ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Bùi Quốc Hưng ĐIỀU KIỆN LANDESMAN-LAZER SUY RỘNG ĐỐI VỚI MỘT SỐ LỚP BÀI TOÁN BIÊN ELLIPTIC KHƠNG TUYẾN TÍNH LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC Hà Nội - 2016 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Bùi Quốc Hưng ĐIỀU KIỆN LANDESMAN-LAZER SUY RỘNG ĐỐI VỚI MỘT SỐ LỚP BÀI TỐN BIÊN ELLIPTIC KHƠNG TUYẾN TÍNH Chun ngành: Phương trình vi phân tích phân Mã số: 62460103 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Hoàng Quốc Toàn Hà Nội - 2016 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi, hồn thành hướng dẫn PGS.TS Hoàng Quốc Toàn Các kết viết chung với tác giả khác trí đồng tác giả đưa vào luận án Các kết luận án kết chưa công bố công trình khác Tác giả luận án Bùi Quốc Hưng i LỜI CẢM ƠN Luận án thực hoàn thành hướng dẫn khoa học PGS.TS Hồng Quốc Tồn Thầy tận tình hướng dẫn giúp đỡ tơi q trình làm luận án Tơi xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Hồng Quốc Tồn Thầy hướng dẫn tơi từ bước đầu tiên, cách đặt vấn đề nghiên cứu, làm để viết báo khoa học, cách mở rộng vấn đề nghiên cứu, Nhờ bảo Thầy, ngày tiến nghiên cứu khoa học Bên cạnh đó, Thầy dạy cho nhiều điều nhân cách lối sống, định hướng cho tôi, truyền cho ý chí làm việc phấn đấu, khiến cho tơi trưởng thành nghiệp sống Nhân cách lối sống Thầy điều mà phấn đấu hoàn thiện thân Từ tận đáy lòng, tơi xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới Thầy, mong Thầy ln mạnh khỏe để cống hiến nhiều cho nghiệp giáo dục nước nhà Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy, bạn đồng nghiệp anh chị nghiên cứu sinh Bộ mơn Tốn Sinh thái Mơi trường, Bộ mơn Giải Tích-Khoa Tốn Cơ Tin học quan tâm, giúp đỡ, trao đổi ý kiến qúy báu cho q trình học tập, nghiên cứu Tơi trân trọng gửi lời cảm ơn đến Ban Giám đốc, Ban Chủ nhiệm Khoa Công nghệ Thông tin, Học viện Kỹ thuật Quân sự, đặc biệt thầy cô giáo Bộ mơn Tốn, Học viện Kỹ thuật Qn tơi xin bày tỏ lòng cảm ơn đến Ban Giám hiệu Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Ban chủ nhiệm Khoa Tốn -Cơ -Tin học, Phòng Sau đại học Bộ mơn Giải tích, Bộ mơn Tốn Sinh thái Môi trường giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi suốt trình học tập, nghiên cứu để tơi hồn thành luận án Cuối cùng, tơi xin tỏ lòng biết ơn chân thành đến gia đình, bạn bè, người ln sát cánh động viên, chia sẻ giúp đỡ tơi hồn thành luận án ii Mục lục DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU MỞ ĐẦU MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 1.2 1.3 Các nguyên lý biến phân 1.1.1 Phiếm hàm khả vi không gian Banach 1.1.2 Tính khả vi phiếm hàm tích phân 1.1.3 Tính nửa liên tục yếu phiếm hàm khả vi không gian Banach Điều kiện Palais-Smale tồn điểm tới hạn 1.2.1 Điều kiện Palais-Smale (P-S) 1.2.2 Nguyên lý cực tiểu 1.2.3 Định lý điểm yên ngựa 1.2.4 Định lý qua núi Điều kiện Landesman-Lazer toán cộng hưởng 1.3.1 Nguồn gốc thuật ngữ "Bài toán cộng hưởng" 1.3.2 Bài toán cộng hưởng điều kiện Landesman-Lazer 13 13 13 14 16 18 18 19 19 20 22 22 23 BÀI TOÁN NEUMANN CỘNG HƯỞNG ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC PHI TUYẾN, KHÔNG ĐỀU TRONG MIỀN KHÔNG BỊ CHẶN 29 2.1 Điều kiện Landesman-Lazer suy rộng toán Neumann cộng hưởng phương trình elliptic nửa tuyến tính không miền không bị chặn 2.1.1 Giới thiệu toán 30 30 2.2 2.3 2.1.2 Định lý thứ 2.1.3 Định lý thứ hai Bài toán cộng hưởng Neumann hệ phương trình elliptic nửa tuyến tính khơng miền khơng bị chặn với điều kiện biên phi tuyến 2.2.1 Giới thiệu toán 2.2.2 Sự tồn nghiệm