skkn một số kinh nghiệm sử dụng bất đẳng thức trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, 9 tại trường THCS lương thế vinh

Để thực hiện được nhiệm vụ là môn khoa học cơ bản, nền tảng cho nhiều môn khoa học khác phát triển thìphương pháp dạy học môn Toán ở trường trung học cơ sở phải luôn gắn liền việcdạy học

Phần thứ nhất: MỞ ĐẦU

I ĐẶT VẤN ĐỀ.

Lí do lý luận: Như chúng ta đã biết, môn Toán học là một môn khoa học tựnhiên không thể thiếu trong đời sống mọi mặt của con người Với một xã hội màkhoa học kỹ thuật ngày càng phát triển như hiện nay thì môn toán lại càng đóng vaitrò quan trọng trong việc nghiên cứu khoa học nói riêng Để thực hiện được nhiệm

vụ là môn khoa học cơ bản, nền tảng cho nhiều môn khoa học khác phát triển thìphương pháp dạy học môn Toán ở trường trung học cơ sở phải luôn gắn liền việcdạy học kiến thức, kĩ năng với việc giáo dục, rèn luyện con người, song hành việcphát triển trí tuệ của học sinh và kĩ năng vận dụng các kiến thức đã học vào thực tế.Như vậy, người giáo viên sẽ đóng một vị trí quan trọng trong việc hướng dẫn, tổchức điều khiển học sinh tiếp cận, lĩnh hội kho tàng tri thức của nhân loại Khi đóthông qua hoạt động dạy và học nói chung, qua việc học toán nói riêng, đặc biệt làqua hoạt động giải bài tập toán giúp học sinh rèn luyện việc ghi nhớ - lưu giữ và táihiện kiến thức Nghĩa là học sinh hồi tưởng, nhớ lại, biết lựa chọn, kết hợp và vậndụng các kiến thức đã học một cách phù hợp trong việc giải quyết các bài toán Qua

đó rèn trí thông minh, sự sáng tạo, tính tích cực nhằm phát triển năng lực trí tuệtoàn diện cho học sinh

Lí do thực tiễn: Qua thực tế giảng dạy môn Toán THCS nói chung và mônToán lớp 8, 9 nói riêng, môn Toán luôn tạo ra những những điều thú vị đầy bí ẩnriêng biệt Để am hiểu cặn kẽ những điều này, đòi hỏi người học phải luôn có sựđam mê khám phá, tìm hiểu Những kiến thức ở mức độ căn bản của bộ mônthường yêu cầu tất cả người học phải nắm được Những kiến thức mở rộng, nângcao, luôn tạo ra nhiều cơ hội mới cho tất cả những ai có lòng say mê bộ môn, cótính kiên trì, nghị lực, có bản lĩnh vượt khó tìm hiểu và chinh phục Đối với họcsinh THCS bất đẳng thức nói chung là một mảng khó trong chương trình toán.Phần lớn học sinh chưa nắm được phương pháp giải và trình bày bài toán bất đẳngthức Nguyên nhân cơ bản của những khó khăn mà học sinh gặp phải khi giải bàitập bất đẳng thức chính là những lập luận (suy luận) từ những kiến thức lí thuyếttrừu tượng đến những điều kiện cụ thể chuyển thành lời giải của bài toán Trong đóđiều cơ bản của việc dạy cách giải bài tập toán là dạy cho học sinh tự giải nhữngbài tập quen thuộc, cơ bản để từ đó học sinh liên tưởng, tìm tòi, sáng tạo vào trongcác bài tập liên quan hoặc cùng dạng Bồi dưỡng, phát triển trí tuệ và năng lực hoạtđộng sáng tạo của học sinh là nhiệm vụ trọng tâm của mỗi giáo viên và các trườnghọc Trong công tác bồi dưỡng hoc sinh giỏi việc chọn lọc học sinh giỏi trong độituyển là khâu hết sức quan trọng và việc chọn lựa các chuyên đề bồi là việc làmquan trọng nhất Chính vì điều này, tôi đã viết sáng kiến kinh nghiệm tìm hiểu

“Một số kinh nghiệm sử dụng bất đẳng thức trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, 9 tại trường THCS Lương Thế Vinh” trong chương trình Toán lớp 8, 9

nói riêng và vận dụng trong Toán học nói chung với mong muốn được tích lũythêm kiến thức kinh nghiệm cho bản thân trong quá trình giảng dạy, đồng thời nhậnđược thật nhiều các ý kiến góp ý của các thầy cô đồng nghiệp trong và ngoài nhàtrường để SKKN này được trọn vẹn hơn nữa Có lẽ rằng nhiều ý kiến của tôi nêu ra

sẽ là quá cũ, quá quen thuộc, song tôi luôn hy vọng rằng nó sẽ góp được một điềunhỏ bé nào đó cho mỗi chúng ta trong quá trình giảng dạy mảng kiến thức này Đây

là mong muốn và cũng là lí do giúp tôi chọn nghiên cứu SKKN này

II Mục đích nguyên cứu.

