BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐHSP - ĐHTN HÀ VĂN KHẨN TÍNH HYPERBOLIC GROMOV VÀ METRIC KOBAYASHI TRÊN MIỀN GIẢ LỒI CHẶT LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chun ngành : TỐN GIẢI TÍCH Mã số : 8460102 Người hướng dẫn khoa học: TS TRẦN HUỆ MINH THÁI NGUYÊN - 2018 LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng em hưỡng dẫn TS Trần Huệ Minh Em không chép từ cơng trình khác Các tài liệu luận văn trung thực, em kế thừa phát huy thành khoa học nhà khoa học với biết ơn chân thành Thái Nguyên, tháng năm 2018 Người viết luận văn Hà Văn Khẩn Xác nhận Khoa chuyên môn Xác nhận Người hướng dẫn khoa học TS Trần Nguyên An TS Trần Huệ Minh i LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung khóa luận, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Trần Huệ Minh, người tận tình hướng dẫn truyền đạt kinh nghiệm học tập, nghiên cứu để em hồn thành luận văn Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Đào tạo - Bộ phận Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Tốn, thầy giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên Viện Toán học giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho em trình học tập nghiên cứu khoa học Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em suốt trình học tập nghiên cứu hoàn thành luận văn Do thời gian thực luận văn khơng nhiều, kiến thức hạn chế nên luận văn khơng tránh khỏi khiếm khuyết mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô giáo bạn học viên để luận văn hoàn chỉnh Xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng năm 2018 Người viết luận văn Hà Văn Khẩn ii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Mở đầu 1 Chương 1: Kiến thức chuẩn bị 1.1 Miền giả lồi chặt 1.2 Metric Carnot-Carathéodory 1.3 Metric Finsler 1.4 Metric Kobayashi 1.5 Không gian hyperbolic Gromov Chương 2: Tính hyperbolic Gromov metric Kobayashi miền giả lồi chặt 2.1 Một ước lượng cho hàm khoảng cách tương ứng với metric Kobayshi miền giả lồi chặt với biên trơn lớp C2 2.2 Tính hyperbolic Gromov miền giả lồi chặt 3 5 10 10 28 Kết luận 35 Tài liệu tham khảo 36 iii Mở đầu Lý chọn đề tài Khái niệm không gian hyperbolic Gromov giới thiệu M Gromov từ năm 1980 nghiên cứu, phát triển nhiều tác giả ([6],[7],[8],[9], ) Việc tìm kiếm ví dụ khơng gian hyperbolic Gromov, mô tả không gian hyperbolic Gromov hay tìm mối quan hệ khơng gian hyperbolic nhận quan tâm nhiều nhà khoa học, chẳng hạn Z Balogh & M.Bonk [1] liên hệ metric Kobayashi tính hyperbolic Gromov iền giả lồi chặt, M.Bonk, J.Heinonen & P.Koskela [10] nghiên cứu tính hyperbolic Gromov metric tựa hyperbolic, Z.Balogh & S.Buckley [2] điều kiện để không gian tựa hyperbolic hyperbolic Gromov, F.Bertrand & H.Gaussier [5] nghiên cứu tính hyperbolic Gromov miền giả lồi mạnh đa tạp hầu phức, Đề tài luận văn “Tính hyperbolic Gromov metric Kobayashi miền giả lồi chặt” đề tài có ý nghĩa thời sự, nhiều nhà tốn học ngồi nước quan tâm nghiên cứu Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu 2.1 Mục đích nghiên cứu Mục đích luận văn tìm hiểu trình bày lại số