ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————–o0o——————– VIÊN ÁNH NGỌC ƯỚC LƯỢNG METRIC KOBAYASHI TRÊN CÁC MIỀN TRONG Cn LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên, 4/2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————–o0o——————– VIÊN ÁNH NGỌC ƯỚC LƯỢNG METRIC KOBAYASHI TRÊN CÁC MIỀN TRONG Cn LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Tốn Giải tích Mã số: 8460102 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS TRẦN HUỆ MINH Thái Nguyên, 4/2019 LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng em hưỡng dẫn TS Trần Huệ Minh Em không chép từ cơng trình khác Các tài liệu luận văn trung thực, em kế thừa phát huy thành khoa học nhà khoa học với biết ơn chân thành Thái Nguyên, tháng năm 2019 Người viết luận văn Viên Ánh Ngọc Xác nhận Khoa chuyên môn Xác nhận Người hướng dẫn khoa học ii LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung khóa luận, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Trần Huệ Minh, người tận tình hướng dẫn truyền đạt kinh nghiệm học tập, nghiên cứu để em hồn thành luận văn Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Đào tạo - Bộ phận Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Tốn, thầy giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên Viện Toán học giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho em trình học tập nghiên cứu khoa học Do thời gian thực luận văn không nhiều, kiến thức hạn chế nên luận văn khơng tránh khỏi khiếm khuyết mong nhận đóng góp ý kiến thầy giáo bạn học viên để luận văn hoàn chỉnh Xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng năm 2019 Người viết luận văn Viên Ánh Ngọc iii Mục lục Lời cam đoan Lời cảm ơn i ii Mục lục iii Mở đầu 1 Uớc lượng metric Kobayashi miền Cn 1.1 Ước lượng metric Kobayashi miền Ω = C\ {0, 1} 1.2 Uớc lượng metric Kobayashi miền C2 1.3 Ước lượng metric Kobayashi miền bị chặn trơn Cn Ước lượng metric Kobayashi miền lồi loại hữu hạn Cn 2.1 Hàm điều hòa, hàm đa điều hòa 2.2 Metric đa điều hòa 2.3 Ước lượng metric Kobayashi miền lồi Cn 2.4 Ước lượng metric Kobayashi miền giả lồi loại hữu hạn C3 Kết luận Tài liệu tham khảo 3 10 17 17 18 22 29 34 35 Mở đầu Lý chọn đề tài Metric Kobayashi miền Ω Cn điểm p ∈ Ω theo hướng ξ ∈ Tp Ω định nghĩa bởi: F (p, ξ) = inf {α > | ∃Φ ∈ Hol(D, Ω) : Φ(0) = p, Φ (0) = ξ/α} , Hol(D, Ω) ký hiệu họ ánh xạ chỉnh hình từ đĩa đơn vị D C vào Ω Metric Kobayashi metric lớn metric bất biến song chỉnh hình G mà thỏa mãn tính chất: i) GD : D × C → R+ ∪ {0} trùng với metric Poincare đĩa đơn vị C ˜ ii) G có tính chất giảm qua ánh xạ chỉnh hình, tức Φ : Ω → Ω ánh xạ chỉnh hình p ∈ Ω, ξ ∈ Tp Ω ˜ GΩ (p, ξ) ≥ GΩ (Φ(p), Φ∗ (p)ξ) Trong năm gần đây, việc tìm hiểu ước lượng metric Kobayashi nhiều nhà toán học I Graham, D.Catlin, S.G.Krantz, Lina Lee, S.Fu, Peter Pflug, quan tâm nghiên cứu, tác giả đưa nhiều kết ước lượng cho metric Kobayashi miền Cn sử dụng ước lượng để nghiên cứu toán ánh xạ Với lý này, em lựa chọn đề tài nghiên cứu " Ước lượng metric Kob miền Cn " làm luận văn tốt nghiệp Đề tài có ý nghĩa thời sự, nhà toán học quan tâm, nghiên cứu Mục đích nghiên cứu Mục đích luận văn nghiên cứu, tìm hiểu trình bày lại số kết ước lượng metric Kobayashi miền bị chặn trơn, miền lồi miền giả lồi loại hữu hạn Cn Nhiệm vụ nghiên cứu Hệ thống lại kết trình bày tổng quan ước lượng metric Kobayashi miền Cn Phương pháp nghiên cứu Sử dụng kết hợp phương pháp phân tích tổng hợp lý thuyết, phương pháp phân loại hệ thống hóa lý thuyết Bố cục luận văn Luận văn viết chủ yếu dựa tài liệu [3], [4], [5], [6, [7] gồm 36 trang có phần mở đầu, chương nội dung, phần kết luận tài liệu tham khảo Cụ thể là: - Chương 1: Trình bày kết ước lượng metric Kobayashi miền Cn , phần đầu chương trình bày ước lượng metric Kobayashi miền C\{ 0, 1}, phần ước lượng metric Kobayashi miền C2 , phần cuối chương trình bày kết miền bị chặn trơn Cn - Chương 2: Trình bày khái niệm hàm đa điều hòa, hàm đa điều hòa dưới, số kết metric đa điều hòa (metric Sybony) sử dụng metric để ước lượng metric Kobayashi miền lồi giả lồi loại hữu hạn Cn - Cuối phần kết luận trình bày tóm tắt kết đạt danh mục tài liệu tham khảo Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học TS Trần Huệ Minh, thời gian nghiên cứu khơng có nhiều kiến thức em hạn chế nên luận văn em không tránh khỏi khiếm khuyết, em mong nhận góp ý Thầy Cơ bạn đọc để luận văn hồn chỉnh Em xin chân thành cảm ơn ! Chương Uớc lượng metric Kobayashi miền Cn 1.1 Ước lượng metric Kobayashi miền Ω = C\ {0, 1} Giả sử Ω miền Cn , P ∈ Ω ξ ∈ Cn , ta kí hiệu Hol(P, ξ) họ ánh xạ chỉnh hình Φ từ đĩa đơn vị ∆ ⊂ C vào Ω cho Φ(0) = P Φ (0) = ξ Khi độ dài Kobayashi ξ điểm P định nghĩa ξ FKΩ (P, ξ) ≡ inf {α : α > 0, ∃Φ ∈ Hol(P, ξ) , Φ (0) = } α Trong phần này, ta trình bày ước lượng metric Kobayashi điểm biên miền ∆\{0} C\ {0, 1} , ∆ kí hiệu đĩa đơn vị C, ∆ = {z ∈ C ||z| < 1} Bổ đề 1.1.1 [5] Giả sử Ω miền liên thơng C có khơng gian phủ nửa phẳng H Lấy q ∈ H