yếu Kết luận chương 37 47 50 50 55 65 BÀI TOÁN CỘNG HƯỞNG ĐỐI VỚI HỆ PHƯƠNG TRÌNH (p, p)−LAPLACIAN TRONG MIỀN BỊ CHẶN 66 3.1 3.2 3.3 3.4 Giới thiệu toán 66 Bài toán Dirichlet cộng hưởng hệ phương trình (p, p)−Laplacian khơng miền bị chặn 68 Định lý Điểm yên ngựa hệ phương trình elliptic cộng hưởng tựa tuyến tính miền bị chặn 83 Kết luận chương 98 KẾT LUẬN 99 DANH MỤC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN 101 TÀI LIỆU THAM KHẢO 102 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU Ω ⊂ RN tập mở đo RN , Ω ⊂⊂ Ω tập compact chứa Ω u : Ω → R hàm đo Lebesgue Cho Ω tập đo RN , Lp (Ω) = {u : Ω → R : Ω |u|p dx < +∞}, ≤ p < ∞, không gian Banach bao gồm tất hàm khả tích Lebesgue bậc p Ω với chuẩn xác định sau: 1/p u Lp (Ω) p |u| dx := Ω Chú ý rằng, < p < +∞ Lp (Ω) khơng gian Banach phản xạ L∞ (Ω) = u : Ω → R bị chặn Ω không gian Banach bao gồm tất hàm đo bị chặn Ω h.k.n với chuẩn u L∞ (Ω) = esssup u(x) x∈Ω Lploc (Ω) = u : Ω → R : ∀Ω ⊂⊂ Ω, ta có u ∈ Lp (Ω ) Cho Ω tập mở RN , C0∞ (Ω) khơng gian hàm khả vi vơ hạn có giá compact Ω H m,p (Ω) = u ∈ Lp (Ω) : Dα u ∈ Lp (Ω), với đa số |α| ≤ m với chuẩn u H m,p Dα u = Lp |α|≤m H0m,p (Ω) bao đóng khơng gian C0∞ khơng gian H m,p (Ω) Nếu Ω miền bị chặn ta xác định chuẩn tương đương u H0m,p Dα u = Lp |α|=m H −m,q (Ω) không gian đối ngẫu không gian H m,p (Ω) với trường hợp p = q = 2, ta viết ngắn gọn H m (Ω) p + 1q = Trong MỞ ĐẦU Phương trình đạo hàm riêng xuất từ kỷ 18 cơng trình Euler, Dalembert, Lagrange, Laplace, phương tiện để mô tả mơ hình học liên tục để nghiên cứu giải tích mơ hình vật lý Việc giải tích mơ hình vật lý trì ngày động lực thúc đẩy phát triển lý thuyết phương trình đạo hàm riêng Từ kỷ 19, phương trình đạo hàm riêng trở thành phương tiện nghiên cứu chủ yếu nhiều ngành Tốn học khác Poincaré mơ tả vai trò phương trình đạo hàm riêng cầu nối ngành toán học ứng dụng, khoa học vật lý ngành toán học túy Vấn đề xuyên suốt nghiên cứu lý thuyết ứng dụng phương trình đạo hàm riêng toán tồn nghiệm Từ lâu người ta biết đến nhiều phương pháp để tìm nghiệm phương trình đạo hàm riêng tuyến tính phương pháp tách biến, phương pháp chuỗi, phương pháp phương trình tích phân, phương pháp hàm Green, Cho đến đầu kỷ 20, nghiệm phương trình đạo hàm riêng hiểu theo cách chung nghiệm khả vi đến cấp cao đạo hàm có mặt phương trình Tuy nhiên điều dễ nhận thấy để phản ánh tương đối xác trình vật lý hay học việc quan tâm đến nghiệm khả vi chưa đủ Hơn mơ hình vật lý hay học nói chung mơ tả phương trình hay hệ phương trình đạo hàm riêng khơng tuyến tính, mà phương trình đạo hàm riêng khơng tuyến tính lại thường khơng tồn nghiệm khả vi Vì việc nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng có ý nghĩa đối tượng mà phản ánh việc mở rộng khái niệm nghiệm phương trình đạo hàm riêng vấn đề cần thiết Do khái niệm nghiệm suy rộng (hay nghiệm yếu) đời Người ta đưa nhiều định nghĩa khác nghiệm suy rộng phải đảm bảo nguyên tắc vừa chặt chẽ mặt tốn học, vừa có ý nghĩa phương diện vật lý Vào năm 50-60 kỷ trước, mà lý thuyết phương trình đạo hàm riêng tuyến tính đạt thành tựu tuyệt vời, mà thành cơng lý thuyết toán biên elliptic đa tạp compact có biên khơng biên xu hướng nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng khơng tuyến tính đẩy mạnh, đặc biệt từ năm cuối kỷ 20 Do tính đa dạng phương trình đạo hàm riêng khơng tuyến tính nên phương pháp nghiên cứu phong phú, khơng có phương pháp chung cho tất loại phương trình đạo hàm riêng khơng tuyến tính Có thể kể số phương pháp thường sử dụng như: phương pháp