ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ————— o0o ————— NGUYỄN ĐÌNH SỰ TÍNH ỔN ĐỊNH HĨA CỦA LỚP HỆ DƯƠNG PHÂN THỨ THÁI NGUYÊN, 10/2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ————— o0o ————— NGUYỄN ĐÌNH SỰ TÍNH ỔN ĐỊNH HĨA CỦA LỚP HỆ DƯƠNG PHÂN THỨ Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS MAI VIẾT THUẬN THÁI NGUYÊN, 10/2018 i Mục lục Một số ký hiệu chữ viết tắt ii Lời nói đầu Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Giải tích phân thứ 1.1.1 Tích phân phân thứ 1.1.2 Đạo hàm phân thứ 1.2 Các định lí tồn nghiệm hệ phương trình vi phân phân thứ 1.3 Công thức nghiệm hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo 10 1.4 Phương pháp hàm Lyapunov cho hệ phương trình vi phân phân thứ 12 1.5 Một bổ đề bổ trợ 14 Chương Tính ổn định hóa số lớp hệ dương phân thứ Caputo 15 2.1 Tính ổn định hóa lớp hệ tuyến tính dương phân thứ Caputo 15 2.2 Tính ổn định hóa lớp hệ tuyến tính dương khơng chắn phân thứ Caputo 25 ii Một số ký hiệu chữ viết tắt R, R+ tập số thực, số thực không âm tương ứng Rn không gian vectơ Euclide thực n−chiều Rn×r khơng gian ma trận thực cỡ (n × r) C([a, b], Rn ) khơng gian hàm liên tục [a, b], nhận giá trị Rn AT ma trận chuyển vị ma trận A A = (A)ij phần tử Aij ma trận A I ma trận đơn vị A≥0 A ma trận không âm A≥B A−B ≥0 A>0 A ma trận dương α t0 It toán tử tích phân phân thứ Riemann-Liouville cấp α RL α t0 Dt toán tử đạo hàm phân thứ Riemann-Liouville cấp α C α t0 Dt toán tử đạo hàm phân thứ Caputo cấp α kết thúc chứng minh định lí bổ đề Lời nói đầu Hệ động lực dương nhận quan tâm nghiên cứu nhiều nhà khoa học ứng dụng nhiều toán kỹ thuật (xem [9] tài liệu tham khảo đó) khoảng ba thập kỷ gần Nói cách hình tượng, hệ động lực gọi hệ dương vectơ trạng thái vectơ đầu hệ không âm điều kiện ban đầu đầu vào khơng âm Tính ổn định ổn định hóa tính chất định tính quan trọng hệ động lực dương Vì vậy, nhận quan tâm nghiên cứu nhiều nhà khoa học [3, 12, 14, 16, 18] Chẳng hạn, cách tiếp cận sử dụng phương pháp hàm Lyapunov kết hợp với tốn quy hoạch tuyến tính, tác giả [16] nghiên cứu tốn ổn định hóa cho lớp hệ tuyến tính với điều khiển có hạn chế Trong [12], vài tiêu chuẩn cho tính dương tính ổn định tiệm cận cho lớp hệ tuyến tính dương có trễ đưa Mặt khác, nhiều nhà khoa học nhiều hệ thống, chẳng hạn hệ thống điện từ, phân cực điện mơi, hệ thống viscoelastic [8], mô tả cách chi tiết tốt hệ phương trình vi phân phân thứ Vì hệ phương trình vi phân phân thứ nhận nhiều quan tâm nghiên cứu (xem [1, 2, 12, 13, 14, 16, 18] tài liệu tham khảo đó) Đặc biệt, năm gần đây, tốn nghiên cứu tính ổn định ổn định hóa hệ động lực dương phân thứ toán quan trọng, thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều nhà khoa học Nhiều kết sâu sắc tốn cơng bố tạp chí quốc tế uy tín (xem [5, 8, 10, 17]) Trong tài liệu [8], tác giả đưa vài tiêu chuẩn cho tính ổn định hóa số lớp hệ tuyến tính dương khơng chắn phân thứ RiemannLiouville Tuy nhiên bình luận số nhà khoa học, việc dùng đạo hàm Riemann-Liouville để mô tả hệ động lực thực tế gặp hạn chế điều kiện ban đầu tốn giá trị đầu khơng có nhiều ý nghĩa vật lí So với đạo hàm phân thứ Riemann-Liouville, đạo hàm Caputo dễ áp dụng cho tốn thực tế điều kiện ban đầu mơ hình sử dụng đạo hàm Caputo có ý nghĩa vật lí Vì lí đó, cách sử dụng số kỹ thuật tham khảo tài liệu [8] [17] chúng tơi nghiên cứu tốn ổn định hóa cho số lớp hệ tuyến tính dương không chắn phân thứ Caputo Các kết thu đóng góp nhỏ có ý nghĩa khoa học Luận văn chia làm hai chương với nội dung sau: Chương 1, chúng tơi trình bày số khái niệm giải tích phân thứ tích phân đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville, tích phân đạo hàm phân thứ Caputo Sau đó, chúng tơi trình bày số định lí tồn nghiệm Cơng thức nghiệm hệ phương trình vi phân tuyến tính phân thứ Caputo khơng chúng tơi trình bày chương Ngoài ra, phương pháp hàm Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định cho hệ phương trình vi phân phân thứ phi tuyến tổng quát trình bày chương Chương luận văn trình bày điều kiện cần đủ để đảm bảo hệ tuyến tính phân thứ Caputo dương Ngồi ra, chúng tơi trình bày số điều kiện đủ cho tính ổn định hóa số lớp hệ điều khiển tuyến tính phân thứ Caputo với điều khiển khơng có hạn chế có hạn chế Các kết chương đưa cách áp dụng kỹ thuật chứng minh báo [8] [17] danh mục tài liệu tham khảo luận văn Để hoàn thành luận văn này, nỗ lực học hỏi thân, em nhận nhiều quan tâm, giúp đỡ Với tình cảm chân thành em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới TS Mai Viết Thuận - người Thầy tận tình hướng dẫn, bảo, truyền đạt kiến thức kinh nghiệm quý báu cho em suốt trình học tập hoàn thiện luận văn Em xin gửi lời cảm ơn đến thầy cô giáo trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, người trực tiếp tham gia giảng dạy lớp Cao học Toán K10 khóa 2016 - 2018, phòng ban chức năng, Khoa Toán - Tin trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên giúp đỡ tạo điều kiện cho em thời gian học tập vừa qua Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban giám Hiệu trường THPT Hiệp Hòa số 2, tập thể lớp K10, gia đình, bạn bè đồng nghiệp ln động viên, giúp đỡ tơi suốt q trình học tập hồn thành khóa luận Thái Ngun, ngày 02 tháng 10 năm 2018 Tác giả luận văn NGUYỄN ĐÌNH SỰ Chương Một số kiến thức chuẩn bị Chương trình bày số kiến thức giải tích phân thứ tích phân Riemann-Liouville, đạo hàm phân thứ Caputo, đạo hàm phân thứ RiemannLiouville, mối liên hệ hai loại đạo hàm Caputo Riemann-Liouville Ngồi ra, chúng tơi trình bày phương pháp hàm Lyapunov cho hệ phương trình vi phân phân thứ Các kiến thức trình bày chương tham khảo [1, 13, 15] 1.1 1.1.1 Giải tích phân thứ Tích phân phân thứ Trong mục này, chúng tơi trình bày sơ lược khái niệm tích phân phân thứ Khái niệm tích phân phân thứ mở rộng tự nhiên khái niệm tích phân lặp thông thường Định nghĩa 1.1 Cho α > [a, b] ⊂ R, tích phân phân thứ RiemannLiouville cấp α hàm x : [a, b] −→ R cho bởi: α t0 It x(t) := Γ(α) t (t − s)α−1 x(s)ds, t ∈ (a, b], t0 +∞ Γ(.) hàm Gamma xác định Γ(α) = tα−1 e−t dt, α > 0 Trong Định nghĩa 1.1 α = quy ước α t It := I với I tốn tử đồng Sự tồn tích phân phân thứ Riemann–Liouville cấp α với < α < cho định lí sau: Định lí 1.1 Giả sử x : [a, b] −→ R hàm khả tích [a, b] Khi