m : H → ∆ ánh xạ song chỉnh hình cho m(q) = Lấy P ∈ Ω, ξ ∈ Cn π : H → Ω mà π(q) = P Khi |m (q)| ξ FKΩ (P, ξ) = |π (q)| Chứng minh Lấy f hàm phù hợp với metric Kobayashi điểm P f (0) bội ξ Vì đĩa đơn vị liên thông nên tồn ánh xạ nâng f˜ : ∆ → H cho f˜(0) = q làm giao hoán biểu đồ sau Lấy π −1 nghịch đảo địa phương lân cận p Vì m◦ f˜(0) = f˜ = π −1 ◦ f, từ bổ đề Schwarz ta có m (q) · π −1 (P ) · f (0) ≤ 1, suy |m (q)| ≥ |f (0)| |π (q)| Ước lượng đạt với hàm f ánh xạ π ◦ m−1 hàm phù hợp với metric Kobayashi nên ta có điều phải chứng minh Sử dụng bổ đề trên, ta ước lượng metric Kobayashi điểm biên miền ∆\{0} C\ {0, 1} Ta có mệnh đề sau Mệnh đề 1.1.2 [5] Lấy p điểm thuộc ∆\{0} cho dist (p,0) = δ lấy ξ = Với δ > 0, ta có ∆\{0} FK (p, ξ) = 2δlog 1δ Chứng minh Xét ánh xạ từ ∆\{ 0} vào ∆\{ 0} xác định z → zeiθ Ta cần chứng minh mệnh đề trường hợp p = Lấy Hlef t nửa phẳng {Re(z) < 0} ⊂ C Ánh xạ phủ xác định π : Hlef t → ∆\{0}, z → ez Lấy q = logδ, m : Hlef t → ∆ xác định z − log δ m(z) := , với m (q) = z + log δ log δ Từ bổ đề 1.1.1, ta có 1 ∆\{0} FK (δ, 1) = = 2δ|logδ| 2δlog(1/δ) Để ước lượng metric Kobayashi cho miền Ω = C\{ 0, 1} ta phải xét hàm modular elliptic ánh xạ phủ từ nửa phẳng tới Ω ước lượng đạo hàm Hàm modular elliptic xác định ∞ λ(τ ) = n=−∞ ∞ cos2 (π (n− 12 )τ ) n=−∞ Ta xét bổ đề sau cos2 (πnτ ) − − sin2 (π (n− 12 )τ ) sin2 (π (n− 12 )τ ) =: N (τ ) D(τ ) Bổ đề 1.1.3 [5] Khi Im(τ ) → ∞, đạo hàm N (τ ) bị chặn số: d D(τ ) < C dτ (1.1) với C > đạo hàm N (τ ) thỏa mãn d N (τ ) dτ eiπτ = e−π Im(τ ) (1.2) Chứng minh Với z = x + iy, ta có : i(x+iy) e − ei(x+iy) 2i = (eix e−y − e−ix ey ) 2i Do vậy, với |y| > ln 2, ta có |y| e < |sinz| < e|y| Tương tự, ta có |y| e < |cosz| < e|y| sin(z) = (1.3) (1.4) Sử dụng (1.3) (1.4), đạo hàm phần tử cosin D(τ ) ngoại trừ phần tử ứng với n = 0, ước lượng |n| d 2πn sin(πnτ ) = dτ cos2 (πnτ ) cos3 (πnτ ) e2π|n| Im(τ ) , (1.5) Im(τ ) → ∞ Tương tự, ta có d dτ sin π(n − 21 )τ 2π n − 12 cos π n − = sin3 π n − 12 τ τ n − 12 , e2π|n− |Im (τ ) (1.6) d dτ cos2 π(n − 21 )τ = 2π n − 12 sin π n − cos3 π n − 12 τ τ n − 12 , 2π |n− 12 |Im (τ ) e (1.7) 21 Φ∗ (P )ξ FKΩ2 (Φ(P ), Φ∗ (P )ξ) Đẳng thức cuối đạt metric Kobayashi metric bất biến ánh xạ Φ Bây ta u ◦ Φ−1 thỏa mãn điều kiện đường cong chỉnh hình Φ ◦ f Tuy nhiên điều suy trực tiếp từ việc chọn f đường cong chỉnh hình thỏa mãn điều kiện Định nghĩa 2.2.2 u ◦ Φ−1 ◦ Φ ◦ f (z) = u ◦ f (z) Trong mệnh đề tiếp theo, ta chứng tỏ metric đa điều hòa trùng