trực giao, phương pháp toán tử đơn điệu, phương pháp nguyên lý điểm bất động, phương pháp nghiệm - nghiệm dưới, phương pháp bậc tôpô ánh xạ, phương pháp biến phân, Trong số phương pháp đó, phương pháp biến phân áp dụng rộng rãi tỏ có hiệu lực Ý tưởng phương pháp biến phân áp dụng vào phương trình đạo hàm riêng dựa sở lý thuyết điểm tới hạn phiếm hàm khả vi không gian Banach, mà nội dung đưa tốn biên xét việc nghiên cứu phiếm hàm J khả vi theo nghĩa khơng gian Banach X xây dựng thích hợp (được gọi phiếm hàm Euler-Lagrange liên kết với toán) cho điểm tới hạn phiếm hàm J nghiệm suy rộng toán biên Một phương pháp thơng thường để tìm điểm tới hạn phiếm hàm khả vi tìm điểm cực tiểu phiếm hàm Tuy nhiên việc tìm điểm cực tiểu phiếm hàm không đơn giản, lớp phiếm hàm cực tiểu hóa tương đối hạn chế Vì nhiều trường hợp người ta quan tâm đến việc tìm điểm yên ngựa (Saddle point) mà điểm cực tiểu phiếm hàm Cơ sở để chứng minh tồn điểm tới hạn phiếm hàm khả vi dựa vào nguyên lý biến phân mà kể đến Đối tượng mà đề cập đến luận án tồn nghiệm yếu phương trình hay hệ phương trình elliptic có dạng tổng qt −div (a(x, ∇u)) = f (x, u), x ∈ Ω, (0.1) Ω tập mở RN , mà dạng thường gặp là: −div h(x)|∇u|p−2 ∇u = f (x, u), x ∈ Ω, (0.2) với p ≥ 2, h : Ω → R hàm Ta biết tốn tử dạng divergent −div (a(x, ∇u)) xuất nhiều toán khuyếch tán khơng tuyến tính mà cổ điển mơ hình tốn học tượng truyền nhiệt vật thể, tượng truyền sóng khơng gian, mơ hình tốn học dòng chất lỏng khơng Newton, mơ hình học lượng tử, học môi trường liên tục, lý thuyết trường, Hai toán biên chủ yếu nghiên cứu liên quan đến phương trình hệ phương trình dạng (0.1), (0.2) toán với điều kiện biên Dirichlet Neumann Việc nghiên cứu thu hút quan tâm đội ngũ đơng đảo nhà tốn học lớn giới, chủ yếu tập trung trung tâm lớn như: Mỹ, Pháp, Italia, Những kết đạt từ nghiên cứu vừa có ý nghĩa mặt lý thuyết, vừa có ý nghĩa ứng dụng Trong danh mục tài liệu tham khảo luận án kể đến lượng tác giả với cơng trình họ có liên qua đến nội dung luận án Trong phần nội dung luận án chúng tơi quan tâm đến khía cạnh phạm vi nghiên cứu lớn Như phản ánh đầu đề luận án, mục tiêu nghiên cứu tốn cộng hưởng phương trình hệ phương trình elliptic nửa tuyến tính tựa tuyến tính không miền không bị chặn bị chặn RN Bằng phương pháp thích hợp tốn biên cụ thể, chúng tơi đưa điều kiện dạng Landesman-Lazer suy rộng đảm bảo cho phiếm hàm Euler-Lagrange liên kết với toán thỏa mãn điều kiện Palais-Smale điều kiện bức, dựa vào nguyên lý cực tiểu định lý điểm yên ngựa để chứng minh tồn điểm tới hạn phiếm hàm, từ suy tồn nghiệm yếu khơng tầm thường tốn biên Chú ý thêm rằng, xét tốn biên khơng miền khơng bị chặn gặp phải hai khó khăn phải khắc phục là: • Phép nhúng khơng gian Sobolev miền khơng bị chặn khơng compact • Đối với tốn biên khơng đều, nói chung khơng tồn nghiệm yếu không gian Sobolev thông thường, tìm nghiệm yếu khơng gian (hẹp hơn) khơng gian Sobolev chọn thích hợp Nội dung luận án công bố báo khoa học trình bày thành chương, nội dung trình bày Chương 2, Chương viết dựa vào báo [1], [2] (xem "Danh mục cơng trình khoa học tác giả liên quan đến luận án") Chúng xét tồn nghiệm yếu tốn Neumann miền khơng bị chặn phương trình hệ phương trình elliptic nửa tuyến tính khơng Nội dung Chương gồm mục Lấy giới hạn k → +∞ ý umk − u0 Lp → 0, vmk − v0 0, suy lim T (wmk ), (wmk − w0 ) = Lp → k→+∞ Hơn nữa, lim (J (wmk ), (wmk − w0 )) = lim ((I (wmk ), (wmk − w0 )) − (T (wmk ), (wmk − w0 ))) k→+∞ k→+∞ Nên lim (J (wmk ), (wmk − w0 )) = 0, k→+∞ tức (J (wmk ), (wmk − w0 )) = α |∇umk | p−2 |∇umk | ∇ (umk − u0 ) dx Ω p−2 |∇vmk | +β |∇vmk | ∇ (vmk − v0 ) dx → 0, k → +∞ Ω (3.72) Ngoài ra, wmk w0 X nên: |∇u0 | (J (w0 ) , (wmk − w0 )) = α p−2 |∇u0 | ∇ (umk − u0 ) dx Ω |∇v0 | +β p−2 (3.73) |∇v0 | ∇ (vmk − v0 ) dx → 0, k → +∞ Ω Sử dụng bất đẳng thức biết sau đây: r |s|r−2 s − |¯ s|r−2 (s − s¯) ≥ cr |s − s¯| , với s, s¯ ∈ RN , r ≥ 2, ta nhận J (wmk ) −J (w0 ), (wmk − w0 ) |∇umk | =α p−2 ∇umk − |∇u0 | p−2 ∇u0 ∇ (umk − u0 ) dx Ω |∇vmk |p−2 ∇vmk − |∇v0 |p−2 ∇v0 ∇(vmk − v0 )dx +β Ω ≥ c1 umk − u0 W01,p + c2 vmk − v0 W01,p (3.74) Từ (3.72), (3.73) ta suy vế trái bất đẳng thức vừa nhận hội tụ k → +∞ Do ta có umk → u0 , vmk → v0 k → +∞ W01,p (Ω) hay dãy {wmk } hội tụ mạnh tới w0 X Vì vậy, phiếm hàm Euler-Lagrange I xác định (3.52) thỏa mãn điều kiện Palais-Smale X Mệnh đề 3.3.5 hoàn toàn chứng minh 91 Tiếp theo, ta biểu diễn không gian X thành tổng trực tiếp không gian Z, Y : X = Z ⊕ Y Z =L(ϕ) = {tϕ = t(ϕ1 , ϕ2 ), t ∈ R} , dx = , uϕα−1 ϕβ2 + vϕα1 ϕβ−1 Y = w = (u, v) ∈ X : (3.75) Ω với ϕ = (ϕ1 , ϕ2 ) cặp véc tơ riêng chuẩn hóa liên kết với giá trị riêng λ1 toán (3.43) |∇ϕ1 |p dx + (ϕ1 , ϕ2 ) = Ω |∇ϕ2 |p dx p = Ω Khi w = (u, v) ∈ X, w = t (ϕ1 , ϕ2 ) + w0 , w0 = (u0 , v0 ) ∈ Y u = tϕ1 + u0 (3.76) v = tϕ2 + v0 (3.77) Nhân vế biểu thức (3.76), (3.77) với ϕα−1 ϕβ2 λ1 ϕα1 ϕβ−1 λ1 tương ứng, ta có λ1 uϕα−1 ϕβ2 = λ1 tϕα1 ϕβ2 + λ1 u0 ϕα−1 ϕβ2 , 1 (3.78) λ1 vϕα1 ϕβ−1 = λ1 tϕα1 ϕβ2 + λ1 v0 ϕα1 ϕβ−1 2 (3.79) Chú ý −∆p ϕ1 = −div |∇ϕ1 |p−2 ∇ϕ1 = λ1 ϕα−1 ϕβ2 , từ (3.78), ta có λ1 uϕα−1 ϕβ2 = t −div(|∇ϕ1 |p−2 ∇ϕ1 ) ϕ1 + λ1 u0 ϕα−1 ϕβ2 Lấy tích 1 phân hai vế (3.78), ta nhận uϕα−1 ϕβ2 dx = t λ1 −div |∇ϕ1 |p−2 ∇ϕ1 Ω Ω Ω p u0 ϕα−1 ϕβ2 dx |∇ϕ1 | dx + λ1 =t u0 ϕα−1 ϕβ2 dx ϕ1 dx + λ1 Ω Ω (3.80) Tương tự, từ (3.79) có p vϕα1 ϕ2β−1 dx = t λ1 Ω v0 ϕα1 ϕβ−1 dx |∇ϕ2 | dx + λ1 Ω Ω 92 (3.81) Kết hợp (3.80), (3.81), ta nhận uϕα−1 ϕβ2 + vϕα1 ϕ2β−1 dx = t λ1 Ω Ω u0 ϕα−1 ϕβ2 dx |∇ϕ1 |p dx + λ1 Ω |∇ϕ2 | dx + λ1 +t Ω (3.82) v0 ϕα1 ϕβ−1 dx p Ω Vì (u0 , v0 ) ∈ Y nên ta có u0 ϕα−1 ϕβ2 + v0 ϕα1 ϕβ−1 dx = Ω Vì vậy, với w ∈ X cho w = tϕ + w0 , w0 ∈ Y, λ1 t= Ω uϕα−1 ϕβ2 + vϕα1 ϕβ−1 dx Ω |∇ϕ1 |p dx + Ω |∇ϕ2 |p dx uϕα−1 ϕβ2 + vϕα1 ϕβ−1 dx (3.83) = λ1 Ω Hơn nữa, w = tϕ + w ˜ t xác định (3.83) w˜ ∈ Y Vậy, X = Z ⊕ Y ¯ > λ1 cho Bổ đề 3.3.6 Tồn λ α p |∇u|p dx + Ω β p ¯ |∇v|p dx ≥ λ Ω |u|α−1 |v|β−1 uvdx, ∀w = (u, v) ∈ Y (3.84) Ω Chứng minh Xét toán cực tiểu hóa λ = inf α p |∇u|p dx + Ω β p |∇v|p dx : (u, v) ∈ Y, Ω |u|α−1 |v|β−1 uvdx = Ω Ta chứng minh λ nhận giá trị không gian Y Cho wm = (um , vm ) ∈ Y dãy cực tiểu, tức |um |α−1 |vm |β−1 um vm dx = 1, với m = 1, 2, Ω lim m→+∞ α p |∇um |p dx + Ω β p |∇vm |p dx = λ Ω Điều suy {wm } dãy bị chặn X Do đó, tồn dãy {wmk } {wm } hội tụ yếu tới w0 = (u0 , v0 ) ∈ X từ tính compact phép nhúng W01,p (Ω) vào Lp (Ω) ta suy dãy {umk } {vmk } hội tụ mạnh tới u0 , v0 tương ứng Lp (Ω) 93 Hơn nữa, α + β = p dx (umk − u0 )ϕα−1 ϕβ2 + (vmk − v0 )ϕα1 ϕβ−1 Ω ≤ umk − u0 Do umk − u0 Lp (Ω) ϕ1 Lp β α−1 Lp |ϕ2 Lp → 0, vmk − v0 + vmk − v0 Lp (Ω) ϕ1 α Lp ϕ2 β−1 Lp → k → +∞, ta nhận dx u0 ϕα−1 ϕβ2 + v0 ϕα1 ϕβ−1 dx = umk ϕα−1 ϕβ2 + vmk ϕα1 ϕβ−1 lim m→+∞ Lp Ω Ω Điều suy u0 ϕα−1 dx = 0, ϕβ2 + v0 ϕα1 ϕβ−1 Ω đó, (u0 , v0 ) ∈ Y Mặt khác, từ tính liên tục tốn tử A ta có |umk |α−1 |vmk |β−1 umk vmk dx = lim k→+∞ Ω |u0 |α−1 |v0 |β−1 u0 v0 dx, Ω điều suy |u0 |α−1 |v0 |β−1 u0 v0 dx = Ω Vì vậy, u0 = v0 = Hơn nữa, phiếm hàm J xác định (3.53) nửa liên tục yếu, nên ta có λ ≤ J(u0 , v0 ) = α p |∇u0 |p dx + Ω ≤ lim inf k→+∞ α p β p |∇v0 |p dx Ω (3.85) β |∇umk | dx + p Ω p