ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ————— o0o ————— NGUYỄN VĂN CƯỜNG VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ NƠ RON THẦN KINH PHÂN THỨ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN, 04/2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ————— o0o ————— NGUYỄN VĂN CƯỜNG VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ NƠ RON THẦN KINH PHÂN THỨ LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số: 46 01 12 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS MAI VIẾT THUẬN Thái Nguyên, 4/2018 Mục lục Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Giải tích phân thứ 1.1.1 Tích phân phân thứ 1.1.2 Đạo hàm phân thứ 1.2 Các định lí tồn nghiệm hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo 10 1.3 Một số bổ đề bổ trợ 12 1.4 Tính ổn định số lớp hệ phương trình vi phân phân thứ 13 Chương Tính ổn định ổn định hóa cho lớp hệ nơ ron thần kinh phân thứ 18 2.1 Tính ổn định cho lớp hệ nơ ron thần kinh phân thứ 18 2.2 Tính ổn định hóa cho lớp hệ nơ ron thần kinh phân thứ 21 Chương Tính ổn định ổn định hóa cho lớp hệ nơ ron thần kinh khơng chắn phân thứ 25 3.1 Tính ổn định lớp hệ nơ ron thần kinh không chắn phân thứ 25 3.2 Tính ổn định hóa hệ điều khiển nơ ron thần kinh không chắn phân thứ 28 LỜI NĨI ĐẦU Trong năm gần đây, giải tích phân thứ hệ phương trình vi phân phân thứ nhận nhiều quan tâm nghiên cứu nhà khoa học ứng dụng chúng nhiều lĩnh vực khoa học kỹ thuật [5, 6, 7] Có nhiều loại đạo hàm phân thứ khác tùy thuộc vào cách người ta tổng quát đạo hàm dn dxn cho trường hợp n không nguyên Tuy nhiên, hai khái niệm dùng phổ biến đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville đạo hàm phân thứ Caputo Đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville phát triển Abel, Riemann Liouville nửa đầu kỉ 19 Xét theo tiến trình lịch sử, khái niệm đạo hàm phân thứ xây dựng Tuy nhiên, áp dụng khái niệm để mô tả tượng thực tế gặp hạn chế điều kiện ban đầu toán giá trị đầu khơng có nhiều ý nghĩa vật lý Đạo hàm phân thứ Caputo Caputo xây dựng năm 1969 So với đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville, đạo hàm Caputo dễ áp dụng cho tốn thực tế điều kiện ban đầu mơ hình sử dụng đạo hàm Caputo có ý nghĩa vật lý Những năm gần đây, hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo nhận quan tâm nghiên cứu nhiều nhà khoa học nước với nhiều tốn khác nghiên cứu tính ổn định theo nghĩa Lyapunov hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo [8], nghiên cứu tính ổn định hữu hạn hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo [9] Những năm gần đây, hệ phương trình nơ ron thần kinh phân thứ nhận quan tâm nghiên cứu nhiều nhà khoa học Có nhiều cơng trình cơng bố tạp chí quốc tế uy tín toán ổn định theo nghĩa Lyapunov, ổn định hữu hạn thời gian (xem [10] tài liệu tham khảo đó) Vì vậy, nói việc nghiên cứu tính ổn định ổn định hóa theo nghĩa Lyapunov số lớp hệ nơ ron thần kinh tốn quan trọng có ý nghĩa khoa học Luận văn tập trung nghiên cứu tính ổn định, tính ổn định hóa theo nghĩa Lyapunov số lớp hệ nơ ron thần kinh phân thứ Luận văn gồm có chương gồm nội dung sau: Trong chương 1, chúng tơi trình