với metric Poincaré đĩa đơn vị C Bổ đề 2.2.5 [7] Nếu ∆ → R thỏa mãn (1) u(0) = 0, u C -hàm quanh 0; (2) ≤ u ≤ ∆; u(z) (3) đa điều hòa ∆; |z|2 ∂ u(0) ≤ ∂z∂ z¯ = Chứng minh Vì u C - hàm quanh có cực tiểu 0, nên đạo hàm bậc u Vì khai triển Taylor quanh có dạng u(z) = a|z|2 + Re bz + o(|z|3 ), a ∈ R, b ∈ C Lấy z = |z|eiθ Khi u(z) = a + Re(beiθ ) + o(|z|) |z| Vì u(z) điều hòa ∆, theo nguyên lý cực đại ta có |z|2 u(z) |z|2 ≤ z=0 u(z) |z|2 = u(z)||z|=1 ≤ |z|=1 Do vậy, u(z) |z|2 2iθ0 = a + Re(be2iθ ) ≤ z=0 Chọn θ0 cho Re(be ) ≥ Ta có a ≤ − Re(be2iθ0 ) ≤ 22 Ta có mệnh đề sau : Mệnh đề 2.2.6 [7] Metric đa điều hòa trùng với metric Poincaré đĩa đơn vị C, tức FP (0, ξ) = P∆ (0, ξ) = |ξ| Chứng minh Theo bổ đề 2.2.5, ta có FP (0, ξ) ≤ |ξ| Mặt khác, u(z) = |z|2 thỏa mãn điều kiện hàm mong muốn, nên ta có FP (0, ξ) = |ξ| Ta có mệnh đề sau Mệnh đề 2.2.7 [7] Metric đa điều hòa bé metric Kobayashi, tức FPΩ (P, ξ) ≤ FKΩ (P, ξ) Chứng minh Lấy u hàm phù hợp f đường cong cho ≤ u ◦ f ≤ ∆ u ◦ f (z) điều hòa ∆ Theo Bổ đề 2.2.5, ta có |z|2 ∂ u ◦ f (0) ≤ ∂z∂ z¯ Viết lại vế trái bất đẳng thức trên, ta có ∂ u◦ f (0) = ∂z∂ z¯ = j,k ∂ u(P ) (f (0))j f¯ (0) ¯ ∂ξj ∂ ξk (FK (P, ξ))2 j,k k ∂ u(P ) ¯ ξj ξk ∂ξj ∂ ξ¯k Do   j,k Suy 2.3 1/2 ∂ u(P ) ¯  ξj ξk ∂ξj ∂ ξ¯k ≤ FK (P, ξ) FP (P, ξ) ≤ FK (P, ξ) Ước lượng metric Kobayashi miền lồi Cn Giả sử Ω = {ρ < 0} ⊂⊂ Cn miền lồi bị chặn trơn Cn , P ∈ ∂Ω 23 Lấy ξ ∈ TPC (∂Ω) = TP (∂Ω) ∩ JTP (∂Ω), J cấu trúc phức tắc Cn Ta định nghĩa ∆ (∂Ω, P, ξ) ∆ (∂Ω, P, ξ) = υ0 (ρ (P + ξz)) , z ∈ C, υ0 (f (z)) bậc suy biến f z = Ta gọi véc tơ pháp tuyến đơn vị P ∇ρ(P ) ν= ∇ρ(P ) Đặt Pδ = P − δν Ta có mệnh đề sau : Mệnh đề 2.3.1 [7] Giả sử Ω = {δ < 0} ⊂⊂ Cn miền lồi bị chặn trơn Cn , P ∈ ∂Ω ν véc tơ pháp tuyến đơn vị thực hướng ∂Ω P với ν = Với ξ ∈ TPC (∂Ω), ξ = ∆ (∂Ω, P, ξ) > Ta đặt Rξ (δ) := sup {|z| : P − δν + ξz ∈ Ω, z ∈ C} , Rξ (δ) ≈ δ m với δ > đủ nhỏ Chứng minh Ta giả thiết P = 0, ∇ρ(P ) = (0, , 1) ξ = (1, 0, , 0) Khi đó, quanh P = 0, ρ biểu diễn ρ = Re zn + o(|z|2 ) và, ta ước lượng ρ (0, 0, −δ) theo hướng z1 , ta có m−1 apq1 q2 δ p ζ q1 ζ¯q2 + o ρ((ζ, , 0, −δ)) = −δ + δ + |ζ|2 m p+q1 +q2 =2 p≥1 Đặt |ζ| = cδ m Khi m−1 ρ ((ζ, 0, , 0, −δ)) = −δ + bpq δ p cδ m q +o δ + cδ m p+q=2 p≥1 m−1 ≤ −δ + bpq δ p cδ m p+q=2 p≥1 C c số Vì vậy, ta có Rξ (δ) δm q + C (δ m + c δ) < 0, m 24 Tiếp theo, ta rằng, với điểm cố định ε ∈ 0, m1 , không tồn số c, cho với δ đủ nhỏ ρ ((ζ, 0, , 0, −δ)) < 0, |ζ| = cδ m −ω Lấy |ζ| = cδ m −ε sử dụng khai