kết không gian hyperbolic Gromov, sử dụng nguyên lý lý thuyết không gian hyperbolic Gromov để ước lượng cho hàm khoảng cách tương ứng với metric Kobayshi miền giả lồi chặt với biên trơn lớp C nghiên cứu tính hyperbolic Gromov miền 2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu Trình bày tổng quan hệ thống số kết tính hyperbolic Gromov metric Kobayashi miền giả lồi chặt Phương pháp nghiên cứu Sử dụng kết hợp nhiều phương pháp như: Thu thập liệu, phân tích, so sánh, tổng hợp trình bày đề tài Bố cục luận văn Nội dung luận văn viết chủ yếu dựa tài liệu [1], gồm 42 trang, có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Cụ thể là: • Mở đầu: Trình bày lý chọn đề tài, mục tiêu, đối tượng phạm vi nghiên cứu, ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài nghiên cứu, phương pháp nghiên cứu • Chương 1: Trình bày tổng quan hệ thống vài kiến thức miền giả lồi chặt, metric Carnot-Carathéodory, metric Finsler, metric Kobayashi, không gian hyperbolic Gromov số ví dụ cụ thể khơng gian • Chương 2: Là nội dung luận văn, trình bày tính hyperbolic Gromov metric Kobayashi miền giả lồi chặt Phần đầu chương trình bày ước lượng cho hàm khoảng cách tương ứng với metric Kobayashi miền giả lồi chặt với biên trơn lớp C Phần thứ hai chương trình bày tính hyperbolic Gromov miền giả lồi chặt với biên trơn lớp C • Kết luận: Trình bày tóm tắt kết đạt tài liệu tham khảo Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên sư hướng dẫn khoa học TS Trần Huệ Minh Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới cô giáo hướng dẫn trường Đại học Sư Phạm - Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện thuận lợi để em hồn thành khóa học Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Miền giả lồi chặt Cho Ω ⊆ Cn , n ≥ miền bị chặn Cn , đặt δ(x) = dist(x, ∂Ω) khoảng cách Euclid môt điểm tới biên Ω Ta xét hàm khoảng cách ρ : Cn → R xác định ρ(x) = −δ(x) δ(x) x ∈ Ω, x ∈ Cn \ Ω Miền Ω gọi miền giả lồi chặt với biên trơn lớp C hàm ρ trơn lớp C lân cận mở Nε (∂Ω) = {x ∈ Cn | δ(x) < ε} Ω ta có Ω = {x ∈ Cn | ρ(x) < 0}, với p ∈ ∂Ω z = (z1 , , zn ) ∈ Cn ∂ ρ(p) zν z µ > 0, với z = ∂ζν∂ζ µ Ta định nghĩa miền giả lồi chặt theo cách khác sau: Với p ∈ ∂Ω, ta gọi không gian tiếp xúc Tp ∂Ω p tập Tp ∂Ω = {z ∈ Cn : Re < ∂ρ(p), z >= 0}, ∂ρ(p) = ∂ρ ∂ρ (p), , (p) , ∂ζ1 ∂ζn n < z, ω >:= zν ω ν , ν=1 tích Hermite tắc hai véc tơ z = (z1 , , zn ) ω = (ω1 , , ωn ) Cn Xét không gian Hp ∂Ω = {z ∈ Cn |< ∂ρ(p), z >= 0}, Ta định nghĩa dạng Levi Lρ (p; ·) sau: n ∂ 2ρ Lρ (p; z) = (p)zν z µ , ∂z ∂z ν µ ν,µ=1 với z = (z1 , , zn ) ∈ Cn Ta nói Ω miền giả lồi chặt dạng Levi Lρ (p; ·) xác định dương Hp ∂Ω với p ∈ ∂Ω 1.2 Metric Carnot-Carathéodory Cho Ω miền giả lồi chặt Ta gọi đường cong trơn lớp C · khúc α : [0; 1] → ∂Ω ngang với t ∈ [0; 1] mà α(t) tồn α(t) ∈ Hα(t) ∂Ω Ta định nghĩa độ dài Levi đường cong α Lρ − length(α) := Lρ α(t); α(t) 1/2 dt Với p, q ∈ ∂Ω, đặt dH (p, q) = inf{Lρ − length(α)}, α : [0; 1] → ∂Ω môt đường cong ngang mà α(0) = p, α(1) = q dH gọi metric Carnot-Carathéodory ∂Ω Tại điểm p ∈ ∂Ω, ta tách Cn = Hp ∂Ω ⊕ Np ∂Ω, Np ∂Ω khơng gian phức chiều Cn trực giao với Hp ∂Ω Như vậy, véc tơ z ∈ Cn viết dạng z = zH + zN , với zH ∈ Hp ∂Ω zN ∈ Np ∂Ω Cho đường cong ngang α : [0; 1] → ∂Ω, ta có αN ≡ |αH (t)|dt length(α) = Do Ω miền giả lồi chặt nên tồn số c ≥ cho |z| ≤ Lρ (p; z)1/2 ≤ c|z|, c với p ∈ ∂Ω, z ∈ Hp ∂Ω (1.1) Với x ∈ Ω, chọn điểm π(x) ∈ ∂Ω mà |x − π(x)| = δ(x) Khi ta có ánh xạ π : Ω → ∂Ω Vì Ω có biên trơn lớp C , điểm π(x) ∈ ∂Ω mà |x − π(x)| = δ(x) xác định x đủ gần biên Ta định nghĩa hàm g : Ω × Ω → R g(x, y) = 2log dH (π(x), π(y)) + h(x) ∨ h(y) , h(x)h(y) (1.2) h(x) := δ(x)1/2 với x ∈ Ω, a ∨ b := max{a, b} dH metric Carnot-Carathéodory ∂Ω 1.3 Metric Finsler Cho Ω miền Cn Ánh xạ liên tục F : Ω × Cn → R+ xác định F (x, tz) = |t|F (x, z), với x ∈ Ω, t ∈ C, z ∈ Cn gọi metric Finsler Ω Hàm khoảng cách dF liên kết với F xác định dF (x, y) = inf{F − length(γ)}, γ : [0; 1] → Ω đường cong trơn khúc lớp C cho γ(0) = x, γ(1) = y F (γ(t), γ (t))dt F − length(γ) = 1.4 Metric Kobayashi Cho D đĩa đơn vị C, Ω miền Cn Nếu f : D → Ω ánh xạ chỉnh hình ta kí hiệu Df (z) ánh xạ vi phân điểm z ∈ D Metric Kobayashi K Ω metric vi phân xác định bởi: Với x ∈ Ω, z ∈ Cn K(x, z) = inf{|v| : f ∈ Hol(D, Ω), f (0) = x, Df (0)(v) = z}, Hol(D, Ω) kí hiệu tập ánh xạ chỉnh hình từ D vào Ω Theo kết Royden, metric Kobayashi hàm nửa liên tục trên Ω × Cn Khoảng cách Kobayashi dK hàm khoảng cách liên kết với metric Kobayashi K Tức dK = inf{K − length(γ)}, γ : [0; 1] → Ω đường cong trơn khúc lớp C cho γ(0) = x, γ(1) = y K(γ(t), γ (t))dt K − length(γ) = 1.5 Không gian hyperbolic Gromov Một không gian metric X gọi trắc địa hai điểm x, y thuộc X nối đoạn trắc địa, kí hiệu [x, y] Khơng gian trắc địa gọi δ − hyperbolic với tam giác trắc địa [x, y] ∪ [y, z] ∪ [x, z] X điểm p ∈ [x, y], ta có: dist(p, [y, z] ∪ [x, z]) ≤ δ Định nghĩa 1.5.1 Cho (M, | · |) không gian metric, với x, y, p ∈ M Ta định nghĩa tích Gromov hai điểm x y X ứng với p, kí hiệu (x | y)p 2(x | y)p = |x − p| + |y − p| − |x − y| Tích Gromov có tính chất sau: • (x | y)p = (y | x)p , (x | y)y = (x | y)x = • |x − y| = (x | z)y + (y | z)x • ≤ (x | y)p ≤ |x − p| ∧ |y − p| • |(x | y)p − (x | y)q | ≤ |p − q| • |(x | y)p − (x, z)p | ≤ y − z Ta có định nghĩa sau không gian hyperbolic Gromov Định nghĩa 1.5.2 Cho M, | · |) không gian metric, ta nói M hyperbolic Gromov (hay δ − hyperbolic) tồn số δ ≥ cho (x | z)p ≥ (x | y)p ∧ (y | z)p − δ, với x, y, z, p ∈ M , a ∧ b = min{a, b} (1.3) Tiếp theo, ứng dụng kết Bổ đề 2.1.3 Cụ thể sử dụng (1.1), (2.4), (2.11) α đường cong ngang nhận với t, ta có | α(t)|2 |αH (t)|2 Lρ (α(t); αH (t)) F (γ(t); γ (t)) ≤ C =C ≤C δ(y) δ(y) δ(y) Lấy tích phân vế ta dF (x , y) ≤ F −length(γ) ≤ C dH (p, q) Lρ −length(α) ≤ C h(y) h(y) Nhắc lại dH (p, q) ≤ h(y), dF (x , y) ≤ C Dùng (2.31), ta nhận h(y) h(x) dF (x, y) ≤ dF (x, x ) + dF (x , y) ≤ log + C Trường hợp 4: x, y ∈ N, h(x) ∨ h(y) < dH (p, q) Ta có g(x, y) = log Đặt h0 := √ dH (p, q) h(x)h(y) ± C (2.32) ε0 ∧ dH (p, q), a ∧ b = min{a, b} lấy x = p − h20 n(p), y = q − h20 n(q) Chú ý CdH (p, q) ≤ h0 ≤ dH (p, q) Như trường hợp trường hợp 3, ta