Trước khi thực hiện SKKN này tôi nhận thấy ở trường nhiều em học sinh giỏi

dự thi kì thi cấp tỉnh đều đạt kết quả rất thấp mọi kì vọng các thầy cô về học sinh

dự thi không như mong đợi dẫn đến các em khóa sau ngại thi bộ môn toán vì thànhtích trường không cao so các môn khác Các em thấy những bài thầy cô có dạy qua

mà mình không làm được cảm thấy ngại với thầy cô vì thầy cô bỏ tâm huyết côngsức bồi dưỡng cả năm trời không thu lại thành quả Xuất phát từ nguyên nhân đótôi thống kê lại nguyên nhân vì sau các em thất bại hình thành cho mình một conđường mới trong công tác bồi giỏi Các sáng kiến chuyên đề bồi rộng giáo viên ôntập hết không có thời gian xuất phát từ đó tôi nhận ra rằng các cấu trúc đề thi hiệnnay không chuyên sâu mà dàn trải rộng tập trung ở một số chủ đề chính mà cácSKKN trước đó mang tính chuyên sâu về nội dung từng chủ đề việc người học tiếpthu được là vấn đề rất khó khăn do đó tôi sắp xếp lại cấu trúc các bài vừa sức họcsinh không quá khó theo từng dạng đặc biệt dạng gần gủi với các em nên việc tiếpthu không quá khó theo các mảng theo chuyên đề dẫn đến các em hào hứng học tậphơn với mục tiêu đội ngũ học sinh giỏi Toán của Trường THCS Lương Thế Vinhphải đạt giải cao trong kì thi học sinh giỏi cấp huyện và cấp tỉnh mà bài toán về bấtđẳng thức luôn có đó chính là mục đích nguyên cứu đề tài này

Phần thứ hai: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ.

I Cơ sở lý luận của vấn đề.

Kiến thức về bất đẳng thức được giới thiệu trong chương III đại số 8 Đây là

cơ sở lý luận để nhận biết được bất đẳng thức Nó còn được vận dụng để giải quyếtmột lượng không nhỏ các bài tập liên quan đến bất đẳng thức Giả sử A và B là haibiểu thức bằng số hoặc bằng chữ Khi đó

có khả năng phát triển tư duy, đặc biệt là tư duy sáng tạo trong giải toán.

Kiến thức về bất đẳng thức không chỉ được ứng dụng trong thi học sinh giỏi cáccấp, kì thi đại học mà ngay những bài toán trong các đề kiểm tra một tiết, học kìchúng ta thường xuyên gặp Vì vậy muốn nắm chắc được hệ thống lý thuyết cơ bảnbất đẳng thức học sinh có thể vận dụng để giải quyết rất nhiều bài tập trong chươngtrình THCS

Qua tham khảo một số tài liệu tôi đã cố gắng hệ thống lại một số dạng bài tập

cơ bản liên quan đến bất đẳng thức Ngoài ra, mở rộng đối với một số bài toán lớp8; 9 trong phần bài tập nhằm giúp các em có tư duy sáng tạo trong suy nghĩ Mỗidạng bài tập đều có phần gợi ý nhận xét, định hướng cách giải thông qua kiến thức

áp dụng Mặc dù đã cố gắng để hoàn thành SKKN này, song việc mắc phải nhữngsai sót trong trình bày, trong diễn đạt … là điều không thể tránh khỏi Tôi rất mong

nhận được sự góp ý, bổ sung của quý thầy cô giáo, của các đồng nghiệp và bạn đọc

để SKKN của tôi được hoàn thiện hơn nữa

II Thực trạng vấn đề.