p |∇vmk | dx = λ Ω Vì λ = J(u0 , v0 ) = α p |∇u0 |p dx + Ω β p |∇v0 |p dx Ω Điều nghĩa λ nhận giá trị w0 Tiếp theo, ta λ > λ1 Từ biểu thức biểu diễn giá trị riêng λ1 , ta thấy rằng: λ ≥ λ1 Nếu λ = λ1 , từ tính đơn giá trị riêng λ1 , tồn t ∈ R cho w0 = (u0 , v0 ) = t(ϕ1 , ϕ2 ) Vì w0 = (u0 , v0 ) ∈ Y nên tϕ1 ϕα−1 ϕβ2 + tϕ2 ϕα1 ϕβ−1 dx = t 0= Ω ϕα1 ϕβ2 dx, Ω 94 điều mâu thuẫn với ϕα1 ϕβ2 dx |u0 |α−1 |v0 |β−1 u0 v0 dx = t 1= Ω Ω Vậy λ > λ1 ¯ = λ cho: λ ¯ > λ1 Bổ đề 3.3.6 hồn tồn chứng Do đó, tồn λ minh Mệnh đề 3.3.7 Phiếm hàm Euler-Lagrange I xác định (3.52) thỏa mãn điều kiện Y giả thiết (H1 ), (H2 ) thỏa mãn Chứng minh Theo bt ng thc Hăolder, B 3.3.6, cỏc gi thit (H1 ), (H2 ), ta có |I(w)| = α p |∇u|p dx + Ω − β p Ω Ω H(x, u, v)dx + (αk1 u + βk2 v) dx Ω Ω α β ; p p ≥ w p X λ1 − ¯ λ α p |∇u|p dx + Ω τ (x)(|u| + |v|)dx − α k1 − |u|α−1 |v|β−1 uvdx |∇v|p dx − λ1 u Lp Lp β p |∇v|p dx Ω − β k2 v Lp ) u Lp Lp Ω ≥ ≥ α β ; p p λ1 1− ¯ λ −( τ + β k2 Lp λ1 1− ¯ λ − max {( τ Lp Lp w ) v α β ; p p + α k1 Lp w p X −( τ Lp + α k1 Lp Lp p X ),( τ Lp + β k2 Lp )} c u W01,p + v W01,p (3.86) > 0, p ≥ 2, cho wE → +∞ I(w) → +∞ Do đó, phiếm Vì − hàm I xác định (3.52) thỏa mãn điều kiện Y Mệnh đề 3.3.7 hoàn toàn chứng minh λ1 ¯ λ Từ Mệnh đề 3.3.7, phiếm hàm I thỏa mãn điều kiện Y, BY = minI(w) > −∞ w∈Y Mặt khác, với t > ta có α p p |∇(tϕ1 )| dx + Ω β p p |tϕ1 |α−1 |tϕ2 |β−1 (tϕ1 )(tϕ2 )dx = |∇(tϕ2 )| dx − λ1 Ω Ω 95 Vì (αk1 ϕ1 + βk2 ϕ2 ) dx − I(tϕ) = t Ω =t Ω H(x, tϕ)dx Ω H(x, tϕ) (αk1 ϕ1 + βk2 ϕ2 ) − dx t (3.87) Chú ý H(x, tϕ) = t t α β + α = t β + tϕ1 (f (x, s, tϕ2 ) + f (x, s, 0))ds tϕ2 (g(x, tϕ1 , τ ) + g(x, 0, τ )) dτ (3.88) t ((f (x, yϕ1 , tϕ2 ) + f (x, yϕ1 , 0)) dy) ϕ1 t ((g(x, tϕ1 , yϕ2 ) + g(x, 0, yϕ2 )) dy) ϕ2 Do đó, H(x, tϕ) = (αF1 (x)ϕ1 + βG1 (x)ϕ2 ) t→+∞ t lim Vậy, H(x, tϕ) dx t→+∞ t Ω = lim t (αk1 ϕ1 + βk2 ϕ2 ) − (αF1 (x)ϕ1 + βG1 (x)ϕ2 ) dx t→+∞ Ω (3.89) Từ giả thiết (H2 (i)), ta có (αk1 ϕ1 + βk2 ϕ2 ) − lim t p αf +∞ ϕ1 + βg +∞ ϕ2 dx < Ω p (αk1 ϕ1 + βk2 ϕ2 ) dx Ω Suy Ω α β (αF1 (x)ϕ1 + βG1 (x)ϕ2 ) − f +∞ (x)ϕ1 − g +∞ (x)ϕ2 dx p p > 1− (αk1 ϕ1 + βk2 ϕ2 ) dx, p Ω tức Ω (αF1 (x)ϕ1 + βG1 (x)ϕ2 ) − (αk1 ϕ1 + βk2 ϕ2 ) dx > 96 (3.90) Do đó, lim I(tϕ) = −∞ t→+∞ Tương tự, với t < ta có H(x, tϕ) = t t tϕ1 α (f (x, s, tϕ2 ) + f (x, s, 0))ds + tϕ2 β =− |t| (g(x, tϕ1 , τ ) + g(x, 0, τ )) dτ (3.91) −|t|ϕ1 α (f (x, s, −|t|ϕ2 ) + f (x, s, 0)) ds −|t|ϕ2 β + (g(x, −|t|ϕ1 , τ ) + g(x, 0, τ )) dτ Đặt s = −yϕ1 → ds = −ϕ1 dy s = −|t|ϕ1 = −yϕ1 ⇒ y = |t| H(x, tϕ) =− t |t| α β + −|t| ((f (x, −yϕ1 , −|t|ϕ2 ) + f (x, −yϕ1 , 0)) dy) (−ϕ1 ) −|t| ((g(x, −|t|ϕ1 , −yϕ2 ) + g(x, 0, −yϕ2 )) dy) (−ϕ2 ) (3.92) Lấy giới hạn t → −∞, ta nhận H(x, tϕ) = t→−∞ t lim (αF2 (x)ϕ1 + βG2 (x)ϕ2 ) dx Ω Do đó, (αk1 ϕ1 + βk2 ϕ2 ) − lim I(tϕ) = lim t t→−∞ t→−∞ Ω (αF2 (x)ϕ1 + βG2 (x)ϕ2 ) dx Tương tự, từ giả thiết (H2 (ii)), ta có (αF2 (x)ϕ1 + βG2 (x)ϕ2 ) dx < Ω (αk1 ϕ1 + βk2 ϕ2 ) dx, Ω điều suy lim I(tϕ) = −∞ t→−∞ Vậy, tồn t0 cho |t0 | đủ lớn để I(t0 ϕ) < Đặt w0 (x) = (t0 ϕ1 , t0 ϕ2 ) ta I(w0 ) = I(t0 ϕ) < BY ≤ I(tϕ) 97 Chứng minh Định lý 3.3.2: Từ Mệnh đề 3.3.5, Mệnh đề 3.3.7 thấy tất giả thiết định lý điểm yên ngựa (P.H.Rabinowitz) (xem 1.2.5) thỏa mãn, phiếm hàm Euler-Lagrange I xác định (3.52) liên kết với toán đạt cực tiểu w0 = (u0 , v0 ) ∈ X Vì tốn (3.41) tồn nghiệm yếu w0 ∈ X Hơn nữa, w0 nghiệm yếu không tầm thường toán (3.41) Định lý 3.3.2 hoàn toàn chứng minh 3.4 Kết luận chương Nội dung chương viết mục 3.2 3.3 Trong mục 3.2 dựa giả thiết đặt hệ phương trình (3.2), đưa điều kiện dạng Landesman-Lazer