triển Taylor : m bpq δ p cδ m −ε ρ ((ζ, 0, , 0, −δ)) = −δ + q + b0m cδ m −ε m p+q=2 p≥1 δ + cδ +o m −ε (m+1) Lập luận [1], ta có   m  ρ ((ζ, 0, , 0, −δ)) = −δ + C   −C |bpq |δ p cδ m −ε q + |b0m | cδ m −ε m   p+q=2 p≥1 δ m+1 + c δ m −ε ≥ −δ + C|b0m | cδ m −ε m+1 m −C δ m+1 + c δ m −ε δ m+1 + c δ m −ε = C δ 1−εm − δ − C m+1 m+1 > 0, với δ đủ nhỏ Do kết luận Rξ (δ) ≈ δ m Lempert chứng minh metric Kobayashi metric Carathéodory trùng miền Cn , metric Sibony trùng với metric Carathéodory metric Kobayashi Ta kí hiệu metric Kobayashi (hay metric Sibony metric Carathéodory) F (Q, ξ) với Q ∈ Ω ξ ∈ TQ (Ω) Để tìm chặn cho metric Sibony, ta xây dựng hàm đa điều hòa duới mà thỏa mãn điều kiện định nghĩa có ma trận Hessian lớn theo ξ - hướng Chúng ta tìm hàm đa điều hòa Ta có mệnh đề sau : Mệnh đề 2.3.2 [7] Giả sử ξ ∈ TPC (∂Ω) ∆ (∂Ω, P, ξ) = m Khi F (Pδ , ξ) |ξ| δ 1/m 25 Chứng minh Ta giả thiết ξ z1 - hướng Ta lấy Re z1 -hướng khoảng cách từ P − δν tới biên dọc trục Re z1 ( khoảng cách lớn P − δν biên dọc theo trục z1 ), tức sup {r > : ρ ((r, 0, , 0, −δ)) ∈ Ω} = sup r > : ρ reiθ , 0, , 0, −δ ∈ Ω, θ < 2π Lấy R khoảng cách R = sup {r > : ρ ((r, 0, , 0, −δ)) ∈ Ω} Theo mệnh đề 2.3.1, có R ≈ δm Lấy Q = (R, 0, , 0, −δ) Ta thấy ∂ρ (Q) ≈ δ 1− m , ∂z1 Xét không gian tiếp xúc thực với ∂Ω Q : ∂ρ ∂ρ ∂ρ (Q)(z1 − R) + (Q)z2 + + (Q)zn−1 + ∂z1 ∂z2 ∂zn−1 Re ∂ρ (Q)(zn + δ) = ∂zn Gọi S điểm giao không gian tiếp xúc trục Re zn , tức ∂ρ ∂ρ (Q)(z1 − R) + (Q)z2 + ∂z1 ∂z1 ∂ρ ∂ρ + (Q)zn−1 + (Q)(zn + δ) = ∂zn−1 ∂zn ∩ {(0, , 0, x) , x ∈ R} Nếu lấy S = (s, 0, , 0), tính chất lồi, ta có S= z : Re |S − P | = |(s, 0, , 0) − 0| = s ≥ Do đó, Re ∂ρ ∂ρ (Q)(−R) + (Q)(s + δ) ∂z1 ∂zn = Do vậy, ta có ∂ρ ∂ρ ∂ρ ∂ρ (Q) R ≥ Re (Q)R = (Q) (s + δ) ≥ (Q) δ ≈ δ ∂z1 ∂z1 ∂zn ∂zn 26 Vì ∂ρ (Q) ∂z1 δ δ ≈ = δ 1− m R δm (2.1) Để hướng khác, ta xét khai triển Taylor ρ đánh giá dọc theo z1 - hướng: m apq1 q2 δ p z q1 z¯q2 + ρ ((z, 0, , −δ)) = −δ + r1 +r2 =m p+q1 +q2 =2 p m+1 2 δ + |z| +o ar1 r2 z r1 z¯r2 Lấy vi phân dọc theo z1 - hướng, ta có ∂ρ (Q) = ∂z1 m p bpq δ R q−1 + bm R m−1 +o 2 δ + |z| m p+q=2 p≥1 Vì R ≤ Cδ 1/m , ta có ∂ρ (Q) ∂z1 m |bpq |C q−1 δ p+ q−1 m + |bm | C m−1 δ 1− m (2.2) p+q=2 p≥1 +o(δ m + C m δ) Từ (2.1) (2.2), ta có δ 1− m ∂ρ (Q) ≈ δ 1− m ∂z1 Bây xây dựng hàm đa điều hòa phù hợp cho metric Sibony FS (P − δν, ξ) Đặt f= δ ∂ρ ∂ρ ∂ρ (Q)z1 + + (Q)zn−1 + (Q)(zn + δ) ∂z1 ∂zn−1 ∂zn định nghĩa N f + + f , 2! N! số N chọn sau Nếu ta đặt FN = f + GN = |FN |2 , GN thỏa mãn