơi trình bày số bổ đề bổ trợ Nội dung chương tham khảo chủ yếu từ tài liệu [4, 5, 7, 8] Trong chương luận văn, chúng tơi trình bày số tiêu chuẩn cho tính ổn định hữu hạn thời gian bị chặn hữu hạn thời gian của lớp hệ tuyến tính phân thứ Nội dung chương tham khảo chủ yếu từ tài liệu [13] Trong chương luận văn, chúng tơi nghiên cứu tính ổn định hữu hạn thời gian bị chặn hữu hạn thời gian số lớp hệ phương trình vi phân phân thứ có nhiễu phi tuyến Kết mở rộng kết báo [13] Đây nội dung nghiên cứu luận văn LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành luận văn thạc sĩ cách hoàn chỉnh, bên cạnh nỗ lực cố gắng thân hướng dẫn nhiệt tình q thầy cô động viên ủng hộ gia đình bạn bè suốt thời gian học tập nghiên cứu thực luận văn thạc sĩ Với tình cảm chân thành, tơi xin gửi lời cảm ơn đến tồn thể q thầy khoa Tốn - Tin khoa sau đại học Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên tận tình truyền đạt kiến thức quý báu tạo điều kiện thuận lợi cho tơi suốt q trình học tập nghiên cứu thực đề tài luận văn Đặc biệt, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến người hướng dẫn khoa học TS Mai Viết Thuận, người tận tình hướng dẫn, bảo giúp đỡ, động viên suốt q trình nghiên cứu hồn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn đến Hiệu trưởng tồn thể thầy, giáo trường THPT Thanh Lâm tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập nghiên cứu Tôi xin dành tất yêu thương lời cảm ơn vô hạn tới gia đình, bố mẹ, cơ, cậu, anh chị, em người thân niềm động viên mạnh mẽ giúp thực hiên luận văn Xin chân thành cảm ơn! Danh mục ký hiệu R, R+ tập số thực, số thực không âm tương ứng Rn không gian vec tơ thực Euclide n chiều A ma trận chuyển vị ma trận A I ma trận đơn vị λ(A) tập hợp tất giá trị riêng ma trận A λmax (A) = max{Reλ : λ ∈ λ(A)} λmin (A) = min{Reλ : λ ∈ λ(A)} A chuẩn phổ ma trận A, A = λmax (A A) A≥0 ma trận A nửa xác định dương, tức Ax, x ≥ 0, ∀x ∈ Rn A≥B nghĩa A − B ≥ A>0 ma trận A xác định dương, tức Ax, x > 0, ∀x ∈ Rn , x = LM Is bất đẳng thức ma trận tuyến tính (Linear matrix inequalities) x Rn×r chuẩn Euclide véc tơ x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn không gian ma trận thực cỡ (n × r) C([a, b], Rn ) không gian hàm liên tục trên[a, b] nhận giá trị Rn AC m [a, b] không gian hàm liên tục tuyệt đối cấp m trên[a, b] α t It tốn tử tích phân phân thứ Riemann - Liouville cấp α RL α t0 Dt toán tử đạo hàm phân thứ Riemann - Liouville cấp α C α t0 Dt toán tử đạo hàm phân thứ Caputo cấp α Γ(x) hàm Gamma Eα,β hàm Mittag-Leffler hai tham số α số nguyên nhỏ lớn α Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày số khái niệm kết tính ổn định ổn định hóa hệ phương trình vi phân thường hệ phương trình vi phân có trễ Chúng tơi trình bày số kết bổ trợ sử dụng chứng minh kết luận