Sau hơn mười năm công tác, bản thân tôi đã tích lũy được những kiến thức vàhọc hỏi từ đồng nghiệp rất nhiều kinh nghiệm quý báu, điều đó đã giúp tôi có nhiềuthuận lợi hơn trong quá trình thực hiện nhiệm vụ giảng dạy được phân công Trongnhững năm gần đây tôi đã được phân công dạy lớp 8,9 Từ năm học 2015 – 2016,tôi bắt đầu có ý tưởng tích lũy một số kiến thức về bất đẳng thức và áp dụng vàodạy các năm học 2015 – 2016; 2016 – 2017; 2017 – 2018; 2018– 2019 Qua thời

gian nghiên cứu, thực hiện viết và áp dụng SKKN “Một số kinh nghiệm sử dụng

bất đẳng thức trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, 9 tại trường THCS Lương Thế Vinh – Huyện Krông Ana – Tỉnh Đăk Lăk”, bản thân tôi tiếp tục trao

đổi với những giáo viên đã và đang giảng dạy khối 8, 9 để tích lũy thêm cho SKKNnày Qua đó, tôi thấy:

Trước khi tiến hành nguyên cứu đề tài tôi tiến hành khảo sát đội ngủ học sinhgiỏi dự thi cấp huyện khảo sát về các bài toán về bất đẳng thức thì 100% học sinhkhông làm được, lấy ý kiến thì các em còn mơ hồ về bất đẳng thức trong khi đó hầuhết các đề thi cấp huyện đều có một bài bất đẳng thức, đặc biệt đề thi cấp tỉnh luôn

có một bài toán bất đẳng thức chính vì lý do đó mà cá nhân tôi mạnh dạn thực hiện

đề tài nguyên cứu này nhằm giúp các em đạt giải cao trong các kì thi huyện tỉnh vàgần như chiếm trọn vẹn điểm về mảng bất đẳng thức

SKKN này được chuẩn bị, thử nghiệm và hoàn thành trong một khoảng thờigian tương đối dài, được sự trao đổi về kiến thức cũng như kinh nghiệm với cácđồng nghiệp, nên bản thân tôi đã phần nào tự tích lũy cho mình một vốn kiến thứcnho nhỏ đảm bảo cho SKKN hôm nay Với lượng kiến thức này tuy chưa đầy đủsong có thể đã đáp ứng được mục tiêu của SKKN đề ra Đồng thời thu hút thêm sựđóng góp ý kiến, nhận xét của mọi người để SKKN hoàn thiện hơn

Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành SKKN, bên cạnh những mặt thuận

lợi cũng có nhiều những khó khăn phải kể đến Trước hết, chú trọng rèn luyệnnhiều ở phương pháp dạy học Theo thời gian, việc tiếp tục nghiên cứu nội dungnày có phần khó khăn vì công tác bồi mỗi năm một khối lớp khác nhau Do đó việcthử nghiệm, so sánh kết quả của SKKN này có phần không được thuận lợi nhưmong muốn Mặt khác, các em học sinh tính tự giác trong học tập đối tự rèn chưacao, vì vậy muốn các em áp dụng kiến thức đã học vào các bài tập cụ thể thì giáoviên sẽ phải trình bày bài tập mẫu, chỉnh sửa, uốn nắn nhiều, có như thế các emmới có thể hiểu và nắm chắc kiến thức được học một cách có hệ thống, giúp các em

có thể tự làm những bài tập tương tự tốt hơn

SKKN được áp dụng trực tiếp vào giảng dạy học sinh giỏi trong nhiều tiếttheo chuyên đề của mảng kiến thức này (những dạng bài tập cơ bản) tại trường đã

đạt kết quả tốt Học sinh nắm kiến thức chắc chắn hơn, chính xác hơn và kĩ năngtrình bày bài làm được cải thiện rõ rệt Đây là tiền đề vững chắc, những thuận lợiđáng kể góp phần thúc đẩy kết quả bồi dưỡng HSG đối với nội dung kiến thức nàycủa bản thân tôi trong thời gian vừa qua.

Học sinh khối 8 mới bắt đầu làm quen bất đẳng thức Vì thế, năng lực tư duylogic của các em chưa phát triển cao, các em phải làm quen với nhiều kí hiệu toánhọc và các thuật ngữ mới cũng như lượng kiến thức lí thuyết tương đối nhiều Dovậy, việc áp lý thuyết để làm bài tập toán về bất đẳng thức nói riêng đối với các em

là một điều khó Hầu hết chỉ có các học sinh giỏi mới có thể tự làm đúng hướng vàtrọn vẹn yêu cầu của bài toán Còn hầu hết các học sinh khá lúng túng không biếtcách làm, cách thức thực hiện và trình bày lời giải như thế nào là đúng mặc dùđược giáo viên hướng dẫn hoặc đã được trình bày bài tập mẫu

Đây là một vấn đề hay trong toán học, vận dụng được rộng rãi, có giá trị sửdụng lâu dài và có thể tiếp tục mở rộng theo hướng chuyên sâu hơn Nội dung này

là một phần kiến thức tuy ngắn gọn song được bao hàm có thể áp dụng được trựctiếp vào giảng dạy trên lớp cũng như dạy tạo nguồn kiến thức bồi dưỡng HSG