có dF (x, x ) ≤ log h(x ) h(x) + C = log h0 h(x) + C, dF (y, y ) ≤ log h(y ) h(y) + C = log h0 h(y) + C Hơn nữa, tương tự trường hợp 3, ta thấy dF (x , y ) ≤ C Do h0 dF (x, y) ≤ log + C h(x)h(y) Từ h0 ≤ dH (p, q) (2.32), vế thứ hai bất đẳng thức (2.28) chứng minh 23 Để chứng minh vế thứ bất đẳng thức (2.28), ta xét đường cong trơn lớp C γ : [0, 1] → Ω với γ(0) = x, γ(1) = y Với đường cong γ vậy, ta xác định H := maxz∈γ h(z) Tồn t0 ∈ [0, 1] cho H = h(γ(t0 )) Xét hai đường cong nhỏ γ1 = γ|[0,t0 ] γ2 = γ|[t0 ,1] Có hai khả xảy Nếu H ≥ h0 , ta nhận từ Bổ đề 2.1.7 trường hợp F −length(γ1 ) ≥ log h0 h(x) − C, F −length(γ2 ) ≥ log h0 h(y) − C Do đó, từ h0 ≥ CdH (p, q), F −length(γ) ≥ log dH (p, q) h(x)h(y) − C (2.33) Khả khác H < h0 Ta có γ1 ∪ γ2 = γ ⊆ N Lấy α = π ◦ γ hình chiếu γ lên biên Vì h(x) ≤ H, tồn k ∈ N, k ≥ cho 2−k H < h(x) ≤ 2−(k−1) H Xét đường cong γ1 xác định = s0 ≤ s1 < < sk ≤ t0 sau: Cho s0 = sj = min{s ∈ [0, t0 ] : h(γ(s)) = 2−(k−j) H}, với j = 1, , k Đặt xj = γ(sj ) pj = π(xj ) với j = 0, , k Chú ý 1≤ h(xj ) ≤ 2, h(xj−1 ) với j = 1, , k Ta xét hai trường hợp xảy Trường hợp đầu tiên, ta giả sử tồn số l ∈ {1, , k} cho dH (pl−1 , pl ) > 2−(k−l) dH (p, q) Xác định số κ > cho κ−1 = [2−(k−l) dH (p, q)] < dH (pl−1 , pl ) 24 Khi với t ∈ [sl−1 , sl ], ta có h(γ(t)) ≤ 2−(k−l) H ≤ 2−(k−l) dH (p, q) ≤ 8/κ Vì − C1 δ(x)s ≥ 1/2, với x ∈ N từ (2.1) Bổ đề 2.1.4, ta nhận sl F −length(γ|[sl−1 ,sl ] ) ≥ C sl−1 k−l |αN (t)|2 Lρ (α(t); αH (t)) + h(γ(t)) h(γ(t))2 1/2 dt sl ≥C (Lρ (α(t); αH (t)) + κ2 |αN (t)|2 )1/2 dt H sl−1 2k−l ≥C dκ (pl−1 , pl ) H Ở dκ metric có từ bổ đề xấp xỉ Áp dụng bổ đề cho ta công thức F −length(γ|[sl−1 ,sl ] ) ≥ C dH (p, q) H (2.34) Cho t1 := sk ≤ t0 Như hệ Bổ đề 2.1.7 công thức (2.34), ta có F −length(γ|[0,t1 ] ) = F −length(γ|[0,sl−1 ] ) + F −length(γ|[sl−1 ,sl ] ) + F −length(γ|[sl ,sk ] ) h(xl−1 ) dH (p, q) h(xk ) ≥ log +C + log −C h(x0 ) H h(xl ) h(xk ) dH (p, q) +C −C = log h(x0 ) H H dH (p, q) = log +C − C h(x) H Trường hợp thứ hai dH (pj−1 , pj ) ≤ 2−(k−j) dH (p, q), với j = 1, , k Từ suy k dH (p, π(γ(t1 ))) ≤ dH (pj−1 , pj ) ≤ dH (p, q) j=1 25 Mặt khác, Bổ đề 2.1.7 ta lại nhận công thức trước H h(x) F −length(γ|[0,t1 ] ) ≥ log − C Từ lập luận ta nhận hai khả sau H h(x) F −length(γ|[0,t1 ] ) ≥ log +C dH (p, q) − C, H (A1) F −length(γ|[0,t1 ] ) ≥ log H h(x) − C dH (p, π(γ(t1 ))) ≤ dH (p, q), (A2) t1 ∈ [0, t0 ] Tương tự, thay đường cong γ2 cho đường cong γ1 , ta xác định t2 ∈ [0, 1] cho có khẳng định F −length(γ|[t2 ,1] ) ≥ log H h(y) +C dH (p, q) − C, H (B1) H h(y) − C, dH (q, π(γ(t2 ))) ≤ dH (p, q) (B2) Ta giả sử (A2) (B2) xảy lúc Khi F −length(γ|[t2 ,1] ) ≥ log dH (π)(γ(t1 )), π(γ(t2 ))) ≥ dH (p, q) − dH (p, π(γ(t1 ))) − dH (q, π(γ(t2 ))) ≥ dH (p, q) Một lần ta áp dụng bổ đề xấp xỉ (tương tự cho trường hợp l = k ), ta thu kết luận sau: F −length(γ|[t1 ,t2 ] ) ≥ C dH (p, q) H Do F −length(γ) = F −length(γ|[0,t1 ] ) + F −length(γ|[t1 ,t2 ] ) + F -length(γ|[t2 ,1] ) ≥ log H h(x)h(y) 26 dH (p, q) +C − C H (2.35) Bất đẳng thức (có thể thay đổi số C thích hợp cần thiết) (A1) (B1) (A1) (B2) (A2) (B1) đồng