ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN THỊ THÚY VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH HĨA CHO LỚP HỆ TUYẾN TÍNH DƯƠNG VỚI ĐIỀU KHIỂN CĨ HẠN CHẾ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN THỊ THÚY VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH HĨA CHO LỚP HỆ TUYẾN TÍNH DƯƠNG VỚI ĐIỀU KHIỂN CĨ HẠN CHẾ LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN TS MAI VIẾT THUẬN THÁI NGUYÊN - 2017 i Mục lục Mở đầu iii Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Bài toán ổn định ổn định hóa cho hệ phương trình thường 1.1.1 Bài toán ổn định 1.1.2 Phương pháp hàm Lyapunov 1.1.3 Bài tốn ổn định hóa vi phân 1 1.2 Bài toán ổn định ổn định hóa cho hệ phương trình có trễ 1.2.1 Bài toán ổn định hệ có trễ 1.2.2 Bài toán ổn định hóa hệ điều khiển có trễ 1.3 Hệ tuyến tính dương 1.4 Hệ tuyến tính dương có trễ vi phân 4 Tính ổn định hóa lớp hệ tuyến tính dương với điều khiển có hạn chế 2.1 Tính ổn định hóa lớp hệ điều khiển tuyến tính 2.2 Tính ổn định hóa lớp hệ điều khiển tuyến tính với điều khiển có hạn chế 16 Tính ổn định hóa lớp hệ tuyến tính dương có trễ với điều khiển có hạn chế 22 3.1 Tính ổn định hóa lớp hệ điều khiển tuyến tính dương có trễ 22 3.2 Tính ổn định hóa lớp hệ điều khiển tuyến tính có trễ với điều khiển có hạn chế Kết luận 27 33 ii Tài liệu tham khảo 34 iii Lời nói đầu Hệ dương xuất nhiều lĩnh vực khoa học cơng nghệ q trình sinh học, hóa học, mơ hình dân số, học, kinh tế học (xem [6, 9] tài liệu tham khảo đó) Nói cách hình tượng, hệ động lực gọi hệ dương vectơ trạng thái vectơ đầu hệ không âm mà điều kiện ban đầu đầu vào khơng âm Bài tốn nghiên cứu tính ổn định hóa hệ điều khiển dương toán quan trọng lý thuyết điều khiển hệ thống nhận quan tâm nghiên cứu nhiều nhà khoa học giới (xem [3, 7, 9] tài liệu tham khảo đó) Mặt khác, nhiều tốn thực tiễn, đối tượng điều khiển thường bị hạn chế (ràng buộc) điều kiện thông số kỹ thuật phải thỏa mãn yêu cầu khác Ví dụ, ta đòi hỏi đối tượng điều khiển số không âm, nằm miền giới hạn cho trước Vì vậy, việc nghiên cứu tính ổn định hóa cho lớp hệ điều khiển dương với điều khiển có hạn chế tốn cần thiết có ý nghĩa Bài tốn nhận quan tâm nghiên cứu nhiều tác giả năm gần (xem [10, 13] tài liệu tham khảo đó) Mục đích luận văn trình bày số tiêu chuẩn cho tính ổn định hóa lớp hệ điều khiển tuyến tính có trễ khơng có trễ với điều khiển có hạn chế sở báo [9, 11] danh mục tài liệu tham khảo Nội dung luận văn gồm chương: Chương chương kiến thức chuẩn bị Mục 1.1 giới thiệu toán ổn định, tốn ổn định hóa cho hệ phương trình vi phân thường Mục 1.2 giới thiệu tốn ổn định tốn ổn định hóa cho hệ phương trình vi phân có trễ Mục 1.3 Mục 1.4 trình bày số khái niệm hệ dương có trễ khơng có trễ Chương nghiên cứu tính ổn định hóa cho lớp hệ tuyến tính dương với iv điều khiển có hạn chế Ngồi ra, chương này, chúng tơi đưa 04 ví dụ số tính tốn phần mềm MATLAB để minh họa cho kết lý thuyết Có thể nói ngồi việc đọc hiểu trình bày cách chi tiết kết báo [11], 04 ví dụ số đóng góp chúng tơi luận văn Chương nghiên cứu tính ổn định hóa cho lớp hệ tuyến tính dương có trễ Cũng Chương 2, chương này, đưa 02 ví dụ số tính tốn phần mềm MATLAB để minh họa cho kết lý thuyết Luận văn hoàn thành Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn tận tình TS Mai Viết Thuận, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, người dành nhiều thời gian tâm huyết để hướng dẫn tận tình, giúp đỡ tác giả trình học tập, nghiên cứu viết luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn Lãnh đạo Trường Đại học Khoa học Đại học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Toán - Tin tồn thể thầy ngồi trường giảng dạy giúp trau dồi thêm nhiều kiến thức phục vụ cho việc học tập nghiên cứu thân Đồng thời tác giả xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp cao học Toán K9C (khóa 2015-2017) động viên giúp đỡ tác giả nhiều trình học tập Xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng năm 2017 Tác giả Nguyễn Thị Thúy Một số ký hiệu chữ viết tắt R, R+ tập số thực, số thực không âm tương ứng Rn không gian vectơ Euclide thực n−chiều Rn×r khơng gian ma trận thực cỡ (n × r) C([a, b], Rn ) khơng gian hàm liên tục [a, b], nhận giá trị Rn AT ma trận chuyển vị ma trận A I ma trận đơn vị A ma trận A nửa xác định dương, tức Ax, x ≥ 0, ∀x ∈ Rn A B nghĩa A − B A ma trận A xác định dương, tức Ax, x > 0, ∀x ∈ Rn , x = 0 A≺0 ma trận A xác định âm A ma trận A xác định không âm A≥0 A ma trận không âm A>0 A ma trận dương M tập ma trận Metzler p = {1, 2, , p}, p0 = {0, 1, 2, , p}, Chương Một số kiến thức chuẩn bị Chương chúng tơi trình bày số khái niệm kết tính ổn định ổn định hóa hệ phương trình vi phân thường hệ phương trình vi phân có trễ Chúng tơi trình bày số kết hệ tuyến tính dương hệ tuyến tính dương có trễ Kiến thức sử dụng chương tham khảo [1, 2, 5, 6, 7, 8] 1.1 Bài toán ổn định ổn định hóa cho hệ phương trình vi phân thường 1.1.1 Bài tốn ổn định Xét hệ thống mơ tả hệ phương trình vi phân x(t) ˙ = f (t, x(t)), t ∈ R+ , (1.1) x(t) ∈ Rn vectơ trạng thái, f : R+ × Rn → Rn hàm cho trước Giả thiết hàm f (.) thỏa mãn điều kiện cho với (t0 , x0 ) ∈ R+ × Rn hệ (1.1) có nghiệm qua điểm (t0 , x0 ) xác định [t0 ; +∞) Nghiệm kí hiệu x(t; t0 , x0 ) Giả sử f (t, 0) = 0, với t ∈ R+ Giả thiết đảm bảo hệ có nghiệm tầm thường x ≡ Khi ta có định nghĩa sau Định nghĩa 1.1 ([1]) • Nghiệm không hệ (1.1) gọi ổn định với > 0, t0 ≥ 0, tồn δ = δ(t0 , ) cho với nghiệm x(t; t0 , x0 ) hệ (1.1), ||x0 || < δ ||x(t; t0 , x0 )|| < , ∀t ≥ t0 • Nghiệm hệ (1.1) gọi ổn định tiệm cận ổn định với t0 ≥ tồn δ = δ0 (t0 ) > cho với nghiệm x(t; t0 , x0 ) hệ (1.1), ||x0 || < δ0 lim ||x(t; t0 , x0 )|| = t→+∞ • Nghiệm hệ (1.1) gọi ổn định mũ tồn số α > 0, N ≥ cho với x0 ∈ Rn , t0 ∈ R+ , nghiệm x(t; t0 , x0 ) hệ (1.1) thỏa mãn điều kiện ||x(t; t0 , x0 )|| ≤ N ||x0 ||e−α(t−t0 ) , ∀t ≥ t0 Số N gọi hệ số ổn định Lyapunov, α gọi số mũ ổn định Ngồi α, N gọi chung số ổn định Lyapunov Để ngắn gọn, thay nói nghiệm không hệ (1.1) ổn định (ổn định tiệm