Vấn đề hay, nhiều nội dung nhỏ, đơn giản nhưng dễ mắc sai lầm trong suynghĩ, trong lời giải, trong trình bày, …Vì vậy, đây là một chú ý để chúng ta thậtthận trọng, tự rút kinh nghiệm cho bản thân với mục đích cuối cùng là đạt được kếtquả cao về nội dung của SKKN đề ra

Thực tế cho thấy có nhiều nguyên nhân, nhiều yếu tố tác động tạo nên

những khó khăn, hạn chế nêu trên Trước hết phải kể đến là ý thức tự giác tronghọc tập của người học chưa cao, khả năng tự học, tự rèn của học sinh hiện nay giảmsút nhiều Nhiều học sinh thông minh nhưng ngại va chạm ý thức vươn lên chưacao Các em ít có những suy nghĩ, trăn trở khi làm bài tập khó hoặc khi làm bài tậpsai thì động lực để các em quyết tâm tự làm lại cho đúng chưa nhiều Một điều nữa

là việc lưu giữ (quá trình ghi nhớ), tái hiện (trình bày bằng lời hoặc viết) của họcsinh chưa tốt, các em lười làm bài tập ở nhà, Trong mảng kiến thức về bất đẳngthức, các em tỏ ra lúng túng khi lập luận, khi trình bày một số dạng bài tập nêutrên Vì vậy mà các em quên nhanh nhiều kiến thức cơ bản của phần này dẫn đếnngại làm bài tập Trong khi đó, để học môn toán tốt, nhớ lâu kiến thức thì conđường vô cùng hiệu quả là luyện giải bài tập

III Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề.

Nhằm nâng cao chất lượng học sinh giỏi cấp huyện và cấp tỉnh và chia sẻmột số kinh nghiệm cùng đồng nghiệp nhằm nâng cao chất lượng học sinh giỏitoán trên địa bàn Krông Ana Để đạt được kết quả như mong muốn khi dạy kiếnthức về bất dẳng thức, theo ý kiến chủ quan của bản thân, tôi suy nghĩ và đã thựchiện như sau:

III.1 Trước hết, truyền đạt chính xác, đầy đủ các kiến thức cơ bản của bất đẳng thức trong sách giáo khoa

Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi: x1x2   xn

Mục đích giúp cho học sinh có kiến thức nền tốt Giáo dục được ý thức hamhọc và nghiêm túc trong học tập, nghiêm khắc với bản thân cho học sinh ngay từđầu vì thói quen xấu rất khó bỏ và nề nếp chặt chẽ mau vững bền

III.2 Đưa ra dạng bài tập cơ bản thường hay gặp.

Mục đích cho các em làm bài tập áp dụng trong tiết dạy lý thuyết và trong tiếtdạy luyện tập với các dạng bài tập cụ thể đa dạng từ dễ đến khó có hướng dẫn gợi

mở của giáo viên, được trình bày ngắn gọn có các căn cứ rõ ràng Ngoài ra, có thể

tổ chức thi làm bài nhanh giữa các em, để kích thích tính tích cực, ganh đua tronghọc tập Giao bài tập về nhà đồng thời tăng cường biện pháp để kiểm tra việc họcbài và làm bài ở nhà của học sinh để đảm bảo chất lượng của bài dạy và để tiếnhành loại bỏ học sinh lười học khỏi đội tuyển

III.3 Đưa ra dạng bài có quy tắc để học sinh dễ nhận dạng, không lúng túng khi làm bài trong các kì thi học sinh giỏi các cấp.

Bài 1 Cho các số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a+b+c=3 Chứng minh rằng:

   (Đề thi học sinh giỏi tỉnh Đắk Lắk năm 2018-2019)

Bài giải: Ta luôn có :

(Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1

Bài 2 Chứng minh về mọi số dương a, b, c có a+b+c=3 thì ta có:

  



Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta cũng có:

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1

Nhìn thấy bài tập trên là học sinh nghỉ ngay đến kĩ thuật Cô-Si ngược dấu đểchứng minh được những bài toán mà nếu giải bằng các phương pháp khác sẽ rất dàithậm chí không giải được Bài tập toán muôn hình, muôn vẻ nên với mỗi dạng tuykhông có quy tắc tổng quát hoặc phương pháp làm bài riêng, song sau khi giải hoặchướng dẫn xong giáo viên nên chỉ ra một đặc điểm, một hướng giải quyết nào đó đểkhi gặp bài tương tự, học sinh có thể tự liên hệ và áp dụng được với kiến thức cũ