thời xảy Nói cách khác (2.35) trường hợp Tính toán cho vế phải biểu thức (2.35) hàm H có cực tiểu H với CdH (p, q) Điều cho ta cận F −length(γ) ≥ log dH (p, q) h(x)h(y) − C (2.36) Nếu ta lấy infimum theo tất đường cong γ , từ (2.33), (2.36) (2.32), ta suy dF (x, y) ≥ g(x, y) − C Ta xét hết tất khả xảy cho x y , (2.28) định lý chứng minh Mệnh đề sau trình bày đánh giá tương tự Định lý 2.1.1 metric Kobayashi Mệnh đề 2.1.8 [1] Cho Ω ⊆ C n , n ≥ miền giả lồi chặt, bị chặn với biên trơn lớp C Nếu K metric Kobayashi Ω với ε ≥ 0, tồn ε0 > số C ≥ cho với x ∈ Nε0 (∂Ω) ∩ Ω z ∈ Cn , ta có (1 − Cδ 1/2 Lρ (π(x); zH ) |zN |2 + (1 − ε) (x) 4δ (x) δ(x) 1/2 |zN |2 Lρ (π(x); zH ) ≤ (1 + Cδ 1/2 (x)) + (1 + ε) 4δ (x) δ(x) ≤ K(x; Z) (2.37) 1/2 Chứng minh Gọi KΩ∩B(π(x),r) metric Kobayashi giao Ω với hình cầu có tâm điểm biên Khi tồn số ε1 > 0, r > C > cho với x ∈ Ω mà δ(x) < ε1 z ∈ Cn , ta có e−Cδ(x) KΩ∩B(π(x),r) (x, z) ≤ KΩ (x, z) ≤ KΩ∩B(π(x),r) (x, z) (2.38) Từ (2.38), ta đánh giá metric Kobayashi miền địa phương Ω ∩ B(π(x), r) Để làm điều ta sử dụng hàm song chỉnh hình Ψ : Ω ∩ B(π(x), r) → Cn , với Ψ(x) = cho công thức (2.10) [16,p.333] Cũng theo lập luận [16], ta có B(0, e−Cδ 1/2 (x) ) ⊆ Ψ(Ω ∩ B(π(x), r)) ⊆ B(0, eCδ 27 1/2 (x) ), (2.39) với số không đổi C = C(Ω) Ta giả sử Hπ(x) ∂Ω = {0} × Cn−1 Vì ∂Ω trơn lớp C , ta E− ⊆ Ψ(Ω ∩ B(π(x), r)) ⊆ E+ , (2.40) E± hai elipsoid phức cho E+ = {y ∈ Cn : e−Cδ 1/2 (x) |y1 |2 + e−ε (|y2 |2 + + |yn |2 ) < 1} E− = {y ∈ Cn : eCδ 1/2 (x) |y1 |2 + eε (|y2 |2 + + |yn |2 ) < 1} Công thức (2.37) suy từ (2.40) cách lập luận tương tự [16, pp.335-336] Từ mệnh đề trên, ta có hệ sau: Hệ 2.1.9 [1] Cho Ω ⊆ Cn , n ≥ miền giả lồi chặt, bị chặn có biên trơn lớp C Nếu dK giả khoảng cách Kobayashi Ω tồn số C > cho với x, y ∈ Ω, ta có g(x, y) − C ≤ dK (x, y) ≤ g(x, y) + C 2.2 Tính hyperbolic Gromov miền giả lồi chặt Một tập A không gian metric X gọi k-cobounded với k ≥ điểm x ∈ X có khoảng cách k từ A Nếu A k-cobounded với k ≥ 0, ta nói A cobounded Ta có định nghĩa sau: Định nghĩa 2.2.1 [1] Cho f : X → Y ánh xạ (không cần thiết phải liên tục) hai không gian metric X Y số k ≥ 0, λ ≥ Giả sử f (X) k-cobounded Y • Ta nói f k-đẳng cự thô |x − y| − k ≤ |f (x) − f (y)| ≤ |x − y| + k, với x, y ∈ X • Ta nói f (λ, k)−đồng dạng thơ λ|x − y| − k ≤ |f (x) − f (y)| ≤ λ|x − y| + k, với x, y ∈ X 28 (2.41) • Ta nói f (λ, k)−tựa đẳng cự tho (1/λ)|x − y| − k ≤ |f (x) − f (y)| ≤ λ|x − y| + k, với x, y ∈ X Định nghĩa 2.2.2 [1] Cho f : X → Y song ánh không gian metric X, Y Giả sử λ ≥ 1, α > số, • Ta nói f λ−song Lipschitz (1/λ)|x − y| ≤ |f (x) − f (y)| ≤ λ|x − y|, với x, y ∈ X • Ta nói f (α, λ)−snowflake (1/λ)|x − y|α ≤ |f (x) − f (y)| ≤ λ|x − y|α , với x, y ∈ X • Ta nói f (α, λ)−tựa đối xứng có bậc với điểm phân biệt x, y, z ∈ X, |f (x) − f (z)| ≤ ηα,λ |f (x) − f (y)| |x − z| , |y − z| ta kí hiệu ηα,λ (t) = λt1/α < t < 1, λtα t ≥ Cho không gian hyperbolic Gromov X, ta định nghĩa tập biên ∂G X sau: Cố định điểm sở w ∈ X Một dãy (xi ) X nói hội tụ vơ lim (xi , xj )w = ∞ i,j→∞ Hai dãy (xi ) (yi ) hội tụ vô gọi