cận, ổn định mũ) ta nói hệ (1.1) ổn định (ổn định tiệm cận, ổn định mũ) Xét lớp hệ tuyến tính ơtơnơm  x(t) ˙ = Ax(t), t ≥ t0 (1.2) x(t ) = x 0 Dựa vào tính chất tập giá trị riêng ma trận A, Lyapunov đưa điều kiện cần đủ cho tính ổn định mũ hệ (1.2) Cụ thể hệ (1.2) ổn định mũ Reλj < với λj ∈ λ(A) Tuy nhiên, thực tế hệ thống thường chứa tham số trước, chẳng hạn hệ (1.2), ma trận A bị nhiễu thành A + ∆A(t), ∆A(t) = EF (t)H, với E, F ma trận thực cho trước có số chiều thích hợp, F (t) ma trận khơng biết trước thỏa mãn F T (t)F (t) ≤ I Vì phức tạp tập phổ λ(A + ∆A(t)), Lyapunov đưa cách tiếp cận dựa dạng hàm toàn phương V (x) = xT P x, P ma trận đối xứng, xác định dương, phương trình Lyapunov (LE) : AT P + P A = −Q có nghiệm P ma trận đối xứng, xác định dương Phương pháp thường gọi phương pháp hàm Lyapunov 1.1.2 Phương pháp hàm Lyapunov Ta nhắc lại khái niệm hàm Lyapunov cho hệ (1.1) Định nghĩa 1.2 (Xem [1]) Hàm V : R+ × Rn → R, khả vi liên tục, thỏa mãn V (t, 0) = 0, ∀t ≥ 0, gọi hàm Lyapunov hệ (1.1) nếu: (i) Hàm V (t, x) hàm xác định dương theo nghĩa ∃a ∈ K : V (t, x) ≥ a(||x||), ∀(t, x) ∈ R+ × Rn ∂V (ii) V˙ (t, x(t)) := f (t, x(t)) ≤ 0, với nghiệm x(t) hệ (1.1) Nếu ∂x hàm V (t, x) thỏa mãn thêm điều kiện: ∃b, c ∈ K cho (iii) V (t, x) ≤ b(||x||), ∀(t, x) ∈ R+ × Rn , (iv) V (t, x) ≤ −c(||x(t)||) với nghiệm x(t) hệ (1.1) V (t, x) gọi hàm Lyapunov chặt hệ (1.1) Sau đây, nhắc lại định lý tính ổn định hệ (1.1) Định lý 1.1 (Xem [1]) Nếu hệ (1.1) có hàm Lyapunov hệ ổn định Hơn nữa, hàm Lyapunov chặt hệ ổn định tiệm cận Định lý 1.2 (Xem [1]) Giả sử hệ (1.1) có hàm Lyapunov thỏa mãn điều kiện sau: (i) ∃λ1 , λ2 > : λ1 ||x||2 ≤ V (t, x) ≤ λ2 ||x||2 , ∀(t, x) ∈ R+ × Rn , (ii) ∃λ3 > : V (t, x) ≤ −2λ3 V (t, x(t)) với nghiệm x(t) hệ (1.1) Khi hệ (1.1) ổn định mũ với số ổn định Lyapunov λ3 λ2 N= λ1 1.1.3 Bài tốn ổn định hóa Xét hệ thống điều khiển mơ tả hệ phương trình vi phân x(t) ˙ = f (t, x(t), u(t)), t ≥ 0, (1.3) x(t) ∈ Rn vectơ trạng thái, u(t) ∈ Rm vectơ điều khiển Hàm điều khiển u(.) thuộc lớp hàm bình phương khả tích đoạn hữu hạn [0; s], ∀s ≥ lấy giá trị Rm Hàm R+ × Rn × Rm → Rn hàm vectơ cho trước, thỏa mãn điều kiện f (t, 0, 0) = 0, ∀t ≥ Giả thiết rằng, với u(.) thuộc lớp hàm bình phương khả tích đoạn hữu hạn [0, s], với s ≥ lấy giá trị Rm với x0 ∈ Rn , hệ (1.3) có nghiệm xu (t) = xu (t; x0 ) thỏa mãn điều kiện ban đầu xu (0; x0 ) = x0 xác định [0; +∞) Một toán quan trọng khác lý thuyết điều khiển tốn ổn định hóa ... 2.2 Tính ổn định hóa lớp hệ điều khiển tuyến tính với điều khiển có hạn chế 16 Tính ổn định hóa lớp hệ tuyến tính dương có trễ với điều khiển có hạn chế 22 3.1 Tính ổn định. ..n cho tính ổn định hóa lớp hệ điều khiển tuyến tính với điều khiển có hạn chế Trình bày số tiêu chuẩn cho tính ổn định hóa lớp hệ điều khiển tuyến tính có trễ với điều khiển có hạn chế Đưa 06 v... 1.4 Hệ tuyến tính dương có trễ vi phân 4 Tính ổn định hóa lớp hệ tuyến tính dương với điều khiển có hạn chế 2.1 Tính ổn định hóa lớp hệ điều khiển tuyến tính