đó, tích phân α t0 It x(t) tồn với hầu hết t ∈ [a, b] Hơn nữa, α t0 It x hàm khả tích Ví dụ sau cho ta tích phân phân thứ số hàm Ví dụ 1.1 (i) Cho x(t) = (t − a)β , β > −1 t > a Với α > 0, có: α t0 It x(t) = Γ(β + 1) (t − a)α+β , t > a Γ(α + β + 1) (ii) Cho x(t) = eλt , λ > Với α > 0, có: +∞ α t0 It x(t) =λ −α j=0 1.1.2 (λt)α+j , t > Γ(α + j + 1) Đạo hàm phân thứ Định nghĩa 1.2 Cho trước số thực dương α khoảng [a, b] ⊂ R Đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville cấp α hàm x : [a, b] −→ R cho bởi: dn t dn n−α (t − s)n−α−1 x(s)ds, := n t0 It x(t) = n dt Γ(n − α) dt t0 n = [α] + số nguyên nhỏ lớn α RL α t0 Dt x(t) dn dtn đạo hàm thông thường cấp n Ví dụ 1.2 Cho hàm bước đơn vị (unit-step function):    t ≥ 0; f (t) =   t < Bằng cách sử dụng Định nghĩa 1.2, ta tính đạo hàm phân thứ Riemann– Liouville cấp α hàm f (t) là: RL α Dt f (t) = t−α Γ(1 − α) Trước trình bày điều kiện cho tồn đạo hàm phân thứ Riemann– Liouville, nhắc lại số kết sau: Cho [a, b] khoảng hữu hạn R AC[a, b] không gian hàm tuyệt đối liên tục [a, b] Kolmogorov Fomin mối liên hệ hàm tuyệt đối liên tục hàm khả tích Lebesgue sau: t f (t) ∈ AC[a, b] ⇔ f (t) = c + ϕ(s)ds (ϕ(s) ∈ L(a, b)) a Do hàm tuyệt đối liên tục f (t) có đạo hàm f (t) = ϕ(t) hầu khắp nơi [a, b] Với n ∈ N, ta định nghĩa lớp hàm AC n [a, b] sau: AC n [a, b] = {f : [a, b] −→ R, (Dn−1 f )(t) ∈ AC[a, b] (D = d )} dt Mệnh đề sau cho ta số đặc tính lớp hàm AC n [a, b] Mệnh đề 1.1 Không gian AC n [a, b] chứa tất hàm f (t) có dạng sau: n−1 f (t) = α t0 It ϕ(t) ck (t − t0 )k , + k=0 ϕ(t) ∈ L(a, b), ck (k = 0, 1, , n − 1) số tùy ý α t0 It ϕ(t) = (n − 1)! t (t − s)n−1 ϕ(s)ds t0 Ngoài ra, từ điều kiện ta có: f (k) (t0 ) (k = 0, 1, , n − 1) k! Định lí sau cho ta tiêu chuẩn cho tồn đạo hàm phân thứ ϕ(s) = f (n) (s), ck = Riemann–Liouville Định lí 1.2 Cho α ≥ 0, n = [α] + Nếu f (t) ∈ AC n [a, b], đạo hàm phân thứ RL α t0 Dt f (t) tồn hầu khắp nơi [a, b] biểu diễn dạng sau: n−1 RL α t0 Dt f (t) = k=0 f (k) (t0 ) (t − t0 )k−α + Γ(1 + k − α) Γ(n − α) t t0 f (n) (s)ds (t − s)α−n+1 Kết sau suy trực tiếp từ Định lí 1.2 Hệ 1.1 Nếu < α < f (t) ∈ AC[a, b] RL α t0 Dt f (t) f (t0 ) = [ + Γ(1 − α) (t − t0 )α t t0 f (s)ds ] (t − s)α 19 Xét hệ điều khiển tuyến tính phân thứ Caputo    C Dα x(t) = Ax(t) + Bu(t), t ≥ 0; t (2.9)   x(0) = x0 , α ∈ (0, 1), x(t) ∈ Rn vectơ trạng thái, u(t) ∈ Rm vectơ điều khiển, A ∈ Rn×n , B ∈ Rn×m ma trận thực số cho trước Mục đích ta tìm điều khiển ngược: u(t) = Kx(t) cho hệ đóng sau:    C α Dt x(t) = (A + BK)x(t), t ≥ 0; (2.10)   x(0) = x0 ≥ 0, hệ tuyến tính phân thứ dương ổn định tiệm cận Định lí cho ta tiêu chuẩn cho tính ổn định hóa hệ (2.9) Định lí 2.3 Giả sử tồn vectơ λ ∈ Rn , λ > vectơ y1 , y2 , , yn ∈ Rm cho: n Aλ + B yi < 0, (2.11) i=1 aij λj + bi yj ≥ 0, i = j, (2.12) aij phần tử thứ (ij) ma trận A bi vectơ hàng thứ i ma trận B Khi hệ đóng (2.10) ổn định tiệm cận hệ dương với điều kiện ban đầu x0 ≥ Hơn nữa, ma trận điều khiển ngược K xác định bởi: K= y1 y2 yn λ1 λ2 λn (2.13) Chứng minh Giả sử điều kiện (2.11), (2.12) thỏa mãn với ma trận điều khiển ngược K xác định (2.13) Áp dụng Định lí 2.2 