suy rộng (3.13) xây dựng không gian lượng cho phiếm hàm Euler-Lagrange liên kết với tốn Từ áp dụng nguyên lý cực tiểu phiếm hàm khả vi liên tục yếu (xem Định lý 1.2.3), chứng minh tồn điểm tới hạn phiếm hàm lượng liên kết với tốn Điểm tới hạn nghiệm yếu khơng tầm thường tốn cộng hưởng (3.2) Mục 3.3 xét hệ (3.41) trường hợp riêng hệ (3.2) hàm hi (x) ≡ 1, x ∈ Ω Hệ (3.41) xét không gian Sobolev X = W01,p (Ω) × W01,p (Ω) Hiển nhiên kết nhận mục 3.2 cho toán Dirichlet hệ (3.41) Tuy nhiên đặc trưng hệ (3.41) ta đưa điều kiện đủ mới, điều kiện dạng Landesman-Lazer suy rộng (3.50), áp dụng định lý điểm yên ngựa chứng minh tồn nghiệm yếu hệ (3.41) không gian X Chú ý rằng: Các dấu bất đẳng thức điều kiện Landesman-Lazer suy rộng (3.13) (3.50) ngược Do hai điều kiện khác Như toán cộng hưởng (3.41) tồn nghiệm yếu không gian X hai điều kiện (3.13) (3.50) thỏa mãn 98 KẾT LUẬN Mục đích luận án đưa điều kiện dạng Landesman-Lazer suy rộng, áp dụng lý thuyết điểm tới hạn phiếm hàm khả vi không gian Banach, dựa vào nguyên lý cực tiểu hay định lý điểm yên ngựa (Saddle point theorem), chứng minh phiếm hàm Euler-Lagrange liên kết với tốn biên xét có điểm tới hạn khơng gian lượng xây dựng thích hợp từ suy tốn biên có nghiệm yếu không tầm thường Kết luận án thể nội dung sau đây: Chứng minh toán Neumann cộng hưởng lớp phương trình elliptic phi tuyến, khơng miền không bị chặn Ω ⊂ RN với biên ∂Ω trơn, tồn nghiệm yếu khơng tầm thường khơng gian E xây dựng thích hợp không gian H (Ω), cách áp dụng lý thuyết điểm tới hạn phiếm hàm khả vi không gian Banach thông qua nguyên lý cực tiểu, định lý điểm yên ngựa điều kiện dạng Landesman-Lazer suy rộng Nghiên cứu tồn nghiệm yếu toán Neumann cộng hưởng miền Ω ⊂ RN khơng bị chặn với biên ∂Ω trơn, đóng bị chặn lớp hệ phương trình elliptic nửa tuyến tính, khơng dạng Gradient Giả thiết quan trọng mà trước chưa xét đến hàm phi tuyến f (x, u, v), g(x, u, v) có mặt hệ phương trình phụ thuộc vào hai biến u v Dựa vào giả thiết ấn định lên hệ phương trình (2.41), đưa dạng suy rộng điều kiện Landesman-Lazer, áp dụng nguyên lý cực tiểu, định lý điểm yên ngựa, chứng minh phiếm hàm lượng Euler-Lagrange liên kết với toán tồn điểm tới hạn, tốn (2.41) tồn nghiệm yếu không tầm thường không gian E xây dựng thích hợp Xét tồn nghiệm yếu tốn Dirichlet hệ phương trình elliptic cộng hưởng, không loại (p, q)−Laplacian Việc chứng minh tồn nghiệm yếu toán đưa việc chứng minh tồn điểm tới hạn phiếm hàm Euler-Lagrange liên kết không gian lượng 99 xây dựng thích hợp nhờ nguyên lý cực tiểu, định lý điểm yên ngựa điều kiện dạng Landesman-Lazer suy rộng Trong phương trình đạo hàm riêng phương trình vi phân điều kiện LandesmanLazer xem phương pháp phổ biến để nghiên cứu tồn nghiệm toán biên khơng tuyến tính Tùy thuộc vào tốn biên nghiên cứu người ta xây dựng điều kiện dạng LandesmanLazer suy rộng khác Hy vọng tương lai nhận kết có ý nghĩa 100 DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN [1] Hoang Quoc Toan, Bui Quoc Hung (2014), "On a generalization of the Landesman-Lazer condition and Neumann problem for nonuniformly semilinear elliptic equations in an unbounded domain with nonlinear boundary condition,Bull Math Soc Sci Math Roumanie, Tome 57(105) No 3, 2014, 301-317 [2] Hoang Quoc Toan, Bui Quoc Hung (2014), "On a Neumann problem at resonance for nonuniformly semilinear elliptic systems in an unbounded domain with nonlinear boundary condition", Bull Korean Math Soc, 51(2014), No 6, 1669–1687 [3] Bui Quoc Hung, Hoang Quoc Toan (2016), "On existence of