văn cho chương sau Kiến thức sử dụng chương tham khảo [4, 5, 7, 8] 1.1 1.1.1 Giải tích phân thứ Tích phân phân thứ Trong mục này, chúng tơi trình bày sơ lược khái niệm tích phân phân thứ Khái niệm tích phân phân thứ mở rộng tự nhiên khái niệm tích phân lặp thơng thường Định nghĩa 1.1 ([8]) Cho α > [a, b] ⊂ R, tích phân phân thứ RiemannLiouville cấp α hàm x : [a, b] −→ R cho α t0 It x(t) := Γ(α) t (t − s)α−1 x(s)ds, t ∈ (a, b], t0 +∞ Γ(.) hàm Gamma xác định Γ(α) = tα−1 e−t dt, α > 0 Trong Định nghĩa 1.1 α = 0, quy ước α t0 It := I với I toán tử đồng Sự tồn tích phân phân thứ Riemann–Liouville cấp α với < α < cho định lí sau Định lý 1.1 ([4]) Giả sử x : [a, b] −→ R hàm khả tích [a, b] Khi đó, tích phân α t0 It x(t) tồn với hầu hết t ∈ [a, b] Hơn nữa, α t0 It x hàm khả tích Ví dụ sau cho ta tích phân phân thứ số hàm Ví dụ 1.1 ([4]) (i) Cho x(t) = (t − a)β , β > −1 t > a Với α > 0, có α t0 It x(t) = Γ(β + 1) (t − a)α+β , Γ(α + β + 1) t > a (ii) Cho x(t) = eλt , λ > Với α > 0, có +∞ α t0 It x(t) −α =λ j=0 (λt)α+j , Γ(α + j + 1) t > Tiếp theo, chúng tơi trình bày định nghĩa hàm Mittag-Leffler Định nghĩa 1.2 [7] Cho α ∈ C, hàm Eα : C −→ C xác định +∞ Eα (z) = k=0 zk , Γ(αk + 1) gọi hàm Mittag-Leffler tham số Nhận xét 1.1 Trong Định nghĩa 1.2, cho α = 1, ta có +∞ E1 (z) = k=0 zk = Γ(k + 1) +∞ k=0 zk = ez k! Do hàm Mittag-Leffler mở rộng khái niệm hàm mũ Định nghĩa 1.3 [7] Cho α, β ∈ C, hàm Eα,β : C −→ C xác định +∞ Eα,β (z) = k=0 zk , Γ(αk + β) gọi hàm Mittag-Leffler hai tham số Các hàm Mittag-Leffler nhận giá trị ma trận định nghĩa hoàn toàn tương tự, tức +∞ Eα,β (A) = k=0 Ak , ∀A ∈ Rn×n Γ(αk + β) Các tính chất hàm Mittag-Leffler tham số, hai tham số trình bày chi tiết sách chuyên khảo Kilbas A.A [8] 1.1.2 Đạo hàm phân thứ Mục trình bày cách ngắn gọn đạo hàm Riemann–Liouville đạo hàm Caputo Đây hai loại đạo hàm sử dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực Định nghĩa 1.4 ([7]) Cho trước số thực dương α khoảng [a, b] ⊂ R Đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville cấp α hàm x : [a, b] −→ R cho RL α t0 Dt x(t) := dn dtn n−α x(t) = t0 It dn Γ(n − α) dtn t (t − s)n−α−1 x(s)ds, t0 n := α số nguyên nhỏ lớn α dn dtn đạo hàm thơng thường cấp n Ví dụ 1.2 Cho hàm bước đơn vị (unit-step function)    1, t ≥ f (t) =   0, t < Bằng cách sử dụng Định nghĩa 1.4, ta tính đạo hàm phân thứ Riemann– Liouville cấp α hàm f (t) RL α Dt f (t) = t−α Γ(1 − α) Trước trình bày điều kiện cho tồn đạo hàm phân thứ Riemann– Liouville, nhắc lại số kết sau Cho [a, b] khoảng hữu hạn R AC[a, b] không gian hàm tuyệt đối liên tục [a, b] Kolmogorov Fomin mối liên hệ hàm tuyệt đối liên tục hàm khả tích Lebesgue sau: t f (t) ∈ AC[a, b] ⇔ f (t) = c + ϕ(s)ds (ϕ(s) ∈ L(a, b)), a hàm tuyệt đối liên tục f (t) có đạo hàm f (t) = ϕ(t) hầu