tính chất sau : 27 *) GN (P − δν) = 0, *) logGN đa điều hòa Ω, 2 ∂ GN ∂ρ δ 2− m *) (P − δν) = (Q) ≈ = ∂z1 ∂ z¯1 δ ∂z1 δ δm Do đó, GN bị chặn Ω có thể kết luận |ξ| FSΩ (Pδ , ξ) δm Bây ta chứng minh GN bị chặn có cận khơng phụ thuộc δ Vì 1 + f + f + + f k + = exp f, 2! k! ta tìm N cho |1 + FN (z) − exp f (z)| < 1, với z ∈ Ω Do đó, FN < + |exp f − 1| ≤ + eRe f Vì Re f = xác định mặt phẳng Re f đổi dấu Re f = 0, ta giả thiết Re f > gần biên âm điểm khác Khi eRe f ≤ 1, ngồi lân cận nhỏ P Do ta có ∂ρ 1− 1 Re (Q)R δ m δ m = δ ∂z1 δ Vì GN bị chặn với δ Để ước lượng metric F (Pδ , ν) theo hướng ν ta có kết sau: Mệnh đề 2.3.3 [7] F (Pδ , ν) ≥ 6δ Chứng minh Re f ≤ Re f (Q) = Lấy ρ(z) = Re zn + O(|z|2 ) Vì Ω lồi, ta thấy Ω ⊂ {Re zn < 0} Xét hàm zn + δ u(z) = zn − δ (2.3) 28 Vì Re zn < với z ∈ Ω, hàm bên dấu giá trị tuyệt đối chỉnh hình Ω Do log u hàm đa điều hòa Ω u(P − δν) = Chúng ta có zn + δ 2δ 2δ = 3, z ∈ Ω, ≤1+ ≤1+ zn − δ zn − δ δ |zn − δ| ≥ |Rezn − δ| = |Rezn | + δ ≥ δ, với z ∈ Ω Nên ≤ u(z) ≤ Ω Cuối ta có 1/2 1/2 ∂ u(Pδ ) 1 = = ∂zn ∂ z¯n 4δ 6δ Từ Mệnh đề 2.3.1 Mệnh đề 2.3.2, ta chứng minh kết sau: Định lý 2.3.4 [7] Nếu Ω ∈ Cn miền bị chặn trơn loại hữu hạn, ta có |ξ| F (Pδ , ξ) ≈ , ξ ∈ TPC (∂Ω) , δm m = ∆(∂Ω, P, ξ) F (Pδ , ν) ≈ , với δ > đủ nhỏ δ Chú ý ký hiệu "≈" nghĩa tồn số dương c, C, c C dương không phụ thuộc vào δ cho c |ξ| δ c m ≤ F (Pδ , ξ) ≤ C |ξ| δm , 1 ≤ F (Pδ , ν) ≤ C , δ δ δ > đủ nhỏ Cho Ω ⊂⊂ Cn miền lồi bị chặn trơn Cn Đặt X = aν + bT, a, b > 0, T ∈ TP (Ω) Ta có kết sau tính bị chặn F (Pδ , X) Định lý 2.3.5 [6] Giả sử Ω ⊂⊂ Cn miền bị chặn Cn , X = aν + bT, T ∈ TP (Ω) a, b > Khi ta có F (Pδ , X) ≥ |a| 6δ Chứng minh 29 Ta sử dụng hàm u(z) tương tự (2.3) zn + δ u(z) = zn − δ Khi ta có ¯ X, X ¯ FS (Pδ , X) ≥ ∂ ∂u 2.4 1/2 = |a| 6δ Ước lượng metric Kobayashi miền giả lồi loại hữu hạn C3 Trong phần này, ta xây dựng miền giải lồi loại hữu hạn bị chặn trơn C3 , ta tìm dãy δn an ∞ cho FK (Pδn , ν) ≤ , ∀n ∈ N∗ an δn với ν vec tơ pháp tuyến đơn vị ∂Ω P Ta có định lý sau Định lý 2.4.1 [3] Cho dãy tăng an ∞, tồn miền giả lồi loại hữu hạn bị chặn trơn Ω ⊂⊂ C dãy δn cho với điểm phù hợp P ∈ ∂Ω, ta có , Pδn = P − δn ν, FK (Pδn , ν) ≤ an δn ν vec tơ pháp tuyến đơn vị ∂Ω P ∈ ∂Ω Chứng minh Lấy Ω ⊂ C3 miền giả lồi xác định sau: Ω = (s, t, w) ∈ C3 : r(s, t, w) = Re w + ρ(s, t) < ∩ B(0, 2) Ta xây dựng ρ(s, t) cho với dãy an ∞, an ≥ 4, ta tìm dãy δn rn cho ρ(s, t) thỏa mãn ρ(ζ , ζ ) < δn − an rδnn Re ζ, ∀ |ζ| < rn Khi đĩa giải tích