weak solutions for a p-Laplacian system at resonance", Revista de la Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales Serie A Matemáticas, March 2016, Volume 110, Issue 1, pp 33-47 [4] Bui Quoc Hung, Hoang Quoc Toan (2016), "On a p-Laplacian system and a generalization of the Landesman-Lazer type condition", Bulletin of the Iranian Mathematical Society, (Accepted) 101 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] A.Ambrosetti, P.H.Rabinowitz (1973), "Dual variational methods in critical point theory and applications", Journal of Functional Analysis, 14(1973), 349-381 [2] A.Anane, J.P Gossez (1990), "Strongly nonlinear elliptic problems near resonance a variational approach", Comm Partial Differential Equation, 15(1990), 1141-1159 [3] D.Arcoya, L.Orsina (1997), "Landesman-Lazer condition and quasilinear elliptic equations", Nonlinear Analysis, 28(1997), 1623-1632 [4] L Boccando, P.Drábek and M.Kuˇcera (1989), "Landesman-Lazer condition for strongly nonlinear boundary value problem", Commentationes mathematicae Universitatis Carolinae, 30(1989), 411-427 [5] L Boccando, D.G de Figueiredo (2002), "Some remarks on a system of quasilinear Elliptic equations", Nonlinear Differential Equations and Applications NoDEA, (2002), 9(3), 309-323 [6] H Brezis (1992), Analyse fonctionelle théorie et applications Masson [7] P Caldiroli, R.Musina (2000), "On a variational degenerate Elliptic problem",Nonlinear Differential Equations and Applications NoDEA, (2000), 7(2), 187-199 [8] N.T.Chung, H.Q.Toan (2009), "Existence result for nonuniformly degenerate semilinear elliptic systems in RN ", Glasgow Mathematical Journal, 51(2009), 561-570 [9] G Cerami (1978), "Un criterio di esistenza per i punti critici su varietá ilimitate", Rend Acad Sci Let Ist Lombardo, 112(1978), 332-336 [10] D.G.Costa (1994), "On a class of elliptic systems in RN ", Electronic Journal of Differential equations, Vol 1994(1994), No 7, 1-14 102 [11] P Drábek (1992), Solvability and Bifurcations of Nonlinear Equations, vol 264 of Pitman Research Notes in Mathematics Series, Longman Scientific, Technical, Harlow, UK [12] P Drábek, Jaroslav Milota (2013), Methods of Nonlinear Analysis: Applications to Differential Equations, Birkhăauser Advanced Texts Basler Lehrbă ucher, 2nd ed 2013 [13] D.M Duc (1989), "Nonlinear singular elliptic equation", London Math Soc., 40(1989), 420-440 [14] D.M Duc, N.T Vu (2005), "Nonuniformly Elliptic equations of p-Laplacian type", Nonlinear Analysis, 61 (2005), 1483-1495 [15] D.G de Figueiredo and W.M Ni (1979), "Perturbations of second order linear elliptic problems by nonlinearities without Landesman-Lazer condition", Nonlinear Analysis, 3(1979), 629-634 [16] S Fuˇcík (1980), Solvability of nonlinear equations and boundary value problems, D Riedel Publishing Company, Holland [17] Ghasem A Afrouzi, Maryam Mirzapour, Qihu Zhang (2012), "Simplicity and stability of the first eigenvalue of a (p; q) Laplacian system", Electronic Journal of Differential Equations, Vol 2012(2012), No 08, 1-6 [18] D.Gilbarg, N.Trudinger (2001), Elliptic Partial Differential Equations of Second order, Springer Verlag Berlin, 2001 [19] Trinh Thi Minh Hang and H.Q.Toan (2011), "On existence of weak solutions of Neumann problem for quasilinear elliptic equations involving p-Laplacian in an unbounded domain", Bulletin of the Korean Mathematical Society, (2011)48, 1169-1182 [20] D.A.Kandilakis, M.Magiropoulos (2007), "A p-Laplacian system with resonance and nonlinear boundary