khắp nơi [a, b] Với n ∈ N, ta định nghĩa lớp hàm AC n [a, b] sau: AC n [a, b] = {f : [a, b] −→ R, (Dn−1 f )(t) ∈ AC[a, b] D= Mệnh đề sau cho ta số đặc tính lớp hàm AC n [a, b] d } dt 23     1 , D =   , ω(t) = (0.1 sin t, 0.1 cos t)T ∈ R2 Cho A =  −1 1 c1 = 1, c2 = 20, d = 0.01, T = 10 ma trận R = I Ta thấy điều kiện Định lý 2.3 thỏa mãn với γ = 0.01     0.0059 0.0000 0.0078 0.0000  , P2 =   P1 =  0.0000 0.0059 0.0000 0.0078 Do theo Định lý 2.3, hệ cho bị chặn hữu hạn thời gian tương ứng với (1, 20, 10, I, 0.01) Tiếp theo, ứng dụng Định lý 2.3 để nghiên cứu toán điều khiển Xét hệ điều khiển tuyến tính phân thứ Caputo có nhiễu đầu vào    Dα x(t) = Ax(t) + Dω(t) + Bu(t), t ≥ 0, (2.24)   x(0) = x0 ∈ Rn , α ∈ (0, 1), x(t) ∈ Rn véc tơ trạng thái, ω(t) ∈ Rm véc tơ nhiễu đầu vào (disturbance input), u(t) ∈ Rl véc tơ điều khiển, A ma trận thực, vng cấp n, D ∈ Rn×m , B ∈ Rn×l ma trận thực, số cho trước, ω(t) thỏa mãn điều kiện (2.13) Ta thiết kế điều khiển ngược u(t) = Kx(t), K ma trận xác định sau để hệ đóng    Dα x(t) = [A + BK] x(t) + Dω(t), t ≥ 0, (2.25)   x(0) = x0 ∈ Rn bị chặn hữu hạn thời gian tương ứng với (c1 , c2 , T, R, d) Định lý 2.4 ([13]) Cho số dương c1 , c2 , T, (c1 < c2 ), R ma trận đối xứng, xác định dương cho trước, véc tơ nhiễu đầu vào ω(t) thỏa mãn điều kiện (2.13) Hệ đóng (2.25) bị chặn hữu hạn thời gian tương ứng với (c1 , c2 , T, R, d) tồn số dương γ > 0, hai ma trận đối xứng, xác định dương P1 ∈ Rn×n , P2 ∈ Rm×m ma trận L ∈ Rl×n thỏa mãn 24 điều kiện (2.14b) điều kiện   T T T AP + P A + BL + L B − γP DP2  < 0,  T P2 D −γP2 (2.26) 1 P = R − P1 R − Ngoài ra, luật điều khiển ngược cho u(t) = LP −1 x(t) Chứng minh Với điều khiển ngược u(t) = Kx(t) = LP −1 x(t), hệ (2.25) trở thành    Dα x(t) = A + BLP −1 x(t) + Dω(t), t ≥ 0, (2.27)   x(0) = x0 ∈ Rn Rõ ràng, điều kiện (2.26) viết lại thành   −1 −1 T (A + BLP )P + P (A + BLP ) − γP DP2   < T P2 D −γP2 (2.28) Khi đó, theo Định lý 2.3 ta suy hệ đóng (2.25) bị chặn hữu hạn thời gian tương ứng với (c1 , c2 , T, R, d) Nhận xét 2.1 Từ Định lý 2.4, ta có bước sau để giải tốn tìm điều khiển u(t) = Kx(t) để hệ đóng (2.25) bị chặn hữu hạn thời gian tương ứng với (c1 , c2 , T, R, d) Bước Cố định số dương γ, giải bất đẳng thức ma trận tuyến tính (2.26) tìm hai ma trận đối xứng, xác định dương P1 ∈ Rn×n , P2 ∈ Rm×m ma trận L ∈ Rl×n Bước Kiểm tra điều kiện (2.14b) Nếu điều kiện xảy ta đến Bước Nếu ngược lại, ta quay trở lại Bước Bước Điều khiển ngược đảm bảo hệ đóng (2.25) bị chặn hữu hạn thời gian tương ứng với (c1 , c2 , T, R, d) xác định u(t) = Kx(t) = LP −1 x(t) Ví dụ đưa để minh họa cho kết lý thuyết Định lý 2.4 25 Ví dụ 2.3 [13] Xét hệ điều khiển phân thứ    D0.8 x(t) = Ax(t) + Bu(t) + Dω(t), t ≥ 0,   x(0) = (1, 0)T ∈ R2 ,       3 , B =   , D =   , ω(t) = sin t ∈ R Cho c1 = A =  0.6 5, c2 = 15, T = 0.1 ma trận R = I Ta thấy ω(t) thỏa mãn điều kiện 2.13 với d = Ta thấy điều kiện Định lý 2.4 thỏa mãn với γ =   0.8432  , P2 = 1.4100 P1 =  0.8432 Do theo Định lý 2.4, hệ đóng tương ứng bị chặn hữu hạn thời gian tương ứng với (5, 15, 0.1, I, 1) tác động điều khiển ngược   −2.6698 −1.8022  x(t), t ≥ u(t) =  −1.8022 −1.6703 Chương Tính ổn định hữu hạn thời gian bị chặn hữu hạn thời gian lớp hệ phương trình vi phân phân thứ có nhiễu phi tuyến Chương này, trình bày số kết tính ổn định hữu hạn thời gian bị chặn hữu hạn thời gian lớp hệ phương trình vi phân phân thứ có nhiễu phi tuyến cách tiếp cận sử dụng bất đẳng thức ma trận tuyến tính 3.1 Tính ổn định hữu hạn thời gian hệ phương trình vi phân phân thứ có nhiễu phi tuyến Xét hệ phương trình vi phân phân thứ có nhiễu phi tuyến    Dα x(t) = [A + ∆A(t)] x(t) + f (t, x(t)), t ≥ 0, (3.1)   x(0) = x0 ∈ Rn , α ∈ (0, 1), x(t) ∈ Rn véc tơ trạng thái, A ma trận thực, vng cấp n Để nghiên cứu tính ổn định hữu hạn thời gian hệ (3.1), ta cần giả thiết sau đây: (H1) ∆A(t) = Ga Fa (t)Ha , Ga , Ha ma trận thực, số cho trước có số chiều thích hợp, Fa (t) ma trận khơng biết thỏa mãn FaT (t)Fa (t) ≤ I; 26 27 (H2) Nhiễu phi tuyến f (t, x(t)) thỏa mãn điều kiện f T (t, x(t))f (t, x(t)) ≤ xT (t)F T F x(t), ∀t ≥ 0, F ma trận số cho trước Định nghĩa 3.1 Cho số dương c1 , c2 , T, (c1 < c2 ) R ma trận đối xứng, xác định dương cho trước Hệ (3.1) gọi ổn định hữu hạn thời gian tương ứng với (c1 , c2 , T, R) điều kiện sau xT0 Rx0 ≤ c1 ⇒ xT (t)Rx(t) < c2 , ∀t ∈ [0, T ] Định lý cho ta điều kiện đủ cho tính ổn định hữu hạn thời gian hệ (3.1) Định lý 3.1 Giả sử giả thiết (H1) (H2) Cho số dương c1 , c2 , T, (c1 < c2 ) R ma trận đối xứng, xác định dương cho trước Hệ (3.1) ổn định hữu hạn thời gian tương ứng với (c1 , c2 , T, R) tồn ma trận đối xứng, xác định dương P ∈ Rn×n hai số dương cho điều kiện thỏa mãn   T T P  P A + A P + F F P Ga    ∗ − 1I  < 0,   ∗ ∗ − 2I λmax (P ) c2 < , c1 λmin (P ) 1, (3.2a) (3.2b) P = R− P R− Chứng minh Xét hàm Lyapunov sau V (x(t)) = xT (t)P x(t) Áp dụng Bổ đề 1.3, ta tính đạo hàm phân thứ cấp α hàm V (x(t)) sau: Dα V (x(t)) ≤ 2xT (t)P Dα x(t) = xT (t) P A + AT P x(t) + 2xT (t)P Ga Fa (t)Ha x(t) + 2xT (t)P f (t, x(t)) (3.3) 28 Áp dụng Bổ đề 1.1, ta thu đánh giá sau −1 T T x (t)P Ga Ga P x(t) + 2xT (t)f (t, x(t)) ≤ −1 T x (t)P P x(t) + 2f T ≤ −1 T x (t)P P x(t) + T T x (t)F F x(t) 2xT (t)P Ga Fa (t)Ha x(t) ≤ = xT (t) −1 PP + 2F T T T x (t)Ha Ha x(t), (3.4) (t, x(t))f (t, x(t)) (3.5) F x(t) Từ điều kiện (3.3)–(3.5), ta thu đánh giá sau Dα V (x(t)) ≤ xT (t)Ωx(t), (3.6) Ω = P A + AT P + −1 T P Ga Ga P + T Ha Ha + −1 PP + 2F T F Áp dụng Bổ đề Schur, ta có điều kiện Ω < tương đương với điều kiện (3.2a) Do đó, từ điều kiện (3.2a), ta suy Dα V (x(t)) < 0, ∀t ∈ [0, T ] (3.7) Lấy tích phân hai vế cấp α (3.7) với cận từ tới t(0 ≤ t ≤ T ) áp dụng Định lý 1.5, ta thu đánh giá V (x(t)) < V (x(0)), ∀t ∈ [0, T ] (3.8) Mặt khác, ta lại có 1 V (x(t)) = xT (t)P x(t) = xT (t)R P R x(t) (3.9) T ≥ λmin (P )x (t)Rx(t), 1 V (x(0)) = xT (0)P x(0) = xT (0)R P R x(0) ≤ λmax (P )xT (0)Rx(0) (3.10) ≤ c1 λmax (P ) Kết hợp điều kiện (3.8), (3.9) (3.10), ta thu λmin (P )xT (t)Rx(t) ≤ V (x(t)) < V (x(0)) ≤ c1 λmax (P ) (3.11) Từ điều kiện (3.11) (3.2a), ta suy xT (t)Rx(t) < c2 , ∀t ∈ [0, T ] Định lý chứng minh 29 Nhận xét 3.1 Bằng cách tiếp cận sử dụng kiểu phương pháp hàm Lyapunov kết hợp với bất đẳng thức ma trận tuyến tính, Định lý 3.1 cho ta điều kiện đủ cho tính ổn định hữu hạn thời gian hệ (3.1) Điều kiện Định lý 3.1 độc lập với bậc phân thứ α Ví dụ 3.1 Xét hệ phương trình vi phân phân thứ có nhiễu phi tuyến (3.1), x(t) = (x1 (t), x2 (t))T ∈ R2 , α ∈ (0, 1)     −2 1  , Ga =   , Ha = 0.3 0.4 , Fa (t) = sin t, A= −3   0.5 nhiễu phi tuyến f (t, x(t)) thỏa mãn điều kiện (H2) với F =   Cho 0.9 c1 = 1, c2 = 1.6, T = 10, R = I Ta kiểm tra điều kiện = 31.8776, = 28.4756   13.1628 2.2619  P = 2.2619 11.0613 Định lý 3.1 thỏa mãn với Vậy, theo Định lý 3.1 hệ cho ổn định hữu hạn thời gian tương ứng với (1, 1.6, 10, I) Theo Nhận xét 3.1, điều kiện đưa Định lý 3.1 độc lập với α thời gian T Vì vậy, điều kiện bảo thủ Dùng cách tiếp cận báo [13], đưa định lý sau đây: Định lý 3.2 Giả sử giả thiết (H1) (H2) Cho số dương c1 , c2 , T, (c1 < c2 ) R ma trận đối xứng, xác định dương cho trước Hệ (3.1) ổn định hữu hạn thời gian tương ứng với (c1 , c2 , T, R) tồn ma trận đối xứng, xác định dương P ∈ Rn×n ba số dương γ, , cho điều kiện thỏa mãn   T T P  P A + A P + F F − γP P Ga    ∗ − 1I  < 0,   ∗ ∗ − 2I Eα (γT α ) c2 λmax (P ) < , c1 λmin (P ) (3.12a) (3.12b) 30 P = R − 12 PR − 21 Chứng minh Chọn hàm Lyapunov V (x(t)) = xT (t)P x(t) Bằng kỹ thuật tương tự chứng minh Định lý 3.1, ta thu ước lượng sau Dα V (x(t)) ≤ xT (t)Ωx(t) + γV (x(t)), (3.13) Ω = P A + AT P − γP + −1 T P Ga Ga P + T Ha Ha + −1 PP + 2F T F Áp dụng Bổ đề Schur, ta có điều kiện Ω < tương đương với điều kiện (3.12a) Từ suy Dα V (x(t)) < γV (x(t)), ∀t ∈ [0, T ] Bây dùng kỹ thuật tương tự chứng minh Định lý 2.1, ta suy điều phải chứng minh Nhận xét 3.2 So với điều kiện đảm bảo cho tính ổn định hữu hạn thời gian cho hệ (3.1) Định lý 3.1, điều kiện (3.12a) (3.12b) Định lý 3.2 phụ thuộc vào cấp phân thứ α thời gian T Ngoài ra, điều kiện (3.2a) ma trận A phải ổn định bất đẳng thức ma trận tuyến tính tương thích, điều kiện (3.12a), ma trận A không thiết phải ổn định bất đẳng thức ma trận tuyến tính tương thích Do điều kiện đưa Định lý 3.2 bảo thủ so với điều kiện đưa Định lý 3.1 Ví dụ 3.2 Xét hệ phương trình vi phân phân thứ có nhiễu phi tuyến (3.1), x(t) = (x1 (t), x2 (t))T ∈ R2 , α = 0.5     −1 0.9  , Ga =   , Ha = 0.1 0.3 , Fa (t) = cos t, A= −2 1.2   0.3 nhiễu phi tuyến f (t, x(t)) thỏa mãn điều kiện (H2) với F =   Cho 0.6 c1 = 1, c2 = 2.7, T = 1, R = I Ta kiểm tra điều kiện Định 31 lý 3.2 thỏa mãn với γ = 0.5, = 1.3101, = 0.8282   0.3937 0.0573  P = 0.0573 0.4077 Vậy, theo Định lý 3.2 hệ cho ổn định hữu hạn thời gian tương ứng với (1, 2.7, 1, I) 3.2 Tính bị chặn hữu hạn thời gian hệ phương trình vi phân phân thứ có nhiễu phi tuyến Xét hệ phương trình vi phân phân thứ có nhiễu phi tuyến    Dα x(t) = [A + ∆A(t)] x(t) + [D + ∆D(t)] ω(t) + f (t, x(t), ω(t)), t ≥ 0,   x(0) = x0 ∈ Rn , (3.14) α ∈ (0, 1), x(t) ∈ Rn véc tơ trạng thái, ω(t) ∈ Rm véc tơ nhiễu đầu vào, A ma trận thực, vuông cấp n, D ma trận vng cấp m Để nghiên cứu tính bị chặn hữu hạn thời gian hệ (3.14), ta cần giả thiết sau đây: (A1) ∆A(t) = Ga Fa (t)Ha , ∆D(t) = Gd Fd (t)Hd , Ga , Ha , Gd , Hd ma trận thực, số cho trước có số chiều thích hợp, Fa (t), Fd (t) ma trận thỏa mãn FaT (t)Fa (t) ≤ I FdT (t)Fd (t) ≤ I; (A2) Nhiễu phi tuyến f (t, x(t), ω(t)) thỏa mãn điều kiện f T (.)f (.) ≤ xT (t)F T F x(t) + ω T (t)GT Gω(t), ∀t ≥ 0, F, G ma trận số cho trước; (A3) Véc tơ nhiễu đầu vào ω(t) ∈ Rm thỏa mãn điều kiện đây: ω T (t)ω(t) ≤ d, ∀t ∈ [0, T ] Định nghĩa 3.2 Cho số dương c1 , c2 , T, (c1 < c2 ), d R ma trận đối xứng, xác định dương cho trước Hệ (3.14) gọi bị chặn hữu hạn thời gian tương ứng với (c1 , c2 , T, R, d) điều kiện sau xT0 Rx0 ≤ c1 ⇒ xT (t)Rx(t) < c2 , ∀t ∈ [0, T ] với véc tơ nhiễu đầu vào ω(t) ∈ Rm thỏa mãn (A3) 32 Định lý cho ta tiêu chuẩn cho tinh bị chặn hữu hạn thời gian hệ (3.14) Định lý 3.3 Giả sử giả thiết (A1), (A2) (A3) Cho số dương c1 , c2 , T, (c1 < c2 ) R ma trận đối xứng, xác định dương cho trước Hệ (3.14) bị chặn hữu hạn thời gian tương ứng với (c1 , c2 , T, R) tồn ma trận đối xứng, xác định dương P ∈ Rn×n bốn số dương , 1, 2, cho điều kiện thỏa mãn   M11 P Ga P Gd P PD    ∗ − I 0       ∗  < 0, ∗ − I 0      ∗  ∗ ∗ − I   ∗ ∗ ∗ ∗ M55 dT α < c2 λmin (P ), c1 λmax (P ) + Γ(α + 1) (3.15a) (3.15b) 1 P = R− P R− , M11 = P A + AT P + M55 = T Hd Hd + T Ha Ha T 3G G + 3F T F, − I Chứng minh Xét hàm Lyapunov sau V (x(t)) = xT (t)P x(t) Áp dụng Bổ đề 1.3, ta tính đạo hàm phân thứ cấp α hàm V (x(t)) sau: Dα V (x(t)) ≤ 2xT (t)P Dα x(t) = xT (t) P A + AT P x(t) + 2xT (t)P Ga Fa (t)Ha x(t) T T (3.16) + 2x (t)P Dω(t) + 2x (t)P Gd Fd (t)Hd ω(t) + 2xT (t)P f (t, x(t), ω(t)) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ma trận, ta thu ước lượng 2xT (t)P Ga Fa (t)Ha x(t) ≤ T x (t)P Ga Ga P x(t) + T T x (t)Ha Ha x(t), (3.17) 33 −1 T T x (t)P Gd Gd P x(t) 2xT (t)P Gd Fd (t)Hd ω(t) ≤ + 2ω T (t)HdT Hd ω(t), (3.18) 2xT (t)P f (t, x(t), ω(t)) ≤ −1 T x (t)P P x(t) + 3f T (t, x(t), ω(t))f (t, x(t), ω(t)) ≤ −1 T x (t)P P x(t) + 3x T (t)F T F x(t) + 3ω T (3.19) (t)GT Gω(t) Kết hợp điều kiện trên, ta thu   x(t)  + ω T (t)ω(t), Dα V (x(t)) ≤ xT (t) ω T (t) Ξ  ω(t) (3.20)  Ξ= Ξ11 PD DT P Ξ22  , Ξ11 = P A + AT P + + Ξ22 = −1 T P Ga Ga P −1 PP + 3F T Hd Hd + T 3G G T + T Ha Ha + −1 T P Gd Gd P F, − I Theo Bổ đề Schur, điều kiện Ξ < tương đương với điều kiện (3.15a) Do đó, từ điều kiện (3.15a) ta có Dα V (x(t)) < ω T (t)ω(t) (3.21) Lấy tích phân hai vế cấp α (3.21) với cận từ tới t(0 ≤ t ≤ T ) áp dụng Định lý 1.5, ta thu đánh giá t V (x(t)) < V (x(0)) + (t − s)α−1 ω T (s)ω(s)ds Γ(α) t d < V (x(0)) + (t − s)α−1 ds Γ(α) d < V (x(0)) + T α Γ(α + 1) (3.22) Mặt khác, ta lại có 1 V (x(t)) = xT (t)P x(t) = xT (t)R P R x(t) ≥ λmin (P )xT (t)Rx(t), (3.23) 34 1 V (x(0)) = xT (0)P x(0) = xT (0)R P R x(0) ≤ λmax (P )xT (0)Rx(0) (3.24) ≤ c1 λmax (P ) Kết hợp điều kiện (3.22), (3.23) (3.24), ta có λmin (P )xT (t)Rx(t) < c1 λmax (P ) + d T α Γ(α + 1) (3.25) Từ điều kiện (3.15b) (3.25) ta suy xT (t)Rx(t) < c2 , ∀t ∈ [0, T ] Định lý chứng minh Ví dụ 3.3 Xét hệ phương trình vi phân phân thứ có nhiễu phi tuyến    D0.95 x(t) = [A + Ga Fa (t)Ha ] x(t) + [D + Gd Fd (t)Hd ] ω(t)    (3.26) +f (t, x(t), ω(t)), t ≥ 0,      x(0) = x ∈ R2 , √ x(t) ∈ R2 , ω(t) = 0.1 sin t ∈ R,     −5 0.1  , Ga =   , Ha = 0.5 0.9 , Fa (t) = cos t, A= −8 0.2     0.4 0.4 D =   , Gd =   , Hd = 0.2 , Fd (t) = sin t 0.9 0.5   0.7 Nhiễu phi tuyến f (.) giả thiết thỏa mãn điều kiện (A2) với F =   , G = 0.8 0.3 Rõ ràng nhiễu đầu vào ω(t) thỏa mãn điều kiện (A3) với d = 0.1 Cho R = I số c1 = 1, c2 = 5, T = Ta kiểm tra điều kiện Định lý 3.3 thỏa mãn với = 1.5954, = 1.4725, = 1.4963, = 1.4941   0.3555 0.0742  P = 0.0742 0.2827 Từ suy hệ (3.26) bị chặn hữu hạn thời gian tương ứng với (1, 5, 9, I, 0.1) 35 Kết luận Luận văn đạt kết sau: • Trình bày lại số khái niệm giải tích phân thứ bao gồm tích phân Riemann-Liouville, đạo hàm phân thứ Caputo, hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo; • Trình bày số tiêu chuẩn cho tính ổn định hữu hạn bị chặn hữu hạn lớp hệ tuyến tính phân thứ Caputo; • Đưa số tiêu chuẩn cho tính ổn định hữu hạn bị chặn hữu hạn lớp hệ phân thứ Caputo có nhiễu phi tuyến; • Đưa số ví dụ số để minh họa cho kết lý thuyết Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Hồng Thế Tuấn, Về số vấn đề định tính hệ phương trình vi phân phân thứ, Luận án tiến sĩ toán học, Viện Toán học, 2017 Tiếng Anh [2] Boyd S., El Ghaoui L., Feron E and Balakrishnan V (1994), Linear Matrix Inequalities in System and Control Theory, SIAM, Philadelphia [3] Ding X., Cao J., Zhao X., and Alsaadi F.E (2017) “Finite-time Stability of fractional-order complex-valued neural networks with time delays", Neural Processing Letters, 46(2), 561–580 [4] Diethelm K (2010), The