cho hệ đóng (2.10), ta thu đánh giá sau: Aλ + BKλ < (2.14) 20 Chú ý biểu thức (2.13) viết lại sau: n Kλ = yi i=1 Từ suy (2.14) tương đương với điều kiện (2.11) Bên cạnh hệ đóng (2.10) hệ dương ma trận A + BK Metzler, có nghĩa (A + BK)ij ≥ với i = j Thay biểu thức K (2.13) vào biểu thức này, ta thu được: yj aij + bi ≥ 0, i = j (2.15) λj Dễ thấy điều kiện (2.15) tương đương với điều kiện (2.12) Định lí chứng minh hồn tồn Ví dụ sau đưa để minh họa cho kết lí thuyết Định lí 2.3 Ví dụ 2.2 Xét hệ điều khiển tuyến tính phân thứ Caputo    C Dα x(t) = Ax(t) + Bu(t), t ≥ 0; t   x(0) = x ∈ R2 , (2.16) + α ∈ (0, 1), x(t) ∈ R2 vectơ trạng thái, u(t) ∈ R vectơ điều khiển ma trận −2 A= −0.4 −0.8 −0.8 ,B= 0.5 0.6 Ta thấy hệ mở, tức hệ (2.16) với u(t) ≡ không hệ dương A khơng ma trận Metzler Ta tìm điều khiển ngược u(t) = Kx(t), với K ∈ R1×2 ma trận xác định sau để hệ đóng    C Dα x(t) = (A + BK)x(t), t ≥ 0; t (2.17)   x(0) = x0 ∈ R2+ , hệ dương ổn định tiệm cận Bằng cách sử dụng chương trình LP MATLAB, ta thấy điều kiện T (2.11) (2.12) Định lí 2.3 thỏa mãn với λ = 1.0188 1.3776 , y1 = 1.7185, y2 = 1.1863 Vậy theo Định lí 2.3 hệ đóng (2.17) hệ dương ổn định tiệm cận Ngoài ra, điều khiển ngược ổn định hóa hệ (2.16) là: u(t) = Kx(t) = 1.6868 0.8612 x(t), t ≥ 21 Tiếp theo, chúng tơi trình bày tốn ổn định hóa cho lớp hệ điều khiển tuyến tính phân thứ Caputo với điều khiển có hạn chế Xét hệ điều khiển tuyến tính phân thứ có hạn chế   C α  D x(t) = Ax(t) + Bu(t), t ≥ 0;    t x(0) = x0 ;      −u ≤ u(t) ≤ u, (2.18) A ma trận Metzler, α ∈ (0, 1), x(t) ∈ Rn vectơ trạng thái, u(t) ∈ Rm vectơ điều khiển Mục đích ta nghiên cứu toán sau: Cho trước vectơ u ∈ Rm , u > u ∈ Rm , u > 0, tìm vectơ x ∈ Rn cận vectơ trạng thái x(t) hệ (2.18), tức x(t) ≤ x ma trận K thỏa mãn −u ≤ u(t) = Kx(t) ≤ u cho hệ đóng sau dương ổn định tiệm cận   C α  D x(t) = (A + BK) x(t), t ≥ 0;    t x(0) = x0 ;      −u ≤ u(t) ≤ u (2.19) Hai bổ đề sau đóng vai trò quan trọng việc trình bày kết Bổ đề 2.1 Cho A ma trận vng cấp n Khi ta có Eα (Atα ) − I = Itα (Eα (Atα )A) , α ∈ (0, 1) (2.20) Chứng minh Lấy đạo hàm phân thứ Caputo cấp α vế trái (2.20) sử dụng định nghĩa hàm Mittag-Leffler, ta thu được: +∞ C α α Dt (Eα (At ) − I) = C α Dt k=0 +∞ = C α Dt k=1 +∞ C α Dt = k=1 (Atα )k −I Γ(kα + 1) (Atα )k Γ(kα + 1) (Atα )k Γ(kα + 1) Mặt khác, ta lại có: C α Dt tβ = Γ(β + 1) β−α t Γ(β − α + 1) (2.21) 22 Áp dụng đẳng thức trên, ta thu được: C α Dt (Atα )k Γ(kα + 1) Ak C α kα D t Γ(kα + 1) t Ak Γ(kα + 1) kα−α = t Γ(kα + 1) Γ(kα − α + 1) Ak t(k−1)α = Γ(kα − α + 1) = Từ suy +∞ C α α Dt (Eα (At ) − I) = Ak t(k−1)α Γ((k − 1)α + 1) k=1 +∞ = k=0 Ak tkα A = Eα (Atα )A Γ(kα + 1) Lấy tích phân Riemann-Liouville cấp α từ tới t hai vế đẳng thức sử dụng Định lí 1.5, ta có điều phải chứng minh Bổ đề 2.2 Xét hệ    C α Dt x(t) = Ax(t), t ≥ 0; (2.22)   x(0) = x0 , α ∈ (0, 1), x(t) ∈ Rn vectơ trạng thái, A ma trận số vuông cấp n Cho vectơ x ∈ Rn , x > Khi đó, ta có ≤ x(t) ≤ x với điều kiện ban đầu thỏa mãn ≤ x0 ≤ x Ax ≤ Chứng minh Điều kiện cần Giả sử ≤ x(t) ≤ x Khi nghiệm hệ (2.22) với điều kiện ban đầu x cho công thức x(t) = Eα (Atα ) x ≤ x Từ bất đẳng thức trên, ta suy (Eα (Atα ) − I) x ≤ Áp dụng Bổ đề 2.1, ta có: α α It (Eα (At )) Ax ≤ Vì A ma trận Metzler nên theo kết [10], ta có Eα (Atα ) ≥ 0, ∀t ≥ Từ suy Itα (Eα (Atα )) ≥ Suy Ax ≤ 23 Điều kiện đủ Giả sử với điều kiện ban đầu ≤ x(0) = x0 ≤ x, ta có Ax ≤ Ta chứng tỏ ≤ x(t) ≤ x, với x(t) nghiệm hệ (2.22) Vì x(t) hệ (2.22) với điều kiện ban đầu x(0) = x0 x0 ≤ x nên ta có đánh giá sau: x(t) = Eα (Atα ) x0 ≤ Eα (Atα ) x, ∀t ≥ Áp dụng Bổ đề 2.1 kết hợp với việc Itα (Eα (Atα )Ax) < 0, ta có: x(t) ≤ Eα (Atα ) x = x + Itα (Eα (Atα )Ax) ≤ x Bổ đề chứng minh hồn tồn Định lí 2.4 Giả sử tốn quy hoạch tuyến tính (LP):  n n   Ax + B ( i=1 yi − i=1 zi ) < 0,       x > 0,        yi ≥ 0,       zi ≥ 0, i = 1, 2, , n, (2.23) n    i=1 yi ≤ u,     n    i=1 zi ≤ u,      aij xj + bi (yj − zj ) ≥ 0,       i = j, i, j = 1, , n T theo biến x = x1 xn ∈ Rn , y1 , , yn ∈ Rm z1 , , zn ∈ Rm tương thích Khi hệ đóng (2.19) dương ổn định tiệm cận với điều kiện ban đầu < x0 ≤ x điều khiển ngược ổn định hóa −u ≤ u(t) = Kx(t) ≤ u, K= (y1 −z1 ) x1 T Chứng minh Cho x = x1 xn (yn −zn ) xn ∈ Rn , y1 , , yn ∈ Rm z1 , , zn ∈ Rm nghiệm toán LP (2.23) Đặt K = (y1 −z1 ) x1 (yn −zn ) xn Với i = j, (i, j = 1, , n), ta có: aij + bi xj−1 (yj − zj ) = aij + bi kj = (A + BK)ij ≥ Từ suy A + BK ma trận Metzler Mặt khác, ta lại có bất đẳng thức Ax + B ( n i=1 yi − n i=1 zi ) tương đương với bất đẳng thức (A + BK)x < Vì 24 x > nên theo kết Định lí 2.2, ta có hệ đóng (2.19) dương ổn định tiệm cận Ngoài ra, theo Bổ đề 2.2, vectơ trạng thái hệ (2.18) thỏa mãn ≤ x(t) ≤ x với điều kiện ban đầu x(0) = x0 thỏa mãn ≤ x(0) ≤ x Sử dụng điều kết hợp với điều kiện n i=1 yi ≤ u, n i=1 zi ≤ u với yi ≥ 0, zi ≥ 0(i = 1, , n), ta thu −u ≤ Kx ≤ u Tiếp theo ta chứng minh đánh giá với vectơ trạng thái x(t) hệ Đặt K1 x = n i=1 yi K2 x = n i=1 zi Chú ý yi ≥ zi ≥ nên K = K1 − K2 , K1 ≥ 0, K2 ≥ Vì ≤ x(t) ≤ x nên ta thu đánh giá ≤ K1 x(t) ≤ K1 x −K2 x ≤ −K2 x(t) ≤ Cộng vế hai đánh giá ta thu −K2 x ≤ Kx(t) ≤ K1 x Cuối cùng, từ điều kiện K1 x ≤ u K2 x ≤ u, ta suy −u ≤ u(t) = Kx(t) ≤ u Chúng tơi đưa ví dụ sau để minh họa cho kết lí thuyết Định lí 2.4 Ví dụ 2.3 Xét hệ điều khiển tuyến tính phân thứ Caputo với điều khiển có hạn chế       C α Dt x(t) = Ax(t) + Bu(t), t ≥ 0; x(0) = x0 ∈ R2+ ;      −1 ≤ u(t) ≤ 3, (2.24) α ∈ (0, 1), x(t) ∈ R2 vectơ trạng thái, u(t) ∈ R vectơ điều khiển, ma trận A= −1.5 −0.3 −0.2 −1 ,B= 0.8 0.9 Ta thấy hệ mở, tức hệ (2.24) với u(t) ≡ không hệ dương A khơng ma trận Metzler Bây giờ, ta tìm vectơ x ∈ R2 cận vectơ trạng thái x(t) hệ (2.24), tức x(t) ≤ x ma trận K ∈ R1×2 thỏa mãn −1 ≤ u(t) = Kx(t) ≤ cho hệ đóng sau dương ổn định tiệm cận   C α  D x(t) = (A + BK) x(t), t ≥ 0;    t (2.25) x(0) = x0 ∈ R2+ ,      −1 ≤ u(t) ≤ 25 Bằng cách sử dụng chương trình LP MATLAB, ta thấy tốn LP (2.23) Định lí 2.4 có nghiệm là: T x = 1.0951 1.4131 , y1 = 0.9788, y2 = 1.0429, z1 = 0.3545, z2 = 0.2905 Vậy theo Định lí 2.4 hệ đóng (2.25) hệ dương ổn định tiệm cận Ngoài ra, điều khiển ngược ổn định hóa hệ (2.24) là: u(t) = Kx(t) = 0.5701 0.5324 x(t), t ≥ 2.2 Tính ổn định hóa lớp hệ tuyến tính dương