conditions on an unbounded domain", Comment Math Univ Carolin, 48, 1(2007), 59-68 [21] Nguyen Lam and Guozhen Lu (2012), "Existence and multiplicity of solutions to equations of N-Laplacian type with critical exponential growth in RN ", Journal of Functional Analysis, 262(2012), 1132-1165 103 [22] E.M Landesman, A.C Lazer (1970), "Nonlinear perturbations of elliptic boundary value problems at resonance", Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 19(1970), 609–623 [23] A.C Lazer, D.E Leach (1969), "Bounded perturbations of forced harmonic oscillators at resonance", Annali di Matematica Pura ed Applicata, (1969), 82(1), 49-68 [24] Alan C Lazer (2000), "A Second look at the first result of Landesman-Lazer type", Nonlinear Differential Equations, Electronic Journal of Differential Equations, Conf 05, 2000, 113-119 [25] M.Lucia, P.Magrone and Huan-Songzhou (2003), "A Dirichlet problem with asymptotically linear and changing sign nonlinearity", Revista Matematice Complutense, (2003), 16, N-2, 465-481 [26] P de Nápoli, M.C Mariani (2003), "Moutain pass solutions to equations of p-Laplacian type", Nonlinear Analysis, 54 (2003), 1205-1219 [27] Q.A.Ngo, H.Q.Toan (2008), "Existence of solutions for a resonant problem under Landesman-Lazer condition", Electronic Journal of Differential Equations, Vol 2008, No 98, 1-10 [28] Q.A.Ngo, H.Q.Toan (2009), "Some Remarks on a class of Nonuniformly Elliptic Equations of p-Laplacian type", Acta Applicandae Mathematicae, (2009) vol 106, no 2, 229–239 [29] Zeng-Qi Ou, Chun-Lei Tang (2008), "Resonance problems for the pLaplacian systems", Journal of Mathematical Analysis and Applications, 345(2008), 511-521 [30] M.Struwe (2008), Variational methods, Second edition, Springer Verlag [31] N.M Stavrakakis, N.B Zographopoulos (1999), "Existence results for quasilinear elliptic systems in RN ", Electronic Journal of Differential Equations, Vol 1999, No 39, 1–15 [32] C.L.Tang (1997), "Solvability for two-point boundary value problems", Journal of Mathematical Analysis and Applications, 216 (1997), 368-374 [33] H.Q.Toan, N.T.Chung (2009), "Existence of weak solutions for a class of nonuniformly nonlinear elliptic equations in unbounded domains", Nonlinear Analysis, 70(2009) 3987-3996 104 [34] P.Tomiczek (2001), "A generalization of the Landesman-Lazer condition", Electronic Journal of Differential Equations, Vol 2001(2001) N04, 88, 1-11 [35] P.H Rabinowitz (1978), "Some minimax theorems and applications to nonlinear partial differential equations, in: L Cesari,R Kannan, H.F Weinberger (Eds.)", Nonlinear Analysis (A collection of papers in honor of Erich H Rothe), Academic Press, New York, 1978, 161–177 [36] N.B.Zographopoulos (2004), " p-Laplacian systems on resonance", Applicable Analysis, 83(2004), 509-519 [37] N.B.Zographopoulos (2004), "On a class of degenerate potential elliptic system", Nonlinear Differential Equations and Applications, 11(2004), 191199 105 ... HỌC TỰ NHIÊN Bùi Quốc Hưng ĐIỀU KIỆN LANDESMAN- LAZER SUY RỘNG ĐỐI VỚI MỘT SỐ LỚP BÀI TOÁN BIÊN ELLIPTIC KHƠNG TUYẾN TÍNH Chun ngành: Phương trình vi phân tích phân Mã số: 62460103 LUẬN ÁN TIẾN... 19 20 22 22 23 BÀI TOÁN NEUMANN CỘNG HƯỞNG ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC PHI TUYẾN, KHƠNG ĐỀU TRONG MIỀN KHÔNG BỊ CHẶN 29 2.1 Điều kiện Landesman- Lazer suy rộng toán Neumann... Điều kiện Landesman- Lazer toán cộng hưởng 1.3.1 Nguồn gốc thuật ngữ "Bài toán cộng hưởng" 1.3.2 Bài toán cộng hưởng điều kiện Landesman- Lazer 13 13 13 14 16