Analysis of Fractional Differential Equations An Applicationoriented Exposition Using Differential Operators of Caputo Type, Lecture Notes in Mathematics, Springer - Verlag, Berlin [5] Duarte-Mermoud M.A., Aguila-Camacho N., Gallegos J.A and CastroLinares R (2015), “Using general quadratic Lyapunov functions to prove Lyapunov uniform stability for fractional order systems", Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 22(1-3), 650–659 [6] Hilfer R (2000), Applications of Fractional Calculus in Physics, World Science Publishing, Singapore [7] Kaczorek T (2011), Selected Problems of Fractional Systems Theory, Springer 36 37 [8] Kilbas A.A., Srivastava H.M and Trujillo J.J (2006), Theory and Applications of Fractional Differential Equations, Springer [9] Lazarevi´c M P and Debeljkovi´c D.L (2005), “Finite-time stability analysis of linear autonomous fractional order systems with delayed state", Asian Journal of Control, 7(4), 440–447 (2005) [10] Lazarevi´c M P and Spasi´c A.M., “Finite-time stability analysis of fractional order time-delay systems: Gronwall’s approach", Mathematical and Computer Modelling, Vol 49, pp 475–481 (2009) [11] Li Y., Chen Y.Q and Podlubny I (2010), “Stability of fractional–order nonlinear dynamic systems: Lyapunov direct method and generalized Mittag–Leffler stability", Computers and Mathematics with Applications, 59(5), 1810–1821 [12] Li M and Wang J (2017), “Finite time stability of fractional delay differential equations", Applied Mathematics Letters, 64, 170–176 [13] Ma Y.J., Wu B.W and Wang Y.E (2016), “Finite-time stability and finitetime boundedness of fractional order linear systems", Neurocomputing, 173, 2076–2082 [14] Wu R.C., Lu Y.F., and Chen L.P (2015), “Finite-time stability of fractional delayed neural networks", Neurocomputing, 149, 700–707 [15] Yang X., Song Q.K., Liu Y., and Zhao Z.J (2015), “Finite-time stability analysis of fractional-order neural networks with delay", Neurocomputing, 152, 19–26 [16] Ye H., Gao J., and Ding Y (2007), “A generalized Gronwall inequality and its application to a fractional differential equation”, J Math Anal Appl., 328, 1075–1081 ... gian lớp hệ tuyến tính phân thứ 16 2.1 Tính ổn định hữu hạn thời gian lớp hệ tuyến tính phân thứ 16 2.2 Tính bị chặn hữu hạn thời gian lớp hệ tuyến tính phân thứ 20 Tính ổn định hữu hạn thời gian. .. Chương Tính ổn định hữu hạn thời gian bị chặn hữu hạn thời gian lớp hệ phương trình vi phân phân thứ có nhiễu phi tuyến Chương này, trình bày số kết tính ổn định hữu hạn thời gian bị chặn hữu hạn thời. .. Chương Tính ổn định hữu hạn thời gian bị chặn hữu hạn thời gian lớp hệ tuyến tính phân thứ Trong chương này, chúng tơi trình bày số điều kiện đủ cho tính ổn định hữu hạn thời gian bị chặn hữu hạn thời