bày số khái niệm giải tích phân thứ tích phân đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville, tích phân đạo hàm phân thứ Caputo Sau đó, chúng tơi trình bày số định lí tồn nghiệm Chúng tơi trình bày số bổ đề bổ trợ dùng để chứng minh số kết Chương luận văn Ngoài ra, chúng tơi trình bày số tiêu chuẩn cho tính ổn định Mittag–Leffer lớp hệ tuyến tính phân thứ lớp hệ có nhiễu phi tuyến phân thứ Nội dung chương tham khảo chủ yếu từ tài liệu [3, 4, 6, 7] Trong chương luận văn, chúng tơi trình bày số tiêu chuẩn cho tính ổn định ổn định hóa cho lớp hệ nơ ron thần kinh phân thứ Nội dung chương tham khảo chủ yếu từ tài liệu [11] Trong chương luận văn, chúng tơi nghiên cứu tính ổn định ổn định hóa cho lớp hệ nơ ron thần kinh khơng chắn phân thứ Đây nội dung nghiên cứu luận văn Danh mục ký hiệu R, R+ tập số thực, số thực không âm tương ứng Rn không gian vec tơ thực Euclide n chiều A⊤ ma trận chuyển vị ma trận A I ma trận đơn vị λ(A) tập hợp tất giá trị riêng ma trận A λmax (A) = max{Reλ : λ ∈ λ(A)} λmin(A) A = min{Reλ : λ ∈ λ(A)} chuẩn phổ ma trận A, A = λmax(A⊤ A) A≥0 ma trận A nửa xác định dương, tức Ax, x ≥ 0, ∀x ∈ Rn A>0 ma trận A xác định dương, tức Ax, x > 0, ∀x ∈ Rn , x = A≥B LMIs x Rn×r nghĩa A − B ≥ bất đẳng thức ma trận tuyến tính (Linear matrix inequalities) chuẩn Euclide véc tơ x = (x1 , x2 , , xn )⊤ ∈ Rn không gian ma trận thực cỡ (n × r) C([a, b], Rn ) không gian hàm liên tục trên[a, b] nhận giá trị Rn AC m [a, b] không gian hàm liên tục tuyệt đối cấp m trên[a, b] α t0 It tốn tử tích phân phân thứ Riemann - Liouville cấp α RL α t0 Dt toán tử đạo hàm phân thứ Riemann - Liouville cấp α C α t0 Dt toán tử đạo hàm phân thứ Caputo cấp α Γ(x) hàm Gamma Eα,β hàm Mittag-Leffler hai tham số ⌈α⌉ số nguyên nhỏ lớn α Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày số khái niệm kết tính ổn định ổn định hóa hệ phương trình vi phân thường hệ phương trình vi phân có trễ Chúng tơi trình bày số kết bổ trợ sử dụng chứng minh kết luận văn cho chương sau Kiến thức sử dụng chương tham khảo [3, 4, 6, 7] 1.1 1.1.1 Giải tích phân thứ Tích phân phân thứ Trong mục này, chúng tơi trình bày sơ lược khái niệm tích phân phân thứ Khái niệm tích phân phân thứ mở rộng tự nhiên khái niệm tích phân lặp thơng thường Định nghĩa 1.1 ([7]) Cho α > [a, b] ⊂ R, tích phân phân thứ Riemann- Liouville cấp α hàm x : [a, b] −→ R cho α t0 It x(t) := Γ(α) t t0 (t − s)α−1 x(s)ds, Γ(.) hàm Gamma xác định Γ(α) = +∞ t ∈ (a, b], tα−1 e−t dt, α > 0 Trong Định nghĩa 1.1 α = 0, quy ước α t0 It := I với I toán tử đồng Sự tồn tích phân phân thứ Riemann–Liouville cấp α với < α < cho định lí sau Định lí 1.1 ([3]) Giả sử x : [a, b] −→ R hàm khả tích [a, b] Khi đó, tích phân α t0 It x(t) hàm khả tích tồn với hầu hết t ∈ [a, b] Hơn nữa, α t0 It x Ví dụ sau cho ta tích phân phân thứ số hàm Ví dụ 1.1 ([3]) (i) Cho x(t) = (t − a)β , β > −1 t > a Với α > 0, có α t0 It x(t) = Γ(β + 1) (t − a)α+β , Γ(α + β + 1) t > a (ii) Cho x(t) = eλt , λ > Với α > 0, có +∞ α t0 It x(t) =λ −α j=0 1.1.2 (λt)α+j , Γ(α + j + 1) t > Đạo hàm phân thứ Mục trình bày cách ngắn gọn đạo hàm Riemann–Liouville đạo hàm Caputo Đây hai loại đạo hàm sử dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực Định nghĩa 1.2 ([6]) Cho trước số thực dương α khoảng [a, b] ⊂ R Đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville cấp α hàm x : [a, b] −→ R cho RL α t0 Dt x(t) dn := n dt n−α x(t) t0 It dn = Γ(n − α) dtn t t0 (t − s)n−α−1 x(s)ds, n := ⌈α⌉ số nguyên nhỏ lớn α dn dtn đạo hàm thơng thường cấp n Ví dụ 1.2 Cho hàm bước đơn vị (unit-step function)    1, t ≥ f (t) =   0, t < Bằng cách sử dụng Định nghĩa 1.2, ta tính đạo hàm phân thứ Riemann– Liouville cấp α hàm f (t) RL α Dt f (t) = t−α Γ(1 − α) Trước trình bày điều kiện cho tồn đạo hàm phân thứ Riemann– Liouville, nhắc lại số kết sau Cho [a, b] khoảng hữu hạn R AC[a, b] không gian hàm tuyệt đối liên tục [a, b] Kolmogorov Fomin mối liên hệ hàm tuyệt đối liên tục hàm khả tích Lebesgue sau: t f (t) ∈ AC[a, b] ⇔ f (t) = c + a ϕ(s)ds (ϕ(s) ∈ L(a, b)), hàm tuyệt đối liên tục f (t) có đạo hàm f ′ (t) = ϕ(t) hầu khắp nơi [a, b] Với n ∈ N, ta định nghĩa lớp hàm AC n[a, b] sau: AC n[a, b] = {f : [a, b] −→ R, (D n−1 f )(t) ∈ AC[a, b] D= d } dt Mệnh đề sau cho ta số đặc tính lớp hàm AC n [a, b] Mệnh đề 1.1 ([7]) Không gian AC n [a, b] chứa tất hàm f (t) có dạng sau: n−1 f (t) = α t0 It ϕ(t) + k=0 ck (t − t0 )k , ϕ(t) ∈ L(a, b), ck (k = 0, 1, , n − 1) số tùy ý α t0 It ϕ(t) = (n − 1)! t t0 (t − s)n−1 ϕ(s)ds Ngoài ra, từ điều kiện ta có ϕ(s) = f (n) (s), f (k) (t0 ) ck = (k = 0, 1, , n − 1) k! Định lí sau cho ta tiêu chuẩn cho tồn đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville Định lí 1.2 ([7]) Cho α ≥ 0, n = [α] + Nếu f (t) ∈ AC n [a, b], đạo hàm phân thứ RL α t0 Dt f (t) tồn hầu khắp nơi [a, b] biểu diễn dạng sau n−1 RL α t0 Dt f (t) = k=0 f (k) (t0 ) (t − t0 )k−α + Γ(1 + k − α) Γ(n − α) Kết sau suy trực tiếp từ Định lí 1.2 t t0 f (n) (s)ds (t − s)α−n+1 Hệ 1.1 ([7]) Nếu < α < f (t) ∈ AC[a, b] RL α t0 Dt f (t) f (t0 ) + = Γ(1 − α) (t − t0 )α t t0 f ′ (s)ds (t − s)α Mệnh đề sau khẳng định toán tử đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville tốn tử tuyến tính Mệnh đề 1.2 ([6]) Cho trước số thực dương α Khi đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville cấp α tốn tử tuyến tính, tức RL α t0 Dt [λf (t) α RL α + µg(t)] = λ RL t0 Dt f (t) + µ t0 Dt g(t) λ, µ ∈ R, f (t), g(t) ∈ AC n [a, b] Chứng minh Ta có RL α t0 Dt [λf (t) + µg(t)] dn Γ(n − α) dtn λ dn = Γ(n − α) dtn t = t0 t t0 (t − s)n−α−1 [λf (s) + µg(s)] ds (t − s)n−α−1 f (s)ds + α = λ tRL Dtα f (t) + µ RL t0 Dt g(t) µ dn Γ(n − α) dtn t t0 (t − s)n−α−1 g(s)ds Định nghĩa 1.3 ([6]) Cho trước số thực dương α khoảng [a, b] ⊂ R Đạo hàm phân thứ Caputo cấp α hàm x : [a, b] −→ R cho C α t0 Dt x(t) := n−α n D x(t), t0 It n := ⌈α⌉ số nguyên nhỏ lớn α D n = dn dxn đạo hàm thông thường cấp n T Đối với hàm véc tơ x(t) = (x1 (t), x2 (t), , xd (t)) đạo hàm phân thứ Caputo x(t) định nghĩa theo thành phần sau: C α t0 Dt x(t) := T C α C α C α t0 Dt x1 (t), t0 Dt x2 (t), , t0 Dt xd (t) Định lí sau cho ta điều kiện đủ cho tồn đào hàm Caputo phân thứ cấp α 21 Sau đây, chúng tơi đưa ví dụ số minh họa cho kết lý thuyết Định lí 2.2 Ví dụ 2.1 Xét hệ (2.1), với α ∈ (0, 1), n = 3, x(t) = (x1 (t), x2 (t), x3 (t)) ∈ R3 , T hàm kích hoạt f (x(t)) = (sin x1 (t), sin x2 (t), sin x3 (t)) ∈ R3 , I = (5, 1, −3)T ma trận   −2.5    C = diag{6, 7, 5.5}, B =  −1 1.5    −2.5 −1 Ta thấy hàm kích hoạt f (x(t)) thỏa mãn Giả thiết với L = diag{1, 1, 1} Cho θ = 0.6, ta tính     0 0.6  0.4744 −0.1086 −0.1612     B T (C −1 )T C −1 B = −0.1086 0.2000 −0.0822 < θ(L−1 )2 =  0.6      0 0.6 −0.1612 −0.0822 0.2778 Do điều kiện Giả thiết Giả thiết thỏa mãn liệu xét ví dụ Ngồi ra, cách sử dụng hộp cơng cụ LMI MATLAB, ta có điều kiện (2.3) Định lí 2.2 thỏa mãn với γ = 17.8226 ma trận   0.1010  2.7321 0.1613   P = 0.1613 2.4966 −0.0975   0.1010 −0.0975 3.0800 Vậy, theo Định lí 2.2, hệ cho ổn định Mittag–Leffer toàn cục 2.2 Tính ổn định hóa cho lớp hệ nơ ron thần kinh phân thứ Trong mục này, trình bày tính ổn định hóa hệ điều khiển nơ ron thần kinh phân thứ Xét hệ điều khiển nơ ron thần kinh phân thứ    C D α x(t) = −Cx(t) + Df (x(t)) + Bu(t), t   x(0) = x0 ∈ Rn , t ≥ 0, (2.5) 22 T α ∈ (0, 1), x(t) = (x1 (t), x2 (t), , xn (t)) ∈ Rn véc tơ trạng thái, n T số nơ ron, u(t) ∈ Rm véc tơ điều khiển, f (x(t)) = (f1 (x1 (t)), , fn (xn (t))) ∈ Rn hàm kích hoạt hệ nơ ron thần kinh, C = diag{c1 , c2 , , cn } ma trận đường chéo chính, xác định dương, D ∈ Rn×n , B ∈ Rn×m ma trận số Tương tự mục trước, mục ta giả thiết hàm kích hoạt f (x(t)) thỏa mãn f (0) = tồn ma trận đường chéo chính, xác định dương L = diag{l1 , , ln } cho f (y) − f (x) ≤ L(y − x) , với x = (x1 , , xn ), y = (y1 , , yn ) ∈ Rn Định nghĩa 2.1 Hệ (2.5) gọi Mittag–Leffler ổn định hóa tồn điều khiển ngược u(t) = Kx(t) cho hệ đóng sau    C D α x(t) = − [C − BK] x(t) + Df (x(t)), t ≥ 0,   t (2.6) n x(0) = x0 ∈ R , ổn định Mittag–Leffer Định lí sau cho ta điều kiện đủ cho tính ổn định hóa hệ điều khiển nơ ron thần kinh phân thứ (2.5) Định lí 2.3 Hệ điều khiển nơ ron thần kinh phân thứ (2.5) Mittag–Leffer ổn định hóa tồn ma trận đối xứng, xác định dương P ∈ Rn×n , ma trận Y ∈ Rm×n số dương γ cho bất đẳng thức ma trận tuyến tính sau thỏa mãn   T T T T −CP − P C + BY + Y B + γDD PL  <  T L P −γI Ngồi ra, điều khiển ngược ổn định hóa hệ (2.5) xác định u(t) = Y P −1 x(t), t ≥ Chứng minh Chọn hàm Lyapunov sau V (t, x(t)) = xT (t)P −1 x(t) (2.7) 23 Ta có λmin (P −1 ) x(t) ≤ V (t, x(t)) ≤ λmax (P −1 ) x(t) Do điều kiện (i) Định lí 1.9 thỏa mãn Lấy đạo hàm phân thứ Caputo cấp α V (t, x(t)) sử dụng Bổ đề 1.3, ta thu đánh giá sau: C α Dt V α (t, x(t)) ≤ 2xT (t)P −1 C Dt x(t) = xT (t) −P −1 C − C T P −1 + P −1 BK + K T B T P −1 x(t) + 2xT (t)P −1 Df (x(t)) (2.8) Áp dụng Bổ đề 1.1, ta thu đánh giá sau: 2xT (t)P −1 Df (x(t)) ≤ γxT (t)P −1 DD T P −1 x(t) + γ −1 f T (x(t))f (x(t)) = γxT (t)P −1 DD T P −1 x(t) + γ −1 f (x(t)) − f (0) (2.9) ≤ γxT (t)P −1 DD T P −1 x(t) + γ −1 xT (t)L2 x(t) Từ (2.8) (2.9), ta có C α Dt V (t, x(t)) ≤ xT (t)Mx(t) ≤ λmax (M) x(t) , (2.10) M = −P −1 C − C T P −1 + P −1 BK + K T B T P −1 + γP −1 DD T P −1 + γ −1 L2 Nhân bên trái bên phải M với P đặt K = Y P −1 , ta P MP = −CP − P C T + BY + Y T B T + γDD T + γ −1 P LLP Chú ý P MP < tương đương với M < Sử dụng Bổ đề Schur, ta có điều kiện P MP < tương đương với điều kiện (2.7) Từ suy λmax(M) < Suy điều kiện (ii) Định lí 1.9 thỏa mãn Vậy, theo Định lí 1.9, hệ đóng (2.6) ổn định Mittag–Leffler tồn cục Sau ví dụ số minh họa cho Định lí 2.3 Ví dụ 2.2 Xét hệ (2.5), với α ∈ (0, 1), n = 3, x(t) = (x1 (t), x2 (t), x3 (t)) ∈ R3 , 24 T hàm kích hoạt f (x(t)) = (sin x1 (t), sin x2 (t), sin x3 (t)) ∈ R3 ma trận    −0.5 −1.2    C = diag{5, 6, 5}, D =  1.71 1.15   −4.75 1.1 Ta thấy hàm kích hoạt f (x(t)) thỏa mãn Giả thiết với L = diag{1, 1, 1} Cho θ = 0.99, ta tính      0.99  0.9403 0.0715 −0.1771     D T (C −1 )T C −1 D =  0.0715 0.1388 0.0546  < θ(L−1 )2 =  0.99      0 0.99 −0.1771 0.0546 0.0851 Do điều kiện Giả thiết Giả thiết thỏa mãn liệu xét ví dụ Ngồi ra, cách sử dụng hộp cơng cụ LMI MATLAB, ta có điều kiện (2.7) Định lí 2.2 thỏa mãn với γ = 1.1053 ma trận   0.2525 −0.1918  0.8261   P =  0.2525 1.5670 −0.8899 , Y = 0.1953 0.3950 −0.7136   −0.1918 −0.8899 1.9300 Vậy, theo Định lí 2.3, hệ cho Mittag–Leffer ổn định hóa tồn cục với điều khiển ngược ổn định hóa xác định bởi: u(t) = 0.1468 0.0362 −0.3384 x(t), t ≥ 25 Chương Tính ổn định ổn định hóa cho lớp hệ nơ ron thần kinh không chắn phân thứ Trong chương luận văn chúng tơi nghiên cứu tính ổn định ổn định hóa cho lớp hệ nơ ron thần kinh khơng chắn phân thứ Đây nội dung nghiên cứu luận văn Theo định lí tồn nghiệm tồn cục (Định lí 1.8 Chương 1), lớp hệ xét chương tồn nghiệm [0, +∞) 3.1 Tính ổn định lớp hệ nơ ron thần kinh không chắn phân thứ Xét hệ nơ ron thần kinh không chắn phân thứ    C D α x(t) = − [C + ∆C(t)] x(t) + [D + ∆D(t)] f (x(t)), t   x(0) = x0 ∈ Rn , t ≥ 0, (3.1) T α ∈ (0, 1), x(t) = (x1 (t), x2 (t), , xn (t)) ∈ Rn véc tơ trạng thái, T n số nơ ron, f (x(t)) = (f1 (x1 (t)), , fn (xn (t))) ∈ Rn hàm kích hoạt hệ nơ ron thần kinh phân thứ, C = diag{c1 , c2 , , cn } ma trận đường chéo chính, xác định dương, D ma trận số, ∆C(t) = Gc Fc (t)Hc , ∆D(t) = Gd Fd (t)Hd , Gc , Hc , Gd , Hd ma trận số cho trước, Fc (t), Fd (t) 26 ma trận hàm chưa biết thỏa mãn điều kiện FcT (t)Fc (t) ≤ I, FdT (t)Fd (t) ≤ I Các hàm kích hoạt fi (.)(i = 1, , n) liên tục, thỏa mãn điều kiện Lipschitz R với số Lipschitz li > 0(i = 1, , n), tức |fi (yi ) − fi (xi )| ≤ li |yi − xi |, với xi , yi ∈ R Điều kiện tương đương với điều kiện tồn ma trận đường chéo chính, xác định dương L = diag{l1 , , ln } thỏa mãn f (y) − f (x) ≤ L(y − x) , (3.2) với x = (x1 , , xn ), y = (y1 , , yn ) ∈ Rn Định lí sau cho ta điều kiện đủ cho tính ổn định Mittag–Leffer hệ (3.1) Định lí 3.1 Hệ nơ ron thần kinh không chắn phân thứ (3.1) ổn định Mittag–Leffer toàn cục tồn ma trận đối xứng, xác định dương P ∈ Rn×n , số dương ǫ1 , ǫ2 , ǫ3 cho bất đẳng thức ma trận tuyến tính sau thỏa mãn   N11 P Gc P Gd     ∗ −ǫ2 I  < 0,   ∗ ∗ −ǫ3 I (3.3) N11 = −P C − C T P + ǫ2 + ǫ3 λmax(HdT Hd ) L2 Chứng minh Chọn hàm Lyapunov sau V (t, x(t)) = xT (t)P x(t) Ta có λmin(P ) x(t) ≤ V (t, x(t)) ≤ λmax (P ) x(t) Do điều kiện (i) Định lí 1.9 thỏa mãn Lấy đạo hàm phân thứ 27 Caputo cấp α V (t, x(t)) sử dụng Bổ đề 1.3, ta thu đánh giá sau: C α Dt V α (t, x(t)) ≤ 2xT (t)P C Dt x(t) = xT (t) −P C − C T P x(t) − 2xT (t)P Gc Fc (t)Hc x(t) (3.4) + 2xT (t)P Df (x(t)) + 2xT (t)P Gd Fd (t)Hd f (x(t)) Áp dụng Bổ đề 1.1 