tương đương lim (xi , yi )w = ∞ i→∞ Khái niệm không phụ thuộc vào việc chọn điểm sở Tập biên ∂G X xác định tập lớp tương đương dãy hội tụ vô 29 Với a, b ∈ ∂G X w ∈ X , ta định nghĩa (a, b)w = sup lim inf(xi , yi )w ∈ (0, ∞], i→∞ supremum lấy tất dãy (xi ) (yi ) tương ứng với hai điểm biên phân biệt a, b Biên ∂G X mang lớp tắc metric Với metric d thuộc lớp này, tồn ε > w ∈ X cho d(a, b) exp(−ε(a, b)w ), với a, b ∈ ∂G X (2.42) g hai hàm tồn số C ≥ Ở ta viết f cho (1/C)f ≤ g ≤ Cf Hai metric d1 d2 lớp tắc tương đương snowflake, tức ánh xạ đồng id : (∂G X, d1 ) → (∂G X, d2 ), ánh xạ snowflake Ta định nghĩa tôpô X ∪ ∂G X mà xác định compact hóa khơng gian tơpơ X Tơpơ hạn chế ∂G X giống với tôpô xác định lớp metric tắc biên Mối quan hệ ánh xạ hai định nghĩa xét không gian hyperbolic Gromov thể mệnh đề sau: Mệnh đề 2.2.3 [6] Giả sử f : X → Y tựa đẳng cự tho không gian hyperbolic Gromov X Y Khi f cảm sinh ánh xạ ∼ ∼ tựa đối xứng có bậc f : ∂G X → ∂G Y Nếu f đồng dạng thơ f ánh xạ snowflake Nếu f đẳng cự thô biên ∂G X ∂G Y ∼ trang bị metric thỏa mãn bất đẳng thức (2.42) với ε > 0, f song Lipschitz Từ Hệ 2.1.9 ta suy tính hyperbolic Gromov miền giả lồi chặt trang bị khoảng cách Kobayashi Ta có định lý sau: Định lý 2.2.4 [1] Cho Ω ∈ Cn , n ≥ miền giả lồi chặt, bị chặn với biên trơn lớp C Nếu dK khoảng cách Kobayashi Ω, khơng gian metric (Ω, dK ) hyperbolic theo nghĩa Gromov Biên ∂G Ω (Ω, dK ) không gian hyperbolic Gromov đồng với biên Euclid ∂Ω Metric Carnot-Carathéodory dH ∂Ω nằm lớp tắc metric tương đương snowflake ∂G Ω 30 Chứng minh Trước hết ta chứng minh (Ω, dK ) hyperbolic Gromov Giả sử, ta có số rij > cho rij = rji rij ≤ rik +rkj với i, j, k ∈ {1, 2, 3, 4} Khi r12 r34 ≤ 4((r13 r24 ) ∨ (r14 r23 )) Để thấy điều ta giả sử r13 số nhỏ số rij xuất bên vế phải bất đẳng thức Khi r12 ≤ r13 + r32 ≤ 2r23 r34 ≤ r31 + r14 ≤ 2r14 , suy ta có bất đẳng thức Bây cho xi , i ∈ {1, 2, 3, 4} bốn điểm tùy ý Ω, gọi pi = π(xi ) hình chiếu chúng lên biên hi = δ(xi )1/2 chiều cao chúng Đặt dij = dH (pi , pj ) rij = dij + hi ∨ hj Khi (d1,2 + h1 ∨ h2 )(d3,4 + h3 ∨ h4 ) ≤ 4((d1,3 + h1 ∨ h3 )(d2,4 + h2 ∨ h4 )) ∨ ((d1,4 + h1 ∨ h4 )(d2,3 + h2 ∨ h3 )) Theo Hệ 2.1.9, công thức trở thành dK (x1 , x2 ) + dK (x3 , x4 ) ≤ (dK (x1 , x3 ) + dK (x2 , x4 )) ∨ (dK (x1 , x4 ) + dK (x2 , x3 )) + C, C số khơng phụ thuộc vào điểm Vì ta suy (Ω, dK ) không gian hyperbolic Gromov Từ định nghĩa Hệ 2.1.9 ta suy dãy (xi ) (Ω, dK ) hội tụ vô dãy (π(xi )) hội tụ h(xi ) → i → ∞ Điều xảy (xi ) hội tụ (đối với metric Euclid) đến điểm ∂Ω Hơn hai dãy hội tụ vô gọi tương đương điểm giới hạn chúng ∂Ω giống Mỗi điểm thuộc ∂Ω xem điểm giới hạn dãy hội tụ vơ Cho ứng lớp tương đương dãy Ω hội tụ vô với điểm giới hạn dãy lớp đó, đồng biên Gromov ∂Ω với biên Euclid (như tập hợp) 31 Định nghĩa tích Gromov cho điểm biên Hệ 2.1.9 rằng, chọn điểm sở w ∈ Ω, ta có dH (a, b) exp(−(a, b)w ), với a, b ∈ ∂Ω (2.43) Điều rằng, metric Carnot-Carathéodory dH nằm lớp tắc metric tương đương snowflake ∂G Ω = ∂Ω Sau ví dụ lớp miền giả lồi mà không hyperbolic Gromov với metric Kobayashi Mệnh