ζ∈∆ φ(ζ) = rn3 ζ , rn2 ζ , −δn + an δn ζ , nằm Ω r(φ(ζ)) = −δn + an δn Reζ + ρ rn3 ζ , rn2 ζ (2.4) < −δn + an δn Reζ + δn − an δn Reζ = 0, ∀ζ ∈ ∆ Vì vậy, lấy P = Pδn = P − δn ν = (0, −δn ), ta có 30 ∂ φ(0) = Pδn , φ (0) = an δn ∂ω Khi ta có FK (Pδn , ν) ≤ Ta xây dựng ρ sau Xét hàm: an δn ∞ ρ˜(ζ) = δj ρ˜j (ζ), j=1 ρ˜j (ζ) thỏa mãn ρ˜j (ζ) ≡ , |ζ| < rj+1 aj ρ˜j (ζ) ≤ − Re ζ, ∀|ζ| < rj rj Lấy z = (s, t) ∈ C V = { s2 − t3 = 0} ⊂ C2 Ta định nghĩa ρn (s, t) = ρ˜n ( st ) = ρ˜n (ζ), (s, t) = (ζ , ζ ) ∈ V Bây ta thác triển ρn vào C2 Đặt r˜n = r3n+1 Bn = B(0, r˜n ) ⊂ C2 Nếu (s, t) ∈ Bn ∩V , (s, t) = (ζ , ζ ) 3 ζ ≤ rn+1 ζ ≤ rn+1 Vì |ζ| ≤ rn+1 (rn+1 < 1) Ta biêt ρn (s, t) = 0, ∀(s, t) ∈ Bn ∩ V Ta lấy ρn (s, t) ≡ ∀(s, t) ∈ Bn 3˜ rn LấyB n = B(0, ) ⊂ Bn chọn lân cận nhỏ Un V cho phép chiếu π : Un → V hoàn toàn xác định Un \B n Un \B n = p ∈ C2 : |p − π(p)| < dn , với dn số dương đủ nhỏ phù hợp Lấy V1 V2 hai V : 3θ V1 = (r ei( +π) , reiθ ) : r, θ ∈ R , 3θ V2 = (r ei( ) , reiθ ) : r, θ ∈ R , đặt V1n = V1 \B n V2n = V2 \B n Xét ánh xạ song chỉnh hình Φ : (s, t) → (s, t − s2/3 ), 31 lân cận nhỏ Un V1n ∪ V2n Khi Φ(z) = (s, 0) z ∈ V1n ∪ V2n Ta xác định phép chiếu π sau: π(z) = Φ−1 (π1 (Φ(z))), π1 (s, t) = (t, 0) Ta định nghĩa ρn Un \Bn sau: ρn (z) = ρ˜n (π(z)), z ∈ Un \Bn Khi hàm ρn hồn tồn xác định Bn ∪ Un Bây ta thác triển ρn vào C2 Chọn hàm nhẵn h : R → [0, 1] cho h(x) = 0, x ∈ [0, (3/4)2 ]; 1, x ≥ Lấy χ : R → [0, 1] hàm nhẵn định nghĩa sau χ(x) = x ∈ [0, (1/2)], x ≥ 1, 0, đặt χn (z) = χ h |z|2 r˜n2 |z − π(z)|2 d2n Khi χn thỏa mãn χn (z) =     χ     |z − π(z)|2 d2n , z ∈ C2 \Bn ; |z|2 |z − π(z)|2  χ h   r˜n2 d2n     1, z ∈ Bn , z ∈ Bn \Bn ; Xét hàm ρn χn Ta có ρn χn thác triển nhẵn ρn C2 thỏa 32 mãn điều kiện :   0,         ρn , ρn χn (z) =   ρn χ        0, z ∈ Bn ; d2n z ∈ U \Bn , |z − π(z)| ≤ ; 2 d , z ∈ U \Bn , n ≤ |z − π(z)|2 ≤ d2n ; 2 |z − π(z)|2 d2n z∈ / Un ∪ Bn Đặt p˜n (z) = ρn χn (z) Ta tìm Cn ≥ cho ¯ ≥ −Cn L , ∀z ∈ B(0, 2) ∂ ∂¯p˜n (z)(L, L) Do p˜n hàm đa điều hoà khắp nơi ngoại trừ An = z ∈ Un \Bn : d2n ≤ |z − π(z)|2 ≤ d2n Lấy 2 q(z) = e|z| s2 − t3 , z = (s, t) Khi q(z) hàm đa điều hòa chặt bên ngồi lân cận nhỏ V , log q đa điều hòa chặt Do ta tìm số cn > cho ¯ ¯ ≥ cn L , ∀z ∈ An ∩ B(0, 2) ∂ ∂q(z)(L, L) Chọn Kn > đủ lớn cho −Cn + Kn cn ≥ Thế p˜n + Kn q đa điều hòa An ∪ Dn C2 Đặt rn = pn + Kn q rn (ζ , ζ ) = p˜n (ζ , ζ ) = ρn (ζ) = ρ˜n (ζ) Do rn (ζ , ζ ) =   0, ≤ |ζ| < rn+1 ; an − Re ζ, |ζ| < rn rn 33 Đặt ρ(z) = δj rj , j