điều kiện (3.2), ta thu đánh giá sau: T T T T (3.5) −2xT (t)P Gc Fc (t)Hc x(t) ≤ ǫ−1 x (t)P Gc Gc P x(t) + ǫ1 x (t)Hc Hc x(t), T T T 2xT (t)P Df (x(t)) ≤ ǫ−1 x (t)P DD P x(t) + ǫ2 f (x(t))f (x(t)) T T = ǫ−1 x (t)P DD P x(t) + ǫ2 f (x(t)) − f (0) (3.6) T T T ≤ ǫ−1 x (t)P DD P x(t) + ǫ2 x (t)L x(t), 2xT (t)P Gd Fd (t)Hd f (x(t)) T T T T ≤ ǫ−1 x (t)P Gd Gd P x(t) + ǫ3 f (x(t))Hd Hd f (x(t)) (3.7) T T T T ≤ ǫ−1 x (t)P Gd Gd P x(t) + ǫ3 λmax (Hd Hd )f (x(t))f (x(t)) T T T = ǫ−1 x (t)P Gd Gd P x(t) + ǫ3 λmax (Hd Hd ) f (x(t)) − f (0) T T T T ≤ ǫ−1 x (t)P Gd Gd P x(t) + ǫ3 λmax (Hd Hd )x (t)L x(t) Từ (3.5), (3.6) (3.7), ta có C α Dt V (t, x(t)) ≤ xT (t)N x(t) ≤ λmax (N ) x(t) , (3.8) T T −1 T −1 T N = −P C − C T P + ǫ−1 P Gc Gc P + ǫ1 Hc Hc + ǫ2 P DD P + ǫ3 P Gd Gd P + ǫ2 + ǫ3 λmax(HdT Hd ) L2 Sử dụng Bổ đề Schur, ta có điều kiện N < tương đương với điều kiện (3.3) Từ suy λmax(N ) < Suy điều kiện (ii) Định lí 1.9 thỏa mãn Vậy, theo Định lí 1.9, hệ (3.1) ổn định Mittag–Leffler tồn cục Sau chúng tơi đưa ví dụ số minh họa cho kết lý thuyết Định lí 3.1 Ví dụ 3.1 Xét hệ (3.1), với α ∈ (0, 1), n = 2, x(t) = (x1 (t), x2 (t))T ∈ R2 , hàm T kích hoạt f (x(t)) = (f1 (x1 (t)), f2 (x2 (t))) ∈ R2 với fi (xi ) = 0.5 (|xi + 1| − |xi − 1|) (i = 1, 2), 28 ma trận   C = diag{5, 6}, Gc =   , Hc = , Fc (t) = sin t,      , Gd =   , Hd = , Fd (t) = cos t D= −1 Ta thấy hàm kích hoạt f (x(t)) thỏa mãn Giả thiết với L = diag{1, 1, 1} Bằng cách sử dụng hộp công cụ LMI MATLAB, ta có điều kiện (3.3) Định lí 3.1 thỏa mãn với ǫ1 = 0.9336, ǫ2 = 0.7178, ǫ3 = 0.9157 ma trận  P = 0.3027 0.0103 0.0103 0.2389   Vậy, theo Định lí 3.1, hệ cho ổn định Mittag–Leffer tồn cục 3.2 Tính ổn định hóa hệ điều khiển nơ ron thần kinh không chắn phân thứ Xét hệ điều khiển nơ ron thần kinh không chắn phân thứ    C α Dt x(t) = − [C + ∆C(t)] x(t) + [D + ∆D(t)] f (x(t)) + [B + ∆B(t)] u(t),   x(0) = x0 ∈ Rn , (3.9) T α ∈ (0, 1), x(t) = (x1 (t), x2 (t), , xn (t)) ∈ Rn véc tơ trạng thái, n T số nơ ron, u(t) ∈ Rm véc tơ điều khiển, f (x(t)) = (f1 (x1 (t)), , fn (xn (t))) ∈ Rn hàm kích hoạt hệ nơ ron thần kinh, C = diag{c1 , c2 , , cn } ma trận đường chéo chính, xác định dương, D ∈ Rn×n , B ∈ Rn×m ma trận số ∆C(t) = Gc Fc (t)Hc , ∆D(t) = Gd Fd (t)Hd , ∆B(t) = Gb Fb (t)Hb Gc , Hc , Gd , Hd , Gb , Hb ma trận số cho trước, Fc (t), Fd (t), Fb (t) ma trận hàm chưa biết thỏa mãn điều kiện FcT (t)Fc (t) ≤ I, FdT (t)Fd (t) ≤ I, FbT (t)Fb (t) ≤ I 29 Các hàm kích hoạt fi (.)(i = 1, , n) liên tục, thỏa mãn điều kiện Lipschitz R với số Lipschitz li > 0(i = 1, , n), tức |fi (yi ) − fi (xi )| ≤ li |yi − xi |, với xi , yi ∈ R Điều kiện tương đương với điều kiện tồn ma trận đường chéo chính, xác định dương L = diag{l1 , , ln } thỏa mãn f (y) − f (x) ≤ L(y − x) , (3.10) với x = (x1 , , xn ), y = (y1 , , yn ) ∈ Rn Định nghĩa 3.1 Hệ (3.9) gọi ổn định hóa Mittag–Leffler tồn điều khiển ngược u(t) = Kx(t) cho hệ đóng sau    C D α x(t) = − [C + ∆C(t) − BK − ∆B(t)K] x(t) + [D + ∆D(t)] f (x(t)), t   x(0) = x0 ∈ Rn , (3.11) ổn định Mittag–Leffer Định lí sau cho ta điều kiện đủ cho tính ổn định hóa hệ điều khiển nơ ron thần kinh không chắn phân thứ (3.9) Định lí 3.2 