đề 2.2.5 Cho Ω1 ⊆ Cn1 , Ω2 ⊆ Cn2 , n1 , n2 ≥ 2, miền giả lồi chặt, bị chặn với biên trơn lớp C Khi miền tích Ω := Ω1 × Ω2 ⊆ Cn1 +n2 trang bị khoảng cách Kobayashi không hyperbolic Gromov Chứng minh Ta gọi d, d1 , d2 khoảng cách Kobayashi Ω, Ω1 , Ω2 Sử dụng công thức ([17],p.107) d((x1 , y1 ), (x2 , y2 )) = max{d1 (x1 , x2 ), d2 (y1 , y2 )} (2.44) Giả sử (Ω, d) không gian hyperbolic Gromov Ta có cơng thức (1.3) đạt với với δ > Gán k := + 2δ chọn hai điểm x1 , x2 ∈ Ω1 cho d1 (x1 , x2 ) = 2k Chọn điểm thứ ba x3 ∈ Ω1 cho k ≤ d1 (x1 , x3 ) ≤ d1 (x3 , x2 ) ≤ k + (2.45) Cố định y1 ∈ Ω2 xét ba điểm x = (x1 , y1 ), y = (x2 , y1 ), p = (x3 , y1 ) ∈ Ω Sử dụng (2.44) (2.45) thấy tích Gromov (x | y)p thỏa mãn (x | y)p ≤ Chọn điểm thứ tư z ∈ Ω, z = (x3 , y2 ), y2 ∈ Ω2 cho d2 (y1 , y2 ) = 2k Sử dụng (2.44), ta có d(z, p) = d(z, x) = d(z, y) = 2k Từ lấy tương ứng tích Gromov, ta nhận k (z | x)p = d(x, p) ≥ 2 (2.46) k (z | y)p = d(y, p) ≥ 2 Theo công thức (1.3): k −δ = 2 Trái giả thiết (x | y)p ≤ Vậy mệnh đề chứng minh (x | y)p ≥ (x | z)p ∧ (z | y)p − δ = 32 Theo Định lý 2.2.4, ta áp dụng kết tổng quát cho trường hợp không gian metric ta miền giả lồi chặt trang bị hàm khoảng cách Kobayashi Từ ta có kết sau: Hệ 2.2.6 [1] Cho Ω1 , Ω2 ⊆ Cn , n ≥ miền giả lồi chặt bị chặn với biên trơn lớp C Cho f : Ω1 → Ω2 ánh xạ liên tục tựa đẳng cự tho hàm khoảng cách Kobayashi miền Khi f có mở rộng liên tục f : Ω1 → Ω2 cho ánh xạ cảm sinh lên biên ∼ f := f |∂Ω1 : ∂Ω1 → ∂Ω2 , tựa đối xứng có bậc metric Canot-Carathéodory ∼ Hơn nữa, f đồng dạng thơ f ánh xạ snowflake, f ∼ đẳng cự thơ f song Lipschitz Đối với trường hợp ánh xạ riêng, có hệ sau: Hệ 2.2.7 [1] Cho Ω1 , Ω2 ⊆ C2 , n ≥ miền giả lồi chặt, bị chặn với biên trơn lớp C , cho f : Ω1 → Ω2 ánh xạ chỉnh hình riêng Khi f mở rộng liên tục đến ánh xạ f : Ω1 → Ω2 với f (∂Ω1 ) ⊆ ∂Ω2 Ánh xạ cảm sinh ∼ f := f |∂Ω1 : ∂Ω1 → ∂Ω2 , ánh xạ Lipschitz ta trang bị metric Carnot-Carathéodory lên biên miền Chứng minh Cho f : Ω1 → Ω2 ánh xạ chỉnh hình riêng Với i ∈ {1, 2}, đặt δi (x) = dist(x, ∂Ωi ), với x ∈ Cn Giả sử Ki metric Kobayashi Ωi di hàm khoảng cách liên kết với Ki , gọi diH metric Carnot-Carathéodory ∂Ωi Khi với x ∈ Ω1 z ∈ Cn ta có K2 (f (x); Df (x)z) ≤ K1 (x, z) Ở Df (x) ánh xạ tiếp xúc ánh xạ f x Điều suy ra, với x, y ∈ Ω1 , ta có d2 (f (x), f (y)) ≤ d1 (x, y) 33 (2.47) Do f ánh xạ riêng nên tồn số C1 ≥ cho x ∈ Ω1 , ta có (1/C1 )δ1 (x) ≤ δ2 (f (x)) ≤ C1 δ1 (x) (2.48) Từ Hệ 2.1.9 bất đẳng thức (2.47) (2.48) kết luận tồn số C2 ≥ cho x, y ∈ Ω1 ta có d2H (π(f (x)), π(f (y))) ≤ C2 (d1H (π(x), π(y)) +δ1 (x)1/2 ∨ δ2 (y)1/2 ) (2.49) Từ (2.48) (2.49) ta thấy với dãy thuộc Ω1 hội tụ đến điểm ∂Ω1 , ảnh qua f hội tu đến điểm ∂Ω2 Hơn dãy ảnh hai dãy Ω1 hội tụ đến điểm biên ∂Ω1 , hội tụ đến điểm biên ∂Ω2 Điều kéo theo f có mở rộng (cũng gọi f ) đến Ω1 liên tục metric Euclid Hơn nữa, f (∂Ω1 ) ⊆ ∂Ω2 từ (2.49), ta có với a, b ∈ ∂Ω1 ta nhận d2H (f (a), f (b)) ≤ C2 d1H (a, b) Điều kéo theo ánh xạ biên Lipschitz biên miền trang bị metric Canot-Carathéodory 34 Kết luận Luận văn “Tính hyperbolic Gromov metric