chọn δj đủ nhỏ để ρ trơn lân cận Ta có điều phải chứng minh 34 Kết luận Luận văn “Ước lượng metric Kobayashi miền C n ” trình bày kết sau: - Sử dụng hàm modular elliptic để chứng minh kết ước lượng metric Kobayashi miền Ω = C\ {0, 1} (Mệnh đề 1.1.2, Mệnh đề 1.1.4) - Ước lượng metric Kobayashi miền Cn ( Định lý 1.2.1) - Ước lượng metric Kobayashi theo phương pháp tuyến gần điểm biên giả lồi Lêvi miền bị chặn trơn Cn (Định lý 1.3.1; Định lý 1.3.3.) - Sử dụng metric Sybony, tính tốn ước lượng cho metric bất biến miền lồi bị chặn trơn loại hữu hạn Cn (Định lý 2.3.4, Định lý 2.3.5) - Xây dựng miền giả lồi loại hữu hạn bị chặn trơn C3 mà tìm dãy δn an ∞ cho với số tự nhiên n ∈ N, ta có ước lượng FK (Pδn , ν) ≤ an δn (Định lý 2.4.1) 35 Tài liệu tham khảo [1] Bruna J., Nagel A., and Wainger S (1988), “ Convex hypersurfaces and Fourier transforms ”, Ann of Math (2) 127:2, 333–365 [2] Catlin D.W (1989), “ Estimates of invariant metrics on pseudoconvex domains of dimension two ", Mathematische Zeitschrift, Math Z 200, 429-466 [3] Forn J and Lee L (2009), “ Asymptoic behavior of the Kobayashi metric in the normal direction ”, Mathematische Zeitschrift, Math Z 261:399–408 [4] Fu S (1994), “ Some estimates of the Kobayashi metric in the normal direction ”, Proceedings of The American Mathematical Society, Vol 122, No 4, 1163-1168 [5] Kang H., Lee L and Zeager C (2014), " Comparison of invariant metrics ", Rocky Mountain J Math 44, 157-177 [6] Krantz S.G (1992), “ The boundary behaviour of the Kobayashi metric ”, Rocky Mountain J Math 22, 227-233 [7] Lee L (2008), “ Asymptoic behavior of the Kobayashi metric on convex domains ”, Pacific J Math Vol 238, No.1 [8] McNeal D J (1992), “ Convex domains of finite type ”, J.Funct Anal [9] Royden H (1971), “ Remarks on the Kobayashi metric ”, Several complex variables II, Lecture Notes in Math; Vol 185, Sprirger, NewYork ... Uớc lượng metric Kobayashi miền Cn 1.1 Ước lượng metric Kobayashi miền Ω = C {0, 1} 1.2 Uớc lượng metric Kobayashi miền C2 1.3 Ước lượng metric Kobayashi miền bị chặn trơn Cn ... bày kết ước lượng metric Kobayashi miền Cn , phần đầu chương trình bày ước lượng metric Kobayashi miền C{ 0, 1}, phần ước lượng metric Kobayashi miền C2 , phần cuối chương trình bày kết miền bị... Chương Ước lượng metric Kobayashi miền lồi loại hữu hạn Cn Năm 1981, Lempert chứng minh metric Sibony trùng với metric Carathéodory metric Kobayashi miền lồi Cn Trong phần này, ta tìm ước lượng metric