Giáo viên nên tránh nôn nóng, bỏ qua bước làm chắc cơ bản, cho ngay bàikhó, học sinh mới đầu đã gặp ngay một khó cảm thấy nản chí không đam mê,không nhận ra và ghi nhớ đợt từng đơn vị kiến thức kỹ năng, kết quả là không địnhhình được phương pháp từ đơn giản đến phức tạp, càng học càng hoang mang.Giáo viên không nên coi những bài đơn lẻ không có quy luật chung là quan trọng,cho học sinh làm nhiều hơn và trước những bài có nguyên tắc chung coi những bài

đó mới là tối ưu, kết quả là học sinh bị rối loạn, không học được phương pháp tưduy theo kiểu đúng đắn khoa học và thông thường là: mỗi loại sự việc có mộtnguyên tắc giải quyết, chỉ cần nắm vững một số nguyên tắc là giải quyết được hầuhết các sự việc

Mục đích hướng dẫn phương pháp học tập đặc trưng của bộ môn cho học sinh

là học ngay tại lớp, thường xuyên ôn lại kiến thức và rèn luyện làm bài tập nhiều,hiệu quả để khắc sâu kiến thức giúp các em tốn ít thời gian nhất mà nhớ lâu, vậndụng tốt

III.4 Lựa chọn một số kỹ thuật cơ bản trong phép biến đổi tương đương thường hay ra trong đề thi học sinh giỏi các cấp những năm gần đây

Phân tích: Các bất đẳng thức dưới đây khá quen thuộc, ta có thể giải bằng

cách xét hiệu vế trái và vế phải rồi phân tích thành tổng các bình phương

Bài 1 Cho a, b, c là các số thực bất kì Chứng minh

    

( Đề thi học sinh giỏi toán 9 huyện Krông Ana năm học 2014-2015)

Xét hiệu hai vế của bất đẳng thức

Bất đẳng thức cuối luôn đúng với mọi x, y Vậyx12 y12 x4 y4  x10 y10 x6 y6

Bài 3 Cho a, b, c là các số thực bất kì Chứng minh rẳng:

Bài 4 Cho a, b, c là các số thực bất kì Chứng minh rẳng:

Nhận xét: Với bất đẳng thức trên, ngoài phép biến đổi tương đương ta còn

có thể dùng tính chất của tam thức bậc hai để chứng minh.

Bài 5 Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác Chứng minh rằng:

2 2 2

Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên ta được a 2  b 2  c 2  2 ab bc ca   

b) Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên ta có

Nên từ bất đẳng thức trên ta được abc a b c b c a c a b           

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c 

Nhận xét: Bất đẳng thức abca b c b c a c a b           không chỉ đúngvới a, b, c là các cạnh của một tam giác, mà nó còn đúng cho a, b, c là các số thựcdương bất kì Bất đẳng này là một trường hợp của bất đẳng thức Schur

Bài 6 Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý Chứng minh rằng:

b c c a a b      2

Bất đẳng thức cần chứng minh là bất đẳng thức Neibizt nổi tiếng, hiện nay córất nhiều cách chứng minh cho bất đẳng thức này Để chứng minh bằng phươngpháp biến đổi tương đương ta có các ý tưởng như sau

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c  

Cách 2: Bất đẳng thứ cần chứng minh tương đương với

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c  

Bài 7 Cho biểu thức P a  2 b2  ab 3 a b      2013 Với giá trị nào của a và bthì P đạt giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ nhất đó

(Đề thi học sinh giỏi toán 9 huyện Krông Ana năm học 2012-2013)

 hay x2 = 20122, x = 2012 (Không lấy giá trị âm).

Vậy với x = 2012 thì y đạt giá trị lớn nhất và giá trị đó là

(Đề thi học sinh giỏi huyện Krông Ana năm học 2016-2017)

Dấu bằng xảy ra khi x  y z 1.

III.5 Chỉ ra các sai lầm mà học sinh dễ mắc về các bài toán bất đẳng thức.

Ta chọn điểm rơi: ta phải tách hạng tử a hoặc hạng tử 1

a để sao cho khi áp dụng

BĐT Côsi dấu “ = ” xảy ra khi a = 2 Có các hình thức tách sau:

1 1

; (1) 1

; (2) 1

a

a

a a

Chẳng hạn ta chọn sơ đồ điểm rơi (1):

( sơ đồ điểm rơi (2),(3),(4) học sinh tự làm)

1 12