Hệ điều khiển nơ ron thần kinh không chắn phân thứ (3.9) ổn định hóa Mittag–Leffer tồn ma trận đối xứng, xác định dương P ∈ Rn×n , ma trận Y ∈ Rm×n số dương ǫi (i = 1, 2, 3, 4) cho bất đẳng thức ma trận tuyến tính sau thỏa mãn   W11 P HcT Y T HbT P L κP L    ∗ −ǫ I 0       < 0,  ∗ ∗ −ǫ I 0       ∗ ∗ ∗ −ǫ I   ∗ ∗ ∗ ∗ −κǫ4 I (3.12) κ = λmax(HdT Hd ), W11 = −CP − P C T + BY + Y T B T + ǫ1 Gc GTc + ǫ2 Gb GTb + ǫ3 DD T + ǫ4 Gd GTd 30 Ngồi ra, điều khiển ngược ổn định hóa hệ (3.9) xác định u(t) = Y P −1 x(t), t ≥ Chứng minh Chọn hàm Lyapunov cho hệ đóng (3.11) sau V (t, x(t)) = xT (t)P −1 x(t) Ta có λmin (P −1 ) x(t) ≤ V (t, x(t)) ≤ λmax (P −1 ) x(t) Do điều kiện (i) Định lí 1.9 thỏa mãn Lấy đạo hàm phân thứ Caputo cấp α V (t, x(t)) sử dụng Bổ đề 1.3, ta thu đánh giá sau: C α Dt V α (t, x(t)) ≤ 2xT (t)P −1 C Dt x(t) = xT (t) −P −1 C − C T P −1 + P −1 BK + K T B T P −1 x(t) + 2xT (t)P −1 Df (x(t)) + 2xT (t)P −1 Gd Fd (t)Hd f (x(t)) (3.13) Áp dụng Bổ đề 1.1, ta thu đánh giá sau: T T − 2xT (t)P −1 Gc Fc (t)Hc x(t) ≤ ǫ1 xT (t)P −1 Gc GTc P −1 x(t) + ǫ−1 x (t)Hc Hc x(t), (3.14) 2xT (t)P −1 Gb Fb (t)Hb Kx(t) T T T ≤ ǫ2 xT (t)P −1 Gb GTb P −1 x(t) + ǫ−1 x (t)K Hb Hb Kx(t), 2xT (t)P −1 Gb Fb (t)Hb Kx(t) T ≤ ǫ2 x (t)P −1 Gb GTb P −1 x(t) + T T T ǫ−1 x (t)K Hb Hb Kx(t), (3.15) (3.16) T 2xT (t)P −1 Df (x(t)) ≤ ǫ3 xT (t)P −1 DD T P −1 x(t) + ǫ−1 f (x(t))f (x(t)) = ǫ3 xT (t)P −1 DD T P −1 x(t) + ǫ−1 f (x(t)) − f (0) T ≤ ǫ3 xT (t)P −1 DD T P −1 x(t) + ǫ−1 x (t)L x(t), (3.17) 31 2xT (t)P −1 Gd Fd (t)Hd f (x(t)) T T ≤ ǫ4 xT (t)P −1 Gd GTd P −1 x(t) + ǫ−1 f (x(t))Hd Hd f (x(t)) (3.18) T T ≤ ǫ4 xT (t)P −1 Gd GTd P −1 x(t) + ǫ−1 λmax (Hd Hd )f (x(t))f (x(t)) T = ǫ4 xT (t)P −1 Gd GTd P −1 x(t) + ǫ−1 λmax (Hd Hd ) f (x(t)) − f (0) T T ≤ ǫ4 xT (t)P −1 Gd GTd P −1 x(t) + ǫ−1 λmax (Hd Hd )x (t)L x(t) Từ (3.13) đến (3.18), ta có C α Dt V (t, x(t)) ≤ xT (t)Wx(t) ≤ λmax (W) x(t) , (3.19) T W = −P −1 C − C T P −1 + P −1 BK + K T B T P −1 + ǫ1 P −1 Gc GTc P −1 + ǫ−1 Hc Hc T T −1 DD T P −1 + ǫ−1 + ǫ2 P −1 Gb GTb P −1 + ǫ−1 L K Hb Hb K + ǫ3 P + ǫ4 P −1 Gd GTd P −1 + ǫ−1 κL Nhân bên trái bên phải W với P đặt K = Y P −1 , ta T T P WP = −CP − P C T + BY + Y T B T + ǫ1 Gc GTc + ǫ−1 P Hc Hc P + ǫ2 Gb Gb T T T −1 T −1 + ǫ−1 Y Hb Hb Y + ǫ3 DD + ǫ3 P L P + ǫ4 Gd Gd + ǫ4 κP L P Chú ý P WP < tương đương với W < Sử dụng Bổ đề Schur, ta có điều kiện P WP < tương đương với điều kiện (3.12) Từ suy λmax(W) < Suy điều kiện (ii) Định lí 1.9 thỏa mãn Vậy, theo Định lí 1.9, hệ đóng (3.11) ổn định Mittag–Leffler tồn cục Chúng tơi đưa ví dụ số minh họa cho kết Định lí 3.2 Ví dụ 3.2 Xét hệ (3.9), với α ∈ (0, 1), n = 3, x(t) = (x1 (t), x2 (t))T ∈ R2 , hàm T kích hoạt f (x(t)) = (sin x1 (t), sin x2 (t)) ∈ R2 ma trận   0.1 C = diag{3, 3}, Gc =   , Hc = , Fc = cos t, 0.3     0.9 0.8  , Gd =   , Hd = 0.8 0.9 , Fd (t) = cos t, D= 0.5 0.7     B =   , Gb =   , Hb = , Fb (t) = sin t 32 Ta thấy hàm kích hoạt f (x(t)) thỏa mãn Giả thiết với L = diag{1, 1} Bằng cách sử dụng hộp cơng cụ LMI MATLAB, ta có điều kiện (3.12) Định lí 3.2 thỏa mãn với ǫ1 = 3.2385, ǫ2 = 1.9621, ǫ3 = 1.1908, ǫ4 = 3.0083 ma trận  P = 1.7080 −0.4748 −0.4748 0.9005   , Y = −1.4390 −0.1571 Vậy, theo Định lí 2.3, hệ cho Mittag–Leffer ổn định hóa tồn cục với điều khiển ngược ổn định hóa xác định bởi: u(t) = −1.0440 −0.7249 x(t), t ≥ 33 Kết luận Luận văn đạt kết sau: • Trình bày lại số khái niệm giải tích phân thứ bao gồm tích phân Riemann-Liouville, đạo hàm phân thứ Caputo, hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo • Trình bày số tiêu chuẩn cho tính ổn định tiệm cận ổn định hóa lớp hệ nơ ron thần kinh phân thứ Caputo • Đưa số tiêu chuẩn cho tính ổn định tiệm cận ổn định hóa lớp hệ nơ ron thần kinh khơng chắn phân thứ Caputo • Đưa số ví dụ số để minh họa cho kết lý thuyết 34 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Hoàng Thế Tuấn, Về số vấn đề định tính hệ phương trình vi phân phân thứ, Luận án tiến sĩ toán học, Viện Toán học, 2017 Tiếng Anh [2] Boyd S., El Ghaoui L., Feron E and Balakrishnan V (1994), Linear Matrix Inequalities in System and Control Theory, SIAM, Philadelphia [3] Diethelm K (2010), The Analysis of Fractional Differential Equations An Application oriented Exposition Using Differential Operators of Caputo Type, Lecture Notes in Mathematics, 2004, Springer - Verlag, Berlin [4] Duarte-Mermoud M.A., Aguila-Camacho N., Gallegos J.A and CastroLinares R (2015), “Using general quadratic Lyapunov functions to prove Lyapunov uniform stability for fractional order systems”, Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 22(1-3), 650–659 [5] Hilfer R (2000), Applications of Fractional Calculus in Physics, World Science Publishing, Singapore [6] Kaczorek T (2011), Selected Problems of Fractional Systems Theory, Springer [7] Kilbas A.A., Srivastava H.M and Trujillo J.J (2006), Theory and Applications of Fractional Differential Equations, Springer [8] Li Y., Chen Y.Q and Podlubny I (2010), “Stability of fractional- order nonlinear dynamic systems: Lyapunov direct method and generalized MittagLeffer stability” Computers and Mathematics with Applications, 59(5), 1810–1821 35 [9] Li M and Wang J (2017), “Finite time stability of fractional delay differential equations” Applied Mathematics Letters, 64, 170–176 [10] Shuo Z, Chen Y.Q and Yu Y (2017) “A Survey of Fractional-Order Neural Network”, ASME 2017 International Design Engineering Technical Conferences and Computers and Information in Engineering Conference, American Society of Mechanical Engineers [11] Zhang S., Yu Y and Yu J (2017), “LMI conditions for global stability of fractional-order neural networks”, IEEE Transactions on Neural Networks and Learning Systems, 28(10), 2423–2433 ... cho lớp hệ nơ ron thần kinh phân thứ 18 2.1 Tính ổn định cho lớp hệ nơ ron thần kinh phân thứ 18 2.2 Tính ổn định hóa cho lớp hệ nơ ron thần kinh phân thứ 21 Chương Tính ổn định ổn định. .. cho tính ổn định ổn định hóa cho lớp hệ nổn thần kinh phân thứ Nội dung chương tham khảo chủ yếu từ tài liệu [11] 2.1 Tính ổn định cho lớp hệ nơ ron thần kinh phân thứ Xét hệ nơ ron thần kinh phân. .. 2.2 Tính ổn định hóa cho lớp hệ nơ ron thần kinh phân thứ Trong mục này, chúng tơi trình bày tính ổn định hóa hệ điều khiển nơ ron thần kinh phân thứ Xét hệ điều khiển nơ ron thần kinh phân thứ