khơng chắn phân thứ Caputo Xét hệ tuyến tính khơng chắn phân thứ Caputo   C α  D x(t) = Ax(t) + Bu(t), t ≥ 0;    t x(0) = x0 ;      −u ≤ u(t) ≤ u, (2.26) α ∈ (0, 1), x(t) ∈ Rn vectơ trạng thái, u(t) ∈ Rm vectơ điều khiển, u ∈ Rm , u ≥ 0, u ∈ Rm , u ≥ vectơ số cho trước, A, B ma trận thỏa mãn A− ≤ A ≤ A+ , B − ≤ B ≤ B + , A+ , A− , B + , B − ma trận số cho trước có số chiều thích hợp Trong mục này, ta nghiên cứu toán sau: Cho trước vectơ u ∈ Rm , u ≥ 0, u ∈ Rm , u ≥ 0, ma trận số A+ , A− , B + , B − , tìm vectơ x ∈ Rn cận vectơ trạng thái x(t) hệ (2.26), tức x(t) ≤ x ma trận K thỏa mãn −u ≤ u(t) = Kx(t) ≤ u cho hệ đóng   C α  D x(t) = (A + BK) x(t), t ≥ 0;    t x(0) = x0 ;      −u ≤ u(t) = Kx(t) ≤ u, dương ổn định tiệm cận Định lí cho ta lời giải tốn (2.27) 26 Định lí 2.5 Giả sử tốn quy hoạch tuyến tính (LP) theo biến x = T x1 xn ∈ Rn , y1 , , yn ∈ Rm z1 , , zn ∈ Rm  n n   A+ x + B + i=1 yi − B − i=1 zi < 0,        x > 0,       yi ≥ 0,    (2.28) zi ≥ 0, i = 1, , n,     n   i=1 yi ≤ u,     n    i=1 zi ≤ u,      a− x + b− y − b+ z ≥ 0, i = j(i, j = 1, , n) ij j i j i j tương thích Khi đó, hệ đóng (2.27) dương ổn định tiệm cận với điều kiện ban đầu < x0 ≤ x điều khiển ngược ổn định hóa −u ≤ u(t) = Kx(t) ≤ u, K = x1 −1 (y1 − z1 ) xn −1 (yn − zn ) Chứng minh Cho A− ≤ A ≤ A+ B − ≤ B ≤ B + Vì x > 0, yi > 0, zi > 0, ta có A− x ≤ Ax ≤ A+ x, B − −B + n i=1 zi ≤ −B n i=1 zi n i=1 yi n i=1 zi ≤ −B − n i=1 yi ≤B n i=1 yi ≤ B+ Cộng vế bất đẳng thức sử dụng bất đẳng thức (2.28), ta thu đánh giá sau: n n yi − (A + BK) x = Ax + B i=1 n zi i=1 + ≤A x+B + n yi − B i=1 − zi < i=1 Vì x > nên từ bất đẳng thức ta suy hệ đóng ổn định tiệm cận Bằng lập luận tương tự bất đẳng thức cuối (2.28), ta có ước lượng sau: − + aij xj + bi (yj − zj ) ≥ a− ij xj + bi yj − bi zj ≥ Từ suy aij + bi xj−1 (yj − zj ) = aij + bi kj = (A + BK)ij ≥ Điều chứng tỏ (A + BK) ma trận Metzler Vậy hệ đóng dương ổn định tiệm cận Phần lại định lí chứng minh tương tự Định lí 2.4 27 Ví dụ 2.4 Xét hệ điều khiển tuyến tính phân thứ Caputo   C α  D x(t) = Ax(t) + Bu(t), t ≥ 0;    t x(0) = x0 ;      −4 ≤ u(t) ≤ 10, (2.29) α ∈ (0, 1), x(t) ∈ R2 vectơ trạng thái, u(t) ∈ R vectơ điều khiển, A, B ma trận thỏa mãn A− ≤ A ≤ A+ , B − ≤ B ≤ B + , −1.3 A− = 0.4 −0.3 −0.7 0.4 B− = , B+ = 0.3 −1.1 , A+ = 0.6 0.7 −0.2 −0.6 , 0.4 Bây giờ, ta tìm vectơ x ∈ R2 cận vectơ trạng thái x(t) hệ (2.29), tức x(t) ≤ x ma trận K ∈ R1×2 thỏa mãn −4 ≤ u(t) = Kx(t) ≤ 10 cho hệ đóng sau dương ổn định tiệm cận   C α  D x(t) = (A + BK) x(t), t ≥ 0;    t x(0) = x0 ∈ R2+ ;      −4 ≤ u(t) ≤ 10 (2.30) Bằng cách sử dụng chương trình LP MATLAB, ta thấy tốn LP (2.28) Định lí 2.5 có nghiệm là: T x = 6.1722 3.3761 , y1 = 7.4538, y2 = 0.6552, z1 = 0.3666, z2 = 2.0193 Vậy theo Định lí 2.5 hệ đóng (2.30) hệ dương ổn định tiệm cận Ngoài ra, điều khiển ngược ổn định hóa hệ (2.29) là: u(t) = Kx(t) = 1.1482 −0.4040 x(t), t ≥ Tiếp theo, trình bày tính ổn định hóa cho hệ (2.26) trường hợp ma trận A B thuộc tổ hợp lồi sau: N N A= δs As , B = s=1 δs Bs , s=1 N δs ≥ 0, δs = 1, s=1 (2.31) 28 As , Bs ma trận số cho trước Khi đó, tương tự ta nghiên cứu toán sau: Cho trước vectơ u ∈ Rm , u ≥ 0, u ∈ Rm , u ≥ 0, ma trận số As , Bs (s = 1, , N ), tìm vectơ x ∈ Rn cận vectơ trạng thái x(t) hệ (2.26), tức x(t) ≤ x ma trận K thỏa mãn −u ≤ u(t) = Kx(t) ≤ u cho hệ đóng   C α  D x(t) = (A + BK) x(t), t ≥ 0;    t x(0) = x0 ;      −u ≤ u(t) = Kx(t) ≤ u, (2.32) dương ổn định tiệm cận Chứng minh định lí hồn tồn tương tự chứng minh Định lí 2.5 Định lí 2.6 Giả sử tốn quy hoạch tuyến tính (LP) theo biến x = T x1 xn ∈ Rn , y1 , , yn ∈ Rm z1 , , zn ∈ Rm  n n   As x + Bs i=1 yi − Bs i=1 zi < 0,        x > 0,       yi ≥ 0,    zi ≥ 0, i = 1, , n,     n   i=1 yi ≤ u,     n    i=1 zi ≤ u,      (a ) x + (b ) (y − z ) ≥ 0, i = j(i, j = 1, , n) s ij j s i j j (2.33) tương thích Khi hệ đóng (2.32) dương ổn định tiệm cận với điều kiện ban đầu < x0 ≤ x điều khiển ngược ổn định hóa −u ≤ u(t) = Kx(t) ≤ u, K = x1 −1 (y1 − z1 ) xn −1 (yn − zn ) 29 Ví dụ 2.5 Xét hệ điều khiển tuyến tính phân thứ Caputo   C α  D x(t) = Ax(t) + Bu(t), t ≥ 0;    t x(0) = x0 ;      −5 ≤ u(t) ≤ 10, (2.34) α ∈ (0, 1), x(t) ∈ R2 vectơ trạng thái, u(t) ∈ R vectơ điều khiển, A, B ma trận thỏa mãn tổ hợp lồi sau: A= δs As , B = δs Bs , s=1 s=1 δs ≥ 0(s = 1, 2, 3), δs = 1, s=1 −1.1 A1 = 0.5 −0.2 −0.7 −1.3 A3 = 0.3 −0.3 −0.9 0.4 B2 = 0.4 , B3 = , A2 = , B1 = 0.6 −0.9 0.7 −0.4 −0.8 0.6 , , 0.4 0.7 Rõ ràng điều kiện Định lí 2.6 khơng phụ thuộc vào tham số δs (s = 1, 2, 3) Bây giờ, ta tìm vectơ x ∈ R2 cận vectơ trạng thái x(t) hệ (2.34), tức x(t) ≤ x ma trận K ∈ R1×2 thỏa mãn −5 ≤ u(t) = Kx(t) ≤ 10 cho hệ đóng sau dương ổn định tiệm cận   C α  D x(t) = (A + BK)x(t), t ≥ 0;    t (2.35) x(0) = x0 ;      −5 ≤ u(t) ≤ 10 Bằng cách sử dụng chương trình LP MATLAB, ta thấy tốn LP (2.33) Định lí 2.6 tương thích với T x = 3.6870 2.8413 , y1 = 5.1770, y2 = 1.8613, z1 = 1.2785, z2 = 2.1796 30 Vậy, theo Định lí 2.6, hệ đóng (2.35) hệ dương ổn định tiệm cận Ngoài ra, điều khiển ngược ổn định hóa hệ (2.34) là: u(t) = Kx(t) = 1.0574 −0.1120 x(t), t ≥ 31 Kết luận Luận văn đạt kết sau: • Trình bày lại số khái niệm giải tích phân thứ bao gồm tích phân Riemann-Liouville, đạo hàm phân thứ Caputo, hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo, cơng thức nghiệm hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo, phương pháp hàm Lyapunov cho hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo; • Trình bày số tiêu chuẩn cho tính ổn định tiệm cận ổn định hóa lớp hệ tuyến tính dương phân thứ Caputo; • Đưa số tiêu chuẩn cho tính ổn định tiệm cận ổn định hóa lớp hệ tuyến tính dương khơng chắn phân thứ Caputo; • Đưa 05 ví dụ để minh họa cho kết lý thuyết 32 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Hoàng Thế Tuấn, Về số vấn đề định tính hệ phương trình vi phân phân thứ, Luận án tiến sĩ toán học, Viện Tốn học, 2017 [2] Nguyễn Quang Hn (2017), Về tính ổn định hữu hạn thời gian đầu vàođầu cho lớp hệ phương trình vi phân phân thứ, Luận văn Thạc sĩ Toán học, trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên [3] Nguyễn Thị Thúy (2017), Về tính ổn định hóa cho lớp hệ tuyến tính dương với điều khiển có hạn chế, Luận văn Thạc sĩ Toán học, trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên Tiếng Anh [4] M Araki, B Kondo (1872), “Stability and transient behavior of composite nonlinear systems”,IEEE Transactions on Automatic Control, 17(4), 537– 541 [5] A Benzaouia, A Hmamed, F Mesquine, M Benhayoun, F Tadeo (2014), “Stabilization of continuous-time fractional positive systems by using a Lyapunov function”, IEEE Transactions on Automatic Control, 59(8), 2203–2208 [6] S Boyd, L El Ghaoui, E Feron, V Balakrishnan (1994), Linear Matrix Inequalities in System and Control Theory, SIAM, Philadelphia [7] M.A Duarte-Mermoud,N Aguila-Camacho, J.A Gallegos, R CastroLinares (2015), “Using general quadratic Lyapunov functions to prove Lyapunov uniform stability for fractional order systems”, Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 22(1-3), 650–659 33 [8] F Mesquine, A Hmamed, M Benhayoun, A Benzaouia, F Tadeo (2015), “Robust stabilization of constrained uncertain continuous-time fractional positive systems”, Journal of the Franklin Institute, 352(1), 259–270 [9] T Kaczorek (2002), Positive 1D and 2D systems, Spinger [10] T Kaczorek (2008), “Fractional positive continuous-time linear systems and their reachability”, International Journal of Applied Mathematics and Computer Science, 18(2), 223–228 [11] A Hmamed, F Mesquine, A Benzaouia, M Benhayoun, F Tadeo (2013), “Continuous-time fractional positive systems with bounded states”, in Proc 52nd IEEE Conf Decision Control, Florence, Italy, 2127–2132 [12] T Kaczorek (2009), “Stability of positive continuos-time linear systems with delays”, Bullentin of the polish academy of sciences technical sciences, 57(4), 395–398 [13] T Kaczorek (2011), Selected Problems of Fractional Systems Theory, Spinger [14] Y Li, Y Chen, I Podlubny (2010), “Stability of fractional-order nonlinear dynamic systems: Lyapunov direct method and generalized Mittag–Leffler stability”, Computers & Mathematics with Applications 59(5), 1810–1821 [15] I Podlubny (1999), Fractional Differential Equations, Academic Press [16] M.A Rami, F Tadeo (2007), “Controller Synthesis for Positive Linear Systems With Bounded Controls”, IEEE Transction on Circuits and Systems–II: Express briefs, 54, 151–155 [17] S.Y Shao, M Chen, Q.X Wu (2016), “Stabilization control of continuoustime fractional positive systems based on disturbance observer”, IEEE Access, 4, 3054–3064 [18] M.V Thuan, D.C Huong (2018), “New results on stabilization of fractional-order nonlinear systems via an LMI approach”, Asian Journal of Control, 20(4), 1541–1550 ... Chương Tính ổn định hóa số lớp hệ dương phân thứ Caputo 15 2.1 Tính ổn định hóa lớp hệ tuyến tính dương phân thứ Caputo 15 2.2 Tính ổn định hóa lớp hệ tuyến tính dương khơng chắn phân thứ Caputo... thứ Caputo 2.1 Tính ổn định hóa lớp hệ tuyến tính dương phân thứ Caputo Mục này, chúng tơi trình bày số tiêu chuẩn cho tính ổn định ổn định hóa cho lớp hệ tuyến tính dương phân thứ Caputo Một... Eα (Atα ) ≥ Từ suy hệ (2.1) hệ dương Định lí cho điều kiện đủ cho tính ổn định hệ tuyến tính dương phân thứ Caputo Định lí 2.2 Hệ tuyến tính phân thứ Caputo (2.1) dương ổn định tiệm cận A ma