Kobayashi miền giả lồi chặt” trình bày kết sau: - Làm rõ khái niệm không gian hyperbolic Gromov trình bày số ví dụ cụ thể khơng gian hyperbolic Gromov - Từ ước lượng địa phương biết cho metric Finsler miền giả lồi chặt với biên trơn lớp C dẫn đến ước lượng cho hàm khoảng cách liên kết tương ứng (Định lý 2.1.1) - Trình bày ước lượng cho hàm khoảng cách tương ứng với metric Kobayashi miền giả lồi chặt với biên trơn lớp C (Mệnh đề 2.1.7) - Tính hyperbolic Gromov miền giả lồi chặt trang bị khoảng cách Kobayashi (Định lý 2.2.4) - Một ví dụ lớp miền giả lồi mà không hyperbolic Gromov (Mệnh đề 2.2.5) 35 Tài liệu tham khảo [1] Balogh Z, Bonk M (2000), “Gromov hyperbolicity and the Kobayashi metric on strictly pseudoconvex domains”, Comment Math Helv.75, 504 - 533 [2] Balogh Z, Buckley S (2003),“Geometric characterizations of Gromov hyperbolicity”, Invent Math, 153: 261-301 [3] Balgoh Z, Bonk M (1999), “Pseudoconvexity and Gromov hyperbolicity”, C R Acad Sci Paris Sér I Math, 328: 579 -602 [4] Alexander Nagel (2003), “Introduction to analysis on Carnot-Carathéodory spaces”, Summer School in Harmonic Analysis, 1-6 [5] Bertrand F & Gaussier H [6] Boskoff G, Odom H L, Suceava D B (2012), “An Elementary View on Gromov Hyperbolic Spaces”, Forum Geometricorum Volume 12, 283 286 [7] Bonk M, Schramm O (2000), “Embeddings of Gromov hyperbolic space”, Geom.Funct, Anal 10, no2: 266-306 [8] Foertsch T, Schroeder V (2005), “A product construction for hyperbolic metric spaces”, Illinois J Math, 49, no3: 793-810 [9] Wenger S (2005), “Gromov hyperbolic spaces and the sharp isoperimetric constan”, Invent, Math 171, no1: 227-255 [10] Bonk M, Heinonen J, Koskela P (2001), “Uniformizing Gromov hyperbolic spaces”, Asterisque 270 [11] Federer H (1959), “Curvature measures”, Trans Amer Math Soc 93, 418-491 36 [12] Krantz S G, Parks H R (1981), “Distance to C k hypersurfaces”, J Diff Equ 40, 116-120 [13] Nagel A, Stein E M, Wainger S (1985), “Balls and metrics defined by vector fields I Basic properties”, Acta Math 155, 103–147 [14] Bellaăiche A (1996), The tangent space in sub-Riemannian geometry, Math 144, pp 1–78 [15] Gromov M (1996), “Carnot-Carathéodory spaces seen from within”, Math 144, pp 79–323 [16] Ma D (1992), “Sharp estimates of the Kobayashi metric near strongly pseudoconvex points”, Contemporary Math 137 Amer Math Soc, pp 329–339 [17] Jarnicki M, Pflug P (1993), “Invariant Distances and Metrics in Complex Analysis”, Expo in Math 9, p.107 37 ... 2: Tính hyperbolic Gromov metric Kobayashi miền giả lồi chặt 2.1 Một ước lượng cho hàm khoảng cách tương ứng với metric Kobayshi miền giả lồi chặt với biên trơn lớp C2 2.2 Tính hyperbolic Gromov. .. ))+C Do Con(Z) hyperbolic Gromov Chương Tính hyperbolic Gromov metric Kobayashi miền giả lồi chặt 2.1 Một ước lượng cho hàm khoảng cách tương ứng với metric Kobayshi miền giả lồi chặt với biên... luận văn, trình bày tính hyperbolic Gromov metric Kobayashi miền giả lồi chặt Phần đầu chương trình bày ước lượng cho hàm khoảng cách tương ứng với metric Kobayashi miền giả lồi chặt với biên trơn